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专题15　空间向量及其运算
1．空间向量
(1)空间向量及其表示．
(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb(λ唯一)．
(3)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使p＝xa＋yb.
(4)空间向量基本定理．
2．空间向量的运算
(1)空间向量的线性运算(加、减、数乘)；
(2)空间向量的数量积运算．
3．空间向量运算的坐标表示
向量加、减、数乘、数量积运算的坐标表示；
向量平行、垂直的坐标表示；
模、空间两点间的距离的坐标表示．
例1　已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.
变式1　下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是(　　)
A.＝3－2－
B.＝＋＋
C.＋＋＋＝0
D.＋＋＝0
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．试用、、表示向量.
变式2　如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
例3　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1，5)，C(3,2，－5)．
(1)求△ABC的面积；
(2)求△ABC中AB边上的高．
变式3　如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.求DP与CC′所成角的大小．
A级
1．下列说法中正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
3．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
4．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
5．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.
6．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.
7．已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||的值是________．
B级
8．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为(　　)
A.B．2 C. D.
10．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
11．对于空间中的非零向量、、，有下列各式：
①＋＝；
②－＝；
③||＋||＝||；
④||－||＝||.
其中一定不成立的是________．
12．如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．
13．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，几何体EFG－ABC为三棱台，EG∶AC＝1∶2，若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；
详解答案
典型例题
例1　0
解析　因为＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，＝(2，－2,6)，若A，B，C三点共线，则∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.
变式1　D　[由于M、A、B、C四点共面?＝x＋y＋z(x，y，z∈R)且x＋y＋z＝1，∴选项A、B、C都不正确．由于＋＋＝0?＝－－，所以存在x＝－1，y＝－1，使＝x＋y，∴，，共面．由于M为公共点，∴M、A、B、C四点共面，故选D.]
例2　解　＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋(－＋)
＝＋＋.
变式2　A　[＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c，故选A.]
例3　解　(1)由已知得＝(1，－3,2)，＝(2,0，－8)，∴||＝＝，
||＝＝2，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
cos〈，〉＝
＝＝，
sin〈，〉＝＝.
∴S△ABC＝||·||·sin〈，〉
＝××2×＝3.
(2)设AB边上的高为CD，
则||＝＝3.
变式3　解　如图，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D－xyz.
则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)，连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.
设＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，·＝||·||·cos〈·〉，可得2m＝.解得m＝，所以＝(，，1)．
可得cos〈，〉＝，所以〈，〉＝，即DP与CC′所成角的大小为.
强化提高
1．B　[|a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．]
2．B　[对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．]
3．D　4.A
5．－2或
解析　因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，
又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝··＝，
所以＝6－λ，
解得λ＝－2或.
6．7
7．2
解析　设点P(x，y，z)，则由＝2，
得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，
则解得
即P(－1,3,3)，
则||＝＝＝2.
8．C　[∵＝＋＋，
∴·＝(＋＋)·
＝·＋2＋·
＝0＋12＋0＝1，
又||＝2，||＝1.
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴a与b所成的角是60°.]
9．D
10．C　[＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)，
＝(5,1，－7)，
于是·＝10－3－7＝0，而||＝，
||＝5，所以△ABC是直角三角形．]
11．②
解析　根据空间向量的加减法运算，对于①：＋＝恒成立；对于③：当、、方向相同时，有||＋||＝||；对于④：当、、共线且与、方向相反时，有||－||＝||.只有②一定不成立．
12．90°
解析　不妨设棱长为2，选择基向量{，，}，
则＝－，＝＋.
cos〈，〉
＝
＝＝0.故填90°.
13．证明　＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋，故、、共面．
因为MG不在平面ABFE内，所以GM∥平面ABFE.

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