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第4节　万有引力与航天
考点一|
开普勒行星运动定律
1．第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在这些椭圆的一个焦点上．
2．第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．其表达式为＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个对所有行星都相同的常量．
1．(2017·余姚调研)关于太阳系中各行星的轨道，以下说法中正确的是(　　)
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．有的行星绕太阳运动的轨道是圆
C．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是相同的
D．不同的行星绕太阳运动的轨道都相同
A　[八大行星的轨道都是椭圆，A正确，B错误；不同行星离太阳远近不同，轨道不同，半长轴也就不同，C、D错误．]
2．关于行星的运动，下列说法中不正确的是(　　)
A．关于行星的运动，早期有“地心说”与“日心说”之争，而“地心说”容易被人们所接受的原因之一是由于相对运动使得人们观察到太阳东升西落
B．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，且近地点速度小，远地点速度大
C．开普勒第三定律＝k，式中k的值仅与中心天体的质量有关
D．开普勒三定律也适用于其他星系的行星运动
B　[根据开普勒第二定律可以推断出近地点速度大，远地点速度小，故选项B错误．]
3．(2017·温州模拟)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知
(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
C　[太阳位于木星椭圆运行轨道的一个焦点上，不同的行星运行在不同的椭圆轨道上，其运行周期和速度均不相同，不同的行星相同时间内，与太阳连线扫过的面积不相等，A、B、D均错误；由开普勒第三定律可知，C正确．]
考点二|
万有引力定律及应用
1．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．
(2)表达式：F＝G
G为引力常量：G＝6.67×10－11
N·m2/kg2.
(3)适用条件
①公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
2．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
3．天体质量和密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝＝＝.
　(2016·浙江10月学考)如图4 4 1所示，“天宫二号”在距离地面393
km的近圆轨道运行，已知万有引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，地球质量M＝6.0×1024
kg，地球半径R＝6.4×103
km.由以上数据可估算(　　)
图4 4 1
A．“天宫二号”质量
B．“天宫二号”运行速度
C．“天宫二号”受到的向心力
D．地球对“天宫二号”的引力
B　[根据万有引力定律，F向＝F万＝G＝m，其中m为卫星质量，R为轨道半径，即地球半径与离地高度之和，则已知G、M、R，可得到运行速度v，无法得到卫星质量m，亦无法求得F向、F万．故选B.]
1．嫦娥三号远离地球飞近月球的过程中，地球和月球对它的万有引力F1、F2的大小变化情况是(　　)
A．F1、F2均减小
B．F1、F2均增大
C．F1减小、F2增大
D．F1增大、F2减小
C　[根据万有引力定律F＝G，可知F1减小、F2增大，故选C.]
2．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为(　　)
A．1∶9
B．9∶1
C．1∶10
D．10∶1
C　[设月球质量为m，则地球质量为81m，地月间距离为r，飞行器质量为m0，当飞行器距月球为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G＝G，所以＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故选项C正确．]
3．2015年12月17日，我国发射了首颗探测“暗物质”的空间科学卫星“悟空”，使我国的空间科学探测进入了一个新阶段．已知“悟空”在距地面为h的高空绕地球做匀速圆周运动，地球质量为
M，地球半径为R，引力常量为G，则可以求出(　　)
A．“悟空”的质量
B．“悟空”的密度
C．“悟空”的线速度大小
D．地球对“悟空”的万有引力
C　[根据万有引力充当向心力G＝m，可求得“悟空”的线速度v＝，因无法求出“悟空”的质量，从而无法求出“悟空”的密度和地球对“悟空”的万有引力，选项C正确，A、B、D错误．]
4．对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是(　　)
A．G是引力常量，是人为规定的
B．当r等于零时，万有引力为无穷大
C．两物体受到的引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关
D．r是两物体间最近的距离
C　[引力常量G的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的，故A错误；当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用，故B错误；力是物体间的相互作用，万有引力同样适用于牛顿第三定律，即两物体受到的引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关，故C正确；r是两质点间的距离，质量分布均匀的球体可视为质点，此时r是两球心间的距离，故D错误．]
5．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51
peg
b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51
peg
b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为(　　)
A.
B．1
C．5
D．10
B　[根据万有引力提供向心力，有G＝mr，可得M＝，所以恒星质量与太阳质量之比为＝＝3×2≈1，故选项B正确．]
考点三|
宇宙航行、经典力学的局限性
1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
2．三个宇宙速度
(1)第一宇宙速度
v1＝7.9
km/s，卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，又称环绕速度．
(2)第二宇宙速度
v2＝11.2
km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度，又称脱离速度．
(3)第三宇宙速度
v3＝16.7
km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度，也叫逃逸速度．
3．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m得v1＝＝7.9×103
m/s.
方法二：由mg＝m得
v1＝＝7.9×103
m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝5
075
s≈85
min.
4．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9
km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动．
(2)7.9
km/skm/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．
(3)11.2
km/s≤v发<16.7
km/s，卫星绕太阳做椭圆运动．
(4)v发≥16.7
km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．5．经典力学的局限性
(1)只适用于低速运动，不适用于高速运动．
(2)只适用于宏观世界，不适用微观世界．
　(2015·浙江10月学考)2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射．在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放．假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动．则下列说法正确的是(　　)
图4 4 2
A．20颗小卫星的轨道半径均相同
B．20颗小卫星的线速度大小均相同
C．同一圆轨道上的小卫星的周期均相同
D．不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同
C　[三层轨道高度不同，故r不同，A错误；由G＝m＝mω2r＝m2r可知，轨道半径不同，线速度、角速度大小不同，B、D错误；同一轨道，轨道半径相同，周期相同，C正确．]
　(2016·浙江4月学考)2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0×102
km的预定轨道．“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动．已知地球半径R＝6.4×103
km.下列说法正确的是(　　)
图4 4 3
A．“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小
B．“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小
C．“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小
D．“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小
C　[“悟空”卫星和地球同步卫星都绕地球做匀速圆周运动，满足：G＝m＝mω2r＝m2r，“悟空”卫星轨道半径小，所以线速度大，角速度大，周期小，向心加速度大，所以C正确．]
1．(2017·莆田高三检测)2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课．在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小(　　)
A．等于7.9
km/s
B．介于7.9
km/s和11.2
km/s之间
C．小于7.9
km/s
D．介于7.9
km/s和16.7
km/s之间
C　[卫星在圆形轨道上运动的速度v＝.由于r>R，所以v<7.9
km/s，C正确．]
2．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是(　　)
A．第一宇宙速度又叫环绕速度
B．第一宇宙速度又叫脱离速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量无关
D．第一宇宙速度跟地球的半径无关
A　[第一宇宙速度又叫环绕速度，故A正确，B错误；根据定义有G＝m，得v＝，其中，M为地球质量，R为地球半径，故C、D错误．]
3．某行星有甲、乙两颗卫星，它们的轨道均为圆形，甲的轨道半径为R1，乙的轨道半径为R2，R2>R1.根据以上信息可知(　　)
A．甲的质量大于乙的质量
B．甲的周期大于乙的周期
C．甲的速率大于乙的速率
D．甲所受行星的引力大于乙所受行星的引力
C　[轨道半径越小，向心加速度、线速度、角速度越大，周期越小，B错，C对；卫星质量不能比较，A错；因为两卫星质量不知道，万有引力也不能比较，D错．]
4．我国成功发射的“神舟”号载人宇宙飞船和人造地球同步通信卫星都绕地球做匀速圆周运动，已知飞船的轨道半径小于同步卫星的轨道半径．则可判定(　　)
A．飞船的运行周期小于同步卫星的运行周期
B．飞船的线速度小于同步卫星的线速度
C．飞船的角速度小于同步卫星的角速度
D．飞船的向心加速度小于同步卫星的向心加速度
A　[该卫星的质量为m，轨道半径为r，周期T，线速度为v，角速度为ω，向心加速度为an，地球的质量为M，由万有引力定律得G＝m＝m＝mω2r＝man，故T＝2π，v＝，ω＝，an＝，因为飞船的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以飞船的运行周期小于同步卫星的运行周期，飞船的线速度大于同步卫星的线速度，飞船的角速度大于同步卫星的角速度，飞船的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，选项A正确，B、C、D错误．]
5.如图4 4 4所示，a、b、c三颗卫星在各自的轨道上运行，轨道半径ra图4 4 4
A．三个卫星的加速度为aaB．三个卫星的线速度为vaC．三个卫星的质量为ma>mb>mc
D．三个卫星的运行周期为TaD　[卫星的向心加速度a＝，轨道半径越小，向心加速度越大，选项A错误；卫星的速度v＝，则轨道半径越小，速度越大，选项B错误；由于三个卫星受到地球的万有引力大小相等，由F＝G可知，轨道半径越大，卫星的质量越大，选项C错误；卫星的运行周期T＝2π，所以轨道半径越大，周期越长，选项D正确．]第3节　圆周运动
考点一|
圆周运动的基本概念
1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．
v＝＝.
2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
ω＝＝.
3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
T＝，T＝.
4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．
an＝＝rω2＝ωv＝r.
5．相互关系：(1)v＝ωr＝r＝2πrf.
(2)an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
　(2016·浙江4月学考)如图4 3 1为某中国运动员在短道速滑比赛中勇夺金牌的精彩瞬间．假定此时他正沿圆弧形弯道匀速率滑行，则他(　　)
图4 3 1
A．所受的合力为零，做匀速运动
B．所受的合力恒定，做匀加速运动
C．所受的合力恒定，做变加速运动
D．所受的合力变化，做变加速运动
D　[运动员做匀速圆周运动，其加速度指向圆心，方向时刻变化，为变加速运动，合力也指向圆心，方向时刻变化．D正确．]
　(2016·浙江10月学考)在“G20”峰会“最忆是杭州”的文艺演出中，芭蕾舞演员保持如图4 3 2所示姿式原地旋转，此时手臂上A、B两点角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则(　　)
图4 3 2
A．ωA<ωB
B．ωA>ωBC．vAD．vA>vB
D　[该模型为同轴转动模型，可以得出角速度一样，因此半径大的点线速度大，所以A、B两点角速度一样，线速度A处大于B处．故选D.]
1．对公式v＝ωr的理解
(1)当r一定时，v与ω成正比；
(2)当ω一定时，v与r成正比；
(3)当v一定时，ω与r成反比．
2．常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图4 3 3所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
图4 3 3
(2)摩擦传动：如图4 3 4甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
图4 3 4
(3)同轴传动：如图乙、丙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中不正确的是(　　)
A．相等的时间内通过的路程相等
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内通过的位移相等
D．相等的时间内转过的角度相等
C　[匀速圆周运动是指线速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，故选项A、B、D正确；相等的时间内通过的位移方向不同，由于位移是矢量，因此位移不相等，故选项C错误．]
2.皮带传动装置如图4 3 5所示，两轮的半径不相等，传动过程中皮带不打滑．关于两轮边缘上的点，下列说法正确的是(　　)
图4 3 5
A．周期相同
B．角速度相等
C．线速度大小相等
D．向心加速度相等
C　[皮带不打滑时，皮带上各点的线速度大小相等，C正确．]
3.如图4 3 6所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点(　　)
图4 3 6
A．角速度之比ωA∶ωB＝∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶
C．线速度之比vA∶vB＝∶1
D．线速度之比vA∶vB＝1∶
D　[板上A、B两点的角速度相等，角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，选项A、B错误；线速度v＝ωr，线速度之比vA∶vB＝1∶，选项C错误，D正确．]
4．(加试要求)如图4 3 7是自行车传动装置的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n
r/s，则自行车前进的速度为(　　)
图4 3 7
A.　
B.
C.
D.
D　[因为要计算自行车前进的速度，即车轮Ⅲ边缘上的线速度的大小，根据题意知：轮Ⅰ和轮Ⅱ边缘上的线速度的大小相等，据v＝rω可知：r1ω1＝r2ω2，已知ω1＝ω，则轮Ⅱ的角速度ω2＝ω，因为轮Ⅱ和轮Ⅲ共轴，所以转动的角速度相等即ω3＝ω2，根据v＝rω可知，v3＝r3ω3＝＝.]
考点二|
圆周运动中的动力学分析
1．匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(2)大小
F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
(3)方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
(4)来源(加试要求)
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
2．离心现象的受力特点(只必考要求)
图4 3 8
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；当F　(2015·浙江10月学考)质量为30
kg的小孩坐在秋千板上，秋千板离系绳子的横梁的距离是2.5
m．小孩的父亲将秋千板从最低点拉起1.25
m高度后由静止释放，小孩沿圆弧运动至最低点时，她对秋千板的压力约为(g取10
m/s2)(　　)
A．0　　　B．200
N　　　C．600
N　　　D．1
000
N
C　[小孩沿圆弧运动至最低点的过程中，mgh＝mv2，N－mg＝，则N＝＋mg＝600
N，由牛顿第三定律知小孩对秋千板的压力为600
N．故选C.]
1．对向心力的三点提醒
(1)向心力是按效果命名的，不是物体实际受到的力，受力分析时，不能在受力示意图上画出向心力；
(2)向心力可以是某种性质的力单独提供，也可以是几个不同性质的力共同提供；
(3)向心力只产生向心加速度，与物体的实际加速度不一定相同．
2．解决圆周运动问题的主要步骤
1．如图4 3 9所示，一辆汽车依次通过路上的A、B和C点，汽车对路面的压力相应为FA、FB和FC，它们间的大小关系是(　　)
图4 3 9
A．FA＝FB
B．FBC．FA>FC
D．FB>FC
B　[在平直公路上行驶时，重力等于支持力，由牛顿第三定律知，压力等于支持力，所以压力FA＝mg；汽车到达B点时，有向下的加速度，汽车失重，故支持力小于重力，因而压力小于重力；在C点时与在B点时相反，压力大于重力，所以FC>FA>FB，故B正确．]
2．(2017·通化高三检测)如图4 3 10所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体一起运动，充当向心力的是(　　)
图4 3 10
A．重力
B．弹力
C．静摩擦力
D．滑动摩擦力
B　[物体在竖直方向上受重力和静摩擦力作用，两力平衡，在水平方向上受弹力作用，弹力充当向心力，B正确．]
3．(2017·绍兴市调研)奥运会单杠比赛中有一个“单臂大回环”的动作，难度系数非常大．假设运动员质量为m，单臂抓杠杆身体下垂时，手掌到人体重心的距离为l.如图4 3 11所示，在运动员单臂回转从顶点倒立转至最低点过程中，可将人体视为质量集中于重心的质点，且不考虑手掌与单杠间的摩擦力，重力加速度为g，若运动员在最低点的速度为2，则运动员的手臂拉力为自身重力的(　　)
图4 3 11
A．2倍
B．3倍
C．4倍
D．5倍
D　[对运动员在最低点受力分析，由牛顿第二定律可得，F－mg＝m，解得，F＝5mg，D项正确．]
4．(加试要求)在云南省某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，若把这滑铁索过江简化成如图4 3 12所示的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，A、B间的距离为L＝80
m，铁索的最低点离A、B连线的垂直距离为H＝8
m，若把铁索看做是圆弧，已知一质量m＝52
kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点时的速度为10
m/s，那么(　　)
图4 3 12
A．人在整个铁索上的运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得铁索的圆弧半径为100
m
C．人在滑到最低点时，滑轮对铁索的压力为570
N
D．人在滑到最低点时，滑轮对铁索的压力为50
N
C　[人借助滑轮下滑过程中，其速度是逐渐增大的，因此人在整个铁索上的运动不能看成匀速圆周运动；设圆弧的半径为r，由几何关系，有：(r－H)2＋2＝r2，解得r＝104
m；人在滑到最低点时，根据牛顿第二定律得：FN－mg＝m，解得FN＝570
N，选项C正确．]考点三|
竖直面内圆周运动的临界问题
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型
杆模型
常见类型
过最高点的临界条件
由mg＝m得v临＝
由小球恰能做圆周运动得v临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0增大而减小(3)当v＝时，FN＝0(4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
　(2016·浙江4月学考)如图4 3 13所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成．其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1＝0.20
m、h2＝0.10
m，BC水平距离L＝1.00
m．轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高．当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m＝0.05
kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点．(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比)
图4 3 13
当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由.
【解析】　恰能通过圆环最高点，需满足的条件是mg＝　①
由弹簧压缩量为d时，恰好使滑块上升到B点得EpA＝mgh1　②
沿轨道Ⅱ运动时由A到F机械能守恒EpA＝mv2　③
①②③联立解得v＝2
m/s，Rm＝0.4
m
当R>Rm＝0.4
m时，滑块会脱离螺旋轨道，不能上升到B点．
【答案】　见解析
1．(多选)(2016·台州市六校高二联考)如图4 3 14所示甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是(　　)
图4 3 14
A．甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力
B．乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力
C．丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力
D．丁图中，轨道车过最高点的最小速度为
BC　[在甲图中，当速度比较小时，根据牛顿第二定律得，mg－FN＝m，即座椅给人施加向上的力，当速度比较大时，根据牛顿第二定律得，mg＋FN＝m，即座椅给人施加向下的力，故A错误；在乙图中，因为合力指向圆心，重力竖直向下，所以安全带一定给人向上的力，故B正确；在丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，合力方向向上，重力竖直向下，则座椅给人的作用力一定竖直向上，故C正确；在丁图中，由于轨道车有安全锁，可知轨道车在最高点的最小速度为零，故D错误．]
2．(2017·东阳模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图4 3 15所示，则下列说法正确的是(　　)
图4 3 15
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
A　[轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v＝时，杆所受的弹力等于零，A正确，B错误；若v<，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m，随v增大，F减小，若v>，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m，随v增大，F增大，故C、D均错误．]
3．长度为1
m的轻杆OA的A端有一质量为2
kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图4 3 16所示，小球通过最高点时的速度为3
m/s，g取10
m/s2，则此时小球将(　　)
图4 3 16
A．受到18
N的拉力
B．受到38
N的支持力
C．受到2
N的拉力
D．受到2
N的支持力
D　[设此时轻杆拉力大小为F，根据向心力公式有F＋mg＝m，代入数值可得F＝－2
N，表示受到2
N的支持力，选项D正确．]
4.如图4 3 17所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是(　　)
图4 3 17
A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
C　[小球沿光滑圆形管道上升，到达最高点的速度可以为零，A、B选项均错误；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由于重力的方向竖直向下，向心力方向斜向上，必须受外侧管壁指向圆心的作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，由于重力有指向圆心的分量，若速度较小，小球可不受外侧管壁的作用力，D错误．]第1节　曲线运动　运动的合成与分解
[浙江考试标准]
知　识　内　容
考
试
要
求
命　题　规　律
必考
加试
曲线运动
b
b
1.速度、加速度、位移的合成与分解在实际问题中的应用；2.平抛运动的处理方法以及平抛运动在具体生活情境中的应用；3.描述圆周运动的物理量及它们之间的关系和应用；4.圆周运动的动力学问题；5.圆周运动的临界问题；6.天体质量和密度的计算；7.第一宇宙速度的计算；8.天体的运动及卫星的变轨问题.
运动的合成与分解
b
c
平抛运动
d
d
圆周运动、向心加速度、向心力
d
d
生活中的圆周运动
c
行星的运动、太阳与行星间的引力
a
万有引力定律、万有引力理论的成就
c
宇宙航行
c
经典力学的局限性
a
实验6　研究平抛运动
√
第1节　曲线运动　运动的合成与分解
考点一|
曲线运动
1．曲线运动的特点
(1)速度的方向
质点在某一点的速度方向就是曲线在这一点的切线方向．
(2)运动的性质
做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
2．曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上．(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上．
1．合力方向与轨迹的关系
(1)物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间．
(2)合力一定指向物体运动轨迹的凹侧．
2．速率变化情况判断
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大．
(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小．
(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
1．(2017·南开区高一检测)做曲线运动的物体，在运动过程中，一定发生变化的物理量是(　　)
A．速率　
B．速度
C．加速度
D．合力
B　[曲线运动物体的速度方向一定变化，但大小可能变，也可能不变，B正确，A错误；做曲线运动的物体所受合外力一定不为零，一定具有加速度，但合外力、加速度可能不变，也可能变化，故C、D错误．]
2．(2017·建德模拟)关于物体做曲线运动的条件，以下说法正确的是(　　)
A．物体受到的合外力不为零，物体一定做曲线运动
B．物体受到的力不为恒力，物体一定做曲线运动
C．初速度不为零，加速度也不为零，物体一定做曲线运动
D．初速度不为零，且受到与初速度方向不在同一条直线上的外力作用，物体一定做曲线运动
D　[物体做曲线运动的条件是合力方向与速度方向不在同一条直线上，物体在恒力作用下，可以做匀变速直线运动，不一定做曲线运动，而在变力作用下，可以做变加速直线运动，不一定做曲线运动，选项A、B错误；竖直上抛运动的初速度不为0，加速度也不为0，是直线运动，选项C错误；只有速度方向与合外力的方向不在一条直线上时，物体才做曲线运动，选项D正确．]
3．“天宫二号”于2016年9月15日发射升空，在靠近轨道沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小，在此过程中“天宫二号”所受合力的方向，可能是(　　)
C　[考虑到合外力方向指向轨迹凹侧，且由M到N速度减小可知，C选项正确．]
4.(2017·海宁模拟)如图4 1 1所示的曲线为某同学抛出的铅球运动轨迹(铅球视为质点)，A、B、C为曲线上的三点，关于铅球在B点的速度方向，下列说法正确的(　　)
图4 1 1
A．沿AB的方向
B．沿BD的方向
C．沿BC的方向
D．沿BE的方向
B　[物体做曲线运动的速度方向为运动轨迹上经过该点的切线方向，又本题中铅球实际沿ABC方向运动，故它在B点的速度应沿BD的方向，选项B正确．]5．(加试要求)小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹．图4 1 2中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)．实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动．
图4 1 2
【解析】　因为磁铁对小钢珠只能提供引力，磁铁在A处时，F与v0同向，小钢珠做变加速直线运动，运动轨迹为b；当磁铁放在B处时，F与v0不在同一直线上，引力指向曲线的凹侧，运动轨迹为c.当合外力方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动．
【答案】　b　c　不在
考点二|
运动的合成与分解
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性
合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．合运动的性质判断(加试要求)
1．运动的合成与分解的运算法则运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则．
(1)作图法：选好标度，用一定长度的有向线段表示分运动或合运动的有关物理量，严格按照平行四边形定则画出平行四边形求解．
(2)计算法：先画出运动合成或分解的示意图，然后应用直角三角形等数学知识求解．
2．“三步走”求解合运动或分运动
(1)根据题意确定物体的合运动与分运动．
(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形．(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，求解时可以用勾股定理、三角函数等数学知识．
1．某一时刻，一物体沿水平和竖直方向的分速度分别为8
m/s和6
m/s，则该物体的速度大小是(　　)A．2
m/s　
B．6
m/s
C．10
m/s
D．14
m/s
C　[v＝＝
m/s＝10
m/s.故选C.]
2．(2017·奉化市调研)如图4 1 3所示，一艘炮艇沿长江由西向东快速行驶，在炮艇上发射炮弹射击北岸正北方向的目标．要击中目标，射击方向应(　　)
图4 1 3
A．对准目标
B．偏向目标的西侧
C．偏向目标的东侧
D．无论对准哪个方向都无法击中目标
B　[炮弹的实际速度方向沿目标方向，该速度是船的速度与射击速度的合速度，根据平行四边形定则，知射击的方向偏向目标的西侧．故B正确，A、C、D错误．]
3．(加试要求)手持滑轮把悬挂重物的细线拉至如图4 1 4所示的实线位置，然后滑轮水平向右匀速移动，运动中始终保持悬挂重物的细线竖直，则重物运动的速度(　　)
图4 1 4
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
A　[滑轮水平向右匀速运动过程中，悬挂物块的细线保持竖直，物体具有与滑轮相同的水平速度，同时重物竖直方向匀速上升，其距离与滑轮水平向右的距离相同，故重物竖直上升的速度恒定不变，且与水平方向速度大小相等，因此重物运动的速度方向斜向右上方，与水平方向成45°角，大小恒定，A正确．]
4．2016年，全国山地自行车冠军赛第二站在山东威海举行．如图4 1 5所示，若在某一路段车手骑自行车以4
m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速也是4
m/s，则车手感觉的风速为________
m/s，方向是________．
图4 1 5
【解析】　以人为参考系，气流在水平方向上向西有4
m/s的速度，向南有4
m/s的速度，所以合速度为4
m/s，方向为西南方向，如图所示．
【答案】　4　西南
考点三|
实例分析
1．首先根据运动的实际效果确定两个分运动，而实际运动为合运动．注意只有实际运动才是合运动(平行四边形的对角线)．
2．两分运动具有等效性、等时性和独立性．
1．小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)最短时间问题：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．
(4)过河路径最短
v2α＝.
2．绳(杆)端速度分解的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图4 1 6所示．
图4 1 6
1．(多选)(2017·广西南宁模拟)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是(　　)
AB　[当船头垂直指向河岸时，船在静水中的速度与水流速度的合速度方向偏向下游，故A正确，C错误；当船头偏上游时，若船在静水中的速度与水流速度的合速度垂直河岸，则船的运动轨迹垂直河岸，故B正确；当船头偏向下游时，船在静水中的速度与水流速度的合速度方向应偏向下游，故D错误．]
2．(2017·诸暨期末)某条河的宽度为120
m，水流速度恒为3
m/s，一条小船在静水中的速度为4
m/s，则小船渡河的最短时间为(　　)
A．17
s　
B．24
s
C．30
s
D．40
s
【答案】　C
3．小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是(　　)
A．水速小时，位移小，时间也小
B．水速大时，位移大，时间也大
C．水速大时，位移大，但时间不变
D．位移、时间大小与水速大小无关
C　[小船渡河时参与了顺水飘流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间取决于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船“以一定速率垂直河岸向对岸划去”，故渡河时间一定．水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小．故选C.]
4．(加试要求)(多选)如图4 1 7所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则(　　)
图4 1 7
A．vA>vB
B．vAC．绳的拉力等于B的重力
D．绳的拉力大于B的重力
AD　[小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知vB＝vAcos
θ，则vB1．实验目的
(1)用实验的方法描出平抛运动的轨迹．
(2)用实验轨迹求解平抛物体的初速度．
2．实验原理
使小球做平抛运动，利用描迹法描绘小球的运动轨迹，建立坐标系，测出轨迹曲线上某一点的坐标x和y，由公式：x＝v0t和y＝gt2，可得v0＝x.
3．实验器材(以斜槽法为例)
斜槽(带小球)、木板及竖直固定支架、白纸、图钉、重垂线、三角板、铅笔、刻度尺．
4．实验步骤(以斜面小槽法为例)
图1
(1)按实验原理图1所示安装实验装置，使斜槽末端水平．
(2)以水平槽末端端口上小球球心位置为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴．
(3)使小球从斜槽上同一位置由静止滚下，把笔尖放在小球可能经过的位置上，如果小球运动中碰到笔尖，就用铅笔在该位置画上一点．用同样方法，在小球运动路线上描下若干点．
(4)将白纸从木板上取下，从O点开始连接画出的若干点描出一条平滑的曲线．
1．实验注意事项
(1)固定斜槽时，要保证斜槽末端的切线水平，保证小球的初速度水平．
(2)固定木板时，木板必须处在竖直平面内且与小球运动轨迹所在的竖直平面平行，固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直．
(3)小球每次从斜槽上的同一位置由静止释放，为此，可在斜槽上某一位置固定一个挡板．(4)要在斜槽上适当高度释放小球，使它以适当的水平初速度抛出，其轨迹由木板左上角到达右下角，这样可以减小测量误差．
(5)坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木板上的投影点．
(6)计算小球的初速度时，应选距抛出点稍远一些的点为宜．以便于测量和计算．
2．判断平抛运动的轨迹是不是抛物线
(1)原理：若平抛运动的轨迹是抛物线，则当以抛出点为坐标原点建立直角坐标系后，轨迹上各点的坐标具有y＝ax2的关系，且同一轨迹上a是一个特定的值．(2)验证方法方法一：代入法
用刻度尺测量几个点的x、y坐标，分别代入y＝ax2中求出常数a，看计算得到的a值在误差范围内是否为一常数．
方法二：图象法
建立y x2坐标系，根据所测量的各个点的x、y坐标值分别计算出对应y值的x2值，在y x2坐标系中描点，连接各点看是否在一条直线上，并求出该直线的斜率即为a值．
3．计算平抛运动的初速度
(1)平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x及竖直位移y，就可求出初速度v0.因x＝v0t，y＝gt2，故v0＝x.
图2
(2)平抛轨迹残缺(即无抛出点)
如图2所示，由轨迹上任取三点A、B、C，使A、B间及B、C间的水平距离相等，由平抛运动的规律可知，A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2所以t＝，所以初速度v0＝＝x.
1．[实验原理及实验操作]在做研究平抛物体的运动的实验中，在调整斜槽时，必须使斜槽末端切线方向水平，这样做的目的是(　　)
A．为了使小球初速度每次都相同
B．为了使小球运动轨迹是抛物线C．为了使小球飞出时，初速度方向水平
D．为了使小球在空中运动时间每次都相等
C　[小球平抛的初速度大小与释放点高度有关，运动轨迹是否是抛物线与斜槽末端的切线水平无关，小球在空中运动的时间主要由高度决定，故选项A、B、D错误；只有斜槽末端切线水平，才能保证小球离开槽口后做平抛运动．]
2．[实验数据的处理]如图3甲所示是“研究平抛运动”的实验装置图．图乙是实验后记录的数据，其中O点为抛出点，则此小球做平抛运动的初速度为________
m/s.
图3
【解析】　由平抛运动的规律知，在水平方向上小球做匀速直线运动，则x＝v0t①
竖直方向上小球做自由落体运动，则y＝gt2②
将其中一组数据如x＝32.0
cm，y＝19.6
cm代入①②式得v0＝1.6
m/s.
【答案】　1.6第2节　平抛运动
考点一|
平抛运动的基本规律
1．性质
加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
2．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan
θ＝＝.
(4)合位移：x＝，方向与水平方向的夹角为α，tan
α＝＝.
3．对规律的理解(加试要求)
(1)飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
(2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
(3)落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向的夹角，有tan
θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
　(2016·浙江4月学考)某卡车在公路上与路旁障碍物相撞．处理事故的警察在泥地中发现了一个小的金属物体，经判断，它是相撞瞬间车顶上一个松脱的零件被抛出而陷在泥里的．为了判断卡车是否超速．需要测量的量是(　　)
A．车的长度，车的重量
B．车的高度，车的重量
C．车的长度，零件脱落点与陷落点的水平距离
D．车的高度，零件脱落点与陷落点的水平距离
D　[根据题意和实际情景分析，零件在卡车撞停时，由于惯性向前飞出，不计空气阻力，视为做平抛运动，测出水平位移和高度，由h＝gt2，x＝v0t，得v0＝x，故D正确．]
　(2015·浙江10月学考)如图4 2 1甲所示，饲养员对着长l＝1.0
m的水平细长管的一端吹气，将位于吹气端口的质量m＝0.02
kg的注射器射到动物身上．注射器飞离长管末端的速度大小v＝20
m/s.可视为质点的注射器在长管内做匀变速直线运动，离开长管后做平抛运动，如图乙所示．若动物与长管末端的水平距离x＝4.0
m，求注射器下降的高度h.
图4 2 1
【解析】　由平抛运动规律有x＝vt
得t＝＝0.2
s
由h＝gt2
得h＝0.2
m.
【答案】　0.2
m
1．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬间速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图4 2 2中A点和B点所示．
图4 2 2
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan
α＝2tan
θ.
2．平抛运动的求解方略——运动分解
(1)→→
→
(2)时间相等是联系两个分运动的桥梁．
(3)注意速度、位移的合成与分解．
1．关于做平抛运动的物体，说法正确的是(　　)
A．速度始终不变
B．加速度始终不变
C．受力始终与运动方向垂直
D．受力始终与运动方向平行
B　[物体做平抛运动的条件是物体只受重力作用，且初速度沿水平方向，故物体的加速度始终不变，大小为g，B正确；物体的平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，其合运动是曲线运动，速度的大小和方向时刻变化，A错误；运动过程中，物体所受的力与运动方向既不垂直也不平行，C、D错误．]2．(2017·嘉兴高三检测)关于从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，比较它们落到水平地面上的时间(不计空气阻力)，以下说法正确的是(　　)
A．速度大的时间长
B．速度小的时间长
C．一样长
D．质量大的时间长
C　[水平抛出的物体做平抛运动，由y＝gt2得t＝，其下落的时间由下落的高度决定，从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，落到水平地面上的时间相同，A、B、D错误，C正确．]
3．(2016·浙江10月学考)一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出，水管距地面高h＝1.8
m，水落地的位置到管口的水平距离x＝1.2
m，不计空气及摩擦阻力，水从管口喷出的初速度大小是(　　)
A．1.2
m/s
B．2.0
m/s
C．3.0
m/s
D．4.0
m/s
B　[水从管口喷出后做平抛运动，此时运动时间由竖直方向上的h决定，根据h＝gt2得t＝＝0.6
s，水平方向做匀速直线运动，由x＝v0t得初速度v0＝2.0
m/s，B选项正确．]
4．如图4 2 3所示，滑板运动员以速度v0从离地高度为h的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是(　　)
图4 2 3
A．v0越大，运动员在空中运动时间越长
B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大
C．运动员落地瞬间速度方向与高度h无关
D．运动员落地位置与v0大小无关
B　[运动员在竖直方向上做自由落体运动，运动员做平抛运动的时间t＝，只与高度有关，与速度无关，A项错误；运动员的末速度是由初速度和竖直方向上的速度合成的，合速度v＝，初速度越大，合速度越大，B项正确；物体在竖直方向上的速度vy＝，高度越高，落地时竖直方向上的速度越大，故合速度方向与高度h有关，C项错误；运动员在水平方向上做匀速直线运动，落地的水平位移x＝v0t＝v0，故落地的位置与初速度有关，D项错误．]
5．(加试要求)(多选)如图4 2 4所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)
图4 2 4
A．小球水平抛出时的初速度大小
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D．若小球初速度增大，则θ减小
AD　[由tan
θ＝可得小球平抛的初速度大小v0＝，A正确；由tan
α＝＝＝＝tan
θ可知，α≠，B错误；小球平抛运动的时间t＝，与小球初速度无关，C错误；由tan
θ＝可知，v0越大，θ越小，D正确．]
考点二|
与斜面有关的平抛运动问题
1．从斜面上平抛(如图4 2 5)
图4 2 5
已知位移方向，方法：分解位移
x＝v0t
y＝gt2
tan
θ＝
可求得t＝
2．对着斜面平抛(如图4 2 6)
图4 2 6
已知速度的大小或方向，方法：分解速度
vx＝v0
vy＝gt
tan
θ＝＝
可求得t＝
物体从斜面平抛又落在斜面上问题的五条规律
1．物体的竖直位移与水平位移之比是同一个常数，这个常数等于斜面倾角的正切值；
2．物体的运动时间与初速度成正比；3．物体落在斜面上，位移方向相同，都沿斜面方向；
4．物体落在斜面上时的速度方向平行；
5．当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面的距离最远．
1．如图4 2 7所示，以10
m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ＝30°的斜面上，g取10
m/s2，这段飞行所用的时间为(　　)
图4 2 7
A.
s　　　B.
s　　　C.
s　　　D．2
s
C　[
如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v0和竖直方向的分速度vy，则有＝cot
30°，
又vy＝gt
将数值代入以上两式得t＝
s．故选C.]
2.如图4 2 8所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球改用2v0抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为(　　)
图4 2 8
A．1∶1
B．1∶2
C．1∶3
D．1∶4
B　[因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan
θ＝＝，所以＝.故选B.]
3．(2017·台州模拟)如图4 2 9所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为(　　)
图4 2 9
A．1∶1
B．2∶1
C．3∶2
D．2∶3
C　[小球A、B从同一高度平抛，到斜面上的C点经历的时间相等，设为t，由题意可得：tan
30°＝，tan
30°＝，解得：v1∶v2＝3∶2，C正确．]
4．(加试要求)如图4 2 10所示，两个相对的斜面，倾角分别为α＝37°和β＝53°.在顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则a、b两个小球的运动时间之比为(　　)
图4 2 10
A．1∶1
B．4∶3
C．16∶9
D．9∶16
D　[对a有＝tan
α，得
ta＝①
对b有＝tan
β，得
tb＝②
将数值代入①②得
ta∶tb＝9∶16.故选D.]
5．(加试要求)如图4 2 11所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O点水平飞出，经过3
s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50
kg.不计空气阻力(sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8；g取10
m/s2)．求：
图4 2 11
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间.
【解析】　(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有
Lsin
37°＝gt2
L＝＝75
m.
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcos
37°＝v0t，
即v0＝＝20
m/s.
(3)运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v0cos
37°、加速度为gsin
37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin
37°、加速度为gcos
37°)．
当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v0sin
37°＝gcos
37°·t，解得t＝1.5
s.
【答案】　(1)75
m　(2)20
m/s　(3)1.5
s

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