资源简介

华罗庚（-），江苏金坛人，初中毕业后刻苦自学，主要从事解析数论、矩阵几何学等领域的研究并取得突出成绩，在解决高斯完整三角和的估计难题、华林和塔里问题改进、近世代数论方法应用研究等方面获出色成果．年当选美国科学院外籍院士，同年被聘为第三世界科学院院士．
12．不定方程（组）
解读课标
如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，那么把这种方程（组）叫做不定方程（组）．
不定方程（组）的解是不确定的，一般不定方程（组）总有无穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有无数组，或有限组，或不存在．
简单的不定方程是二元一次不定方程，它的一般形式是（，，为整数，且），与之相关的性质有：
1．无整数解的判定方法
若，而，则方程没有整数解．
2．全部整数解的表示
若方程有一组解（特解）．，则方程全部整数解（通解）可表示为：（为整数）．
问题解决
例1
某班级为筹备运动会，准备用元购买两种运动服，其中甲种运动服元/套，乙种运动服元/套，在钱用尽的条件下，有____种购买方案．
试一试
设购买甲、乙两种运动服套数为套、套，则，即．将问题转化为求不定方程的正整数解的个数．
例2
如图，在高速公路上从千米处开始，每隔千米设一个速度限制标志，而且从千米处开始，每隔千米设一个测速照相标志，则刚好在千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（
）．
A．千米
B．千米
C．千米
D．千米
试一试
设置限速标志、照相标志千米数分别表示为、（，为自然数)，问题转化为求不定方程的正整数解．
例3
（1）求方程的全部整数解；
（2）求方程的正整数解．
试一试
对于（），先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解．
例4
某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐人，就会余下人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车，问：原先去租多少辆客车和学校师生共多少人？（已知每辆车的容量不多于人）
试一试
设原先租客车辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐人，则，解此不定方程即可．
例5
购买铅笔支，作业本个，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本个，圆珠笔支共需元．问购买铅笔支，作业本个，圆珠笔支共需多少元？
分析
设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为、、，则，需求的值．
解法1
原方程组变形为，解得
．
解法2
把直接用、的式子表示．
．
解法3
，
需求出，原方程组变形为
①②，得，
．
百钱买百鸡
例6
中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
分析与解
设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为，，，则有通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．
②①，得，
即
③
到此，读者可用穷举法解之，我们还是用一般方法（分离整系数、运用整除）求出它的通解．
由③得，令，则，
，
，
这样，得到方程组的通解为（为非负整数）．
解得．
令，，，，得下列四组解：
，，，
数学冲浪
1．若方程有一组解为则方程的通解可表示为___________．
2．若方程有一组整数解为则由此得方程的通解为___________．
3．用一元钱买面值分、分、角的种邮票共张，每种邮票至少买一张，共有______种不同的买法．
4．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由朵红花、朵黄花和朵紫花搭配而成，乙种盆景由朵红花和朵黄花搭配而成，丙种盆景由朵红花、朵黄花和朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了朵红花，朵紫花，则黄花一共用了________朵．
5．方程的正整数解的个数是（
）．
A．
B．
C．
D．
6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为元、元、元，购买这些钢笔需要花元；经过协商，每种钢笔单价下降元，结果只花了元，那么甲种钢笔可能购买（
）．
A．支
B．支
C．支
D．支
7．三元方程的非负整数解的个数有（
）．
A．个
B．个
C．个
D．个
8．某次足球比赛的计分规则是：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，某球队参赛场，积分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（
）．
A．种
B．种
C．种
D．种
9．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团人准备同时祖用这三种客房共间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？
10．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元的工资，给每名新工人每月发元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能的少？
11．一个盒子里装有不多于粒棋子，如果每次粒、粒、粒或粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次粒地取出，那么正好取完．间盒子里共有多少粒棋子？
思维方式天地
12．正整数、满足，则的最大值为___________．
13．顺思逆想
一年共有个月，闰年的二月是天，又有个小月，个大月，所以闰年共有（天）
反过来思考：如果非负整数、、满足等式：，那么_______，这样的数组（、、）共有_______组，它们分别是____________．
14．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对题，就可提个问题，乙答对题就可提个问题，丙答对题就可提个问题，供另两人抢答，抢答结束后，总共有个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是_________．
15．有甲、乙、丙种商品，某人若购甲件、乙件、丙件共需元；若购买甲件、乙件、丙件共需元，则此人购买甲、乙、丙各件共需__________元．
16．如果一个两位数与三位数的积为，那么___________．
17．司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，小时后，看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少？
18．陈老师给名学生每人买了一件纪念品，其中有：每支元的钢笔，每把元的圆规，每册元的词典，共用了元．问陈老师买了多少支钢笔？多少本词典？
应用探究乐园
19．将一个三位数的中间数码去掉，成为一个两位数，且满足（如）．试求出所有这样的三位数．
20．物不知其数
我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》，其中有这样一个“物不知其数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？”
12．不定方程（组）
问题解决
例1
，
例2
C
，，为所求的解．
例3
（1），只能取偶数，得一组解，故原方程的通解为（为整数）．
（2），经观察，为方程的一组解，原方程的通解为（为整数）．
解得．故当取，，，…时，可知原方程有无穷多组正整数解．
例4
由，得，，得，或，得或．当时，师生总人数为（人），开走一辆车，每辆载客（人），与题意不符，故舍去，从而，师生共有（人）．
数学冲浪
1．（为整数）
2．（为整数）
3．
4．
设甲盆景盆，乙盆景盆，丙盆景盆，根据题意得：
得
所以共用了黄花（朵）．
5．B
6．D
7．C
当时，，分别取，，，…，时，取，，…，，有个整数解；当时，，有个整数解，当时，，有个整数解；…当时，，只有组整数解，故非负整数解共有（个）．
8．D
设该队胜场，平场，负场，，，都为整数，且，，．则，解得，则，，．
9．设租二人间间，三人间间，四人间间，则得，，，均为正整数，有，，；，，，故有两种租房方案．
10．（1）；
（2）工厂有种新工人的招聘方案；
（3）满足题意要求的招聘方案为：招聘名新工人和抽调名熟练工，此时工厂每月支出的工资总额最少，为元．
11．设盒子里共有粒棋子，则被，，，的最小公倍数除时，余数为，即（为自然数），又（为自然数），得，，，因，故，得，，所以，，即盒子里共有粒棋子．
12．
，时，最大值为．
13．；；，，，
14．或
设甲、乙、丙分别答对、、个问题，那么，即，解得，，，，但不可能自己对自己提问，所以解中不可能有两个零．
15．
16．
，则或或．
因，，则只能是，当时，，故，，．
17．设第一次看到两位数为，由题意得，整理得，显然，．故三块里程碑上的数分别为，，．
18．钢笔支，词典册．
19．因．，则，化简得，这里、、，且，因为质数，故故则，，，，，．
20．此数可写成或或形式，得，，于是把问题转化为求、、的最小正整数值．、、的最小正整数为，，，物数的通解公式为（为非负整数）（为什么？），物有．赵爽是我国三国时期吴国著名的数学家，他曾为《周髀算经》作注，其中有一篇《勾股圆方图注》，总结了我国东汉以来勾股算术的重要成果，在世界上最早给出并证明了有关直角三角形勾、股、弦三边及其和、差关系的二十多个命题．赵爽在《勾股圆方图注》中推导出了二次方程的求根公式．
10．二元一次方程组
二元一次方程组是在一元一次方程的基础上发展的．“消元”是解方程组的基本思想，即通过消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解，代人法和加减法是常见的消元方法．
解未知数系数较大、方程个数较多等复杂的方程组时，常用到整体叠加、整体叠乘、换元转化、辅助引参等技巧方法，这些技巧方法的运用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特征的把握基础上的．
方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，代解法、求解法是处理方程组的解的基本方法，对于含有字母系数的二元一次方程组，可进一步探究解的个数、解的特征，基本思路是在消元的基础上，把方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．
问题解决
例1
已知方程组的解应为，小明解题时把抄错了，因此得到的解是，则的值为________．
试一试
把相应的解恰当地代入原方程组，先求出、、的值．
例2
关于，的方程组有无数组解，则、的值为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
试一试
通过消元，将方程组解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．
例3
解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
试一试
依据方程组的特点，灵活选用不同的解题方法，对于（2），设，，通过换元简化方程组；对于（3），从寻找，，，…，，的联系入手．
例4
已知是整数，方程组有整数解，求的值．
试一试
先求出，运用整除的性质求出的值，需注意所求的整数要使得也为整数．
例5
星期天，小明和七名同学共八人去郊游，途中，他用元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐元一杯，奶茶元一杯，如果元钱刚好用完，则
（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？
（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少两杯时，有几种购买方式？
试一试
由题意可得到一个二元一次方程，问题（1）转化为求这个二元一次方程的非负整数解的个数．
叠加、叠乘
叠加、叠乘是指解系数有特点的方程组时，不拘泥于一般意义上的代入或加减，而是从整体上把方程组中的几个方程相加（或相减）或相乘，从而达到简化方程组的目的．
例6
将若干个自然数按某种规律排列，若前个数依次是，，，，，，，，则第个数是多少？
分析与解
设已知的数依次是，，，，…，，…，这若干个自然数排列的规律是什么？怎样解多元方程组？
由题意得
，
，
……
，
以上个式子左、右两边分别相加，得
，
，即其中的第个数是．
数学冲浪
知识技能广场
1．已知，则_______．
2．已知方程组的解为，则的值为________．
3．如果，那么的值为________．
4．已知方程组的解为，则方程组的解是______．
5．解方程组时，一学生把看错后得到，而正确的解是，则、、的值为（
）
A．不能确定
B．，，
C．、不能确定，
D．，，
6．已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．若关于、的方程组无解，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知是二元一次方程组的解，求的值．
10．给出下列程序，且已知当输入的值为时，输出值为；输入的值为时，输出值为．求当输入的值为时的输出值．
思维方法天地
11．为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则______．
12．若对任意有理数、，关于，的二元一次方程有一组公共解，则公共解为________．
13．若，，则________．
14．小敏购买种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数如下表：
品名件数
计算器
圆规
三角板
量角器
总钱数
第一次购件数
第二次购件数
则种数学用品各买一件共需_______元．
15．若，，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知三个数、、满足，，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
17．如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（
）
A．个球
B．个球
C．个球
D．个球
18．方程组的解的个数为（
）个．
A．
B．
C．
D．
19．若满足下列方程组，求的值．
20．某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的、两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板张，长方形纸板张，刚好全部用完，问能做成多少个型盒子，多少个型盒子？
应用探究乐园
21．某市中学生举行足球联赛，共赛轮（即每队均需参赛场），记分办法是胜一场得分，平一场得分，负一场得分．
（1）在这次足球赛中，若小虎足球队踢平场数与踢负场数相同，共积分，试求该队胜了几场？
（2）在这次足球赛中，若小虎足球队总积分仍为分，且踢平场数是踢负场数的整数倍，试推算小虎足球队踢负场数的情况有几种．
22．已知正数、、、、、满足，，，，，，求的值．
10．二元一次方程组
问题解决
例1
，，，
例2
B
例3
（1）将两方程相加，得，进而得．
（2）原方程组化为，
解得，即，得．
（3）由条件得并设，
，则，解得
，，即，．
例4
解得，若有整数解，则或或或，经检验当或时，为整数且也为整数，得，，，．
例5
（1）设买可乐、奶茶分别为，杯，则（且，均为自然数）
，解得．从而得，，，．
这表明有四种购买方式．
（2）略
数学冲浪
1．
2．
3．
4．
5．B
6．A
7．A
8．B
9．
10．由题意，解得，当时，．
11．
，若，为正整数，则，得．
12．由已知得，得，得．
13．
把两等式相加．
14．
设小敏购买种数学用品单价分别为、、、，则
①②得．
15．D
由，得，代入得原式．
16．A
，，，相加得，．
17．C
设每个球、方块、三角块的质量分别为、、，则
，解得，，第三个天平左端的质量是．
18．A
19．
将各个方程相加得
20．个、个
21．（1）设小虎足球队胜了场，平了场，负了场，由
，得．
（2）设小虎足球队胜了场，平了场，负了场，
由题意得，得
当时，；当时，；当时，．即小虎足球队所负场数有种情况．
22．因，，从而，，同理，，，，，原式．丘成桐，当代数学大师，现任哈佛大学客座教授，因解决了卡拉比猜想、正质量猜想等众多难题，影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支，年获菲尔兹奖，年获沃尔夫奖，是第一位兼得两项奖的华裔数学家，他说：“我研究数学，就是因为它很美．”
13．一元一次不等式（组）
解读课标
面对大量的同类量，最容易使人想到的就是它们有大小之分，不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，既是现阶段学习的重点内容，又是后续学习的重要基础．
不等式与方程都是反映客观事物变化规律及其关系的模型，类比等式是学习不等式的重要方法．
等式两边都乘（或除）以同一个数时，仅需考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘（或除）以同一个数时，既要注意这个数是否为零，又要考虑这个数的正负性；
解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，而解不等式组时，我们只能分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分，得不等式组的解集．
问题解决
例1
（1）已知不等式的正整数解恰是，，，则的取值范围是___________；
（2）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是______________．
试一试
对于（1），由题意知不等式的解在的范围内；对于（2），从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分．
例2
（1）若关于的不等式的解集为，则的值为（
）．
A．
B．
C．或
D．
（2）若不等式组有解，则的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
试一试
由不等式的解集建立的等式与不等式．
例3
解下列关于的不等式（组）：
（1）；
（2）．
试一试对于（1），分、两种情况讨论，去掉绝对值符号；对于（2），化为的形式，再就的正负性讨论．
例4
已知，求关于的不等式的解集．
试一试
由条件先求出、的值．
例5
已知、、是三个非负数，并且满足，，设，记为的最大值，为的最小值，求的值．
分析
本例综合了方程组、不等式组的丰富知识，解题的关键是通过解方程组，用含一个字母的代数式来表示，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求出，的值．
解
由条件得解得则．
由得，解得，从而，，故．
感悟不等
例6
甜饮料里有糖的质量分数，那么，给糖水添上一点糖，糖水就更甜了．请你把这一生活常识用数学式子表达出来．
分析与解
从生活常识到“数学不等式”历经以下三个步骤：
（1）用字母、、表示相应的量；
（2）根据质量分数的定义，写出加糖前后的质量分数，；
（3）将“更甜了”表示为不等式，其中，．
进一步追问：
（1）怎样证明上述不等式？
（2）将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数变大了吗？
数学冲浪
知识技能广场
1．若不等式组有解，则的取值范围是________________．
2．若不等式组的解集是，则____________．
3．已知关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是___________．
4．个小杯中依次盛有，，…，克糖水，并且分别含糖，，…，克．若这杯水的浓度相同，则有连等式：．
现将这杯糖水合到一个大空杯中，则合杯糖水的浓度与各小杯糖水的浓度还是一样的，这个尽人皆知的事实，说明了一个数学定理——等比定理：若，则．
若这杯糖水的浓度互不相同，不妨设，现将这杯糖水合到一个大空杯中，则合杯糖水的浓度一定大于__________，且小于___________．
这个尽人皆知的事实，又说明了一个数学定理——不等比定理：若，则__________．
5．若不等式的解集都能使关于的一次不等式成立，则的取值范围是（
）．
A．
B．
C．或
D．
6．若，则下列式子中正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
7．若方程组的解满足条件，则的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．不等式组的解集是，则的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
9．试确定的取值范围，使不等式组
只有一个整数解．
10．解下列关于的不等式
（1）；
（2）．
11．已知关于、的方程组的解满足，化简．
思维方法天地
12．关于的不等式的所有非负整数解的和为________________．
13．当时，不等式的解集是，则___________．
14．若实数、、满足，，则的取值范围是______________．
15．已知非负数、、满足条件，，设的最大值为，最小值为，则的值为_____________．
16．已知、为常数，若的解集为，则的解集是（
）．
A．
B．
C．
D．
17．如果关于的不等式组的整数解仅为，，，那么适合这个不等式组的整数对共有（
）．
A．对
B．对
C．对
D．对
18．关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
19．若、为实数，则下列命题中正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
20．已知，求的最大值和最小值．
21．已知非负数，，满足，设，求的最大值与最小值．
应用探究乐园
22．探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“”、“”、“”，并完成式后的问题．
①_______，__________，
_________，__________，…
试用含有、的式子表示上述规律为________________．
②__________，__________，
___________，___________，…
试用含有、、的式子表示上述规律为____________________．
应用：用边长为的正方形铁片，在四个角上剪去四个边长相同的小正方形，然后将对边剩余部分分别折起来（如图），可做成一个无盖的长方体盒，问怎样剪可使得到的盒子的容积最大？最大容积为多少？
23．已知整数，，，…，满足①，，，…，；②；
③．
求的最大值与最小值．
13．一元一次不等式（组）
问题解决
例1
（1）由，得；（2）．
例2
（1）A
由条件得，推得；（2）A．
例3
（1）由得；由得，矛盾．故原不等式的解集为；
（2）由原不等式得，当，即时，其解集为；当，即时，其解集为；当，即时且，解集为所有数；当且时，原不等式无解．
例4
数学冲浪
1．
2．
3．
4．；；
5．A
6．D
7．A
8．C
9．
10．（1）；（2），即，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为一切数．
11．当时，原式；当时，原式．
12．
原不等式等价于
13．
14．
由条件得
，．
15．，，
，
16．B
17．B
由，得，，，，，，；，，，，，，共有对．
18．C
19．D
20．解不等式得，原式，从而知最大值为，最小值为．
21．设，则，，，由题意得
解得，于是．
所以，即，故的最小值为，最大值为．
22．①；；；；（时，等号成立)
②；；；；（时，等号成立)．
设长方体盒子的容积为，小正方形的边长为，则有，此时，解得，．
23．设，，的个数分别是，，，则
即求的范围解，得
．
由条件得，当时，取最小值，当时，取最大值．牛顿（），英国数学家、物理学家、天文学家．牛顿对数学的最大贡献是创立了流数术（微积分），建立了二项式定理及“广义的算术”（代数学），他的名作《自然哲学数学原理》用数学与知识解释了哥白尼学说和天体运动的现象，阐明了运动三定理和万有引力定理，建立了求方程近似根的法则，后人以其突出的贡献，把他与阿基米德、高斯并称为历史上最伟大的数学家．
18．整式的乘除
解读课标
数有乘、除、乘方运算，代数式也有相应的运算．
整式的乘除法的各个运算之间存在着内在的联系，是可以相互转化的．多项式与多项式相乘可以通过转化变成单项式与多项式相乘，再通过转化变成单项式相乘，最后化为同底数幂的乘法进行运算；类似的，多项式除以多项式最后可化为同底数幂的除法进行运算．因此，幂的运算是整式乘除的基础．
问题解决
例1
（1）若为不等式的解，则的最小正整数的值为_______．
（2）已知，那么_______．
试一试
对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），就目前无法求出的值，恰当地运用条件，把高次项用低次多项式表示，如，等．
例2
把，，，这个数从小到大排列，正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
试一试
指数，，，的最大公约数为，把不同指数的幂化成同指数的幂．
例3
设、、、都是正整数，并且，，，求的值．
试一试
设，，这样、可用的式子表示，、可用式子表示，通过减少字母的个数降低问题的难度．
例4
设．
求：（1）的值；
（2）的值．
试一试
通过展开式去求出每一项系数，这样做计算繁难．事实上，上列等式在的允许值范围内取任意值代入计算，等式都成立，注意的幂的特征，用赋值法求解．
例5
已知多项式能被整除，求的值．
解法一
用赋值法解
设，其中为多项式．
令代入上式，得，．
解法二
用待定系数法解
设，即
，
对比得，，，．
对称之美
例6
观察下列等式：
，，
，，
，……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：
①_______=______；②______________．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含、），并证明．
分析与解
观察规律，左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律填空并进行一般式的证明．
（1）①，；②，．
（2）一般规律的式子为
证明
左边，
右边，
左边=右边．
数学冲浪
知识技能广场
1．满足的的最小正整数为_______．
2．如果，那么________．
3．探索规律：
，个位数字是；，个位数字是；，个位数字是；，个位数字是；，个位数字是；，个位数字是；…
那么的个位数字是________，的个位数字是________．
4．计算
（1）________；
（2）_________．
5．如果，那么代数式的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
6．已知，，，则、、的大小关系是（
）．
A．
B．
C．
D．
7．已知，，，则、、的关系是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．化简得（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知，试确定、、的值．
10．探索、研究
仪器箱按如图所示方式堆放（自下而上依次为第一层、第二层……），受堆放条件限制，堆放时应符合下列条件：每层堆放仪器箱的个数与层数之间满足关系式，，为整数．
（1）例如：当时，，则_______，_______．
（2）第层比第层多堆放多少个仪器箱？（用含的代数式表示）
（3）如果不考虑仪器箱承受的压力，请根据题设条件判断仪器箱最多可以堆放几层？并说明理由
（4）设每个仪器箱重（牛顿），每个仪器箱能承受的最大压力为，并且堆放时每个仪器箱承受的压力是均匀的．
①若仪器箱仅堆放第一、二两层，求第一层中每个仪器箱承受的平均压力．
②在确保仪器箱不被损坏的情况下，仪器箱最多可以堆放几层？为什么？
思维方法天地
11．如果，那么________．
12．已知，则________．
13．（1）与的大小关系是_______（填“>”、“<”或“=”）．
（2）与的大小关系是________（填“<”、“>”或“=”）．
14．已知，，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
15．满足的整数有（
）个．
A．
B．
C．
D．
16．若，则（
）．
A．
B．
C．
D．
17．是否存在整数、、满足若存在，求出、、的值；若不存在，说明理由．
18．设、、、都是非零自然数，且，，，求的值．
应用探究乐园
19．已知，，是整数，且，，求的值．
20．纪念活动中的数学题
年，在美国举行了建国周年纪念活动．在某中学的黑板报《一日一题》栏中有一道有趣的题目：的最后两位数字是什么？
黑板报前面围着一大群学生，大家议论纷纷，小马克看了看题目，伸出了舌头：“哟！的次方，年．美国第一任总统华盛顿宣布建立美利坚合众国，确实值得纪念．但是要把连乘次，才能找出最后的末尾两位数字，恐怕不知要算到何时；也不知要用掉多少草稿纸哩．”
请读者研究一下这个数的特点，不用小马克的呆办法，而立即把答案说出来？
18．整式的乘除
问题解决
例1
（1），，的最小值为；（2）
例2
D
，，，．
例3
，，，，由得，即，因是质数，、是自然数，且，得，解得，，所以．
例4
（1）当时，得．故原式．
（2）由展开并比较系数的符号，得，，，，，，则原式（显然）．
数学冲浪
1．
2．
3．；
4．（1）
（2）
5．C
6．A
7．B
，，得．
8．C
9．，，
10．（1）；．
（2），即第层比第层多堆放个仪器箱．
（3），由条件得，当时，，故仪器箱最多可以堆放层．
（4）①
②仪器箱最多可以堆放层．
11．
12．
令代入
13．（1）
，．
（2）
提示：设．
14．B
①，②，①×②，得，得．
15．D
由且，得；由，得，；由且是偶数，得．
16．A
17．原式可化为，得
，解得．
18．
参见例3得，，．
19．方程两边同乘以，得．
因为，要使上式左边为奇数，只有，即．
则，即．
要使上式左边为奇数，只有，即．
从而有，即．
故有，，．则．
20．“”是一个很特殊的数，任何两个自然数，只要它们的最后两位数字是，那么其乘积的最后两位数字也必是“”．
我们还是来作一个一般的证明吧：
设两个数分别为与，这里、是任意自然数，则
．
由于、是任意自然数，显然最后两位数字一定是．
所以这个数的最后两位数毫无疑问的也是．笛卡儿（），法国著名数学家、哲学家、思想家．迪卡儿的最大贡献是，建立以他的名字命名的迪卡儿坐标系，将过去对立着的两个研究对象“数”与“形”统一起来，他在数学中引入“变量”，完成了数学史上一项划时代的变革，年出版的《方法论》一书成为哲学经典，这本书的个著名附录《几何》、《折光》和《气象》奠定了笛卡儿在数学、物理和天文学中的地位．
16．平面直角坐标系
解读课标
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，从而坐标平面上的点与有序数对之间建立了一一对应关系，利用平面直角坐标系是确定位置的有效方法之一，解与此相关的问题需注意：
（1）理解点的坐标意义；
（2）熟悉象限内的点、坐标轴上的点、对称点的坐标特征；
（3）善于促成坐标与线段的转化．
如果说数轴撞开了数形结合的“一线天”，那么直角坐标系则撞开了一片广阔的天地．
问题解决
例1
（1）已知点，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为________．
（2）如图，围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为，白棋④的坐标为，那么，黑棋的坐标应该分别是________．
试一试
对于（1），由横纵坐标的联系建立方程．
例2
如图，一个粒子在第一象限内及、轴上运动，在第一分钟内它从原点运动到，而后它接着按图所示在轴、轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动个长度单位，那么，在分钟后这个粒子所处的位置是（
）．
A．
B．
C．
D．
试一试
从寻找第一象限特殊点的坐标与运动时间关系入手．
例3
如果将点绕定点旋转后与点重合，那么称点与点关于点对称，定点叫做对称中心，此时，点是线段的中点，如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，点，，，…中相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点对称，点与点关于点对称，点与点关于点对称，点与点关于点对称，点与点关于点对称，点与点关于点对称，…对称中心分别是，，，，，，…且这些对称中心依次循环，已知的坐标是．试写出点、、的坐标．
试一试
在操作的基础上，探寻点的坐标变化规律．
例4
如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：，，，．
（1）求此四边形的面积．
（2）在坐标轴上，你能否找到一点，使 若能，求出点坐标；若不能，请说明理由．
试一试
对于（1），通过作辅助线把表示为常规图形面积的和差；对于（2），因点位置不确定，故需分类讨论．
例5
如图①，已知是一个长方形，其中顶点、的坐标分别为和，点在上，且，点在上，且．点在上，且使的面积为，的面积为，试求的值．
解
设点坐标为，，
，
，即．
①
同理，由，
得，即．
②
解由①②联立的方程组得．
棋盘上的数学
例6
下象棋是很多人喜爱的事，你知道象棋里充满着数学问题吗？如图①，象棋盘上有一只马，它跳七步能回到原来的位置上吗？若能，请给出一种跳法；若不能，请说明理由．
分析与解
不论怎么跳，马都不能回到原来的位置，理由如下：
如图②，我们可在棋盘上建立直角坐标系，并设这只马所在的位置的坐标为．那么，马跳一步后的位置的坐标应为，这里的和只可能是，，，这四个数中的一个（想一想，为什么）．
同样，跳第二步后，马所在的位置的坐标应为，这里的和也只可能是，，，．依此类推，跳七步后，马所在的位置的坐标为．如果这时马又回到原来的位置，那么有，．
也即，
将两式相加，有．
由于上式中个数都只能取，，，，而且每一次跳的两个坐标之和不能为，，，和，因此，，，，，，这七个数只能取，，，．
但是不论怎样取法，由于奇数个奇数相加的和为奇数，所以这样取出的七个数的和不可能等于．故马跳七步不可能回到原来的位置．
数学冲浪
知识技能广场
1．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点的坐标为，则点的坐标为________．
2．已知点和关于轴对称，则的值为_______．
3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，……根据这个规律，第个点的横坐标为_______．
4．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，点是轴正半轴上的整点，记内部（不包括边界）的整点个数为，当时，点的横坐标的所有可能值是_______；当点的横坐标为（为正整数）时，________（用含的代数式表示）．
5．已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
6．如果点在第四象限，那么的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
7．线段在直角坐标系中的位置如图所示，线段关于轴对称，则点的对应点的坐标为（
）．
A．
B．
C．
D．
8．甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的个棋子组成轴对称图形，白棋的个棋子也成轴对称图形，则下列下子方法不正确的是（
）．[说明：棋子的位置用数对表示，如点在]
A．黑；白
B．黑；白
C．黑；白
D．黑；白
9．中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点、处．
（1）如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为______，点的坐标为_______，点的坐标为________．
（2）若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．
10．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位．其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：（______，_______）；（______，______）；（______，______）．
（2）写出点的坐标（是正整数）．
（3）指出蚂蚁从点到点的移动方向．
思维方法天地
11．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，请你观察图中的正方形，，，…，每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形四条边上的整点共有________个．
12．如图，正方形在坐标系中的位置如图，将正方形绕点顺时针旋转后，点的坐标为_____．
13．如图，把自然数按图的次序排在直角坐标系中，每个自然数都对应着一个坐标．如的对应点是原点，的对应点是，的对应点是，那么的对应点的坐标是_______．
14．若关于、的方程组的解为坐标的点在第二象限，则符合条件的实数的范围是（
）．
A．
B．
C．
D．
15．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换：
①．如；
②．如；
③．如．
按照以上变换有：，那么，等于（
）．
A．
B．
C．
D．
16．设平面直角坐标系的轴以作为长度单位，的顶点坐标为，，，其中，若该三角形的面积为，则的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
E．
17．如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，求两个物体开始运动后的第次相遇地点的坐标．
18．在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段，连接、．
（1）直接写出图中相等的线段、平行的线段；
（2）已知、，点在轴的正半轴上．点在第一象限内，且，求点、的坐标；
（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段且等于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由．
应用探究乐园
19．如图，是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中是坐标原点．点、、的坐标分别为，，，若点在梯形内，且，，求点的坐标．
20．操作与研究
（1）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移个单位，得到点的对应点．
点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点，的对应点分别为，．如图①，若点表示的数是，则点表示的数是______；若点表示的数是，则点表示的数是______；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是_________．
（2）如图②，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，．已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，求点的坐标．
16．平面直角坐标系
问题解决
例1
（1）、
；（2）、
例2
D
弄清粒子的运动规律，先观察横坐标与纵坐标的相同的点：，粒子运动了分钟；，粒子运动了分钟，将向左运动；粒子运动了分钟，将向下运动；，粒子运动了分钟，将向左运动，粒子运动了分钟，将向下运动，…，于是将有：点处粒子运动了分钟，这时粒子将向下运动，从而在运动了分钟后，粒子所在位置是，故选D．
例3
点与点重合，个点构成一个循环，，．
，
点与点坐标相同，为．
例4
（1）．
（2）①当点在轴上，设，则，由，
得或，，．
②当点在轴上，延长交轴于点，过作轴于，设，
，，
．
又，解得，．
设，当点在点上方时，，
，解得；
当点在点下方时，，
，解得，
综上，，，
满足题意．
数学冲浪
1．
2．
3．
以最外边的正方形边上的点为准，点的总个数等于该正方形右下角（即轴上）的点的横坐标的平方．
4．或；
5．B
6．D
7．D
8．C
9．（1），，；（2）略
10．（1），，；（2），；（3）向上
11．
提示：每个正方形四条边的整点个数为
12．
13．
所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上，且数对应点的坐标为，于是数对应点的坐标为，而，故对应点的坐标为．
14．B
15．B
16．B
17．因为长方形的边长为和，所以长方形的周长为．
因为物体乙的速度是物体甲的倍，故相同时间内，物体甲与物体乙行的路程比为．
（1）因为第次相遇时，物体甲与物体乙行的路程的和为，故物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，所以它们在边相遇，此时相遇地点的坐标为；
（2）因为第次相遇时，物体甲与物体乙行的路程的和为，故物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，所以它们在边相遇．此时相遇地点的坐标为；
（3）因为第次相遇时，物体甲与物体乙行的路程的和为，故物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，所以它们在点相遇．此时甲、乙回到出发点．
因为除以的商为，余数为，所以甲、乙两个物体运动后的第次相遇的地点与第次相遇的地点相同，此时相遇地点的坐标为．
18．（1），，，；
（2）连接，设则依题意有，，
，、；
（3）存在，依题意有，，则，，或，，
，或，，或．
19．如图，过点作轴于点．因为的面积等于的面积，所以，即，解得．所以的面积的面积，的面积的面积，则，即，所以点的坐标是
．
20．（1）；；
（2）点，的对应点分别为，．
，解得．
由题意可得．设点的坐标为，
，解得．
点的坐标为．陶哲轩，年月日出版的美国《探索》杂志上，位岁以下的科学家被冠以“最具智慧的头脑”称号，华裔澳大利亚人陶哲轩排名第一．他年生于澳大利亚，岁获得国际数学竞赛的金牌，岁被评为终身教授，年我国数学家大会上获得菲尔兹奖，时年岁，广泛的兴趣、丰富的知识储备、深刻的洞察力以及能敏锐地发现那些陌生的问题同自己最擅长领域的本质联系，是他最大的特色．
11．方程组的应用
解读课标
方程组也是刻画现实数量关系的有效模型，在代数式的化简求值、解实际问题等方面有广泛的应用．
一些代数式化简求值问题，运用相关概念、性质，对题意的理解等，常可转化为方程组求解或利用方程组探寻字母间的关系．
列方程组解实际问题的关键是找到能够表示问题中全部含义的相等关系，即在相等关系电，问题所给的条件既要不遗漏地重复使用，又不能把同一条件重复利用．
许多实际问题既可用列方程求解，又可用列方程组求解，列方程组求解常比单独设一个未知数建立一元一次方程更容易表示相等关系，但解方程组稍繁，这是它们的各自优缺点．
问题解决
例1
若，则_______．
试一试
由不等推导相等，未知数个数多于方程个数，怎么办？
例2
小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻
碑上的数
是一个两位数，数字之和为
十位与个位数字与使所看到的正好颠倒了
比时看到的两位数中间多了个
则时看到的两位数是（
）．
A．
B．
C．
D．
试一试
理解行驶路程与里程碑上的数的关系是解题的关键．
例3
如图，长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积．
试一试
大长方形由小长方形拼接而成，要求阴影部分的面积，需求出小长方形的长与宽．
例4
韦武准备装修一套新宅，若甲、乙两个装饰公司合做需周完成，需工钱万元；若甲公司单独做周后，剩下的由乙公司来做，还需周才能完成，需工钱万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，韦武是选甲公司还是选乙公司？请说明理由．
试一试
只有先求出每个公司工效、需要的工钱，才能进行正确的经济决策，因此，解本例需解两次方程组．
例5
已知，，，…，中每一个数值只能取，，中的一个，且满足，，求的值．
分析
因，，，…，中每一个数值只能取，，中的一个，故只需求出相应值的个数，将问题转化为解方程组．
解
设有个取，个取，由，得，故原式．
间隔发车
例6
小王沿街匀速行走，发现每隔分钟从背后驶过一辆公交车，每隔分钟从迎面驶来一辆公交车．假设每辆公交车行驶速度相同，而且公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是多少分钟？
分析
本例是一个既含有相遇又含有追及的综合性行程问题，有下列隐含的等量关系：
①迎面驶来两车距离=（车速+人速）．
②背后开来两车距离=（车速-人速）．
③迎面驶来两车距离=背后开来两车距离．
④同向两车距离=车速×发车间隔时间．
解法一
设公交车的速度为米／分，小王行走的速度为米／分，发车间隔的时间是分钟．
则，解得．
即公交车总站发车间隔的时间为分钟．
解法二
设同向行驶的相邻两车的间距为米，发车间隔的时间为分钟，小王行走相邻两车间距米所用的时间为分钟．
即，解得．
即公交车总站发车间隔的时间为分钟．
数学冲浪
知识技能广场
1．如果，那么的值为________．
2．由图给出的信息，可求得每件恤衫和每瓶矿泉水的价格分别为________．
3．如图，某化工厂与，两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．已知公路运价为元／（吨·千米），铁路运价为元／（吨·千米）．这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：
乙：
根据甲、乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列方程组．
甲：表示____________，表示______________
乙：表示____________，表示______________
（2）甲同学根据他所列方程组解得，则__________，并解决该实际问题：__________．
4．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（
）
A．
B．
C．
D．
5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文、对应的密文为、，例如：明文，对应的密文是，，当接收方收到密文是，时，解密得到的明文是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．甲是乙现在的年龄时，乙岁；乙是甲现在的年龄时，甲岁，那么（
）
A．甲比乙大岁
B．甲比乙大岁
C．乙比甲大岁
D．乙比甲大岁
7．某超市为“开业三周年”举行了店庆活动，对，两种商品实行打折出售．打折前，购买件商品和件商品需用元；购买件商品和件商品需用元，而店庆期间，购买件商品和件商品仅需元．这比不打折少花多少钱？
8．某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：
人数
收费标准（元/人）
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数多于人，乙校报名参加的学生人数少于人．经核算，若两校分别组团共需花费元，若两校联合组团只需花费元．
（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过人吗？为什么？
（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？
9．已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费．
思维方法天地
10．美国篮球巨星乔丹在一场比赛中投中，拿下分，其中三分琼三投全中，那么乔丹两分球投中_________球，罚球投中_________球．
11．在一条笔直的公路上，某一时刻，有一辆客车在前，一辆小轿车在后，一辆货车在客车与小轿车的正中间同向行驶，过了分钟，小轿车追上了货车；又过了分钟，小轿车追上了客车；此后，再过分钟，货车追上了客车，则________．
12．已知、、是三个有理数，且与的平均数是，与的和的是，与的和的是，那么、、的平均数是________．
13．已知，，满足，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
14．放成一排的个盒子中共有个小球，其中最左端的盒子中放了个小球，最右端的盒子放了个小球，如果任意相邻的个盒子中的小球共有个，则（
）．
A．
B．
C．，
D．，
15．买支铅笔、块橡皮擦、本日记本需元；买支铅笔、块橡皮擦、本日记本需元；则买支铅笔、块橡皮擦、本日记本需（
）
A．元
B．元
C．元
D．元
16．如图，从左上角标注的圆圈开始，顺时针方向按的规律（表示前一个圆圈中的数字，、是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，求“？”代表的数．
17．已知，，，求的值．
18．如图，正方形中的每个小图形表示一个数字，相同的图形表示相同的数字，不同的图形表示不同的数字，正方形外的数字表示该行或该列的数字的和，求，的值．
应用探究乐园
19．老师布置了一个探究性活动作业：仅用一架天平和一个克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量各是多少？（注：同种类的每枚硬币质量相同）
聪明的小明同学找来足够多的壹元和伍角的硬币，经过探究得到以下两个探究记录：
记录
天平左边
天平右边
状态
记录一
枚壹元硬币，一个克的砝码
枚伍角硬币
平衡
记录二
枚壹元硬币
枚伍角硬币，一个克的砝码
平衡
请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币多少克？一枚伍角硬币多少克？
20．【函函游园记】
函函早晨到达上海世博园区入口处等待开园，时整开园，区入口处有条安全检查通道让游客通过安检入园，游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，直到中午时区入口处才没有排队人群，游客一到就可安检入园，时分函函通过安检进入上海世博园时，发现平均一个人通过安全检查通道入园耗时秒．
【排队的思考】
（1）若函函在时整排在第位，则这时区入口安全检查通道可能有多少条？
（2）若时开园时等待区入口处的人数不变，当安检通道是现有的倍且每分钟到达区入口处的游客人数不变时，从中午时开始游客一到区入口处就可安检入园，当每分钟到达区入口处的游客人数增加了，仍要求从时开始游客一到区人口处就可安检入园，求这时需要增加安检通道的数量．
11．方程组的应用
问题解决
例l
由条件得，，两式相加得．
例2
D
设两位数为，则
．
例3
例4
设甲公司单独完成需周，需要工钱万元，乙公司单独完成需要周，需要工钱万元，由题意得
，解得；
又，解得．
从节约开支的角度考虑，韦武应选乙公司装修房子．
数学冲浪
1．
2．元、元
3．（1）产品的重量；原料的重量；产品销售额；原料费．
甲方程组右边方框内的数分别为，，乙同甲．
（2）；这批产品的销售款比原料费和运输费的和多元．
4．C
5．C
6．A
提示：设甲、乙两人现在的年龄分别是、岁，则
，解得．
7．
元
8．（1）超过人，理由略；（2）人，人
9．（1）吨；吨
（2）共有三种租车方案，具体方案略
（3）租用型车辆、型车辆最省钱，最少的租车费为元
10．；
11．
设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为千米，小轿车、货车、客车的速度分别为、、千米／分，则，，，解得．
12．
13．B
提示：由条件得，
14．A
提示：由，得，同理，又，得．
15．C
16．
17．由条件得，，，联立解得，，，．
18．易知，设第一行所表示的数依次是，，，，第行第列的数字是，则有
②-③，得⑥
⑥代入④，得，
即
故．
19．克；克
20．（1）
（2）设时开园时，等待在D区人口处的人数为，每分钟
到达D区入口处的游客人数为，增加安检通道后的数量为．
依据题意，有：
由①，②解得：，
代入③，解得，
增加通道的数量为．徐宝騄（-），浙江杭州人，中国著名的数理统计学家．年徐宝騄进入当时的数理统计研究中心伦敦大学学院学习数理统计，年回国任教．作为我国概率统计方面的学科带头人，在数理统计的许多领域，他都做出了杰出贡献，出版的专著介绍了对他的评价：“徐宝騄是世纪中最渊博、富有创造性的统计学家之一．”
14．不等式（组）的应用
解读课标
现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题是很难确定或不需确定具体的数值，但可以求出或确定某个量的变化范围或变化趋势，从而对所研究问题有一个较清晰的估算或认识，这就是不等分析的基本思想．
不等式的应用主要表现在：
（1）求代数式的取值范围；
（2）作差或作商比较数的大小；
（3）求代数式的最值；
（4）列不等式（组）解决实际问题．
问题解决
例1
若、满足，，则的取值范围是______________．
试一试
用的代数式表示、，由、建立关于的不等式组．
例2
、，…，都是正数，如果，，那么、的大小关系是（
）．
A．
B．
C．
D．不确定的
试一试
作差比较、的大小，解题的关键是如何简化、，不妨换元．
例3
为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一次小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排人，那么还剩下人；若每个路口安排人，那么最后一个路口不足人，但又不少于人，这个中学共选派值勤学生多少人？共在多少个交通路口安排值勤？
试一试
设共在个交通路口安排值勤，则共派名学生值勤，解题的关键是，若每个路口安排人，则最后一个路口安排人数用怎样的不等式表示．
例4
某工厂生产、两种产品共件，其生产成本与利润如下表：
种产品
种产品
生产成本（万元/件）
利润（万元/件）
若该厂计划投入资金不超过万元，且希望获利超过万元，问：工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利最大？最大利润是多少？
试一试
设生产种产品件，建立的不等式组，将问题转化为求的整数解并讨论．
例5
已知、、、、、、是彼此互不相等的正整数，它们的和等于，求其中最小数的最大值．
分析与解
不妨设，则，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含的不等式，这里要用到整数的如下性质：设、为整数，若，则．
因，，…为整数，故，，，，，，上面不等武相加，得，，故的最大值是．
放缩法
放缩法，即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，以达到解决问题的目的．
放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范围逼近求解，放缩法体现了化“相等”为不等．以“不等”求“相等”的策略和思想．
例6
将若干由开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下的数的平均数为，问删去的那个数是多少？
分析
设所写的数为，，…，，删去其中的，则余下的数的平均数为，由，建立的不等式组．
解
，，即，解得，或．当时，；当时，为非正数，舍去．
数学冲浪
1．在关于，，的方程组中，已知，那么将，，从大到小排起来应该是_________________．
2．若方程组的解，都是正数，则的取值范围是___________．
3．一辆公共汽车上有名乘客，到某一车站有名乘客下车，则车上原有_______名乘客．
4．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于（
）．
A．千克
B．千克
C．千克
D．千克
5．几位同学拍一张合影作留念，已知冲一张底片需要元，洗一张相片需要元，在每位同学得到一张相片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足元，那么参加合影的同学人数（
）．
A．至多人
B．至少人
C．至多人
D．至少人
6．某种出租车的收费标准是：起步价元（即行驶距离不超过千米都需付元车费），超过千米以后，每增加千米，加收元（不足千米按千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费元，设此人从甲地到乙地经过的路程是千米，那么的最大值是（
）．
A．
B．
C．
D．
7．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分个苹果，则还剩个苹果；若每位小朋友分个苹果，则有一个小朋友未分到个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．
8．“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共台，三种家电的进价和售价如下表所示：
种类
价格
进价（元/台）
售价（元/台）
电视机
洗衣机
空调
（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的倍，请问商场有哪几种进货方案？
（2）在“年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购满元送元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？
9．温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将件产品运往，，三地销售，要求运往地的件数是运往地件数的倍，各地的运费如图所示．
设安排件产品运往地．
（1）当时，①根据信息填表：
地
地
地
合计
产品件数（件）
运费（元）
②若运往地的件数不多于运往地的件数，总运费不超过元，则有哪几种运输方案？
（2）若总运费为元，求的最小值．
思维方法天地
10．名少年运动员胸前的号码分别是，，，…，，．选出其中的名运动员，使得他们的号码数之和等于，那么的最大值是______________．
11．按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“结果是否”为一次操作，如果操作进行四次才停止，那么的取值范围是____________．
12．、、、是正整数，且，，，设的最大值为，最小值为，则____________．
13．为了保护环境，某企业决定购买台污水处理设备．现有、两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水及年消耗费如下表．经计算，该企业购买设备的资金不高于万元，请你设计，该企业购买方案有______________种．
型
型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月）
年消耗费（万元/台）
14．要使方程组的解是一对异号的数，则的取值范围是（
）．
A．
B．
C．
D．或
15．已知，，，都是整数，且，，，，那么的最大值是（
）．
A．
B．
C．
D．
16．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（
）．
A．
B．
C．
D．与和的太小关系无关
17．若，且，则（
）．
A．有最小值
B．有最大值
C．有最大值
D．有最小值
18．有五个数，每两个数的和分别为，，，，，，，，，（未按顺序排列），求五个数中最大数的值．
19．问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．
问题解决
如图①，把边长为的大正方形分割成两个边长分别是、的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和与两个矩形面积之和的大小．
解：由图可知，，，
．
，
，．
类比应用
（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克、元/千克（，是正数，且），试比较小丽和小颖所购商品的平均价格的高低．
（2）试比较图②、图③两个矩形的周长、的大小．
联系拓展
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，箱子的尺寸如图④所示，售货员分别可按图⑤、图⑥、图⑦三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．
应用探究乐园
20．已知，皆为自然数，且，若，及，求的值．
21．某楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为元/平方米，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少元．已知商品房每套面积均为，开发商为购买者制定了两种购房方案．
方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的），再办理分期付款（即贷款）．
方案二：若购买者一次付清所有房款，则享受的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为元）．
（1）请写出每平方米售价（元/平方米）与楼层（，是正整数）之间的关系式．
（2）小张已筹到元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？
（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法．
14．不等式（组）的应用
问题解决
例1
例2
A
设，，则．
例3
由题意得，
19．，，共有值勤学生（人），共在个交通路口值勤．
例4
正整数解为，，，即共有三种生产方案，具体方案略；最大利润为万元．
数学冲浪
1．
2．
3．人或人或人
提示：且、．
4．D
5．B
6．B
7．个或个，人或人
8．（1）共有三种进货方案；
（2）最多送出消费券张（）．
9．（1）①略
②有三种运输方案；
（2）的最小值为．
10．选号码越小的，可以使选出的人数越多，因此考虑选由～的连续个自然数之和不超过的组，因，得，，，于是取．即最多能选出人．
11．
前四次操作的结果分别为，，，．
由已知，得，解得．
容易验证，当时，，．
故的取值范围是．
12．
，，，由，，，为正整数得，原式．
13．
设购买台种型号的设备，台种型号的设备，
则
14．D
，，．
15．B
，，，．
16．A
，得．
17．C
，或，，从而或，．
18．设，将和数从小到大重新排列为，，，，，，，，，．
则又，从而．
19．（1），
，即小丽所购商品的平均价格比小颖的高．
（2）图②矩形的周长大于图③矩形的周长．
联系拓展
图⑦的捆绑方法用绳最长，图⑥的最短．
20．
．
即，，，
于是，，
故．
21．（1）
（2）当时，小张首付款为：
（元）（元）．
所以～层可任选．
当时，小张首付款为：（元），
由，解得．
因为正整数，所以．
综上可知：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．
（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：（元）．
若按老王的想法则要交房款为：（元）．
由．
可知当，即时，解得，此时老王想法正确；当，即，解得，此时老王想法不正确．苏步青，浙江平阳人，年毕业于日本东北帝国大学，复旦大学教授、名誉校长，年选聘为中国科学院院士，主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究，被誉为“东方第一几何学家”．在空间微分几何学、几何外形设计、计算机辅助几何设计等方面取得突出成就．
15．从估算到数感
解读课标
大到国家的财政预算，工农业生产的总值、产量，小到某人的身高、体重、年龄等，在生活生产实践和科学研究中，我们常要对一些问题的数量进行估算，估算是我们研究和处理有关数量问题时经常运用的一种方法．
数感是人对数与运算的一般理解，这种理解可以帮助人们用灵活的方法作出数学判断和为解决复杂的问题提出有用的策略，数感主要表现在：理解数的意义，能用多种方法表示数，能在具体的情境中把握数的相对大小关系，能用数来表达和交流信息，能为解决问题而选择适当的算法，能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释．
加强估算，培养数感是新课程的基本要求．
例1
图中的算式表示四位数与的积是四位数，那么、、、这个数字分别是_____．
试一试
被乘数是四位数，与的积也是四位数，由此可估算确定、的值，这是解本例的突破口．
例2
已知，则与的大小关系是（
）．
A．
B．
C．
D．无法确定的
试一试
通过放缩法，化异分母为同分母，为比较与的大小创造条件．
例3
如果三个边长为整数的正方形纸片的面积之和为，其中最大的正方形纸片面积为，最小的正方形纸片面积为，确定的最大值．
试一试
设三个正方形边长分别为，，（其中，，为正整数，），由题意得，怎样解这个不定方程，从估算入手．
例4
证明：．
试一试
先用放大的方法：．类似用缩小的方法证明另一不等式．
例5
求方程的正整数解．
分析
易知，，都大于，不妨设，则（排序估算），将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果．
解
，即，由此得或，当时，，即，由此得或或，同理当时，或，由此可得当时，共有，，，组，由于、、在方程中地位平等，可得原方程的解共有组：，，，，，，，，，，，，，，．
逼近求解
通过放缩或特殊化，把相关量限制在某取值范围内，从而找到解决问题的突破口，逼近求解体现了变“相等”为“不等”，以“不等”求“相等”的解题策略和思想．
例6
甲组同学每人有个核桃，乙组同学每人有个核桃，丙组同学每人有个核桃，三组的核桃总数是个，问三个小组共有多少名同学？
分析与解
设甲组学生人，乙组学生人，丙组学生人，由题意得，运用放缩法，从求出的取值范围入手．
因，得，故．
因，得，故．
从而，或．当时，得，此方程无正整数解，故，．
数学冲浪
知识技能广场
1．设、、表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
2．细胞分裂时一分为二，设原有个细胞，第一次分裂为个，第次分裂为个…第十次分裂为个，则第二十次分裂后的细胞数最接近于（
）．
A．个
B．个
C．个
D．个
3．将，，，，…，，这个整数分为两组，使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大，这样的分组方法（
）．
A．只有一种
B．恰有两种
C．多于三种
D．不存在
4．某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级的名同学中任选出名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表：
节水量（单位：吨）
同学数
用所学的统计知识估计这名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（
）．
A．吨
B．吨
C．吨
D．
吨
5．某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得元、元、元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券元．小明购买了元的商品，他看到商场公布的前张奖券的抽奖结果如下：
奖券种类
紫气东来
花开富贵
吉星高照
谢谢惠顾
出现张数（张）
（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；
（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？并说明理由．
6．在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了场球．他在第，，，场比赛中分别得了，，和分，他的前场比赛的平均得分比前场比赛的平均得分要高，如果他所参加的场比赛的平均得分超过分．
（1）用含的代数式表示；
（2）小方在前场比赛中，总分可达到的最大值是多少？
（3）小方在第场比赛中，得分可达到的最小值是多少？
7．证明：（为正整数且）．
8．求满足关系式的数字和．
9．已知一个四位数的各位数字的和与这个四位数相加等于，试求这个四位数．
思维方法天地
10．已知分数，那么的整数部分是_________．
11．回文对联
北京有一家“天然居”的名餐馆，顾客进店，便可看见一副对联：客上天然居，居然天上客．这副对联不但意境好，而且是一副回文联，即将上联倒过来念，便成了下联．这与数学中的对称颇为类似．据说清代乾隆皇帝把这副回文联两句并成一句，作为新的上联，大臣纪晓岚对出了下联：人过大佛寺，寺佛大过人．
下面左边的乘法算式中，每个汉字代表一个数字，不同汉字代表不同数字，请把这道乘法算式在右边还原出来．
__________________．
12．有克、克、克、克的砝码各若干个，从中共取个，每类砝码至少取个，克的砝码不能超过个，若总重量为千克，则的最小值为_______．
13．中国古代数学问题
唐太宗传令点兵：若一千零一卒为一营，则剩一人；若一千零二卒为一营，则剩四人，此次点兵至少有________人．
14．、、是三个连续正整数，，，那么是（
）．
A．
B．
C．
D．
15．，则的整数部分等于（
）．
A．
B．
C．
D．
16．求中的数字、、．
17．已知由小到大的个正整数，，，…，的和是，求的最大值．
应用探究乐园
18．设、、为互不相等的正整数，且，为整数，求、、的正整数解．
19．已知正整数，其中、、均为质数，且，，求的值．
15．从估算到数感
问题解决
例1
，，推得，．
例2
C从到共有个数，故
例3
，而，最大值取，得，得，，的最大值为．
例4
原式．故．
数学冲浪
1．A
2．D
3．D
设一组数的和为，另一组数的和为，由
，得．
4．C
5．（1）；（2）平均每张奖券获得的购物券金额为（元），，选择抽奖更合算．
6．（1）；（2）分；（3）分．
7．提示：利用结果．
8．，
，
，得．
在与之间的完全平方数只有，
经检验知，为所求．
9．设所求四位数是，由题意得，
即，得，，得．，进一步得，．故所求四位数是．
10．，，故的整数部分是．
11．
12．
设克、克、克、克的砝码分别有、、、个，则，，随着的减小，越来越大，经讨论知，，，，为所求．
13．
设第一次点兵共营，第二次点兵共营，则，即，的最小值等于，此时，至少有（人）．
14．D
，为偶数，必为奇数．
15．A
当，，…，时，
，
，于是有，得的整数部分为．
16．因，故，，即，解得的正整数解为，而，所以，．
17．要使最大，需使，，，及，…，尽量小，又因，故先取，，，分别为，，，，于是有．即．又，，，，，故，即，，故最大值可取．
18．设，则，，．所以，，得．解方程，得，，，，，．
19．由，，得，
即，解得．
，都为质数，
，得，，．克莱因（），德国数学家、数学史家和数学教育家，克莱因在年就提出应把拓扑学发展为一门重要的几何学科，使得拓扑学在世纪获得了飞跃的发展，并成为现代数学的核心．他在突出贡献是用群的观点来统一整个数学，作为世纪的领袖数学家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家、数学教育家有所启迪．
17．实数
人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的，数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数，在引入无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张．
理解无理数是学好实数的关键，为此应注意：
1．把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式（这里、是互质的整数，且）；
2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与相关的数，开方开不尽得到的数等；
3．澄清一些模糊认识；
4．明确无理数的真实性．
问题解决
例1
已知实数、满足，则代数式的值为________．
试一试
运用非负数性质，求出，值．
例2
下面有个结论：
①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；
②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；
③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．
其中，正确的结论有（
）个．
A．
B．
C．
D．
试一试
看是否能构造出符合要求的数．
例3
若实数、、满足关系式，试确定的值．
试一试
观察发现、互为相反数，由算术平方根的定义、性质探寻解题的突破口．
例4
设、都是有理数，且满足方程，求的值．
试一试
将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的、的值．
例5
设，，，…，．求的值（用含的代数式表示，其中为正整数）．
解法一：，
，
，
．
原式
．
解法二：，
，
原式．
本质追寻：设实数，，满足，且，则或．
问题新编：化简（为正整数）．
寻找
公元前世纪，古希腊人点燃的无理数的火种，照亮了实数的广阔天地，但人类很久不能分享这甘美的“人类智慧之果”．直到世纪后期，著名数学家魏尔斯特拉斯·戴德金、康托的杰出贡献，为无理数、实数理论的建立打下坚实的基础．
例6
（1）可以用有理数形式表示如下：
（2）纸是人们学习工作不可或缺的物品，而纸的尺寸是怎样确定的呢？
印刷厂工人把一张长方形的标准纸（如图①），对折次，分为两半，每一张都是原来的，称为对开（即开）；对折次，得张，每一张都是原来的，称为开；对折次，得张，每一张都是原来的，称为开……对折次，得张，每一张都是原来的，称为开．
一张国际标准尺寸的纸，应符合下列两个条件：①它的面积为；②经过若干次对开，所得各种大小不同的长方形形状都相同（即长和宽之比都相等）．这张国际标准尺寸纸的长和宽到底各是多少呢？（精确到毫米）
用列方程组的方法，设标准纸长为米，宽为米（如图②），则它的长与宽之比为，对开后的长与宽之比为．于是，由条件②，得
，即．
①
另一方面，因为与都大于零，且由条件①可得
，所以．
②
①×②，可得
，即．
所以
代入②，得（米）．
由此可见，国际标准纸的长为毫米，宽为毫米，面积为平方米，长与宽之比为
我国开用的标准纸长为毫米，宽为毫米，面积为（平方米）平方米，长与宽之比为．这就是说，我国开用的标准纸与国际标准纸是相符的．
（3）正难则反：请证明为无理数．
数学冲浪
知识技能广场
1．已知、为两个连续的整数，且，则________．
2．实数、在数轴上的位置如图所示：，化简______．
3．已知，则的值为________．
4．观察下列等式：，，，对于一般的自然数，将有等式_______．
5．如图，数轴上表示、的对应点分别为、，点关于点的对称点为，则点所表示的数是（
）．
A．
B．
C．
D．
6．若，为实数，且，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
7．一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（
）
A．
B．
C．
D．
8．若，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
9．在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出个有理数和个无理数，再用“+，-，×，÷”中的种符号将选出的个数进行次运算，使得运算的结果是一个正整数．
10．计算：
思维方法天地
11．若，则_________．
12．若、满足，则的取值范围是________．
13．已知实数满足，则__________．
14．已知非零实数、满足，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
15．设，，则的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
16．如果实数、、在数轴上的位置如图所示：，那么代数式可以化简为（
）．
A．
B．
C．
D．
17．已知实数、满足，求的算术平方根．
18．顺思逆想
设，为正实数，由知，当很小（此处约定）时，，所以，，于是．
利用公式（※）可求某些数的平方根的近似值．如．试计算的近似值（结果精确到小数点后第位）．
应用探究乐园
19．设，为正有理数，，为无理数，求证：为无理数．
20．阅读下面的文字，解答问题：大家知道拉是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为，小数部分为．根据以上知识解答下列各题：
（1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（2）已知，其中是整数，且，求的相反数．
（3）已知的小数部分为，的小数部分为，求的值．
17．实数
问题解决
例1
例2
D
举例：，满足结论①、②；、满足结论③．
例3
由算术平方根定义，得
，即，
，
，由非负数性质，
得，解得．
例4
原等式整理，得
，解得，故．
数学冲浪
1．
2．
3．
4．
5．C
6．B
7．B
8．C
9．提示：与，与，与是三种正确的配对．
10．原式
11．
由条件得
，，．
12．
由条件得
，，，，
则，解得．
13．
由条件得，则，从而．
14．C
由条件得，原等式为，．
15．A
，．
16．C
17．
，
18．
19．假设为有理数，由，得为有理数．
为有理数，则为有理数．
这与为无理数矛盾，故原假设不成立，为无理数．
20．（1）原式
（2）原式
（3）原式

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