资源简介

高斯，德国数学家、天文学家和物理学家，有“数21世纪教育网子”之称，高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、重变函数论、椭圆函数论等方面均有开创性贡献，他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法
19．乘法公式
解读课标
多项式的形式是多种多样的，两个有一定关联的特殊多项式相乘，结果常常简洁而优美．
乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性又有实用性的具体结论，学习乘法公式应注意：
1．理解公式，掌握公式的结构特征；
2．了解公式的变形与发展；
3．灵活运用公式，既能正用、又能逆用，而且还能适当变形或重新组合，综合运用公式；
4．把握公式的几何意义，领悟数形结合的思想．
问题解决
例1如果正整数，满足方程，则这样的正整数对的个数是______．
试一试，以的奇偶性相同，这个十分简单的结论是解本例的基础．
例2已知、、满足，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
试一试 由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．
例3计算
（1）
（2）
（3）
试一试对于（1），通过对待求式恰当变形，使之符合平方差公式的结构特征；
对于（2），用字母表示数，将数值计算转化为式的计算．
例4老师在黑板上写出三个算式，，，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：，
（1）请你再写出两具有上述规律的版式；
（2）用文字写出上述算式反映的规律；
（3）证明这个规律的正确性．
试一试 由特殊到一般，用字母表示算式反映的规律并证明．
例5（1）已知，求的值．
（2），，，
任意挑选另外两个类似、的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？
分析 对于（1），由平方和联想到完全平方公式及其逆用，利用配方求出，，，的值：对于（2），从试验入手，然后给出一般情形的证明．
解（1）由条件得，，，，原式．
（2）一般地，设，，
则
或
智慧数
例6整数问题常是饶有兴趣又发人思考的，若对整数作一些特殊的规定，就会得到一些特殊定义下的新数，并由此产生令人思考的问题，
我们规定：若一个自然数能表示成两个非零自然数的平方差，则把这个自然数称为“智慧数”，如，则称为智慧数．
请判断：在自然数列中，从数起，第个智慧是哪个数？
分析与解 要确定第个智慧数，应先找到智慧数的特征及分布规律．
因为，显然，每个大于，并且是的倍数的数也是智慧数．由此可知，被除的偶数都不是智慧数．
所以，自然数列中最小的智慧数是，第个智慧数是，从起，依次是，，；，，；，，；，，；…即按个奇数，一个的倍数，三个一组地依次排列下去．根据这个结论，我们容易知道：因为，所以第个智慧数是，故第个智慧数是．
数学冲浪
知识技能广场
1．若，则代数式的值为．
2．已知，，则=______．
3．已知，则=______．
4．已知，则的值为_______．
5．已知以、、、满足，，则的值为______．
6．如图，从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，上述操作所能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
9．若、为有理数，且，则=（ ）
A． B． C． D．
10．在，，，这四个数中，不能表示为两个整数平万的数是（ ）
A． B． C． D．
11．计算
（1）
（2）
（3）
12． 一个自然数减去后是一个完全平方数，这个自然数加上后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．
思维方法天地
13．已知，那么=_____．
14．已知，，则=______．
15．杨辉三角是一个由数字排列成昀三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处，，，，，，）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．






上图的构成规律你看懂了吗？
请你直接写出______．
杨辉三角还有另一个特征
（1）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为）都是上一行的数与______积．
（2）由此你可写出=______．
（3）由第_____行可写出=______．
16．如果，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
17．如果，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
18．把表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如，，，因此，，这三个数都是神秘数．
（1）和这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？
20．已知，
（1）求的值；
（2）求的值．
应用探究乐园
21．（1）证明：奇数的平方被除余．
（2）请你进一步证明：不能表示为个奇数的平方之和．
22．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个列的长方形队列．如果原队列中增人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？

19乘法公式
问题解决
例1 对，且与的奇偶性相同，得
，，
则，
例2B三等式相加得：
，，
例3（1）原式
（2）设，则原式
（3）原式
例4（1）略
（2）规律：任意两个奇数的平方差等于的倍数
（3）设、为整数，
当、同奇或同偶，是的倍数，当、一奇一偶，是的倍数．
数学冲浪
1． 2．
3．由条件得 4．
5．原式
6．A
7．B原式
8．C
9．B
10．C 形如或的数为“智慧数”
11．（1）；（2）；（3）
12．设这个自然为，由题意得②-①
得，即
从而，解得
故
13． 原式
14． 把代入
得，，
，，
15．略（1）
（2）（3）；
16．B 由，
得，从而
17．C
，
18．C 提示：有个正因数，分别是，，，，和，
因此对应的方程组为：
故共有组不同的表示
19．（1），
故和都是神秘数．
（2），为的倍数．
（3）神秘数是的倍数，但一定不是的倍数，但，
故两个连续奇数的平方差不是神秘数
20．（1），
得
（2）由，
得，即
得
又，平方得
故
21．（1）
，故奇数的平方被除余
（2）假设可以表示为个奇数的平方之和，也就是．（其中，，……，是奇数）
等式左边被除余，而被除余，矛盾．故不能表示为个奇数的平方之和．
22．设，、均为正整数，且，①-②
得
，都是的倍数，则、能被整除，、均能被整除，
得或
∴或
，或
空间与图形
欧拉，是世纪最杰出的数学家之一，他不但在数学上作出了伟大贡献，而且把数学成功地应用到其他领域，在数论中，欧拉首选引进了欧拉函数，用多种方法证明了费用小定理，对著名的哥尼斯堡大桥问题的解答开创了图论的研究，此外，欧拉还在物理、天文、建筑以及音乐、哲学等方面取得了辉煌的成就．
20．丰富的图形世界
解读课标
20世纪初，伟大的法国建筑家列·柯尔伯齐曾说：“我想，到目前为止，我们从没有生活在这样的几何时期，周围的一切都是几何学．”
生活中蕴含着丰富的几何图形，圆的月亮，平的湖面，直的树干，造型奇特的建筑，不断移动、反转、放大缩小的电视画面……图形有的是立体的，有的是平面的，立体图形与平面图形之间的联系，从以方面得以体现：
1．立体图形的展开与折叠；
2．从各个角度观察立体图形；
3．用平面去截立体图形．
观察归纳、操作实验、展开想象、推理论证是探索图形世界的基本方法．
问题解决
例1 如图是一个正方体表面展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等那么_____．
试一试展开与折叠是两个步骤相反的过程，从折叠还原成正方体人手．
例2如图，是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）
A．个 B个 C．个 D．个
试一试根据三视图和几何体的关系。分别确定该几何体的列数和每一列的层数．
例3 由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图如图．
（1）请你画出这个几何体的一种左视图；
（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为，求的值．
试一试本例可以在“脑子”中想象完成，也可以用实物摆一摆，从操作实验人手，从俯视图可推断左视图只能有两列，由主视图分析出俯视图每一列小正方形的块数情况是解本例的关键，而有序思考、分类讨论，则可避免重复与遗漏．
例4如图是由若干个正方体形状木块堆成的，平放于桌面上，其中，上面正方体的下底面四个顶点恰是下面相邻正方体的上底面各边的中点，如果最下面的正方体的棱长为，且这些正方体露在外面的面积和超过，那么正方体的个数至少是多少？按此规律堆下去，这些正方体露在外面的面积和的最大值是多少？
试一试所有正方体侧面面积和再加上所有正方体上面露出的面积和，就是需求的面积．从简单人手，归纳规律．
例5要把一个正方体分割成个小正方体（小正方体大小可以不等），画图表示．
分析与解本例是一道图形分割问题，解答本例需要较强的空间想象能力和推理论证能力，需要把图形性质与计算恰当结合．
为方便起见，设正方体的棱长为个单位，首先不能切出棱长为的立方体，否则不可能分割成个小正方体．
设切出棱长为的正方体有个，棱长为的正方体有个，如果能切出个棱长为的正方体，则有，解之得，不合题意，所以切不出棱长为的正方体．
设切出棱长为的正方体有个，棱长为的正方体有个，棱长为的正方体有个，
，解得，，，故可分割棱长分别为、、的正方体各有个、个、个，分法如图所示．
欧拉公式
例6建立模型
世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格
多面体
顶点数（）
面数（）
棱数（）
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是_____．
（2）一个多面体的面数比顶点数大，且有条棱，则这个多面体的面数是_____．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有个顶点，每个顶点处都有条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
解（1）；；
（2）
（3）这个多面体的面数为，棱数为（条）
根据，可得，
∴．
模型应用
如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数．
解 设足球表面的正五边形有个，正六边形有个。总面数为个，因为一条棱连着两个面，所以球表面的棱数为，又因为一个顶点上有三条棱，一条棱上有两个顶点，所以顶点数．
由欧拉公式得
解得
所以正五边形只要个．
又根据每个正五边形周围连着个正六边形，每个正六边形又连着个正五边形，所以六边形个数，即需个正六边形．
数学冲浪
知识技能广场
1．如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是______．
2．由几个相同昀小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是______．
3．一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为_____．
4．如图，下列几何体是由棱长为的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有_____个．
5．一个画家有个边长为的正方体，他在地面上把它们摆成如图的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂颜色的总面积为（ ）

A． B． C． D．
6．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
A． B． C． D．
7．从棱长为的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ）

ABCD
9．个棱长为的正方体组成如图的几何体．
（1）该几何体的体积是_____（立方单位），表面积是____（平方单位）；
（2）画出该几何体的主视图和左视图
10．用同样大小的正方体木块搭建的几何体，从正面看到的平面图形如图1所示，从上面看到的平面图形如图2所示．
（1）如果搭建的几何体由个小正方体木块构成，试画出从左面看这个几何体所得到的所有可能的平面图形．
（2）这样的几何体最多可由几块小正方体构成？并在所用木块最多的情况下，画出从左面看到的所有可能的平面图形．
思维方法天地
11．如图，是一个正方体表面展开图，请在图中空格内填上适当的数，使这个正方体相对两个面上标注的数值相等．
12．如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组
成这个几何体的小正方体的块数为．则的所有可能的值之和为______．
13．如图是一个立方体的主视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米，则立体图形的体积为______立方厘米．
14．若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为，如果塔形露在外面的面积超过，则正方体的个数至少是（ ）
A． B． C． D．
15．由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有个单位立方体上任何一面都没有漆，那么大立方体被涂过油漆的面数是（ ）
A． B． C． D
16．小明把棱长为的正方体分割成了个棱长为整数的小正方体，则其中棱长为的小正方体的个数是（ ）
A． B． C． D．
17．墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走多少个小正方体？
18．一个长方体纸盒的长、宽、高分别、、厘米．如图，将它展开成平面图，那么这个平面图的周长最小是多少厘术？最大是多少厘米？
应用探究乐园
19．王老师将底面半径为厘米、高为厘米的圆柱形容器中的果汁全部倒人如图所示的杯子中，若杯口直径为厘米，杯底直径为厘米，杯高为厘米，杯身长厘米，问果汁可以倒满多少杯？
20． 一个边长为厘米的正方体，它是由个边长为厘米的小正方体组成的．为上底面的中心，如果挖去（如图）的阴影部分为四棱锥，剩下的部分还包括多少个完整的棱长是厘米的小正方体？

20丰富的图形世界
问题解决
例1，，
例2D
例3（1）左视图有以下种情形：

（2），，，
例4；提示：最下面正方体个面的面积是，侧面露出的面积和是，每相邻两个正方体中上面的个正方体每个面的面积都正好是其下面正方体个面面积的，所有正方体侧面面积之和加上所有正方体的上面露出的面积和（正好是最下面正方体上底面的面积）即是这些正方体露在外面的面积和．如：
个正方体露出的面积和是
个正方体露出的面积和是
个正方体露出的面积和是
个正方体露出的面积和是
个正方体露出的面积和是
…故随着小正方体木块的增加，其外露的面积之和都不会超过．
数学冲浪
1． 2． 3．
4． 5．C
6．B 7．C 8．B
9．（1）；；（2）略
10．（1）
（2）11；
11．上空格填，下空格填
12． 13． 14．
15．D设大立方体的棱长为，，若，
即使个面都油漆过，未油漆的单位立方体也有个，
故或．除是已漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体，
设其长、宽、高分别为、、，，只能是，故．
16．C提示：若分割出棱长为的正方体，则棱长为的正方体只能有个，余下的均是棱长为的正方体，共个不满足要求，设棱长为的正方体有个，棱长为的正方体有个，
则，得
17．有不同的拿法．为保证“影子不变”，可依如下原则操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不动以外，该行（列）的其余各摞都搬成只剩最下面的一个小正方体，如图所示，个方格中的数字，表示行列共摞中在搬完以后最终留下的正方体个数．照这样，各行可搬个数累计为，即最多可搬走个小正方体．
18．要使平面展开图的周长最小，剪开的七条棱长就要尽量小，因此要先剪开四条高（因为最小），再剪开一条长厘米的棱（否则，不能展开成平面图），最后再剪开两条宽厘米的棱（如图中所表示的①～⑦这七条棱）．由此可得图甲，这时最小周长是（厘米）．
要使平面展开图的周长最大，剪开的七条棱长就要尽量大，因此要先剪开四条最长的棱（长），再剪开两条次长的棱（宽），最后剪开一条最短的棱（高），即得图乙，这时最大周长是（厘米）．
19．如图，由题意知，，，，过点作垂直于于点，则，于是中．延长，交于，则由知，．
于是一个杯子的容积等于两个圆锥的体积之差，即．
而大容器内果汁的体积是，所以果汁可以倒满（杯）．
20．剩下的部分：从上往下，第一层有个；第二层有个；第三层有个；第四层、第五层有个，故共有个完整的棱长是厘米的小正方体．
欧几里得，古希腊数学家．在流传了几千年的光辉著作《几何原本》中，他用公理化方法将古希腊丰富的几何学知识整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学，传说托勒密王曾经问他，除了他的《几何原本》外还有没有学习几何的捷径，他回答说：“几何，无王者之道．”这句话成为千古流传的名言．
21．线段、射线与直线
解读课标
意大利科学家伽利略曾说：“大自然用数学的语言讲话，这个语言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体．”
构成平面图形的基本元素是点和线．在几何图形中，点无大小，线无宽窄，它们都是抽象思维的产物．运动成线，线运动成面，面运动成体．在线中，最简单、最常见的就是线段、射线、直线，它们的概念、画法、性质不但是后续学习研究由线段组成的较复杂图形的基础，而且为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形的研究．
观察一操作一思考一交流一总结是学习平面图形性质的有效途径，解与线段相关的问题时，常用到中点、代数化、穷举、分类与讨论等概念与方法．
问题解决
例1 已知一条直线上有、、三点，线段的中点为，，线段的中点为，，则线段的长为________．
试一试利用中点表示相关线段，因未给出图形，故应考虑点位置的多种可能．
例2如图，已知是线段上的一点，是线段的中点，是线段的中点，为的中点，为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
试一试利用中点，设法把、用含相同线段的代数式表示，
例3（1）在一条直线上有个点，以这些点为端点的线段共有多少条？
（2）平面内有条两两相交直线，这条直线最少有几个交点？最多有几个交点？
试一试从简单情形入手，由简到繁，归纳发现规律，或运用“两点确定一条线段（直线）”、“两条直线相交有且只有一个交点”等几何性质作抽象分析，
例4 已知为线段的中点，是线段的中点．
（1）画出相应的图形，并求出图中线段的条数；
（2）若图中所有线段的长度和为，求线段的长度；
（3）若为线段上的点，为的中点，，，求线段的长度．
试一试对于（2），设，把其他线段长用的式子表示，通过列方程求
解：对于（3），把长用恰当的线段和表示．
例5如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．
（1）求点、对应的数；
（2）动点、同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．、为的中点，在上，且，设运动时间为．
①求点、对应的数（用含的式子表示）；
②为何值时，．
分析 对于（2），把、进一步用含的式子表示，建立的方程．
解 （1）、两点对应的数分别为、．
（2）①，，为中点，，则，．
∴点对应的数为，点对应的数为．
②∵，，
∴
由
得
由
得
故当秒或秒时
巧合还是必然
例6如图，“回”字形的道路宽为米，整个“回”字形是一个长米、宽米的长方形场地，如果你沿着小路的中间从内部出发走完这条小路，共走多少米？
分析与解 行走路线的总宽为，总长为，因此走完这条小路的总长为
细心的读者会发现，正好是长方形场地长与宽的乘积，也就是说，走完这条小路的总长与这块长方形场地面积的数值相等．
追问 上述关系是巧合还是必然？若是巧合，怎样解释这一现象；若是必然，又如何证明？
探究
（1）若路宽为米，走完这条小路共走多少米？
（2）若长方形的场地的长为，宽为，其中充满宽为的小路，走完这条小路共走多少米？
数学冲浪
知识技能广场
1．如图，已知线段，延长到，使，为的中点，，那么的长为______．
2．已知点在直线上，且线段的长度为，线段的长度为，、分别为线段、的中点，则线段的长度为_________．
3．小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按如图所示的方式进行
折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短；展开后按图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是______
4．如图，是的中点，是的中点，下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点、、顺次在直线上，是线段的中点，是线段的中点．若想求出的长度，则只需条件（ ）
A． B． C． D．
6．如图，有、、三户家用电路接人电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（ ）
A．户最长 B．户最长 C．户最长 D．三户一样长
7．已知线段，直线上有一点
（l）若，求的长；
（2）若是的中点，是的中点，求的长．
8．（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．
（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．
（3）平面上有条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的条直线分一个平面所成的区域最多，记为，试研究与之间的关系．
思维方法天地
9．如图，、、依次是上的三点，已知，，则图中以、、、、这个点为端点的所有线段长度的和为_______．
10．平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定条直线．若平面上不同的个点最多确定条直线，则的值为_______．
11．如图，一根长为、宽的长方形纸条，将它按图所示的过程折叠．为了美观，希望折叠完成后纸条端到点的距离等于端到点的距离，则最初折叠时，的长应为______．
12．某班名同学分别站在公路的、两点处，、两点相距米，处有人，处有人．要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（ ）
A．点处 B．线段的中点处
C．线段上，距点米处 D．线段上，距点米处
13．公园里准备修条直的通道，并在通道交叉路口处设一个报亭，这样的报亭最多设（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
14．线段上选取种点，第种是将等分的点；第种是将等分的点；第种是将等分的点，这些点连同线段的端点可组成线段的条数是（ ）
A． B． C D．
15．电子跳蚤游戏盘为．，，，如果电子跳蚤开始时在边上点，。第一步跳蚤跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳到边上点，且……跳蚤按上述规则跳下去，第次落到，请计算与之间的距离．
16．在直线上，点在、两点之间，点为线段的中点，点为线段的中点．若，且使关于的方程有无数个解．
（1）求线段的长；
（2）试说明线段的长与点在线段上的位置无关；
（3）如图，若点为线段的中点，点在线段的延长线上，试说明的值不变．
17．切蛋糕
在小明岁的生日晚会上，一共有位客人到场，在他吹灭了生日蜡烛，准备切蛋糕时，爸爸说：“小明，你能用最少的切割次数为我们在座的人每切一份蛋糕吗？你切割次，最多能切得多少块蛋糕？”
18．已知数轴上、两点对应数分别为和，为数轴上一动点，对应数为．
（1）若为线段的三等分点，求点对应的数；
（2）数轴上是否存在点，使点到点、点距离和为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
（3）若点、点和点（点在原点)同时向左运动，它们的速度分别为、、个长度单位／分，则第几分钟时，为的中点？

21．线段、射线与直线
问题解决
例1 或
例2B，
例3（1）；
（2）当平面内两两相交的条直线交于一点时，此时交点个数最少为个；为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，可使其任意两线相交都产生一个新的交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为．
例 4（1）略
（2）
（3）
例6追问假定有这样一条长方形的小路，宽，长，如图①，沿着这条小路的中间行走，显然行走路线的长为，这就说明行走路线的长与宽为的长方形小路的长是相等的．由于长方形场地充满了宽的小路，这便启发我们将长方形场地分割成条宽、长的小路，如图②，于是这条小路的总长为．
探索
（1）；
（2）假定有这样一条小路，长为，宽为．沿着这条小路的中间行走，显然行走路线的长为．由于长为，宽为的长方形场地可以分割成条长为、宽为的长方形小路，可知这条小路的长为．
数学冲浪
1． 2．或 3． 4．D
5．A
6．D
7．（1）或
（2）
8．（1）如图1，两条直线因其位置不同，可以分别把平面分成个或个区域；
如图2，三条直线因其位置关系的不同，可以分别把平面分成个、个和个区域．
（2）如图3，四条直线最多可以把平面分成个区域，此时这四条直线位置关系是两两都相交，且无三线共点．
（3）平面上条直线两两相交，且没有三条直线交于一点，把平面分成个区域，平面本身就是一个区域，当时，；
当时，；
当时，；
当时，，……由此可以归纳公式
9．其长度总和
10．平面上个不同点最多可确定条直线
11．设，则
12．A设集合地点在线段的处，距点米，则距点米，所走的路程总和为，当时，总和最小为米．
13．B
14．C线段间出现个点，其中有个点是重复的，故线段间有个不同点．
15．因，根据题意：，；
，；
，；
，；
，；
，．
由此可见，点与点重合，又因为，
所以点与点重合，与之间的距离就是与之间的距离，即．
16．（1）
（2）
（3）
故
17．最少切次；最多切得，切得最多块数为（为切割次数）
18．（1）或
（2）当或时，
（3）设分钟后，为的中点，、、运动分钟后对应的数分别为，，．
由，得
毕达哥拉斯（约公元前——前），古希腊数学家．他既是哲学家、数学家、又是天文学家，创建了政治、宗教、数学合一的秘密学术团体，这个团体被后人称为毕达哥拉斯学派．他提出了“万物皆数”的著名论断，被誉为西方理性数学的创始人．毕达哥拉斯定理（即勾股定理）是毕达哥拉斯的一大贡献，他还首创地圆说，认为日、月、星都是球体，悬浮在太空之中．
22．角
解读课标
角也是一种最基本的几何图形，它在现实生活中随处可见．张开的剪刀、纵横交错的公路、钟面上的时针和分针等都给我们以角的形象．
角既可以看作有公共端点的两条射线组成的图形，又可看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
与角相关的知识有：
1．角平分线的概念；
2．角的分类；
3．互余、互补等数量关系角．
类似于解与线段相关的问题，解与角相关的问题时，往往用到相关概念、分类与讨论、代数式的思想等知识方法．
问题解决
例1 把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到，则_______．
试一试 折痕两旁的部分能互相重合，即为平分线，这是解本例的关键．
例2 如图，、、在一条直线上，，若，则图中互余的角共有（ ）．
A．对 B．对 C．对 D．对
试一试 从互余的概念入手，应注意等量代换，避免漏掉互余的角．
例3 如图，已知，平分，且，求的度数．
试一试 设，建立方程，用代数方法计算．
例4 将一副三角板的两三角板如图放置，平分，平分．
（1）将三角板绕点旋转（角的三角板不动），求的大小．
（2）若将角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，（1）中的结论是否变化？（直接写出结论，不必说明理由）
试一试 三角板绕点旋转过程中，有下列情形：与重合，在内部，包含在内部，故分类讨论是解本例的关键．
例5 已知：是直线上的一点，是直角，平分．
（1）如图①，若，求的度数；
（2）在图①中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）；
（3）将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置．
①探究与的度数之间的关系；
②在的内部有一条射线，满足，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．
分析与解 对于（3）②，为方便设，，将条件等式变形为只含，的等式．
（1）
（2）
（3）①．
②左边，右边，
即，得，
．
钟表上的角度
例6 在时到时之间，钟面上的时针与分针在什么时候成的角？试尽可能多地找出答案，又秒针与时针共有几次成的角？
分析与解 直觉作答或近似估计，可得到一些答案，而通过方程可使我们找到问题全部的解．
而列方程解答，又有几种不同的解题策略：
（1）分别对两个整点之间的答案列出方程求解；
（2）在上述某础上寻找规律求出全部解；
（3）将问题看成圆周追及问题．设分针的速度为每分钟个单位长度，则时针的速度为，将时针、分针看成两个不同速度的人在环形跑道上同时（从时开始）开始同向而行，要求使两者相距个单位长度所用的时间．
设从时开始，过分钟后分针与时针成的角，此时分针比时针多走了圈，则，或，
解得或．
分别令以，，，，…，，即得本题的所有个解（精确到秒）：
，，，，，，，，，，；，，，，，，，，，，．
在小时内，秒针相对于时针走了圈，所以秒针与时针共有次成的角．
数学冲浪
知识技能广场
1．一个角的余角比它的补角的还少，则这个角是________．
2．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．
（1）若，则________．
（2）若，则___________．
3．如图，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数是_________．
4．如图，是直线上一点，，，平分，则图中彼此互补的角有________对．
5．在时刻，时钟上的时针与分针之间的夹角为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图所示的的方格表中，设，，，则（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，、、在一条直线上，是锐角，则的余角是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置．若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，已知、、为内三条射线．
（1）图中共有多少个角？
（2）若、、为四等分线，且图中所有锐角的和为，求的度数；
（3）若，，求图中所有锐角的和．
10．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图①放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
（1）试说明：；
（2）如图②，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度，平分，平分，求；
（3）如图③，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角形旋转过程中（转到与重合时，两三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．
思维方法天地
11．以的顶点为端点引射线，使，若，则的度数是__________．
12．在上午时分到时分之间，时针和分针成直角的时刻是________．
13．如图，在的网格中标出了和，则________．
14．如图，，，那么不大于的角有________个，它们的度数之和是_______．
15．如图，在一个正方体的个面上画了两条对角线，，那么这两条对角线的夹角等于（ ）．
A． B． C． D．
16．如图，直线、相交于点，于点，平分，，则下列结论中不正确的是（ ）．
A． B． C．与互为补角 D．的余角等于
17．如图是一个的正方形，则图中的和等于（ ）．
A． B． C． D．
18．如图，、是的任意两条射线，平分，平分，若，，则表示的式子是（ ）．
A． B． C． D．以上都不正确
19．如图，在直线上取一点，在同侧引射线、、、，使和互余，射线和分别平分和，试探究与的关系，并说明理由．
20．如图①，点为直线上一点．过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图②，使一边在的内部，且恰好平分．问：直线是否平分?请说明理由；
（2）将图中的三角板绕点按每秒的速度逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，直线恰好平分，求的值；
（3）将图①中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图③的位置，使在的内部．请探究：与之间数量关系，并说明理由．
应用探究乐园
21．（1）时钟在点分时，时针和分针的夹角是多少度？
（2）晚饭后，小明准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是点多，时针与分针成角，散完步后回家，小明又看了一下钟，还不到点，而时针与分针又恰好成角，问小明外出多少分钟？
22．已知，是内的一条射线，射线平分，射线平分．
（1）若（如图①），求的度数；
（2）设，求的值．

角
问题解决
例1 ．
例2 B ，，．
例3 ，，，由，得，解得，故．
例4 （1）在旋转的过程中，这一关系不变，从而． （2）略
数学冲浪
1． 2．（1）；（2） 3．
4． 5．B 6．B 7．C 8．C
9．（1）有个角；（2）；（3）．
10．（1）略
（2），设，．
（3）设运动时间为秒，则，，，，．
，为定值．
11．若射线在的内部，则；若射线在的外部，则．
12． 点分或点分 设点分以后，过分钟，时针与分针的夹角为，由或得或．
13． 通过拼补计算
14． ； 15．A 16．D
17．D 沿作对折时，上、下图形能够重合，得．
18．A
19．，，，从而．
20．（1）平分； （2）或；（3）
21．（1）
（2）由题意得：，，
解得，，．
即小明出去了分钟．
22．（1）
（2）如图①，当时，原式；
如图②，当时，原式．
阿基米德，公元前年出生在意大利西西里岛的叙拉古，岁时在被称为“智慧之都”的希腊中心亚历山大城学习，他博阅群书，钻研《几何原本》．阿基米德通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演绎方法推出许多杠杆命题，并给出严格的证明，其中就有著名的“阿基米德原理”，阿基米德是兼数学家与力学家的伟大学者，享有“力学之父”的美称。
23．相交线与平行线
解读课标
在我们生活中存在大量的图形，它们为人类带来无穷无尽的直觉源泉，相交线与平行线随处可见，它们构成同一平面内两条直线的基本位置关系，它们的性质和位置关系是认识和学习其他图形性质的基础．
相交线与平行线都与角相关：两直线相交，对顶角相等；两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．
我们还可以用角之间的关系来判断两直线是否平行．
与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合运用，有以下两方面应用：
1．角的计算与证明；
2．两直线位置关系的确定．
问题解决
例1 如图，已知，，，则__________．
试一试 、、表面上看很难联系起来，过点作，问题就迎刃而解了．
例2 如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为（不包括本身），与互补的角的个数为，若，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
试一试 略
例3 如图，已知，，求证：．
试一试 从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系是解这类问题的基本思路．
例4 如图，、是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在、两点，点是橡皮筋上一点，拽动点将橡皮筋拉紧后，请你探索、、之间具有怎样的关系？并说明理由．
试一试 这是一道结论开放的探究性问题，由于点位置的不确定性，可引起对点不同位置的分类讨论（如夹在、之间或之外、内折或外折等），这是解本例的关键．
例5 平面上有条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．
（1）你能画出各直线之间的交点个数为的图形吗？其中分别为，，．
（2）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？
分析与解 设条直线交点的个数为，则．（为什么？）
（1）如图①，得到的交点个数为个；如图②，得到的交点个数为个；如图③、④，得到的交点个数分别为、．
（2）的大小直接取决于条直线中互相平行的直线的数量，因为条直线中可能有：
一组平行线（条；条；条；条；条；条）；
二组平行线（条，条；条，条；条，条；条，条；条，条；条，条）；
三组平行线（条，条，条；条，条，条）；
没有平行线，
所以当我们探求本题的完整的答案时，可以分为上述四种情况，分别加以研究．
实际上本题的答案共有个，即
，，，，，，，，，，，，，，，其中重复数字表示交点
个数相等但图形不同的答案．
平移变换
例6 平面上有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于．
分析 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多．
证明 在平面上任取一点，过点分别作这条直线的平行线，，，，，，则由平行线的特性，知，，，，，之间互成的角与原来的条直线，，，，，之间互成的角相等．
现在我们考虑，，…，的情况，我们只考察与，与，…，与，与所成的角，由图不难发现这个角成一个平角，即这个角的和为．
假设这个角没有一个小于，则这个角都大于或等于，从而这个角的和至少为，这是不可能的，所以，这个角中至少有一个小于，不妨设与所成的角小于，则原来的直线与所成的角也必小于．
数学冲浪
知识技能广场
1．如图，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角，那么吸管与易拉罐下部夹角________度．
2．如图，已知，，，则________．
3．将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，与互余的角是_______．
4．如图，，，则图中与相等的角（不含）有______个；若，则________．
5．在、两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从地测得地的走向是南偏东，现、两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则地所修公路的走向应该是（ ）．
A．北偏西 B．南偏东 C．西偏北 D．北偏西
6．如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，已知，那么（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，、是中边上的任意两点，，，则图中相等的角共有（ ）．
A．对 B．对 C．对 D．对
9．如图，已知，，求、、的度数．
10．如图，已知，求证：．
思维方法天地
11．如图，，长方形的顶点在直线上，则_________．
12．如图，已知，，，则__________．
13．某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可能是________．①第一次向左拐，第二次向右拐；②第一次向右拐，第二次向左拐；③第一次向右拐，第二次向左拐；④第一次向左拐，第二次向左拐．
14．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为，则另一个角的度数为_________．
15．如图，，则的度数等于（ ）．
A． B． C． D．
16．如图，已知，平分，且，则与的关系是（ ）．
A． B． C． D．
17．探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射后平行射出，如果图中，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
18．如图，两直线、平行，则（ ）．
A． B． C． D．
19．已知，．
（1）如图①，当平分时，求证：平分；
（2）如图②，移动直角顶点，使，求证：．
20．如图，已知，，求证：．
应用探究乐园
21．（1）如图①，，则_________．
如图②，，则___________．
如图③，，则___________．
如图④，，则___________．
从上述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论．
（2）如图⑤，，则______________．
（3）利用上述结论解决问题：如图已知，和的平分线相交于，，求的度数．
22．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则_________，________．
（2）在（1）中，若，则_______；若，则________；
（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜、的夹角________时，可以使任何射到平面镜上的光线，经过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线平行．请说明理由．

相交线与平行线
问题解决
例1 ，，，
例2 D
例3 先证，再证.
例4 如图，可分别得到下列关系（证法同①）
①；②；
③；④
⑤；⑥.
数学冲浪
1. 2. 3.、、 4.； 5.A
6.A 7.A 8.D
9.，，
10.略 11. 12. 13.④ 14.或
15.D 16.D 17.B 18.D
19.（1）略；（2）证法较多，如过点作或作平分线等.
20.作，延长、交于点，则，因，故，即，.
21.（1），，，
（2）
（3）过点作，则.
则，又，得，故.
22.（1）；
（2）；
（3）证明略.
年，在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像，这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫斯基（），他发现了一个逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美的新的几何世界——非欧几何．他为非欧几何的存在和发展奋斗了多年，被誉为“几何学中的哥白尼”．
24．认识三角形
解读课标
从房屋的顶梁到自行车的三脚架，从起重机的三角形吊臂再到爱因妥芬（心电图的发明者）三角形，生活中处处可看到三角形，三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用．
认识三角形，就是认识三角形的概念及基本要素——边与角，与边与角相关的知识有：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算，图形的计数等方面有广泛的应用．
代数化及分类讨论法是解与三角形基本要素相关问题的重要方法．代数化即用方程、不等式解边与角的计算及简单推理题，分类讨论即按边或角对三角形进行分类．
问题解决
例1 在中，高和所在直线想交于点，若不是直角三角形，且，则_________度．
试一试 因三角形的高不一定在三角形内部，这样形状应分两种情况讨论．
例2 如图，将纸片沿着折叠压平，则（ ）．
A． B． C． D．
试一试 在折叠动态变化中，不变关系是，这是解本例的关键．
例3 （1）如图①，于，平分，试探寻与、的关系．
（2）如图②，若将点在上移动到，于，其他条件不变，那么与、是否还有（1）中的关系？说明理由．
（3）请你提出一个类似的问题．
试一试 对于（2），通过作辅助线，将问题转化为（1）．
例4 如图①，已知为轴负半轴上一点，为轴正半轴上一点，，．
（1）求的面积；
（2）如图②，若，作的平分线交于，交于，判断与的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若，点在轴正半轴上运动，的平分线交的延长线于点，在点的运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
试一试 对于（3），能否用的式子表示？由数到形，分解出基本图形是解题的关键．
例5 在三角形纸片内有个点，连同三角形纸片的个顶点，共有个点，在这些点中，没有三点在一条直线上．问：以这个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？
解法一 我们不妨先退一步，考察三角形内有一个点、两个点、三个点…的简单情形，有下表所示的关系：
三角形的点数
可连线得到小三角形的个数
…
…
不难发现，三角形内有一个点时，连线可得到个小三角形，以后每增加一个点，这个点必落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有个点时，连接可得到小三角形的个数为：（个）．
解法二 整体核算法．设连线后把原三角形分割成个小三角形，则它们的内角和为，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供的内角，个点共提供内角，于是得方程，解得，即这个点能将原三角形纸片分割成个小三角形．
角平分线
角平分线是联系角与角之间关系的纽带，当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通性的组图．
例6 （1）如图①，已知中的两内角平分线交于点，两外角平分线交于点，一内角平分线与一外角平分线交于点．试分别探究、、与关系；
（2）如图②，在凹四边形中，已知与的平分线交于点，求证：．
分析与解 （1），，．
（2）凹四边形形似“规形”，易证．
图②可分解为两个“规形”，
、分别平分、，
可设，．
由（1）得，①
，②
②-①得，
．
数学冲浪
知识技能广场
1．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点恰好放在等腰直角三角板的斜边上，与交于点．若，则_________度．
2．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数为_______．
3．如图，中，，剪去后，得到四边形，则_______．
4．如图，在中，，的平分线与的平分线交于点，得；的平分线与的平分线相交于点，得；…，的平分线与的平分线相交于点，得，则________．
5．如图，中，、、的外角分别记为、、．若，则（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，是中的平分线，是的邻补角的平分线．若，，则（ ）．
A． B． C． D．
7．在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为和两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）．
A． B． C．或 D．或
8．如图，中，，，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，已知射线与射线互相垂直，、分别为、上一动点，、的平分线交于．问：、在、上运动过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由．
10．如图①，已知中，，为边上一点，为直线上一点，且．
（1）求证：，
（2）如图②，若在的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？证明你的结论．
思维方法天地
11．在中，，高、交于，且不与、重合，则的度数为_______．
12．如图，已知，，，平分，则_______．
13．如图，平分交于，平分交于，与相交于，如果，，那么的度数为________．
14．如图，已知中，，平分，、分别为的两外角的平分线，给出下列结论：①；②；③．其中正确结论的个数是（ ）．
A． B． C． D．
15．如图，，又的平分线与的平分线相交于点，则为（ ）．
A． B． C． D．
16．如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
17．平面内的四条线段、、、首尾顺次连接，已知，．
（1）如图①，若与的平分线交于点，求的值；
（2）如图②，点在的延长线上，的平分线和的平分线交于点，求的值．
18．如图，在中，平分交于，延长至，平分，且、的延长线交于点，若，．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若在图中作与的平分线交于，作与的平分线交于，作与的平分线交于，依此类推，与的平分线交于，请用含有的式子表示的度数．
应用探究乐园
19．把一副学生用三角板（、、和、、）如图①放置在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，直角边与轴重合，斜边与轴重合，直角边交轴于，斜边交轴于，是中点，．
（1）把图①中的绕点顺时针旋转度得图②，此时的面积是，的面积是，分别求、、三点的坐标；
（2）如图③，设的平分线和的平分线交于点，的平分线和的平分线交于点，当绕点转动时，的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值．
20．问题提出 以边形的他个顶点和它内部的个点，共个点作为顶点，可把原边形分割成多少个互不重叠的小三角形？
问题探究 为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：以的三个顶点和它内部的个点，共个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？
如图①，显然，此时可把分割成个互不重叠的小三角形．
探究二：以的三个顶点和它内部的个点，，共个点为顶点，可把分割成多少个互不重叠的小三角形？
在探究一的基础上，我们可看作在图①的内部，再添加个点，那么点的位置会有两种情况：
一种情况，点在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点在内部，如图②；
另一种情况，点在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点在上，如图③．
显然，不管哪种情况，都可把分割成个互不重叠的小三角形．
探究三：以的三个顶点和它内部的个点，，共个点为顶点，可把分割成______个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．
探究四：以的三个顶点和它内部的个点，共个顶点，可把分割成______个互不重叠的小三角形．
探究拓展：以四边形的个顶点和它内部的个点，共个顶点，可把四边形分割成_____个互不重叠的小三角形，
问题解决 以边形的挖个顶点和它内部的个点，共个顶点，可把分割成____个互不重叠的小三角形．
实际应用 以八边形的个顶点和它内部的个点，共个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）

24．认识三角形
问题解决
例l 当为锐角三角形时，；当为钝角三角形时，．
例2 B ，又，得，化简得．
例3 （1）；
（2）过作于，则；
（3）略
例4 （1）
（2）可证明．
（3），可证明为定值．
数学冲浪
1． 2． 3． 4． 5．A 6．C 7．C 8．C
9．，为一定值．
10．（1）证明略；（2）（1）中的结论仍然成立
11．或
12．
13． 如图，由对顶三角形性质得，解得．
14． D 15． B 16．C
17．（1）可证明．
（2）可证明．
18．（1）略；
（2），代入（1）得；
（3）．
19．（1），，．
（2），，，故的值不会改变．
20．探究三：
分割示意图：（答案不唯一）．
探究四：或
探究拓展：或
问题解决：或
实际应用：把，代入上述代数式，得．
泰勒斯（公元前前），古希腊学者，西方理性数学的倡导者，素有“科学之父”的美称．他不满足于直观的感性的特殊认识，崇尚抽象的理性的一般的知识，发现了许多平面几何定理，泰勒斯在天文学方面也有不同凡响的工作，相传他曾测知公元前年月日的一次日全食，他不愧于其墓碑上镌刻的颂词：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地，万古流芳．”
25．多边形的边与角
解读课标
大街上的人行道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到由各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面．
一般地，由条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为边形，又称多边形．
边、角、对角线是多边形中最基本的概念．
多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略．
多边形的内角和性质反映出一定的规律性：随的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是的一个常数．把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧．
问题解决
例1 如图，__________．
试一试 运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分散的角加以集中．
例2 凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
试一试 把凸多边形内角问题转化为外角问题．
例3 凸边形除去一个内角外，其余内角和为，求的值．
试一试 设除去的角为，可建立关于，的不定方程；又，又可得到关于的不等式，故有两种解题途径，注意为自然数的隐含条件．
例4 如图，四边形中，已知，，于，于．证明：．
试一试 从四边形内角和入手．
角星
例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求度数．
（2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求度数．
（3）如图③，用“一笔画”方法画成的角形，且是凸边形，求度数．
分析 从特殊到一般，将所求的度数用相关三角形、凸多边形内角和的式子表示．
解 （1）
（2）
（3）（个三角形，，，…，，的内角总和减去多边形外角和的倍）．
完全多边形
把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连接的线段，称为一个图．如图，这样的图有个点，每两点之间都有一条线，称为完全六边形．一个完全边形共有条连线．
例6 证明：任何个人中，必有个人互相认识，或者有个人互相不认识．
分析与解 借助图表示这一抽象的思想．
用点，，…，代表个人，两个人互相认识则在对应的两点间连一条红边，否则连一条蓝边，问题转化为图中必有三边同色的三角形．
考虑与条引线，因为只染了两种颜色，由抽屉原理知必有条同色，不妨设，，同为红色；若，，中有红边，则有红色；若，，无红边，则为蓝色三角形，无论哪种情况，图中都有同色三角形．
数学冲浪
知识技能广场
1．如图，、、、是五边形的个外角，若，则_______．
2．如图①，将一块正六边形硬纸片做成一个底面仍是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图①中的四边形，那么的度数为_______．
3．如图，的度数为_____________．
4．用个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①，用个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为___________．
5．将五边形纸片按如图所示的方式折叠，折痕为，点、分别落在、'上，已知，则等于（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，已知正五边形中，，，则（ ）．
A． B． C． D．
7．一个凸多边形的每一内角都等于，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）．
A．条 B．条 C．条 D．条
8．一个凸边形，除一个内角外，其余个内角的和是，则的值是（ ）．
A． B． C． D．不能确定
9．如图，已知，，，，求的度数．
10．如图，在四边形中，，、分别平分和．求证：．
思维方法天地
11．从凸边形的一个顶点引出的所有对甬线把这个凸边形分成了个小三角形，若等于这个凸边形对角线条数的，那么此边形的内角和为________．
12．一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是，则原多边形是_________边形．
13．如图，设，则__________．
14．如图，的度数为_________．
15．如图，的度数等于（ ）．
A． B． C． D．
16．在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为，则这个多边形的边数为（ ）．
A． B．或 C． D．或
17．有一个边长为的正六边形客厅，用边长为的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（ ）．
A．块 B．块 C．块 D．块
18．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一米，然后原地逆时针方向旋转，被称为一次操作，若次操作后发现赛车回到出发点，则角为（ ）．
A． B．或 C． D．或
19．如图，在凸六边形中，已知成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的．
20．已知凸四边形中，．
（1）如图①，若平分，平分的邻补角，判断与的位置关系并证明；
（2）如图②，若、分别平分、的邻补角，判断与的位置关系并证明．
应用探究乐园
21．（1）如图①，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_________；
（2）如图②，在的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图③中，并写出这个图形的边数；
（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？
22．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图①，若，点在，外部，则有，又因为是的外角，故，得．将点移到，内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则，，之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）如图②中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图③，则，，，之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论，求图④中的度数．
微探究
平面镶嵌
平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面．
我们研究的镶嵌是：镶嵌的正多边形的边长都相等，每个顶点都是同样数目的一些同样形式的多边形的公共点．
镶嵌的实质在于，围绕一点拼在一起的若干个多边形的内角加在一起恰为，镶嵌图案有下列多种方式：
1．任意三角形和任意四边形都能镶嵌；
2．用同一种正多边形进行镶嵌；
3．用几种正多边形组合镶嵌．
对于（2）、（3），可以证明：能镶嵌整个平面的只有种．如图：
例1 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面，设正多边形的边数为、、，则的值为________．
试一试 从建立、、的等式入手．
例2 现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ ）．
A．种 B．种 C．种 D．种
试一试 假设选择正三角形与正方形，设在一个顶点周围有个正三角形，个正方形，则，即，将问题转化为求不定方程正整数解，类似探讨其他选择方式．
例3 问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题，今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究．
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面，如图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点周围围绕着个正方形的内角．
试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着________个正六边形的内角．
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决，从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正方形和个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：
，整理得：，
我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为．
结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着个正方形和个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
验证2：_________________________________________
结论2：_________________________________________
上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案．
问题拓展
请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．
猜想3：_____________________________________
验证3：_____________________________________
结论3：_____________________________________
拼图的背后
例4 同时用边长相等的正三角形和正方形拼（无重叠无间隙）凸多边形，能拼成怎样的凸多边形？
分析 要得到完整的解答，需将问题转化为解方程组．
解 设可以拼成凸边形，边形的内角只可能是，，，．并设其个数分别为，，，（，，，为大于等于零的整数）．
则
由②得 ③
①③得 ④
．
由此可见，拼得的多边形最大边数为．下面我们分情况一一探讨．
（1）当时，由，得，
．
这说明可以拼成十二边形，且这十二边形的每个内角均为，如图①．
（2），当时，由，得，
．
这说明，可以拼成十一边形，且这十一边形中有一个内角为，其余各内角均为，如图②．
（3）当时，由，得，
．
这说明可以拼成十边形，且这十边形中有个内角为，有个内角为，如图③．
（4）当时，由，得，
．
这说明可以拼成九边形，且这九边形中有个内角为，有个内角为，如图④．
同理，可以拼成八边形、七边形、六边形、五边形，分别如图⑤、⑥、⑦、⑧．
练一练
1．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为，定义为第一组；在它的周围铺上块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组……按这种方式铺下去，用现有的块瓷砖最多能完整地铺满_______组，还剩_________块瓷砖．
2．花团锦簇
有一个正六边形花坛，周围用同样规格的正三角形、正方形砖块铺路，按图示方法从花坛向外铺圈，共需砖_______块，其中正三角形砖_______块．若铺圈，则共需砖_______块．
3．有下列五种正多边形地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤正八边形，现要用
同一种大小一样、形状相同的正多边形地砖铺设地面，其中能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺设的地砖有（ ）．
A．种 B．种 C．种 D．种
4．如图，一个正方形水池的四周恰好被个正边形地板砖铺满，则等于（ ）．
A． B． C． D．
5．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格；
正多边形边数
…
正多边形每个内角的度数
…
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
微探究
三角形三边关系
三角形的三边关系是三角形最基本的性质，是解决三角形计数、研究线段不等关系、探讨几何最值等问题的基础．
例1 不等边三角形的两条高的长度分别为和，若第三条高的长度也是整数，那么这条高的长度等于_________．
试一试 设的面积为、第三条高的长为，则三边都可用的代数式表示，由三边关系建立关于的不等式组．
例2 已知三角形的三边、、的长都是整数，且，如果，则这样的三角形共有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
试一试 的取值范围是明确的，依三角形三边关系，可确定的取值范围，列表枚举出所有的可能性．
例3 如图，已知为内任一点．
（1）与哪个大？证明你的结论；
（2）与哪个大？证明你的结论．
试一试 对于（2），解题的关键是先证明：， ，．
例4 现有长为的铁丝，要截成小段，每段的长为不小于的整数．如果其中任意小段都不能拼成三角形，试求的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的段？
试一试 因段之和为定值，故欲尽可能的大，必须每段的长度尽可能的小，这样依题意可构造一个数列．
整边三角形
例5 将长度为的一根铅丝折成各边均为整数的三角形，记为三边分别为，，且的一个三角形．
（1）试尽可能多地写出满足题意的；
（2）你能否提出一些进一步的问题？
分析与解 （1）由题意可知，且，由此得，
即，，，，故满足题意的共有如下组：
；；；；；；；；；；；．
（2）以下问题供参考：
①将长度为的线段折成各边均为整数的三角形，求最大边的边长的取值范围；
②将长度为的线段折成各边均为整数的四边形，可得多少个不同的四边形？
练一练
1．现有、、、长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是________________．
2．若三角形的周长是偶数，其中有两边的长是和，则这个三角形是________三角形（按边分类）．
3．如图，加油站和商店在马路的同一侧，到的距离大于到的距离，，一个行人在马路上行走．问：当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于_______米．
4．将长度为的细铁丝折成边长都是质数（单位：厘米）的三角形，若这样的三角形的三边的长分别是、、，且满足，则有________组解，所构成的三角形都是_______三角形．
5．三角形的三边长为，，，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
6．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为，这样的三角形有（ ）．
A．种 B．种 C．种 D．种
7．条长度均为整数的线段，，…，满足，且这条线段中的任意三条都不能构成三角形，若，，则（ ）．
A． B． C． D．
8．已知的两条高线的长分别为、，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面内，分别用根，根，根，…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：
火柴数
…
示意图
…
形状
等边三角形
等腰三角形
等边三角形
…
问：（1）根火柴能搭成三角形吗？
（2）根、根火柴能搭成几种不同形状的三角形？画出它们的示意图．
10．有长度分别为、、、、、、、、（单位：）的细木棒各根，利用它们（允许连接加长但不允许折断）能够围成多少种周长不同的等边三角形？
11．周长为，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？

25．多边形的边与角
问题解决
例1 连，四边形的内角和．
例2 C 设凸多边形的边数为，个内角中恰有三个是锐角，则其余个外角中将是钝角或直角，而外角中钝角或直角的个数不超过，即，解得．
例3 设除去的角为，则，得，，．
例4 ，又，故．
数学冲浪
1． 2． 3．
4． 得到的正多边形的一个内角为．
5．B 6．D 7．D 8．B 9．
10．，，又，得，故．
11． 12．十八边形，或十九边形或二十边形
13． 14． 连 15．C
16．D 设这个多边形为边形（为正整数），由，得，或．
17．C 18．D 19．可以证明
20．（1）；（2）（证明略）
21．（1）；（2）这个图形的边数是（如图所示）；（3）得到的图形的边数是．
22．（1）不成立，结论是．
（2）结论：．
（3）．
平面镶嵌（微探究）
例1 依题意有：，化简得．
例2 B 用两种正多边形密铺地面的组合有：正三角形和正六边形、正三角形和正方形、正方形和正八边形，共种．
例3 问题再现：
验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角．
根据题意，可得方程：．
整理得：，可以找到两组适合方程的正整数解为和．
结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着个正三角形和个正六边形的内角或者围绕着个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正三角形、个正方形和个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：，整理得：，可以找到唯一一组适合方程的正整数解为．
结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着个正三角形、个正方形和个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
练一练
1．铺满组时，所用瓷砖总数为．当时，，当时，，故最多能完整地铺满组，还剩（块）瓷砖．
2． ；； 3． B
4． C 由，得．
5．（1）；；
（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．
假定在接合处一共有块正边形地砖．由于正边形的所有内角都相等，则，即，因为整数，故，，，，得，或，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形．
（3）如：正方形和正八边形，设在一个顶点周围有个正方形的角，个正八边形的角，那么，，应是方程的整数解，即的整数解．
这个方程的整数解只有一组，符合条件的图形只有一种．
三角形三边关系（微探究）
例1 设长度为和的高分别是边、上的，边上的高为，的面积为，则，，，由，得，又为整数且为不等边三角形，故．
例2 A分，，…，情形讨论，又，列表如下：
不存在
，
，，
，，，
，，，，
，，，，，
例3 （1），，，相加得：．
（2）如图，延长交于．
在中，①，
在中，②，
①+②，得
即，同理，．
相加得:，故．
例4 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，，…但，．故的最大值为，共有以下种方式：
；；； ；； ；．
练一练
1． 2．等腰
3． ，当、、在一条直线上时，等号成立．
4． 等腰 最长边介于周长的和之间，故最长边可取整数、、、，又三边长都是质数，则最长边为，另两边的和为．其中符合条件的有，．
5．B 6．D
7．B 只有当，，，，时，条线段中的任意三条都不能构成三角形．
8．B 设第三条高线的长为，可得．
9．（1）不能搭成三角形
（2），，能搭成一个等腰三角形；，，；，，；，，各能搭成一个三角形，并且这个三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等边三角形，图略．
10．因所有线段的和为，故最大的等边三角形边长为．依据边长列表如下：
边长
从表中可以看出，符合条件的三角形边长最短为，最长为，都能找到适合的线段组合．故能够围成的周长不同的等边三角形共有种．
，
，
，，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
11．不妨设，则由得．因为整数，故，，，．当时，，；当时，，或，；当时，，或，或，或，；当时，，或，或，或，
或，．
海伦，古希腊数学家、测量学家和工程师，在数学史上，他以出色解决几何测量问题而闻名．他提出了不少计算图形面积和体积的精确或近似公式，其中包括著名的已知三角形三边，求三角形面积的“海伦公式”．
26．图形面积的计算
解读课标
面积是平面几何中一个重要概念，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：
1．常见图形面积计算公式；
2．等底等高的两个三角形面积相等；
3．等高（或等底）两个三角形面积的比等于对应底（或高）的比．
面积的计算主要是求一些非常规图形的面积．非常规图形面积的计算往往可转化为常规图形面积的计算，在转化的过程中常用到恰当连线、图形割补、等积变形、代数化等知识方法．
熟悉以下基本图形．
问题解决
例1 如图，梯形被对角线分为个小三角形，和的面积分别为和，梯形的面积是__________．
隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积需求出的，过线段的比把三角形面积联系起来．
例2 如图，正方形和的边长分别为、，那么的面积的值（ ）．
A．只与的大小有关 B．只与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关
试一试 略
例3 如图，三角形内的线段、相交于点，已知，．设三角形、三角形、三角形和四边形的面积分别为、、、．
（1）求的值；
（2）如果，求的值．
试一试 恰当连线（如连），把线段比转化为对应的三角形面积比．对于（2），设，利用三角形面积之间的关系建立方程．
例4 如图，的面积为，、为的三等分点，、为的三等分点．
求：（1）四边形的面积；
（2）四边形的面积．
试一试 （1）连，设，，可建立关于，的方程组，解题的关键是把相关图形的面积用，的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形的面积；（2）连，仿（1），先求出的面积，再得出面积，进而可求四边形的面积．
例5 如图①，已知正方形的面积为，为的中点．求图中阴影部分的面积．
解法1 如图①，，为公共部分，所以，因为与的高相等（以为顶点作高），与的高相等（以为顶点作高），
所以，即，
解得，．
解法2 如图②，连接，由正方形的对称性得，
又，
所以．
解法3 如图③，连接、，设、交于点，，
因为，
所以．
又，，
因为，
即，所以．
所以．
皮克公式
例6 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数和为．
（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出与之间的关系式．答：____________________．
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积
…
各边上格点的个数和
…
（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有个格点．此时所画的各个多边形的面积与它各边上格点的个数和之间的关系式是：___________．
（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想与有怎样的关系？
试一试 本例是按多边形内部的点来分情况探究的．对于（3），可以研究当多边形内部的点数为、、等的情况，从特殊到一般作出猜想．
数学冲浪
知识技能广场
1．如图，一个大正方形被条线段分割成个小正方形和个长方形，如果，，那么大正方形的面积_____________．
2．图中最大正方形的边长是，那么，阴影部分的总面积是__________．
3．如图，将边长为的等边沿边向右平移得，与交于点，则_____________．
4．把三张大小相同的正方形卡片，，叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①摆放时，阴影部分的面积为；若按图②摆放时，阴影部分的面积为，则____________（填“”、“”或“”）．
5．如图，在直角扇形中，分别以、为直径作半圆，两条半圆弧相交于点，整个图形被分成、、、四部分，则与的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定的
6．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为的正方形，、两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点也在小方格的顶点上，且以、、为顶点的三角形的面积为个平方单位，则点的个数为（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，在长方形中，，、、在同一条直线上，则阴影部分的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，凸四边形中，对角线、相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，三角形的面积是，则四边形的面积是（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，已知正方形的边长为，求的面积．
10．如图，的边，，点、在上，点、在上，，求和的长．
思维方法天地
11．如图，若长方形、、的面积分别为、、，则阴影部分的面积是__________．
12．如图，三角形的面积为，，是的中点，与相交于点，那么四边形的面积为______________．
13．如图，长方形中，，，为的中点，在上取一点，使的面积等于，则_______________．
14．如图，若为平行四边形内的一点，且，，则______________．
15．如图，是平行四边形，在上，在上，，则___________．
16．如图，大圆中有个面积相等的小圆，已知小圆半径为，大圆半径等于小圆直径，则空白部分的面积是__________（取）．
17．如图，三角形的面积为，是的中点，是的中点，连接并延长交于，连接并延长交于．求四边形的面积．
18．如图，中，，求的值．
应用探究乐园
19．在如图①至图③中，的面积为．
探索
（1）如图①，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则__________（用含的代数式表示）；
（2）如图②，延长的边到点，延长到点，使，，连接．若的面积为，则_________（用含的代数式表示），并写出理由；
（3）在图②的基础上延长到点，使，连接、，得到（如图③）．若阴影部分的面积为，则________（用含的代数式表示）．
发现
像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到（如图③），此时，我们称向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的______倍．
应用
去年在面积为的空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把向外进行两次扩展，第一次由扩展成，第二次由扩展成（如图④）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少？
20．如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是，黄色的面积是，绿色的面积是，求正方形盒子的面积．

26．图形面积的计算
问题解决
例1 ，，得．
例2 B 连，，．
例3 （1），，得．
（2）由，得，，连接，
设，则，
因．故，
解得，，所以．
例4 （1），①②，得，即．
（2）连，，设，，
则，，
则，解得，
故．
例6 （1）；（2）；（3）．
数学冲浪
1． 2． 3． 4． 5．B 6．D 7．B 8．B
9．
10．设，则，，
由，得，
，故，即，
同理，，，．
11． 连 12．
13． 设，则，由，得．
14． 设，，则．
15． 连，，则，，，，为中点，，，，．
16． 如图，因为与、与、与、与、与、与部分的面积相等，所以空白部分的面积为半个大圆的面积，即（平方厘米）．
17． 设，，则，
，，．
由，得，即，解得．
同理有，，，由，得．
故．
18． 连，设，，，
则，解得，同理可得，又，得，
这样，即．
19．探索：（1）；
（2）；理由：连接，，，，；
（3）；
发现：
应用：拓展区域的面积：．
20． 移动黄块到左边缘，在移动的过程中，黄块露出的部分减少多少，绿块露出的部分就增加多少，即“黄+绿”不变．当黄块移动到靠左边缘时，由于红块是正方形，大盒也是正方形，可得这时“黄”“绿”，易知此时“左上”“右下”“右上”“左下”，可得“右上”，所以“大盒”的面积．
陈景润（），福建省福州市人，年毕业于厦门大学数学系，主要从事解析数论方面的研究．世纪年代以来对筛法及其有关重要问题作了深入研究，年月证明了命题“”，将多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步，这一结果被国际上誉为“陈式定理”．
27．图形生长的奥秘
解读课标
从一个简单的、基本的图形开始，按照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形，并探寻图形的边长、周长、面积的变化规律，这类图形生长的问题是近年中考竞赛的一个热点问题．
以“点”的方式扩散、以“面”的方式膨胀、以“体”的方式“堆砌”，是图形生长的常见形式，解图形生长问题的基本方法是：
（1）分析图形生长的方式、规律；
（2）分析相关数量的特征，找寻相关数量与图形序号的联系，观察发现，归纳猜想．
问题解决
例1 （1）观察图①至图④中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第个图中小圆圈的个数为，则________．（用含的代数式表示）
（2）观察下列图形：
① ② ③ ④
根据图①②③的规律，图④中的三角形的个数为___________．
试一试 对于（2），从寻找第个图与第个图三角形个数的关系入手．
例2 （1）如图是一个水平摆放的小正方体木块，图②③是用这样的小正方形木块叠放而成，按照这样的规律，继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是（ ）．
A． B． C． D．
（2）黑色等边三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正方形分上下两行，上面的一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第、、个图案所示规律依次下去：
则第个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ）．
A．， B．， C．， D．，
试一试 略．
例3 操作：
（1）如图①，先画一个等边三角形，每边长为；
（2）如图②，在图①中，每边三等分中间的一份处再凸出一个等边三角形；
（3）如图③，在②的边上，重复进行三等分，中间的一份处凸出一个等边三角形，按上述方法，就画出一个美丽的雪花图形．
探究：图的周长是多少？
试一试 每“生长一次”，边长变化的规律，以及每“生长一次”，新增三角形个数的规律，这是解本例的突破口．
例4 有一堆砖堆放如图，第层有块，第层有块，第层有块，……，如此继续下去，第层有多少块？第层有多少块？这样共层的砖堆总共有多少块砖？
试一试 从第层起，每一层横里比上一层多一块，纵里也比上一层多一块，这是解本例的关键，亦可从分析每层砖的数据特征入手．
例5 如图的图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的：第个图案需根火柴，第个图案需根火柴，……，依此规律，第个图案需多少根火柴？
分析 当数据规律不明显时，可从分析图形构成入手．为使图形结构清晰，可适当改变图形．
解 将图中各个图案右下角的一个正方形移除根火柴后得如下图：
图中第个图案需要横向火柴（根），纵向火柴（根），共需根火柴；
第个图案需要横向火柴（根），纵向火柴（根），共需根火柴；
第个图案需要横向火柴（根），纵向火柴（根），共需根火柴；
……
第个图案需要横向火柴的根数是，纵向火柴的根数也是，共需根火柴．
故拼搭图中第个图案需火柴（根）．
图案设计
例6 如图是一个由个相似的直角三角形组成的图案，像商标？像蜗牛？像台风眼？
由简单的相似图形出发，展开想象的翅膀，开发头脑无尽的创意，你也能画出更美的图案．
下列图案分别是由相似的正方形、正五边形、正六边形、圆组成的．
数学冲浪
知识技能广场
1．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个图形共有_______枚五角星．
2．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有个五角星，第②个图形一共有个五角星，第③个图形一共有个五角星，……，则第⑥个图形中五角星的个数为_________．
3．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要根小棒，图案（2）需要根小棒，……，按此规律摆下去，第个图案需要小棒________根（用含有的代数式表示）．
4．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为________（用含的代数式表示）．
5．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为_________．
6．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面．如果铺成一个的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有个，如果铺成一个的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有个，如果铺成一个的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有个．若这样铺成一个的正方形图案，则其中完整的圆共有________个．
7．观察下表，填表格后再解决问题：
序号
…
图形
…
……
●的个数
…
★的个数
…
（1）完成上表；
（2）试求第几个图形中的“●”的个数与“★”的个数相等．
8．已知一个面积为的等边三角形，现将其各边（为大于的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形，如图所示，当时，共向外作出了多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？（用含的式子表示）
9．某体育馆用大小相同的长方形镶嵌地面，第一次铺块，如图①；第二次把第一次铺的完全围起来，如图②；第三次把第二次铺的完全围起来，如图③；……；依此方法，第次铺完后，用字母表示第次镶嵌所使用的木块数为______________．
10．如图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第行的实心圆点的个数等于_______．
11．在图①中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得到图②；对图②中的每个阴影等边三角形各边按照先前的做法，得到图③；……；如此继续，如果图①的等边三角形面积为，则第个图形中所有阴影三角形面积的和为___________．
12．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为，……，依此类推，由正边形“扩展”而来的多边形的边数记为．
（1）求的值；
（2）当的结果是时，求的值为_________．
13．用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为，定义为第一组；在它的周围铺上块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，……，按这种方式铺下去，用现有的块瓷砖最多能完整地铺满多少组？还剩几块瓷砖？
应用探究乐园
14．在下图中，每个正方形由边长为的小正方形组成：
（1）观察图形，请填写下列表格：
正方形边长
…
（奇数）
黑色小正方形个数
…
正方形边长
…
（偶数）
黑色小正方形个数
…
（2）在边长为的正方形中，设黑色小正方形的个数为，白色小正方形的个数为，问是否存在偶数，使？若存在，请写出的值；若不存在，请说明理由．
15．将棱长为的正方体按如图方式放置，求第个几何体的表面积．

27．图形生长的奥秘
问题解决
例1（1）
（2） 图①有个，图②有个，图③有个，图④有个．
例2（1）C ；
（2）D
例3 图中每个小等边三角形的边长为，图周长为．
例4 第层有块，第层有块，这样的层砖堆共有
（块）．
数学冲浪
1． 2． 3． 4．
5．（个） 6．（个）
7．（1）略；（2）由，得或（舍去）．
8．时，共向外作了个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为，这些小等边三角形的面积为．
9．
10． 各行的实心圆点数组成斐波那契数列
11．
12．（1），；（2）．
13．铺满组时，所用瓷砖总数为．
当时，，当时，，故最多能完整地铺满组，还剩（块）瓷砖．
14．（1）略；（2）为偶数时，，，由题意得，或（舍去）．故存在偶数，使得．
15．由图呈现的规律知，第个几何体有层，从上往下第层有个正方体，第层有个正方体，第层有个正方体，……，第层有个正方体，所以第个几何体的表面积由以下三部分组成：
（1）俯视图：边长为厘米的正方形，面积为（平方厘米）．
（2）底面积：边长为厘米的正方形，面积为平方厘米．
（3）侧面积：四个形如
个正方形的金字塔三角形的面积和，即（平方厘米）．故第个几何体的表面积为（平方厘米）．
28．实验与操作
解读课标
数学实验指的是为了探究数学知识、发现数学结论或假设而进行的某种操作、试验或思维活动．
数学实验是通过操作或借助计算机技术，从而获得经验，发现规律，进而解决问题，构建知识和促进发展．
在一定的规则下进行某种实验或操作，问是否或证明能够达到一个预期的目的，这就是实验操作题．
数学实验操作题常借助两种手段完成：一是动手操作，运用事物或教具进行实验与操作；二是以计算机软件的应用为平台，模拟实验，利用数学模型解决问题．这类问题强调手脑并用，注重在“做”的过程中体验问题情境和经历解决、研究问题的过程．
有效的数学学习不是单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索是学习数学的重要方法．
解实验操作题的关键是：在实验与操作获得直观形象经验的基础上，能发现规律，或成功转化为一个数学问题．
问题解决
例1 循环往复 图中的程序表示，输入一个整数便会按程序进行计算．
设输入的值为，那么根据程序，第次计算的结果是；第次计算的结果是，……这样下去第次计算的结果是__________，第次计算的结果是______________．
试一试 从具体的运算中找规律．
例2 将一个正方形纸片依次按图①、图②方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪．最后将图④的纸再展开铺平，所看到的图案是（ ）．

A B C D
试一试 既可以亲自裁剪，又可以按照折纸的先后顺序，逐步倒推．
例3 如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下：
第次把它等分成个小正方形，第次将上次分成小正方形的其中一个又等分成个小正方形……依此操作下去．
（1）请通过观察和猜想，将第次、第次和第次划分图中得到的正方形总个数填入下表．
次数（）
…
正方形总个数（）
…
（2）请你推断，按上述操作方法，能否得到个正方形？为什么？
试一试 略
例4 有枚硬币，其中枚国徽朝上，枚国徽朝下．现在要求每一次翻转其中任意枚，使它们的国徽朝向相反．问：能否经过有限次翻转后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明．
试一试 国徽朝上朝下具有相反意义，将国徽朝上赋值“”，朝下赋值“”．这样，若干枚国徽的朝向情况可用若干个数的乘积来表示，把一个实际操作题转化为一个数学问题．
例5 在方格纸中，以格点连线为边作面积为的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？
分析与解 若没有规律性的认识，则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的．恰当的方法是：选择一些图形作基本图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列个图形作为基本图形：

由此可得如下个解答，其中凸多边形个，凹多边形个：



俄罗斯方块
例6 游戏机的“方块”中共有下面种图形，每种“方块”都由个的小方格组成．现用这种图形拼成一个的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这种图形中的几种图形？

分析与解 为了形象化地说明问题，对的长方形的个小方格黑白相间染色，除“品”字形必占个黑格个白格或个白格个黑格外，其余个方块各占个黑格个白格．
用其中的种不同的图形方块可以拼成的长方形，方法很多，如图①仅出示一种．
下面证明不能种图形方块都各用一次，将的长方形的个小方格黑白相间染色，则如图②所示，黑、白格各个，若的长方形能用种不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次．其中“品”字形如图③必占个黑格个白格或个白格个黑格，其余个方块各占个黑格个白格．种不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于．矛盾．因此，不存在种图形方块每个各用一次拼成的长方形的方法．
所出，要拼成的长方形，最多可以用这种图形方块中的种．

数学冲浪
知识技能广场
1．乐在其中
七巧板的起源要追溯到我国先秦时期，古算书《周髀算经》中即有正方形分割术，经历代演变而成“七巧图”（又称为“益智图”和“智慧板”，如图①）．世纪传到国外，多称其为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），引起人们的极大兴趣，欧美许多国家纷纷出版书籍予以介绍．

如果有一副七巧板的总面积是平方厘米，那么其中正方形的那一块的面积是________平方厘米．
图②“乐在其中”的每个字都是由一副七巧板摆拼所得，请在图中用线段画出模块之间的“拼缝”．
2．如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．
3．如图，将长度为，宽为的长方形的纸带，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为___________．
4．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取，则若，则第次“”运算的结果是____________．
5．图中的大正三角形是由个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图①、②所示．
观察图①、图②中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形，②涂黑部分都是三个小正三角形．
请在图③、图④内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．
思维方法天地
6．折折剪剪
一张正方形纸片，通过两次对折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可以得到如图（1）末的“蝴蝶结”：
请你仿图①，将下面的正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开，得到如图②末的图形，请画出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分．
7．把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上，使得四个啤酒瓶底中心的距离两两相等．请写出摆法关键步骤（可画图辅助说明）：_________________________________________________________________________
8．方格纸上有个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？
9．有依次排列的个数：，，．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：，，，，，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：，，，，，，，，．继续依次操作下去．问：从数串，，开始操作至第次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？
10．有三堆石子的个数分别是，，，现在进行如下的操作：每次从这三堆石子中的任意两堆中各取出个石子，然后把这个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：
（1）三堆石子的数分别是，，；
（2）三堆都是．
如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由[注：若从第一、二堆各取个到第三堆，可表示为等]．
11．如图所示的展览馆有个陈列室，每两个相邻陈列室之间有门可通，其入口与出口位置如图所示，现有人希望每个陈列室都能参观，但只经过每个展室一次，这可能吗？如果可能，请为他设计一条参观路线；如不可能，请说明理由．
应用探究乐园
12．如图是一张“”（表示边长分别为和）的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同．
（1）能否分成张满足上述条件的纸片？
（2）能否分成张满足上述条件的纸片？
若能分，用“”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由．
13．图形的操作过程
（本题中四个矩形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为）
在图①中，将线段向右平移个单位到，得到封闭图形，（即阴影部分）；
在图②中，将折线向右平移个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）．
（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
_________，__________，_____________；
（3）联想与探索：
如图④，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．
微探究
设而不求
字母示数是代数的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃．
字母示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用．
为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义．
例1 老师报出一个位数，同学们将它的顺序倒排后得到的位数减去原数，甲、乙、丙、丁的结果分别是，，，，老师判定个结果中只有个正确，答对的是________．
试一试 设原数为，化简并判断的特征．
例2 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失．假设不计超市其他费用，如果超市要想获得的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高（ ）．
A． B． C． D．
试一试 若要表示利润，则需指明质量、进价．
例3 某地区民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价．某户月份白天时段用电量比晚间时段用电量多，月份白天时段用电量比月份白天时段用电量少，结果月份的用电量虽比月份的用电量多，但月份的电费却比月份的电费少．求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数．
试一试 本例数量关系复杂，既涉及白天与晚间用电量的关系，不同月份用电量的关系，又关联月份间的电费，故要全面增设未知数．
例4 从两个重量分别为千克和千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等．求所切下的合金的重量是多少千克？
试一试 由于已知条件中涉及合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件．
例5 能否找到个整数，使得这个整数沿圆周排成一圈后，任个相邻数的和都等于？如果能，请举一例；如果不能，请简述理由．
分析 假设存在个整数，，，，，，排成一圈后，满足题意，由此展开计算推理．若推得矛盾，则原假设不成立．
解 由题意得
……
将上述式相加，得，
，与为整数矛盾，故不存在满足题设要求的个整数．
难解的结
英国剑桥大学有一位数学家（真名叫道奇逊），用刘易士·卡洛尔的笔名写了不少非常有趣的科普读物，其中有一本《乱纷纷的结》，书中的每一章都叫做“绳结”，意即这些问题像绳结一样复杂难解，下面就是一个“绳结”的题目：
例6 两个步行者正在急促地以每小时千米的速度向山下走去，一个年轻人像羚羊似的边跳边走，他的同伴吃力地跟在后面．年轻人说，只怪我们上山的时候走得太慢了，每小时只走千米．在平地的时候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小时走千米．年轻人说，能赶得上回去吃夜饭吗？同伴说，这要看我们了，我们点钟出来，点钟该我们回到旅馆的时候了．今天可真走了不少路．年轻人说，到底走了多少路呢？同伴不耐烦地说，你自己去想吧，
题目就是这样，似乎条件不充分，你能解开这个“结”吗？
解 设旅行者一共走过的路程为千米，上坡（或下坡）走过的路程为千米．
整个行程分为四段：走平路、上坡、下坡、再走平路．
开始走平路所花的时间是小时，上坡所花的时间是小时，下坡所花的时间是小时，再走平路所花的时间是小时．
依题意可得方程：，
原方程化简得，，
故他们一共走了千米．
练一练
1．已知，，则，，的平均数是_______________．
2．、两校男生、女生人数的比分别为，，两校合并后男生、女生人数的比是．若用一位整数的比近似表示合并前、两校的人数的比，则这个近似比是_________．
3．甲、乙两车从向行驶，甲比乙晚出发小时，开始时甲、乙的速度比是．甲出发小时后，速度提高倍，甲、乙两车同时到达．则甲从到共走了_________小时．
4．某服装厂生产某种定型冬装，月份销售每件冬装的利润是出厂价的（每件冬装的利润出厂价成本），月份将每件冬装的出厂价调低（每件冬装的成本不变），销售件数比月份增加，那么该厂月份销售这种冬装的利润总额比月份的利润总额增长（ ）．
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为，，和，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是（ ）．
A． B． C． D．
6．一辆汽车从地匀速驶往地，如果汽车行驶的速度增加，则所用的时间减少，则、的关系是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图数表各行、各列及两条对角线之和彼此相等，设为．求证：
（1）；
（2）．
8．在一次数学竞赛中，组委会决定用公司赞助的款购买一批奖品．若以台计算器和本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买份奖品；若以台计算器和本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买份奖品．问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少？
9．甲、乙二人分别从、两地出发，相向而行．若同时出发，经分钟相遇；若乙比甲提前分钟出发，甲出发分钟与乙相遇，求甲从地到地、乙从地到地各需多少分钟？
10．在车站开始检票时，有名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，问需要同时开放几个检票口？
微探究
借助图形思考
数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题．
当代美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并能创造性地思考问题．”
现阶段借助图形思考主要体现为：通过构造图形或拼图解与数量关系相关联的问题．
例1 、、、、、六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出、、、、五队已分别比赛了、、、、场球，则还没有与队比赛的球队是___________．
试一试 用算术或代数方法解，易陷入困境，用个点表示、、、、、这个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点间连一条线，这样用图来辅助解题，形象而直观．
例2 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图①中的，，，，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，类似地，称图②中的，，，，…，这样的数为正方形数，下列数中，既是三角形数，又是正方形数的是（ ）．
A． B． C． D．
试一试 分析三角形数、正方形数的特征，并用的代数式表示．
例3 有足够长的长方形和正方形卡片，如下图：
（1）如果选取的号、号、号卡片分别为张、张、张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．
这个长方形的代数意义是________________________________________________________
（2）小明想用类似方法解释多项式乘法，那么需要用号卡片______张，号卡片___________张．
试一试 为避免拼图的盲目性，从整式的乘法入手．
眼见亦可为虚
例4 一只小渔船在海上遇到了台风，触到礁石上，船身撞出了一个窟窿．如果不把它堵上，渔船就有沉没的危险．船中只有一块边长是的正方形木板，但是和船的窟窿相比，木板的面积少．怎么办好呢？
正在焦急当中，有一个船员用锯把这块正方形的木板裁开（如下图），然后用胶粘接拼成了长方形木板．
从图中的计算可知：原来的正方形木板的面积是，可是改成长方形以后木板的面积却变成了，正好多出．船员赶紧把它堵在窟窿上，避免了渔船的沉没．可是大家都感到惊奇的是，这是从哪里多出来的呢，你能告诉他们吗？
试一试 略
横看成岭侧成峰
例5 ．
下面的图形，形象直观验证了平方差公式：
柳卡趣题
例6 法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于年当选为法国科学院院士，他对射影几何与微分几何研究都作出了重要贡献，在某次国际科学会议期间，一次有许多著名数学家参加的晚宴上，他提出了如下的一个轮船问题，人们称它为“柳卡趣题”．
每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国的纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔，轮船在途中需要七天七夜，假定所有轮船都以同一航线、同速匀速行驶，问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？
这个问题难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻底解决．后来有一位数学家通过构图解法，才使问题最终得以解决．
解 用“时间—路程图”解答．
从图上可以很清楚地看到，某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在中途可以遇到艘从纽约开来的轮船，加上开航时与到达时相遇的艘，因此一共遇到了艘从纽约开出的轮船．
练一练
1．如图，甲类纸片是边长为的正方形，乙类纸片是边长为的正方形，丙类纸片是长、宽分别为和的长方形，现有甲类纸片张，乙类纸片张，则应至少取丙类纸片_______张，才能用它们拼成一个新的正方形．
2．有若干张如图①所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类卡片___________张，类卡片_________张，类卡片________张，请你在图②中的大矩形中画出一种拼法．
3．小明在拼图时，发现个一样大小的长方形如图①所示，恰好可以拼成一个大的长方形．
小红看见了，说：“我来试一试，”结果七拼八凑，拼成如图②那样的正方形．
咳，怎么中间还留下了一个边长为的正方形洞！
你能帮他们解开其中的奥秘吗？
4．如图①，现有、的正方形纸片和的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹），使拼出的矩形面积为，并标出此矩形的长和宽．
5．用新方法解释旧模式常会推导绝妙的公式．请你依下列图形直观分别写出相应公式．
6．如图，九块大小不等的正方形纸片，，…，无重叠、无缝隙地铺满了一块长方形，已知的边长为，求其余各正方形的边长．

28．实验与操作
问题解决
例1 ； 输入，依次得到的结果为：，，，，，，，，，，，，，…显然，除去前次的结果外，从第次的结果开始，每次一个循环，而余，故第次计算的结果为．
例2 D
例3 （1）当时，；时，；……一般的．
（2）由，得，，因不是正整数，故按此要求操作不可能得到个正方形．
例4 用枚硬币的朝向情况可用个数的乘积来表示．若这些数之积为（或），表明有奇数（或偶数枚硬币朝下）．开始时，其乘积为．每次翻折枚硬币，即每次改变个数的符号，其结果是个数之积仍为．经过有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的．
数学冲浪
1． 画图略
2．
3．
4．
5．略
6．
7．先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成“正三角形”的位置，再将一个空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心的位置，保持中心的位置不变，适当移动三个底朝下的空啤酒瓶，放大或缩小“正三角形”，可使瓶底中心构成四个边长相等的“正三角形”如图（答案不唯一）．
8．
9．一个依次排列的个数组成一个数串：，，，…，，依题设操作方法可得新增的数为：，，，…，，则新增数之和为：（※）
原数串为个数：，，．
第次操作后所得数串为：，，，，，根据（※）可知，新增项之和为：，第次操作后所得数串为：，，，，，，，，，根据（※）可知，新增项之和为，按这个规律下去，第次操作后所得新数串所有数的和为：．
10．（1）经过次操作可达到要求：．
（2）不可能．因为每次操作后，每堆码数要么加，要么少，而，，被除余数分别为，，，经过任何一次操作后余数分别是，，，不可能同时被整除．
11．不可能 我们设想个展室都依次相间地铺上了两种颜色的地毯，则参观者无论怎样走法，只能按白黑白黑白……的次序前进．因此，不管参观者怎样走法，第次只能走到一间黑色地毯的展室，绝不可能走到铺白色地毯的展室出口．
12．（1）把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，有，，，，，，，，，，，．若能分成张满足条件的纸片，因为其面积之和应为，所以满足条件的有、、、、（如图①）或、、、、（如图②）
（2）若能分成张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为，但上面排在前列的个长方形的面积之和为．所以分成张满足条件的纸片是不可能的．
13．（1）略；（2）、、的结果都是；
（3）这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读、作图、计算及猜想等步骤．关键是探索：当道路由笔直到任意弯曲的变化中，矩形中空白部分（即草地）面积情况．
猜想：依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积仍然是．方法是将“小路”沿左右两个边界剪去，将其中一侧的草地平移一个单位向另一侧草地靠拢，得到一个新的矩形．
此时，在新的矩形中，其纵向宽仍然是，其水平方向的长度变成了，所以草地面积是．
设而不求（微探究）
例1 乙 所得差是的倍数
例2 B 设水果质量为，进价为，售价在进价的基础上至少提高，则，解得．
例3 设白天的单价为元/度，晚间的单价比白天低的百分数为，即晚间的单价为元/度，又设月份晚间用电量为度，则月份白天用电量为度，月份电费为元，月份白天用电量为度，月份晚间用电量为度，月份电费为．由题意得，，解得．
例4 设所切下的合金的重量为千克，重千克的合金的含铜百分数为，重千克的合金的含铜百分数为，于是有，
整理得．
因为，所以，因此，即所切下的合金重千克．
练一练
1．
2．
3． 设甲出发小时后再用小时即可追上乙，甲原速为，乙速为，由题设知当甲出发行驶小时时，乙已经行驶了小时，故有，即，故，（小时）．故甲共走了（小时）．
4．B 设月份每件冬装的出厂价为元，则每件成本为元，月份每件冬装的利润为元，又设月份销售冬装件，则月份销售冬装件，故月份的利润总额与月份相比，增长．
5．D
6．D 设、两地之间的距离为，汽车行驶的速度为，汽车从地到地所用的时间为，则．
7．（1），相加得，故．
（2）．故，同理，，，四式相加得．
8．设每台计算器元，每本《数学竞赛讲座》书元，则，解得，故可购买计算器（台），书（本）．
9．分钟、分钟
10．设需要开放个窗口，每个窗口每分钟检出的人数是，每分钟来排队的人数是，则
由①，②得，．
将，带入③，得．
借助图形思考（微探究）
例1 队
例2 C 图①中第个图共有石子（个），图②中第个图共有石子（个），，．
例3 （1）或
．
（2）；
例4 如图，形成“对角线”的三角形之边与梯形之边不在同一条直线上，即，这便是问题的症结所在．
练一练
1． 设至少取丙类纸片张，新的正方形边长为，则．
。
2．；； 拼法略
3．图①的面积为，图②的面积为．
4．，，矩形的长为，宽为，给出如图所示的两种拼法．
5．（1）；
（2）；
（3）；
（4），代入，得．
6．设，，，…，，分别表示正方形，，，…，，的边长，由其相互位置可得到个线性无关（独立）的方程，从该方程组不难解得：
，，，，，
，，，．

展开更多......

收起↑