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专题2　正弦定理与余弦定理的应用
1．实际问题中的常用角：
(1)仰角和俯角；
(2)方位角；
(3)方向角．
2．三角形面积公式：
(1)S＝ah(h表示a边上的高)；
(2)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB.
例1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝2，cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.
变式1　在△ABC中，若a＝2，C＝，cosB＝，求△ABC的面积S.
例2　
如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D间的距离(计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449)．
变式2　如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为______．
例3　A，B，C是海面上三点，B点北偏西60°且距离B点10海里的A点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达A点需要多长时间？
变式3　如图所示，一架飞机从A地飞到B地，两地相距700 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700 km远了多少？
A级
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为(　　)
A. B.
C. D.
2．若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则角A的对边长为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为(　　)
A．40 B．20
C．40 D．20
4．小红向正东方向走x千米后，她向右转150°，然后朝新方向走3千米，结果她离出发点恰好千米，那么x的值为(　　)
A. B．2
C.或2 D．3
5．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______．
6．已知三角形的三边为a，b，c面积S＝a2－(b－c)2，则cosA＝________.
7．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
B级
8．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为(　　)
A．15 m B．5 m
C．10 m D．12 m
9．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为(　　)
A. B.
C. D.
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
11．在△ABC中，若sin A∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则∠B＝__________.
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cosB＝，则角A的大小为________．
13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，B＝，cosA＝，b＝.
(1)求sin C的值；
(2)求△ABC的面积．
详解答案
典型例题
例1　解　由正弦定理及＝2，得c＝2a.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B及cosB＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×，
解得a＝1.从而c＝2.
又因为cosB＝，且0变式1　解　因为cosB＝，所以sin B＝，
又C＝，sin A＝sin(B＋C)＝，
由正弦定理，得c＝＝，
故S＝acsinB＝.
例2　解　在△ACD中，∠DAC＝30°，
∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，
所以BD＝BA.
在△ABC中，＝，
所以AB＝＝，
即BD＝≈0.33(km)．
故B、D间的距离约为0.33 km.
变式2　
解析　sin∠BAC＝sin(＋∠BAD)
＝cos∠BAD，
∴cos∠BAD＝.
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝(3)2＋32－2×3×3×，
即BD2＝3，BD＝.
例3　解　在△ABC中，∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，AB＝10，BC＝20，
由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴AC＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．所以救援船到达A点需要1小时．
变式3　解　在△ABC中，AB＝700 km，∠ACB＝180°－21°－35°＝124°，
根据正弦定理，＝＝，
AC＝，BC＝，
AC＋BC＝＋≈786.89 (km)，
786．89－700＝86.89 km.
答　路程比原来远了约86.89 km.
强化提高
1．A　[由余弦定理得
cos∠BAC＝＝＝－，∴∠BAC＝.]
2．C　[∵a＋b＋c＝20，∴b＋c＝20－a，
即b2＋c2＋2bc＝400＋a2－40a，
∴b2＋c2－a2＝400－40a－2bc，①
又cosA＝＝，
∴b2＋c2－a2＝bc.②
又S△ABC＝bc·sinA＝10，
∴bc＝40.③
由①②③可知a＝7.]
3．A　[设另两边长为8x,5x，
则cos 60°＝，解得x＝2.
两边长是16与10，
三角形的面积是×16×10×sin 60°
＝40.]
4．C　[由余弦定理得()2＝x2＋32－2×x×3×cos 30°，解得x＝或2.]
5．60 m
解析　在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.
∴AC＝AB＝120(m)．
作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．
由正弦定理得
＝，
∴＝，∴CD＝60(m)
∴河的宽度为60 m.
6.
解析　S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc
＝－2bccos A＋2bc，
∵S＝bcsinA，∴bcsinA＝2bc－2bccos A．即4－4cos A＝sin A.
平方得：17cos2A－32cos A＋15＝0.
即(17cos A－15)(cosA－1)＝0.
得cosA＝1(舍)或cosA＝.
7.
解析　由已知条件和正弦定理得3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝，c＝2a－b＝，
cosC＝＝－，
又08．C　[如图，设塔高为h，
在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，
则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，
则OD＝h.
在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，
由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，
即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．即塔高为10 m．]
9．D　[设AB＝a，∴AD＝a，BD＝，BC＝2BD＝，cosA＝＝＝，∴sin A＝＝.
由正弦定理知sin C＝·sin A＝×＝.]
10.
解析　在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴cosC＝，∴sin C＝，
在△ADC中，由正弦定理得，
＝，∴AD＝×＝.
11.
解析　由正弦定理知
sin A∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝5∶7∶8，
可设a＝5k，b＝7k，c＝8k，
cosB＝＝＝.
又∵B∈(0，π)，∴B＝.
12.
解析　∵sin B＋cosB＝sin＝，∴sin＝1.
又∵0由正弦定理，得
sin A＝＝＝.
又∵a13．解　(1)因为角A、B、C为△ABC的内角，且B＝，cosA＝，
所以C＝－A，sin A＝.
于是sin C＝sin＝cosA＋sin A＝.
(2)由(1)知sin A＝，sin C＝.
又因为B＝，b＝，所以在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.
于是△ABC的面积S＝absinC
＝×××＝.

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