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三角形三边关系定理在初中数学中的应用
三角形是最简单的多边形，是研究和学习几何的基础，而三角形三边关系定理是研究三角形的基础，可见三角形三边关系定理的重要之处，笔者针对三角形三边关系定理在初中数学中的应用做一一的总结，希望能够给学习这个定理的人有一定的帮助。
定理及其推论
定理：三角形任意两边之和大于第三边；推论：三角形任意两边之差小于第三边。定理分析：无论是定理还是推论都有“任意”二字，所以定理和推论都包含三项内容，用a，b，c表示三角形的三边，则定理可以表示为：a+b>c,a+c>b,b+c>a;推论则表示为：a-bb），应用时只需抓住两条边来验证第三边即可。具体的应用参考下面的例题。21教育网
三：定理的应用
判断三条线段是否可以构成三角形
例题1 下列几组线段中，不能构成三角形的是：（ ）
A.3，4，5 B.2，4，6 C.5，6，8 D.7,10,15
解法分析： 下面我们以A选项为列来详细说明定理的使用，首先我们任意的取出两条线段，不妨我们取3和4.然后根据定理我们做出4-3例题2 以4cm,8cm,10cm,12cm四根木条中的三根组成三角形，可以构成的三角形的个数是：
（ ）
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
解法分析：四根木条选3根有四种情况：4cm,8cm,10cm;4cm,8cm,12cm;4cm,10cm,12cm;8cm,10cm,12cm.由三角形三边关系定理知以12cm，8cm，4cm不能构成三角形，其它三种情况均符合题意，因此能构成三个三角形，故选择C。www.21-cn-jy.com
说明：实际上判断能否构成三角形的条件和根据已知两边判断第三边的取值范围是一样的，因此在这里就不一一叙述了。【来源：21·世纪·教育·网】
判断三点是否共线
三角形三边关系定理的主要内容是描述构成三角形的条件，那么如果不能构成三角形会是情形呢？其中就包括三点共线的情况，当a-bb）或c=a+b时，a,b,c三条线段共线。21·世纪*教育网
例题3 已知A，B，C三点，且AB=3，BC＝4，AC＝7.判断这三点是否在一条直线上？
解法分析：根据题意显然有3+4=7，所以这三点共线。需要说明的是a-b=c和c=a+b本质上是一样的，因为3＋4＝7可以表示为3＝7－4 .21*cnjy*com
与三角形周长相关，尤其是等腰三角形周长。
例题4 等腰三角形△ABC两边的长分别是7和4，求三角形的周长为（ ）
A.15 B. 25 C.11 D.15或25
解法分析：因为是等腰三角形，所以首先要判断7和4哪个是腰？哪个是底，因此要进行分类讨论，把所以的可能都列举出来：7、7、4和7、4、4，然后根据三角形的三边关系定理来验证，结果两种情况都符合，故答案为D。【来源：21cnj*y.co*m】
例题5 等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则这个等腰三角形的周长是：（ ）【出处：21教育名师】
A. 8 B. 10 C.8或10 D. 6
解法分析：解法同例题4，不同的是两种组合分别为4、4、2和4、2、2，符合条件的只有4、4、2，故答案为B。需要说明的是因为关于周长的问题不仅仅限于等腰三角形，但由于等腰三角形具有典型性，因此在这里举例说明。【版权所有：21教育】
证明线段的不等关系
例题6 如图1，在△ABC中，D是BC边上的任意一点，求证：AB+BC+AC>2AD。
证明：
在△ABD和△ACD中，∵AB+BD>AD,AC+CD>AD，∴AB+BC+AC>2AD.
变式：如图1，在△ABC中，D是BC边上的中点，求证：AB +AC>2AD。
证明：延长AD到E点，使得AD＝AE，连结BE和CE，如图2，因为AD和BC互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，因此AC=BE。21cnjy.com
在△ABE中，AB+BE>AE，又∵BE=AC，AE=2AD，∴AB+AC>2AD。
例题7 如图，已知A、B两个村在河的同侧，要在河边建一个水站向两个村供水，为了使水站到两村距离之和最小，问水站应该建在哪里？21·cn·jy·com
解法分析：做A点关于直线的对称点C，连结AB与直线的交点即为水站的位置。如果水站建在D处，因为AD=CD,CD+BD>BC，所以AD＋BD>BC。www-2-1-cnjy-com
5、判断两个圆的位置关系（创新应用）
上述的几种情况是在初中数学中常见的三角形三边关系定理的应用，在笔者的教学过程中，发现如果使用这个定理来判定两圆的位置关系十分的简洁和实用，在这里与大家一起分享，希望对大家能有所启发。我们都知道两圆的位置关系有6种，主要是根据两圆半径r1，r2和圆心距d三者之间的关系，如何把它们和三角形的三边关系联系起来呢？我是这样做得，如图3，以两圆相交为例。当两圆相交时，这三条线段刚好构成一个三角，显然满足三角形三边关系定理，即r2-r1r1). 而当两圆相切时，恰好对应等号成立时，如图2所示。为了使应用的更加方便，我们可以用数轴来表示两圆的位置关系，如图4。
在判断两圆的位置关系时，只需抓住数轴上的两点即可，然后看圆心距在数轴上位置就可以一目了然的判断出两圆的位置关系。具体的使用参照下面例题。2-1-c-n-j-y
例题8 已知两圆的半径分别为3和4，圆心距取下列何值时两圆相交（ ）
A 5 B 6 C 7 D 8
解析：套用三角形三边关系定理，有4－3< d<4+3,可知圆心距在1～7之间的时候为相交，所以答案为B。2·1·c·n·j·y
例题9 已知两圆相切，其中一个圆的半径为5，圆心距为8，求另外一个圆的半径（ ）
A 3 B 7 C 13 D 3或13
解析：两圆相切对应的恰好是三点共线的情况，即等号成立的时候，所以答案为D。

三角形三边关系定理的巧用
　　三角形三边关系的定理“三角形两边之和大于第三边”即对于△ABC，其三边为a，b，c．根据定理应有a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a．如果我们要确定三条线段能否组成三角形，必须满足a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a．三者缺一不可，一定不能仅仅根据其中“任意”两边之和大于第三边就断定该三条边组成三角形，但是如果把三条线段长分别代入以上三个不等式，既显得麻烦，又比较费时间，这个定理的应用有一定技巧，今介绍给初学几何的学生，希望能有帮助．21教育网
　　怎样应用三角形三边关系定理呢？
　　1、如果已知c是a、b、c三线段中最大的线段，那么只要满足a+b＞c就可以断定三线段能构成三角形，而不必再考虑a+c＞b和b+c＞a了．21·cn·jy·com
　　例1下列有三组线段，判定哪组的三线段构成三角形？
　　(1)a=3，b=8，c=4．(2)a=5，b=6．c=11．(3)a=10，b=5，c=6．
　　解(1)因为三线段中b最大，且a+c=3+4=7＜8=b所以该三线段a，b，c不能构成三角形．
　　(2)因为三线段c最大，且a+ b= 11=c所以这三线段a．b，c不能构成三角形．
　　(3)因为三角形中a最大，且b+c=11＞10=a所以这三线段a，b，c能构成三角形．
　　=____．
　　分析：求值式需要先研究被开方式的底数和绝对值内的式子的正、负情况，再去掉根号和绝对值符号，就可求出结果．www.21-cn-jy.com
　　解：∵a、b、c是△ABC的三边，由三角形三条边的关系，有
a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b，
　　即a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0．
　　
　　｜b-c-a｜=-(b-c-a)，
　　｜c-a-b｜=-(c-a-b)．
　　∴求值式=[-(a-b-c)]+[-(b-c-a)]+[-(c-a-b)]=a+b+c．
　　2、在等腰三角形中，应考虑三边的特殊性，要区别腰与底的关系，在已知两边求三角形的周长时要讨论解的情况．21cnjy.com
　　例3一个等腰三角形的两条边长分别是10cm和5cm，求这个三角形的周长．
　　分析：在给出的条件中，没有确定等腰三角形的腰和底，所以10cm长的边既可能是底，也可能是腰，于是本题有两解．2·1·c·n·j·y
　　解(1)当腰长10cm时，则底长5cm时，等腰三角形的周长是25cm．
　　(2)当底长10cm时，则腰长5cm，然而两腰之和等于底边(5+5=10)，所以此三角形不存在．【来源：21·世纪·教育·网】
　　答：这个三角形的周长是25cm．
　　3、若三线段能构成三角形且已知其中两线段的长．求第三线段的取值范围时，要把三边关系定理与其推论(三角形两边的差小于第三边)同时运用．21世纪教育网版权所有
　　例4已知三角形的两边长为 8cm，20cm，求第三边长x的取值范围？
　　解：根据三角形三边关系定理及推论得：
20-8＜x＜20+8
12＜x＜28
　　答：第三边长x的取值范围在12cm到28cm之间(不包括12cm和28cm)．
　　　
　　例5已知如图：D、E是△ABC内两点．
　　求证 AB+AC＞BD+DE+EC．
　　证明：把线段DE向两边延长交AB于F点，交AC于G点．
　　根据三角形两边之和大于第三边得
　　AF+AG＞FG即AF+AG＞FD+DE+EG，
　　又FB+FD＞BD，EG+GC＞EC
　　∴AF+AG+FB+FD+EG+GC＞FD+DE+EG+BD+EC
　　又∵AF+FB=AB，AG+GC=AC，
　　∴AB+AC+ED+EG＞FD+DE+EG+BD+EC，
　　即AB+AC＞BD+DE+EC．
　　练习：
　　
　　(答：2(a+b+c))
三角形内角和定理的几种证明方法
三角形内角和定理? 三角形三个内角的和等干180°
已知：如图已知△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
证法一:作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA，则∠1=∠A， ∠2=∠B 21教育网
又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°? ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°
证法二:过点C作DE∥AB，则∠1＝∠B，∠2＝∠A
又∵∠1+∠ACB+∠2＝180°∴∠A+∠ACB+∠B＝180°
证法三:在BC上任取一点D，作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F，则有∠2＝∠B，∠3＝∠C,∠1＝∠4,∠4＝∠A21世纪教育网版权所有
∴∠1＝∠A 又∵∠1+∠2+∠3＝180°
∴∠A+∠B+∠C＝180°
证法四:作BC的延长线CD，在△ABC的外部以CA为一边，CE为另一边画
∠1＝∠A，于是CE∥BA,∴∠B＝∠2
又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
证法五: 过点C作CD∥BA，则∠1＝∠A
∵CD∥BA
∴∠1+∠ACB+∠B＝180° ∴∠A+∠ACB+∠B＝180°

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