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专题14　抛物线
1．抛物线的定义
2．抛物线的标准方程
3．抛物线的几何性质
4．直线与抛物线的位置关系
讨论直线与抛物线的位置关系，一般是将直线方程与抛物线的方程联立成方程组，消去y得关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，讨论a及判别式Δ，由ax2＋bx＋c＝0解的情况得到直线与抛物线的位置关系．当a≠0且Δ<0时，直线与抛物线没有公共点；当a≠0且Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当a＝0且b≠0时，直线与抛物线相交，有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行；当a≠0且Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点．
例1　设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
变式1　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是(　　)
A. B．3 C.D.
例2　已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，求k的值．
变式2　设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
例3　如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
证明：直线AB必过一定点；
变式3　如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
A级
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)
A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)
2．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A. B．1 C.D.
3．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于(　　)
A．2 B．2 C．4 D．2
4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A、B两点，则弦AB的长为(　　)
A．2B．2C．2D．2
5．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
7．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是y＝3；
(2)过点P(－2，4)；
(3)焦点到准线的距离为.
B级
8．动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
9．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　)
A. B.
C. D.
10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．
12．如图所示是抛物线形拱桥，
当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.
13．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．
详解答案
典型例题
例1　C　[由题意知：F，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝5－，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为2＋2＝，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.]
变式1　A
例2　解　联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由·＝0进行坐标运算解未知量k.
抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，
消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，
y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.
因为·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.
变式2　±1
解析　设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x0，y0)．
解方程组.
化简得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0
∴x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝.∴x0＝，y0＝.
由＝2得：
2＋2＝4.∴k＝±1.
例3　证明　方法一　设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，
则直线OB的方程为y＝－x，
由解得或
即A点的坐标为(，)．
同理由，
解得B点的坐标为(2k2，－2k)．
∴AB所在直线的方程为
y＋2k＝(x－2k2)，
化简并整理，得(－k)y＝x－2.
不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.故直线过定点P(2,0)．
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程为y＝kx＋m，
将x＝代入y2＝2x，消x，
整理得y2－y＋＝0，
则Δ＝(－)2－>0，y1y2＝.
由y＝2x1，y＝2x2，所以x1x2＝，
由∠AOB＝90°，OA⊥OB，故x1x2＋y1y2＝0.
所以＋y1y2＝0，可得y1y2＝－4，
于是－4＝，得m＝－2k，满足Δ>0，
所以y＝kx＋m＝kx－2k＝k(x－2)，直线过(2,0)；当直线AB的方程为x＝2时，由y2＝4，得y＝±2，满足OA⊥OB；故直线AB过定点P(2,0)．
方法三　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y－y1＝(x－x1)，
即y－y1＝(x－)，
即y＝x＋y1－，
即y＝x＋.由方法二知y1y2＝－4，代入即得直线AB过定点P(2,0)．
变式3　证明　设kAB＝k (k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．
∴4·xB＝，
即xB＝，
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝
＝
＝＝
＝－.所以直线BC的斜率为定值．
强化提高
1．B　[由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，由题意得－＝－1，p＝2，焦点坐标为，故选B.]
2．C　[∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.]
3．B　[由抛物线定义，知＋2＝3，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.因为点M(2，y0)在抛物线上，所以y＝8，故|OM|＝＝2.]
4．B　[不妨设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1>x2.
由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，
代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，
整理得x2－4x＋1＝0，解得x1＝2＋，x2＝2－，代入直线AB方程得
y1＝－2－2，y2＝2－2.
故A(2＋，－2－2)，B(2－，2－2)．
|AB|＝＝2.]
5．9
解析　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)．准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.
6．8
解析　如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得
A(－2，4)．
设P(x0,4)，
代入抛物线y2＝8x，
得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8.
7．解　(1)由准线方程为y＝3知抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝3，则p＝6，
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y.
(2)∵点P(－2，4)在第二象限，
∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，
将点P(－2，4)代入y2＝－2px，得p＝2，
代入x2＝2py，得p＝1.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝2y.
(3)由焦点到准线的距离为，得p＝，
故所求抛物线的标准方程为y2＝2x，y2＝－2x，x2＝2y或x2＝－2y.
8．D
9．D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4，①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，
|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，
∴x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，
∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，
得k＝.故选D.]
10．B[不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，
又可设A(x0,2)，
D，
点A(x0,2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①
点A(x0,2)在圆x2＋y2＝r2上，
∴x＋8＝r2，②
点D在圆x2＋y2＝r2上，
∴5＋2＝r2，③
联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.]
11．(1,2)或(1，－2)
解析　∵抛物线的焦点为F(1,0)，
设A(，y0)，
则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，
由·＝－4，
得y0＝±2，
∴点A的坐标是(1,2)或(1，－2)．
12．2
解析　(数形结合法)
建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.
当水面下降1 m时，得D(x0，－3)(x0>0)，
将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，
∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2 m.
13．(1)解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，
得|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，
则H是MN的中点，
∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，
∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．
又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)证明　由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，
得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①
x1x2＝，②
因为x轴是∠PBQ的角平分线，
所以＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③
将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此时Δ>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．

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