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专题6　不等关系与不等式
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1．实数的基本性质
a>b a－b>0；
a＝b a－b＝0；
a2．不等式的基本性质
(1)a>b b(2)a>b，b>c a>c；
(3)a>b a＋c>b＋c.
推论：a＋b>c a>c－b；
(4)a>b，c>0 ac>bc；
a>b，c<0 ac(5)a>b，c>d a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0 ac>bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥1 an>bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2 >.
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例1　对于实数a，b，c，有下列命题：
①若a>b，则ac②若ac2>bc2，则a>b；
③若aab>b2；
④若a>b，ab>0，则<；
⑤若c>a>b>0，则>.
其中真命题的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1　判断下列命题的真假：
(1)若a>b，则<；
(2)若a(3)若ac－3>bc－3，则a>b；
(4)若a>b，k∈N*，则ak>bk；
(5)若a>b，b>c，则a－b>b－c.
例2　比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
变式2　已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
例3　已知奇函数f(x)在(－∞，＋∞) ( http: / / www.21cnjy.com )上是减函数，x1，x2，x3∈R且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x1＋x3>0.证明：f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
变式3　已知a>b>0，证明：a－>b－.
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A级
1．若a>b>0，cA.> B.<
C.> D.<
2．已知a、b为非零实数，且aA．a2C.< D.<
3．已知α，β满足：－<α<β<，则α－β的范围是(　　)
A．－π<α－β<0 B．－π<α－β<π
C．－<α－β<0 D．－<α－β<
4．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．ab>ac B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
5．(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小关系为______________________________________．
6．设a<0，－17．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．
B级
8．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为(　　)
A．MC．M>N D．M≥N
9．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.
10.和(a>b，a，b，m∈R＋)的大小关系是__________．
11．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，真命题的个数是________．
12．已知a>b>0，c.
13．设函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)．证明：ab<1.
详解答案
典型例题
例1　C　[①反例：c＝0时结论不成立．
②由ac2>bc2，知c2≠0，故c2>0，所以a>b.
③由 a2>ab， ab>b2，故a2>ab>b2.
④由ab>0，知>0，故a·>b·，即<.
⑤a>b，得－a<－b，得c－aa，故0于是>>0，又a>b>0，所以>.]
变式1　解　都是假命题．
例2　解　∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0.
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
(步骤：作差—变形—判号—结论)
变式2　解　∵＋－(＋)＝(－)＋(－)＝＋
＝(a－b)(－)＝(a－b)
＝(＋)(－)
＝(＋)≥0.
∴＋≥＋.
例3　证明　由x1＋x2>0，得x1>－x2，
又f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，故f(x1)又f(x)为奇函数，所以f(x1)<－f(x2)，
即f(x1)＋f(x2)<0.
同理，f(x1)＋f(x3)<0，f(x2)＋f(x3)<0，
所以2[f(x1)＋f(x2)＋f(x3)]<0，
即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
变式3　证明　可以利用作差法证明，也可以利用函数单调性证明．
令f(x)＝x－(x>0)，由y＝x及y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，
知f(x)＝x－在(0，＋∞)上是增函数，故a>b>0时，有f(a)>f(b)，即a－>b－.
强化提高
1．B　[方法一　令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，排除选项C，D；
又＝－，＝－，
所以<，所以选项A错误，选项B正确．故选B.
方法二　因为c－d>0，所以>>0.
又a>b>0，所以>，所以<.故选B.]
2．C
3．A　[由－<α<β<，知－<α<①
－<－β<②
所以－π<α－β<π.
又α<β，故α－β<0，所以－π<α－β<0.]
4．A　[由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0， ab>ac.]
5．(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2　6.a7．解　(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)
＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.
∵x≠0，∴x2>0，从而(x2＋1)2>x4＋x2＋1.
8．C
9．A　[特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，
则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，
∴最大的数应是a1b1＋a2b2.]
10.<　11.3
12．证明　ca－c>b－d>0 >.
13．证明　由题意，得|lga|>|lgb|，
所以(lga)2>(lgb)2，
所以(lga)2－(lgb)2＝(lga＋lgb)(lga－lgb)＝lglg(ab)>0，
∵0∴lg<0，
∴lg(ab)<0，∴ab<1.