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专题5　等比数列
　　　　　　　　　　　　　　
1．等比数列
(1)概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比(常用字母“q”表示)．
(2)递推关系：＝q.
2．等比数列的通项公式
an＝a1·qn－1.
3．等比数列的主要性质
(1)an＝am·qn－m(m，n∈N*)；
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq；
(3)等比数列{an}中，kn∈N*，且{kn}是等差数列，则{akn}也是等比数列．
4．等比数列的前n项和公式
当q≠1时，Sn＝＝；
当q＝1时，Sn＝na1.
5．等比数列与指数函数的关系
等比数列{an}的通项公式an＝a1·qn－1，它的图象是分布在曲线y＝qx(q>0)上的一些孤立的点．
当a1>0，q>1时，等比数列{an}是递增数列；
当a1<0,0当a1>0,0当a1<0，q>1时，等比数列{an}是递减数列．
例1　已知等比数列{an}中：
(1)a1＝，an＝，q＝，求n；
(2)S3＝，S6＝，求an.
变式1　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于(　　)
A.B．－C. D．－
例2　(1)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.
(2)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
变式2　(1)正项等比数列{an}中，a1a3＋a3a5＋2a2a4＝36，则a2＋a4等于(　　)
A．6 B．10 C．20 D．15
(2)等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n，设bn＝an－1.求证：数列{bn}是等比数列．
变式3　已知数列{an}的前n项和Sn＝a(bn－1)(a≠0，b≠0且b≠1)，证明：{an}是等比数列．
A级
1．等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　)
A．11 B．5 C．－8 D．－11
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)
A．31 B．32 C．63 D．64
4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为(　　)
A.或5 B.或5 C.D.
5．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
6．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝______，S5＝______.
7．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．
B级
8．已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是(　　)
A．a1＋a3≥2a2
B．a＋a≥2a
C．若a1＝a3，则a1＝a2
D．若a3>a1，则a4>a2
9．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
10．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　)
A．90 B．70 C．40 D．30
11．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.
12．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝________.
13．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(＋)，a3＋a4＋a5＝64(＋＋)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋)2，求数列{bn}的前n项和Tn.
详解答案
典型例题
例1　解　(1)由an＝a1·qn－1得＝·()n－1，即()n－1＝()3，得n＝4.
(2)S6≠2S3，故q≠1，
∴
由②÷①，得1＋q3＝9，解得q＝2，
将q＝2代入①，得a1＝，
故an＝a1·qn－1＝2n－2.
变式1　C　[设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.]
例2　(1)
解析　利用等比数列的性质求解．
∵数列{an}为等比数列，
∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a.
∴a1aa5＝a＝.
(2)B　[利用等比数列的性质和通项公式求解．∵a3·a11＝16，∴a＝16.
又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.
又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.故选B.]
变式2　(1)A
(2)C　[∵a3a11＝a＝4a7，
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，
∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.]
例3　证明　易求a1＝，由已知得，an＋Sn＝n①
an－1＋Sn－1＝n－1(n≥2)②
两式作差，得an＝an－1＋(n≥2)③
于是bn＋1＝an＋1－1＝an－＝(an－1)＝bn(n≥1)，
又b1＝a1－1＝－≠0，故数列{bn}是等比数列．
变式3　证明　a1＝S1＝a(b－1)；
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a(bn－1)－a(bn－1－1)＝abn－1(b－1)．
a1＝a(b－1)也适合上式，故an＝abn－1(b－1)，
∴＝＝b，所以{an}是等比数列．
强化提高
1．C　[在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.
又∵am＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.]
2．D　[由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则＝＝－11.]
3．C　[在等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列，
故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，
则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.]
4．C　[若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6得9×＝，解得q＝2.
故an＝a1qn－1＝2n－1，＝()n－1.
所以数列{}是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为
S5＝＝.]
5．2
解析　根据题意得
∴∴q＝＝＝2.
6．1　121
解析　由解得a1＝1，a2＝3，
当n≥2时，由已知可得：
an＋1＝2Sn＋1，①
an＝2Sn－1＋1，②
①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，
∴{an}是以a1＝1为首项，以q＝3为公比的等比数列．
∴S5＝＝121.
7．2n－1
解析　由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程解得或又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.
∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.
8．B　[设{an}的首项为a1，公比为q，则a2＝a1q，a3＝a1q2.
∵a1＋a3＝a1(1＋q2)，又1＋q2≥2q，
当a1>0时，a1(1＋q2)≥2a1q，即a1＋a3≥2a2；
当a1<0时，a1(1＋q2)≤2a1q，即a1＋a3≤2a2，
故A不正确．
∵a＋a＝a(1＋q4)，又1＋q4≥2q2且a>0，∴a＋a≥2a.故B正确．
若a1＝a3，则q2＝1.∴q＝±1.
当q＝1时，a1＝a2；当q＝－1时，a1≠a2.故C不正确．
D项中，若q>0，则a3q>a1q，即a4>a2；若q<0，则a3q9．B　[设公比为q，若q＝1，则＝2，
与题中条件矛盾，故q≠1.
∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.
∴＝＝qm＝8＝，
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.]
10．C　[∵S30≠3S10，∴q≠1.
由得
∴
∴q20＋q10－12＝0.
∴q10＝3，
∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.]
11.
解析　方法一　S4＝S2＋a3＋a4＝3a2＋2＋a3＋a4＝3a4＋2，将a3＝a2q，a4＝a2q2代入得，3a2＋2＋a2q＋a2q2＝3a2q2＋2，
化简得2q2－q－3＝0，
解得q＝(q＝－1不合题意，舍去)．
方法二　设等比数列{an}的首项为a1，由S2＝3a2＋2，得a1(1＋q)＝3a1q＋2.①
由S4＝3a4＋2，得a1(1＋q)(1＋q2)＝3a1q3＋2.②
由②－①得a1q2(1＋q)＝3a1q(q2－1)．
∵q>0，∴q＝.
12．2n
解析　由已知数列{an}的前三项分别为2,2q,2q2.又(2q＋1)2＝3(2q2＋1)，整理得2q2－4q＋2＝0，解得q＝1，Sn＝2n.
13．解　(1)设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，由已知有
化简得
又a1>0，故q＝2，a1＝1.所以an＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝(an＋)2＝a＋＋2＝4n－1＋＋2.
因此Tn＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋＋…＋)＋2n＝＋＋2n
＝(4n－41－n)＋2n＋1.

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