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2.5
德布罗意波
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三点剖析
一、德布罗意波
德布罗意波也称为“物质波”或“实物波”，是对微观粒子所具有的波动性的描述，是由法国物理学家德布罗意在1924年首先提出的.他把当时已发现的关于波粒二象性这一事实加以推广，提出一切微观粒子也都具有波粒二象性的论点.他认为19世纪在对光的研究上，只重视光的波动性，忽视了光的微粒性；而在对实体的研究上则过分重视了实体的微粒性，而忽略了实体的波动性.因此他提出了微观粒子也具有波动性的假设，德布罗意把粒子和波通过下面的关系联系起来，粒子的能量E和动量p与平面波的频率ν和波长λ之间的关系正像光子与光波的关系一样，即ν=，λ=且平面波沿着粒子运动方向传播（h为普朗克常量）.电子衍射实验完全证实了物质波的存在，它成为建立量子力学的重要基础之一.
二、电子的衍射和电子云
1.电子的衍射
1927年美国工程师戴维孙获得了电子束在晶体上的衍射图样.同时英国物理学家汤姆生也独立地完成了这一实验，从而证明了实物粒子也具有波动性.
2.电子云
描写原子或分子中电子在原子核外围各区域出现的几率的状况时，为直观起见，把电子的这种几率分布状况用图象表示时，以不同的浓淡程度代表几率的大小，这种图象所显示的结果，如电子在原子核周围形成云雾，故称“电子云”.在距原子核很远的地方，电子出现的几率几乎等于零，意味着不可能在那里发现电子；有些非常靠近核的区域，其几率也是零，也是无法发现电子的区域.
三、不确定性关系
微观粒子既具有波动性又具有粒子性，这个事实表明运用经典概念处理微观粒子的运动问题，其有效性是有一定限度的.
1927年春，海森堡在哥本哈根玻尔研究所看到云室中的电子轨迹是那么粗大，而电子本身并没有那么大，便思索如何解释云室中的电子轨迹问题.他觉得也许是电子的位置具有某种不确定性？经过分析发现，微观粒子的动量和位置坐标不能同时准确地确定，它们的不确定量的乘积，约为普朗克常量的数量级，量子力学的严格证明给出Δx·Δpx≥h4π，式中Δx表示粒子在x方向上的位置的不确定范围，Δpx表示在x方向上动量的不确定范围，其乘积不得小于一个常数h4π，h为普朗克常数.上式称为不确定关系或不确定原理，它是自然界的客观规律，是量子理论中的一个基本原理.
各个击破
【例1】以下说法正确的是（
）
A.物体都具有波动性
B.抖动细绳一端，绳上的波就是物质波
C.通常情况下，质子比电子的波长长
D.核外电子绕核运动时，并没有确定的轨道
解析：任何物体都具有波动性，故A项对，对宏观物体而言，其波动性难以观测，我们所看到的绳波是机械波，不是物质波，故B项错.
电子的动量往往比质子的动量小，由λ=知，电子的波长长，故C项错.
核外电子绕核运动的规律是概率问题，无确定的轨道，故D项对.
答案：AD
类题演练1
如果一个中子和一个质量为10
g的子弹都以103
m/s的速度运动，则它们的德布罗意波的波长分别是多长？（中子的质量为1.67×10-27kg）
解析：中子的动量为p1=m1v,子弹的动量为p2=m2v,据λ=知中子和子弹的德布罗意波长分别为λ1=,λ2=.
联立以上各式解得λ1=,λ2=
将m1=1.67×10-27
kg,v=1×103
m/s,
h=6.63×10-34
J·s,m2=1.0×10-2
kg
代入上面两式可解得λ1=4.0×10-10
m,λ2=6.63×10-35
m.
答案：4.0×10-10
m
6.63×10-35
m
【例2】说一说你对“电子云”的理解.
解析：电子云是一种形象化的比喻.电子在原子核外空间的某区域内出现，好像带负电荷的云笼罩在原子核的周围，人们形象地称它为电子云.电子是一种微观粒子，在原子如此小的空间（直径约10-10米）内做高速运动.核外电子的运动与宏观物体运动不同，没有确定的方向和轨迹，只能用电子云描述它在原子核外空间某处出现机会的大小.
答案：见“解析”.
类题演练2
原子中电子运动是不是存在“轨道”？
解析：设电子的动能Ek=10
eV，电子运动速度，v==106
m·s-1
速度的不确定度Δv=≈106
m·s-1
Δv—v
轨道概念不适用！
答案：不存在.
【例3】
人们能准确预知单个粒子的运动情况吗？
解析：由Δx·Δp≥可知，我们不能准确知道单个粒子的实际运动情况，但可以知道大量粒子运动时的统计规律.当粒子数很少时，我们不能预言粒子通过挡板上的狭缝后落在屏上的什么位置，但可以准确地知道粒子落在屏上某点的概率；概率大的位置正好是某种波通过狭缝发生衍射时产生亮条纹的位置.
答案：见“解析”.
类题演练3
质量为10
g的子弹，以300
m/s的速度射向靶子，试计算此子弹位置不确定性的范围.（其动量的不确定范围为0.02
%）
解析：Δpx=mv×0.02%=10×10-3×300×0.02×10-2
N·m·s-1=6×10-4
N·m·s-1
由Δx·Δpx≥知，位置的不确定性的范围是
Δx≥m=9×10-28
m
.
答案：大于等于9×10-28
m
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12.2
光子
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三点剖析
一、能量量子说和光子说
1.能量量子说
1900年，法国的物理学家普朗克提出.其内容是物体的热辐射所发出的电磁波是通过内部的带电谐振子向外辐射的，谐振子的能量是不连续的，是hν的整数倍，hν为一个能量子，其中ν是谐振子的振动频率，h是一个常量，称为普朗克常量，h=6.63×10-34
J·s.
2.光子说
爱因斯坦提出.其内容是：在空间传播的光是不连续的，是一份一份地向外传播，每一份叫做一个光子.一个光子的能量为E=hν，其中h是普朗克常量，ν是光的频率.
二、用光子假说解释光电效应
1.金属中的自由电子吸收了光子的能量后，其动能大到足以克服金属离子的引力而逃逸出金属表面，成为光电子，对一定的金属来说，逸出功是一定的，照射光的频率越大，光子能量越大，从金属中逸出的电子的初动能就越大，如果入射光的频率较低，它的能量小于金属的逸出功，就不能产生光电效应，这就是存在极限频率的原因。
2.光电效应规律中“光电流的强度”指的是光电流的饱和值，（对应从阴极发出的电子，全部被拉向阳极的状态）因为光电流未达到饱和值之前，其大小不仅与入射光的强度有关，还与光电管两极的电压有关，只有在光电流达到饱和值以后才和入射光的强度成正比.
3.光电效应方程表达式为Ek=hν-W0.
其中，Ek=meν2为光电子的初动能，W0为逸出功.
光电效应方程表明，光电子初动能与入射光的频率ν成线性关系，与光强无关.只有当hν>W0时，才有光电子逸出,ν0=就是光电效应的截止频率.
各个击破
【例1】
光子说是___________为解释光电效应而提出的，按照光子说，光子的能量是由光的___________决定的，光的强度是在垂直于光的传播方向上单位时间内通过单位面积的___________.
解析：光子说是爱因斯坦提出来的，光子说认为光子的能量是由光的频率决定的，即E=hν.光强度是指垂直于光的传播方向上单位时间内通过单位面积的能量.
答案：爱因斯坦
频率
能量
类题演练1
波长为0.50
μm的光的能量是多少？
解析：由E=hν知，光子的能量为E=hν=hcλ=6.63×10-34×J=6.8×10-20
J.
答案：6.8×10-20
J
【例2】下表给出了一些金属材料的逸出功.
材料
铯
钙
镁
铍
钛
逸出功（10-19
J）
3.0
4.3
5.9
6.2
6.6
现用波长为400
nm的单色光照射上述材料，能产生光电效应的材料最多有几种（普朗克常量h=6.6×10-34
J·s,光速c=3.0×108
m/s）(
)
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
解析：本题考查发生光电效应的条件，光子的能量及光波长、波速与频率的关系.
当单色光的频率大于金属的极限频率时便能产生光电效应，即照射光子的能量大于金属的逸出功.由E=hν及c=λν得E=hcλ，E=6.6×10-34×J=4.97×10-19
J
照射光光子的能量大于铯、钙的逸出功，能产生光电效应的材料有2种，故A项正确.
答案：A
类题演练2
已知金属铯的逸出功为1.9
eV,在光电效应实验中，要使铯表面发出的光电子的最大动能为1.0
eV,入射光的波长应为_____________m.
解析：本题考查光电效应方程、光子的能量E=hν的关系.由爱因斯坦光电效应方程
=hν-W得hν=+W=1.9
eV+1.0
eV=2.9
eV又E=hν,c=λν，
∴λ=m=4.3×10-7m.
答案：4.3×10-7
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12.4
光的波粒二象性
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三点剖析
一、光的波粒二象性
光既有波动性，又有粒子性，其实验基础分别是光的衍射和干涉、光电效应和康普顿效应.
1.个别的、高频的光子产生的效果，往往显示出粒子性，打在屏或底片上的位置是随机的，光子具有一定的能量和动量.
2.大量的、低频的光子产生的效果，往往显示出波动性.光子在空间各点出现的可能性的大小（概率），可以用波动规律来描述，物理学中把光波叫概率波.光波的强弱表现出的光子数的多少.
3.光是把粒子性和波动性有机结合在一起的矛盾统一体,在传播时表现为波动的性质，有一定的波长和频率，在和物质作用时表现出粒子的特性.
二、概率波
由以前所学的知识我们知道干涉现象是光的特性，也就是说光能产生干涉就说明光是一种波，但我们还知道，光能使某些金属产生光电效应，根据量子假说，我们还知道光是一种粒子，但粒子为什么会发生干涉形成明暗相间的条纹？要使光的干涉现象既能用波解释又能用粒子解释，那只有引入概率的概念，我们可以把干涉形成的明暗相间的条纹看成是大量光子按一定的概率进行叠加形成的，也就是说光是一种概率波.
各个击破
【例1】
下列说法正确的是(
)
A.有的光是波，有的光是粒子
B.光子与电子是同样的一种粒子
C.光的波长越长，其波动性越显著；波长越短，其粒子性越显著
D.γ射线具有显著的粒子性，不具有波动性
解析：光同时有波粒二象性，只不过在有的情况下波动性显著，有的情况下粒子性显著，光的波长越长，越容易观察到其显示的波动特性，因此A、D两项错而C项正确，光子不同于一般的实物粒子，它没有静止质量，是一个个的能量团，是光能量的最小单位.
答案：C
类题演练
有关光的本性，下列说法正确的是（
）
A.光既具有波动性，又具有粒子性，这是互相矛盾和对立的
B.光的波动性类似于机械波，光的粒子性类似于质点
C.大量光子才具有波动性，个别光子只具有粒子性
D.由于光既有波动性，又有粒子性，无法只用其中一种去说明光的一切行为，只能认为光具有波粒二象性
解析：19世纪初，人们成功地在实验中观察到了光的干涉、衍射现象，这属于波的特征，微粒说无法解释.但到了19世纪末又发现了光的新现象——光电效应，这种现象波动说不能解释，证实光具有粒子性.因此，光既具有波动性，又具有粒子性，但不同于宏观的机械波和机械粒子.波动性和粒子性是光在不同的情况下的不同表现，是同一客体的两个不同侧面、不同属性，我们无法用其中一种去说明光的一切行为，只能认为光具有波粒二象性.选项D正确.
答案：D
【例2】在单缝衍射实验中，中央亮纹的光强占从单缝射入的整个光强的95%以上，假设现在只让一个光子通过单缝，那么该光子(
)
A.一定落在中央亮纹处
B.一定落在亮纹处
C.可能落在暗纹处
D.落在中央亮纹处的可能性最大
解析：根据光的概率波的概念，对于一个光子通过单缝落在何处，是不可确定的，但概率最大的是落在中央亮纹处，可达95%以上.当然也可能落在其他亮纹处，还可能落在暗纹处，只不过落在暗纹处的概率很小而已，故只有C、D两项正确.
答案：CD
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12.3
康普顿效应及其解释
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三点剖析
对康普顿效应的理解
（1）经典解释（电磁波的解释）
单色电磁波作用于比波长尺寸小的带电粒子上时，引起受迫振动，向各方向辐射同频率的电磁波.
经典理论解释频率不变的一般散射可以，但对康普顿效应不能作出合理解释！
（2）光子理论解释
X射线为一些E=hν的光子，与自由电子发生完全弹性碰撞，电子获得一部分能量，散射的光子能量减小，频率减小，波长变长.
这个过程设动量守恒与能量守恒仍成立，则由电子：p=m0v;E=(设电子开始静止，势能忽略)；光子：p=h/λ;E=hν=h·，由以上几式得：λ-λ0=.
其中（h/m0c）=2.34×10-12
m称为康普顿波长.
如图2-3-2
图2-3-2
各个击破
【例题】
在康普顿散射中，入射光子波长为0.03，反冲电子的速度为0.6c,求散射光子的波长及散射角.
解析：反冲电子的能量增量为ΔE=mc2-m0c2=-m0c2=0.25
m0c2
由能量守恒定律，电子增加的能量等于光子损失的能量，故有=0.25m0c2
散射光子波长λ=
=4.3×10-12m=0.043
由康普顿散射公式，Δλ=λ-λ0==2×0.024
3sin2
可得sin2=0.267
5，
散射角为φ=62°17′.
答案：0.043
62°17′
类题演练
证明康普顿散射实验中，波长为λ0的一个光子与质量为m0的静止电子碰撞后，电子的反冲角θ与光子散射角φ之间的关系为tanθ=.
解析：将动量守恒式写成分量形式mvsinφ-sinφ=0
①
mvcosθ+cosφ=
②
及康普顿效应结论：λ-λ0=
③
由①②得
tanθ=
上式分子为
sinφ=2sin
分母为
将③代入
-cosφ=2sin2·2sin2=2sin2
所以tanθ=.
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12.1
光电效应
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三点剖析
一、光电效应实验与规律
1.光电效应实验
研究光电效应规律的实验装置如图2-1-2所示，其中S是抽成真空的容器，C是石英窗口，紫外光和可见光都可以通过它射到容器里的金属板K上，在K的对面有另一金属板A，K和A组成一对电极，把K跟电池组的负极相连，A跟正极相连.
图2-1-2
（1）在没有光照射K时，电压表有示数，电流表没有示数.
（2）保持A、K间电压一定，灯泡亮度一定，在窗口C前依次放上红色、橙色、绿色滤光片，观察到红光照射金属板K时没有光电流，橙光和绿光照射时，有光电流.
（3）逐渐减小K、A间的正向电压，直到电压为零时，电流表仍有示数，说明光电流依然存在，如果在K、A间加一反向电压，则光电流变小，反向电压增大到某一值时，使光电流刚好为零。
（4）给光电管电极K、A间加正向电场，以高于极限频率的光入射，保持电压不变，增加入射光的强度，发现光电流的强度增大.
2.光电效应的规律
序号
规律
1
任何一种金属都有一个极限频率，入射光频率必须大于这个极限频率才能发生光电效应
2
光电子的最大初动能与入射光的强度无关，只随着入射光频率的增大而增大
3
入射光照到金属上时，光电子的发射几乎是瞬时的，一般不超过10-9
s
4
当入射光频率大于极限频率时，保持频率不变，光电流的强度与入射光的强度成正比
二、正确理解光电效应的两个关系及光电效应与经典理论的矛盾
1.光电效应规律中的两个关系
在光电效应实验规律中，有两个关系：
（1）光电子的最大初动能mvm2,随入射光频率ν的增大而增大.
（2）光电流的强度跟入射光的强度成正比.
注意第一个关系中并不是成正比,而第二个关系是成正比,根据爱因斯坦光电效应方程mv2=hν-W.对于某一金属而言，逸出功W是一定值，普朗克常量h是一常数，故从上式可以看出，最大初动能mvm2与入射光频率ν是成一次函数关系，而不是成正比的.光电流的强度是由从金属表面逸出的光电子数目决定的，而从金属表面逸出的光电子数目是由入射光子的数目决定的，入射光子数目的多少又是由入射光的强度决定的，所以，我们容易推得，光电流的强度跟入射光的强度成正比.
2.经典理论与光电效应的矛盾
经典波动理论认为，光是一种电磁波，光的强度取决于振幅大小，振幅越大，光就越强.金属在光的照射下，其中的自由电子就会由于光的变化着的电磁场作用而做受迫振动，无论照射光的频率如何，只要光足够强，自由电子受迫振动的幅度就会足够大，这样就可以产生光电效应，而这与实验事实恰恰相反，关于照射时间的问题，波动观点更是陷入了困境，如果光强很微弱，则在从光开始照射到光电子的发射之间应该有一个可测的滞后时间，在这段时间内电子应从光束中不断吸收能量，一直到所积累的能量能够使它逸出金属表面为止，这与光电效应的瞬时性存在严重的矛盾，既然光电效应与传统的波动理论存在如此巨大的矛盾，因此，这个理论不适用于解释微观粒子的运动.
各个击破
【例1】
在演示光电效应的实验中，原来不带电的一块锌板与灵敏验电器相连.用弧光灯照射锌板时，验电器的指针就张开一个角度，如图2-1-3所示，这时
（
）
图2-1-3
A.锌板带正电，指针带负电
B.锌板带正电，指针带正电
C.锌板带负电，指针带正电
D.锌板带负电，指针带负电
解析：本题应从光电效应，验电器原理来考虑解答。锌板原来不带电，验电器的指针发生了偏转，说明锌板在弧光灯的照射下发生了光电效应，发生光电效应时，锌板向空气中发射电子，所以锌板带正电，验电器的指针亦带正电.故选B项.
答案：B
类题演练1
如图2-1-4所示，电路中所有元件完好，但光照射到光电管上，灵敏电流计中没有电流通过，其原因可能是（
）
图2-1-4
A.入射光太弱
B.入射光波长太长
C.光照时间短
D.电源正负极接反
解析：只要入射光的频率大于极限频率，就会有光电子射出，只要所加反向电压大于遏止电压，电子达不到阳极也不会有光电流，故仅B、D两项正确.
答案：BD
变式提升
在做光电效应演示实验时，把某金属板连在验电器上，第一次用弧光灯直接照射金属板，验电器的指针张开一个角度，第二次在弧光灯和金属板之间插入一块普通玻璃，再用弧光灯照射，验电器的指针不张开.由此可以判定，使金属板产生光电效应的是弧光灯中的(
)
A.可见光成分
B.红外线成分
C.无线电波成分
D.紫外线成分
解析：因为玻璃不能挡住可见光，且红外线与无线电波频率都比可见光小，故D项正确.
答案：D
【例2】
一束绿光照射某金属发生了光电效应，则下列正确的是（
）
A.若增加绿光的照射强度，则单位时间内逸出的光电子数目不变
B.若增加绿光的照射强度，则逸出的光电子将具有更大的动能
C.若改用紫光照射，则逸出的光电子将具有更大的动能
D.若改用紫光照射，则单位时间内逸出的光电子数目增加
解析：在光电效应中，入射光的频率决定能否发生光电效应，在能产生光电效应时，入射光的强度影响单位时间内逸出的光电子数目，入射光的频率影响逸出的光电子的初动能的大小.选项C正确.
答案：C
类题演练2
如图2-1-5所示，阴极K用极限波长λ0=0.66
μm的金属铯制成，用波长λ=0.50
μm的绿光照射阴极K调整两个极板电压，当A板电压比阴极高出2.5
V时，光电流达到饱和，电流表示数为0.64
μA,求
图2-1-5
（1）每秒钟阴极发射的光电子数和光电子飞出阴极时的最大初动能.
（2）如果把照射阴极绿光的光强增大为原来的2倍，每秒钟阴极发射的光电子数和光电子飞出阴极的最大初动能.
解析：（1）当阴极发射的光电子全部达到阳极A时，光电流达到饱和，由电流可知每秒到达阴极的电子数，即每秒发射的电子数.由爱因斯坦光电效应方程可计算最大初动能.
（2）光强加倍，每秒钟发射的光电子数加倍，但入射光频率不变，发射的光电子的最大初动能不变.
（1）光电流达到饱和时，阴极发射的光电子全部达到阳极A，阴极每秒钟发射的光电子的个数n==4.0×1012.
根据爱因斯坦光电效应方程，光电子的最大初动能：
mνm2=hν-W=
=6.63×10-34×3×108×()
J=9.5×10-20
J.
(2)如果照射光的频率不变，光强加倍，根据光电效应实验规律、阴极每秒发射的光电子数
n′=2n=8×1012
光电子的最大初动能仍然是=9.5×10-20
J.
答案：（1）4.0×1012个
9.5×10-20
J
(2)9.5×10-20
J
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