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例析利用二次函数的图象求一元二次方程的根
方程与函数是初中数学中的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解．本文举例说明，供同学们学习时参考．www.21-cn-jy.com
例1．(江西)已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．
解析：因为二次方程的根为二次函数的图象与x轴交点横坐标．根据已知条件 ，可知抛物线的对称轴为直线；根据图象可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标为，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程的解为3和－1．本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根．
例2．(宁夏) 二次函数是常数中，自变量与函数的对应值如下表：
1
2
3
1
1
(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
(2)一元二次方程是常数的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个 ．
① ②
③ ④
解析：本题以表格的形式给出二次函数的部分对应值，解题时可以选定三对值，求出二次函数解析式，再判断开口方向，求出顶点坐标．但这样去做计算量较大，观察表格的特征发现，与等距离的x对应的函数值相等，所以直线是抛物线的对称轴，因此抛物线的顶点坐标为(1，2)；观察表格发现：当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大，所以抛物线的开口向下．(2)一元二次方程是常数的根即为抛物线与x轴交点的横坐标，观察表格发现：与0之间一定有一个x的值，使＝0；2与之间一定有一个x的值，使＝0，所以的两根的取值范围是，故答案为③．21世纪教育网版权所有
例3．(内江)已知函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是( )
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
　　　　　
解析：本题以图象的形式给出信息,要判断关于的方程的根的情况，因为可化为，即，所以，方程的根即为抛物线与直线y＝－2的交点横坐标，作直线y=－2，观察图象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为D．本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标．21教育网
例4．(贵阳)二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程的两个根．　
(2)写出不等式的解集．　
(3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围．　
(4)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．　
解析：本题以图象的形式给出信息,考查了二次函数、二次方程、二次不等式这三个二次之间的关系．
(1)方程的根即抛物线与x轴交点的横坐标，观察图象得方程的两根为，；
(2)不等式的解集即抛物线位于x轴上方的那一段的x的范围，观察图象得不等式的解集为；
(3)抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为，结合图象得对称轴右边随的增大而减小，所以；21cnjy.com
(4)方程的解为抛物线与直线的交点，所以当时，抛物线与直线有两个交点，即方程有两个不相等的实数根的的取值范围是．21·cn·jy·com

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