资源简介

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第一章
直线运动(必修1)
　【P1】
考点
要求
说明
参考系、质点
Ⅰ
位移、速度、加速度
Ⅱ
匀变速直线运动及其公式、图象
Ⅱ
实验：研究匀变速直线运动
匀变速直线运动图象只限于v－t图象
　【P1】
本章涉及的主要考点有：①描述物体运动的几个重要概念：参考系、质点；②正确理解位移、速度、加速度等的意义；③匀变速直线运动的规律(公式)及应用；④运动图象；⑤自由落体运动和竖直上抛运动．
高考对这一部分内容的考查趋向于对考生分析问题、应用知识的能力的考查．瞬时速度和加速度、匀变速直线运动规律及其运动图象等内容是考查的重点和难点．关于运动图象，新考纲删去了“只限于v－t图象”的说明．这一变化，是否意味着会考查“x－t图象”或者“a－t”图象，值得我们思考．
2015、2016命题情况　【P1】
年份
考题
题型
分值
主要考点
2015
全国卷Ⅱ第22题
实验题
6分
测动摩擦因数
江苏卷第11题
实验题
10分
研究匀变速直线运动的变式
年份
考题
题型
分值
主要考点
2015
福建卷第20题
计算题
15分
依v－t图解题
浙江卷第15题
选择题
6分
平均速度与瞬时速度
广东卷第13题
选择题
4分
依x－t图象解题
2016
全国卷Ⅰ第21题
选择题
6分
依v－t图象解题
全国卷Ⅱ第19题
选择题
6分
匀变速直线运动规律的应用
全国卷Ⅲ第16题
选择题
6分
依v－t图象解题
上海卷第14题
选择题
3分
匀变速直线运动规律的应用
江苏卷第5题
选择题
3分
依题中条件选择v－x
图象
四川卷第10题
计算题
17分
匀变速直线运动规律的应用
天津卷第9(2)题
实验题
9分
研究匀变速直线运动
第1节　描述运动的基本概念
　　【P1】
夯实基础
1．参考系
(1)定义：为了描述物体的运动而假定为__不动__的物体叫做参考系．
(2)关于参考系的选取
①参考系的选取原则是__任意__的，通常取地面或相对地面做__匀速直线__运动的物体做参考系，这样的参考系叫惯性参考系．灵活选择参考系，可简化解题过程．
②要比较不同物体的运动情况，必须选取__同一__参考系．
③参考系选得不同，对同一物体运动状态的描述一般会__不同__．
2．质点
(1)定义：用来代替物体的有质量的点叫质点．
(2)把物体看成质点的条件
①研究的问题涉及到的空间位移__远远大于__物体本身的大小．
②物体各部分的运动情况完全__相同__．
③物体虽有转动，但转动对研究的问题的影响__很小__．
3．位移与路程
定义
区别
联系
位移
位移表示质点__位置__的变化，可用由__初位置__指向__末位置__的有向线段表示
路程
路程是质点运动__轨迹__的长度
(1)位移是__矢量__，方向由初位置指向末位置；路程是__标量__，没有方向
(2)位移与路径无关，路程与路径有关
(1)在单向直线运动中，位移的大小__等于__路程
(2)一般情况下，位移的大小__小于__路程
考点突破
例1在“金星凌日”的精彩天
象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢走过，持续时间达六个半小时，那便是金星，这种天文现象称为“金星凌日”，如图所示．下面说法正确的是(　　)
A．地球在金星与太阳之间
B．观测“金星凌日”时可将太阳看成质点
C．以太阳为参考系，金星绕太阳一周位移不为零
D．以太阳为参考系，金星是运动的
【解析】金星通过太阳和地球之间时，我们才看到金星没有被太阳照亮的一面呈黑色，选项A错误；因为太阳的大小对所研究问题起着至关重要的作用，所以观测“金星凌日”不能将太阳看成质点，选项B错误；金星绕太阳一周，起点与终点重合，位移为零，选项C错误；金星相对于太阳的空间位置发生了变化，所以以太阳为参考系，金星是运动的，选项D正确．
【答案】D
【小结】研究物体的运动，先找参考系，再分析物体的形状、体积对研究的问题的影响情况，然后再确定物体是否可以当质点．同一物体，在有的情况下可以看成质点，在有的情况下不能看成质点，例如研究地球的公转和自转，研究火车从北京到上海的时间和火车过桥的时间．
针对训练　
1．(多选)下列说法正确的是(AC)
A．研究地球公转时，是以太阳中心为参考系，且地球可以看成质点
B．研究地球自转时，是以地轴为参考系，地球可以看成质点
C．万吨巨轮在海中航行，研究巨轮所处的地理位置时，巨轮可看做质点
D．研究火车经过南京长江大桥所用的时间时，可以将火车看做质点
【解析】地球做匀速圆周运动的圆心在太阳中心，且轨道半径远大于地球直径，故能看成质点．地球相对于地轴自转，地球上各点运动情况不同，故此时不能看成质点．巨轮的形状和大小对研究其地理位置影响不大，故能看做质点．火车的长度相对长江大桥的长度不能忽略，故不能看做质点．故选A、C.
2．若规定向东为位移正方向，今有一个足球停在坐标原点处，轻轻踢它一脚，使它向东做直线运动，经过5
m时与墙相碰后又向西做直线运动，经过7
m停下，则上述过程足球通过的路程和位移分别是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．12
m、2
m
B．12
m、－2
m
C．－2
m、－2
m
D．2
m、2
m
3．甲、乙、丙三人各乘一个热气球，甲看到楼房匀速上升，乙看到甲匀速上升，丙看到乙匀速下降．那么，从地面上看，甲、乙、丙的运动情况不可能是(C)
A．甲、乙匀速下降，v乙>v甲，丙停在空中
B．甲、乙匀速下降，v乙>v甲，丙匀速上升
C．甲、乙匀速下降，v乙>v甲，丙匀速下降，且v丙>v乙
D．甲、乙匀速下降，v乙>v甲，丙匀速下降，且v丙【解析】甲看到楼房匀速上升，说明甲在匀速下降；又因为乙看到甲匀速上升，说明乙比甲下降得更快，即乙也匀速下降，且v乙>v甲．丙看到乙匀速下降，说明丙可能在匀速上升，或停在空中，也可能在匀速下降且v丙 　　【P2】
夯实基础
1．速度
(1)平均速度：运动物体的__位移和所用时间__的比值，叫做__这段位移(或时间)__内的平均速度，即__＝__．平均速度是__矢量__，其方向跟__位移方向__相同．
(2)瞬时速度：运动物体__在某一时刻(或经过某一位置)__的速度，叫做瞬时速度，其大小叫速率．
2．速率
平均速率：物体在某段时间内__通过的路程l跟通过这段路程所用时间t__的比值，叫做__这段路程(或这段时间)__的平均速率，即__＝__，它是__标量__，值得注意的是：它并不是平均速度的大小．
3．平均速度与瞬时速度的比较
物理量区别与联系
平均速度
瞬时速度
区别
意义
粗略描述物体的运动，和时间、位移对应
精确描述物体的运动，和时刻、位置对应
方向
与Δx方向一致
与某时刻或某位置的运动方向一致
联系
公式都为v＝；瞬时速度可看成当Δt→0时，Δt内的平均速度
考点突破
例2三个质点A、B、C均由N点沿不同路径运动至M点，运动轨迹如图所示，三个质点同时从N点出发，同时到达M点，下列说法正确的是(　　)
A．三个质点从N点到M点的平均速度相同
B．三个质点任意时刻的速度方向都相同
C．三个质点从N点出发到任意时刻的平均速度都相同
D．三个质点从N点到M点的路程相同
【解析】位移是指从初位置指向末位置的有向线段，在任意时刻，三个质点的位移方向不同，只有均到达M点后，位移方向相同，故C错误；质点A、B、C从N点到M点的路程不相同，D错误；根据平均速度的定义式＝可知，三个质点从N点到M点的平均速度相同，A正确；质点的速度方向沿轨迹的切线方向，故三个质点的速度方向不会在任意时刻都相同，B错误．
【答案】A
例3一辆汽车沿平直公路以速度v1行驶了的路程，接着又以速度v2＝20
km/h行驶完其余的路程，如果汽车全程的平均速度为28
km/h，那么汽车在前路程内速度的大小是(　　)
A．25
km/h
B．34
km/h
C．35
km/h
D．38
km/h
【解析】设总路程为s，第一段用时间t1，第二段用时间t2，依v－＝，t1＝，t2＝，
t＝t1＋t2，∴v－＝，代入数据，
求得v1＝35
km/h.
【答案】C
针对训练
4．(多选)关于瞬时速度和平均速度，以下说法正确的是(ABD)
A．一般讲平均速度时，必须讲清楚是哪段时间(或哪段位移)内的平均速度
B．对于匀速直线运动，其平均速度跟哪段时间(或哪段位移)无关
C．瞬时速度和平均速度都可以精确描述变速运动
D．瞬时速度是某时刻的速度，只有瞬时速度才能精确描述做变速运动的物体运动的快慢
【解析】一般情况下，物体在不同时间(或不同位移)内的平均速度不同，但对于匀速直线运动，物体的速度不变，所以平均速度与哪段时间(或哪段位移)无关，故A、B均正确；平均速度只能粗略描述变速运动，只有瞬时速度才能精确描述做变速运动的物体运动的快慢，故C错，D正确．
5．(多选)如图所示，物体沿曲线轨迹的箭头方向运动，AB、ABC、ABCD、ABCDE四段曲线轨迹运动所用的时间分别是1
s、2
s、3
s、4
s．下列说法正确的是(ABC)
A．物体在AB段的平均速度为1
m/s
B．物体在ABC段的平均速度为
m/s
C．AB段的平均速度比ABC段的平均速度更能反映物体处于A点时的瞬时速度
D．物体在B点的速度等于AC段的平均速度
【解析】由v－＝可得v－AB＝
m/s＝1
m/s，v－AC＝
m/s，故A、B均正确；所选取的过程离A点越近，其平均速度越接近A点的瞬时速度，故C正确；由A经B到C的过程不是匀变速直线运动过程，故B点虽为中间时刻，但其速度不等于AC段的平均速度．
6．一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离随时间变化的关系为x＝(5＋2t3)m，它的速度随时间变化的关系为v＝6t2(m/s)．该质点在t＝0到t＝2
s内的平均速度和t＝2
s到t＝3
s内的平均速度大小分别为(B)
A．12
m/s，39
m/s
B．8
m/s，38
m/s
C．12
m/s，19.5
m/s
D．8
m/s，12
m/s
【解析】平均速度v－＝，t＝0时，x0＝5
m，t＝2
s时，x2＝21
m；t＝3
s时，x3＝59
m．故v1－＝＝8
m/s，v2－＝＝38
m/s.选项B正确．
　　【P3】
夯实基础
1．加速度
(1)定义：在变速运动中，物体__速度的变化量__跟所用时间的__比值__．
(2)定义式：a＝.
(3)物理意义：描述物体速度变化__快慢__的物理量．
(4)方向：a的方向与Δv的方向__相同__．(从加速度的产生上来说，加速度的方向与合外力的方向__相同__)
2．速度、速度变化量和加速度的比较
比较
项目
速度
速度变化量
加速度
物理
意义
描述物体运动__快慢__和方向的物理量，是状态量
描述物体__速度__改变的物理量，是过程量
描述物体__速度变化__快慢和方向的物理量，是状态量
定义
式
v＝____
Δv＝__vt－v0__
a＝＝
单位
m/s
__m/s__
__m/s2__
方向
平均速度的方向与位移x同向，瞬时速度的方向即物体运动的方向
由Δv＝vt－v0或a的方向决定
与__Δv__的方向一致，由F的方向决定，而与v0、vt方向无关
关系
三者无必然联系，v很大，Δv可以很小，甚至为0，a也可大可小，也可能为零
考点突破
例4对于质点的运动，下列说法中正确的是(　　)
A．质点运动的加速度为零，则速度为零，速度变化也为零
B．质点速度变化率越大，则加速度越大
C．质点某时刻的加速度不为零，则该时刻的速度也不为零
D．质点运动的加速度越大，它的速度变化越大
【解析】质点运动的加速度为零，物体可能处于静止状态，也有可能做匀速直线运动，所以速度不一定为零，加速度为零，速度变化为零，A错误；加速度大小表示物体速度变化快慢，速度变化率越大，加速度越大，B正确；竖直上抛运动过程中，在最高点，加速度不为零，但是速度为零，C错误；根据公式Δv＝aΔt，速度变化量大小还跟所用时间有关，故加速度大，速度变化量不一定大，D错误．
【答案】B
【小结】该题型主要考查学生对概念的理解．加速度即速度的变化率，它的大小由物体受到的合外力和物体的质量决定，也可用物体速度的变化量与发生这个变化量所用时间的比值来量度，它的大小与速度大小无直接联系．它的方向与速度方向的夹角决定了速度的增减．
针对训练
7．一个质点做方向不变的直线运动，加速度的方向始终与速度的方向相同，但加速度大小先保持不变，再逐渐减小直至为零，则在此过程中(B)
A．速度先逐渐变大，然后再逐渐减小，当加速度减小到零时，速度达到最小值
B．速度先均匀增加．然后增加的越来越慢，当加速度减小到零时，速度达到最大值
C．位移逐渐增大，当加速度减小到零时，位移将不再增大
D．位移先逐渐增大，后逐渐减小．当加速度减小到零时，
位移达到最小值
【解析】加速度与速度同向，速度应增大，当加速度不变时，速度均匀增加；当加速度减小时，速度仍增大，但不再是均匀增大，直到加速度为零时，速度不再增大，A项错误，B项正确；因质点速度方向不变化，始终是向前运动，最终匀速运动，所以位移一直在增大，C项和D项均错误．
8．(多选)一个物体做匀减速直线运动，其初速度大小为4
m/s，经过1
s后速度大小为3
m/s，规定初速度的方向为正方向，则物体的加速度可能为(BD)
A．7
m/s2
B．－7
m/s2
C．1
m/s2
D．－1
m/s2
【解析】根据a＝可知，a＝
m/s2＝－1
m/s2或a＝
m/s2＝－7
m/s2，故选项B、D正确．
9．如图所示，为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为3.0
cm的遮光板．滑块向右做匀加速直线运动依次通过两个光电门A和B.光电门上的黑点处有极细的激光束，当遮光板挡住光束时开始计时，
不遮挡光束时停止计时．现记录了遮光板通过第一个光电门所用的时间为Δt1＝0.
30
s，通过第二个光电门所用的时间为
Δt2＝0.10
s．光电门从第一次计时结束到第二次计时开始经历的时间为Δt3＝
0.30
s，则滑块的加速度应为(C)
A．0.
67
m/s2
B．0.14
m/s2
C．0.40
m/s2
D．0.
22
m/s2
【解析】遮光板通过第一个光电门的平均速度v1＝＝
m/s＝0.1
m/s，而滑块的运动是匀加速直线运动，所以这个速度就是滑块通过第一个光电门中间时刻的速度，即计时0.15
s时的瞬时速度；遮光板通过第二个光电门的平均速度v2＝＝
m/s＝0.3
m/s，这个速度就是通过第二个光电门中间时刻的速度，即第二个光电门计时0.05
s时的瞬时速度；因此加速度a＝＝
m/s2＝0.40
m/s2，因此C正确．
考
点
集
训　【P265】
A组
1．第二届夏季青年奥林匹克运动会于在南京举行，该届青奥会在“三大场馆区”的15个不同竞赛场馆进行了
26个项目比赛，向世界奉献一届精彩的青奥会．在评判下列运动员的比赛成绩时．运动员可视为质点的是(A)
2．第21颗北斗导航卫星成功送入太空预定轨道标志着卫星导航市场的垄断局面被打破，北斗卫星导航系统将免费提供定位、测速和授时服务，定位精度10
m，测速精度0.2
m/s，以下说法不正确的是(A)
A．北斗导航卫星定位提供的是被测物体的位移
B．北斗导航卫星定位提供的是被测物体的位置
C．北斗导航卫星授时服务提供的是时刻
D．北斗导航卫星测速服务提供的是运动物体的速率
【解析】由位置、位移、时间、时刻、速度、速率的定义可知，北斗导航卫星定位提供的是一个点，是位置，不是位置的变化，A错，B对；北斗导航卫星授时服务提供的是时刻，C对；北斗导航卫星测速服务提供的是运动物体某时刻的速度的大小即速率，D正确．
3．在第15届机器人世界杯赛上，中科大“蓝鹰”队获得仿真2D组冠军和服务机器人组亚军．如图所示，科大著名服务机器人“可佳”要执行一项任务，给它设定了如下动作程序：在平面内由点(0，0)出发，沿直线运动到点(3，1)，再由点(3，1)沿直线运动到点(1，4)，又由点(1，4)沿直线运动到点(5，5)，然后由点(5，5)沿直线运动到点(2，2)．整个过程中机器人所用时间是2
s，则(D)
A．机器人的运动轨迹是一条直线
B．机器人不会两次通过同一点
C．整个过程中机器人的位移大小为
m
D．整个过程中机器人的平均速度的大小为1.0
m/s
【解析】机器人的运动轨迹是一条曲线，选项A错误；根据轨迹可知，机器人会两次通过同一点，选项B错误；整个过程中机器人的位移大小为x＝
m＝2
m，选项C错误；整个过程中机器人的平均速度为v＝＝
m/s＝1
m/s，选项D正确；故选D.
4．一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t1,
紧接着通过下一段位移Δx所用的时间为t2，则物体运动的加速度为(A)
A.
B.
C.
D.
【解析】物体做匀加速直线运动在前一段Δx所用的时间为t1，平均速度为v1－＝，即为时刻的瞬时速度；物体在后一段Δx所用的时间为t2，平均速度为v2－＝，即为时刻的瞬时速度．速度由v1－变化到v2－所用的时间为Δt＝，所以加速度a＝＝，A正确．
5．太阳从东边升起，西边落下，是地球上的自然现象．但在某些条件下，在纬度较高地区上空飞行的飞机上，旅客可以看到太阳从西边升起的奇妙现象．出现这种现象的条件是(C)
A．时间必须是在清晨，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大
B．时间必须是在清晨，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度必须较大
C．时间必须是在傍晚，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大
D．时间必须是在傍晚，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度必须较大
【解析】要看到太阳从西边升起，则太阳必须是在西边，所以时间必定是傍晚．地球自转是由西向东，那么飞机飞行方向必定是由东向西飞行，且飞行速度必须大于该纬度地球自转的线速度．所以C正确．
6．(多选)在下面所说的物体运动情况下，可能出现的是(ABC)
A．物体在某时刻运动速度很大，而加速度为零
B．物体在某时刻运动速度很小，而加速度很大
C．运动的物体在某时刻速度为零，而其加速度不为零
D．做变速直线运动的物体，加速度方向与运动方向相同，当物体加速度减小时，它的速度也减小
B组
7．(多选)跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机离地面某一高度静止于空中时，运动员离开飞机自由下落，运动一段时间后打开降落伞，展伞后运动员以5
m/s2的加速度匀减速下降，则在运动员减速下降的任一秒内(CD)
A．这一秒末的速度比前一秒初的速度小5
m/s
B．这一秒末的速度是前一秒末的速度的
C．这一秒末的速度比前一秒末的速度小5
m/s
D．这一秒末的速度比前一秒初的速度小10
m/s
【解析】根据加速度的定义式a＝＝，Δv＝aΔt可知，这一秒末的速度比前一秒初的速度变化了Δv＝aΔt＝5Δt，且这一秒末与前一秒初的时间间隔Δt为2
s，所以Δv＝10
m/s，A错误，D正确；又因为这一秒末与前一秒末间的时间间隔为1
s，B错误，C正确．
8．中俄“海上联合—2016”军事演习中，我国研发的一艘“022”型导弹快艇以30
m/s的恒定速度追击前面同一直线上正以速度v1逃跑的假想敌舰．当两者相距L0＝2
km时，以60
m/s相对地面的速度发射一枚导弹，假设导弹沿直线匀速射向假想敌舰，经过t1＝50
s艇长通过望远镜看到了导弹击中敌舰爆炸的火光，同时发现敌舰速度减小但仍在继续逃跑，速度变为v2，于是马上发出了第二次攻击的命令，第二枚导弹以同样速度发射后，又经t2＝30
s，导弹再次击中敌舰并将其击沉．不计发布命令和发射反应的时间，发射导弹对快艇速度没有影响，求敌舰逃跑的速度v1、v2分别为多大？
【解析】当导弹快艇与敌舰相距L0＝2
km时，发射第一枚导弹，经t1＝50
s击中敌舰，
设v＝60
m/s，则有：
(v－v1)t1＝L0，解得：v1＝20
m/s
击中敌舰时，导弹快艇与敌舰的距离为
L0－(30－v1)t1＝1
500
m
马上发射第二枚导弹，此时敌舰的速度为v2，经t2＝30
s，导弹再次击中敌舰，则有：
(v－v2)t2＝1
500
m，解得v2＝10
m/s.
第2节　匀变速直线运动规律及应用
　　【P4】
夯实基础　
1．匀变速直线运动的基本公式
(1)速度公式：v＝__v0＋at__(不含x)．
(2)位移公式：x＝__v0t＋at2__(不含v)．
(3)速度平方公式：__v2－v＝2ax__(不含t)．
(4)位移与平均速度的关系式：x＝v
t＝t(不含a)
特别提醒：
①上述公式仅适应于匀变速直线运动
②上述公式中，除时间t外，其余都是矢量，运用时，以初速度v0的方向为正方向，其他量要带上“＋”“－”号代入再进行计算．
2．匀变速直线运动的几个推论
(1)在任意两个连续相等的时间间隔内通过的位移之差为一恒量，即：sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝sN－sN－1＝Δs＝__aT2__．
进一步推论：sn＋m－sn＝__maT2__，其中sn、sn＋m分别表示第n段和第(n＋m)段相等时间内的位移，T为相等时间间隔．
(2)做匀变速直线运动的物体，在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，等于这段时间初、末时刻速度矢量和的一半，即v＝v＝.
(3)某段位移中点的瞬时速度等于初速度v0与末速度v__平方和一半的平方根__，即v＝__eq
\r(\f(v＋v2,2))__，总是大于与这段位移对应的时间中点的速度．
3．初速度为零的匀加速直线运动的几个特征
(1)1T末，2T末，3T末，……瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝__1∶2∶3∶…∶n__．
(2)1T内，2T内，3T内…位移之比为：
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝__12∶22∶32∶…∶n2__．
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，……第n个T内的位移之比为：
sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sN＝__1∶3∶5∶…∶(2n－1)__．
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝__1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)__．
考点突破　　
例1甲、乙两车在平直公路上同向行驶，甲在前做匀速直线运动，乙车以某一加速度a在后面做匀加速直线运动，当两车相距60
m时，速度恰好相等，此刻因前方出现险情．甲立即以加速度2a刹车做匀减速直线运动，待乙车司机发现情况时，乙车又匀加速向前行驶了30
m．乙车随即也以加速度2a刹车做匀减速直线运动，当甲车停下后，再过3
s乙车才停下．不计人的反应时间．求：
(1)甲车开始刹车后多久乙车才刹车？
(2)两车均停下来时相距多远．
【解析】(1)设甲、乙相距60
m时，两车速度均为v0，甲车运动时间t甲＝，设甲车刹车后t1乙才刹车．v乙＝v0＋at1，乙车刹车经t2停下．
t2＝＝，乙车运动时间t乙＝t1＋t2，
依题意t甲＋3＝t乙，∴t1＝2
s.
(2)甲车刹车距离s甲＝eq
\f(v,4a)，在t1内，乙车运动s1＝30
m.
乙车刹车后又运动s2＝eq
\f(v,4a)，乙车向前的路程s1＋s2，
∴相距Δs＝60＋s甲－(s1＋s2)，∴Δs＝15
m.
例2
如图，两光滑斜面在B处连接，小球由A处静止释放，经过B、C两点时速度大小分别为3
m/s和4
m/s，AB＝BC.设球经过B点前后的速度大小不变，则球在AB、BC段的加速度大小之比为____________，球由A运动到C的过程中平均速率为________m/s.
【审题指导】要求某段时间或某段位移内的平均速度，先逐段考察，分别写出总时间或总位移的表达式，然用总位移比总时间求得平均速度．
【解析】小球在AB段和BC段均为匀加速直线运动，根据v2－v＝2ax，可得两段加速度分别为a1＝，a2＝，xAB＝xBC，可得加速度之比＝9∶7，设两个阶段的路程均为x，则有t1＝x，t2＝x，可得t1＋t2＝x，所以从A到C的平均速率为v＝＝2.1
m/s.
【答案】9∶7　2.1
针对训练　
1．如图所示，t＝0时，质量为0.5
kg的物体从光滑斜面上的A点由静开始下滑，经过B点后进入水平面(设经过B点前后速度大小不变)，最后停在C点．测得每隔2
s的三个时刻物体的瞬时速度，记录在下表中．g取10
m/s2，则下列说法中正确的是(C)
t/s
0
2
4
6
v/(m·s－1)
0
8
12
8
A.物体运动过程中的最大速度为12
m/s
B．t＝3
s时刻物体恰好经过B点
C．t＝10
s时刻恰好停在C点
D．A、B间的距离大于B、C间的距离
【解析】根据题意，物体在斜面上做匀加速直线运动，在水平面上做匀减速直线运动，因为第4
s时的速度大于第2
s时的速度，这说明第2
s时物体还在斜面上做加速直线运动，物体在斜面上做加速运动时的加速度大小为a1＝＝4
m/s2.假设在第4
s时物体还在斜面上运动，那么根据第2
s和第4
s时的记录数据可得，物体在斜面上的加速度大小为2
m/s2，这与前面的计算结果矛盾，所以假设不成立，第4
s时物体在水平面上滑动．根据最后两组数据可得，物体在水平面上做减速运动的加速度大小为a2＝2
m/s2，物体在第2
s到第4
s间的某一时刻到达B点，此时物体的速度最大，设最大速度为v，则＋＝
2
s，可解得v＝
m/s，所以物体恰好经过B点的时刻为t＝＝
s，选项A、B错误；物体运动的总时间t总＝＋＝10
s，即t＝10
s时刻恰好停在C点，所以选项C正确；A、B间和B、C间的距离分别为x1＝和x2＝，因为a1>a2，所以x2>x1，即A、B间的距离小于B、C间的距离，所以选项D错误．
2．为了最大限度地减少道路交通事故，全省各地开始了“集中整治酒后驾驶违法行为”专项行动．这是因为一般驾驶员酒后的反应时间(从发现情况到开始制动所需的时间)比正常时慢了0.1～0.5
s，易发生交通事故．
(1)下面为《驾驶员守则》中驾驶员的部分正常反应距离(汽车在反应时间内通过的距离)表格，请选取表格数据计算驾驶员的正常反应时间；
速度v/(km·h－1)
40
60
80
反应距离x/m
5
7.5
10
(2)假设一饮酒后的驾驶员驾车以72
km/h的速度在平直公路上行驶，在距离某学校门前32
m处发现有一队学生在斑马线上横过马路，他的反应时间比正常时慢了0.2
s，刹车后，车做加速度大小为9.5
m/s2的匀减速直线运动．试通过计算说明是否会发生交通事故．
【解析】(1)由表格数据可知，正常反应距离与速度成正比，即在表格所给的速度范围内，驾驶员的正常反应时间相同，由v＝，选其中一组数据代入，可得正常反应时间t0＝＝0.45
s.
(2)v＝72
km/h＝20
m/s
反应距离x＝v(t0＋Δt)，代入数据得x＝13
m
刹车后做匀减速直线运动，由v2＝2ax1
代入数据可得刹车距离x1＝21.05
m
因为x1＋x＝34.05
m>32
m
所以会发生交通事故．
3．相同的小球从斜面的某一位置每隔0.1
s释放一个，连续放了几个后，对斜面上正运动着的小球拍下部分照片，如图所示，现测得AB＝15
cm，BC＝20
cm，已知小球在斜面上做加速度相同的匀加速直线运动(初速度为零)，求：
(1)各球的加速度的大小；
(2)拍照片时，A球上方正运动的球有几个？
【解析】(1)每一个球的运动都是重复前一个球的，故所拍的照片上的球可认为是一个球在不同时刻的位置，由Δs＝at2可得
a＝＝
m/s2＝5
m/s2
(2)vB＝＝m/s＝1.75
m/s，vB＝at
得t＝
s＝0.35
s，则A运动了0.25
s，故在A之上有2个球，它们运动的时间分别为0.15
s、0.05
s.
　　【P5】
夯实基础　
1．自由落体运动的特点
自由落体运动是物体只在重力作用下做初速度为__零__，加速度为__重力加速度g__的匀加速直线运动．
2．自由落体运动的规律
(1)速度公式：v＝__gt__．
(2)位移公式：h＝__gt2__．
(3)速度位移关系式：v2＝__2gh__．
(4)从运动开始连续相等时间内的位移之比为__1∶3∶5∶7∶…__．
(5)连续相等的时间t内位移的增加量相等，即Δh＝__gt2__．
(6)从运动开始一段时间t内的平均速度＝____＝__gt__．
3．竖直上抛运动的特点
(1)物体只受重力作用，具有竖直向上的初速度．
(2)上升阶段：速度越来__越小__，加速度与速度方向__相反__，是__匀减速直线__运动．
(3)下降阶段：速度越来__越大__，加速度与速度方向__相同__，是__匀加速直线__运动．
(4)在最高点：速度为__零__，但加速度仍为__重力加速度g__，所以物体此时并不处于平衡状态．
4．竖直上抛运动的规律
(1)速度公式：v＝__v0－gt__．
(2)位移公式：h＝__v0t－gt2__．
(3)速度位移关系式：v2－v＝__－2gh__．
(4)上升的最大高度：H＝__eq
\f(v,2g)__．
5．竖直上抛运动的对称性
(1)时间的对称性
①物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等：t上＝t下＝.
②物体在上升过程中从某点到达最高点所用的时间和从最高点落回到该点所用的时间相等．
③物体上升和下降经过同一段位移所用时间相等．
(2)速度的对称性
①物体上抛时的初速度与物体落回原抛出点时的速度大小相等，方向相反．
②在竖直上抛运动中，落回抛出点之前，同一个位置对应两个等大反向的速度．
(3)能量的对称性
在运动中无论上升或下降，经过同一位置的动能、重力势能分别相等．
考点突破　　
例3A、B两个小球从不同高度自由下落，同时落地，A球下落的时间为t，B球下落的时间为，当B球开始下落的瞬间，A、B两球的高度差为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．gt2
B.gt2
C.gt2
D.gt2
【解析】A球下落高度为hA＝gt2，B球下落高度为hB＝g＝gt2，当B球开始下落的瞬间，A、B两球的高度差为Δh＝
hA－g－hB＝gt2，所以D项正确．
【答案】D
例4气球下挂一重物，以v0＝10
m/s的速度匀速上升，当到达离地高度h＝175
m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多长时间落到地面？落地时的速度多大？空气阻力不计，
g取10
m/s2.
【解析】
解法一：分成上升阶段和下落阶段两个过程处理．
绳子断裂后重物要继续上升的时间t1和上升的高度h1分别为t1＝＝1
s，h1＝eq
\f(v,2g)＝5
m
故重物离地面的最大高度为H＝h1＋h＝180
m重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为
t2＝＝6
s　v＝gt2＝60
m/s
所以从绳子突然断裂到重物落地共需时间为t＝t1＋t2＝7
s.
解法二：取全过程作为一个整体考虑，从绳子断裂开始计时，经时间t后重物落到地面，规定初速度方向为正方向，则重物在时间t内的位移h′＝－175
m，由位移公式有：
h′＝v0t－gt2
即－175＝10t－×10t2＝10t－5t2
t2－2t－35＝0
解得t1＝7
s，t2＝－5
s(舍去)
所以重物落地速度为：v＝v0－gt＝10
m/s－10×7
m/s＝－60
m/s
其中负号表示方向向下，与初速度方向相反．
针对训练　
4．雨后，屋檐还在不断滴着水滴，如图所示．小红认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落．她测得，屋檐到窗台的距离H＝3.
2
m，窗户的髙度为h＝1.
4
m．如果g取10
m/s2.试计算：
(1)水滴下落到达窗台时的速度大小；
(2)水滴经过窗户的时间．
【解析】(1)水滴下落至窗台通过的距离为H＝3.2
m，由v2＝2gH得到v＝＝
m/s＝8
m/s.
(2)水滴下落至窗户上边缘的时间为t1＝＝
s＝0.6
s，水滴下落至窗台的时间为t2＝＝
s＝0.8
s，水滴经过窗户的时间为Δt＝t2－t1＝0.8
s－0.6
s＝0.2
s.
5．如图所示是在2016里约奥运会上我国某优秀跳水运动员在跳台上腾空而起的英姿，运动员从离水面10
m高的平台上向上跃起，举起双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.
45
m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水
(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)．求：(计算时，可以把运动员看做全部质量集中在重心的一个质点，g取10
m/s2)
(1)运动员起跳时的速度v0；
(2)从离开跳台到手接触水面所经历的时间t
(结果保留3位有效数字)．
【解析】(1)上升阶段：v＝2gh
解得v0＝＝3
m/s.
(2)上升阶段：0＝v0－gt1
解得：t1＝＝
s＝0.3
s
自由落体过程：H＝gt
解得t2＝＝≈1.45
s
故t＝t1＋t2＝0.3
s＋1.45
s＝1.75
s.
6．(多选)将某物体以30
m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10
m/s2.5
s内物体的(AB)
A．路程为65
m
B．位移大小为25
m，方向竖直向上
C．速度改变量的大小为10
m/s
D．平均速度大小为13
m/s，方向竖直向上
【解析】物体的初速度v0＝30
m/s，g＝10
m/s2，其上升时间t1＝＝3
s，上升高度h1＝eq
\f(v,2g)＝45
m；下降时间t2＝5
s－t1＝2
s，下降高度h2＝gt＝20
m．末速度v＝gt2＝20
m/s，方向竖直向下．故5
s内的路程s＝h1＋h2＝65
m；位移x＝h1－h2＝25
m，方向竖直向上；速度改变量Δv＝v－v0＝(－20－30)m/s＝－50
m/s，负号表示方向竖直向下；平均速度v－＝＝5
m/s.综上可知，选项A、B正确．
考
点
集
训　【P266】
A组
1．一个从地面竖直上抛的物体，两次经过一个较低点a的时间间隔是Ta，两次经过一个较高点b的时间间隔是Tb，则a、b之间的距离为(A)
A.g(T－T)
B.g(T－T)
C.g(T－T)
D.g(Ta－Tb)
【解析】根据时间的对称性，物体从a点到最高点的时间为，从b点到最高点的时间为.所以a点到最高点的距离ha＝g＝eq
\f(gT,8)，b点到最高点的距离hb＝g＝eq
\f(gT,8)，故a、b之间的距离为ha－hb＝(T－T)，即选A.
2．汽车遇紧急情况刹车，经1.5
s停止，刹车距离为9
m．若汽车刹车后做匀减速直线运动，则汽车停止前最后1
s的位移是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．4.5
m
B．4
m
C．3
m
D．2
m
3．(多选)一物体自距地面高H处自由下落，经时间t落地，此时速度为v，则(BD)
A.时物体距地面高度为
B.时物体距地面高度为
C．物体下落时速度为
D．物体下落时速度为
【解析】由于物体自由下落，所以v0＝0，H＝gt2，所以h′＝g＝，距地面高度为H，选项B正确．根据v2＝2gH及v′2＝2g·知v′＝v，选项D正确．
4．在一次交通事故中，警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是20
m，设该车辆的刹车加速度大小是10
m/s2，该路段的限速为60
km/h.则该车(B)
A．刹车所用的时间为1
s
B．超速
C．不超速
D．行驶速度为60
km/h
5．(多选)在某一高度以v0＝20
m/s的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力)，当小球速度大小为10
m/s时，以下判断正确的是(g取10
m/s2)(ACD)
A．小球在这段时间内的平均速度大小可能为15
m/s，方向向上
B．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5
m/s，方向向下
C．小球在这段时间内的平均速度大小可能为5
m/s，方向向上
D．小球的位移大小一定是15
m
【解析】小球被竖直上抛，做匀变速直线运动，平均速度可以用匀变速直线运动的平均速度公式v－＝求，规定向上为正，当小球的末速度为向上10
m/s时，v＝10
m/s，用公式求得平均速度为15
m/s，方向向上，选项A正确；当小球的末速度为向下10
m/s时，v＝－10
m/s，用公式求得平均速度为5
m/s，方向向上，选项C正确；由于末速度大小为10
m/s时，球的位置一定，距抛出点的位移x＝eq
\f(v－v2,2g)＝15
m，选项D正确．
6．(多选)关于自由落体运动，下列说法正确的是(ABCD)
A．自由下落的速度与时间t成正比
B．在开始连续三个两秒内的路程之比为1∶3∶5
C．由静止开始通过连续的三段相等位移内的时间之比为1∶(－1)∶(－)
D．物体在下落的第n
s内比第(n－1)s内位移多9.8
m
【解析】v＝gt，A对；设T＝2
s，s1＝gT2，s2＝g·3T2，s3＝g·5T2，∴B对；设每段长为s，通过第一段的时间t1＝，通过前2段的时间t2＝＝t1，通过前3段的时间t3＝t1，通过第2段的时间Δt2＝(－1)t1，通过第3段的时间Δt3＝(－)t1.故C对；sn－sn－1＝gT2，T＝1
s，∴sn－sn－1＝9.8
m，D对，选ABCD.
7．一个同学在研究小球自由落体运动时，用频闪照相连续记录下小球的位置如图所示．已知闪光周期为
s，测得x1＝7.68
cm，x3＝12.00
cm，用上述数据通过计算可得小球运动的加速度约为__9.72__m/s2__，图中x2约为__9.84__cm__．(结果保留3位有效数字)
【解析】由图可得：x3－x1＝4aT2，T＝
s，求得a＝9.72
m/s2，x2－x1＝2aT2，∴x2＝x1＋2aT2，求得x2＝9.84
cm.
8．2016年珠海航展现场“空军八一飞行表演队”两架“歼—10”飞机表演剪刀对冲的精彩空中秀．质量为m的“歼—10”飞机表演后返回某机场，降落在跑道上的减速过程简化为两个匀减速直线运动过程．飞机以速度v0着陆后立即打开减速阻力伞，加速度大小为a1，运动时间为t1；接着在无阻力伞情况下匀减速直至停下．在平直跑道上减速滑行总路程为x.求第二个减速阶段飞机运动的加速度大小和时间．
【解析】
如图，A为飞机着陆点，AB、BC分别对应两个匀减速直线运动过程，C点停下．
A到B过程，依据运动学规律有：
x1＝v0t1－a1t，vB＝v0－a1t1
B到C过程，依据运动学规律有：
x2＝vBt2－a2t，0＝vB－a2t2
A到C过程，有x＝x1＋x2
联立解得a2＝eq
\f(（v0－a1t1）2,2x＋a1t－2v0t1)，t2＝eq
\f(2x＋a1t－2v0t1,v0－a1t1).
9．某校一课外活动小组自制一枚火箭，设火箭从地面发射后，始终在垂直于地面的方向上运动．火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4
s到达离地面40
m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，g取10
m/s2，求：
(1)燃料恰好用完时火箭的速度；
(2)火箭上升离地面的最大高度；
(3)火箭从发射到残骸落回地面过程的总时间．
【解析】设燃料用完时火箭的速度为v1，所用时间为t1.火箭的运动分为两个过程，第一个过程做匀加速上升运动，第二个过程做竖直上抛运动至到达最高点．
(1)
对第一个过程有h1＝t1，代入数据解得v1＝20
m/s.
(2)对第二个过程有h2＝eq
\f(v,2g)，代入数据解得h2＝20
m.
所以火箭上升离地面的最大高度
h＝h1＋h2＝40
m＋20
m＝60
m.
(3)方法一：分段分析法
从燃料用完到运动至最高点的过程中，由v1＝gt2
得t2＝＝
s＝2
s.
从最高点落回地面的过程中由h＝gt，而h＝60
m，
代入得t3＝2
s
故总时间t总＝t1＋t2＋t3＝(6＋2)
s.
方法二：整体分析法
考虑从燃料用完到残骸落回地面的全过程，以竖直向上为正方向，全过程为初速度v1＝20
m/s、加速度a＝－g＝－10
m/s2、位移h′＝－40
m的匀减速直线运动，即有h′＝v1t－gt2，代入数据解得t＝(2＋2)
s或t＝(2－2)
s(舍去)，故t总＝t1＋t＝(6＋2)
s.
B组
10．做匀变速直线运动的物体，依次通过A、B、C三点，位移
xAB＝xBC，已知物体在AB段的平均速度大小为1
m/s，在BC段的平均速度大小为3
m/s，那么物体在B点的瞬时速度大小为(D)
A．1.5
m/s
B．2
m/s
C.
m/s
D．2.5
m/s
【解析】设物体在A点的速度为vA，到B点的速度为vB，到C点的速度为vC，根据平均速度等于初、末速度和的一半得
＝1
m/s、＝3
m/s，设每段的位移为x，则全程的平均速度为＝
m/s，因此＝
m/s，三式联立得vB＝2.5
m/s，D正确．
11．利用自由落体运动可测量重力加速度．有两组同学分别利用下面甲、乙两种实验装置进行了实验，其中乙图中的M为可恢复簧片，M与触头接触，开始实验时需要手动敲击M断开电路，使电磁铁失去磁性释放第一个小铁球，当前一个小铁球撞击M时另一个小铁球被释放．
(1)下列说法正确的有__CD__．
A．两种实验都必须使用交流电源
B．甲实验利用的是公式Δx＝gT2；乙实验利用的是公式h＝gt2，所以都需要用秒表测量时间，用直尺测量距离
C．甲实验要先接通电源，后释放纸带；乙实验应在手动敲击M的同时按下秒表开始计时
D．这两个实验装置均可以用来验证机械能守恒定律
(2)下图是用甲实验装置进行实验后选取的一条符合实验要求的纸带，O为第一个点，A、B、C为从合适位置开始选取的三个连续点(其他点未画出)．已知打点计时器每隔0.02
s
打一次点，可以计算出重力加速度g＝__9.5__m/s2(结果保留两位有效数字)．
(3)用乙实验装置做实验，测得小球下落的高度H＝1.200
m，10个小球下落的总时间t＝5.0
s．可求出重力加速度g＝__9.6__m/s2(结果保留两位有效数字)．
【解析】(1)电磁铁可使用直流电源，A错．甲实验不需用秒表测时间，B错．甲实验依打出的纸带求出重锤下落的距离及下落了这一距离时的速度，可验证机械能守恒定律，乙实验测出小铁球下落的高度h和下落的时间t，可求出小球撞击M时的速度v，可验证机械能守恒定律，C、D均对．
(2)依Δh＝gT2，Δh＝0.38
cm，T＝0.02
s，求得g＝9.5
m/s2.
(3)每个小铁球下落时间为0.5
s，依H＝gt2，求得g＝9.6
m/s2.
12．据报道，一儿童玩耍时不慎从45
m高的阳台上无初速度掉下，在他刚掉下时恰被楼下一社区管理员发现，该管理员迅速由静止冲向儿童下落处的正下方楼底，准备接住儿童．已知管理员到楼底的距离为18
m，为确保能稳妥安全地接住儿童．管理员将尽力节约时间，但又必须保证接住儿童时没有水平方向的冲击，不计空气阻力，将儿童和管理员都看做质点，设管理员奔跑过程中只做匀速或匀变速运动，g取10
m/s2.
(1)管理员至少用多大的平均速度跑到楼底？
(2)若管理员在奔跑过程中做匀加速或匀减速运动的加速度大小相等，且最大速度不超过9
m/s，则管理员奔跑时
加速度的大小需满足什么条件？
【解析】(1)儿童下落过程，由运动学公式得h＝gt，
管理员奔跑的时间t≤t0，对管理员运动过程由运动学公式得v＝v－t，
联立各式并代入数据解得v－≥6
m/s.
(2)假设管理员先匀加速接着匀减速奔跑到楼底，奔跑过程中的最大速度为v0，由运动学公式得v－＝，
解得v0＝2v－＝12
m/s>vm＝9
m/s，
故管理员应先加速到vm＝9
m/s，再匀速，最后匀减速奔跑到楼底．
设匀加速、匀速、匀减速过程的时间分别为t1、t2、t3，位移分别为x1、x2、x3，
由运动学公式得x1＝at，x3＝at，x2＝vmt2，vm＝at1＝at3
t1＋t2＋t3≤t0，x1＋x2＋x3＝x，
联立各式并代入数据得a≥9
m/s2.
第3节　运动的图象　追及与相遇问题
　　【P7】
夯实基础　
1．x－t图象
物体运动的x－t图象表示物体的位移随时间变化的规律，与物体运动的轨迹__无任何直接__关系．右图中a、b、c三条直线对应的x－t关系式分别为xa＝__vat＋x0__、xb＝__vbt__、xc＝__vc(t－t0)__，都是__匀速__直线运动的位移—时间图象．纵轴截距x0表示在t＝0时a在b__前方x0处__；横轴截距t0表示c比b和a__晚出发t0__；斜率表示运动__速度__，容易看出__vc>vb＝va__；交点P可反映出t时刻__c追上b__．
物体做变速直线运动的x－t图象是曲线，物体做匀变速直线运动的x－t图象是一条抛物线．
2．v－t图象
物体运动的v－t图象表示物体运动的速度随时间变化的规律，与物体运动的轨迹无任何直接关系．
下图中a、b、c、d四条直线对应的v－t关系式分别为va＝__常数__、vb＝__v0＋at__、vc＝__at__、vd＝__v0－a′t__，直线a是匀速直线运动的速度图象，其余都是匀变速直线运动的速度图象．纵轴截距v0表示__b、d的初速度__，横轴截距tm表示__d从做匀减速直线运动开始到速度等于零所需要的时间__．斜率表示运动的__加速度__，斜率为负者(如d)对应于__匀减速__直线运动．图线下边覆盖的面积表示运动的__位移__．两图线的交点P可反映出在时刻t两个运动(c和d)__有相同的速度__．
　直线运动中两种常见图象的比较(⑥是与t轴重合的直线)
比较项目
x－t图象
v－t图象
图象
图线含义
图线①表示质点做匀速直线运动(斜率表示速度v)
图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
图线②表示质点静止
图线②表示质点做匀速直线运动
图线③表示质点向负方向做匀速直线运动
图线③表示质点做匀减速直线运动
交点④表示此时三个质点相遇
交点④表示此时三个质点有相同的速度
点⑤表示t1时刻质点位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义)
点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移)
图线⑥表示物体静止在原点
图线⑥表示物体静止
考点突破　　
例1一质点沿一条直线运动，其位移随时间t的变化关系如图所示，Oa段和cd段为直线、ac段为曲线，Oa段的平均速度为v1，ac段的平均速度为v2，cd段的平均速度为v3，Od段平均速度为v4，则(　　)
A．Oa段的加速度小于cd段的加速度
B．v2可能等于v4
C．v1、v2、v3和v4中v3最大
D．在ac段一定存在一个时刻，此时刻的瞬时速度等于v4
【解析】x－t图线上两点连线的斜率表示速度，Oa段和cd段的加速度均为0，选项A错误；连接ac，ac段斜率小于Od段斜率，则v2不可能等于v4,
选项B错误；由图象斜率可知v2【答案】CD
例2甲、乙两物体在t＝0时刻经过同一位置沿x轴运动，其v－t图象如图所示．则(　　)
A．甲、乙在t＝0到
t＝1
s
之间沿同一方向运动
B．乙在t＝0到t＝7
s之间的位移为零
C．甲在t＝0到t＝4
s之间做往复运动
D．甲、乙在t＝6
s时的加速度方向相同
【解析】乙在t＝0到t＝0.5
s之间沿x轴负方向运动，在t＝0.5
s到t＝1
s之间沿x轴正方向运动，而甲在t＝0到t＝1
s之间沿x轴正方向运动，选项A错误；根据v－t图象与横轴所围面积表示位移可知，乙在t＝0到t＝
7
s之间的位移为零，选项B正确；甲在t＝0到t＝4
s之间一直沿x轴正方向运动，选项C错误；甲、乙在t＝6
s时的加速度均为负值，方向相同，选项D正确．
【答案】BD
例3两个质点A、B放在同一水平面上，由静止开始从同一位置沿相同方向同时开始做直线运动．其v－t图象如图所示．对A、B运动情况的分析，正确的是(　　)
A．A、B加速时的加速度大小之比为10∶1
B．在t＝3t0时刻，A、B相距最远
C．在t＝5t0时刻，A、B相距最远
D．在t＝6t0时刻，A、B相遇
【解析】加速时，aA＝，aB＝
∴＝，A对．
在2t0～3t0间的某一时刻，vA＝vB，两者相距最远，B错、C错．
3t0时，A停止运动，xA＝3v0t0
6t0时，B停止运动，xB＝3v0t0，D对．
【答案】AD
针对训练　
1．如图所示是A、B两质点从同一地点运动的x－t图象，则下列说法错误的是(C)
A．A质点以20
m/s的速度匀速运动
B．B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动
C．B质点最初4
s做匀加速运动，后4
s做减速运动
D．A、B两质点在4
s末相遇
【解析】x－t图象的斜率大小表示质点运动速度的大小，正负表示速度的方向，由x－t图象可知，A质点沿正方向做匀速直线运动，其速度v＝＝
m/s＝20
m/s，A正确；B质点最初4
s沿正方向做减速运动，后4
s沿负方向做加速运动，B正确，C错误；
4
s末A、B两质点达到同一位置，故相遇，D正确．
2．在某次高空跳水比赛中，自某运动员离开跳台开始计时，在t2时刻运动员以速度v2落水，选向下为正方向，其速度随时间变化的规律如图所示，下列结论正确的是(C)
A．该运动员在0～t2时间内加速度大小先减小后增大，加速度的方向不变
B．该运动员在t2～t3时间内加速度大小逐渐减小，处于失重状态
C．在0～t2时间内，平均速度v1－＝
D．在t2～t3时间内，平均速度v2－＝
【解析】由题图可知，0～t2时间内运动员的加速度一直不变，A项错误；在t2～t3时间内图线上各点切线的斜率的大小逐渐减小，则加速度大小逐渐减小，运动员减速下落处于超重状态，B项错误；由题图可知，在0～t2时间内为匀变速直线运动，所以平均速度v1－＝，C项正确；在t2～t3时间内，由图线与t轴所围面积表示位移可知，此时间内的平均速度v2－<，D项错误．
3．(多选)甲、乙两质点在同一直线上做匀加速直线运动的v－t图象如图所示．在3
s末两质点在途中相遇．下述说法正确的是(BD)
A．相遇前，甲、乙两质点的最远距离为2
m
B．相遇前，甲、乙两质点的最远距离为4
m
C．两质点出发前是乙在甲的前面
D．两质点出发前是甲在乙的前面
【解析】相遇前任一时刻，乙的速度都大于甲的速度．即乙的位移大于甲的位移．而它们在3
s时相遇，可知相遇前，乙在后，甲在前，D对，C错．出发时，甲、乙相距最远，最远距离Δx＝x乙－x甲＝4
m，B对，A错．
4．甲、乙两物体从同一地点开始沿同一方向运动，其速度随时间的变化关系如图所示，图中t2＝，乙物体的速度时间图象为两段均为圆弧的曲线，则(C)
A．两物体在t1时刻加速度相同
B．两物体在t2时刻运动方向均改变
C．两物体在t3时刻相距最远，在t4时刻相遇
D．0～t4时间内甲物体的平均速度大于乙物体的平均速度
【解析】由图知，t1时刻，甲、乙的加速度方向相反，A错．t2时刻，乙的运动趋势方向与甲的运动方向相同，B错．由图判断，0～t3内，甲在乙的前面，当t稍小于t3的Δt内．甲增大的位移大于乙增大的位移．甲、乙间距离还在增大；当t稍大于t3的Δt内，乙增大的位移大于甲增大的位移，甲、乙间距离在减小，所以在t3时刻，甲、乙相距最远．在t4时刻，甲、乙位移相等，两者相遇，C对.0～t4内，甲的平均速度等于乙的平均速度，D错．
　　【P8】
夯实基础　
1．追及和相遇问题概述
当两个物体在__同一直线上__运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的__距离__会不断发生变化，两物体间距或越来越大或越来越小，这时就会涉及到追及、相遇或避免碰撞等问题．
2．追及问题的两类情况
(1)速度小者追速度大者后
追及类型
图象描述
相关结论
匀加速追匀速
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
　　设x0为开始时两物体间的距离，则应有下面结论：①t＝t0以前，后面物体与前面物体间的距离增大；②t
＝
t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx；③t＝t0以后，后面物体与前面物体间的距离减小；④一定能追上且只能相遇一次
　　(2)速度大者追速度小者
追及类型
图象描述
相关结论
匀减速追匀速
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
　　设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；②若Δxx0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2＝2t0－t1时刻两物体第二次相遇
　　3.相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇．
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于初状态两物体的距离时即相遇．
考点突破　　
例4如图所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85
m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5
m/s2，甲车运动6.0
s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0
m/s2，求两辆汽车相遇处距A处的距离．
【审题指导】
关键词语
获取信息
突破口
平直公路，原来停在A、B两处向右
甲、乙都做直线运动，甲、乙初速都为0，乙车在前，甲车在后，甲追乙
甲运动6.0
s时，乙开始做匀加速直线运动
甲比乙多运动6
s
a1＝2.5
m/s2，a2＝5.0
m/s2
甲的加速度比乙小
A、B间距离为85
m
两车相遇时，甲的位移比乙多85
m
因为甲比乙先运动6.0
s后，甲速度比乙的大，甲追上乙后，甲会超过乙，但之后乙速度增加得快，乙又会追上甲，因此有两解
【解析】甲车运动6
s的位移为s0＝a1t＝45
m<85
m
此时甲车尚未追上乙车，设此后用时间t与乙车相遇，则有a1(t＋t0)2＝a2t2＋85
将上式代入数据并整理得：t2－12t＋32＝0
解得：t1＝4
s，t2＝8
s
t1、t2都有意义，t1＝4
s时，甲车追上乙车；t2＝8
s时，乙车追上甲车再次相遇
第一次相遇地点距A的距离：s1＝a1(t1＋t0)2＝125
m
第二次相遇地点距A的距离：s2＝a1(t2＋t0)2＝245
m.
【小结】(1)求解追及和相遇问题的基本思路
①分别对两物体进行研究，画出运动过程示意图；
②列出位移方程；
③找出时间关系、速度关系、位移关系；
④解出结果，对结果进行必要的讨论．
(2)求解追及和相遇问题的方法
①数学方法：根据两物体相遇时的位置坐标相同及两物的运动时间，求出各自的位移方程．再根据它们位移间的几何关系，建立两物的位移与运动时间之间的一元二次方程．然后利用根的判别式Δ＝b2－4ac满足的条件来讨论．
②物理方法：首先根据两物体相遇时的位置坐标相同及两物的运动时间，求出各自的位移方程．再根据两物位移的几何关系，建立出两物体的位移方程．然后由两物体在同一位置坐标处的速度大小关系讨论两物体能否追上、相遇或碰撞的条件．
③图象法：画出两物体的速度图象，利用图线下面所围面积即为物体运动的位移大小的特点解题．
例5如果公路上有一列汽车车队以10
m/s的速度正在匀速行驶，相邻车间距为25
m，后面有一辆摩托车以20
m/s的速度同向行驶，当它距离车队最后一辆车25
m时刹车，以
0.5
m/s2
的加速度做匀减速运动，摩托车在车队旁边行驶而过，设车队车辆数足够多，求：
(1)摩托车从赶上最后一辆车到又被最后一辆车反超，共经历多长时间？
(2)摩托车最多与几辆汽车相遇？最多与车队中汽车相遇几次？
【解析】(1)设摩托车与最后一辆汽车相遇需要时间为t
则有位移关系：v2t－at2＝s0＋v1t
代入数据，化简得：t2－40t＋100＝0
解得：t＝＝20±10
s
t1＝20－10＝2.68
s　t2＝20＋10
s
v′＝v2－at2＝20－(20＋10)＝10－5>0
即摩托车离开车队时，摩托车没有停止
两车相遇经历的时间Δt＝t2－t1＝20
s＝34.6
s
(2)设摩托车与某一辆汽车速度相同时需要时间t
则有v1＝v2－at，得：t＝20
s
在此段时间内摩托车前行距离s1＝t＝300
m
汽车前行距离s2＝v1t＝200
m
摩托车相遇的汽车数为N＝＋1＝＋1＝4辆，最多相遇2(N－1)＋1＝7次
(用相对运动解答也可)
针对训练　
5．汽车A在红灯前停住，绿灯亮时启动，以
0.4
m/s2的加速度做匀加速直线运动，经过30
s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8
m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以这一速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始(C)
A．A车在加速过程中与B车相遇
B．A、B相遇时速度相同
C．相遇时A车做匀速运动
D．两车不可能相遇
【解析】作出A、B两车运动的v－t图象如图所示，v－t图象所包围的“面积”表示位移，经过30
s时，A车图象所围面积小于B车，所以在A车加速运动的过程中，两车并未相遇，所以选项A错误；30
s后A车以12
m/s的速度作匀速直线运动，随着图象所围“面积”越来越大，可以判断在30
s后某时刻两车图象所围面积会相等，即两车会相遇，此时A车的速度要大于B车的速度，选项C正确，选项B、D错误．
6．甲、乙两车在同一水平道路上，一前一后相距s＝6
m，乙车在前，甲车在后，某时刻两车同时开始运动，两车运动的过程如图所示，则下列表述正确的是(D)
A．当t＝4
s时，两车相遇
B．当t＝4
s时，两车间的距离最大
C．两车有两次相遇
D．两车有三次相遇
【解析】在速度—时间图象中，图线与时间轴围成的面积代表位移．前4
s甲车的面积即位移为
m＝48
m，乙车位移为
m＝40
m，之前乙车在甲车前6
m，前4
s甲车比乙车多走8
m，所以4
s时甲车反超乙车2
m，故选项A错误.4～8
s内，乙车位移为
m＝24
m，甲车位移为
m＋2×4
m＝20
m，此过程乙车比甲车多走4
m，由于0～4
s内是甲在乙前面2
m，那么8
s时乙车反超甲车2
m，此后乙车减速到停止而甲车一直匀速，那么最终甲车还是要超过乙车，并且距离会一直拉大，4
s时两车的距离不是最大，故选项B错误．由上述分析知最终相互超越三次也就是相遇三次，故选项C错误，D正确．
7．(多选)甲、乙两物体在同一直线上运动的x－t图象如图所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点．则从图象可以看出(AC)
A．t2到t3这段时间内甲的平均速度大于乙的平均速度
B．乙比甲先出发
C．甲开始运动时，乙在甲前面x0处
D．甲在中途停了一会儿，最终也没追上乙
【解析】在t2～t3这段时间内，甲的位移大于乙的位移，由v－＝，所以甲的平均速度大于乙的平均速度，A项正确．由题图知乙和甲同时出发，且乙在甲前面x0处，故B项错，C项正确．在t3时刻，甲追上了乙，D项错．
8．近年来，全国各地都加大了对饮酒后驾车的惩治力度．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以
10
m/s
的速度匀速行驶的小汽车的司机情况不正常时，决定前去追赶，经过5.5
s后警车发动起来，并以2.5
m/s2的加速度做匀加速直线运动，但警车的行驶速度必须控制在
90
km/h
以内．问：
(1)警车在追赶小汽车的过程中，两车间的最大距离是多少？
(2)警车发动后要多长时间才能追上小汽车？
【解析】(1)当两车速度相等时它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．
则：t1＝＝
s＝4
s
s汽＝v1(t0＋t1)＝10×(5.5＋4)
m＝95
m
s警＝at＝×2.5×42
m＝20
m
所以两车间的最大距离Δs＝s汽－s警＝75
m.
(2)警车发动后刚达到最大速度v＝90
km/h＝25
m/s的时间：t＝＝10
s
t内警车的位移：s警′＝＝
m＝125
m
s汽′＝v(t0＋t)＝10×(5.5＋10)m＝155
m
此时两车距离Δs＝s汽′－s警′＝30
m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追赶上小汽车．
则：Δt＝＝2
s
所以警车发动后要经过：t＝t＋Δt＝12
s才能追上小汽车．
考
点
集
训　【P268】
A组
1．一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止．下列速度v和位移x的关系图象中，能描述该过程的是(A)
A
　B
C
　D
【解析】汽车在匀加速过程中，通过相同的位移所需时间越来越少，速度的增加量越来越少，选项C、D错误；汽车在匀减速过程中，通过相同的位移所需时间越来越多，速度的减少量越来越多，选项A正确，选项B错误．
2．(多选)在地面上从玩具枪中竖直向上射出初速度为v0的塑料小球，小球运动中受到的空气阻力与其速率成正比，小球运动的速率随时间变化的图象如图所示，t1时刻小球到达最高点．落回地面时，速率为v1，下列说法正确的是(BD)
A．小球上升过程中的平均速度大于
B．小球下降过程中的平均速度大于
C．小球射出时的加速度最大，到达最高点时的加速度为0
D．在小球上升过程和下落过程中，加速度都是减小的
【解析】由v－t图象与t轴所围的面积表示位移的大小，再由平均速度的定义可得：A错、B对．小球射出时，合外力最大，加速度最大，到最高点时，合外力等于重力，加速度为g，C错．由v－t
图象的斜率表示加速度的大小，D对．
3．如图所示，a、b分别表示先后从同一地点以相同的初速度做匀变速直线运动的两个物体的速度图象，则下列说法正确的是(B)
A．4
s末两物体的速度相等
B．4
s末两物体在途中相遇
C．5
s末两物体的速率相等
D．5
s末两物体相遇
【解析】4
s末，va＝－10
m/s，vb＝10
m/s，A错，4
s末sa＝sb＝40
m，B对，5
s末，va＝－20
m/s，vb＝0，C错，5
s末，sa＝25
m．sB＝45
m，D错，选B.
4．一质点做加速直线运动，依次经过A、B、C三个位置，B为AC的中点，质点在AB段加速度恒为a1,
在BC段加速度恒为a2，现测得B点的瞬时速度vB＝，
则a1、a2的大小关系为(B)
A．a1>a2
B．a1C．a1＝a2
D．不能判定
【解析】设A→C为匀加速直线运动，则v－t图象如图中虚线所示：P为时间中点，s15．(多选)如图所示，汽车以10
m/s的速度匀速驶向路口，当行驶至距路口停车线20
m处时，绿灯还有3
s熄灭．而该汽车在绿灯熄灭时刚好停在停车线处，则汽车运动的速度(v)－时间(t)图象可能是(BC)
【解析】v－t图象中图线与时间坐标轴所围“面积”表示位移，A、D图中v－t图象中“面积”不等于20
m；B中v－t图象的“面积”可能等于20
m；C中v－t图象的“面积”正好等于20
m．B、C正确，A、D错误．
6．(多选)如图所示，Ⅰ、Ⅱ分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v－t图线，根据图线可以判断(CD)
A．甲、乙两小球做的是初速度方向相反的匀变速直线运动，加速度大小相同，方向相同
B．两球在t＝8
s时相距最远
C．两球在t＝2
s时刻速度大小相等
D．两球在t＝8
s时相遇
【解析】甲小球的加速度大小为10
m/s2，方向为负，乙小球的加速度大小为
m/s2，方向为正，故A错误；t＝2
s时，乙小球的速率为20
m/s,
甲小球的速率为20
m/s，两球速率相等相距最远，C项正确；
在t＝8
s时，它们都回到了出发点，所以此时相遇，B项错误；D项正确．
7．(
多选)一个物体沿直线运动，从t＝0时刻开始，物体的－t图象如图所示，图线与纵横坐标轴的交点分别为0.5
m/s和－1
s，由此可知(AC)
A．物体做匀加速直线运动
B．物体做变加速直线运动
C．物体的初速度大小为0.5
m/s
D．物体的初速度大小为1
m/s
【解析】图线的斜率为0.5
m/s2、纵截距为0.5
m/s.由位移公式x＝v0t＋at2两边除以对应运动t为
＝v0＋at，可得纵截距的物理意义为物体运动的初速度，斜率的物理意义为物体加速度的一半.所以物体做初速度为v0＝0.5
m/s、加速度大小为a＝1
m/s2的匀加速直线运动．
8．(多选)两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶．t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v－t图如图所示．则下列图象对应比赛中有一辆赛车能够追上另一辆的是(AC)
9．航空事业的发展离不开风洞试验，其简化模型如图a所示．在光滑的水平轨道上停放相距x0＝10
m的甲、乙两车，其中乙车是风力驱动车．在弹射装置使甲车获得v0＝40
m/s的瞬时速度向乙车运动的同时，乙车的风洞开始工作，将风吹向固定在甲车上的挡风板，从而使乙车获得了速度，测绘装置得到了甲、乙两车的v－t图象如图b所示，设两车始终未相撞．
(1)若甲车的质量与其加速度的乘积等于乙车的质量与其加速度的乘积，求甲、乙两车的质量比；
(2)求两车相距最近时的距离．
【解析】(1)由题图b可知：甲车加速度的大小
a甲＝
m/s2，
乙车加速度的大小a乙＝
m/s2
因甲车的质量与其加速度的乘积等于乙车的质量与其加速度的乘积，所以有：m甲a甲＝m乙a乙
解得＝.
(2)在t1时刻，甲、乙两车的速度相等，均为v＝10
m/s，此时两车相距最近
对乙车有：v＝a乙t1
对甲车有：v＝a甲(0.4－t1)
可解得t1＝0.3
s
车的位移等于v－t图线与坐标轴所围的面积，有：
x甲＝
m＝7.5
m，
x乙＝
m＝1.5
m
两车相距最近时的距离为xmin＝x0＋x乙－x甲＝4
m.
B组
10．在平直道路上，甲汽车以速度v匀速行驶．当甲车司机发现前方距离为d处的乙汽车时，立即以大小为a1的加速度匀减速行驶，与此同时，乙车司机也发现了甲，立即从静止开始以大小为a2的加速度沿甲车运动的方向匀加速运动．则(D)
A．甲、乙两车之间的距离一定不断减小
B．甲、乙两车之间的距离一定不断增大
C．若v>，则两车一定不会相撞
D．若v<，则两车一定不会相撞
【解析】甲车做减速运动，乙车做加速运动，两车速度相同时，距离最小，若此时没有相遇，以后就不可能相撞．设甲车的速度为v0，两车相距为d时恰好相撞，以乙车为参考系，根据v＝2(a1＋a2)d，若v>v0两车一定相撞，若v11．某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是(C)
A．v＝
B．v＝
C．v>
D.【解析】该同学假设飞机做匀减速运动，所用的时间为t，画出相应的v－t图象大致如图所示的虚线．根据图象的意义可知，虚线下方的“面积”表示位移．因为位移为x，则得出初速度为v1＝.实际上，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小，v－t图象切线的斜率减小，画出相应的图象大致如图所示的实线．根据图象的意义可知，实线下方的“面积”仍旧表示位移x，所以飞机着陆的速度v2>v1，故选项C正确．
12．在水平轨道上有两列火车A和B相距x0，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．
【解析】方法一：临界法
利用位移公式、速度公式求解．
对A车有xA＝v0t＋×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
对B车有xB＝at2，vB＝at
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
x0＝xA－xB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度应满足的条件是v0<.
方法二
：函数法
利用判别式求解，由方法一可知
xA＝x0＋xB，即v0t＋×(－2a)×t2＝x0＋at2
整理得3at2－2v0t＋2x0＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2x0<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度应满足的条件是v0<.
方法三：图象法
利用速度—时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象如图所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有
vA＝v＝v0－2at
对B车有vB＝v＝at
以上两式联立解得t＝
经t时间两车发生的位移大小之差，即为原来两车间的距离x0
，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
x0＝v0·t＝v0·＝eq
\f(v,6a)
所以要使两车不相撞，A车的初速度应满足的条件是
v0<.
方法四：转换参考系法
以向右为正方向，以B为参照物，设A刚好能追上B，
vAB0＝v0，aAB＝－2a－a＝－3a.
sAB＝x0，vABt＝0
依02－v＝2(－3a)×x0
得：v0＝，要使A、B不相撞则v0<.
备
课
札
记
第4节　误差和有效数字　长度的测量
　　【P10】
夯实基础　
1．误差
(1)定义：__测量值__与__真实值__的差异．
(2)分类：根据误差产生的原因可分为系统误差和偶然误差两种．
①系统误差是由于__仪器本身不精密__、__实验方法粗略__或__实验原理不完善__而产生的误差．其特点是多次做同一实验时，误差总是同样的偏大或偏小，不会出现这几次偏大，另几次偏小的现象．系统误差不能用多次测量求平均值的方法消除或减小，只能通过__校准仪器__、__对读数作修正__、__改进实验方法__和__设计出在原理上更完善的实验__等来减小．
②偶然误差是由各种偶然因素对__实验者__、__测量仪器__、__被测物理量__的影响而产生的误差．其特点是多次重复做同一实验时，误差总是时大时小，且偏大偏小的机会相同．减小这种误差的办法是进行__多次测量__，取其平均值．
③对实验中误差的分析要依据实验原理，分析误差产生的原因，比较测量值和理论值的大小，确定误差情况．
(3)绝对误差与相对误差：设某物理量真实值为A0，测量值为A，则绝对误差Δ＝__|A－A0|__，相对误差为×100%＝__×100%__.因为真实值A0是不知道的，常以公认值或理论值、多次测量的平均值代替真实值．
2．有效数字
(1)定义：表示测量结果的带有一位__估读数__的近似数．
(2)有效数字位数的判定方法
从左边第一个__非零数字__起，数到右边最末一位__估读数__止，共有几个数字，有效数字的位数就是几．要注意：有效数字的位数与小数点的位置__无关__．
(3)大数值与小数值的写法
为了正确表述有效数字，我们应采用科学记数法，即写成a×10n形式，其中1≤a<10，n为正负整数．
3．测量结果的有效数字和测量工具精确度的关系
测量结果由准确数和估读数组成．在测量结果的有效数字中，倒数第一位数字是估读数，倒数第二位数字是准确数．(对需要估读的测量工具而言)
测量结果的有效数字是由测量工具的精确度来决定的，而测量工具的精确度又由测量工具的最小分度决定，所以测量工具的最小分度是多少，测量结果就能准确到多少．
我们在实验测量中，要按有效数字规则读数，必须弄清下列三个问题：
(1)哪些测量工具不要估读？
游标卡尺、附有游标的水银气压计、机械秒表、电阻箱、欧姆表、数字显示器仪表等，都不要估读，用这些测量工具得到的测量值，最后一位数字通通是准确数．
(2)要估读的测量工具，应该估读到哪一位？
解决这个问题的方法是：取最小分度的一半，看这一半中，第一位有效数字出现在哪个数位上，就估读到哪一位．如最小分度是0.1
N的弹簧测力计，其一半是0.05
N，数字“5”出现在百分位上，就估读到百分位(比精确度多一位)．又如最小分度是0.02
A的电流表，其一半是0.01
A，数字“1”出现在百分位上，就估读到百分位(精确度的本位)．
(3)怎么估读？
①最小分度是“1”的测量工具，测量误差出现在下一位，下一位按“”估读．如量程0～3
A的电流表，最小分度是0.1
A，以A为单位记录数据，测量误差出现在百分位上，百分位上的估读数就应该是的0倍、1倍、2倍、……9倍．又如最小分度1
mm(0.1
cm)的刻度尺，以cm为单位记录数据，测量误差出现在百分位上，百分位上的估读数字就应该是的0倍、1倍、2倍、……9倍．
②最小分度是“2”或“5”的测量工具，测量误差出现在同一位上，同一位按“”或“”估读．如量程为0～15
V的电压表，最小分度是0.5
V，以V为单位记录数据，应该估读到十分位，十分位上的估读数就应该是的0倍、1倍、2倍、3倍、4倍．又如量程0～0.6
A的电流表，最小分度是0.02
A，按估读，以A为单位记录数据，应该估读到百分位，不足半小格的舍去，等于或超过半小格的按半小格估读．
测量工具精确度、最小分度、有效数字的参照表
测量工具
感量为0.1克天平
感量为0.02克天平
机械秒表
量程为“0～3伏”电压表
量程为“0～0.6安”电流表
厘米刻度尺
工具最小分度
0.1克
0.02克
0.1秒
0.1伏
0.02安
1厘米
工具精确度
0.1克
0.02克
0.1秒
0.1伏
0.02安
1厘米
测量数据
36.50克
36.50克
36.4秒
2.50伏
0.49安
1.620米
有效数字位数
4
4
3
3
2
4
由上表看出，数字精确到哪一位，那一位就是测量工具的最小分度，最小分度值即精确度．
考点突破　　
例1
用如图所示的实验装置测量杠杆的机械效率．实验时，竖直向上匀速拉动弹簧测力计，使挂在较长杠杆下面的钩码缓缓上升．实验中，将杠杆拉至图中虚线位置，测力计的示数F为__________N.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．0.5
B．0.50
C．1.5
D．1.5
【解析】由图可知弹簧秤的最小分度为0.1
N，因而需要估读到百分位，读数为0.50
N，故B对．
【答案】B
针对训练　
1．(多选)以下误差是系统误差的是(AC)
A．测量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差
B．用有毫米刻度的尺测量物体长度，毫米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差
C．用安培表内接法测电阻时，测量值比真实值大
D．在验证共点力合成的平行四边形法则实验中，在画出两分力方向及合力方向时，画线不准所致误差
【解析】A是选项是实验仪器不精确所致，是系统误差；B选项是由于测量者在估计时由于视线方向不准造成的，是偶然误差；C选项是实验原理不完善、忽略电流表内阻影响所致，是系统误差；D选项是画力方向时描点不准、直尺略有移动，或画线时铅笔倾斜程度不一致所致，是偶然误差．
2．图中各测量工具的读数是多少，分别填在空格处．
(1)图甲中电流表指针所指的示数为__2.50__A；
(2)图乙中物体的长度为__2.20__cm.
　　【P12】
夯实基础　
1．构造如图所示
2．原理：利用游标尺最小分度和主尺最小分度的__微小差值__，把微小长度积累起来进行测量．
3．读数：如下表所示
游标尺(mm)
刻度格数
刻度总长度
每小格与1毫米差
精度(mm)
测量结果(游标尺上第n条刻线与主尺上的某刻度线对正时)(mm)
10
9
0.1
0.1
主尺上读的毫米数＋0.1n
20
19
0.05
0.05
主尺上读的毫米数＋0.05n
50
49
0.02
0.02
主尺上读的毫米数＋0.02n
4.零误差问题
测量前两外测量爪并拢，如果游标上的“0”刻线与主尺上的“0”刻线不正对，这就产生了零误差问题．当存在零误差时，被测物长度等于读数减去零误差．
零误差有两种：
(1)外测量爪并拢时，游标上的“0”刻线位于主尺“0”刻线的右边，此时的零误差为正值，如图a所示，零误差为＋0.15
mm.
(2)外测量爪并拢时，游标上的“0”刻线位于主尺“0”刻线的左边，此时的零误差为负值，如图b所示，零误差为－0.5
mm.
5．要领：三看两读一相加
(1)看清游标尺上共有多少个等分刻度，从而确定该游标卡尺的精确度δ；
(2)看游标尺上的“0”刻线正对主尺的位置，从主尺上读出整毫米数；
(3)看游标尺上第n条刻度线与主尺上的某一刻度线正对，读取nδ；
(4)把两个读数相加．
考点突破　　
例2有一种游标卡尺，主尺的分度值是1
mm，游标卡尺上有50个等分刻度，此游标卡尺的总长度为49
mm，用这种游标尺测长度可以准确到__________mm，用此卡尺测一木球直径时，游标卡尺0刻线是在3.2
cm和3.3
cm两刻线之间，若游标卡尺的第19条刻线与主尺上某刻线对齐，则此木球的直径为____________cm.
【解析】游标卡尺的精确度δ＝
mm＝0.02
mm，游标0刻线前读数为32
mm，第19条刻度线与主尺上某刻线对齐，所以直径d＝32
mm＋19×0.02
mm＝32.38
mm＝3.238
cm.
【答案】0.02　3.238
【小结】1.如果刻度尺端头有磨损，测量起点不要选在“0”刻度线．
2．刻度尺毫米以下的数值靠目测估读一位，估读至最小刻度值的(即0.1
mm)．
3．用游标卡尺测量金属管的外径时，金属管不可在钳口间移动或压得太紧，以免磨损钳口．
4．用游标卡尺测量金属管的外径、内径和量筒的深度，把游标卡尺放在合适的位置后适当旋紧固定螺钉，再读数．
5．游标卡尺使用时不论多少分度都不要估读．如20分度的游标卡尺，读数的末位数一定是0或5；50分度的游标卡尺，读数的末位数字一定是偶数．
6．若游标上任何一格均不与主尺的刻度线重合，选择较近的一条刻度线读数．
针对训练　
3．(1)测量玻璃管内径时，应该用如图甲中游标卡尺的A、B、C三部分的__A__部分来进行测量(填代号)．
(2)图乙中玻璃管的内径d＝__5.25__mm.
4．图中给出的是利用游标卡尺测量某一物体长度时的示数，此示数应为__29.70__mm.
　　【P12】
夯实基础　
螺旋测微器(又叫千分尺)是比游标卡尺更精密的测量长度的工具，用它测长度可以准确到0.01
mm，测量范围为几个厘米，估读到0.001
mm.
1．原理及读数：固定刻度上的最小刻度(半毫米刻度)为0.5
mm；可动刻度每旋转一圈前进(或后退)0.5
mm.在可动刻度的一周上平均刻有50条刻线，所以相邻两条刻线间代表0.01
mm.读数时，从固定刻度上读取整、半毫米数(看半毫米刻度线是否露出)，然后从可动刻度上读取剩余部分(因为是10分度，所以在最小刻度后应再估读一位)，再把两部分读数相加，得测量值．右图中的读数应该是6.5
mm＋0.01
mm×20.2＝6.702
mm.
2．零误差问题
使用螺旋测微器进行测量之前，先要转动旋纽D使测微螺杆F与测砧A接触，看可动刻度E的左边缘与固定刻度B的0刻线是否重合，这个操作步骤叫做校零．
在校零时，如果可动刻度E的左边缘与固定刻度B的0刻线不重合，即没有测长度时，可动刻度上就有读数，这样产生的误差叫做零误差．在存在零误差时，测量结果就应该在读数的基础上结合零误差情况加以修正．
零误差有两种：
(1)校零时，可动刻度E的左边缘位于固定刻度B的0刻线右边，(可动刻度的0刻线在固定刻度上的水平线的下方)此时零误差为正值，测量结果等于读数减去零误差．如图所示：
由(a)知：零误差0.020
mm，由(b)知：读数6.370
mm
被测物长度为：6.370
mm－0.020
mm＝6.350
mm
(2)校零时，可动刻度E的左边缘位于固定刻度B的0刻线左边，(可动刻度的0刻线在固定刻度上的水平线的上方)此时零误差为负值，测量结果等于读数减去零误差．如图所示：
由(c)知：零误差－0.030
mm，由(d)知：读数6.750
mm
被测物长度为：6.750
mm－(－0.030
mm)＝6.780
mm
3．使用螺旋测微器应注意以下几点：
(1)测量时，在测微螺杆快靠近被测物体时应停止使用旋钮，而改用微调旋钮，避免产生过大的压力，既可使测量结果精确，又能保护螺旋测微器．
(2)在读数时，要注意固定刻度尺上表示半毫米的刻线是否已经露出．
(3)读数时，千分位有一位估读数字，不能随便扔掉，即使固定刻度上的水平刻线正好与可动刻度的某一刻度线对齐，千分位上也应读取为“0”．如下图所示．
4．要领：
(1)读可动刻度时，要有一位估读数，测量结果以mm为单位，必须有三位小数；
(2)看半刻度是否露出，是以可动刻度左边缘线为参照物，读可动刻度数是以固定刻度上的水平刻线为参照物．
考点突破　　
例3在某次测量活动中，某同学用螺旋测微器测量一个小圆柱体的直径时，得到的示数如图所示，读数为________mm.
【解析】从固定刻度上读出0.5
mm，可动刻度读为14.8格，对应0.01
mm×14.8＝0.148
mm，两数相加，得0.648
mm.
【答案】0.648
【小结】关于螺旋测微器的读数
①看清固定刻度上哪是刻度线(左边标有“0”的)，哪是半刻度线(有的在上方，有的在下方)．
②看清半刻度线是否露出
③从固定刻度上读出整毫米数和半毫米(半刻度线未露出就不读)
④看可动刻度与固定刻度上的水平线正对的格数n(要估读一位)，读出“0.01
mm×n”
⑤把③④中的两个读数相加，就得到测量值．
针对训练　
5．试读出下列螺旋测微器的读数：
图1：__0.361__mm；图2：__3.461__mm；
图3：__7.320__mm；图4：__11.472__mm.
6．某同学用螺旋测微器测量一金属丝的直径，测微器的示数如图所示，该金属丝直径的测量值为__2.793(2.791～2.795均可)__mm.
【解析】测量值读数为2.5
mm＋0.01
mm×29.3＝2.793
mm.
考
点
集
训　【P270】
A组
1．精确度为0.1
mm的游标卡尺，游标刻度总长为9
mm，当其中最末一条刻度线与主尺的44
mm对齐，则游标卡尺上的第5条刻度线所对着的主尺的刻度为(B)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．35.0
mm
B．39.5
mm
C．43.4
mm
D．35.4
mm
【解析】精度为0.1
mm的游标卡尺，其游标上的刻度为10等份，总长为9
mm，每等份的长度为0.9
mm，当其中最末一条刻度线与主尺的44
mm对齐时，则游标卡尺上的第5条刻度线所对着的主尺的刻度为44
mm－5×0.9
mm＝39.5
mm.故B正确．
2．一游标卡尺的主尺最小分度为1毫米，游标上有10个小等分间隔，现用此卡尺来测量工件的直径，如图所示．该工件的直径为__29.8__mm.
3．一种游标卡尺，它的游标尺上有50个小的等分刻度，总长度为49
mm，用它测量某物体长度，卡尺示数如图所示，则该物体的长度是__4.118__cm.
4．甲为20分度游标卡尺的部分示意图，其读数为__8.25__mm；图乙为螺旋测微器的示意图，其读数为__2.970__mm.
5．某同学利用游标卡尺和螺旋测微器分别测量一圆柱体工件的高度和直径．
(1)图甲为20分度的游标卡尺测量物体长度时的读数，由于部分遮挡，只能看见游标卡尺的后半部分，这个物体的长度为__2.060__cm__．
(2)用螺旋测微器测量某一物体的厚度，结果如图乙所示，则该物体的厚度为__1.600__
mm，若将可动刻度再逆时针转过72°(从右向左看)，则读数为__1.700__
mm.
6．常用螺旋测微器的精度是0.01
mm.①右图中的螺旋测微器读数为5.620
mm，请你在刻度线旁边的方框内标出相应的数以符合给出的读数．②若另制一个螺旋测微器，使其精确度提高到0.005
mm，而螺旋测微器的螺距仍保持0.5
mm不变，可以采用的方法是__可动刻度分为100等分__．
【解析】①从固定刻度上读取5.5
mm，从可动刻度上读12.0格，所以固定刻度方格中填“5”可动刻度从下到上的方格中分别填“10”、“15”．
②将可动刻度分为100等分后，每一等分对应＝0.005
mm，精确度就是0.005
mm.
7．现用最小分度为1
mm的米尺测量金属丝长度，如图所示，图中箭头所指位置是拉直的金属丝两端在米尺上相对应的位置，测得的金属丝长度为__972.0__mm.在测量金属丝直径时，如果受条件限制，身边只有米尺1把和圆柱形铅笔1支．如何较准确地测量金属丝的直径？请简述测量方法．
【解析】本题主要考查毫米刻度尺的读数，放大法测量物体的长度，本题是一道考查考生基本素质的基础题目．观察本题图示，注意金属丝的起点不在“0”处，所以测得金属丝的长度为：982.0
mm－10.0
mm＝972.0
mm.由于一根金属丝的直径太小，用mm刻度尺不易测量，故采用放大法测量：在铅笔上紧密排绕N匝金属丝，用毫米刻度尺测出该N匝金属丝的长度D.由此可以算出金属丝的平均直径为.
B组
8．有一种在工厂实际使用的游标卡尺如图所示，它是普通游标卡尺的变形．它把普通游标卡尺两个卡脚改成了斜的，两个斜卡脚与主尺都成126°52′12″角(图中的∠DAC＝∠EBC＝126°52′12″，已知tan
63°26′06″＝2.000)，其他部分未作改动，这种卡尺专门用来测量圆柱形或球形工件的外径．两个斜脚之间不放被测工件时，游标尺的“0”刻线恰与主尺的“0”刻线对齐，两个斜脚之间放上被测圆柱形或球形工件，使工件与主尺、两斜脚都相切，即共有三个切点，如图中的D、C、E.被测圆形工件的直径为__24.60____mm.
【解析】设∠DAC＝α，则∠O′AC＝，由游标卡尺上读出：
AB＝12.30
mm，由几何知识，得AC＝AB，O′C＝R，＝tan
＝2.000，∴R＝AB＝12.30
mm，工件直径d＝2R＝24.60
mm.
9．一水平放置的圆盘绕过其圆心的竖直轴匀速转动，盘边缘上固定一竖直的挡光片．盘转动时挡光片从一光电数字计时器的光电门的狭缝中经过，如图甲所示．乙为光电数字计时器的示意图．光源A中射出的光可照到B中的接收器上，若A、B间的光路被遮断，显示器C上可显示出光线被遮住的时间．
挡光片的宽度用螺旋测微器测得，结果如图丙所示．圆盘直径用游标卡尺测得，结果如图丁所示，由图可知：
(1)挡光片的宽度L为__10.249__mm；
(2)圆盘的直径D为__24.220__cm；
(3)若光电数字计时器所显示的时间t为50.0
ms，则圆盘转动的角速度ω为__1.69__rad/s(保留3位有效数字)．
【解析】(1)螺旋测微器的固定尺上读数为10
mm.可动尺上的读数为24.9，其中最后一位是估读数字，其大小读2、3、4都正确．螺旋测微器的精确度为0.01
mm，则挡光片宽度为L＝10
mm＋24.9×0.01
mm＝10.249
mm.
(2)游标卡尺为20分度，其精确度为0.05
mm.固定尺读数为242
mm，游标尺读数为4，圆盘直径D＝242
mm＋4×0.05
mm＝242.20
mm＝24.220
cm.
(3)因显示时间t＝50.0
ms，
则转动角速度ω＝＝≈1.69
rad/s.
10．有一种新式游标卡尺，游标卡尺的刻度与传统的旧式游标卡尺明显不同，新式游标卡尺的刻度线看起来很“稀疏”，使得读数时显得清晰明了，方便了使用者的正确读取数据．通常游标卡尺的刻度有10分度，20分度，50分度三种规格，新式游标卡尺也有相应的三种，但游标尺刻度却是：19
mm等分成10份，39
mm等分成20份，99
mm等分成50份．
(1)以“39
mm等分成20份”新式游标卡尺为例，它的精确度是__0.05__
mm.
(2)用新式游标卡尺测量某一物体的厚度，测量时游标卡尺的示数如下图所示，其读数是__1.25__mm.
第5节　实验：研究匀变速直线运动
夯实基础　【P14】
一、实验目的
1．练习使用打点计时器，学会用打上点的纸带研究物体的运动．
2．掌握判断物体是否做匀变速直线运动的方法．(Δx＝aT2)
3．测定匀变速直线运动的加速度．
二、实验原理
1．打点计时器
(1)作用：计时仪器，当电源频率为50
Hz时，每隔__0.02__s打一次点．
(2)工作条件
(3)纸带上点的意义：
①表示和纸带相连的物体在不同时刻的位置．
②通过研究纸带上各点之间的间隔，可以判断物体的运动情况．
③可以利用纸带上打出的点来确定计数点间的时间间隔．
2．利用纸带判断物体运动状态的方法
(1)沿直线运动的物体经历连续相等时间后的速度分别为v1、v2、v3、v4、…，若v2－v1＝v3－v2＝v4－v3＝…且不为零，则说明物体在相等时间内速度的增量相等，由此说明物体在做匀变速直线运动，即a＝＝＝＝…
(2)沿直线运动的物体在连续相等时间内的位移分别为x1，x2，x3，x4…，若Δx＝x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…且不为零，则说明物体在做匀变速直线运动，且Δx＝__aT2__．
3．速度、加速度的求解方法
(1)“平均速度法”求速度
即vn＝，如图所示．
(2)由纸带求物体运动的加速度
①逐差法：即根据x4－x1＝x5－x2＝x6－x3＝3aT2(T为相邻两计数点间的时间间隔)，求出a1＝、a2＝、a3＝，再算出a1、a2、a3的平均值即为物体运动的加速度：a＝＝.
②图象法：即先根据vn＝求出多个点的瞬时速度，后作出v－t图象，图象的斜率即为物体运动的加速度．
三、实验器材
电火花计时器(或电磁打点计时器)，一端附有滑轮的长木板，小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、电源、复写纸片．
四、实验步骤
1．把附有滑轮的长木板放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路．把一条细绳拴在小车上，细绳跨过滑轮，下边挂上合适的钩码，把纸带穿过打点计时器，并将它的一端固定在小车的后面．实验装置见下图所示，放手后，看小车能否在木板上平稳地加速滑行．
2．把小车停在靠近__打点计时器__处，先__接通电源__，后__放开小车__，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列的点，换上新纸带，重复三次．
3．从三条纸带中选择一条比较理想的，舍掉开头一些比较密集的点，从后边便于测量的点开始确定计数点，为了计算方便和减小误差，通常用连续打点五次的时间作为时间单位，即T＝0.1
s，如图所示，正确使用毫米刻度尺测量0计数点到各个计数点间的距离，并填入设计的表格中．
4．根据测量结果，用逐差法求出加速度a，或利用某一段时间的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度求得各计数点的瞬时速度，作出v－t图象，由图象的斜率求得加速度．
五、实验的改进与创新
创新型实验是以教材中的实验为背景，通过改变实验条件、实验仪器设置题目，不脱离教材而又不拘泥教材，体现开放性、探究性等特点.
高考考情演变
装置时代化
求解智能化
1.加速度的获得：靠重物的拉力获得加速度→长木板倾斜靠重力获

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