资源简介

2．1　圆的对称性
知识要点1　圆的定义
知识要点2　点与圆的位置关系
知识要点3　圆的有关概念
易错
提醒
(1)直径是圆中最长的弦，但弦_______是直径；
(2)长度相等的弧_______是等弧，还要弧度相等，即必须重合.
知识要点4　圆的对称性
圆的中心对称性：圆是________图形，________是它的对称中心；
圆的轴对称性：圆是________图形，任意一条________所在的直线都是圆的对称轴．圆有________条对称轴．21cnjy.com
　　　　　　　　　　　　　　　　
(教材P46习题T3变式)如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r.www.21-cn-jy.com
(1)当r取什么值时，点A、B在⊙C外？
(2)当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
分析：(1)若点A、B在⊙C外，则AC＞r即可；(2)点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC即可．【来源：21·世纪·教育·网】
方法点拨：点与圆的位置关系的判断，要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
(教材P46习题T4变式)如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．21·世纪*教育网
分析：取AB的中点O，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得OA＝OB＝OC＝OD后即可求证A、B、C、D四点在同一个圆上．www-2-1-cnjy-com
方法点拨：求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到定点的距离相等．
1．半径为4的圆的一条弦长不可能是(　　)
A．3 B．5 C．8 D．10
2．下列说法正确的是(　　)
A．弦是直径
B．弧是半圆
C．半圆是弧
D．过圆心的线段是直径
3．如图，线段AB过圆心O，点A、B、C均在⊙O上，则图中的直径是________，劣弧是________，优弧是________．2·1·c·n·j·y
4．正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心，2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A________；点C在⊙A________；点D在⊙A________．21世纪教育网版权所有
参考答案:
要点归纳
知识要点1：一周　图形　定点　圆心　定长　半径　所有点
知识要点2：＝　<　>
知识要点3：线段　圆心　圆弧 圆弧　 弧　　优弧　劣弧 完全重合　 同圆或等圆　不一定　不一定21·cn·jy·com
知识要点4：中心对称　圆心　轴对称　直径　无数
典例导学
例1　解：(1)若点A、B在⊙C外，则AC＞r，∵AC＝3，∴r＜3；
(2)若点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC，∵AC＝3，BC＝4，∴3＜r＜4.
例2　证明：取AB的中点O，连接OC，OD，∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°，∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四点在同一个圆上．21教育网
当堂检测
1．D　2.C
3．AB　、　
4．上　外　上
2．2　圆心角、圆周角
2．2.1　圆心角
知识要点　圆心角的概念及圆心角、弧、弦之间的关系
文字叙述
几何语言
图例
定理
在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的________相等，所对的________也相等.
如图，如果∠AOB＝∠COD，那么＝________，AB＝________；
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别________．可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等?弧相等?弦相等.
如果AB＝CD，那么∠AOB＝∠________，＝________；
(2)如果＝，那么AB＝________，∠AOB＝∠________.
解题
策略
圆心角、弧、弦之间关系的结论成立的前提条件是“在同圆或等圆中”；
(2)同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系是证明圆中线段相等、角相等、弧相等的主要依据.
如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是(　　)
A．∠ABC
B．∠AOB
C．∠OAB
D．∠OCB
分析：根据圆心角的概念，∠ABC、∠OAB、∠OCB的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的∠AOB的顶点在圆心，是圆心角．21·cn·jy·com
方法点拨：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．2·1·c·n·j·y
(教材P56习题T2变式)如图，M为⊙O上一点，＝，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD＝ME.【来源：21·世纪·教育·网】
分析：连接MO，根据等弧对等弦，则∠MOD＝∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD＝ME.
方法点拨：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，但不要忘记“在同圆或等圆中”这一个条件．21·世纪*教育网
如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC.求证：AD＝DC.
分析：如图，连接OC，根据平行线的性质得到∠1＝∠B，∠2＝∠3，而∠B＝∠3，所以∠1＝∠2，再根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．www.21-cn-jy.com
方法点拨：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是(　　)
A．相等的弦所对的圆心角相等
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．相等的弦所对的弧相等
D．相等的圆心角所对的弦相等
2．(教材P49练习T2变式)如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是(　　)21世纪教育网版权所有
A．51° B．56° C．68° D．78°
第2题图
　　第3题图
3．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆弧AB的中点，D是上(异于B.C)的任意一点，则∠CDB等于(　　)www-2-1-cnjy-com
A．100° B．120° C．150° D．135°
4．在⊙O中，弦AB＝2cm，圆心角∠AOB＝60°，则⊙O的直径为________cm.
5．如图，AB、CD是⊙O的直径，AB∥DE，AC＝3，求AE的长．
参考答案:
要点归纳
知识要点：弧　弦　　CD　相等　COD　　CD COD
典例导学
例1　B
例2　证明：连接MO，∵＝，∴∠MOD＝∠MOE.又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，∴∠MDO＝∠MEO＝90°，∵MO＝MO, ∴△MDO≌△MEO(AAS)，∴MD＝ME.
例3　证明：连结OC，∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3.又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC.21教育网
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1．C　2.D　3.D　4.4
5．解：∵AB∥DE，∴＝.∵AB、CD是⊙O的直径，∠BOD＝∠AOC，∴＝，∴＝，∴AE＝AC＝3.21cnjy.com
2．2.2　圆周角
第1课时　圆周角定理与推论1
知识要点　圆周角定理与推论1
内容
几何语言
图例
圆周角
的概念
顶点在圆上，角的两边都与圆相交，像这样的角叫作圆周角.
∠________是圆周角
圆周角
定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
∠ACB＝______∠AOB
圆周角
定理的
推论1
在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
∵＝，∴∠1＝________；＝?∠1＝________＝________
易错
提示
(1)同一条弧所对的圆周角有________个，且它们是________的；
(2)在推论1中，如果将“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”后，结论就不一定成立，即同弦或等弦所对的圆周角________或________．
(3)同一条非直径的弦所对的圆周角有两种情况，无图时，注意分类讨论，一类是顶点在劣弧上的圆周角，另一类是顶点在优弧上的圆周角，这两种情况下的圆周角________．(下一课时将得证)
(教材P56习题T4变式)如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝130°，则∠D＝________°.
分析：AB是⊙O的直径，∠AOC＝130°，根据邻补角的定义，即可求得∠BOC的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠D的度数．21·cn·jy·com
方法点拨：圆周角和圆心角的转化：①可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化；②可利用“桥梁”—圆心角转化．
如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD＝CE.
分析：欲证明AD＝CE，只需证明＝即可．如图，根据平行线的性质和角平分线的定义易证得∠C＝∠CAD，所以＝，则＋＝＋，故＝.
方法点拨：在同一个圆中，能将一个角从一个地方转移到另一个地方的方法有：(1)利用平行线的同位角及内错角；(2)同弧所对的圆周角；(3)等弧所对的圆周角；(4)等量加(减)等量和(差)相等．21世纪教育网版权所有
1．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，则图中圆周角有A
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2016·重庆中考)如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC，若∠AOB＝120°，则∠ACB＝________度．21教育网
3．如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，∠OAB＝20°，则∠C的度数为______.
4．如图，点E是的中点，点A在⊙O上，AE交BC于D.
求证：BE2＝AE·DE.
参考答案:
要点归纳
知识要点：圆上　相交　ACB　一半　　相等　相等　∠2　∠2 ∠3　无数　相等　相等　互补　互补www.21-cn-jy.com
典例导学
例1　25
例2　证明：∵AB∥CE，∴∠ACE＝∠BAC.又∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠C＝∠CAD，∴AE＝，∴＋＝＋，∴＝，∴AD＝CE.
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1．A　2.60　3.70°
4．证明：∵点E是的中点，即＝，∴∠BAE＝∠CBE.∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△BDE，∴BE∶AE＝DE∶BE，∴BE2＝AE·DE.21cnjy.com
第2课时　圆周角定理的推论2与圆内接四边形
知识要点　圆周角定理推论2与圆内接四边形
内容
几何语言
图例
圆周角定理推论2
直径所对的圆周角是________；________的圆周角所对的弦是直径.
AB是直径?∠C＝________.
圆内接四边形、四边形的外接圆的概念
一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作________四边形，这个圆叫作这个四边形的________
四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形性质
圆内接四边形的对角________
∠A＋∠C＝________°，∠B＋∠D＝________°.
解题策略
(1)利用圆周角的推论2作辅助线：有直径通常作直径所对的________角；有90°的圆周角，通常过圆周角的一个端点作________，以构造________三角形．
(2)圆内接四边形的一个________角等于它的内对角．如图，∠DCE＝________.
(教材P57习题T9变式)如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.21世纪教育网版权所有
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
分析：(1)根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠CAB的度数即可求得．由OD∥BC可知∠AOD＝∠B＝70°.在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；(2)易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，可求得DE的长．
方法点拨：根据直径所对的圆周角是直角及由圆的半径构成的等腰三角形，得到角之间的关系，在求圆中的角度时，这两点经常被用到．21cnjy.com
(教材P57习题T10变式)如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，点D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，点F，若CD∥EF.求证：www.21-cn-jy.com
四边形EFDC是平行四边形；
(2)CE＝.
分析：(1)已知CD∥EF，需证CE∥DF；连接AB.由圆内接四边形的性质可得∠BAD＝∠E，∠BAD＋∠F＝180°，可证得∠E＋∠F＝180°，即CE∥DF，由此得证；(2)由四边形CEFD是平行四边形得CE＝DF.再由⊙O1和⊙O2是两个等圆即可得证．
方法点拨：由“圆内接四边形对角互补”可以得出：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，从而实现圆内的角转移到圆外，使等角从位置上发生变化．
1．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为(　　)
A．60° B．70° C．80° D．90°
　　　　
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是(　　)
A．80° B．100° C．60° D．40°
3．如图，△ABC中，∠C＝25°，∠B＝85°，过点A，B的圆与边AC、BC分别交于点E、D，则∠EDC＝________°.21教育网
4．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O交底边BC于点D，交AC于点E，连接DE.求证：BD＝DE＝DC.21·cn·jy·com
参考答案:
要点归纳
直角　90°　90°　90° 圆内接　外接圆　互补　180　180　圆周　直径　直角　外　∠BAD2·1·c·n·j·y
典例导学
例1　解：(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°，∠CAB＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝＝＝55°，∴∠CAD＝∠DAO－∠CAB＝55°－20°＝35°；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)在Rt△ABC中，BC＝＝＝.∵OE⊥AC，∴AE＝EC.∵OA＝OB，∴OE＝BC＝.又∵OD＝AB＝2，∴DE＝OD－OE＝2－.21·世纪*教育网
例2　证明：(1)连接AB，∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠E＋∠CAB＝180°.又∵∠CAB＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＝∠E.∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形，∴∠BAD＋∠F＝180°，∴∠E＋∠F＝180°，∴CE∥DF.∵CD∥EF，∴四边形EFDC是平行四边形；
(2)由(1)得：四边形EFDC是平行四边形，∴CE＝DF，又∵⊙O1和⊙O2是等圆，∴＝.
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1．D　2.A　3.70
4．证明：连接AD.∵AB是直径，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE＝DC.www-2-1-cnjy-com

*2.3　垂径定理
知识要点　垂径定理
内容
几何语言
图例
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
如图，∵MN是直径，OD⊥AB，∴AD＝________；＝________；＝________.
解题策略
(1)涉及弦、弦到圆心的距离求长度：弦长a，弦到圆心的距离为d，半径r及弓形高h(弦所对的弧的中点到弦的距离)，它们之间的关系是r2＝d2＋，r＝d＋h.注意有时还需作辅助线解决，一般是过圆点向弦作垂线或连接半径(如图中连接OB或OA)构造直角三角形．
(2)圆的两条平行弦所夹的弧________.
(教材P60习题T1变式)如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝______.21cnjy.com
分析：由垂径定理得AC＝AB＝12cm.连接OA，由半径相等，得OA＝OD＝13cm.在Rt△AOC中，利用勾股定理可求OC的长，最后用CD＝OD－OC即可求出CD的长．
方法点拨：解题的方法是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理、垂径定理解答．
　 如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝12米，净高CD＝9米，则此圆的半径OA为 ( )
A．6米 　B.米 C．7米 D.米
分析：设⊙O的半径为r米，则OA＝r米，OD＝(9－r)米．∵AB＝12米，CD⊥AB，∴AD＝AB＝×12＝6(米)．在Rt△AOD中，由勾股定理得OA2＝AD2＋OD2，即可得到关于r的方程，解出方程即可求出⊙O的半径长．21·cn·jy·com
方法点拨：构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理，可以解决计算弦长、半径、弦到圆心的距离、同心圆的相关线段等问题．www.21-cn-jy.com
1．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC、BD，则下列结论错误的是(　　)
A．AF＝BF B．OF＝CF
C.＝ D．∠DBC＝90°
　
2．如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若AO＝5cm，OC＝3cm，则弦AB的长为______cm.21世纪教育网版权所有
3．如图所示，是一根水平放置的圆柱形输水管道的横截面，其中有水部分水面宽0.8m，最深处水深0.2m，则此输水管道的直径是________m.21教育网
参考答案:
要点归纳
知识要点：平分　平分　DB　　　
相等
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例1　8
例2　B
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1．B　2.8　3.1

2．4　过不共线三点作圆
知识要点1　圆的确定
(1)经过不在同一直线上的三个点确定________个圆．
(2)经过不在同一直线上的三个点作圆的方法：①连接各点，作出两条所连线段的垂直平分线，其交点即为圆心；②以圆心到任意一点的长为半径画圆即可．21世纪教育网版权所有
知识要点2　三角形的外接圆
文字叙述
几何语言
图例
三角形的
外接圆
经过三角形各________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的________.
如图，⊙O是△ABC的________.
圆的内接
三角形
一个三角形的三个顶点都在一个圆上，这个三角形叫作这个圆的________三角形.
如图，△ABC是⊙O的________.
外心的
性质
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离________．即三角形的外心是它的三条边的________的交点.
如图，OA＝______＝______.
解题策略
直角三角形的外心在斜边的________，直角三角形的外接圆的半径等于斜边的________.
(教材P63习题T2变式)如图，已知等腰三角形ABC.
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
(2)设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．
分析：(1)作出AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是圆心，以交点为圆心，交点到三角形的顶点的长度为半径画圆可得△ABC的外接圆；(2)作出劣弧BC所对的圆周角，易得该圆周角的度数，则∠BAC是该圆周角的补角．21cnjy.com
方法点拨：作任意两条边的垂直平分线，找出三角形外心作出三角形的外接圆．善于利用圆的内接四边形进行对角的转换及计算．21·cn·jy·com
(教材P63习题T4变式)如图，已知AD既是△ABC的中线，又是角平分线，请判断：
(1)△ABC的形状；
(2)AD是否过△ABC外接圆的圆心O，并证明你的结论．
分析：(1)过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据HL定理可得出△BDE≌△CDF，进而得出结论；(2)根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，再由BD＝CD，可知AD过圆心O，故可得出结论．www.21-cn-jy.com
方法点拨：根据等腰三角形三线合一的性质，结合三角形的外接圆与外心的知识综合解题．
1．如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在(　　)
A．△ABC的三边高线的交点P处
B．△ABC的三条角平分线的交点P处
C．△ABC的三边中线的交点P处
D．△ABC的三边中垂线的交点P处
2．Rt△ABC中两条直角边分别为6cm，8cm，则外接圆的半径为________．
3．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．
4．如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．21教育网
参考答案:
要点归纳
知识要点1　一
知识要点2　顶点　外心　外接圆　内接　内接三角形 相等　垂直平分线　OB　OC　中点　一半
典例导学
例1　解：(1)如图①所示．
(2)如图②，在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，∵∠BOC＝128°，∴∠BDC＝∠BOC＝64°，∴∠BAC＝180°－∠BDC＝116°.2·1·c·n·j·y
例2　解：(1)△ABC是等腰三角形．理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.∵AD是角平分线，∴DE＝DF.又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.在Rt△BDE与Rt△CDF中，∴△BDE≌△CDF(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)AD过△ABC外接圆的圆心O.理由如下：∵AB＝AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC.又∵BD＝CD，∴AD过圆心O.21·世纪*教育网
当堂检测
1．D　2.5cm　3.
4.连接OB，过点O作OD⊥BC于D，则OD＝5cm，BD＝BC＝12cm.在Rt△OBD中，OB＝＝＝13(cm)．即△ABC的外接圆的半径为13cm.
2．5　直线与圆的位置关系
2．5.1　直线与圆的位置关系
知识要点　直线与圆的位置关系
位置关系
相交
相切
相离
定义
如果直线与圆有________个不同的公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相交，这条直线叫做圆的________线.
如果直线与圆只有________个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的________线，这个公共点叫做________.
如果直线与圆________公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相离.
图形
公共点个数
________个
________个
________个
数量关系
d________r
d________r
d________r
易错提醒
直线与圆的位置关系判定：①从直线与圆的交点________去判定；②从__________与________的大小关系判定.
分类讨论思想在圆中的运用：由于圆是轴对称图形和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．如将直线l从圆外向圆平移，则圆心O到直线l的距离等于某个固定数值的有两种情形(l2和l3)，同样与圆相切也有两种情形(l1和l4).
(教材P75习题T1变式)已知⊙O的半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为D21cnjy.com
A．相切 B．相交
C．相切或相离 D．相切或相交
分析：∵垂线段最短，∴圆心O到直线AB的距离小于等于3，∴直线AB与⊙O的关系不是唯一确定的．
方法点拨：判断直线与圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的3不一定是圆心到直线的距离．21·cn·jy·com
(教材P65例1变式)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB是怎样的位置关系？www.21-cn-jy.com
(1)r＝4cm；(2)r＝4.8cm；(3)r＝6cm.
分析：求出Rt△ABC斜边上的高，与半径r比较，得到⊙C与AB的位置关系．
方法点拨：比较圆心到直线的距离与半径的大小是确定直线与圆的位置关系常用的方法．
1．若⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
2．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意一点，如果以P为圆心的圆与OC相离，那么⊙P与OB的位置关系是(　　)2·1·c·n·j·y
A．相离 B．相切
C．相交 D．不能确定
3．已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为________．【来源：21·世纪·教育·网】
4．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________．21·世纪*教育网
5．如图，两个同心圆，大圆半径为5，小圆半径为3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是____________．21世纪教育网版权所有
6．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC的位置关系，并说明理由．www-2-1-cnjy-com
参考答案:
要点归纳
知识要点：两　割　一　切　切点　没有　2　1　0　<　＝　>　个数　d　r
典例导学
例1　D
例2　解：作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，AB＝＝10cm.利用面积法，BC·AC＝·AB·CD，可得CD＝4.8cm.21教育网
(1)当r＝4cm时，CD>r，此时⊙O与AB相离；
(2)当r＝4.8cm时，CD＝r，此时⊙O与AB相切；
(3)当r＝6cm时，CD当堂检测
1．A　2.A　3.2　4.4　5.86．解：⊙A与直线BC相交．理由如下：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.∵AB＝AC，BC＝16，∴BD＝BC＝×16＝8.在Rt△ABC中，AB＝10，BD＝8，∴AD＝＝＝6.∵⊙O的半径为7，∴AD＜r，∴⊙A与直线BC相交．
2．5.2　圆的切线
第1课时　切线的判定
知识要点　切线的判定
内容
几何语言
图例
切线的判
定定理
经过半径________并且________于这条半径的直线是圆的切线.
∵OA是半径，l⊥OA于点A，∴直线l是⊙O的切线.
切线判定
的方法
定义法：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
解题
策略
切线判定中作辅助线的方法：证明切线时，一般分两种情况：①切点已知，连半径，证________；②切点未知，作垂直，证________.
(教材P67例2变式)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若BC＝6，tan∠CDA＝，求CD的长．
分析：(1)连接OD，证明∠CDO＝90°即可；(2)证明△CAD∽△CDB，由对应边成比例可求得CD的长．21·cn·jy·com
方法点拨：当直线与圆的交点已知时，要证明直线与圆相切，只要连接这点与半径，证明连线与已知直线垂直即可．21世纪教育网版权所有
如图，O为正方形ABCD的对角线AC上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．21教育网
分析：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．21cnjy.com
方法点拨：要证明直线与圆相切，如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．2·1·c·n·j·y
1．下列说法中，不正确的是(　　)
A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的 直线是圆的切线
C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D．垂直于半径的直线是圆的切线
2．如图，点A、B、D在⊙O上，OD的延长线交直线BC于点C，且∠A＝25°，∠OCB＝40°，则∠DOB＝50°，所以∠OBC＝90°，所以直线BC与⊙O的位置关系为相切．
　　　
如图，已知点A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC＝BC，AC＝OB，则AB________(填“是”或“不是”)⊙O的切线．www.21-cn-jy.com
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线．【来源：21·世纪·教育·网】
参考答案:
要点归纳
知识要点：外端　垂直　垂直　半径
典例导学
例1　 (1)证明：连接OD, ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD.又∵CD经过半径的外端，∴CD是⊙O的切线；
(2)解：∵∠CDA＝∠OBD，∴tan∠CDA＝tan∠ABD＝.在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝.∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CAD∽△CDB，∴＝＝，∴CD＝×6＝4.
例2　证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．
当堂检测
1．D　2.50°　90°　相切　3.是
4．证明：连接OD.∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC.又DE⊥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，即DE⊥OD.∴DE是⊙O的切线．
第2课时　切线的性质
知识要点　切线的性质
内容
几何语言
图例
切线的
性质
圆的切线________于过切点的半径.
由直线l与⊙O相切于点A，可知l________OA.
解题
策略
由切线的性质可以得到：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
题目中若给出圆的切线，常连接过切点的半径，则半径垂直于切线.
(3)经过直径两端点的切线互相________.
如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于E，过点C的切线CF交AB的延长线于F，连接CO并延长交AD于G，且CG⊥AD.求证：△CEF≌△DEA.21教育网
分析：由CF是⊙O的切线，易得CG⊥CF，证得CF∥AD，得出∠ECF＝∠EDA，∠F＝∠A，根据垂径定理得出CE＝DE，然后根据AAS即可证得△CEF≌△DEA.
方法点拨：运用切线的性质进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解．21·cn·jy·com
(教材P75习题T2变式)如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB＝∠APB.21世纪教育网版权所有
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)当OB＝3，PA＝PB＝6时，求MB，MC的长．
分析：(1)根据切线的性质，可得∠MAP＝90°，根据直角三角形的性质，可得∠P＋M＝90°，根据∠COB＝∠APB，可得∠M＋∠MOB＝90°，即∠MBO＝90°.根据切线的判定，可得答案；(2)根据相似三角形的判定与性质，可得＝＝，通过解方程组，可得答案．2·1·c·n·j·y
方法点拨：本题考查了切线的判定与性质，(1)利用切线的判定与性质，直角三角形的判定与性质，余角的性质；(2)利用相似三角形的判定与性质，解方程组．
1.如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，则AB____BP.若AB＝3cm，PB＝4cm，则PA＝______.【来源：21·世纪·教育·网】
2．如图所示，AO是△ABC的中线，AB切⊙O于D，要使⊙O与AC边相切，应增加的条件是___________.21·世纪*教育网
　　　
3．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于(　　)www-2-1-cnjy-com
A．120° B．110° C．90° D．55°
4．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO＝26cm，PA＝24cm，则⊙O的周长为C
A．18πcm B．16πcm
C．20πcm D．24πcm
如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与圆相交于点F，与BC相交于点C.21cnjy.com
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD 的长．
参考答案:
要点归纳
知识要点：垂直　垂直　平行
典例导学
例1　证明：∵CF是⊙O的切线，∴CG⊥CF.又∵CG⊥AD，∴CF∥AD，∴∠ECF＝∠EDA，∠F＝∠A.又∵AB⊥CD，∴CE＝DE.在△CEF和△DEA中，∴△CEF≌△DEA．www.21-cn-jy.com
例2　(1)证明：∵PA切⊙O于点A，∴∠MAP＝90°，∴∠P＋∠M＝90°.∵∠COB＝∠APB，∴∠M＋∠MOB＝90°，∴∠MBO＝90°，即OB⊥PB.∵PB经过半径的外端，∴PB是⊙O的切线；2-1-c-n-j-y
(2)解：∵∠COB＝∠APB，∠OBM＝∠PAM，∴△OBM∽△PAM，∴＝＝.∵AM＝MC＋AC＝MC＋2OB＝MC＋6，OM＝MC＋OC＝MC＋OB＝MC＋3，PM＝MB＋BP＝MB＋6，∴＝＝＝①，＝＝②，联立①②得解得21*cnjy*com
当堂检测
1．⊥　5cm
2．AB＝AC(答案不唯一)　3.B　4.C
5．(1)证明：连接OB，如图所示．∵E是弦BD的中点，∴BE＝DE，OE⊥BD，＝＝，∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90°.∵∠DBC＝∠A，∴∠BOE＝∠DBC，∴∠OBE＋∠DBC＝90°，∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；
(2)解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴OC＝＝10.∵△OBC的面积＝OC·BE＝OB·BC，∴BE＝＝＝4.8，∴BD＝2BE＝9.6，即弦BD的长为9.6.

*2.5.3　切线长定理
知识要点　切线长定理
文字叙述
几何表示
图形
切线长
概念
经过圆外一点作圆的切线，这点和________之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长.
线段______、______的长度是点P到⊙O的切线长.
切线长
定理
过圆外一点所画的圆的两条切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角.
PA＝________,∠APO＝________＝∠APB
解题
策略
由切线长定理可得到的结论：如图，从该图上还可以得到很多结论：
如①PO⊥AB；②AC＝BC；③PA⊥OA，PB⊥OB；④∠AOP＝________等.
(2)切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例、线段垂直等的重要依据，并且常与直角三角形、等腰三角形的相联系.
　 如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是(　　)21教育网
A．10 B．12 C．5 D．10
分析：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝PA＝10.故选A.21cnjy.com
方法点拨：切线长定理是判断线段相等的主要依据，在圆中经常用到．
(教材P76习题T11变式)如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm.求：21·cn·jy·com
(1)∠BOC的度数；
(2)BE＋CG的长；
(3)⊙O的半径．
分析：(1)根据切线长定理得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，再根据平行线的性质得∠GCF＋∠EBF＝180°，则有∠OBC＋∠OCB＝90°，进而可求得∠BOC；(2)由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE＋CG的长；(3)连接OF，由切线的性质可知OF⊥BC，再由三角形面积公式即可求得OF的长．21世纪教育网版权所有
方法点拨：过圆外一点所引的两条切线的长度相等，在解题时常结合角平分线的性质、三角形全等、解直角三角形等．www.21-cn-jy.com
1．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若OA＝1，PA＝，则∠AOB的度数为(　　)
A．60° B．90°
C．120° D．无法确定
　　　
2．(教材P72练习T1变式)如图，圆外切四边形ABCD中AB＝8，CD＝5，则四边形的周长为________．2·1·c·n·j·y
参考答案:
要点归纳
知识要点：切点　AP　BP　相等　平分　PB　∠BPO　∠BOP
典例导学
例1　A
例2　解：(1)根据切线长定理得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBE＋∠OCF＝(∠ABC＋∠BCD)＝90°，∴∠BOC＝90°；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得BC＝＝10cm，∴BE＋CG＝BF＋FC＝BC＝10cm.21·世纪*教育网
(3)连接OF，∵OF⊥BC，∴OF＝＝4.8cm，即⊙O的半径为4.8cm.
当堂检测
1．C　2.26
2．5.4　三角形的内切圆
知识要点1　三角形的内切圆及作法
文字叙述
图例
有关
概念
三角形的内切圆：与三角形各边都________的圆.
(2)圆的外切三角形：三角形的三边都与一个圆相切，这个三角形叫作圆的外切三角形.
作法
作△ABC的∠ABC、∠ACB的________，设交点为I，以点I为圆心，点I到三角形任一条边的________为半径作圆，则⊙I就是该三角形的内切圆.
知识要点2　三角形内心的定义及性质
内容
定义
三角形的内心；三角形内切圆的圆心.
(2)三角形的内心是这个三角形的三条____________的交点.
性质
三角形的内心到三角形三边的距离________．如上图，ID＝IE＝IF.
(2)三角形的内心与三角形顶点的连线________这个角．如上图，BE为∠ABC的平分线.
解题
策略
内切圆半径与三角形边的关系：
(1)任意三角形的内切圆(如图①)，设三角形的周长为C，则S△ABC＝Cr.
(2)直角三角形的内切圆(如图②)
①*切线长定理推导：由图可得四边形ODCE为正方形，∴OD＝OE＝CD＝CE＝r，∴BD＝a－r，AE＝b－r，又BF＝BD＝a－r，∴AF＝AB－BF＝c－(a－r)＝c－a＋r.所以由AF＝AE，有c－a＋r＝b－r，可得r＝(a＋b－c)；②面积推导：S△ABC＝ab＝(a＋b＋c)r，可得r＝.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
　 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(　　)21世纪教育网版权所有
A．r B.r C．2r D.r
分析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r.故选C.
(教材P74例6变式)如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数．21教育网
分析：连接OE，OF.由三角形内角和定理可求得∠A＝50°，由切线的性质可知∠OFA＝90°，∠OEA＝90°.根据四边形内角和为360°得到∠A＋∠EOF＝180°，故可求得∠EOF＝130°.由圆周角定理可求∠EDF.www.21-cn-jy.com
方法点拨：解决本题的关键是利用三角形内切圆的性质，求出∠EOF的度数．
如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.
(1)求证：BD＝ED；
(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．
分析：(1)求证BD＝ED，可利用等角对等边证明．只要证明∠DBE＝∠DEB即可；
(2)要求DE的长，可转化为求BD的长．利用△BDF∽△ADB，用比例式即可求解．
方法点拨：(1)充分利用内心的定义以及三角形的外角、同弧所对的圆周角来证明角相等，最后利用等角对等边证明线段相等；(2)用相似三角形得比例式，由比例式求解．
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，O是△ABC的内心，∠BOC＝___度．
　　　　
2.如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．
3．已知，在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别切于点D、E、F.
(1)若∠A＝60°，求∠FDE的度数；
(2)若∠A＝130°，求∠FDE的度数；
(3)你能猜想出∠FDE与∠A有什么数量关系吗？
参考答案:
要点归纳
知识要点1：相切　角平分线　距离
知识要点2：角平分线　相等　平分
典例导学
例1　C
例2　解：连接OE，OF.∵∠B＝60°，∠C＝70°，∴∠A＝180°－60°－70°＝50°.∵AB是⊙O的切线，∴∠OFA＝90°.同理∠OEA＝90°，∴∠A＋∠EOF＝180°，∴∠EOF＝130°，∴∠EDF＝65°.21cnjy.com
例3　(1)证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，∴BD＝ED；21·cn·jy·com
(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，∴DF＝AD＝×8＝2(cm)．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴＝.∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16(cm2)，∴BD＝4cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4cm.2·1·c·n·j·y
当堂检测
1．115　2.
3．解：(1)∠FDE＝60°；(2)∠FDE＝25°；
(3)∠A＋2∠FDE＝180°.
2．6　弧长与扇形的面积
第1课时　弧　长
知识要点　弧长
文字叙述
图例
弧长公式
半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为l＝________.
解题策略
在弧长公式中，已知l，n，r中的任意两个量，就可以求出第三个量.
(2)如果没有明确说明，弧的长度一般用含有π的代数式表示.
　　 如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，如果∠APB＝60°，⊙O的半径是3，则劣弧的长为_________.21世纪教育网版权所有
分析：连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB.在四边形APBO中，求出∠AOB的度数，然后直接利用公式l＝即可求出的长．21教育网
方法点拨：半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝，要求出弧长,关键要弄清公式中各项字母的含义．2·1·c·n·j·y
(教材P78例2变式)如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落
在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．
分析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，利用弧长公式即可求得点A所经过的路线长．
方法点拨：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动路径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．21·cn·jy·com
1．在半径为6的⊙O中，60°的圆心角所对的弧长是(　　)
A．π B．2π
C．4π D．6π
2．如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的度数是________．
3.如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC＝2，AE＝，CE＝1.则的长是________．21cnjy.com
4．如图，一根绳子与半径为30cm的滑轮的接触部分是，绳子AC和BD所在的直线成30°的角．请你测算一下接触部分的长．【来源：21·世纪·教育·网】
参考答案:
要点归纳
知识要点：
典例导学
例1　2π
例2　(4＋)π
当堂检测
1．B　2.20°　3.π
4．解：连接OC、OD，由题可知OC⊥AC，BD⊥OD.又AC、BD夹角为30°， 所以∠COD＝150°，所以的长＝＝25π(cm)．www.21-cn-jy.com
第2课时　扇形面积
知识要点　扇形面积
文字叙述
图例
扇形
(1)定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形．如图，阴影部分为扇形，记作扇形OAB.
(2)面积：S扇形＝________(扇形圆心角为n°，半径为r)或S扇形＝________(扇形弧长为l，半径为r).
解题
策略
如果把扇形的弧长看成一个三角形的“底”，把扇形的半径看成“高”，那么扇形的面积公式与三角形的面积公式相似.
2.求阴影面积常用的方法：①公式法(扇形或三角形)；②等积法；③和差法；④割补法.
几种常见
阴影部分
面积的
求法
　　　　　
(AB∥DE）
S阴影＝S扇形AOB－S△AOB S阴影＝S扇形AOB＋S△AOB S阴影＝S扇形DOE
(教材P80例4变式)如图，扇形AOB的圆心角为45°，半径长为，BC⊥OA于点C，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．21世纪教育网版权所有
分析：先求出扇形AOB的面积，再求出△OBC的面积，两者相减即为阴影部分的面积．
方法点拨：关键是从图中看出阴影部分的面积是扇形的面积减去直角三角形的面积．
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，OC＝2，求阴影部分图形的面积(结果保留π)．21教育网
分析：根据垂径定理可得CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°，然后根据∠CDB＝30°，得出∠COB＝60°，继而证得△OCE≌△BDE，把阴影部分的面积转化为扇形的面积计算即可．
方法点拨：不规则图形面积的求法，通过图形转化为规则图形(三角形、直角三角形、扇形、圆、半圆)面积的和、差、倍、分计算．21cnjy.com
如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA＝2，那么图中阴影部分的面积为π－2(结果保留π)．
2．已知扇形的圆心角为40°，这个扇形的弧长是π，那么此扇形的面积是________．
参考答案:
要点归纳
知识要点：　lr
典例导学
例1　解：∵∠AOB＝45°，BC⊥OA，∴△OCB为等腰直角三角形，OC＝CB.∵半径长为，∴OC＝BC＝1，∴S△OCB＝×1×1＝，S扇形OAB＝＝，∴S阴影部分＝S扇形OAB－S△OCB＝－.21·cn·jy·com
例2　解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°.∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∠OCE＝30°＝∠CDB.在△OCE和△BDE中，∵∠OCE＝∠BDE，CE＝DE，∠OEC＝∠BED，∴△OCE≌△BDE，∴S阴影＝S扇形OCB＝＝π.
当堂检测
1．π－2　2.4π

2．7　正多边形与圆
知识要点　正多边形与圆
文字叙述
图例
概念
各边________，各角也________的多边形叫做正多边形.
正多边
形与圆
将一个圆n(n≥3)等份，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的________正多边形；这个圆是这个正多边形的________，正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心．如图，正六边形ABCDEF是⊙O的________正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的________.
正多边
形的性
质
正多边形都是________图形，一个正n边形共有________条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的________；当边数n为偶数时，正n边形也是________对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的________.
解题
策略
正n边形的各顶点到其中心的距离R和其中心到各边的距离r和边长a之间的关系：如图，在Rt△OAM中，OA2＝OM2＋AM2，即R2＝r2＋()2.
若正六边形的边长为a，则其外接圆半径与内切圆半径的比为（ ）
A．2∶1 B．2∶
C.∶1 D．3∶
分析：如图，∵正六边形的边长为a，∴正六边形的半径为a，则外接圆的半径为a，内切圆的半径是正六边形的中心到各边的距离．在等边△AOB中，OG⊥AB，则AG
＝AO.在Rt△AOG中，可求出OG的长，OA∶OG的值为所求．
方法点拨：常见正多边形的边长与半径的关系：正六边形的边长等于外接圆半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的倍，正方形的边长等于其外接圆半径的倍．
(教材P86习题T2变式)已知正六边形ABCDEF的外接圆半径是R，求正六边形的边长a和面积S.21世纪教育网版权所有
分析：连接OA、OB，过O作OH⊥AB，再由正六边形的性质得AH＝R，据此可求出a及OH，从而可求S.21cnjy.com
方法点拨：本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
参考答案:
要点归纳
知识要点：相等　相等　内接　外接圆　
内接　外接圆　轴对称　n　中心　中心 中心
典例导学
例1　B
例2　解：连接OA、OB，过O作OH⊥AB，则∠AOH＝×＝30°，∴AH＝R，∴a＝2AH＝R.由勾股定理可得OH2＝R2－(R)2，∴OH＝R，∴S＝·AB·OH×6＝·R·R·6＝R2.21教育网

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