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专题1　正弦定理与余弦定理
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1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.
2．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
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例1　已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　)
A. B．2
C. D.
变式1　在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C的大小为________．
例2　已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则C的大小为________．
变式2　在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.
例3　在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
变式3　在△ABC中，若2cos BsinA＝sin C，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
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A级
1．在△ABC中，若b＝5，B＝，sin A＝，则a为(　　)
A．2 B.
C. D．5
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为(　　)
A. B.
C.或 D.或
3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
4．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sinB∶sinC等于(　　)
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3
C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
5．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.
7．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
B级
8．在△ABC中，若sin 2A＋sin 2BA．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
9．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB等于(　　)
A．2 B. C.D．4
10．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA等于(　　)
A. B. C．－ D．－
11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.
12．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝，则sin B＝________.
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
详解答案
典型例题
例1　D　[由正弦定理得＝，
∴sin C＝＝＝，
∵c∴A＝180°－120°－30°＝30°.
∴a＝c＝.]
变式1　
解析　利用正弦定理及三角形内角和性质求解．
在△ABC中，由正弦定理可知＝，
即sin B＝＝＝.
又∵a>b，∴B＝.∴C＝π－A－B＝.
例2　120°
解析　∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
∴a2＋b2－c2＝－ab，即＝－，
∴cosC＝－，∴C＝120°.
变式2　4
解析　将b＋c＝7变形为c＝7－b后，利用余弦定理求解．
在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accos B及b＋c＝7知，
b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，整理得15b－60＝0.∴b＝4.
例3　B　[由正弦定理知：＝＝，
∴tan A＝tan B＝tan C，
∴A＝B＝C，故三角形为等边三角形．]
变式3　C　[∵2cos BsinA＝sin C＝sin(A＋B)，∴sin AcosB－cosAsinB＝0，
即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]
强化提高
1．A　[由正弦定理得＝，a＝2.]
2．A　[∵a2＋c2－b2＝ac，
∴cosB＝＝＝，
∴B＝.]
3．B　[由bcosC＋ccosB＝asinA，得
sin BcosC＋sin CcosB＝sin2A，
即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由04．B　[∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴＝＝.令＝＝＝k (k>0)，
则解得
∴sin A∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.]
5．A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋B ( http: / / www.21cnjy.com )C2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]
6.
解析　由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcos 30°＝.
7．7
解析　∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
8．C　[由正弦定理可知a2＋b2从而cosC＝<0，
∴C为钝角，故该三角形为钝角三角形．]
9．C　[∵tan A＝，A∈(0°，180°)，
∴sin A＝.
由正弦定理知＝，
∴AB＝＝＝.]
10．C　[设BC边上的高AD交BC于点D ( http: / / www.21cnjy.com )，由题意B＝，BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝＝－3，所以cosA＝－.]
11.
解析　在△ABC中由cos ( http: / / www.21cnjy.com )A＝，cosC＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin AcosC＋cosA·sinC＝，由正弦定理得b＝＝.
12.
解析　方法一　利用余弦定理求出c的长度，再利用等腰三角形的性质作出高线，利用直角三角形求出sin B.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得
c2＝1＋4－2×1×2×＝4，
∴c＝2，故△ABC为等腰三角形．
如图所示，过点A作BC的高线AE，在Rt△ABE中，
AE＝
＝＝，
∴sin B＝＝＝.
方法二　利用正、余弦定理及同角三角函数基本关系式求解．
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得
c2＝1＋4－2×1×2×＝4，∴c＝2.
∵cosC＝，∴sin C＝＝.
又由正弦定理＝得
sin B＝＝sin C＝.
13．解　(1)由bsinA＝acosB及正弦定理＝，得sin B＝cosB.
所以tan B＝，所以B＝.
(2)由sin C＝2sin A及正弦定理＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得9＝a2＋c2－ac.所以a＝，c＝2.
14．解　(1)由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.①
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以cosA＝－，故A＝120°.
(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin BsinC，
又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝.
因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.
所以△ABC是等腰的钝角三角形．

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