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专题7　古典概型
1．基本事件的定义
2．古典概型的定义
3．古典概型的适用条件
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
4．古典概型的解题步骤
(1)求出总的基本事件数；
(2)求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式
P(A)＝.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　袋中有红、白、黄、黑颜色大小相同的四个小球．
(1)从中任取一球；
(2)从中一次取两球；
(3)先后各取一球．
写出上面试验的所有基本事件，并指出基本事件的总数．
变式1　有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数．试写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于3”；
(3)事件“出现点数相等”．
例2　下列实验中是古典概型的是(　　)
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
变式2　下列事件中，属于古典概型的序号是________．
①从3名男生和2名女生中抽一名学生参加社区服务活动；②从[0,1]之间任取一个数；③某成绩优秀的同学做一道选择题时从A、B、C、D中选择答案；④毕业会考中，某同学各科成绩均为A.
例3　袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：
(1)事件A：取出的2个球都是白球；
(2)事件B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球．
变式3　一个口袋内装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：
(1)基本事件的总数；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的基本事件有多少个？
(3)摸出2个黑球的概率是多少？
A级
1．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
2．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)
A.B.C.D．1
3．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是(　　)
A.B.C.D.
4．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(　　)
A．0.4B．0.6C．0.8D．1
6．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
B级
8．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为(　　)
A.B.C.D.
9．已知集合A＝{－1,0,1}，点P坐标为(x，y)，其中x∈A，y∈A，记“点P落在第一象限”为事件M，则P(M)等于(　　)
A.B.C.D.
10．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
11．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率是________．
12．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是______；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率是________．
13．某学校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加某项活动的志愿服务工作．
(1)求选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；
(2)求选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率．
14．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n详解答案
典型例题
例1　解　(1)从袋中任取一球，可用取到球的颜色表示试验结果，如“红”表示“取到红球”．这样，所有基本事件包括“红”“白”“黄”“黑”，基本事件总数为4.
(2)一次取两球，如记{红，白}代表一次取出红球、白球两个，则该试验的所有基本事件包括{红，白}，{红，黄}，{红，黑}，{白，黄}，{白，黑}，{黄，黑}，基本事件的总数是6.
(3)先后取两球，如记(红，白)代表先取一红球，后取一白球．因此本试验的基本事件包括(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(黄，黑)，(黑，黄)，基本事件的总数是12.
变式1　解　(1)这个试验的基本事件为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
例2　B
变式2　①
例3　解　设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15种．
(1)从袋中的6个球中任取2个，所取的2个球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取2个的方法总数，共有6种，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
∴取出的2个球全是白球的概率为
P(A)＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取2个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)共8种．∴取出的2个球中1个是白球，另1个是红球的概率为P(B)＝.
变式3　解　(1)∵从装有4个球的口袋中摸出2个球，共有(白，黑1)、(白，黑2)、(白，黑3)、(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑2，黑3)六种情况．∴基本事件总数为6.
(2)“摸出2个黑球”包含的基本事件为(黑1，黑2)、(黑1，黑3)、(黑2，黑3)这3个基本事件．
(3)基本事件总数为6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数为3，故摸出2个黑球的概率为＝.
强化提高
1．B　[掷两颗骰子，点数有以下情况：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，故所求概率为＝.]
2．B　[从袋中任取2个球共有C＝105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.]
3．D　4.B
5．B　[5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为p＝＝0.6.]
6.
解析　用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1,2；2,1；2,4；4,2共4种，故所求的概率为＝.
7.
解析　这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝.
8．C　[由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为＝.]
9．C
10．C　[从4张卡片中任取2张有6种可能，数字之和为奇数的有4种可能，则概率为＝.]
11.
解析　由题意知，基本事件总数为36，事件“点P落在圆x2＋y2＝16内”包含8个基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，
所求概率为P＝＝.
12.　
解析　第二次能打开门说明第一次是从不能打开门的钥匙中取一，第二次是从能打开门的钥匙中取一，第二次打开门这个事件包含的基本事件数为2×2＝4，基本事件总数为4×3＝12，所求概率为P1＝＝.如果试过的钥匙不扔掉，基本事件总数为4×4＝16，所求概率为P2＝＝.
13．解　把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4；2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.从6名同学中任选两名的所有可能结果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5), (2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．
(1)从6名同学中任选两名，都是书法比赛一等奖的所有可能如下：(1,2)，(1,3)，(1,4), (2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．
∴选出的两名志愿者都是书法比赛一等奖的概率是P1＝＝.
(2)从6名同学中任选两名，一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的所有可能如下： (1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个．
∴选出的两名志愿者一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的概率是P2＝.
14．解　(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.
故满足条件n1－P1＝1－＝.

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