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专题7　一元二次不等式及其解法
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1．三个“二次”之间的联系
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax ( http: / / www.21cnjy.com )2＋bx＋c<0(其中a>0)与相应的一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)之间的关系：
( http: / / www.21cnjy.com / )
2.解一元二次不等式的步骤
(1)变形(二次项系数化为正数，另一边为零)；
(2)判号(确定判别式Δ＝b2－4ac的符号)；
(3)求根(解相应的一元二次方程)；
(4)画图(画出相应二次函数的图象)；
(5)定解集(根据图象写出不等式的解集)．
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例1　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
变式1　解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.
例2　已知不等式(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R，求m的取值范围．
变式2　若不等式mx2－2x＋1－m<0对满足－2≤m≤2的所有m都成立，求实数x的取值范围．
例3　已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．
变式3　已知关于x的不等式x2－mx＋n≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数m，n的值．
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A级
1．不等式2x2－x－1>0的解集是(　　)
A.
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D.∪(1，＋∞)
2．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>1}，则f(x)>0的解集为(　　)
A．{x|x<－1或x>1}
B．{x|－1C．{x|x≤－1或x≥1}
D．以上都不对
3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的值的集合是(　　)
A．{a|0C．{a|04．若00的解集是(　　)
A. B.
C. D.
5．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．
6．函数y＝的定义域为R，则k的取值范围是________．
7．用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？
B级
8．不等式≥2的解集是(　　)
A．[－3，] B．[－，3]
C．[，1)∪(1,3] D．[－，1)∪(1,3]
9．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是(　　)
A．(－，) B．(－2,0)
C．(－2,1) D．(0,1)
10．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A．13
C．12
11．关于x的不等式>1对一切实数x恒成立，则k的取值范围是________．
12．若关于x的不等式(2x－1)213．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a ( http: / / www.21cnjy.com )，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)详解答案
典型例题
例1　解　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0.
∵a2－a＝a(a－1)．
∴当a<0或a>1时，aa2}．
当0a}．
当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．
综上知，当a<0或a>1时，
不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0或1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．
变式1　解　不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论．
(1)当a＝0时，原不等式化为x－2<0，解集为{x|x<2}；
(2)当a<0时，由于2>，原不等式化为(x－2)(x－)<0，解集为{x|(3)当00，解集为{x|x<2或x>}；
(4)当a＝1时，原不等式化为(x－2)2>0，解集为{x|x≠2}；
(5)当a>1时，由于2>，原不等式化为(x－2)(x－)>0，解集为{x|x<或x>2}．
综上所述，原不等式的解集为：
当a＝0时，解集为{x|x<2}；
当a<0时，解集为{x|当0}；
当a＝1时，解集为{x|x≠2}；
当a>1时，解集为{x|x<或x>2}．
例2　解　①m＝2时，不等式4>0恒成立，故m＝2适合题意；
②m≠2时，y＝(m－2)x2＋2(m－2)x＋4为二次函数，
∵二次函数的值恒大于零，即(m－2)x2＋2(m－2)x＋4>0的解集为R.
∴，即，
解得：.∴m的取值范围为(2,6)．
综上，m的取值范围为[2,6)．
变式2　解　已知不等式可化为(x2－1)m＋(1－2x)<0.
设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)， ( http: / / www.21cnjy.com )这是一个关于m的一次函数(或常数函数)，从图象上看，要使f(m)<0在－2≤m≤2时恒成立，其等价条件是：
，
即解得所以，实数x的取值范围是.
例3　解　由题意知，2,3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，
∴，即.
代入不等式cx2－bx＋a>0得：6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．
即6x2＋5x＋1<0，
∴所求不等式的解集为{x|－变式3　解　∵不等式x2－mx＋n≤0的解集是{x|－5≤x≤1}．
∴x1＝－5，x2＝1是x2－mx＋n＝0的两个实数根，∴由根与系数的关系知：
，∴.
强化提高
1．D　[∵2x2－x－1 ( http: / / www.21cnjy.com )＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，∴不等式的解集为∪(1，＋∞)．]
2．B
3．D　[a＝0时符合题意，a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|04．D　[∵01，∴>t.
∴(t－x)(x－)>0 (x－t)(x－)<0 t5．k≤2或k≥4
解析　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
6．[0,4)
解析　kx2＋kx＋1>0恒成立．
k＝0适合题意；k≠0时，有
∴07．解　设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，0由题意，得x(50－x)>600，即x2－50x＋600<0.解得20所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．
8．D　[≥2
所以x∈[－，1)∪(1,3]．]
9．C　10.B　11.(3，＋∞)
12.
解析　原不等式可化为(4－a)x2－4x＋1<0①，由于原不等式的解集中的整数恰有3个，所以
即0又<<，所以解集中的3个整数必为1,2,3，所以3<≤4，解得13．9
解析　通过值域求a，b的关系是关键．
由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.
∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.∴f(x)＝2.
又∵f(x)即－－∴
②－①，得2＝6，∴c＝9.

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