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综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．)
1．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　)
A．26 B．29
C．39 D．52
2．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为(　　)21世纪教育网版权所有
A．10 000 B．8 000 C．9 000 D．11 000
4．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为(　　)
A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h
5．下列命题中为真命题的是(　　)
①“等腰三角形都相似”的逆命题；
②“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
③“若m>1，则不等式x2＋2x＋m>0的解集为R”的逆否命题．
A．① B．①② C．①③ D．②③
6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋n，当Sn取最大值时，n的值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)21·cn·jy·com
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
9．已知正三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝2x上，O为坐标原点，则S△AOB等于(　　)
A．12 B．6C．36D．24
10．已知函数f(x)＝＋lnx，则有(　　)
A．f(2)B．f(e)C．f(3)D．f(e)11．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于(　　)2·1·c·n·j·y
A. B.C．3 D．2
12．下列叙述中正确的是(　　)
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．设214．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
15．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为________．
16．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．www.21-cn-jy.com
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．)
17．(10分)已知不等式ax2＋4x＋1>0.
(1)当a＝3时，解此不等式；
(2)若此不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
18．(12分)已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．
(1)若△ABC的面积S△ABC＝，c＝2，A＝60°，求a、b的值；
(2)若a＝ccosB，且b＝csinA，试判断△ABC的形状．
19．(12分)运货卡车以x千米/小时(50≤x≤100)的速度匀速行驶120千米．假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时33元．
(1)求这次行车总费用y关于速度x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
20．(12分)已知直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求p的值．【来源：21·世纪·教育·网】
21．(12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式．
(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．
22．(12分)已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，l交椭圆于A、B两个不同点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求m的取值范围；
(3)求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．
详解答案
1．C　[∵5，x，y，z,21成等差数列，
∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
∴5＋21＝2y，∴y＝13，x＋z＝2y＝26.
∴x＋y＋z＝39.]
2．B　[q,1是方程x2＋px－2＝0的根，根据根与系数的关系，q×1＝－2，且12＋p×1－2＝0，得p＝1，q＝－2，p＋q＝－1.]21·世纪*教育网
3．A　[由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为
S100＝
＝50×(25＋75＋100)＝10 000.]
4．B　[设A地东北方向上点P到B的距离为30 km时，AP＝x，
在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcos A，
即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，
化简得x2－40x＋700＝0.
设该方程的两根为x1，x2，则P点的位置有两处，即P1，P2.
则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，
|x1－x2|＝20，
即P1P2＝20(km)，
故t＝＝＝1(h)．
故选B.]
5．D
6．B　[根据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．
由z＝x＋2y得y＝－x＋.
先画出直线y＝－x，然后将直线y＝－x进行平移．当平移至直线过点A时，z取得最小值．由得A(1,1)，故z最小值＝1＋2×1＝3.]www-2-1-cnjy-com
7．C　[f(x)＝－x2＋x的对称轴为x＝，∈(4.5,5)．]
8．A　[由题意可得：m2－1＝n2＋1，
即m2＝n2＋2，
又∵m＞0，n＞0，故m＞n.
又∵e·e＝·＝·＝＝1＋＞1，
∴e1·e2＞1.]
9．A　[由△AOB是正三角形知，点A，B关于x轴对称．解出点A，B坐标即可．]
10．A　[∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(2)11．C　[∵＝4，
∴||＝4||，
∴＝.
如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，
设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，
∴＝＝，
∴|QQ′|＝3，
根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.]
12．D　[由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；∵ab2>cb2，且b2>0，∴a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确．]2-1-c-n-j-y
13．4　14.15
15．21
解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴
?
∴a－b＝－3＋24＝21.
16．4
解析　将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，
可知焦点坐标为(0，－1)，－3<－，
所以点E(1，－3)在抛物线的内部，
如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，
|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，
当且仅当点M在EQ上时取等号，
又|EQ|＝1－(－3)＝4，
故距离之和的最小值为4.
17．解　(1)当a＝3时，不等式为3x2＋4x＋1>0，即(3x＋1)(x＋1)>0，解得x<－1或x>－，所以不等式的解集为{x|x<－1或x>－}．21教育网
(2)若a＝0，不等式4x＋1>0在R上不恒成立，故a＝0不合题意；当a≠0时，由题意知，解得a>4.21cnjy.com
所以实数a的取值范围是(4，＋∞)．
18．解　(1)∵S△ABC＝bcsinA＝，
∴b·2sin 60°＝，得b＝1.
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，
所以a＝.
(2)由余弦定理得：a＝c·?a2＋b2＝c2，所以∠C＝90°.
在Rt△ABC中，sin A＝，
所以b＝c·＝a，所以△ABC是等腰直角三角形．
19．解　(1)行车所用时间为(小时)，
y＝·6·＋，x∈[50,100]
所以这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋2x，x∈[50,100]
(2)y＝＋2x≥120，当且仅当＝2x，即x＝30时，等号成立．且30∈[50,100]．
所以，当x＝30时，这次行车的总费用最低，最低费用为120元．
20．解　∵D的坐标为(2,1)，∴kOD＝，
∵OD⊥AB，∴kAB＝－2.
∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－2)．
即y＝－2x＋5
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由OA⊥OB，可知x1x2＋y1y2＝0
由消去x并整理得：
y2＋py－5p＝0.∴y1y2＝－5p
又∵x1x2＋y1y2＝0.∴·＋y1y2＝0.
于是有：－5p＝0，∴p＝.
21．解　f′(x)＝3ax2－b.
(1)由题意得
解得故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，
当x＝2时，f(x)有极小值－.
f(x)的图象大约为
数形结合，要使方程f(x)＝k有3个不同的根须－∴k的取值范围为.
22．(1)解　设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知：，
解得，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)解　∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，
又kOM＝.∴l的方程为y＝x＋m，
由，∴x2＋2mx＋2m2－4＝0
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0，解得－2∴m的取值范围是{m|－2(3)证明　设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1＝，k2＝，
由x2＋2mx＋2m2－4＝0可得
x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4，
而k1＋k2＝＋
＝
＝
＝
＝
＝＝0，
∴k1＋k2＝0.故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

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