资源简介

课件52张PPT。小学课堂教学如何凸现数学思想方法一、问题提出的背景
二、数学思想方法的简介
三、如何在课堂教学中凸显数学思想方法
四、案例分析一、问题提出的背景 美国把“学会数学思想方法”作为培养“有数学素养”的社会成员五项标志性的条件之一。 “新课程标准”中指出通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。 一、问题提出的背景二、数学思想方法的简介 数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。
数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性，层次性和可操作性等特点。 数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想既有认识论方面的内容，如数学的理论和知识；又有方法论方面的内容，如处理各种问题的意识和策略。数学方法主要是方法论方面的内容，如表示、处理各种问题的手段和途径。数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。数学思想是数学的灵魂。那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。 数学的基本思想主要是指：
数学抽象思想;
数学推理思想;
数学建模思想。二、数学思想方法的简介 人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科。 通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展。
通过数学建模，把数学应用的客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学科学的反展。数学抽象思想分类的思想集合的思想数形结合的思想变中有不变的思想符号化的思想对称的思想对应的思想特殊与一般的思想数学推理思想归纳的思想演绎的思想公理化思想转换化归的思想联想类比的思想代换的思想逐步逼近的思想有限与无限的思想数学建模思想简化的思想量化的思想函数的思想方程的思想优化的思想统计的思想随机的思想一、符号化思想1. 符号化思想概念。
数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。2. 如何理解符号化思想。
第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、从特殊到一般的探索和归纳的过程。
如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳出长方形的面积公式，并用符号表示：S＝ab。这是一个符号化的过程，同时也是一个模型化的过程。 第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图象等表示情境中数量间的关系。如假设一个正方形的边长是a，那么4a就表示该正方形的周长，a2表示该正方形的面积。这同样是一个符号化的过程，同时也是一个解释和应用模型的过程。
第三，会进行符号间的转换。数量间的关系一旦确定，便可以用数学符号表示出来，但数学符号不是唯一的，可以丰富多彩。如一辆汽车的行驶时速为定值80千米，那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比，它们之间的数量关系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，还可以用图象表示。即这些符号是可以相互转换的。 第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指完成符号化后的下一步工作，就是进行数学的运算和推理。能够进行正确的运算和推理是非常重要的数学基本功，也是非常重要的数学能力。3. 符号化思想的具体应用。
（1）数的表示、运算和关系。
数字0~9、+、－、×、÷、＝、>、<是比较早期的数学符号，便于人们计数和计算。是小学数学应用最广泛的符号。
（2）代数思想。
　代数在早期的主要特征是以文字为主的演算，
到了16、17世纪数学家韦达、笛卡尔和莱布尼兹
等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。　①用字母表示数。
②用字母表示数量关系。
运算定律、公式、数量关系。
加法交换律:a+b=b+a
时间、速度和路程的关系:s=vt
　③用符号表示变化规律。
数列的变化规律:1,2,3,5,8,…
图形的变化规律,小棒的根数：y=3x+1　4．符号化思想的教学。
符号化思想作为数学最基本的思想之一，数学课程标准把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。教师在日常教学中要给予足够的重视，并落实到课堂教学目标中。学生只有理解和掌握了数学符号的内涵和思想，才有可能利用它们进行正确的运算、推理和解决问题。二、模型思想
1. 模型思想的概念。
　 数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处，同样具有普遍的意义。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分开来，主要从狭义的角度讨论数学模型，即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。 2. 模型思想的重要意义。
数学模型是运用数学的语言和工具，对现实世界的一些信息进行适当的简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控制，并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的，便可以指导我们的实践。
《课标（2011版）》中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。 3. 模型思想的应用。
数的表示，自然数列：0,1,2,…用数轴表示数
用数字和图形表示规律
数的运算a+b=c，c－a =b, c－b＝a，
a×b＝c(a≠0,b≠0)，c÷a=b, c÷b＝a
用字母表示运算定律，方程ax+b=c
数量关系：时间、速度和路程：s=vt
　　　　　数量、单价和总价：a=np
　　　　　正比例关系：y/x=k
　　　　　反比例关系：xy=k
用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的关系
用字母表示周长、面积和体积公式
用图表示空间和平面结构
用统计图表描述和分析各种信息
用分数表示可能性的大小。 4．模型思想的教学。
　模型思想与符号化思想都是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式，这是它们的共同之处；但是模型思想更加重视如何经过分析抽象建立模型，更加重视如何应用数学解决生活和科学研究中的各种问题。
　学生学习数学模型大概有两种情况：第一种是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的新知识，这个学习过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的理解过程；第二种是利用基本模型去解决各种问题，即利用学习的基本知识解决教材中丰富多彩的习题以及各种课外问题。例1：
北师大版四下P85
字母表示数　例2：小明的家距离学校600米，每天上学从家步行10分钟到学校。今天早晨出门2分钟后发现忘记带学具了，立即回家去取。他如果想按原来的时间赶到学校，他从回家再到学校，步行的速度应是多少？（取东西的时间忽略不计）
分析：
　(1) 本题是日常生活中常见的行程问题，问题是要求小明步行的速度，是关于时间、速度和路程的问题。
　(2) 这里需要明确所求的速度相对应的路程和时间是什么，因为取东西等时间忽略不计，因此剩余的时间就可以确定为步行的时间；路程是从家出来2分钟后开始算，再回家的路程加上从家到学校的路程的和；时间是10分钟减去2分钟，只有8分钟的时间了。
　(3) 根据基本的关系式s=vt，可先求出s＝600+（600÷10）×2＝720(米),　t＝10－2＝8(分钟)。列式为：720＝8v。
　(4)v＝90，即小明步行的速度为90米／分钟。
　从上面的解答过程来看，难点在于第二步中知道模型系统后相应的数量怎么准确地找出来，一定要注意题中对每一个量是怎样叙述的，有什么特殊的要求，在认真读题的基础上准确地找出来或计算出来。　 建模过程包括以下3步：
1.从现实生活中或具体情境中抽象出数学问题。发现和提出问题是数学建模的起点。2.用数学符号表示数学问题中的数量关系和变化规律。在这一步中，学生通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模型抽象，得到模型。这是建模的重要环节。3.通过模型去求结果，应用生活中问题解决，并用此结果解释、讨论它在现实中的意义。三、化归思想
1. 化归思想的概念。
　人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。
　从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。2. 化归所遵循的原则。
化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：
（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。
（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。
（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。 3．解决问题中的化归策略。
（1）化抽象问题为直观问题。
从数的认识到计算，直观操作帮助理解算理算法；
解决问题中画线段图表等帮助理解数量关系，进行推理；
用图表进行推理；
函数图像直观地表示变量间的关系；
统计图表直观地表示数据。
案例：　 ＋ ＋ ＋ ＋ … ＝
分析：此问题通过观察，可以发现一个规律：每一项
都是它前一项的 。但是对于小学和初中的学生来说，
还没有学习等比数列求和公式。如果把一条线段看作1,
先取它的一半表示 ，再取余下的一半的一半表示 ,
这样不断地取下去，最终相当于取了整条线段。因此，
上式的结果等于1。（2）化繁为简的策略。
有些数学问题比较复杂，直接解答过程会比较繁琐，如果在结构和数量关系相似的情况下，从更加简单的问题入手，找到解决问题的方法或建立模型，并进行适当检验，如果能够证明这种方法或模型是正确的，那么该问题一般来说便得到解决。
案例：快速口算85×85＝，95×95＝，105×105＝
分析：仔细观察可以看出，此类题有些特点，每个算式中的两个因数相等，并且个位数都是5。不妨从简单的数开始探索，如15×15＝225, 25×25＝625, 35×35＝1225。通过这几个算式的因数与相应的积的特点，可以初步发现规律是：个位数是5的相等的两个数的乘积分为左右两部分：左边为因数中5以外的数字乘比它大1的数，右边为25（5乘5的积）。所以85×85＝7225，95×95＝9025，105×105＝11025，实际验证也是如此。（3）化实际问题为特殊的数学问题。
数学来源于生活，应用于生活。与小学数学有关的生活中的实际问题，多数可以用常规的小学数学知识解决；但有些生活中的实际问题表面上看是一些常用的数量，似乎能用常规的数学模型解决问题。但真正深入分析数量关系时，可能由于条件不全面而无法建立模型。这时，就需要超越常规思维模式，从另外的角度进行分析，找到解决问题的方法。 例：李阿姨买了2千克苹果和3千克香蕉用了11元，王阿姨买了同样价格的1千克苹果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克苹果和香蕉各多少钱?
分析：此题初看是关于单价、总价和数量的问题，但是，由于题中没有告诉苹果和香蕉各自的总价是多少，无法直接计算各自的单价。认真观察，可以发现：题中分两次给出了不同数量的苹果和香蕉的总价，虽然题中有苹果和香蕉各自的单价这两个未知数，但这二者没有直接的关系，如果用方程解决，也超出了一元一次方程的范围。那么这样的问题在小学的知识范围内如何解决呢？利用二元一次方程组加减消元的思想，可以解决这类问题。不必列式推导，直接分析便可：1千克苹果和2千克香蕉6.5元，那么可得出2千克苹果和4千克香蕉13元；题中已知2千克苹果和3千克香蕉11元。用13减去11得2，所以香蕉的单价是每千克2元。再通过计算得苹果的单价是每千克2.5元。（4）化未知问题为已知问题。
　对于学生而言，学习的过程是一个不断面对新知识的过程，有些新知识通过某些载体直接呈现，如面积和面积单位，通过一些物体或图形直接引入概念；而有些新知识可以利用已有知识通过探索，把新知识转化为旧知识进行学习。如平行四边形面积公式的学习，通过割补平移，把平行四边形转化为长方形求面积。这种化未知为已知的策略，在数学学习中非常常见。 四、数形结合思想 1. 如何理解数形结合思想。
　 数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，两者既是对立的又是统一的．数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数与形的对立统一主要表现在数与形的互相转化和互相结合上。尤其是直角坐标系与几何的结合，是数形结合的完美体现。小学数学阶段主要是利用各种直观手段理解和掌握知识、解决问题。四、数形结合思想 2. 数形结合思想的具体应用。
　 数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之为 “以形助数”。 2. 数形结合思想的具体应用。
（1）数的表示和运算。
数和运算的实物化、
图形化和操作化，便于
人们直观理解数和计算。
摆小棒、画图形等。（２）解决问题中的形。
①画线段图表示数量关系。
　案例：上海版五上列方程解决问题
　上海浦东中银大厦的总高度为258米，比上海国际饭店的3倍还高24米，上海国际饭店高多少米？上海国际饭店浦东中银大厦？米258米24米设上海国际饭店的高度为x米，易于找等量关系和理解逆向思考的数量关系。②解决问题的直观策略。③利用坐标系中的图像直观理解正比例关系。（3）统计中的图形。
①各种统计图表。（4）空间与图形中的数。
①图形的周长、面积
和体积公式。②图形中边之间的关系。
五、集合思想
一般地，把研究的对象称为元素；把一些元素组成的总体， 称为集合。
2. 集合理论是数学的理论基础。
　如数的概念及运算，都可以从集合的角度来定义。
　自然数可以理解为一类可数等价集合的基数（元素的个数）。
　加法可以理解为两个互不相交的集合的并集。
　函数就是在集合的基础上定义的。3.集合思想的具体应用。
集合思想在小学数学的很多内容中进行了渗透。在数的概念方面，如自然数可以从对等集合基数（元素的个数）的角度来理解，再如在一年级通过两组数量相等的实物建立一一对应，让学生理解“同样多”的概念，实际上就是两个对等集合的元素之间建立一一对应；数的运算也可以从集合的角度来理解，如加法可以理解为两个交集为空集的集合的并集，再如求两数相差多少，通过把代表两数的实物图或直观图一对一地比较，来帮助学生理解用减法计算的道理；实际上就是把代表两数的实物分别看作集合Ａ、Ｂ，通过把Ａ的所有元素与Ｂ的部分元素建立一一对应，然后转化为求Ｂ与其子集（与Ａ等基）的差集的基数。此外，在小学数学中还经常用集合图表示概念之间的关系，如把所有三角形作为一个整体，看作一个集合，记为Ａ；把锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各自看作一个集合，分别记为Ｂ、Ｃ、Ｄ，这三个集合就是集合Ａ的三个互不相交的子集，Ｂ、Ｃ、Ｄ的并集就是Ａ。再如在学习公因数和公倍数时，都是通过把两个数各自的因数和倍数分别用集合图表示，再求两个集合的交集，直观地表示了公因数和公倍数的概念。三、如何在课堂教学中渗透数学思想方法概念形成过程渗透 结论推导的过程中渗透 规律揭示的过程中渗透 问题解决的过程中渗透复习总结中渗透 概念形成过程渗透 例如：某老师在教学自然数“1”的认识时，
教学片断1:
师：电脑出示一幅情境图“一位老师手里拿着一本书与一位新同学对话，校园里现有一面旗，一座教学楼，一个操场，天空有一只小鸟……”
问：同学们，你看到图上画的是什么？
生1：我看到了有老师、有同学，还有操场。
生2：我看到了教学楼和红旗
生3：我看到了有红旗，有一位同学在问“老师，您好！”
师：你真聪明，看到了有一位同学在问老师好，你们知道有几位老师……？
生1：有一位老师，一位同学，一面红旗。
生2：有一个操场，一座大楼……
师：不管是1位老师，一位同学，一个操场，一座大楼，它们数量都是1个，我们用数“1”来表示，板书“1”。概念形成过程渗透 教学片断2:
师电脑演示：把一些苹果一个一个地快速装到一个篮子里。
师问：同学们，这是多少苹果。
生1：有许多个苹果。
生2：这里有一篮子苹果。
师：把这许多个苹果放到一个篮子里，我们可以说这里有1篮子苹果。一个篮子里有许多个苹果。教学片断3:
你能用“1”说一句话吗？
生1：我有一支铅笔。
生2：我家养了一只小狗。
生3：我爱有一盆鸡蛋。
生4：我妈妈买了一筐梨子……结论推导的过程中渗透 例如：某老师在教学“平行四边形面积”时的教学片断：
①师：你们知道了长方形、正方形的面积计算公式，你们能自己想办法推导出平行四边形的面积公式吗？
学生：各自思考、猜测、剪拼、测量。
②师：哪个小组上台说一说你们的方法？
组1：我们把平行四边形放到方格纸上，用数方格的方法知道了问题的答案。
组2：我们把平行四边形通过剪拼的方法变成了长方形。（边演示，边验证给大家看。）
组3：我们把平行四边形的两个相邻边相乘……
学生通过讨论，组3的方法是错误的，组2的方法比较好，组1的方法带有局限性。
③师：底乘高是不是任何一个平行四边形的面积计算方法呢？
学生进一步探究，进而同学们又交流了各自想法、做法。规律揭示的过程中渗透例如：某老师在一节计算教学中出了这样的一些题目：
96×230　　　27×890　　 960×230???????? 890×270
960×23????? 89×27　　　9600×230 　　?? 2700×89　　　　
师：同学们，今天我们来一次比赛，请你们算出各自的得数，看谁算得又对又快，算完后就马上举手，并把你的算法介绍给大家。
结果，有的学生很快算完，有的学生只算两道就到时间了。
师：你是怎样算的？
生1 ：我先算出96×23　和２７×８９的积，其余的题就看因数后面一共有几个零，在积的末尾就添加几个0，就可以了
师：你是怎样做的？
生2：我是……
师：你为什么算得慢，能找到原因吗？下课后，把你的心得写一篇数学作文好吗？谢谢倾听

展开更多......

收起↑