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专题9　基本不等式
　　　　　　　　　　　　　
1．重要不等式
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
2．基本不等式
如果a>0，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时等号成立．
3．利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤，当且仅当a＝b时等号成立．
(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．
例1　下列各函数中，最小值为2的是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋，x∈(0，)
C．y＝
D．y＝＋
变式1　在下列结论中，正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则＋≤2 ＝2
B．若a，b∈R＋，则lga＋lgb≥2
C．函数y＝x＋(－1D．函数y＝3x＋3－x(x≤0)的最小值为2
例2　已知x>0，y>0，＋＝2，求xy的最小值．
变式2　若2a＋3b＝6(a>0，b>0)，则＋的最小值为(　　)
A. B.C. D．4
例3　求函数y＝x＋，x∈(0，c)的最小值．
变式3　求函数y＝的值域．
A级
1．若x，y∈R＋，且x＋y＝1，则＋的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于(　　)
A．0 B．4 C．－4 D．－2
3．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A.≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
4．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
5．设a>2，则a＋的最小值是________．
6．已知x>y>0，xy＝1，则的最小值为________．
7．已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求＋的最小值．
B级
8．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．4 N C．1 D.
9．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)
A．0 B. C．2 D.
10．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．
11．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________ m.
12．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
13．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
详解答案
典型例题
例1　D　[对于A，当x<0时，函数值为负数；
对于B，sin x＝在(0，)内无解；
对于C，y＝＝＋，不能保证＝在R上有解；
对于D，y＝＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立．]
变式1　D
例2　解　方法一　xy＝＝≥＝10，当且仅当＝即时，等号成立．故xy的最小值为10.
方法二　由＋＝2，得y＝(x>1)，
所以xy＝＝
＝＝[(x－1)＋＋2]≥(2＋2)＝10
(当且仅当x＝2，y＝5时取等号)．
变式2　A　[＋＝(＋)＝×(4＋＋＋9)≥(13＋2×6)＝(当且仅当a＝b＝时取等号)．]
例3　解　x>0，x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
若c>1，则y＝x＋，x∈(0，c)的最小值为2；若0综上，c>1时函数最小值为2；
0变式3　解　函数的定义域为R，
(1)当x＝0时，y＝0；
(2)当x>0时，y＝，由x＋≥2(当且仅当x＝，即x＝1时取等号)
得0<≤，即0(3)当x<0时，y＝，由x＋＝－(－x＋)≤－2(当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号)
得－≤<0，即－≤y<0；
综上所述：－≤y≤，即函数的值域是[－，]．
强化提高
1．D　2.C
3．B　[若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1.]
4．D　[由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4ab，
所以3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，
当且仅当＝时取等号．故选D.]
5．4
解析　∵a>2，∴a－2>0.
∴a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4.
当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．
6．2
解析　∵xy＝1，x>y>0，∴x－y>0，
∴＝＝
＝(x－y)＋
≥2 ＝2.
当且仅当，
即时取等号，
∴的最小值为2.
7．解　方法一　由已知条件x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.
则＋＝≥＝2.
所以min＝2，当且仅当，即时等号成立．
方法二　由已知条件x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.
＋≥2 ＝2 ＝2(当且仅当，即时等号成立．)
8．B　[因为3a·3b＝3，
所以a＋b＝1，
＋＝(a＋b)(＋)＝2＋＋
≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，“＝”成立，故选B.]
9．C　[由题意知：z＝x2－3xy＋4y2，
则＝＝＋－3≥1，当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝xy＝2y2.
所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2≤2.]
10．6　4
解析　设两数为x，y，即4x＋9y＝60，
又＋＝(＋)×＝(13＋＋)≥×(13＋12)＝，当且仅当＝，且4x＋9y＝60，即x＝6，y＝4时，等号成立．
11．20
解析　如图所示，△ADE∽△ABC，设矩形的面积为S，另一边长为y，
则＝2＝2.
所以y＝40－x，则S＝x(40－x)＝－(x－20)2＋202，所以当x＝20时，S最大．
12．9
解析　∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2 ＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9.
13．解　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得
f(x)＝Q(x)＋
＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N)，
f(x)＝50x＋＋3 000
≥2 ＋3 000
＝5 000(元)．
当且仅当50x＝，即x＝20时上式取“＝”．因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元)．
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．

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