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专题12　椭　圆
1．椭圆的定义
2．椭圆的标准方程
3．椭圆的简单几何性质
4．直线与椭圆的位置关系
例1　如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
变式1　已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________________．
例2　求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2，－6)；
(2)经过点(3,0)，离心率e＝.
变式2　(1)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是(　　)
A. B. C．2 D．4
(2)已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
例3　设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
变式3　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
A级
1．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
2．椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是(　　)
A．± B．±
C．± D．±
3．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为(　　)
A．16 B．18 C．20 D．不确定
4．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．1
5．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
6．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．
7．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.
B级
8．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
9．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A.B. C. D.
10．设AB是椭圆P：＋＝1(a>b>0)的长轴，点C在P上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则P的两个焦点之间的距离为________．
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
12．过椭圆＋＝1 (a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．
13．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝.求直线l的方程．
详解答案
典型例题
例1　解　由题意知点M在线段CQ上，
从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
∵A(1,0)，C(－1,0)，
∴点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，
故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝.
故点M的轨迹方程为＋＝1.
变式1　＋＝1
解析　根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为4a，故a＝4.又＝，则c＝2.
则b2＝8，所以C的方程为＋＝1.
例2　解　(1)依题意a＝2b.
①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为
＋＝1.
代入点A(2，－6)坐标，得＋＝1，
解得b2＝37，∴a2＝4b2＝4×37＝148，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为
＋＝1.
代入点A(2，－6)坐标得＋＝1，
∴b2＝13，∴a2＝52.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
(2)由椭圆的性质知，点(3,0)是椭圆的一个顶点，故a＝3或b＝3.
①当焦点在x轴上时，a＝3，
又＝，所以c＝，
所以b2＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，b＝3，
由＝，得＝，即＝，得a2＝27.所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
变式2　(1)A　[将椭圆方程化为标准方程为x2＋＝1，
∵焦点在y轴上，∴>1，∴0由方程得a＝，b＝1.
∵a＝2b，∴m＝.]
(2)4或－
解析　当k＋8>9时，e2＝＝＝，k＝4；当k＋8<9时，e2＝＝＝，k＝－.
例3　解　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a.
l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标满足方程组
.
化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|
＝
得a＝，
故a2＝2b2.
所以E的离心率e＝＝＝.
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，
由(1)知x0＝＝＝－c，
y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|，知△APB为等腰三角形，PN⊥AB，得kPN＝－1.
即＝－1，得c＝3，
从而a＝3，b＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
变式3　D　[设A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线AB的斜率为k＝，
设直线方程为y＝(x－3)，
联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，
所以x1＋x2＝＝2；
又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.]
强化提高
1．B
2．A　[由条件可得F1(－3,0)，PF1的中点在y轴上，∴P坐标(3，y0)，
又P在＋＝1的椭圆上，∴y0＝±，
∴M的坐标为(0，±)，故选A.]
3．B　[△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.
因为2a＝10，c＝＝4，
所以周长为10＋8＝18.]
4．B　[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由22＋42＝(2)2可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.]
5．B　6.－1
7．12
解析　椭圆＋＝1中，a＝3.
如图，设MN的中点为D，
则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.
∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，
∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，
∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.
8．A　[如图，依题意：
|PF1|＋|PF2|＝2a
(a>0是常数)．
又∵|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.]
9．A　[设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.]
10.　11.　12.
13．解　设直线l与椭圆的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由，消y并化简，
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
∴(1＋k2)(x1－x2)2＝，
∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝.
即(1＋k2)(－)2＝.
化简，得k4＋k2－2＝0，
∴k2＝1，∴k＝±1.
∴所求直线l的方程是
y＝x＋1或y＝－x＋1.

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