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对称轴的历史故事
瑞士数学家欧拉早年曾受过良好的神学教育，成为数学家后在俄国宫廷供职。
有一次，俄国女皇邀请法国哲学家狄德罗访问她的宫廷。狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值得被邀请的。女皇厌倦了，她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴。于是，狄德罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明。狄德罗高兴地接受了挑战。21教育网
第二天，在宫廷上，欧拉朝狄德罗走去，用一种非常肯定的声调一本正经地说：“先生，，因此上帝存在。请回答！”对狄德罗来说，这听起来好像有点道理，他困惑得不知说什么好。周围的人报以纵声大笑，使这个可怜的人觉得受了羞辱。他请求女皇答应他立即返回法国，女皇神态自若地答应了。就这样，一个伟大的数学家用欺骗的手段“战胜”了一个伟大的哲学家。21cnjy.com
拉普拉斯和拉格朗日是19世纪初法国的两位数学家。拉普拉斯在数学上十分伟大，在政治上却是一个十足的小人，每次政权更迭，他都能够见风使舵，毫无政治操守可言。拉普拉斯曾把他的巨著《天体力学》献给拿破仑。拿破仑想惹恼拉普拉斯，责备他犯了一个明显的疏忽：“你写了一本关于世界体系的书，却一次也没有提到宇宙的创造者——上帝。”21世纪教育网版权所有
拉普拉斯反驳说：“陛下，我不需要这样一个假设。”
当拿破仑向拉格朗日复述这句话时，拉格朗日说：“啊，但那是一个很好的假设，它说明了许多问题。”
两个神童19世纪初，在大西洋两岸出现了两个神童：一个是英国少年哈密顿，另一个是美国孩子科尔伯恩哈密顿的天才表现在语言学上，他8岁时就已经掌握了英文、拉丁文、希腊文和希伯莱文；12岁时已熟练地掌握了波斯语、阿拉伯语、马来语和孟加拉语，只是由于没有教科书，他才没有学习汉语。科尔伯恩则在数学上表现出神奇的天才，小时候，有人问他4294967297是否是素数时，他立刻回答不是，因为它有641作为除数。类似的例子多得不胜枚举，但他不能解释他得出正确结论的过程。21·cn·jy·com
人们把两个神童带到一起，这次会面是奇妙的，现在已经无法确知他们交谈了什么，但结果却是完全出人意料的：科尔伯恩的数学天赋完全“移植”给了哈密顿；哈密顿放弃了语言学，投身数学，成为爱尔兰历史上最伟大的数学家。 至于科尔伯恩，他的天才渐渐消失了。www.21-cn-jy.com
数学家之死挪威数学家阿贝尔22岁的时候就对数学的发展做出了重大的贡献，但并不为当时的数学界所接受。他过着穷困潦倒的生活，这严重地影响了他的健康，他得了肺结核，这在当时是绝症。在最后的几个星期，他一直在考虑他的未婚姐的未来。他写信给他最好的朋友基尔豪：“她并不美丽，有着一头红发和雀斑，但她是一个可爱的女子。”虽然基尔豪和肯普从未见过面，但阿贝尔希望他们两个能够结婚。2·1·c·n·j·y
肯普小姐照料阿贝尔度过了生命的最后时刻。在葬礼上，她与专程赶来的基尔豪相遇了。基尔豪帮助她克服了悲伤，他们相爱并结了婚。正如阿贝尔所希望的那样，基尔豪和肯普婚后十分幸福，他们经常到阿贝尔墓前去怀念他。随着岁月的流逝，他们发现越来越多的人从各地赶来，为阿贝尔在数学上的贡献向他表达他们迟到的敬意，而他们只是这一朝圣队伍中的一对普通的朝圣者。
1832年5月29日，法国年轻气盛的伽罗瓦为了所谓的“爱情与荣誉”打算和另外一个人决斗。他知道对手的枪法很好，自己获胜的希望很小，很可能会死去。他问自己，如何度过这最后的夜晚？在这之前，他曾写过两篇数学论文，但都被权威轻蔑地拒绝了：一次是被伟大的数学家柯西；另一次是被神圣的法兰西科学院他头脑中的东西是有价值的。整个晚上，他把飞逝的时间用来焦躁地一气写出他在科学上的遗言。在死亡之前尽快地写，把他丰富的思想中那些伟大的东西尽量写出来。他不时中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。【来源：21·世纪·教育·网】
他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，一劳永逸地为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一个极为重要的分支——群论。21·世纪*教育网
第二天上午，在决斗场上，他被打穿了肠子。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕沟内，所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑是他的著作，由两篇被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿组成。
数学家的问题费马是17世纪法国图卢兹议会的议员，一个诚实而勤奋的人，同时也是历史上最杰出的数学业余爱好者。在其一生中，他给后代留下了大量极其美妙的定理；同时，由于一时的疏忽，也向后世的数学家们提出了严峻的挑战。www-2-1-cnjy-com
费马有一个习惯，他在读书的时候喜欢把思考的结果简略。有一次，他在阅读时写下了这样的话：“……将一个高于2次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”这个定理现在被命名为“费马大定理”，即：不可能有满足xn＋yn=zn这就是费马对后世的挑战。为了寻找这个定理的证明，后世无数的数学家发起了一次又一次的冲锋，但都败下阵来。1908年，一位德国富翁曾经悬赏10万马克的巨款，奖励第一个对“费马大定理”完全证明的人。自此定理提出后，数学家们奋斗了300多年，还是没有证出来。但这个定理肯定存在，费马知道它。
在数学上，“费马大定理”已成为一座比珠穆朗玛峰更高的山峰，人类的数学智慧只有一次达到过这样的高度，从那以后，再也没有达到过。
5.4 《利用轴对称进行设计》拓展资源
一、阅读资料
《艺术作品中的对称》
许多著名画家在作品中运用简单的图形创造出了奇妙的韵意。法国著名画家V·瓦萨雷利于1969年创作出了名画《委加·派尔》，画中仅仅用了圆形图案，就形成了一幅动态的轴对称图形！21世纪教育网版权所有
在从古至今的艺术创作中，不仅画家大量运用了对称，许多别的艺术家也经常运用对称的手法。如雕刻家威廉斯多佛1971年在加蓬《非洲人的设计》中创作的“木制卫兵雕像”就是典型的雕刻艺术中的对称。21教育网
二、拓展练习
练习1：分别以虚线为对称轴画出下列各图的另一半，并说明完成后的图形可能代表什么含义。
练习2：利用一条线段，一个圆，一个正三角形设计一个轴对称图案，并阐明设计意图。
跳舞的女孩 路灯 交通标识
练习3：下图是由四个小正方形组成的L形图案，请你再添加一个小正方形使它们能组成一个轴对称图形。(给出三种不同的作法)
奇妙的对称
我们生活在一个充满对称的世界里：一个雪花晶体是对称的，一只蝴蝶的双翼是对称的，一朵梅花的花瓣是对称的，一个酒瓶是对称的，英文字母“A”呈左右两边对称，汉字“中”的对称性更强，你上下左右颠倒，它都是一样的；而“○”则是所有对称之最，因为你无论怎样旋转它，“○”总是“○”——这是人造的对称。此外，还有一种被物理学家称之为动态的对称，如在微观世界里，粒子的正负电子交换是对称的，质子与中子处于某种动态的对称中。
为什么自然界也如此偏爱对称？又是谁设计了这众多的高度完美的对称？科学家们对这一自然之谜提供的一个简单解释是：也许由大量同一的“零件”构成的。大自然本身是在宇宙的“生产线”上“大批量”生产出来的，为了“制造”的简捷和方便，也许宇宙也遵循某种“最优化的原则”。为什么会如此？这本身乃是一个更大的谜。21世纪教育网版权所有
一些科学家认为，包括我们人类在内的宇宙有着深层的数字结构，遵循着某种我们还难以理解的对称的原则，古希腊哲人柏拉图曾说：“上帝是一个几何学家。”量子力学的先驱之一保尔·狄拉克也说：“上帝自然是一个高明的数学家，它运用高深的数字原则来建造宇宙，而且比我们人类造得更好。”而对于这一切我们了解得又是多么的有限！21教育网
宇宙充满了对称，宇宙同时也充满了不对称或被打破了的对称。液态水分子有一种球性的对称，这是水之所以能流动的奥秘所在，但当水受冷结冰时，这种完美的对称就被破坏，而转变成一种低层次的如雪花晶体般的六边形的新的对称。21cnjy.com
现代宇宙学已告诉我们，我们的宇宙始于150亿年前的一次大爆炸，在大爆炸不可思议的一瞬，宇宙是一个能量极高的球形对称物，随着爆炸后物质的不断扩展和温度的慢慢降低，宇宙的这种原始的对称被破坏，并开始在新的层次上形成某些新的对称，如星系的螺旋形对称及行星本身的球形的对称。这些星系聚集成如同气泡一样的簇丛，围绕着一个难以捉模的可怕的空洞。这种由原始的对称的宇宙演变成巨大的不对称的宇宙的原因仍是科学家们激烈争论的一个问题。
同样，大自然中的对称也以多种多样的方式被打破，例如豹、狗、猫身上的斑点与花纹并不严格对称，比目鱼的两个眼睛长在一边，而我们人类的心脏位于胸腔的左边，也将外部形体的对称打破。21·cn·jy·com
除了这种形体位置的不对称外，还有一种有趣的时间上的不对称，如大多数鸟飞行时都是同时拍打双翅的，但燕子和蝙蝠却是奇怪地交替着拍打双翅。
这种对称与不对称的奇妙，变换成了新崛起的混沌学研究的一个课题。在混沌学中，一个极小的能量波动都能以极快的速度成倍地放大。譬如，甚至在南美圭亚那雨林中的一只蝴蝶的拍翅与北美堪萨斯州的一阵旋风也可能有某种复杂的因果关系，而这则是任何一个气象学家都难以预知的。混沌学研究的对象也许可以这样来形容：在无风的天气里，从一只点燃的雪茄上飘起的轻烟能直线地升起，然后这种对称慢慢地被轻微的空气运动打破，逐渐消解为混乱的越来越薄的烟雾。混沌学就是研究这种数字和物理世界中的对称结构是如何走向混沌的。
奇妙的对称美
北京紫禁城内的古建筑群非常注重对称美。通过紫禁城的核心位置，贯穿着一条中轴线：从外城永定门开始，经过内城正阳门，然后进入宫廷广场的大明门（清朝改为“大清门”，辛亥革命后又改为“中华门”），穿过广场，便是皇城上的承天门（即现在的“天安门”），承天门内有端门，端门以内迎面而来的才是紫禁城正面的午门，又叫五凤楼。在这条中轴线的东西两段，对称排列着内外两城最重要的建筑群，东面是天坛，西面是山川坛（后改称“先农坛”），以及太庙和社稷坛（即如今的“劳动人民文化宫”和“中山公园”）。进入午门之后，所有建筑物都采用了更加严格的对称排列形式。其中，只有代表皇权统治中心的前朝三大殿——太和殿、中和殿、保和殿，及内廷后三宫——乾清宫、交泰殿、坤宁宫，才端端正正地布置在正中央，且每座大殿上的蟠龙宝座，都坐落在中轴线上。21教育网
对称也是艺术家们创造艺术作品的重要准则。像中国古代的近体诗中的对仗、民间常用的对联等，都有一种内在的对称关系。对称还是自然界的一种普遍现象，不少植物、动物都有自己的对称形式。比如，人体就是以鼻尖、肚脐眼的连线为对称轴的对称形体，眼、耳、鼻、手、脚都是对称生长的。眼睛的对称使人观看物体能够更加准确；双耳的对称能使所听到的声音具有较强的立体感，以确定声源的位置；双手、双脚的对称能保持人体的平衡。www-2-1-cnjy-com
生活中的对称美也彼彼皆是，闹钟、飞机、电扇、屋架等的功能和属性完全不同，但是它们的形状态却有一个共同特征——对称。人们把闹钟、飞机、电扇制造成对称形式，不仅为了美观，而且还有一定的科学道理：闹钟的对称保证了走时的均匀性，飞机的对称使其能够在空中保持平衡。2-1-c-n-j-y
无论是艺术家的创造，还是日常生活中图案的设计，都有对称的身影。初步掌握对称的奥妙，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐，并能根据自己的设想创造出对称的作品，装点我们美丽的生活。21*cnjy*com
只要你细心观察，就不难发现：对称就在我们身边。
数学美的和谐之对称美??
对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大。数学则是它根本。美和对称紧密相连。
虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。
在数学中，对称的概念略有拓广（常把某些具有关联或对立的概念视为对称），这样对称美便成了数学美中的一个重要组成部分，同时也为人们研究数学提供了某些启示。“对称”实在是一件不容易发生的事，因为自然界的现象，人类觉得它有对称，一方面是很自然的，一方面以要追求它的准确性。自然是否呈现“对称”曾被历史上的哲学家们长期地争论过。【来源：21cnj*y.co*m】
对称的概念源于数学（更确切地讲是欧几里得几何）。对称在天文学（甚至自然界）上的研究，则始于两千多年前的古希腊人。古希腊人十分留意各种“对称”现象，以至他们竟创立了一种学说，认为世界一切规律都是从对称来的，他们觉得最对称的东西是圆，所以他们把天文学中的天体的运行轨道画成圆，后来圆上加圆，这一来就发展为希腊后来的天文学。
自然似乎巧妙地利用了对称规律的简单的数学表示，数学推理的内在的优美和出色的完善，以及由此而来的用数学推理去揭示物理学理论的复杂性和深度，是鼓舞物理学家的丰富源泉，人们期望自然界具有人们所希望的规律性。
“对称”在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等，从奇偶性上或可分解性上区分数也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系，“共轭”概念也蕴含着“对称”性，“对偶”关系也可视为“对称”的一种形式。自然对数的产生也是因为受到常用对数的真数与对数的增长不对称（匀称）性的启发而产生的。【出处：21教育名师】
笛沙格（Desargues）定理和它的对偶情形（1825年，葛尔刚J.D.Gergonne）笛沙格（Desargues）定理笛沙格（Desargues）定理的对偶如果两个三角形，连接其对应顶点的直线过同一点，则对应边相交的三个点在同一直线上。如果两个三角形，连接其对应顶边的点在同一条直线上，则其对应顶点的三条连线过同一点。帕斯卡（Pascal）定理及其对偶化（施坦纳J.Steiner）帕斯卡（Pascal）定理帕斯卡（Pascal）定理的对偶在点圆锥曲线上取六个点A、B、C、D、E、F，若A、B连线与D、E连线交于一点P，B、C连线与E、F连线交于一点Q，C、D连线与F、A连线交于一点R，则P、Q、R三点在同一直线l上。在线圆锥曲线上取六条直线a、b、c、d、e、f，若a、b交点与d、e交点连线为p，b、c交点与e、f交点连线为q，c、d交点与f、a交点连线为r，则p、q、r三线过同一点L。
对称是数学们长期追求的目标，甚至有时把它作为一种尺度。数学中不少概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的。数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，也可以看成启迪人们思维、研究问题的方法。?在其它科学领域很多科学家也是因为坚信宇宙美具有对称性这一特点，作出了许多划时代意义的科学发现。在“五维空间”中存在着我们的宇宙和另外一个“隐藏”的宇宙（对称的宇宙），这个新理论是由美国普林斯顿大学、宾西法尼亚大学和英国剑桥大学的物理学家共同提出的，他们认为：我们的宇宙和一个“隐藏”的宇宙共同“镶嵌”在“五维空间”中，在我们的宇宙早期，这两个宇宙发生了一次碰撞，相撞产生的能量生成了我们宇宙中的物质和能量。
数学模型的对称之美
在数学中，对称活跃地存在于各种模型里。线性函数、基本初等函数、平面及立体几何……对称的图形中，又可以演绎出轴对称和中心对称两大类。在代数中，函数以其实用的功能与奇妙的变换为人们所熟悉和喜爱，其中一个很重要的原因，是它的对称性。在线性代数的矩阵中，对称引导着问题的解决方向。从自然界象出来的数学，更是赖对称以存在的。21世纪教育网版权所有
关键词：对称 ;平面及立体几何 ;线性函数 ;基本函数 ;数学公式
?如我们所知，在自然界中，对称作为一种物态的表现形式，可以说无处不在。蝴蝶美丽的双翼，各类兽、禽的五官肢体，甚至皮毛的纹理，都蕴含着对称的因素。同样的，在数学中，对称亦然活跃地存在于各种模型里。线性函数、基本初等函数、平面及立体几何……无处难觅其踪影。在这里，我愿以己之拙笔，表达出对于这种存在于数学中的对称之美的感悟和体会。21·cn·jy·com
在二维的空间内，我们可以信手勾勒出很多别致的图形，或对称，或不对称。对称的图形中，又可以演绎出轴对称和中心对称两大类。轴对称，顾名思义，即以一条直线为轴，两侧图形相同，一侧的图形沿轴线翻转，与另一侧的图形完全重合。典型如矩形，等腰三角形。再看中心对称，以一点为中心，将一图形绕其旋转180°得另一图形，那么两图形即关于这一点成中心对称。典型如平行四边形。同时属于轴对称和中心对称的图形，如正方形、圆形、菱形，给人以地纳方圆的大气之感；而只属于其中一种的对称图形，三角形、矩形、平行四边形，却显得简单而灵动。这些不同类型的基本图形的组合，便可以融汇厚重与灵活于一体，带给我们视觉上的享受。www.21-cn-jy.com
进一步来看，在立体几何图形中，对称更是屡见不鲜。敦实的立方体、圆柱体，圆润光滑的球体，活泼有生机的锥体……无一不深刻地体现着对称的美丽。还有许多组合体，如圆锥和圆柱的组合体，给人以无限遐思想象的空间。
在代数中，函数以其实用的功能与奇妙的变换为人们所熟悉和喜爱。其中一个很重要的原因，却常常很难为人所察觉，便是它的对称性。如几个基本函数：??? y=x，y=xa，y=sinx,y=cosx，图像关于原点或y轴对称。再如y=logax(a>o),随着a的取值从（0，1）变到（1，∞），在图像上形成了关于x轴的对称；y=ax,随着a的取值从（0，1）变到（1，∞），形成关于y轴对称的图像。更加清晰的是反函数，一对互为反函数的函数图像关于y=x对称,如y=logax(a>0,x>0)和y=ax(a>0)。由于其易于被驾驭和应用的对称性，函数被广泛应用于生产和生活的各个领域——如企业、公司的商务统计，对于产品的市场反馈调查，精密仪器的制造，甚至于个人的家庭理财，都可以见到函数的身影。
在线性代数的矩阵中，对称更是乐此不疲地出现，引导着问题的解决方向。为人们所喜爱的三阶单位矩阵，以主对角线为轴，两侧成对称。如果求所给矩阵的逆，依然要用到单位矩阵。如求一矩阵的逆，先将其扩充为原矩阵和其单位矩阵的合矩阵，通过一系列的变换后，成为单位矩阵在前、新矩阵在后的合矩阵，新矩阵即为所求矩阵。不难发现，这一过程包含着对称的形式——扩充后的矩阵与求解后的矩阵，单位矩阵的位置正好相反。在三阶行列式的计算中，运用克拉默法则，从左上开始，沿对角线相乘得a,第一行第二列、第二行第三列、第三行第一列的数相乘的b,第二行第一列、第三行第二列、第一行第三列的数相乘得c,用a+b+c,再减去与之关于中心数相对称的各项数乘，便求得行列式值。足见，对称之美整齐而有章法。2·1·c·n·j·y
在一些为我们所熟悉的公式中，对称也不厌其烦地活跃着。简单如我们最初所学的a+b=b+a,（a+b）c=a/b+a/c,复杂如后来变化的（a+b）2=a2+2ab+b2,(a-b)(a+b)=a2-b2.藏在每个公式中，不易察觉，却能深刻地感受到它的存在。【版权所有：21教育】
蝴蝶少了一只翅膀的会人感到难过，数学中如果少了对称，就会枯燥而乏味，令人迷茫而不知其所云尔尔，失去探究的乐趣。当然，这是永远不会出现的，因为对称已经深深地根植于大千世界，从自然界被抽象出来的数学，更是赖对称以存在的。21教育名师原创作品
对称的形象，像花一样洒遍数学的沃土，在充斥着拉丁字母、阿拉伯数字、希腊运算符的天地中，散发着独特的香气。我们在寻找着一种超越数学本身逻辑性，来解释不变的定律的同时，也体会到了对称作为一种物质存在形式的独特魅力。21*cnjy*com
这就是对称所诠释的数学之美。
奇妙的对称图
这几天，懒羊羊发现美羊羊画出的图形都是一连串的，非常的漂亮，也非常的羡慕，羡慕美羊羊的心灵手巧。
今天特地来向美羊羊讨教画相同图的画法。美羊羊知道了懒羊羊来意以后，随手拿了一张纸，对折了一下，用彩笔靠近折痕边慢慢画着，接着用剪刀沿着画的痕迹，剪着剪着，一个漂亮的星星出现在懒羊羊面前。
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 “太神奇了。”懒羊羊惊叹道，“你刚才就只画了半边，剪下来的就是整个星星了呀！”
“这种沿着中间的这道折痕正好左右两边完全重合的图形，我们把它叫做轴对称图形。这条折痕所在的直线就是这个星星图的对称轴。”美羊羊看着满脸惊喜的懒羊羊说，“你给我半个星星，我不对折，还也能把它的另一半也画出来呢!”
“那要是能掌握这样的本领，那可以真是太牛了！你画给看看！”懒羊羊越来越佩服美羊羊了。
“为了方便画图，我首先把这半个星星的放在一个方格图中。”美羊羊迅速在一张白纸上画出了方格图和半个星星，见图1。21cnjy.com
“先找到星星的关键点，以这个A点为例（图2）。这个点在这个对称轴的左边，距离对称轴只有一个格子的距离。那么我就在对称轴的右边，距离一格的地方也点上一个点。这个点就是刚才这个A点的对称点（图3）。”美羊羊非常有耐心地向懒羊羊讲述着过程，“剩下的点，你能找到吗？”美羊羊给懒羊羊出难题了。【来源：21·世纪·教育·网】
“没有问题，你看我的。”懒羊羊不假思索地说。
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懒羊羊嘴里嘀咕着：“先找到这个关键点，然后数出这个关键点到对称轴的距离，接着在对称轴的另一边同样的位置数出同样的距离，就找到这个关键点的对称点了。”很快懒羊羊就找到了所有关键点的对称点，按照原来图，连接起所有的对称点，一个漂亮的星星图跃然纸上（图4）。21·世纪*教育网

“你真是太棒了！”美羊羊冲着懒羊羊竖起了大拇指。
“都是你的方法好！”懒羊羊不好意思的笑了起来，脸上还带着一些自豪。
数学中的对称美
对称性是数学美的最重要的特征。 几何中的轴对称、中心对称，代数中的许多运用都能给人以美感。发掘学生对数学的审美能力，这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。许多数学教师在教学中关注怎样利用数学中的对称美,提高学生学习数学的兴趣,提高解题的能力。我认为,数学教师在教学中,更要注意引导学生利用对称美提出问题,进行数学创新。这样做,有利于学生跳出题海,掌握学习的主动权。一 ：代数中的对称美：常出现在规律运算、数列运算、函数运算中例如1： “回文数”是一种数字，也是一种对称数。如:98789，这个数字正读是98789，倒读也是98789，正读倒读一样，所以这个数字就是回文数。计算111111111×111111111的值解：我们最常见的一组算式：1×1=1???????????????????????? 11×11=12111×111=12321??????????????????1111×1111=1234321从上述计算中得出对称规律可得：111111111×111111111=12345678987654321例如2、计算 ：1 + 2 + 3 +┅ + 100引导学生利用数学对称美来解。解：设????x = 1 + 2 + 3 + ┅ + 100????????①倒过来x = 100 + 99 + ┅ + 1???????? ②① + ② 得??2x = 101 × 100????????∴?? x = 5050即：1 + 2 + 3 + ┅ + 100 = 5050例如3、已知正比例函数 与反比例函数 的一个交点是（2，3），则另一个交点是（?? ，??）.分析：因为正比例函数 与反比例函数 都是关于原点中心对称图形，从而它们的交点也是关于原点中心对称。所以另一个交点是（ －2，－3??）.例如4、 如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=-1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．???????????????????? ????分析：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身．????解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）????（2）如右图，过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1．????（3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．????（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。????注意：2×（-1）中的-1即对称轴x=-1．若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律．二、几何中的对称美：“对称”在数学上的表现则是普遍的，几何上平面的情形有直线对称（轴对称）和点对称（中心对称），空间的情形除了直线和点对称外，还有平面对称。正偶边形既是中心对称图形又是轴对称， 正奇边形不是中心对称图形但是轴对称。比如正方形既是轴对称图形（以过对边中点的直线为轴），以是中心对称图形（对角线的交点为对称中心），圆也是。??例如1：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．????分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长．作法：如图．①作点P关于直线OA的对称点E；②作点P关于直线OB的对称点F；③连接EF分别交OA、OB于点C、D．则C、D就是所要求作的点．????证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD．????在OA上任取异于点C的一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HP．∵△PHD的周长=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF而△PCD的周长=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF∴△PCD的周长最短．例如2：作图设计，村庄A、B位于不平行的两条小河的两侧，若要在两条小河上各架设一座与河岸垂直的桥，并要使A到B的路程最近，问桥应架在何处？解：此题看来很复杂，但利用对称的原理来稍做改变，问题就可以迎刃而解了．设河岸为L1、L2、L3、L4，L1//L2，L3//L4，作AA1⊥L1，BB1⊥L3，使AA1的长为L1与L2之间的距离．连接A1B1交L2于A2，交L3于B2，则A2、B2就是加桥的地址，再从A2、B2出发作两座桥．对称美在数学解题中有重要的应用,在解题过程中注意到对称性,则可以以简驭繁,化难为易,提高解题效率,达到事半功倍的效果. 21世纪教育网版权所有

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