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专题8　几何概型
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝.
例1　某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟．
(1)求乘客到站候车时间大于10分钟的概率；
(2)求候车时间不超过10分钟的概率；
(3)求乘客到达车站立即上车的概率．
变式1　在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为(　　)
A.B.C.D.
例2　向面积为S的△ABC内任意投一点P，则△PBC的面积小于的概率是多少？
变式2　如右图，在半径为1的半圆内放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，则该点落在正方形内的概率为________．
例3　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率．
变式3　已知正三棱锥S－ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率．
A级
1．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)等于(　　)
A.B.C．πD．2π
2．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)
A.B．1－C.D．1－
3．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)
A.B.C.D.
4．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是(　　)
A.B.C.D.
5．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．
6．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
7．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．
B级
8．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是(　　)
A.B.C.D.
9．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)
A.B．1－C.D．1－
10．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为(　　)
11．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2m的概率为________．
12．如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
13．取一个边长为a的正方形，如图所示，随机地向正方形内丢一粒沙子，求沙子落入阴影部分的概率．
14．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
详解答案
典型例题
例1　解　(1)如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1、T2，T1T2＝15.
设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．
∵T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，
∴P(A)＝＝.
(2)如图所示，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率为＝.
(3)如图所示，当t落在T0T2上时，乘客立即上车，故所求概率为＝＝.
变式1　A　[在AB上截取AC′＝AC.点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D.当点M位于图中线段AC′上时，AM例2　解　如图所示，EF为△ABC的中位线，当点P落在四边形EFCB内时△PBC的面积小于，已知总事件为△ABC的面积S，S四边形EFCB＝S△ABC－S△AEF＝S－＝.
设满足条件的事件为事件A，
则P(A)＝＝＝.
变式2　
解析　S正＝2＝，
S半圆＝π×12＝，
由几何概型的计算公式得所求的概率为
＝＝.
例3　解　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1.
设M－ABCD的高为h，则×S正方形ABCD×h<，
又S正方形ABCD＝1，
∴h<，即点M在正方体的下半部分，
∴所求概率为＝.
变式3　解　在SA、SB、SC上取点A1、B1、C1，使A1、B1、C1分别为SA、SB、SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于.设△ABC的面积为S′，由△ABC∽△A1B1C1且相似比为2，得△A1B1C1的面积为.由题意，得三棱锥S－ABC的体积为S′h，三棱台A1B1C1－ABC的体积为S′h－··＝S′h·.故所求概率为.
强化提高
1．A　[如图，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件(x，y)与圆面x2＋y2<1内的点一一对应，
∴P(A)＝.]
2．B　[点P到点O距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点P到点O的距离大于1”为事件A，
P(A)＝＝1－.]
3．C　[如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.]
4．D　[以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间．∴所求概率P(A)＝＝.]
5.
解析　设圆面半径为R，
如图所示△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·AC·OD＝3·CD·OD
＝3·Rsin60°·Rcos60°＝，
∴P＝＝＝.
6.
解析　以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，
当点P落在阴影部分内时符合要求．
∴P＝＝.
7.
解析　如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为.
8．C　[由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝＝.]
9．B　[当以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝＝1－.]
10．A　[A中P1＝，B中P2＝＝，
C中设正方形边长为2，则P3＝＝，D中设圆直径为2，则P4＝＝.在P1，P2，P3，P4中，P1最大．]
11.
12．0.18
解析　由题意知，这是个几何概型问题，
＝＝0.18，
∵S正＝1，∴S阴＝0.18.
13．解　记“沙子落入阴影部分”为事件A，
则P(A)＝.由题意知，
S阴影部分＝a2－8×(－··)＝a2.∴P(A)＝＝.
14．解　设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率为P(A)＝＝.

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