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专题4　等差数列
1．等差数列
(1)概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)．
(2)递推关系：an＋1－an＝d.
2．等差数列的通项公式
an＝a1＋(n－1)d.
3．等差数列的主要性质
(1)an－am＝(n－m)d(m，n∈N*)；
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq；
(3)等差数列{an}中，kn∈N*，且{kn}也是等差数列，则{akn}是等差数列．
4．等差数列的前n项和公式
Sn＝＝na1＋.
5．等差数列前n项和Sn的性质
(1)Sn存在最大值或最小值；
(2)在等差数列{an}中，前n项和设为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…依次成等差数列；
(3)记等差数列{an}的前偶数项和为S偶，数列前奇数项和为S奇．
当项数为2n时，则有S偶－S奇＝d；
当项数为2n－1时，则有S2n－1＝(2n－1)an.
6．等差数列与函数的关系
(1)等差数列{an}的图象：均匀地分布在相应函数y＝dx＋(a1－d)图象上的一群点，d的几何意义是相应直线的斜率；
(2)等差数列{an}的前n项和Sn的图象：当d≠0时，是分布在相应函数y＝x2＋(a1－)x图象上的一群点．
例1　已知等差数列{an}中：
(1)a6＝10，S5＝5，求a8；
(2)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am.
变式1　若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
例2　(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
(2)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于(　　)
A．58 B．88 C．143 D．176
变式2　(1)已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.
(2)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
例3　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
变式3　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差小于零，a7a8<0且|a7|>|a8|，求满足Sn<0的n的最小值．
A级
1．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于(　　)
A．100 B．99 C．98 D．97
2．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
3．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(　　)
A．－1 B．1 C．3 D．7
4．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于(　　)
A．5 B．8
C．10 D．14
5．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
6．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
7．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
B级
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于(　　)
A．38 B．20 C．10 D．9
9．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于(　　)
A.B. C．10 D．12
10．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是(　　)
A．S9>S5
B．d<0
C．a7＝0
D．S6与S7均为Sn的最大值
11．在等差数列{an}中，a1>0，a5＝3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n＝________.
12．若{an}是等差数列，首项a1>0，a23＋a24>0，a23·a24<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是________．
13．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
详解答案
典型例题
例1　解　(1)由题意：，
解得a1＝－5，d＝3，
所以a8＝－5＋(8－1)×3＝16；
(2)Sm＝m·＋·＝－15，整理得m2－7m－60＝0，
解得m＝12或m＝－5(舍去)，
故am＝＋(12－1)×＝－4.
变式1　解　由题意知，
∴解得
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{an}的通项公式an＝2n.
例2　(1)20
解析　设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，∴3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝20.
(2)B　[根据等差数列的前n项和公式和性质求解．
S11＝＝＝88.]
变式2　(1)15
解析　∵{an}为等差数列，∴a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15.
(2)13
解析　设等差数列{an}的公差为d，
则由已知，得
解得所以a6＝a1＋5d＝13.
例3　解　方法一　利用前n项和公式和二次函数性质．
由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，
所以Sn＝25n＋(n－1)×(－2)＝－(n－13)2＋169，由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二　先求出d＝－2，因为a1＝25>0，
由　得
所以当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
方法三　由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.
由方法一知d＝－2<0，
又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，
故当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
变式3　解　方法一　由d<0，a7a8<0，知a7>0，a8<0，
又|a7|>|a8|，即a7>－a8，即a7＋a8>0，
S14＝＝7(a7＋a8)>0，
S13＝13a7>0，S15＝15a8<0，
故满足Sn<0的n的最小值为15.
方法二　由d<0，a7>0，a8<0，
a7＋a8>0，可得－7<<－6.5，
Sn＝n2＋(a1－)n，
对称轴为x＝－＝－∈(7,7.5)，
由于Sn＝n2＋(a1－)n相应的二次函数过原点，故此函数的另一个零点在(14,15)内，故S14>0，S15<0.
故满足Sn<0的n的最小值为15.
方法三　同方法二．可得－7<<－6.5，
由Sn<0，得n>1－，而1－∈(14,15)，故n≥15.
故满足Sn<0的n的最小值为15.
强化提高
1．C　[由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，
因此公差d＝＝1，
∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.]
2．C　[由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.]
3．B　[由已知得a1＋a3＋a5＝3a3＝105，
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，
∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2.
∴a20＝a3＋17d＝35＋(－2)×17＝1.]
4．B　[方法一　设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
方法二　由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.]
5．20
解析　设等差数列{an}公差为d，由题意可得：
解得
则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.
6．110
解析　设首项为a1，公差为d，
∴
由②得2a1＋19d＝2.③
③－①×2得15d＝－30，
∴d＝－2，∴a1＝16－2d＝20.
∴S10＝10a1＋×10×9d＝200－90＝110.
7．6
解析　∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.
又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.
∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.
8．C　[因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，
由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，
由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，
又S2m－1＝38，即＝38，
即(2m－1)×2＝38，解得m＝10，故选C.]
9．B　[∵公差为1，
∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，
S4＝4a1＋6.
∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，
∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故选B.]
10．A　[由S50.
又S6＝S7?a7＝0，所以d<0.
由S7>S8?a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0即S911．7或8　12.46
13．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n，
所以Sn＝＝2n－n2.
由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N*，故k＝7.

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