资源简介

李善兰（-），晚清中国杰出的数学家，在西方传教士的帮助下，翻译了大量科学著作，如《几何原本》后九卷、《代数学》等．不仅向中国学者介绍了西方数学知识，还创立了许多型概念、新名词、新符号，如代数学、方程式、函数、微分等．除翻译西方名著外，李善兰也有多种自己的著作，如《方圆阐幽》、《对数探源》、《弧矢启密》等，为中国数学的发展作出了卓越的贡献．
7．怎样设元
解读课标
荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“与其说学习数学，倒不如说学习“数学化”方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型．
在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有：
1．直接设元
即问什么设什么．
2．间接设元
即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系．
3．辅助设元
有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析．
4．整体设元
若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数．
问题解决
例1
如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为，那么这个长方形色块图的面积为_____________．
试一试
要求长方形的面积需求出各正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设某个正方形边长入手．
例2
植树节时，某班平均每人植树棵．如果只由女同学完成，每人应植树棵；如果只由男同学完成，每人应植树（
）棵．
A．
B．
C．
D．
试一试
略
例3
某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张元，共售出团体票数的；零售票每张元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
试一试票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数．
例4
某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁年，年期满后由开发商以比原商铺标价高的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中作出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的．
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，年后每年可获得的租金为商铺标价的，但要缴纳租金的作为管理费用．
（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，年后所获得的投资收益率更高？为什么？
（注：）
（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么年后两人获得的收益将相差万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？
试一试
在阅读理解的基础上通过设元解决问题．
例5
某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加．如果开放一个检票口，则要分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则分钟队伍就消失．设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失？
分析与解
未知量有以下几个：检票开始时，等候检票的队伍人数；每个检票口每分钟检票的人数；队伍每分钟增加的人数，只有指明这些量，才能表示等量关系．
设检票开始时，等候检票的队伍有人，每个检票口每分钟检票人，队伍每分钟增加人，则
，，消去，得，．
故同时开放三个检票口，等候检票的队伍消失的时间是：
（分钟）．
纪念大师
例6
瑞士数学家欧拉（．，-）是历史上最多产的数学家，据统计他一共写了本（篇）书籍和论文．著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师．”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影，下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题．
有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产：第一个儿子分得克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多．问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？
分析
根据设未知数和思路的不同，可得多种解法．
解法1
设有个儿子，则最后一个儿子分得克朗，倒数第二个儿子先得到克朗，又得到“余下的”，即留给最后一个儿子的是余下的，故这个“余下的”也是最后一个儿子钱数的．由最后两个儿子分得钱数相等，得方程，
解得
．
所以这位父亲共有个儿子，每人分得财产（克朗），留下（克朗）财产．
解法2
设每个孩子分得的财产是，总的财产是，则根据题意，
第一个孩子分得的财产是：，
第二个孩子分得的财产是：，
第三个孩子分得的财产是：，
依此类推，可以看出，老大与老二（老二与老三，老三与老四等都一样）的差额是．
根据题意，这个差数应当是，于是得出一元一次方程：．
解之，得，于是．经过验证，每个孩子确实都分得元，即第二、三、四……个方程都满足（个）．
所以这位父亲有个孩子，他共有财产克朗，每人分到克朗．
数学冲浪
知识技能广场
1．古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有个数，把其中每个相加，其和分别为，，，，则这四个数分别是____________．
2．一个六位数的倍等于，则这个六位数等于_____________．
3．个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报的人心里想的数是______________．
4．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过元，不享受优惠；②一次性购书超过元但不超过元，一律打九折；③一次性购书超过元，一律打八折．如果小明一次性购书付款元，那么小明所购书的原价一定为（
）元．
A．
B．
C．或
D．或
5．一件服装标价元，若以折销售，仍可获利，则这件服装的进价是（
）．
A．元
B．元
C．元
D．元
6．某种产品是由种原料千克、种原料千克混合而成，其中种原料每千克元，种原料每千克元，后来调价，种原料价格上涨，种原料价格减少，经核算产品价格可保持不变，则的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
7．陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共本，单价分别为元和元，买书前我领了元，现在还余元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”
（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；
（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于的整数，笔记本的单价可能为多少元？
8．燃蜡时间问题（英国）
在伦敦的一个大雾天，一家商店的店主叫店员点燃两支长度相同的蜡烛，这两支蜡烛的一支可维持个小时，另一支可维持小时．雾散后，店主来吹蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的倍，问蜡烛点燃了多长时间？
9．体育文化用品商店购进篮球和排球共个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润元．
篮球
排球
进价/（元/个）
售价/（元/个）
（1）购进篮球和排球各多少个？
（2）销售个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
思维方法天地
10．某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球个，每投进一个球得分，得分的部分情况如表所示：
得分
…
人数
…
已知该班学生中，至少得分的人的平均得分为分，得分不到分的人的平均得分为分，那么该班学生有_____________人．
11．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需小时，从乙地到甲地逆流行驶需小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需___________小时．
12．下边算式中，每个汉字代表个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”，那么被乘数是___________．
13．从两块分别重千克和千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是（
）．
A．千克
B．千克
C．千克
D．千克
14．某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的，已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的比是（
）
A．
B．
C．
D．
15．某商品原价为元，春节促销，降低，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高（
）
A．
B．
C．
D．
16．将下表的方格中的个方格填入不同的数字，使得每行、每列、每条对角线上的个数宇之和都相等．问：表中左上角的数字是多少？
17．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．
月使用费/元
主叫限定时间/分
主叫超时费/（元/分）
被叫
方式一
免费
方式二
免费
温馨提示：若选用方式一，每月固定交费元，当主动打出电话月累计时间不超过分，不再额外交费；当超过分，超过部分每分加收元．
设一个月内使用移动电话主叫的时间为分（为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：
（1）用含有的式填写下表：
方式一计费/元
方式二计费/元
（2）当为何值时，两种计费方式的费用相等；
（3）当时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．
18．为了改善城乡人民生产、生活环境，我市投入大量资金，治理竹皮河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂．设库池中存有待处理的污水吨，又从城区流入库池的污水按每小时吨的固定流量增加．如果同时开动台机组需小时处理完污水，同时开动台机组需工小时处理完污水．若要求在小时内将污水处理完毕，那么要同时开动多少台机组？
应用探究乐园
19．某农民在农贸市场卖鸡．甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好买完．问该农民一共卖了多少只鸡？
20．如图，长方形、、的长与宽的比相同，长方形与的面积比是，长方形的周长是，求长方形的面积．
7．怎样设元
问题解决
例1
设、的边长为，则、、的边长分别为，，，由题意得：，解得．
例2
B设男、女同学分别有、人，则，，则只由男同学完成每人应植树．
例3
设总票数为张，六月份零售票应按每张元定价，由题意得，解得（元）．
例4
（1）设商铺标价为万元，则按方案一购买，则可获投资收益，
投资收益率为．
按方案二购买，则可获投资利益．
投资收益率为．
投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．
（2）设甲投资了万元，由题意得，解得，
甲投资了万元，乙投资了万元．
数学冲浪
1．，，，设四个数的和为
2．
3．
提示：设报的人心里想的数是，报的人心里想的数应是．于是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，由，得．
4．C
5．A
6．C
7．（1）设单价为元的课外书为本，由，得（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．
（2）设单价为元的课外书为本，笔记本的单价为元，则，即，应被整除，，，，，经讨论或．
8．设蜡烛点燃了小时，蜡烛的长度为厘米，由，得小时．
9．（1）个，个
（2）个
10．
设共有人，由，得．
11．
12．
设“神舟五号”，“飞天”，则，，，故，，为自然数，，得，从而，．
13．B
设切下的每一块合金重克，千克、千克的合金含铜的百分比分别为、，则，整理得．故．
14．C
设初一年级学生人数为，男生人数为，可求得初三年级男生人数为，所求比为：．
15．C
16．
17．（1）当时，方式一：；当时，方式一：；方式二：．
（2）当时，，
当两种计费方式的费用相等时，的值在取得．
列方程，解得．
当主叫时间为分钟，两种计费方式的费用相等．
（3）方式二．
18．设台机组每小时处理污水吨，要在小时内处理污水，需开台机组，则由①、②得．代入③，得．
19．设该农民一共卖了只鸡，则，解得．
20．设，，则，，可得，，，由，得，长方形的面积为．
7．怎样设元
问题解决
例1
设、的边长为，则、、的边长分别为，，，由题意得：，解得．
例2
B设男、女同学分别有、人，则，，则只由男同学完成每人应植树．
例3
设总票数为张，六月份零售票应按每张元定价，由题意得，解得（元）．
例4
（1）设商铺标价为万元，则按方案一购买，则可获投资收益，
投资收益率为．
按方案二购买，则可获投资利益．
投资收益率为．
投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．
（2）设甲投资了万元，由题意得，解得，
甲投资了万元，乙投资了万元．
数学冲浪
1．，，，设四个数的和为
2．
3．
提示：设报的人心里想的数是，报的人心里想的数应是．于是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，报的人心里想的数是，由，得．
4．C
5．A
6．C
7．（1）设单价为元的课外书为本，由，得（不合题意），所以陈老师肯定搞错了．
（2）设单价为元的课外书为本，笔记本的单价为元，则，即，应被整除，，，，，经讨论或．
8．设蜡烛点燃了小时，蜡烛的长度为厘米，由，得小时．
9．（1）个，个
（2）个
10．
设共有人，由，得．
11．
12．
设“神舟五号”，“飞天”，则，，，故，，为自然数，，得，从而，．
13．B
设切下的每一块合金重克，千克、千克的合金含铜的百分比分别为、，则，整理得．故．
14．C
设初一年级学生人数为，男生人数为，可求得初三年级男生人数为，所求比为：．
15．C
16．
17．（1）当时，方式一：；当时，方式一：；方式二：．
（2）当时，，
当两种计费方式的费用相等时，的值在取得．
列方程，解得．
当主叫时间为分钟，两种计费方式的费用相等．
（3）方式二．
18．设台机组每小时处理污水吨，要在小时内处理污水，需开台机组，则由①、②得．代入③，得．
19．设该农民一共卖了只鸡，则，解得．
20．设，，则，，可得，，，由，得，长方形的面积为．商高是公元前世纪的中国数学家，当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期，数学研究还处于非常初级的阶段．商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理，在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中记录着商高和周公的一段对话．商高：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五．”即当直角三角形的两直角边分别为和时，直角三角形的斜边就是，勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前世纪发现的．
9．绝对值与方程
解读课标
绝对值是数学中活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等．
绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解．其基本类型有：
1．最简绝对值方程
形如是最简单的绝对值方程，可化为两个一元一次方程与．
2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程
这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解．
问题解决
例1
方程的解是________．
试一试
原方程变形为，再把此方程化为一般方程求解．
例2
若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则，，的大小关系为（
）．
A．
B．
C．
D．
试一试
从方程有解的条件入手．
例3
解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
试一试对于（1），从内向外，运用绝对值定义、性质简化方程；对于（2）、（3）运用零点分段讨论法去掉绝对值方程；需要注意的是，方程（3）利用绝对值几何意义可获得简解．
例4
如图，数轴上有、两点，分别对应的数为、，已知与互为相反数．点为数轴上一动点，其对应的数为．
（1）若点到点、点的距离相等，求点对应的数．
（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；
（3）当点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动时，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点到点、点的距离相等？
试一试
由绝对值的几何意义建立关于的绝对值方程．
例5
讨论关于的方程的解的情况．
分析与解
与方程中常数、有依存关系，这种关系决定了方程解的情况．
故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具．
数轴上表示数的点到数轴上表示数和的点的距离和的最小值为，由此可得原方程的解的情况是：
（1）当时，原方程有两解；
（2）当时，原方程有无数解；
（3）当时，原方程无解．
数学冲浪
知识技能广场
1．若是方程的解，则_______；又若当时，则方程的解是_____．
2．方程的解是_______；_______是方程的解；解方程，得_______．
3．如果，那么的值为________．
4．已知关于的方程的解满足，则的值为（
）．
A．或
B．或
C．或
D．或
5．若，则等于（
）．
A．或
B．或
C．或
D．或
6．方程的解的个数为（
）
A．个
B．个
C．无数个
D．不确定
7．解下列方程
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
8．求关于的方程的所有解的和．
9．解方程．
10．已知、、、都是整数，且，则_______．
11．若、都满足条件，且，则的取值范围是_______．
12．满足方程的所有的和为________．
13．若关于的方程有三个整数解，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
14．方程的整数解的个数有（
）
A．
B．
C．
D．
15．若是方程的解，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
16．解下列方程
（1）；
（2）．
17．当满足什么条件时，关于的方程有一解？有无数多个解？无解？
应用探究乐园
18．如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，满足．
（l）求线段的长；
（2）点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使得 若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由；
（3）在（1）、（2）的条件下，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分剐以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．
19．已知，求的最大值和最小值．
微探究
从三阶幻方谈起
相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个阶幻方，也就是在的方阵中填入，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等．
现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在的方阵图中，每行、每列、每条对角线上个数的和都相等，就称它为三阶幻方．
可以证明三阶幻方以下基本性质：
（1）在的方格中填入个不同的数，使得各行各列及两条对角线上个数的和都相等，且为，若最中间数为，则．
（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方．
（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方．
解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解．
例1
如图①，有个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？
试一试
虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他的数相关．故为充分运用已知条件，需引入不同的字母表示数（如图②）．
例2
如图，在的方格表中填入九个不同的正整数：，，，，，，，和．使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定的值，并给出一种填数法．
试一试
如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即为正整数，又，从估计和的最小值入手．
整体核算法
整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理．
例3
如图①，、、、、、、、、分别代表，，，，，，，，中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内个数的和都相等，那么的值是多少？
分析与解
设这个相等的和是，现将这个小圆中个数求和，可得：
，故．
先从所在的小圆看，至少是，最多只能是，再从所在的小圆看，最多只能是，由于，所以必须，，由此可以求得图②．
对照图①与图②中各数的位置，可看到．
当然也可以有另一解法．
将含、含、含、含、含与含的个小圆内个数求和，可得：
，即
，所以．
练一练
1．将到这个自然数填入图中的个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是_______，对应的每一条直线上的个数的和是_______．
2．请构造“幻角”，将这个整数填入图中的小三角形内（和已填好），使图中每个大三角形内四数之和都等于．
3．请将，，，，，，，，，这个数分别填入图中方阵的个空格，使行、列、条对角线上的个数的和都是．
4．如图，、、、、、均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求的值．
5．如图是一个的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求的值．
6．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列个数：，，，，，，，，填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求的值．
7．幻方第一人
幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中行、列以及条对角线上的点数之和都等于，是一种“阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从阶到阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了
对称思想．例如，用，，，…，构造阶幻方的方法是：先将，，，…，依次排成图③，然后以外四角对换，即与对换，与对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的阶幻方．
8．把数字，，，…，分别填入图中的个圈内，要求三角形和三角形的每条边上三个圈内数字之和都等于．
（1）给出一种符合要求的填法；
（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．
微探究
商品的利润
商品的利润涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语，理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础．
（1）；
（2）利润=售价-进价；
（3）售价=进价+利润=进价×（利润率）．
例1
一家商店将某件商品按成本价提高后，标价为元，又以折出售，则售出这件商品可获利润_______元．
试一试
从求出成本价切入．
例2
某商店出售某种商品每件可获利元，利润率为．若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利元，则提价后的利润率为（
）．
A．
B．
C．
D．
试一试
利用获利不变建立方程．
例3
某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原来增加了，为了赚钱，开发商把售价提高了倍，利润率比原来增加了，求开发商原来的利润率．
试一试
因售价=成本×（利润率），故还需设出成本．
例4
某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
（1）若一次购物少于元，则不予优惠；
（2）若一次购物满元，但不超过元，按标价给予九折优惠；
（3）若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分给予折优惠．
小明两次去该超市购物，分别付款元与元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？
分析与解
第一次付款元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论．
情形l
当元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为元，又，其中元为购物元打九折付的钱，元为购物打八折付的钱，（元）．
因此，元所购物品的原价为（元），于是购买小明花（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付（元）．
情形2
当元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为（元）．
仿情形1的讨论，购（元）物品一次性付款应为（元）．
练一练
1．某商品的进价为元，售价为元，则该商品的利润率可表示为_______．
2．某商店老板将一件进价为元的商品先提价，再打八折卖出，则卖出这件商品所获利润为
_______元．
3．某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为元的商品，共带省元，则用贵宾卡又享受了_______折优惠．
4．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为元，打七折售出后，仍可获利”，你认为售货员应标在标签上的价格为________．
5．一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件按原销售价的八折销售，售价为元，则这款羊毛衫每件的原销售价为_______元．
6．甲用元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利．而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙．若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（
）．
A．盈亏平衡
B．盈利元
C．盈利元
D．亏损元
7．年爆发的世界金融危机，是自世纪年代以来世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．某商店出售某种商品每件可获利元，利润率为．若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利元，则提价后的利润率为（
）．
A．
B．
C．
D．
9．某种商品的进价为元，出售标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打（
）．
A．新
B．折
C．折
D．折
10．某商场对顾客实行优惠，规定：
①如一次购物不超过元，则不予折扣；
②如一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；
③如一次购物超过元，则其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠．
某人两次去购物，分别付款元和元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（
）．
A．元
B．元
C．元
D．元
11．某商场用元购进、两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：
类别价格
型
型
进价（元/盏）
标价（元/盏）
（1）这两种台灯各购进多少盏？
（2）若型台灯按标价的九折出售，型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利多少元？
12．某公司销售、、三种产品，在去年的销售中，高新产品的销售金额占总销售金额的．由于受国际金融危机的影响，今年、两种产品的销售金额都将比去年减少，因而高新产品是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，问：今年高新产品的销售金额应比去年增加多少？
13．某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过元的不给优惠，超过元而不超过元时，按该次购物全额折优惠，超过元的其中元仍按折优惠，超过部分按折优惠．小美两次购物分别用了元和元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？
微探究
多变的行程问题
行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下：
1．相遇问题
其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇．一般地，甲行的路程+乙行的路程=两地之间的距离．
2．追及问题
其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者，一般地，快者行的路程-慢者行的路程=两地之间的距离．
例1
（1）在公路上，汽车、、分别以、、的速度匀速行驶，从甲站开往乙站，同时，、从乙站开往甲站．在与相遇小时后又与相遇，则甲、乙两站相距_____．
（2）小王沿街匀速行走，他发现每隔从背后驶过一辆路公交车；每隔迎面驶来一辆路公交车．假设每辆路公交车行驶速度相同，而且路总站每隔固定时间发一辆车，那么，发车的间隔时间为_______．
试一试
对于（2），“背后驶过与迎面驶来”，其实质就是追及与相遇，距离是同向行驶的相邻两车的间距．
例2
（1）一艘轮船从港到港顺水航行，需小时，从港到港逆水需小时，若在静水条件下，从港到港需（
）小时．
A．
B．
C．
D．
（2）甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动．甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的倍，则它们第次相遇在边（
）．
A．上
B．上
C．上
D．上
试一试
对于（2），设正方形边长为，甲的速度为，相遇时甲行的路程为，利用“相遇时甲、乙两动点运动时间相等”建立方程，把用的代数式表示．
例3
有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙．如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔分钟相遇一次．现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了圈，此时它们行驶了多少分钟？
试一试
当甲追上乙时，甲行驶了多少圈？由此可导出甲、乙的速度之比．
例4
甲、乙二人分别从、两地同时出发，在距离地千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达地、地后，又在距地千米处相遇，求、两地相距多少千米？
解法一
第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程之和，正是、两地相距的路程，即当甲、乙合走完、间的全部路程时，乙走了千米，第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的倍（如图，图中实线表示甲所走路程，虚线表示乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为（千米）．
考虑到乙从地走到后又返回了千米，所以、两地间的距离为（千米）．
解法二
甲、乙两人同时动身，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有：两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例．
到第一次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了千米；
到第二次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了（全程）千米．
设全程为，易得到下列方程，
解得，（舍去），
所以、两地相距千米．
解法三
设全程为千米，甲、乙两人速度分别为，．则
，①÷②得，
解得或（舍去）．
乘车方案
例5
老师带着两名学生到离学校千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为千米／时，这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人速度为千米／时，学生步行的速度为千米／时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过个小时．
分析
若能使人车同时到达目的地，则时间最短，而要实现“同时到达”，必须“机会均等”，即两名同学平等享受交通工具，各自乘车的路程相等，步行的路程也相等，这是设计方案的关键．
解
要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计如下方案：
设学生为甲、乙二人．乙先步行！，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．
如图，设老师带甲乘摩托车行驶了千米，用了小时，比乙多行了（千米）．这时老师让甲步行前进，而自己返、回接已，遇到乙时，用了（小时）．乙遇到老师时，已经步行了（千米），离博物馆还有（千米）．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有，解得．即甲先乘摩托车千米，用时小时，再步行千米，用时小时，共计小时．
因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过个小时．
另解：设乙先步行的时间为小时，步行的路程为，则（千米），此时老师带甲走的路程为（千米），老师返回接乙走的路程为．故有，解得，甲乘车的时间为（小时），故甲从学校到博物馆共用（小时）．
练一练
1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，则小时相遇；若同向而行，则小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为_______．
2．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需小时，从乙地到甲地逆流行驶需小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_______小时．
3．甲、乙两列客车的长分别为和，它们相向行驶在平行的轨道上．已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为秒，那么，乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______．
4．甲、乙分别自、两地同时相向步行，小时后中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了千米／时，当甲到达地后立刻按原路向地返行，当乙到达地后也立刻按原路向地返行．甲、乙两人在第一次相遇后小时分又再次相遇，则、两地的距离是_______千米．
5．甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从到，甲需要分钟，乙需要分钟．如果乙比甲早出发分钟，则甲出发后经______分钟可以追上乙．
6．甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动），如果当甲到达终点时，乙距终点还有米，丙距终点还有米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有______米．
7．小李骑自行车从地到地，小明骑自行车从地到地，两人都匀速前进．已知两人在上午时同时出发，到上午时，两人还相距千米，到中午时，两人又相距千米，求、两地间的路程．
8．目前自驾游已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了小时；返回时平均速度提高了千米／时，比去时少用了半小时回到舟山．
（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；
（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：
大桥名称
舟山跨海大桥
杭州湾跨海大桥
大桥长度
千米
千米
过桥费
元
元
据浙江省交通部门规定：轿车的高速公路通行费（元）的计算方法为：，其中（元／千米）为高速公路里程费，（千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），（元）为跨海大桥过桥费，若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为元，求轿车的高速公路里程费．
9．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为千米／时，骑车人的速度为千米／时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了秒，通过骑车人用了秒．问这列火车的车身长为多少米？
10．如图，甲、乙两人分别在、两地同时相向而行，于处相遇后，甲继续向地行走，乙则休息了分钟，再继续向地行走．甲和乙到达和后立即折返，仍在处相遇．已知甲每分钟行走米，乙每分钟行走米，则和两地相距多少米？
11．某单位有人要到千米外的某地参观，因为步行时速只有千米，为了使他们上午到达，配备了一辆最多载人名、时速千米的大客车．于是早晨时整出发，若人员上下车的时间不计，试拟一个运行方案，说明步车如何安排，才能使全体人员在最短时间内全部到达目的地，并求该地的时刻，画出汽车往返的运行图．
12．、、三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，在前，在后，在、正中间．分钟后，追上；又过了分钟，追上．问再过多少分钟，追上
9．绝对值与方程
问题解决
例1
由，得或，所以或．经检验知时，
方程左右两边不等，故舍去．从而原方程的解为．
例2
A
，，，由题意得，，，从而，．
例3
（1）或．原方程化为或，即或．
（2）当时，原方程化为，得．
当时，原方程化为，得．
当时，原方程化为，得．
综上知原方程的解为，，．
（3）由绝对值的几何意义得原方程的解为．
例4
（1）；（2）存在，或（3）或
数学冲浪
1．；或
2．或；；或
3．
4．A
5．D
6．C
7．（1）或；（2）；（3）或；（4）或．
8．，，，得，，，，故．
9．当，原方程无解；当时，原方程有两解：或；当时，原方程化为，此时原方程有四解：；当时，原方程化为，此时原方程有三解：或或；
当时，原方程有两解：．
10．或
，又、都是整数，得，，．
当，则，即矛盾；若，令，满足题意；若，令，满足题意．
11．
12．
13．C
14．B
由数轴知，且为偶数
15．D
16．（1）或
可以得到；
（2）．
17．由绝对值几何意义知：当时，方程有一解；当时，方程有无穷多个解，当或时，方程无解．
18．（1），，；（2）存在点，点对应的数为或；（3），为常数．
19．，同理，，得．
当且仅当，，时，上面各式等号成立．
又，
由
得①+②③，，因此，的最大值为，最小值为．
从三阶幻方谈起（微探究）
例l
由已知条件得：，这样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和，即，，得．
例2
与的最小值是，所以，即．而为整数，且是不同于，，，，，，，的正整数，故．
练一练
1．，，；，，
设中间的圆圈中的数是，同一直线上的个数的和是，则，．
2．如图
3．如图：
4．由条件得：，，．上述三式相加有，故．
5．如图，由及，得，，从而（注：这个幻方是可以完成的，如第行为，，；第行为，，；第行为，，）．
6．这个数的积为，所以每行、每列、每条对角线上三个数字积为，得，，，、、、分别为、、、中的某个数，推得．
7．略
8．（1）略
（2）显然有
①
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为，得．
②
②-①，得．
③
把、、每一边上三圈中之数的和相加，得．
④
联立③、④解得，，进而．
在中三个数之和为的仅有，，，所以在、、三处圈内，只能填，，三个数，共有种不同填法．显然，当这三个圈中之数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内之数也隧之确定，从而得到结论，共有种不同的填法．
商品的利润（微探究）
例l
设成本为，则，得，所求利润为（元）．
例2
C
设原进价为元，提价后的利润率为，则，解得．
例3
设原来的利润率是，原来的成本是，则，解
得，即原来的利润率是．
练一练
1．
2．
3．九
4．
5．
6．B
7．B
8．C
设提价后的利润率为，则，解得．
9．B
10．C
提示：，没有经过打折；，且大于，所以这是经过折后的价格；合在一起是，按照③，可得应付款为（元）．
11．（1）型台灯购进盏，型台灯购进盏；
（2）这批台灯全部售完后，商场共获利元．
12．设去年总销售金额为，则高新产品的销售金额为，、的原销售金额为，今年的销售金额为，设高新产品的增长率为，由．得．
13．注意到，
设小美第二次购物的原价为元，则，解得．
（1）若小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过元，则小丽应付（元）．
（2）若小美第一次购物原价超过元，第二次购物原价超过元，则第一次购物原价为（元），则小丽应付（元）．
多变的行程问题（微探究）
例1
（1）
设甲、乙两站相距千米，则，解得．
（2）
设路公交车的速度是，小王行走的速度是，同向行驶的相邻两车的间距为．
则，解得，即．
例2
（1）C
设船在静水中的速度为，水流速度为，则
，解得，．
（2）A
设正方形边长为，第次相遇共行了，设甲的路程为，甲的速度为，则，解得．
．
例3
设环形跑道长为，甲和乙的速度分别是，．
因为当甲、乙同时同地同向出发，甲首次追上乙时，乙行驶了圈，所以当甲追上乙时，甲行驶了圈．这说明，代入到中，得，即，于是所求时间为（分钟）．
练一练
1．
2．
3．
先求出甲、乙两车速度和为（米／秒）
4．
设、两地相距，甲、乙两人速度和为，则
，解得．
5．
6．
设甲跑全程需时，则，，，又设乙跑完全程需时，则，
，此时丙离终点为．
7．设、两地间的路程为千米，由，得（千米）．
8．（1）千米；（2）元／千米．
9．设火车的速度为米／秒，则，解得，从而火车的车身长为（米）．
10．，设，，从而（米），由，得，故、两地距离是（米）．
11．如图所示，设第①组先乘车的路程为，后步行的路程为，则第②组应为先步行，然后乘车，再步行；第③组为先步行，再乘车到达目的地．
设第②组步行所需时间为小时，则（千米），则车送第①组及返回接第②组的时间和也为小时，行驶的路程为2千米，此时，．
由，解得（小时），所以（千米），于是第①组乘车时间为（小时），步行时间为（小时）．第①组到达目的地（即全程）所需时间为：（小时），即时分到达．
12．设开始时与，的距离均为，，，的速度分别为，，，从开始到追上需要分钟．则由题意得
由①、②得，，
两式相减，得，即，
代入③式得．
由，得．
因此，再过（分钟），追上．5．整式的加减
解读课标
代数式是用加、减、乘、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，是后续学习中进行运算、解决问题的基础．
在代数式中，我们把那些含相同的字母，并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项，整式的加减就是合并同类项．
代数式的化简求值是代数式研究的一个重要课题，解这类问题的基本方法有：
将字母的值代入或字母间的关系整体代人，而关键是对代数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是变形求解的常用工具．
问题解决
例1甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价为元的商品，甲超市连续两次降价；乙超市一次性降价；丙超市第一次降价，第二次降价，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是____．
试一试用的式子分别表示三家超市降价后的价格．
例2下列四个数中可以写成个连续自然数之和的是（
）
A．
B．
C．
D．
试一试用字母表示数，从揭示个连续自然数之和的规律人手．
例3已知关于的二次多项式，当时的值为，求当时该多项式的值．
试一试设法求出、的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念隐含的关于、的等式．
例4有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数．例如，就是这样的两位数，因为，请你找出所有这样的两位数．
试一试设原数为，发现的特点是解本例的出发点．
例5如图，是用棋子摆成盼图案，摆第个图案需要枚棋子，摆第个图案需要枚棋子，摆第个图案需要枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第个图案需要______枚棋子，摆第个图案需要____枚棋子．
解法一
列表填数，观察数值，体会从特殊到一般的数学思想．
图形序号
棋子总数
；
；
猜想，
再将代入该代数式得．
解法二数形结合，分解图形，感悟从部分研究整体的思想．
问题中“按照这样的方式摆下去”，何种方式并没有明确的界定，我们可以有不同的理解，如从平行四边形角度看，把图形分成三个平行四边形．
如图，图的序列号：，，，，，…
图中的点的数目：，，，，，
；
；
；
；
；
猜想
整体思考
整体思考是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析与改造，从整体上把握问题的特征和解题方向，
例6（1）已知当时，的值为，则当时，的值为___
（2）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（
）
A．
B．
C．
D．
（3）记，令，称为，，，这列数的“理想数”，已知，，，的“理想数”为，求，，，…，的理想数
试一试整体思考具体体现为：整体观察、整体变形、整体代入．对子（1），能求出、的值吗？对于（2），为表示图②中相关量，还需知道什么？对于（3），从理解“理想数”的意义人手，导出与，，，的关系，要求的是的值．
数学冲浪
知识技能广场
1．（1）若与的和是单项式，则______．
（2）有一组单项式：，，，，…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出个单项式为_______．
2．（1）如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用
含的等式表示第个正方形点阵中的规律是_______．
（2）如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第个图案中阴影小三角形的个数是______（用含的代数式表示）．
3．数学翻译
牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分（另一个创立者是莱布尼茨）、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献．牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血写成的光辉著作《自然哲学的数学原理》，照亮了人类科学文明的大道．
牛顿在他的《普遍的算术》一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常的语言译成代数的语言就行了．”下表是由牛顿给出，的个例子改写、简化而成的，请将表的空白补上（不必求出问题的最后答案）．
日常语言
代数语言
一个商人有一笔钱
第一年他花去了镑
补进去余额的
第二年他又花去了镑
又补进去余额的
结果他的钱数正好是原来的钱数
4．（1）已知，则的值是______．
（2）若、互为倒数，则的值为________．
5．小王第一周每小时工资为元，工作小时．第二周每小时工资增加，工作总时间减少，则第二周工资总额与第一周工资总额相比（
）
A．增加
B．减少
C．减少
D．不变
6．已知有理数、、在数轴上的位置如图
所示，且，则代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如果，那么代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知多项式的和等于，则这个多项式是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知多项式．
（1）若多项式的值与字母的取值无关，求、的值_____；
（2）在（l）的条件下，求多项式的值；
（3）在（1）的条件下，求
10．如图所示，年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成个大小不同的正方形．如果图中标注的①、②正方形边长分别是，，那么你能计算出其他个正方形的边长吗？
思维方法天地
11．已知多项式是二次多项式，则=_______．
12．已知，，当时，恒成立，则的值为______．
13．（1）若，则的值等于_______．
（2）已知，，，则的值为______．
14．如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第个图中阴影部分小正方形的个数是________．
15．当时，代数式的值为，那么，代数式=（
）
A．
B．
C．
D．
16．关于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，若分裂后，其中有一个奇数是，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
17．有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克元和元．根据柜台组调查，将两种糖果按甲种糖果千克与乙种糖果千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现在糖果价格有了调整：甲种糖果单价上涨，乙种糖果单价下跌，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
18．若一个两位数恰等于它的各位数字之和的倍，则这个两位数称为“巧数”，则不是“巧数”的两位数的个数是（
）
A．
B．
C．
D
19．有一张纸，第次把它分割成片，第次把其中的片分割成片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成片，如此进行下去，试问：
（1）经次分割后，共得到多少张纸片？
（2）经次分割后，共得到多少张纸片？
（3）能否经若干次分割后共得到张纸片？为什么？
20．已知：是最小的正整数且、、满足，试回答问题．
（1）求，，的值；
（2）、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在到之间运动时（即时），请化简式子：；
（3）在（1）、（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
应用探究乐园
21．
一条公交线路上从起点到终点有个站，一辆公交车从起点站出发，前站上车人，前站下车人．问从前站上车而在终点站下车的乘客有多少人？
22．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（、、依次是这个数的百位、十位、个位数字），并请这个人算出个数，、、与的和，把告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数．
现在设，请你当魔术师，求出数来．
自然数的排序
把自然数，，，…，按一定的方式排列顺序，可得到形式特异、内涵丰富的排序问题，融知识性与趣味性于一体．
解这类问题的关键是：通过观察能发现排序后的数阵中的规律，如行或列中数的规律、特殊位置数的规律等．
例1
将正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对表示第排、第个数，比如表示的数是，则表示的数是______．
第排
第排
第排
第排
分析与解弄清题意是前提，找准规律是关键，正确表达尤重要，对于本例，最明显也对解题最有指导价值的规律是：第排有个数，要求只需知道它是这个数中的第个数即可．
前6排共有个数，即第排最后一个数是，故表示的数是．
例2
正整数按如图所示的规律排列，请写出第二十行第二十一列的数字：
第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
试一试这个自然数表的特点可从以下方面观察：第行的第一个数，第一行第个数，每行或每列数的增减性．
例3
将正偶数按下表排列列．
第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
第一行
第二行
第三行
根据上面排规律，则应在（
）
A．第行，第列
B．第行，第列
C．第行，第列
D．第行，第列
试一试注意到每一行排个数，奇数行空第一列，偶数行空第五列，只要计算出是第几个数即可．
例4
将自然数按如图所示的顺序排列，在这样的排列下，数字排在第二行第一列，排在第三行
第三列．问：排在第几行第几列？
试一试从斜行方向上看，奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增．
例5
将正整数从开始按如图所示的规律排成一个数阵，其中，在第一个拐弯处，在第二个拐弯处，在第三个拐弯处，在第四个拐弯处……问：在第个拐弯处的数是多少．
试一试用表示第次拐弯时所对应的数，从寻求与之间的关系入手．
练一练
1．已知一列数：，，，，，，，…将这列数排成下列形式：
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
按照上述规律排下去，那么第行从左边数第个数等于______．
2．将正奇数按下表排列：
第列
第列
第列
第列
第列
第行
第行
第行
第行
根据表中的排列规律，数应排在第______行，第_____列
3．自然数，，，，按下表规律排列：横排为行，记数据，，，的那一行为第一行，依次记下面的各行分别是行，第行，．试问位于该表的第_____行，并对应于“启智杯竞赛有趣”中的汉字：_______．
启
智
杯
竟
赛
有
趣
4．小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：
由上，我们可知第行的最后一个数是______．
5．奇数宝塔
东方传统建筑中的塔，千姿百态，造型各异，数学中的宝塔更是千变万化、不计其数．
从开始的奇数，按照规律排成下面形式的宝塔：
第几行
行中各数的和
观察行中各数的规律：
前行的各数之和；
前行的各数之和；
前行的各数之和；
前行的各数之和；
因此，可推知前行的各数之和________；
根据以上规律，猜想：=________．
6．如图，数表是由从开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．
（1）表中第行的最后一个数是____，它是自然数______的平方，第行共有____
个数．
（2）用含的代数式表示：第行的第一个数是______，最后一个数是____，第行共有______个数．
（3）求第行各数之和．
7．自然数按右表的规律排列：
（1）求上起第十行、左起第十三列的数；
（2）数应在上起第几行、左起第几列？
5．整式的加减
问题解决
例1
乙
例2A设自然数从开始，这个连续自然数的和为
例3
原多项式整理得
由题意得
从而，
例4
因而是的倍数，即，且是完全平方数，
由于，，得，，
从而．推得这样的两位数有个：，，，，，，，．
例6（1）由条件得，原式；
（2）设小长方形的长为，宽为
∴上面的阴影周长为：，下面的阴影周长为：
∴总周长为：
又∵
∴
故选B
（3）由定义得
即
又
故，，，……，的“理想数”
为
数学冲浪
1．（1）
（2）
2．（1）
（2）
3．（1）
（2）
4．（1）；
（2）
5．B
6．A
7．C
8．A
9．（1），；
（2）原式
（3）原式
10．③的边长为①、②边长之和：；
⑨的边长为③、②边长之和：；
⑧的边长为⑨、②边长之和：；
⑦的边长为⑧的边长加上②与①边长之差：；
⑥的边长为⑦的边长减去①边长：；
④的边长为⑥的边长减去①与③边长这客：
；
⑤的边长为④、⑥边长之和：
；
⑩的边长为⑤、④边长之和：
11．由条件可得
且
12．代入化简得
13．（1）（2）
14．
15．C
16．C
分裂后的第一个数是，共有个奇数，由
，得
17．D
18．C
（个）
19．（1）共得到张纸片；
（2）经次分割，共得到张纸片．
（3）若能分得张纸片，则，，无整数解，所以不可能经若干次分割后得到张纸片．
20．（1），，
（2）原式
（3），，
，不随时间的改变而改变
21．设前站上车的乘客数量依次为，，，，，，人，
从第站到第站下车的乘客数量依次为，，，，，，人，
则
又，，
即，
22．将也加到和上，由于、、在每一位上都恰好出现两次，
所以①
从而，
于是
因为，，
，．
其中只有满足要求，即能使①成立，故．
自然数的排序
例2第行第一列数字为，第列数字为，
故第二十行第二十一列的数字为
例3C由，得，又
例4第斜行中共有个连续的自然数，其中最大的数是，
第斜行的最大数是，
第斜行的最大数是，
因此，位于第斜行．
又第斜行中的数是由下向上递增的，左边第一个数是，
则是位于第斜行的由下向上数第个位置的数，
换数成原图中行和列是第行、第列．
例5，，，，，，，，……，
又，，，……即后一拐弯数=前一拐弯数+后一拐弯次数．
故
故第个拐弯处的数是．
练一练
1．提示：前行的数的个数和为，
故第行数为，，，，，，……
2．，参见例
3．；杯被除得商（为奇数），余数
4．第行的最后一个数是
5．；
6．（1）；；
（2）；；
（3）设第行各数之和为，
则
7．提示：经观察可得这个自然表的排列特点：①第一列的每一个数都是完全平方数，
并且恰好等于它所在行数的平方，即第行的第一个数为；
②第一行第个数是；
③第行中从第一个数至第个数依次递减；
④第列中从第一个数至第个数次递增．
这样可求：（1）上起第十行，左起第十三列的数应是第十三列的第个数，
即
（2）数满足关系式
即在左起十二列，上起第六行的位置
供应站的最佳位置的确定
例1即在数轴上找出表示的点，使它到表示，，，各点距离之和最小，
当时，原式的值最小，最小值是：
例2∵
∴
得，
故的最大值为，最小值为．
练一练
1．放、（含、）之间任一处
2．
3．，由条件得，原式
4．D只要，，中至少有一个成立，则，
这与条件矛盾，从而得，，，，，
或，，
5．B各线段间的距离如图．首先排除选择点和，然后比较点和点．
6．A原式
该式子可以看成数轴上的某点到，，，各个点的距离乘以相应系数后积的和．
因为
，所以该点在和之间时，和最小．
7．（1）；（2）提示：当时，
原式有最小值，这个最小值为：
8．最大值为，最小值为
乘方美谈
练一练
1．略
2．（1）、的个位数字分别与、的个位数字相同
（2）
3．
4．
5．（1）
（2）
（3）
6．C
7．A
8．C
9．B
10．B
11．（1）提示：
（2）
12．（1）因为，，
所以与的个位数字分别与、的个位数字相同，
即，，从而的个位数字为，
因此，是的位数．
（2）一定是的倍数，原式
每个括号里的数都能被整除，所以全式也能被整除．
13．设金片数为时的移动次数为，，完成片金片的转移总共需要的时间为（亿年），而太阳系的寿命是亿~亿年，等到那时宇宙早已毁灭．8．情境应用题
徐光启（-），字子先．少时聪敏好学，活泼娇键，据传“章句、帖括、声律、书法均臻佳妙”．徐光启融会中西文化，在天文、数学、农学、军事等方面有突出成就．年徐光启与意大利传教士利玛窦共同翻译《几何原本》，引入欧几里得几何学，这是徐光启在数学方面的最大贡献．他在翻译中创造的点、线、面、平行线、直角、锐角等名词一直沿用至今．
解读课标
情境应用题是以一段生活实际情形、一个故事或一场趣味游戏，寓数学问题、数学思想和方法于情境中的应用题．趣味性、益智性是情境应用题的显著特点，情境应用题以其生动有趣的情节吸引人们，使人们产生强烈的探索和研究欲望．
信息的冗余性和开放性是情境应用题的另一特点，了解相关常识、理解相关词语的含义、熟悉基本关系式是解这类问题的基础；解这类问题的关键是：在阅读理解的基础上，根据需要取舍信息，从不同的思维角度提出问题、分析问题，恰当地应用和理解数学知识，历经重要的有价值的数学思维活动过程．
问题解决
例1
小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示．若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是_____________．
试一试
个纸杯整齐叠放在一起时的高度与哪些量相关？
例2
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局，已知甲、乙各比赛了局，丙当了次裁判．问第二局的输者是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．不能确定
试一试
从求出总共赛的局数入手．
例3
有一个只允许单向通过的窄道口（如图），通常情况下，每分钟可以通过人，一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能个人通过道口，此时，自己前面还有人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需分钟到达学校．
（1）此时，若绕道而行，要分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
（2）若在王老师等人维持秩序下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？
试一试
对于（2）有不同的解法，可利用王老师通过道口的时间比较建立方程，亦可应用王老师前面的人数是个常量来布列方程．
例4
某商店月日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品一律按商品价格的折优惠，已知小敏月日前不是该商店的会员．
（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为元时，实际应支付多少元？
（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？
试一试
对于（2），先求出两种方案付款相等时的价格．
物尽其用
例5
自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶就要报废，安装在前轮上，则行驶才报废．为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路后才报废，在自行车行驶一定路程后，就将前后轮胎调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？
解法一：列方程求解
设自行车行驶了后，互换前、后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报废．因此，前轮胎还可行驶，后轮胎还可行驶．当前后轮胎互换后，还可行驶，并有．
解此方程，有，解得．这就是说，当自行车行使了后，互换前后轮胎，这样还可行驶，所以最多可行驶．
解法二
类似工程问题解法
设安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶，根据题意，自行车每行驶，前轮胎将磨损，后轮胎将磨损，当两个轮胎磨损之和为单位“”时，前后轮胎互换，当两个轮胎磨损之和为单位“”时，两个轮胎同时报废，即行驶路最多．由此可得方程：，解得．即自行车最多可行驶．
例6
十一届全国人大常委会第二十次会议审议的《个人所得税法修正案草案》（简称《个税法草案》），拟将现行个人所得税的起征点由每月元提高到元，并将级超额累进税率修改为级，两种征税方法的～级税率情况见下表：
税级
现行征税方法
草案征税方法
月应纳税额
税率
速算扣除数
月应纳税额
税率
速算扣除数
注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额．
“速算扣除数”是为了快捷简便计算个人所得税而设定的一个数．
例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年月的应纳税额为元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：
方法一：按~级超额累进税率计算，即（元）；
方法二：用“月应纳税额适用税率速算扣除数”计算，即（元）．
（1）请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整．
（2）甲今年月缴了个人所得税元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元？
（3）乙今年月缴了个人所得税三千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴纳的税款恰好不变，那么，乙今年月所缴税款的具体数额为多少元？
分析与解
在读懂材料并理解题意的基础上，先分别求出甲、乙两人的月应纳税所得额．
（1）；
（2）设甲的月应纳税所得额为元，由，得．若按《个税法草案》计算，则他应缴税款为（元）．
（3）设乙的月应纳税所得额为元，由，得，乙今年月所缴税款为（元）．
数学冲浪
知识技能广场
1．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为，此时木桶中水的深度是__________．
2．王会计在结账时发现现金少了元，查账后得知是一笔支出款的小数点看错了一位，王会计查出这笔看错了的支出款实际是___________元．
3．乌鸦喝水新编
请根据图中信息，列出求大量筒水高的方程__________________．
4．有一旅客携带千克行李从某机场乘飞机返回绵阳，按民航规定：旅客最多可免费携带千克行李，超重部分每千克按飞机票价格的购行李票，已知该旅客现已购行李票元，则他的飞机票价为（
）．
A．元
B．元
C．元
D．元
5．如果将甲杯中水量的倒入乙杯（未满）后，甲杯中水量比乙杯中水量少，那么倒水前甲杯中水量（
）
A．比乙杯中水量多
B．比乙杯中水量多
C．与乙杯中水量相等
D．可能少于乙杯中水量
6．有一列数，，，，…，，，其中，，，，，…，当时，的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．七年级（2）班的一个综合实践活动小组去、两个超市调查年和年“五一”节期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学交流的情况．根据他们的对话，请你分别求出、两个超市今年“五一”节期间的销售额．
8．足球比赛的记分规则为：胜一场得分，平一场得分，输一场得分，一支足球队在某个赛季中共需比赛场，现已比赛了场，输了场，得分．
请问：（1）前场比赛中，这支球队共胜了多少场？
（2）这支球队打满场比赛，最高能得多少分？
（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满场比赛，得分不低于分，就可达到预期的目标，请你分析一下，在后面的场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？
9．小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节．折叠长方形信纸装入标准信封时发现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有；若将信纸如图②三等分折叠后，同样方法装入时；宽绰．试求信纸的纸长和信封的口宽．
思维方法天地
10．今年月日起，国家实施了中央财政补贴条例，支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴元，若同样用万元所购买的此款空调台数．条例实施后比实施前多，则条例实施前此款空调的售价为____________元．
11．甲、乙两个打字员，甲每页打字，乙每页打字，已知甲完成页，乙恰能完成页，若甲打完页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相等时，乙打了_________页．
12．水池有两个进水管和及一个排水管．，两管单独将空水池注满水分别需要小时、小时，现在水池中有点儿水，若管单独进水，而管同时排水，则需小时将水池中的水放完；若，两管一起进水，管同时排水，则小时可将水池中的水放完．若不开进水管，只开排水管，则需____分钟可以将水池中的水放完．
13．一个有弹性的球从点落下到地面，弹起后，到点后又落到高厘米的平台上，再弹起到点，然后，又落到地面（如图）．每次弹起的高度都是落下高度的，已知点离地面比点离地面高出厘米，那么点离地面的高度是__________厘米．
14．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
吨及以下
超过吨但不超过吨的部分
超过吨的部分
说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费自来水费用污水处理费．
已知小王家年月份用水吨，交水费元；月份用水吨，交水费元．
（1）求，的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加，为了节省开支，小王计划把月份的水费控制在不超过家庭收入的．若小王的月收入为元，则小王家月份最多能用水多少吨？
15．年月日，四川汶川发生了里氏级大地震，给当地人民造成了巨大的损失，“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生枳极捐款，其中九年级的个班学生的捐款金额如下表：
吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：
信息一：这三个班的捐款总金额是元；
信息二：（）班的捐款金额比（）班的捐款金额多元；
信息三：（）班学生平均每人捐款的金额大于元，小于元．
请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：
（1）求出（）班与（）班的捐款金额各是多少元；
（2）求出（）班的学生人数．
应用探究乐园
16．如图，一个的方格网，按如下规律在每个格内都填有一个数：同一行中右格中的数与紧邻其左格中的数的差是定值，同一列中上格中的数与紧邻其下格中的数的差也是定值．请根据图中已填好的数，按这个规律将第三行填满．
17．密码的使用对现代社会是极其重要的．有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序与个自然数，，，…，，对应（见下表），设明文的任一字母对应的自然数为，通过某种规定的对应运算把转化成对应的自然数，对应的字母为密文，
例如，有一种译码方法按照以下变换实现：
，其中是被除所得的余数与之和．
则时，，即明文译为密文；时，，即明文译为密文．
现有某种变换，将明文字母对应的自然数变换为密文字母相应的自然数，为．被除所得余数与之和（，）．
已知运用此变换，明文译为密文，则密文（“启”的汉语拼音）的明文是字母_________．
8．情境应用题
问题解决
例1
设叠放时每增加一个纸杯高度增加，由
得，从而．
例2
C
提示：设总共赛了局，则有，则，说明甲、乙、丙三人总共赛了局，而丙当了次裁判，说明丙赛了两局，则丙和甲，丙和乙各赛一局，那么甲和乙同时赛了局．甲和乙同赛不可能出现在任何相邻的两局中，则甲、乙两人同时比赛在第、、局中，第局丙当裁判，则第局中丙输了．
例3
（1），王老师应选择绕道而行去学校．
（2）设维持秩序时间为，则，解得（分）．
例4
（1）元
（2）当所购商品的价格高于时，选方案一更合算．
数学冲浪
1．
2．
3．
4．B
5．B
6．D
7．设去年超市销售额为万元，则超市销售万元，由题意得：，解得，．则今年超市销售额为万元，超市为万元．
8．（1）设这伞球队胜场，则平了场，由题意得：，解得．
（2）打满场比赛最高能得（分）．
（3）由题意知，以后的场比赛中，只要得分不低于分即可，故胜不少于场，一定能达到预期目标，而胜场、平场，正好达到预期目标，即在以后的比赛中这个球队至少要胜场．
9．；
10．
设条例实施前空调的售价为元．则．
11．乙每打页比甲多打字，乙打页相当于甲打页，乙比甲快页，设当甲、乙打的字数相同时，乙打了页，由，得．
12．
设水池原来有水，由，得．只开排水管，将水池中的水放完需要的时间为（小时）（分钟）．
13．
设点离地面，则．
14．（1），
（2）最多用水吨
15．（1）元，元
（2）人或人
16．设第行第列的数为，并令，则，，，，，得，于是，，，，．
17．
由于和对应的数字分别为和，按照明密文变换的规则可知：被除所得余数与之和为，所以，．因此该变换将明文字母对应的自然数变换为密文字母相应的自然数的规则是：为被除所得余数与之和．
因为密文对应于，设其明文对应的数字为，则满足被除所得余数为，，对应的字母为．
因为密文对应于，设其明文对应的数字为，则满足被除所得余数为，即被整除，得，对应的字母为．
因此，密文对应的明文是．4．信息技术中的数学问题
解读课标
伴随着计算机和网络技术的迅猛发展，人类社会已步入信息时代，并将迈人后信息化时代：IT技术、赛伯空间、数字化技术、智能通讯等信息技术彻底改变着我们的生活方式与思维方式．
计算器、计算机正深刻影响着数学学习内容和方式，现代信息技术是学习数学和解决问题的有力工具．近年出现的以信息技术为背景的问题是中考竞赛试卷一道靓丽的风景，这类问题将信息技术与数学知识有机融合和渗透，构思巧妙、立意新颖，其内容涉及计算机常识（数制、字节等）、计算机的数据输出、计算机中的数据处理、计算机运算程序、网络与通讯等．
解决这类问题的关键是找到数学知识与其内在的联系，将其转化为数学问题．
问题解决
例1给出下列程序，且已知当输入的值为时，输出值为；输入的值为时，输出值为，则当输入的值为时，输出值为________．
试一试把程序流程图用代数式表示，由条件先求出、的值．
例2计算机利用的是二进制数，它共有两个数码、，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出或即可，如．
为二进制下的位数，则十进制数是二进制下的(
)．
A．位数
B．位数
C位数
D．位数
试一试本例渗透了计算机的基本知识——“二进制计算”，无论何种进制的数都可表示为与数位上的数字、进制值有关联的和的形式．
例3一条信息可通过如图所示的网络线由上（点）往下向各站点传送．例如信息到点可由经的站点送达，也可由经的站点送达，共有两条途径传送，那么信息由点到达的不同途径共有多少条．
试一试在阅读理解的基础上，画出路线示意图，穷举得出结论．
例4你觉得手机很神奇吗？它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳．其实，这些信号在电脑芯片中都是以二进制数的形式给出的．每个二进制数都由和构成，电脑芯片上电子元件的“开”、“关”分别代表“”和“”．一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数，例如“开”“开”“关”表示“”，
如图，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连），且相邻的两个元件不能同时是关的．（以下各小题要求写出解答过程）
（1）若此电路上有个元件，则这个元件所有不同的“开”“关”状态共有多少种？（请一一列出）
（2）若用表示电路上只电子元件所有不同的“开”“关”状态数，试探索、、之间的关系式（不要求论证）；
（3）试用（2）中探索出的递推关系式，计算的值．
试一试对于（l），通过穷举，得出答案值；对于（2），从特例入手，归纳出相应关系式．
例5先阅读下面的材料，再解答后面各题．
现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中、、、、、这个字母依次对应、、、、、这个正整数（见下表）：
给出一个变换公式：
将明文转换成密文，如：
，即变为；
，即变为．
将密文转换成明文，如：
，即变为；
，即变为．
（1）按上述方法将明文译为密文；
（2）若按上述方法将明文译成的密文为，请找出它的明文．
试一试对于（1），由明文选择变换公式，求得相应整数，推出密文；对于（2），逆用变换公式，即由导出值，推出明文，解题的关键是确定变换公式中的取值范围．
电话号码的破译
例6同学们看电影、看电视时，经常遇到破译密码的故事情节，在军事上、商业上，为了保密，都采用密码．破译密码需要有解密的“钥匙”，下面我们也来破译一个电话号码：一名间谍在他所追踪的人拨打电话时（话机是拨盘式的，如图，话机上的数字排列顺序是，，，，，，，，，，图中画出了拨数字时相应的小孔转过的路线），随着拨号盘转回的声音，用铅笔以同样的速度在纸上画线，他画出的条线如下：
他很快就知道了那人拨的电话号码，这个号码是多少？
分析与解从电话拨盘上可以看出，拨时，画出的线段最短，拨时，画出的线段最长，由于画线速度相同，所以，每个数字所对应的线段应比它下一个数所对应的线段增加一个固定的长度．间谍所画下的这条线段的长度互不相等，所表示的个数字当然也不一样，在这个数字的个数字中至少有个数字是相邻的（想一想为什么），因此，长度最接近的两条线段的长度差，就一定是上面所谈到的那个固定长度．
通过对这条线段进行度量，可以发现第一条线段与第二条线段最为接近，它们相差厘米（相当于个格子的宽度）．由于最长的线段与最短的线段相差厘米（相当于个格子的宽度），因此可以断定最长的线段代表数字，而最短的线段则代表．
第一条线段比第三条线段长厘米，因此第一条线段代表，同样可推知第六条线段代表，第四条线段代表，第二条线段代表，所以这个电话号码是．
数学冲浪
知识技能广场
1．二进制数为法国数学家莱布尼兹所创，例如二进制数表示十进制数，即相当于十进制数，试将二进制数化为十进制数_________．二进制数是现代计算机理论的基础．
2．如图，是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的数值为_______．
3．老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入数据
输出数据
那么，当输入数据是时，输出的数据是________．
4．在计算器上按照下面的程序进行操作：
下表中的与分别是输入的个数及相应的计算结果：
上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是
．
5．在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法．如图，一层二叉树的结点总数为，二层二叉树的结点总数为，三层二叉树的结点总数为照此规律，七层二叉树的结点总数为（
）．
A．
B．
C．
D．
6．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，我们发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，则第次输出的结果为（
）．
A．
B．
C．
D．
7．计算机是将信息换成二进制数进行处理的，二进制即“逢进”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制数转换成十进制形式是数（
）．
A．
B．
C．
D．
8．按下列程序计算，把答案写在表格内：
（1）填写表格：
输入
输出答案
（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．
9．密码在通信安全技术、国防军事中扮演着重要角色，下面道算式，乍看真是莫名其妙！
①；②；③；④；⑤；⑥．
当你知道这只是密码算式，各个密码数字各自对应另二个不同数字时，算式就合理了．
请根据算式，写出表中密码所对应的数字．
密码
对应数字
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种密码，将英文个小写字母，，，，依次对应，，，，，这个自然数（见表格）．当明文中的字母对应的序号为时，将除以后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文对应密文．
字母
序号
字母
序号
按上述规定，将明文“”译成密文．
思维方法天地
11．我们知道在十进制加法中，逢十进一，如，也可写成；在四进制加法中，逢四进一，如，那么在进制中有等式，则______．
12．某综合性大学拟建校园局域网络，将大学本部和所属专业学院、、、、、之间用网线连接起来．经过测算，网线费用如图所示（单位：万元），每个数字表示对应网线（线段）的费用，实际建网时，部分网线可以省略不建，但本部
及所属专业学院之间可以传递信息，那么建网所需的最少网线费用为_______万元．
13．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出，按照“先进后出”的原则．如图堆栈（l）的个连续存储单元已依次存人数据，，取出数据的顺序是，；堆栈（2）的个连续存储单元已依次存人数据，，，取出数据的顺序则是，，．现在要从这两个堆栈中取出这个数据（每次取出个数据），则不同顺序的取法的种数有（
）．
A．种
B．种
C．种
D．种
14．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有网线相连，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，由单位时间内传递的最大信息量为（
）
A．
B．
C．
D．
15．写出一个四位数，它的各个数位上的数字都不相等（如），用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大的数和一个最小的数，并用最大数减去最小数，得到一个新的四位数，对于新得到的四位数，重复上面过程，又得到一个新的四位数，一直重复下去，你发现了什么？请你用计算器，帮助你进行探索．
16．某人租用一辆汽车由城前往城，沿途可能经过的城币以及通过网城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示．若汽车行驶的平均速度为千米／时，而汽车每行驶千米需要的平均费用为元，试指出此人从城出发到城的最短路线，并求出所需费用最少为多少元？
17．按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为，那么满足条件的的不同值最多有多少个？
18．在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，对于英文，人们将个字母按顺序分别为对应整数到，现有个字母构成的密码单词，记个字母对应的数字分别为，，，，已知整数，，，，除以的余数分别是，，，，请你通过推理计算破译此密码，写出这个单词，并写出此单词的汉语词意．
4信息技术的数学问题
问题解决
例1由条件得
得，
故当时
例2
B
例3画出路线图：
故有条不同途径．
例4（1）“”表示开，“”表示关，则所有不同的“开”“关”的状态可表示为：
（全开）
，，，
（三开一关）
，，
（两开两关）
共有种
（2）由，，，
归纳出
（3）
例5（1）将明文NET转换成密文
即密文为
（2）将密文转换成明文
即密文DWN的明文为FYC
数学冲浪
1．
2．
3．
4．“”、“”
5．C
6．B
经若干次输出后结果反复循环
7．B
8．（1）略；（2）
9．
密码
原数
10．m对应的数学是，
除以的余数仍然是，因此对应的字母是w；
a对应的数字是，，除以的余数仍然是，因此对应的字母是k；
t对应的数字是，，除以的余数是，因此对应的字母是d；
……所以maths译成密文后是wkdrc．
11．
12．最省路线图
故最少网线费用为（万元）
13．C
14．B
15．最终总能出现这个四位数
16．从城出发到城的路线有如下两类：（1）从城出发到达城，经过城，因从城到城所需最短时间为小时，从城到城所需最短时间为小时，故此类路线所需最短时间为小时；
（2）从城出发到达城，不经过城，这时从城到城，必定经过、、城或、、城，所需时间至少为小时．
综上，从城到达城所需的最短时间为小时，所走的路线为，所需的费用最少为（元）
17．由得
由，得；
由，得．
故的不同值最多有个．
18．在的整数中，只有满足
得，又除以的余数为，而除以余数为，
而除以的余数为，得，对应，，，的字母分别是h，o，p，e，故密码单词为hope（希望）．秦九韶（-），字道古，南宋时期著名数学家，《数学九章》是他的代表著作，他对“大衍求一术”（整数论中的一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）的研究，取得卓越的成果，前者被称为“中国剩余定理”，后者被称为“秦九韶程序”．美国科学史家萨顿说：“秦九韶是他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一．”
6．一元一次方程
解读课标
方程是刻画现实世界的有效数学模型．一元一次方程是方程中最简单、最基础的部分，是后续学习高次方程的基础．其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论．
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为得方程的解，这是解一元一次方程的一般步骤．在解一元一次方程时，既要能按部就班（严格按步骤）解方程，又要能随机应变（打乱步骤）解方程．
代解是处理方程的解的基本方法．当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化为的形式．方程的解由、的取值范围确定，具体情形如下：
1．当时，原方程有唯一解；
2．当且时，原方程有无数个解；
3．当且时，原方程无解．
问题解决
例1
若以为未知数的方程与的解相同，则_______．
试一试
由“解相同”建立关于的方程．
例2
若为整数，则使得方程的解也是整数的值有（
）．
A．个
B．个
C．个
D．个
试一试
把用含的式子表示，结合整除的知识确定值的个数．
例3
解下列方程．
（1）；
（2）；
（3）．
试一试
解方程的目的是通过变形把方程化为的形式，既可严格按步骤解方程，又可随机应变解方程．仔细观察方程的特点，灵活运用相关知识，简化解方程的过程．
例4
（1）解下列关于的方程：
①；
②
③
（2）为何值时，方程有无数多个解？无解？
试一试
对于（1），把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论；对于（2），化简原方程，利用方程各种解的情形所应满足的条件建立的关系式．
例5
（1）在日历中（如图），任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为，则用含的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是_____________．
（2）现将连续自然数至按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出个数（如图）．
①图中框出的这个数的和是___________；
②在右图中，要使一个正方形框出的个数之和分别等于，，是否可能？若不可能，试说明理由，若有可能，请求出该正方形框出的个数中的最小数和最大数．
试一试
对于（2）中②，引入未知数，建立关于这个未知数的一元一次方程，将问题转化为讨论方程是否存在正整数解．
丢番图的墓志铭
例6
丢番图，古希腊数学家，大约生活在公元世纪，被誉为“代数学的鼻祖”．他死后，其墓志铭很特别，碑文是这样的：
过路的人！
这儿埋葬着丢番图．
请计算下列数目，
便可知他一生度过了多少个寒暑，
他一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年，
再过七分之一的生命旅程，
他建立了幸福的家庭，
五年后儿子出生，
不幸儿子竞先于父亲四年而终，
年龄不过父亲享年的一半，
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年，
请你算一算，丢番图活到乡少岁才和死神见面？
解法一
代数解法
设丢番图活了岁，由题意得
，
解得．
解法二
算术解法
从上式所列的方程中我们可以看出，丢番图的年龄是和的倍数，也是和的倍数（因为年龄总是整数）．故他的年龄是、、、的公倍数，而、、、的公倍数，即是与的公倍数．我们可以先求与的最小公倍数．因为与互质，所以它们的最小公倍数应为，其他大于的公倍数是不合乎常理的，如，而的是，岁就不再是童年，所以也不合题意，其他更大的公倍数就更不可能了，故丢番图的年龄为岁．
数学冲浪
1．算筹方程
“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部数学经典著作中，该书的第八章名“方程”．在《九章算术》中的算筹都是竖排的，为了看图方便，我们把它改为横排．
如图，各行从左到右列出算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项，如：
表示方程，
表示方程，
表示方程______________，
表示方程_____________．
2．（1）对于任意有理数、、、，规定了一种运算，如，那么当时，_______________
（2）当______，________时，方程有唯一解；当_______，______时，方程无解；当________，_______时，方程有无穷多个解．
3．已知关于的方程有整数解，那么满足条件的所有整数_________．
4．已知关于的方程与方程的解相同，则方程的解为_________．
5．已知关于的方程的解满足，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．或
6．若关于的一元一次方程的解是，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知关于的方程无解，则是（
）
A．正数
B．非正数
C．负数
D．非负数
8．关于的方程的解为正整数，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．或
9．解下列关于的方程
（1）
（2）
（3）
（4）
10．已知关于的方程，问当取何值时（1）方程无解；
（2）方程有无穷多解．
11．已知关于的方程的解是，其中且，求代数式的值．
思维方法天地
12．如果，那么______________．
13．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第个格子中的数为_______________．
…
14．已知，，其中，那么_________．
15．若，则方程的解是（
）
A．
B．
C．
D．
16．下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长的木条上钻有个圆孔，每个圆孔的直径均为．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为，则为（
）
A．
B．
C．
D．
17．若方程无解，则（
）
A．
B．
C．
D．
18．甲队原有人，现调出人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的（是不等于的正整数）倍还多人．问乙队原有多少人？
19．将自然数至按图中的方式排列：
如图，用一个长方形框出个数（行列），已知这个数的和为，求这个数中最小的数．
应用探究乐园
20．解方程（1）；
（2）．
21．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第个图形有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形有颗黑色棋子？请说明理由．
6．一元一次方程
问题解决
例1
例2
D
为整数，又，可取，,,,,,，共个值，相应的值也有个．
例3
（1）视为整体，先去括号得；
（2）运用分数性质将小数化为整数，得；
（3）先去括号得．
例4
（1）①；
②当时，方程有唯一解；当时，原方程无解；
③原方程化为，当时，原方程有唯一解；当，时，原方程有无数个解；当，时，原方程无解．
（2）原方程化为
①当，即时，原方程有无数个解；
②当，即时，原方程无解．
例5
（1），，．
（2）①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于，如与，与，与都是成中心对称的，于是易算出这个数之和为．
②设框出的个数中最小的一个数为，则这个数组成的正方形方框如下图所示．因为方框中每两个关于正方形的中心对称的数之和都等于，所以这个数之和为．
当时，．
当时，．
为自然数，不合题意．
即框出的个数之和不可能等于．
由长方形阵列的排法可知，只可能在，，，列，即被除的余数只可能是，，，．因为，所以，这个数之和等于是可能的，这时，方框中最小的数是，最大的数是．
数学冲浪
1．；
2．（1）
（2）略
3．、、、
，，或
4．
5．D
6．B
7．B
8．D
9．（1）；
（2）；
（3）当时，方程有唯一解；当时，方程无解；
（4）当时，方程有唯一解；当且时，方程有无数个解；当且时，方程无解．
10．原方程化为
（1）当时，方程无解；
（2）当时，方程有无数个解．
11．
12．
13．
可推得，，，填入整数后的排列是，，，，，…
14．
设，，．得
15．C
16．A
17．C
18．设乙队原有人，则，得，因必须为正整数，且，所以也是正整数，只能取，，，只有当时，．
19．
20．（1）原方程化为，即，得．
（2），故．
21．（1）
第个图形有颗黑色棋子数与代数
刘徽（生于公元年左右），是中国数学史上伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产．刘徽钻研学术严谨、求实，讲究“析理以辞，解体用图”，他善于启发，主张“告往而知来，举一隅而三隅反”．
1．数形结合话数轴
解读课标
1．数形结合话数轴
数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来．
在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法．
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在：
1．利用数轴形象地表示有理数；
2．利用数轴直观地解释相反数；
3．利用数轴解决与绝对值有关的问题；
4．利用数轴比较有理数的大小．
问题
例1（1）已知、为有理数，且，，，将四个数、、、按由小到大的顺序排列是_________．
（2）已知数轴上有、两点，、之间的距离为，点与原点的距离为，那么点对应的数是__________．
试一试
对于（1），赋值或借助数轴比较大小；对于（2）确定、两点在数轴上的位置，充分考虑、两点的多种位置关系．
例2
如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点、、、对应的数分别是整数、、、，且，那么数轴的原点应是（
）
A．点
B．点
C．点
D．点
试一试从寻找与的另一关系式入手．
例3
已知两数、，如果比大，试判断与的大小．
试一试
因、符号未定，故比大有多种情形，借助数轴可直观全面比较与的大小．
例4
电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳个单位到，第一步由向右跳个单位到，第三步由向左跳个单位到，第四步由向右跳个单位到，……，按以上规律跳了步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是，试求电子跳蚤的初始位置点所表示的数．
试一试
设点表示的数为，把、、…、点所表示的数用的式子表示．
例5
已知数轴上的点和点之间的距离为个单位长度，点在原点的左边，距离原点个单位长度，点在原点的右边．
（1）求、两点所对应的数．
（2）数轴上点以每秒个单位长度出发向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，在点处追上了点，求点对应的数．
（3）已知在数轴上点从点出发向右运动，速度为每秒个单位长度，同时点从点出发向右运动，速度为每秒个单位长度，设线段的中点为（为原点)，在运动的过程中线段的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
分析与解
对于（3），设点运动时间为秒，把用的式子表示．
（1）、两点所对应的数分别为，；
（2）点对应的数为；
（3），（为什么？），则，即的值不变．
生活启示
例6
李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题．如图，在数轴上截取从原点到的对应点的线段，对折后（点与点重合），固定左端向右均匀地拉成个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如，在第一次操作后，原线段上的，均变成；变成；等等）．那么在线段上（除点、点外）的点中，在第二次操作后，求恰好被拉到与重合的点所对应的数字之和．
分析
捕捉问题所蕴含的信息，阅读理解“一次操作”的意义：将线段沿中点翻折，中点左侧的点不动，中点右侧的点翻折到左侧的对应位置上，由原来的一个等分点变为两个等分点．
解：原图
对折后
拉长后
对折后
拉长后
故在第二次操作后，恰好被拉到与重合的点所对应的数字之和是．
数学冲浪
知识技能广场
1．数轴上有、两点，若点对应的数是，且、两点的距离为，则点对应的数是______．
2．电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“站台”的镜头（如示意图中的站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象，若、站台分别位于，处，，则站台用类似电影中的方法可称为“_________站台”．
3．已知点、、在数轴上，点表示的数为，，，那么点表示的数是_______．
4．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字、、）上：先让原点与圆周上数字所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上、、、、…所对应的点分别与圆周上、、、所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
（1）圆周上的数字与数轴上的数对应，则________；
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周圈（为正整数）后，并落在圆周上数字所对应的位置，这个整数是________（用含的代数式表示）．
5．有理数、在数轴上的位置如图所示：，则下列各式正确的是（）
A．
B．
C．
D．
6．文具店、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西米，玩具店位于书店东米处，小明以书店沿街向东走了米，接着又向东走了米，此时小明的位置在（
）
A．文具店
B．玩具店
C．文具店西边米
D．玩具店东米
7．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”、“”分别对应数轴上的和，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
9．一个跳蚤在一条直线上，从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位……依此规律跳下去，当它跳第次落下时，求落点处离点的距离（用单位表示）．
10．已知数轴上有、两点，、之间的距离为，点与原点的距离为，求所有满足条件的点与原点的距离的和．
思维方法天地
11．在数轴上，点、分别表示和，则线段的中点所表示的数是______．
12．在数轴上，表示数的点与表示数的点关于原点对称，则的值为_______．
13．数形相伴
（1）如图所示，点、所代表的数分别为，，在数轴上画出与、两点的距离和为的点（并标上字母）．
（2）若数轴上点、所代表的数分别为、，则、两点之间的距离可表示为，那么，当时，________；当时，数所对应的点在数轴上的位置是在________．
14．点、分别是数、在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动为，且线段的中点对应的数是，则点对应的数是_______，点移动的距离是________．
15．点、、、…、（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且，点在点的右边，且；点在点的左边，且，点在点的右边，且，……，依照上述规律，点、所表示的数分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
16．如图：，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个
单位，点、、、对应的数分别是整数、、、，且，那么数轴的原点对应点是（
）
A．点
B．点
C．点
D．点
17．有理数、、在数轴上的位置如图，式子化简结果为（
）
A．
B．
C．
D．
18．不相等的有理数、、在数轴上对应点分别为、、，若，那么点（
）
A．在、点右边
B．在、点左边
C．在、点之间
D．以上均有可能
19．在数轴上，点与点的距离是点与所对应点之间的距离的倍，那么点表示的数是多少？
20．已知数轴上有、、三点，分别代表、、，两只电子蚂蚁甲、乙分别从、两点同时相向而行，甲的速度为个单位／秒．
（1）问多少秒后甲到、、的距离和为个单位？
（2）若乙的速度为个单位／秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从、两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？
（3）在（1）、（2）的条件下，当甲到、、的距离和为个单位时，甲调头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．
应用探究乐园
21．操作与探究
对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移个单位，得到点的对应点．
点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中，点，的对应点分别为，．如图所示，若点表示的数是，则点表示的数是_______；若点表示的数是，则点表示的数是________；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是__________．
22．一动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以每前进个单位、后退个单位的程序运动，已知点每秒前进或后退个单位，设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数（如，，），求所对应的数．
1．数形结合话数轴
问题解决
例1
（1）
（2）或或或
例2
B
由图知，又，得．
例3
当点在原点的右边时，，则；当点在原点的左边时，，则；当点、分别在原点的右、左两侧时，，这时无法比较与的大小关系；当点正好在原点位置时，，则；当点正好在原点位置时，，则．
例4
设点表示的有理数为，则、、…、点所表示的有理数分别为，，，…，，由题意得．
数学冲浪
1．或
2．
3．或
4．（1）；（2）
5．A
6．A
7．C
8．C
9．，落点处与点距离为个单位长．
10．
11．
中点所表示的数是
12．
13．（1）如图所示，点、两点即为所求．
（2）或；点的左边或点的右边．
14．；
长为，对应数为，点移动的距离为．
15．C
16．C
17．C
18．C
19．
与
20．（1）设秒后甲到、、距离和为
．
①当甲在、之间时
，得．
②当甲在、之间时
，得，即秒或秒后．
（2）设秒后相遇
．
，即在处相遇．
（3）①设甲向走秒后掉头返回秒与乙相遇
，解得．
∴．
②设甲向走秒后掉头返回秒与乙相遇
，解得．
∴不合题意，舍去．即甲、乙能在所表示的点处相遇．
21．；；．设点表示的数为，则点表示的数为，由得．
22．因，，故所对应的数为．祖冲之，中国古代著名的数学家和天文学家，于公元年出生于建康（今江苏南京），祖冲之从小就对天文、数学知识产生浓厚的兴趣，“专攻数术，搜炼古今”，他在数学方面的成就，首推圆周率的计算，计算圆周率精确到小数点以后位，是当时世界上最杰出的成就；在天文学方面，他编写了新的历法——大明历，这是当时最好的一部历法．
2．聚焦绝对值
解读课标
绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用．理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：
1．脱去绝对值符号是解绝对值问题的切入点
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法．
2．恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看表示数的点到原点的距离；表示数、数的两点间的距离．
3．灵活运用绝对值的基本性质
①；②；③；④．
问题解决
例1
已知，其中，，那么的最小值为_______．
试一试结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号．
例2
式子的所有可能的值有（
）．
A．个
B．个
C．个
D．无数个
试一试
根据、的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键．
例3
（1）已知，求的值．
（2）设、、为整数，且，求的值．
试一试
对于（1），由非负数的性质先导出、的值；对于（2），写成两个非负整数的和的形式又有几种可能？这是解（2）的突破口．
例4
阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上讨论，原式，
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出和的零点值；
（2）化简代数式．
试一试
在阅读理解的基础上化简求值．
例5
（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？
（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？
（3）求的最小值．
（4）求的最小值．
分析
对于（3）、（4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示的点，使之到表示、的点（或表示、、的点）的距离和最小．
解
（1）当时，原式有最小值，最小值为．
（2）当时，原式有最大值，最大值为．
（3）当时，原式有最小值，最小值为．
（4）当时，原式有最小值，最小值为．
对于（3），给出另一种解法：
当时，原式，最小值为；
当时，原式，最小值为；
当时，原式，最小值为．
综上所述，原式有最小值等于．
以退求讲
例6
少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程足：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从到这个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为，试求出的最大值，并说明理由．
分析
先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出的最大值．
解
由于输入的数都是非负数，当，时，不超过、中最大的数，对，，，则不超过、、中最大的数，设小明输入这个数的次序是，，…，．相当于计算：，因此的值．
另外从运算奇偶性分析，、为整数，与奇偶性相同，因此与的奇偶性相同．
但偶数，于是断定．我们证明可以取到．
对，，，，按如下次序：，
，对于，，，…均成立．
因此，可按上述办法依次输入最后显示结果为，而后，故的最大值为．
数学冲浪
知识技能广场
1．数在数轴上的位置如图所示，且，则______．
2．已知，，且，那么_______．
3．化简________．
4．已知有理数、、在数轴上的对应位置如图所示：，化简后的结果是________．
5．已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…，依次类推，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
6．已知，化简所得的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
7．若是有理数，则一定是（
）．
A．零
B．非负数
C．正数
D．负数
8．有理数、、的大小关系如图：，则下列式子中一定成立的
是（
）
A．
B．
C．
D．
9．化简
（1）；
（2）．
10．阅读下面材料并回答问题．
点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为．
当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图①，；当、两点都不在原点时，（1）如图②，点、都在原点的右边，；
（2）如图③，点、都在原点的左边，；
（3）如图④，点、在原点的两边，．
综上，数轴上、两点之间的距离．
请回答：
①数轴上表示和的两点之间的距离是_______，数轴上表示和的两点之间的距离是_______，数轴上表示和的两点之间的距离是________；
②数轴上表示和的两点和之间的距离是__________，如果，那么为_________；
③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是_________．
思维方法天地
11．已知，，，且，那么_________．
12．在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，且、两点的距离为，则______．
13．已知，，那么_________．
14．（1）的最小值为________．
（2）的最小值为________．
15．有理数、在数轴上对应的位置如图所示：，则代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．
16．若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
17．如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为，且是的中点．如果，那么原点的位置在（
）
A．线段上
B．线段的延长线上
C．线段上
D．线段的延长线上
18．设，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
19．已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，、之间的距离记作．
（1）求线段的长；
（2）设点在数轴上对应的数为，当时，求的值；
（3）点在的左侧，、分别是、的中点，当点在的左侧移动时，式子的值是否发生改变？若不变，请求其值；若发生变化，请说明理由．
20．已知，且、、都不等于，求的所有可能值．
应用探究乐园
21．绝对值性质
（1）设、为有理数，比较与的大小．
（2）已知、、、是有理数，，，且，求的值．
22．已知数轴上两点、对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为．
（1）若点到点、点的距离相等，求点对应的数．
（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）当点以每分钟个单位长的速度从点向左运动时，点以每分钟个单位长的速度向左运动，点以每分钟个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点到点、点的距离相等？
2．聚焦绝对值
问题解决
例l
，当时，的值最小为．
例2
A
分，；，；，；，四种情况讨论．
例3
（1）由，，得，．
原式．
（2）因、、为整数，且，
故与一个为，一个为，从而所以，原式．
例4
（1）分别令和，分别求得和，
和的零点值分别为和．
（2）当时，原式；当时，原式；当时，原式．
综上讨论，原式
数学冲浪
1．
2．或
3．
4．
5．B
，，，，，，，对应的数分别为，，，，，，，．
6．A
7．B
8．C
9．（1）原式
（2）原式
10．①，；
②；或
③
11．或
12．
13．
分，同号、，异号两种情形讨论
14．（1）
（2）
15．D
16．C
17．A
提示：
原式化为
18．B
19．
（1）；（2）；（3），值不变．
20．或或
21．（1），当且仅当、同号或、至少有一为时等号成立．
（2）因，，故，又因为，所以，，故原式．
22．（1）；（2）或；（3）未追上时，；追上时，．杨辉，中国南宋时期杰出的数学家，大约于世纪中叶至末叶生活在钱塘（今杭州）一带．他一生著作很多，著名的数学书共种卷．大家熟悉的“杨辉三角”数表就在他年所著的《详解九章算术》一书里记载着，他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法．
3．有理数的运算
有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上．深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．
有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算．
运算能力是运算技能与推理能力的结合．这就要求我们既能正确地算出结果，又善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度．有理数运算常用的技巧与方法有：
利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等．
问题解决
例1
（1）已知，记，，…，，则通过计算推测的表达式________．（用含的代数式表示）
（2）若、是互为相反数，、是互为倒数，的绝对值等于，则的值是____．
试一试
对于（2），运用相关概念的特征解题．
例2
已知整数、、、满足，且，那么等于（
）．
A．
B．
C．
D．
试一试
解题的关键是把表示成个不同整数的积的形式．
例3
计算
（1）；
（2）；
（3）．
试一试
对于（1），设原式，将各括号反序相加；对于（2），若计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（3），视除数为一整体，从寻找被除数与除数的关系入手，
例4
在数学活动中，小明为了求的值（结果用表示），设计了如图所示的几何图形．
（1）请你用这个几何图形求的值；
（2）请你用图②，再设计一个能求的值的几何图形．
试一试
求原式的值有不同的解题方法，而剖分图形面积是构造图形的关键．
例5
在，，…，前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值．
分析与解
首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是．代数和的最小值能是吗？能是吗？由于任意添“+”号或“-”号，形式多样，因此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手．
因与的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与的奇偶性相同，即为奇数．因此，所求非负代数和不会小于．
又，
所求非负代数和的最小值为．
类比
类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．
触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法．
例6观察下面的计算过程
．
问：（1）从上面的解题方法中，你发现了什么？用字母表示这一规律．
（2）“学问”，既要学会解答，又要学会发问．爱因斯坦曾说：。提出问题比解决问题更重要”．
请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题．
分析与解
（1）．
（2）从连续自然数到连续偶数，从个到个，从分数到整数，类比可提出下列计算问题：
①；
②；
③；
④．
数学冲浪
知识技能广场
1．如图，每一个小方格的面积为，则可根据面积计算得到如下算式：________．（用表示，是正整数）．
2．某数学活动小组的位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加，第位同学报，第位同学报，第位同学报，这样得到的个数的积为_________．
3．计算：
（1）_________．
（2）_______．
4．“数21世纪教育网子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快速地计算出，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
①
②
①+②有，．
请类比以上做法，回答下列问题：
若为正整数，，则_______．
5．设，在代数式，，，，，，中负数的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
6．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：克以内元，每增加克（不足克按克计）元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为克，则他应付邮资（
）元．
A．
B．
C．
D．
7．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照上面推理计算出的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．下面是按一定规律排列的一列数：
第个数：；
第个数：；
第个数：；
……
第个数：．
那么，在第个数、第个数、第个数、第个数中，最大的数是（
）
A．第个数
B．第个数
C．第个数
D．第个数
9．观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图①
图②
图③
三个角上三个数的积
三个角上三个数的和
积与和的商
（2）请用你发现的规律求出图④中的数和图⑤中的数．
10．观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第个等式：_______=_______；
（2）用含的代数式表示第个等式：_______=________（为正整数）；
（3）求的值．
思维方法天地
11．计算：
（1）______．
（2）_______．
（3）_________．
12．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为，，的形式，又可分别表示为，，的形式，则_______．
13．已知，则________．
14．已知、、满足且，则代数式的值是______．
15．的值是（
）
A．
B．
C．
D．
16．如果个不同的正整数、、、满足，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
E．
17．如果，那么的值为（
）
A．
B．
C．
D．不确定
18．观察下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
……
请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
19．观察下面的等式：
，；
，；
，；
，．
（1）小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？
（2）请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想．
20．同学们，我们曾经研究过的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为．但为时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来研究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道
时，我们可以这样做：
（1）观察并猜想：
，
，
；
……
（2）归纳结论：
=（________）+（___________）
=________+_________
；
（3）实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当为时，正方形网格中正方形的总个数是________．
应用探究乐园
21．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
例如，求的值，其中是正整数．
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对的奇偶性进行讨论．
如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观，现利用图形的性质来求的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为，，，…，个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即．
（1）仿照上述数形结合的思想方法；设计相关图形，求的值，其中是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）
（2）试设计另外一种图形，求的值，其中是正整数．（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明）
22．在“”的小方格中填上“+”、“-”号，如果可以使其代数和为，就称数是“可被表出的数”（如是可被表出的数，这是因为是的一种可被表出的方法）．
（1）求证：是可被表出的数，而是不可被表出的数；
（2）求可被表出的不同方法的种数．
3．有理数的运算
问题解决
例1
（1）
（2）
例2
D
，，，，．
例3
（1）
设原式，又，两式相加得，所以；
（2）
；
（3）
原式，其中．
例4
（1）原式；（2）略．
数学冲浪
1．
2．
3．（1）；（2）
4．
由，得
5．B
6．A
7．D
8．A
提示：第个数为，把第、、、个数分别求出．
9．（1）略
（2）图④：，，；
图⑤：，解得．
10．（1）；（2）；（3）原式
11．（1）；（2）；（3）
12．
这两个三数组在适当的顺序下对应相等，于是可以断定，与中有一个为，与中有一个为，可推得，．
13．
14．
15．B
16．E
17．A
18．C
19．（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例，如．
（2）将第一组等式变形为，，得出如下猜想：“若是正整数，则”．
证明：左边右边．
20．（1）；；；
（2）；；
；；；
（3）．
21．原式，构造平行四边形或正方形．
22．（1），无论怎样填“”、“”号，代数好一定是奇数，又，故是可被表出的数，而是不可被表出的数．
（2）设填“”号的数字和为，填“”号的数字和为，则，又，解得，，因，，故填“”号的数字至少有个至多有个，由此知填“”号的数之和为，只要计算出从到中选出若干个其和为的数字的不同方法，就得到可表出的不同方法，经讨论知有种．

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