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专题8　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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1．二元一次不等式(组)与平面区域
在平面直角坐标系中，
二元一次不等式Ax＋By＋C>0，表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域(把直线画成虚线，表示区域不包括边界)；
二元一次不等式Ax＋By＋C≥0，表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域(把直线画成实线，表示区域包括边界)．
由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所 ( http: / / www.21cnjy.com )有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负即可判断Ax＋By＋C>0表示直线哪一侧的平面区域．(特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点)．
2．简单的线性规划问题
(1)线性目标函数：
关于x、y的一次解析式z＝ax＋by，叫线性目标函数．
(2)线性规划问题：
一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．
(3)可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解．
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例1　如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为(　　)
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变式1　△ABC的三个顶点坐标为A(3，－ ( http: / / www.21cnjy.com )1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是__________________．
例2　若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是(　　)
A．－ B．0
C. D.
变式2　已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于(　　)
A．3 B．2 C．－2 D．－3
例3　已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，则的最大值是________．
变式3　如果方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数a2＋b2的范围是________．
INCLUDEPICTURE "F:\\实习期文件\\寒假作业数学高二\\数学高二寒假作业（必修5、选修2-1）(理)\\强化提高.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/强化提高.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/强化提高.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/强化提高.TIF" \* MERGEFORMATINET
A级
1．若x，y满足则2x＋y的最大值为(　　)
A．0 B．3 C．4 D．5
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为(　　)
A．－4 B．6 C．10 D．17
3．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象过区域M的a的取值范围为(　　)
A．[1,3] B．[2，]
C．[2,9] D．[，9]
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
( http: / / www.21cnjy.com / )
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为(　　)
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
6．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
7．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
B级
8．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
9．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是(　　)
A.B. C. D.
10．设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
11．给定区域D：.令点集T＝{(x0， ( http: / / www.21cnjy.com )y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．
12．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
13．若直线y＝kx＋1与 ( http: / / www.21cnjy.com )圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且P、Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是多少？
详解答案
典型例题
例1　B　[不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组(Ⅰ)
或不等式组(Ⅱ)分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.]
变式1　
解析　如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0，
直线AC的方程为2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，
INCLUDEPICTURE "F:\\实习期文件\\寒假作业数学高二\\数学高二寒假作业（必修5、选修2-1）(理)\\H11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/H11.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/H11.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/H11.TIF" \* MERGEFORMATINET
把(0,0)代入2x＋y－5＝0，得－5<0，所以AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
同理可得△ABC区域(含边界)为
例2　C　[画出可行域如图．
设z＝x＋2y，平行移动直线y＝－x＋z，当直线y＝－x＋过点M时，z取最大值.]
变式2　B　[不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
易知A(2,0)，
由得B(1,1)．
由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.
∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y ( http: / / www.21cnjy.com )在O(0,0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，
∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B.]
例3　7
解析　条件5c－3a≤b≤4c－a，
可化为，
设＝x，＝y，则题目转化为：已知x，y满足，求的最大值．
作出(x，y)所在平面区域，可求得的最大值为7.
变式3　
解析　令f(x)＝x2＋ax＋b， ( http: / / www.21cnjy.com )由题意，得f(1)＝1＋a＋b<0，a2＋b2表示点(a，b)到原点距离的平方．原点(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离是，故a2＋b2的最小值是.
强化提高
1．C　[
INCLUDEPICTURE "F:\\实习期文件\\寒假作业数学高二\\数学高二寒假作业（必修5、选修2-1）(理)\\16L26.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/16L26.tif" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/16L26.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/16L26.tif" \* MERGEFORMATINET
不等式组表示的可行域如图中阴影部分 ( http: / / www.21cnjy.com )所示．令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，
由得所以A点坐标为(1,2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.]
2．B　[由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y＝－x，
INCLUDEPICTURE "F:\\实习期文件\\寒假作业数学高二\\数学高二寒假作业（必修5、选修2-1）(理)\\16W117.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/16W117.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/16W117.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/16W117.TIF" \* MERGEFORMATINET
平移该直线，易知经过点A时z最小．
又知点A的坐标为(3,0)，
∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.]
3．C
4．A　[作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向左上、右下平移．
INCLUDEPICTURE "F:\\实习期文件\\寒假作业数学高二\\数学高二寒假作业（必修5、选修2-1）(理)\\H15.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/H15.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/H15.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/H15.TIF" \* MERGEFORMATINET
由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．
由解得A(2,0)；
由解得B.
∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.
∴z＝3x－y的取值范围是.]
5．B　[设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知求目标函数z＝x＋0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．
INCLUDEPICTURE "F:\\实习期文件\\寒假作业数学高二\\数学高二寒假作业（必修5、选修2-1）(理)\\263.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/263.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/263.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/263.TIF" \* MERGEFORMATINET
当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．]
6．－4
解析　如图，曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，
INCLUDEPICTURE "F:\\实习期文件\\寒假作业数学高二\\数学高二寒假作业（必修5、选修2-1）(理)\\G93.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/G93.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/G93.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/G93.TIF" \* MERGEFORMATINET
令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2 ( http: / / www.21cnjy.com )x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－1,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－1)－2＝－4.
7.
解析如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．
又D(0,1)，B(0,2)，
E，C(－2,0)．
S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.
8．B　[画出可行域如图阴影部分所示．
∵直线过(5,0)点，故只有1个公共点(5,0)．]
INCLUDEPICTURE "F:\\实习期文件\\寒假作业数学高二\\数学高二寒假作业（必修5、选修2-1）(理)\\A124.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/A124.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/A124.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/A124.TIF" \* MERGEFORMATINET
9．A　[不等式组表示的平面区域如图所示．
INCLUDEPICTURE "F:\\实习期文件\\寒假作业数学高二\\数学高二寒假作业（必修5、选修2-1）(理)\\W352.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/W352.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/W352.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/W352.TIF" \* MERGEFORMATINET
由于直线y＝kx＋过定点.
因此只有直线过AB中点时，
直线y＝kx＋能平分平面区域．
因为A(1,1)，B(0,4)，
所以AB中点D.
当y＝kx＋过点时，
＝＋，
所以k＝.]
10．C　[当m≥0时，若 ( http: / / www.21cnjy.com )平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m<0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．
要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得m<－.]
11．6
解析　线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)(4,0)，故共可确定6条．
INCLUDEPICTURE "F:\\实习期文件\\寒假作业数学高二\\数学高二寒假作业（必修5、选修2-1）(理)\\K87.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/K87.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/K87.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/K87.TIF" \* MERGEFORMATINET
12．2
解析　由画出可行域如图，
INCLUDEPICTURE "F:\\实习期文件\\寒假作业数学高二\\数学高二寒假作业（必修5、选修2-1）(理)\\H17.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/H17.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/H17.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/H17.TIF" \* MERGEFORMATINET
由z＝kx＋y即y＝－kx＋z的最大值为12，知直线y＝－kx＋12必过点M(4,4)．
∴k＝2.
13．解　P、Q关于直线x＋y＝0对称，故PQ与直线x＋y＝0垂直，直线PQ即为直线y＝kx＋1，故k＝1；
又线段PQ为圆x2＋y2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋kx＋my－4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即为直线x＋y＝0，又圆心为(－，－)，∴m＝－k＝－1，
∴不等式组为，
INCLUDEPICTURE "F:\\实习期文件\\寒假作业数学高二\\数学高二寒假作业（必修5、选修2-1）(理)\\H18.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/H18.TIF" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/H18.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H://必修5、选修2-1（理）/H18.TIF" \* MERGEFORMATINET
它表示的区域如图所示，直线x－y＋1＝0与x＋y＝0的交点为(－，)，∴S△＝×1×＝.故面积为.

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