资源简介

专题15　导数及其运算
1．导数的几何意义
2．基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0；
(2)若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1；
(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cosx；
(4)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sin x；
(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axlna；
(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；
(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝；
(8)若f(x)＝lnx，则f′(x)＝.
3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[]′＝(g(x)≠0)．
　　
例1　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝4x＋4.求a，b的值．
变式1　若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝.
变式2　求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x＋2cos x；(2)f(x)＝ex.
例3　已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
变式3　已知函数f(x)满足f(x)＝ex－f(0)x＋x2，求f(x)的解析式．
A级
1．若函数f(x)＝x3＋x2＋x＋1，则f′(0)等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则在A处的切线斜率等于(　　)
A．2 B．4 C．8 D．6
3．点P(1,1)是曲线y＝x2－alnx上一点，若曲线在点P处的切线是直线y＝x，则a等于(　　)
A．1 B.C. D.
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)
A.B．2e2 C．e2D.
5．设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为(　　)
A．(3,9) B．(－3,9)
C. D．(1,1)
6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
7．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
B级
8．函数y＝的导数是(　　)
A. B.
C. D.
9．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A．2 B.
C．－ D．－2
10．若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
11．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
12．设函数f(x)满足x2f′(x)＋f(x2－x＋1)＝ex，则f′(1)的值为________．
13．已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
详解答案
典型例题
例1　解　f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，
故b＝4，a＋b＝8，解得a＝b＝4.
变式1　
解析　y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝.
例2　解　(1)方法一　y′＝
＝＝.
方法二　y＝＝＝1＋，y′＝－.
(2)y′＝＝.
变式2　解　(1)y′＝(x2sin x)′＋(2cos x)′
＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＋2(cosx)′
＝2xsin x＋x2cos x－2sin x.
(2)f′(x)＝
＝xex·.
例3　D　[f′(x)＝2x＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝－2，
于是f′(x)＝2x－4，所以f′(0)＝－4.]
变式3　解　f′(x)＝ex－f(0)＋x，
令x＝1，得f(0)＝1.
所以f(x)＝ex－x＋x2.
令x＝0，得f′(1)＝f(0)e＝e.
故f(x)的解析式为f(x)＝ex－x＋x2.
强化提高
1．B
2．D　[∵y＝2x3，∴y′＝6x2.∴y′|x＝1＝6.
∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]
3．A　[y′＝2x－，所以y′|x＝1＝2－a＝1，所以a＝1.]
4．D　5.C　6.3　7.(e，e)　8.B　9.D
10．[2，＋∞)
解析　∵f(x)＝x2－ax＋lnx，
∴f′(x)＝x－a＋.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)存在零点，
即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2.
11．－3
解析　y＝ax2＋的导数为
y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得
解得
则a＋b＝－3.
12．e－1
解析　令x＝0，得f(1)＝1；令x＝1，得f′(1)＋f(1)＝e，故f′(1)＝e－1.
13．解　(1)由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，
得f′(x)＝x(2＋cosx)
∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切．∴f′(a)＝a(2＋cosa)＝0且b＝f(a)，
则a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0.
∴当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)递增．当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．
∴f(x)的最小值为f(0)＝1.
由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，
所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．

展开更多......

收起↑