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知识精讲与针对训练：二次函数的图象与性质
［知识要点］
1. 一般地，形如的函数叫作x的二次函数.
2. 如图，二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.
3. 二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点，它的图象与的图象关于x轴对称.
4. 二次函数的图象是一条抛物线，且关于y轴对称，当a>0时，它的开口向上，图象有最低点——原点；当a<0时，它的开口向下，图象有最高点——原点.|a|越大，开口越小.
5. 二次函数的图象与二次函数的图象形状相同，开口方向和对称轴也相同，但顶点坐标不同，的图象的顶点坐标是（0，b）.
6. 二次函数的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同，将的图象向右平移k个单位就得到的图象，再向上平移h个单位就得到的图象.
7. 二次函数的图象，当时，开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为（k，h）；当a<0时，开口向下，对称轴是直线x=k，顶点坐标为（k，h）.
8. 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点是.
【典型例题】
例1. 已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，则（ ）
A. a>0，b<0，c=0
B. a<0，b<0，c=0
C. a<0，b<0，c<0
D. a>0，b>0，c=0
答案：D
例2. 在同一直角坐标系中，直线y=ax+b和抛物线的图象只可能是图中的（ ）
答案：C
例3. 在同一直角坐标系中，函数的图象只可能是图中的（ ）
答案：D
例4. 抛物线的顶点在y轴上，则m的值为__________.
答案：
例5. 按要求求出下列二次函数的解析式：
（1）形状与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，－3）的抛物线的解析式；
（2）与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式；
（3）对称轴是y轴，顶点的纵坐标是，且经过（1，1）点的抛物线的解析式.
解：（1）
（2）
（3）
例6. 已知函数
（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；
（3）观察图象：x为何值时，y随x的增大而增大；
（4）观察图象：当x为何值时，y>0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y<0.
解：（1）原函数可化为，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线
当时，
（2）当时，，
∴抛物线与y轴交点坐标为
当y=0时，
解得，
∴抛物线与轴交点坐标为，
（3）当时，y随x的增大而增大
（4）当时，y>0
当时，y=0
当时，y<0
例7. 已知二次函数，根据下列给出的条件求出相应的k的值.
（1）抛物线的顶点在x轴上；
（2）抛物线的顶点在y轴上；
（3）抛物线的顶点在y=4x上.
解：利用顶点坐标公式可求出函数的顶点坐标为
（1）∵顶点在x轴上
∴
解得
∴抛物线的顶点在x轴上时，k=0或k=3
（2）∵顶点在y轴上
∴=0
∴
∴抛物线的顶点在y轴上时，k=0
（3）∵抛物线的顶点在y=4x上
∴
∴
∴抛物线的顶点在y=4x上时，.

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