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专题16　空间向量在立体几何中的应用
1．判断平行、垂直关系
直线的方向向量平行(垂直)，则直线平行(垂直)；
直线的方向向量与平面法向量平行，则线面垂直；
直线的方向向量与平面法向量垂直，则线面垂直(直线不在此平面内)；
平面法向量平行(垂直)，则面面平行(垂直)．
2．求异面直线所成的角
设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，向量夹角为θ，异面直线所成的角为α，则：cosα＝|cosθ|.
3．求直线与平面所成的角
直线的方向向量、平面法向量分别为n1、n2，向量夹角为θ，线面角为α，则sin α＝|cosθ|.
4．求二面角
方法一：平面法向量分别为n1、n2，向量夹角为θ，二面角为α，则|cosα|＝|cosθ|；
方法二：如图，BA、EF分别在半平面内，BA⊥l，EF⊥l，则二面角即为〈，〉．
　　　　　　　　　　　　　
例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
变式1　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．
求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
例2　如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是________．
变式2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．
例3　如图，三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.
(1)证明：DE⊥平面PCD；
(2)求二面角APDC的余弦值．
变式3　如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
(1)证明：B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；
(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．
A级
1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)
A．2 B．－4 C．4 D．－2
2．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)
A．－3或1 B．3或－1
C．－3 D．1
3．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)
A.B.C.D.
4．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为(　　)
A. B.
C.或 D.或
5．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．
6．如图所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，则异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小为________．
7．设ABCD、ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角为________．
B级
8．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A.B.C. D.
10．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．
11．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为______．
12．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于________．
13．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

详解答案
典型例题
例1　证明　方法一　如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
令x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n.又MN?平面A1BD.
∴MN∥平面A1BD.
方法二　∵＝－＝－＝(－)＝，
∴∥，而MN?平面A1BD，DA1?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
变式1　证明　方法一
如图，建立空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，
∵D为BC的中点，
∴D点坐标为(1,1,0)，
∴＝(－2,2,0)，＝(1,1,0)，
＝(0,0，)，
∵·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，
∴⊥，⊥，∴BC⊥AD，BC⊥AA1，
又AD∩AA1＝A，∴BC⊥平面ADA1，
而BC?平面BCC1B1，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
方法二　同方法一，得＝(0,0，)，＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)，
设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1,0)．
由得
令y2＝1，得x2＝1，z2＝，∴n2＝(1,1，)．
∴n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
例2　
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，
设棱长为1，则B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)，D(0,0,0)，＝(－1,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1，－1,0)，
设平面A1BD的一个法向量为n＝(1，x，y)，
设平面A1BD与BC1所成的角为θ，
n⊥，n⊥，所以n·＝0，n·＝0，所以
解得
所以n＝(1，－1，－1)，
则cos〈，n〉＝＝－，
所以sin θ＝，
所以cosθ＝＝.
变式2　
例3　(1)证明　由PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，故PC⊥DE.
由CE＝2，CD＝DE＝得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.
由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD.
(2)解　由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝，如图，过D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝FE＝1，又已知EB＝1，故FB＝2.
由∠ACB＝得DF∥AC，
＝＝，
故AC＝DF＝.
以C为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，P(0,0,3)，A，E(0,2,0)，D(1,1,0)，＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,3)，＝.
设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由n1·＝0，n1·＝0，得
故可取n1＝(2,1,1)．
由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2＝(1，－1,0)．
从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为
cos〈n1，n2〉＝＝，
故所求二面角APDC的余弦值为.
变式3　方法一　如图，以点A为原点，以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．
(1)证明　易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.
(2)解　＝(1，－2，－1)．
设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，
则即
消去x，得y＋2z＝0，
不妨令z＝1，
可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．
由(1)知，B1C1⊥CE，
又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，
故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cos〈m，〉＝＝＝－，
从而sin〈m，〉＝，所以二面角B1－CE－C1的正弦值为.
(3)解　＝(0,1,0)，＝(1,1,1)，
设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，
有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．
可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝＝，
于是＝，解得λ＝(负值舍去)，所以AM＝.
强化提高
1．C　2.A　3.C　4.C
5.
解析　＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．
由n·＝0，n·＝0知
令x＝2，则y＝1，z＝.∴平面ABC的一个法向量为n＝(2,1，)．
平面xOy的一个法向量为＝(0,0,3)．
由此易求出所求二面角的余弦值为.
6.
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0，1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，
B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉|＝
＝＝.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
7．60°
8．A　[建立如图所示的空间直角坐标系，则
P(0,0,1)，C(1，，0)，
＝(1，，－1)，
平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈，n〉＝＝－，所以〈·n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成的角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°.]
9．C　[方法一　补成正方体，利用向量的方法求异面直线所成的角．
由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，可将三棱柱补成正方体．
建立如图(1)所示空间直角坐标系．
设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，
∴＝(1,1,2)－(2,2,0)＝(－1，－1,2)，＝(0,1,2)．
∴cos〈，〉＝
＝＝＝.
方法二　通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解．
如图(2)，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角．设BC＝2，则BM＝綊ND＝，AN＝，AD＝，因此cos∠AND＝＝.]
10.
解析　设AB＝1，则AA1＝2，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则D(0,0,2)，C1(0,1,0)，B(1,1,2)，C(0,1,2)，
＝(1,1,0)，＝(0,1，－2)，＝(0,1,0)，
设n＝(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，
则，即
取n＝(－2,2,1)，
设CD与平面BDC1所成角为θ，
则sin θ＝＝.
11．60°
12.
解析　以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，
E(0,2,1)，
∴＝(－1,0,2)，＝(－1,1,1)，
∴cos〈，〉＝＝.
13．(1)证明　如图，取AB的中点O，连接CO、A1O.∵CA＝CB，∴CO⊥AB，
又∵AA1＝AB，∴AA1＝2AO，
又∠A1AO＝60°，∴∠AOA1＝90°，即AB⊥A1O，∴AB⊥平面A1OC，∴AB⊥A1C.
(2)解　以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，B1(－2，，0)，
则＝(1,0，)，＝(－1，，0)，＝(0，－，)，
设n＝(x，y，z)为平面BB1C1C的法向量，则，所以n＝(，1，－1)为平面BB1C1C的一个法向量，
所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值sin θ＝.

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