资源简介

基础点
知识点1　　宇宙速度
1．第一宇宙速度(环绕速度)
(1)第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度，其大小为v1＝7.9
km/s。
(2)第一宇宙速度的求法：
①＝m，所以v1＝
。
②mg＝，所以v1＝。
(3)第一宇宙速度既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度。
2．第二宇宙速度(脱离速度)：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其大小为v2＝11.2
km/s。
3．第三宇宙速度(逃逸速度)：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其大小为v3＝16.7
km/s。
知识点2　　人造地球卫星
1．人类发射的绕地球运行的所有航天器均可称为人造地球卫星，它们的轨道平面一定通过地球球心。
2．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径。
3．地球同步卫星
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。
(2)周期
一定：与地球自转周期相同，即T＝24
h＝86400
s。
(3)高度一定：离地面高度h＝r－R≈6R(R为地球半径)。
(4)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。
知识点3　　时空观
1．经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态的改变而改变的。
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。
2．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量是随物体运动速度的增大而增大的，用公式表示为m＝。
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
3．狭义相对论的两条基本假设
(1)相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是不同的。
(2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的。
重难点
一、卫星的运动规律
1．卫星的轨道特点：一切卫星轨道的圆心与地心重合。因为万有引力提供向心力，故地心和轨道的圆心重合。
2．卫星的动力学特点：卫星绕地球的运动近
( http: / / www.21cnjy.com )似看成圆周运动，万有引力提供向心力，类比行星绕太阳的运动规律，同样可得：G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可推导出：
＝越高越慢
特别提醒
轨道半径r一旦确定，a、v、ω、T就确定了
( http: / / www.21cnjy.com )，与卫星的质量无关。同时可以看出，在a、v、ω、T这四个物理量中，只有T随r增大而增大，其他三个物理量都随r的增大而减小。这一结论在很多定性判断中很有用。
3．同步卫星的特点
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通信卫星。同步卫星有以下“七个一定”的特点：
(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面。
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24
h。
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。
(4)高度一定：由G＝m(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝
－R≈6R＝3.6×107
m。
(5)速率一定：v＝
＝3.1×103
m/s。
(6)向心加速度一定：由G＝ma得a＝＝gh＝0.23
m/s2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度。
(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致。
特别提醒
其他卫星的绕行方向可以不与地球自转方向一致。
4．同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较
如图所示，用A代表同步卫星，B代表近地卫星，C代表赤道上的物体。用M代表地球质量，R代表地球半径，h代表同步卫星离地表的高度。
(1)同步卫星A与近地卫星B的比较：同步卫
( http: / / www.21cnjy.com )星A和近地卫星B都是卫星，绕地球运行的向心力由地球对它们的万有引力提供，所以卫星的运动规律都适用。由v＝
，T＝2π
，a＝
，可得＝
，＝，＝。
(2)同步卫星A与赤道上物
( http: / / www.21cnjy.com )体C的比较：赤道上的物体C随地球自转的向心力由万有引力的一个分力提供，所以卫星的运动规律对赤道上的物体不适用。但因C和A的周期T相同，故可用圆周运动的知识分析。由v＝，a＝可得，＝，＝。
综上可知，对同步卫星A、近地卫星B和赤道上的物体C而言，有TA＝TC＞TB，vB＞vA＞vC，aB＞aA＞aC。
特别提醒
极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。所以常用于军事上面的侦察卫星，它的运行规律同其他卫星相同。
二、宇宙速度
1．第一宇宙速度的理解和推导
(1)在人造卫星的发射过程中火箭要克服
( http: / / www.21cnjy.com )地球的引力做功，所以将卫星发射到越高的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到贴近地面的轨道上运行。故有：
G＝m，v1＝
＝7.9
km/s。
或mg＝m，v1＝＝7.9
km/s。
(2)第一宇宙速度的两个表达式，不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M、R、g应是相应星球的质量、半径和表面的重力加速度。
2．三种宇宙速度的比较
宇宙速度
数值
意义
第一宇宙速度(环绕速度)
7.9
km/s
卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，最大环绕速度。若7.9
km/s≤v<11.2
km/s，物体绕地球运行
第二宇宙速度(脱离速度)
11.2
km/s
物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。若11.2
km/s≤v<16.7
km/s，物体绕太阳运行
第三宇宙速度(逃逸速度)
16.7
km/s
物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。若v≥16.7
km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行
特别提醒
(1)当卫星的发射速度7.9
km
( http: / / www.21cnjy.com )/s＜v＜11.2
km/s时，物体绕地球做椭圆运动，发射速度越大，轨迹椭圆越“扁”。当11.2
km/s＜v＜16.7
km/s时，物体绕太阳运行，同理发射速度越大，轨迹椭圆也越“扁”。
(2)理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍，即v′＝
。这个关系对于其他天体也是正确的。
(3)对于一个质量为M的球状物体，当其半径R不大于时，即是一个黑洞。
三、卫星的变轨、能量及追赶(对接)
1．卫星的变轨
(1)变轨原理及过程
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
①为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
②在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
③在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
④过程简图：
(2)三个运行物理量的大小比较
①速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行
( http: / / www.21cnjy.com )时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
②加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
③周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别
( http: / / www.21cnjy.com )为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3。
2．卫星运行中的能量问题
(1)卫星(或航天器)在同一圆形轨道上运动时，机械能不变。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
卫星速率增大(发动机做正功
( http: / / www.21cnjy.com ))会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足G＝m，致使卫星在较高轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，但机械能增大；相反，卫星由于速率减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率，但机械能减小。
特别提醒
如果卫星的轨道半径r减小
( http: / / www.21cnjy.com )，线速率v将增大，周期T将减小，向心加速度a将增大，动能Ek将增加，势能Ep将减少，卫星总机械能E机必将减少；若要使轨道半径增大，则必须为其提供机械能。
3．卫星的追及和相遇问题
(1)典型问题
卫星运动中的“追及问题”研究的是“两个
( http: / / www.21cnjy.com )在不同的圆周轨道上运动的物体，何时相距最近(即相遇)或最远”的问题。相距最近的含义是：两个卫星(或物体)和圆周轨道的圆心三点在同一条直线上，且两个卫星(或物体)在圆心同侧；相距最远的含义是：两个卫星(或物体)和圆周轨道的圆心三点在同一条直线上，且两个卫星(或物体)在圆心异侧。
(2)解决办法
某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远
( http: / / www.21cnjy.com )之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。
特别提醒
航天飞机与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。
要使航天飞机与宇宙空间站成功“对接
( http: / / www.21cnjy.com )”，必须让航天飞机在较低轨道上加速，通过速度v的增大→所需向心力增大→做离心运动→轨道半径r增大→升高轨道的系列变速，从而完成航天飞机与宇宙空间站的成功对接。
1．思维辨析
(1)同步卫星可以定点在北京市的正上方。(　　)
(2)不同的同步卫星的质量不同，但离地面的高度是相同的。(　　)
(3)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。(　　)
(4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关。(　　)
(5)月球的第一宇宙速度也是7.9
km/s。(　　)
(6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。(　　)
(7)若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。(　　)
(8)人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。(　　)
(9)在地球上，若汽车的速度达到7.9
km/s，则汽车将飞离地面。(　　)
(10)“嫦娥三号”探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则周期较小的轨道半径一定较小。(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√　(7)√　(8)√　(9)√　(10)√
2．物体脱离星球引力所需要的最小速度称为
( http: / / www.21cnjy.com )第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1。已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D.
答案　B
解析　设某星球的质量为M，半径为r，
( http: / / www.21cnjy.com )绕其飞行的卫星质量为m，根据万有引力提供向心力，可得G＝m，解得：v1＝
，又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，可得G＝m，又r＝R和v2＝v1，解得v2＝，所以正确选项为B。
3．(多选)中国志愿者王跃参与人类历史
( http: / / www.21cnjy.com )上第一次全过程模拟从地球往返火星的一次实验“火星—500”活动，王跃走出登陆舱，成功踏上模拟火星表面，在火星上首次留下中国人的足迹，目前正处于从“火星”返回地球途中。假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则下列说法中正确的是(　　)
A．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P点速度大于在Q点的速度
B．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于轨道Ⅱ上运动的机械能
C．飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期相同
答案　AC
解析　由飞船在轨道Ⅱ上运动时机
( http: / / www.21cnjy.com )械能守恒可知，飞船在P点速度大于在Q点的速度，选项A正确；飞船从轨道Ⅰ加速过渡到轨道Ⅱ，所以飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能小于轨道Ⅱ上运动的机械能，选项B错误；飞船在空间同一点所受万有引力相同，所以飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度，选项C正确；飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期不相同，选项D错误。
　[考法综述]　本考点知识是高考的常考内容，万有引力定律的应用多以人造卫星与航天等现代科技为背景命题，常涉及卫星的发射、环绕、对接变轨能量等，复习时应掌握：
3个速度——第一、二、三宇宙速度
3类卫星——近地卫星、同步卫星、极地卫星
2种观点——经典时空观、相对论时空观
4个物理量——线速度、角速度、向心加速度、周期之间的相互关系
命题法1　卫星运行参量间的关系
典例1　　研究表明，地球自转在逐渐变慢
( http: / / www.21cnjy.com )，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比
(　　)
A．距地面的高度变大
B．向心加速度变大
C．线速度变大
D．角速度变大
[答案]　A
[解析]　同步卫星运行周期与地球自转周期相
( http: / / www.21cnjy.com )同，由G＝m(R＋h)·2有h＝
－R，故T增大时h也增大，A正确。同理由＝ma＝m＝m(R＋h)ω2可得a＝、v＝
、ω＝
，故h增大后a、v、ω都减小，B、C、D皆错误。
【解题法】　人造卫星问题的解题技巧
(1)利用卫星向心加速度的不同表述形式。
①G＝an②an＝＝rω2＝r来讨论分析。
(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律。
(3)与同步卫星相关的物理规律
①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×103
km，表面重力加速度g＝9.8
m/s2。
②月球的公转周期为1月(约27.3天，在一般估算中常取27天)。
③人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103
km，运行周期最小为T＝84.8分钟，运行速度最大为v＝7.9
km/s。
命题法2　几类卫星的相关知识
典例2　　有a、b、c、d四
( http: / / www.21cnjy.com )颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24
h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如下图所示，则下列关于卫星的说法中正确的是(　　)
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4
h内转过的圆心角为
C．b在相同的时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期可能是23
h
[答案]　C
[解析]　在地球赤道表面随地球自转的卫
( http: / / www.21cnjy.com )星，其所受万有引力提供重力和其做圆周运动的向心力，a的向心加速度小于重力加速度g，选项A错误；由于c为同步卫星，所以c的周期为24
h，因此4
h内转过的圆心角为θ＝，选项B错误；由四颗卫星的运行情况可知，b运动的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项C正确；d运行的周期比c要长，所以其周期应大于24
h，选项D错误。
【解题法】　赤道上的物体、近地卫星、同步卫星之间的关系比较
比较内容
赤道上的物体
近地卫星
同步卫星
向心力来源
万有引力的分力
万有引力
向心力方向
指向地心
重力与万有引力的关系
重力略小于万有引力
重力等于万有引力
线速度
v1＝ω1R
v2＝
v3＝ω3(R＋h)＝
v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度)
角速度
ω1＝ω自
ω2＝
ω3＝ω自＝
ω1＝ω3＜ω2
向心加速度
a1＝ωR
a2＝ωR＝
a3＝ω(R＋h)
＝
a1＜a3＜a2
命题法3　卫星的变轨问题
典例3　　(多选)如图为嫦娥三号登月轨
( http: / / www.21cnjy.com )迹示意图。图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点。a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是(　　)
A．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2
km/s
B．嫦娥三号在M点进入地月转移轨道时应点火加速
C．设嫦娥三号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2，则a1>a2
D．嫦娥三号在圆轨道a上的机械能小于在椭圆轨道b上的机械能
[答案]　BD
[解析]　嫦娥三号在环地球轨道上运行速度
( http: / / www.21cnjy.com )v总小于第一宇宙速度，则A错误；嫦娥三号要脱离地球需在M点点火加速让其进入地月转移轨道，则B正确；由a＝，知嫦娥三号在经过圆轨道a上的N点和在椭圆轨道b上的N点时的加速度相等，则C错误；嫦娥三号要从b轨道转移到a轨道需要减速，机械能减小，则D正确。
【解题法】　航天器变轨问题的分析
(1)卫星的变轨问题有以下两种情况。
①制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大
( http: / / www.21cnjy.com )于所需向心力，即F引＞，卫星做向心运动，轨道半径将变小。因此，要使卫星的轨道半径减小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动。
②加速变轨：卫星的速率增大时，使得万
( http: / / www.21cnjy.com )有引力小于所需向心力，即F引＜，卫星做离心运动，轨道半径将变大。因此，要使卫星的轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动。
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
命题法4　卫星的追及对接问题
典例4　　a是地球赤道上一幢建筑，b是
( http: / / www.21cnjy.com )在赤道平面内做匀速圆周运动、距地面9.6×106
m的卫星，c是地球同步卫星，某一时刻b、c刚好位于a的正上方(如图甲所示)，经48
h，a、b、c的大致位置是图乙中的(取地球半径R＝6.4×106
m，地球表面重力加速度g＝10
m/s2，π＝)(　　)
[答案]　B
[解析]　对卫星b有G＝m(R＋h)，而G＝mg，即gR2＝GM，所以卫星b的运动周期Tb＝2π
，代入数据解得Tb＝
h。故经48
h卫星b转过的圈数n＝＝8.64
圈。而同步卫星c的周期与地球的自转周期相同，即建筑a与同步卫星c都转过2圈，回到原来的位置，B正确。
【解题法】　解决卫星运动中“追及问题”的一般思路
(1)要弄清模型，是两个卫星(或物体)间的追及问题还是一个卫星与地面上物体之间的追及问题；
(2)要借助圆周运动知识和天体运动规律，分析清楚两者的周期关系，从而确定谁运动快、谁运动慢，谁前谁后；
(3)根据两个卫星(或物体)做圆周运动的圈数或角度关系列出方程求解。
1．(多选)我国发射的“嫦娥三号”
( http: / / www.21cnjy.com )登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4
m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103
kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8
m/s2。则此探测器(　　)
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9
m/s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103
N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
答案　BD
解析　月球表面重力加速度大小g月＝G
( http: / / www.21cnjy.com )＝·G＝g地＝1.66
m/s2，则探测器在月球表面着陆前的速度大小vt＝＝3.6
m/s，A项错；悬停时受到的反冲作用力F＝mg月＝2×103
N，B项正确；从离开近月圆轨道到着陆过程中，有发动机工作阶段，故机械能不守恒，C项错；在近月圆轨道上运行的线速度v月＝＜
，故D项正确。
2．如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则(　　)
A.＝
B.＝
C.＝2
D.＝2
答案　A
解析　万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力，有G＝m，所以v＝
，＝，A项正确。
3．(多选)在星球表面发射探测器，当发
( http: / / www.21cnjy.com )射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1。下列说法正确的有(　　)
A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大
B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大
答案　BD
解析　由G＝m得，v＝
eq
\r(\f(GM,R))，则有v＝
，由此可知探测器脱离星球所需要的发射速度与探测器的质量无关，A项错误；由F＝G及地球、火星的质量、半径之比可知，探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大，B项正确；由v＝
可知，探测器脱离两星球所需的发射速度不同，C项错误；探测器在脱离两星球的过程中，引力做负功，引力势能是逐渐增大的，D项正确。
4．已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为(　　)
A．3.5
km/s
B．5.0
km/s
C．17.7
km/s
D．35.2
km/s
答案　A
解析　航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动，由火星对航天器的万有引力提供航天器的向心力得
＝
同理＝
所以·＝2
v火＝·v地，而v地＝7.9
km/s
故v火＝
km/s≈3.5
km/s，选项A正确。
5．2013年我国相继完成
( http: / / www.21cnjy.com )“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月。以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝，其中G为引力常量，M为月球质量。若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为(　　)
A.(h＋2R)
B.(h＋R)
C.
D.
答案　D
解析　“玉兔”在月球表面时的机械能E1＝0
( http: / / www.21cnjy.com )。在高度为h的对接轨道上“玉兔”具有的势能Ep＝，根据＝m可得，“玉兔”在对接轨道上具有的动能Ek＝mv2＝，所以“玉兔”在对接轨道上具有的机械能E2＝Ek＋Ep＝，而在月球表面GM＝g月R2，所以E2＝。由功能关系可知，从开始发射到对接完成需对“玉兔”做功W＝E2－E1＝，D正确。
6．“嫦娥一号”探月卫星绕地运行一段时间后，
( http: / / www.21cnjy.com )离开地球飞向月球。如图所示是绕地飞行的三条轨道，轨道1是近地圆形轨道，2和3是变轨后的椭圆轨道。A点是2轨道的近地点，B点是2轨道的远地点，卫星在轨道1的运行速率为7.7
km/s，则下列说法中正确的是(　　)
A．卫星在2轨道经过A点时的速率一定小于7.7
km/s
B．卫星在2轨道经过B点时的速率一定大于7.7
km/s
C．卫星在3轨道所具有的机械能小于在2轨道所具有的机械能
D．卫星在3轨道所具有的最大速率大于在2轨道所具有的最大速率
答案　D
解析　卫星在近地圆形轨道的A点加速做离心运动
( http: / / www.21cnjy.com )才能进入轨道2或3，且进入轨道3加速获得的速率大于进入轨道2的，由此推知A、C错误，D正确。在B点虚拟一个圆轨道，则该圆轨道上B点的速率大于卫星在2轨道经过B点时的速率，又由v＝可知，该圆轨道上的速率小于1轨道上的速率，则卫星在2轨道经过B点的速率小于7.7
km/s，选项B错误。
7．如图所示，某极地轨道卫星
( http: / / www.21cnjy.com )的运行轨道平面通过地球的南北两极上空，已知该卫星从北纬60°的正上方，按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1
h，则下列说法正确的是(　　)
A．该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4
B．该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶2
C．该卫星的运行速度一定大于7.9
km/s
D．该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能
答案　A
解析　由题知卫星运行的轨迹所对圆
( http: / / www.21cnjy.com )心角为120°，即运行了三分之一周期，用时1
h，因此卫星的周期T＝3
h，由G＝mr可得T∝，又同步卫星的周期T同＝24
h，则极地卫星与同步卫星的半径之比为1∶4，A正确。由G＝m，可得v∝，故极地卫星与同步卫星的运行速度之比为2∶1，B错误。第一宇宙速度v＝7.9
km/s，是近地卫星的运行速度，而该卫星的运行速度小于7.9
km/s，故C错误。因卫星的质量未知，则机械能无法比较，D错误。
8．如图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最
( http: / / www.21cnjy.com )后阶段的示意图。首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月面高度为h1处悬停(速度为0，h1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面。已知探测器总质量为m(不包括燃料)，地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求：
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
(2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化。
答案　(1)g　
(2)mv2－mg(h1－h2)
解析　(1)设地球质量和半径分别为M和
( http: / / www.21cnjy.com )R，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为M′、R′和g′，探测器刚接触月面时的速度大小为vt。
由mg′＝G和mg＝G
得g′＝g，由v－v2＝2g′h2，得vt＝
(2)设机械能变化量为ΔE，动能变化量为ΔEk，重力势能变化量为ΔEp。
由ΔE＝ΔEk＋ΔEp
有ΔE＝mv－mg′h1＝m－mgh1
得ΔE＝mv2－mg(h1－h2)
一、双星模型
1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。
2．模型条件
(1)两颗星彼此相距较近。
(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。
(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．双星具有如下特点
(1)双星做匀速圆周运动的角速度相等，周期也相同；
(2)两颗恒星的向心力大小相等，都
( http: / / www.21cnjy.com )是由双星间相互作用的万有引力提供的，即m1ω2r1＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L(L是双星间的距离)，可得r1＝L，r2＝L，可以看出，固定点(圆心)离质量大的星球较近。
(3)双星的运动周期T＝2π。
(4)双星的总质量m1＋m2＝。
特别提醒
万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，此处应该是L；而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，此处为r1、r2，千万不可混淆。
二、多星模型
1．从19世纪初迄今的研究显示，大多数的恒星如果不是双星，就是超过两颗以上恒星组成的多星系统，如三合星、四合星等，这些也称为聚星。
2．模型特点
所研究星体的万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力。除中央星体外，各星体的角速度或周期相等。
3．已观测到稳定的三星系统存在形
( http: / / www.21cnjy.com )式有：(1)三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，如图1，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上，如图2。
宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星
( http: / / www.21cnjy.com )组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。稳定的四星系统存在多种形式，其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，如图3；另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于正三角形的中心O点，外围三颗星绕O点做匀速圆周运动，如图4。
4．分析求解双星或多星问题的两个关键点
(1)向心力来源：双星问题中，向心力来源于另一星体的万有引力；多星问题中，向心力则来源于其余星体的万有引力的合力。
(2)圆心或轨道半径的确定
( http: / / www.21cnjy.com )及求解：双星问题中，轨道的圆心位于两星连线上某处，只有两星质量相等时才位于连线的中点，此处极易发生的错误是列式时将两星之间的距离当作轨道半径；多星问题中，也只有各星体的质量相等时轨道圆心才会位于几何图形的中心位置，解题时一定要弄清题给条件。
【典例】　质量分别为m和M的两个星球
( http: / / www.21cnjy.com )A和B在万有引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影
( http: / / www.21cnjy.com )响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024
kg和7.35×1022
kg。求T2与T1两者平方之比。(结果保留3位小数)
[解析]　(1)求解两星球做圆周运动的周期。
两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度一样，周期也一样，其所需向心力由两者间的万有引力提供，由牛顿第二定律得：
对于M：G＝Mr1
对于m：G＝mr2
其中：r1＋r2＝L
由以上三式，可得：T＝2π
。
(2)对于地月系统，求T2与T1平方之比。
若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，由(1)可知其两球运行周期为：
T1＝2π
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得：
G＝mL
解得：T2＝
，故：＝＝1.012。
[答案]　(1)2π
　(2)1.012
[心得体会]
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对应学生用书《学霸团错题
( http: / / www.21cnjy.com )警示录》P009　　卫星种类很多，其作用也不尽相同，如果抓不住它们的力学特点以及运动特点，利用牛顿定律分析讨论问题，极易造成盲目套用“经验”而得出错误结论，现分析一例如下：
(多选)如右图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　)
A.＝　　　　　
B.＝2
C.＝
D.＝
[错解]
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[错因分析]　解本题时容易犯的错误是，不分青红皂白，由于思维定势，对近地卫星、同步卫星、地球赤道上的物体均由G＝ma＝m分析得出结论。
[正解]　本题中涉及三个物体，其已知量排列如下：
地球同步卫星：轨道半径r，运行速率v1，加速度a1；
地球赤道上的物体：轨道半径R，随地球自转的向心加速度a2；
近地卫星：轨道半径R，运行速率v2。
对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，有G＝m，故＝。
对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，有a＝ω2r，故＝。故选A、D。
[答案]　AD
[心得体会]
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