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专题四　用锐角三角函数计算高度
　　本专题主要涉及高度的计算，如计算旗杆的高度，楼房的高度、山的高度等．此类问题的解题思路是构建直角三角形模型，一般需要将两个直角三角形联系起来，通过列方程解决问题．通过本专题的复习，应达到以下目标：能构建直角三角形解有关高度问题．
　　例　小刘同学为了测量雷州市三元塔的高度，如图1，她先在A处测得塔顶C的仰角为32°，再向塔的方向直行35米到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你帮助小刘计算出三元塔的高度（小刘的身高忽略不计，结果精确到1米）．
　　分析：要计算三元塔的高度，反映到几何图形上，就是求OC的长，根据已知条件可用含有OC的关系表示OA，OB，然后根据OA－OB=AB去求OC．
　　解：在Rt△AOC中，OA=．
　　在Rt△BOC中，OB=．
　　因为AB=OA-OB，
　　所以－＝35．
　　所以OC=≈34（米）．
　　所以三元塔的高度约是34米．
　　说明：利用直角三角形求高度，一般是从实际问题中构造直角三角形，或将已知图形中的两个直角三角形联合起来．
　　专题训练：
　　1．如图2，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（　　）．
　　A．2cm　
B．4cm　
C．6cm
　D．8cm
　　2．
“平阳府有座大鼓楼，半截子插在天里头”．如图3，为测量临汾市区鼓楼的高AB，在距B点50m的C处安装测倾器，测得鼓楼顶端A的仰角为40°12′，测倾器的高CD为1.3m，则鼓楼高AB约为________m（tan40°12′≈0.85）．
参考答案：
1．C
2．43.8专题六　用三角函数设计测量方案问题
　　用三角函数设计测量方案是中考试题中的常见题型．其中以测量河的宽度，测量物体的高度为重要题型，解决测量问题需要熟练掌握锐角三角函数在实际问题中的应用，能从实际问题中构造一个或两个直角三角形，并能根据自己所设计的方案进行有关的计算．
　　例　如图1，河边有一条笔直的公路L，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸点B到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：
　　（1）列出你测量所使用的测量工具；
　　（2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；
　　（3）用字母表示测得的数据，求出B到公路的距离．
　　分析：本题是一道求测量点到公路距离的实际问题．可构造用公共边的两个直角三角形来解决．
　　解：（1）测角器、尺子；
　　（2）测量示意图见图2；
　　测量步骤：
　　①在公路上取两点C，D，∠BCD，∠BDC为锐角；
　　②用测角器测出∠BCD=，∠BDC=；
　　③用尺子测得CD的长，记为m米；
　　④计算求值．
　　（3）设B到CD的距离为x米，
　　作BA⊥CD于点A，在△CAB中，x=CA·tan，
　　在△DAB中，，
　　所以，．
　　因为，所以．
　　所以．
　　说明：本题是一道测量距离的方案设计问题，解决问题的关键在于正确地构造直角三角形．
　　专题训练：
　　在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图3所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点
C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈，sin31°≈）
参考答案：
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x米．
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，所以BD=CD=x米．
在Rt△ACD中，∠DAC=31°，AD=AB＋BD=（20＋x）米，CD=x米．
因为，所以．
所以．所以这条河的宽度为30米．解直角三角形的中的数学思想
数学思想是数学的灵魂，学习了解直角三角形，下面向大家介绍其中的一些数学思想．
一、数形结合思想
在解直角三角形时，应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想加深对解直角三角形本质的理解．
例1
　已知tanA=，求sinA的值．
分析：此已知条件可转化为：已知Rt△ABC中，
∠C=90°，
tanA=，求∠A正弦值．
解：如图1，若设AC=3k，BC=4k，那么必有AB=5k，所以sinA=．
二、转化思想
将斜边三角形转化为直角三角形，是解决有关问题的重要的思想方法，解决的方法是作三角形的高．
例2
　如图2，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=8，求AC．
分析：已知三角形的两角和边，求其中的一边的长，我们可以通过作三角形的高，将原三角形转化为两个直角三角形求解．
解：作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，因为∠B=45°，
所以BD=AD=AB·sin45°=8×=4，
在Rt△ACD中，AD=4，∠C=60°，
所以AC=．
三、方程思想
通过设未知数表示三角形中的数量关系，构造方程解决问题的思想，即方程思想．
例3　如图3，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°．已知AB＝20
m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．
解：作CD⊥AB垂足为D，设气球离地面的高度是xcm，
在Rt△ACD中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x，
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，所以tan60°=，所以BD=
因为AB=AD-BD，所以20=x-，所以x=30+30，
所以气球离地面的高度是（30+30）m．
四、建模的思想
解直角三角形在生产、生活中有着广泛的应用，这就要求我们能从实际问题出发去分析、抽象、构建直角三角形模型．
例4
如图4，公路PQ和公路PN在P处交汇，∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路PN上由P向N方向行驶时，学校是否会受噪音的影响？设拖拉机的速度为18km/s，如果有影响，那么影响的时间是多长？
分析：学校是否会受影响，取决于点A到PN的距离与100m的长短的比较．
解：过点A作AB⊥PN，垂足为B，因为∠NPQ=30°，
所以AB=(m)<100m．
所以学校会受影响．设拖拉机行至C处时学校刚受影响，
超过D处时不在受影响，则AC=AD=100(m)，
在Rt△ABC中，BC=，
同理BD=60，所以CD=120．
所以学校受影响的时间为t=．
图1
图2
图3
图4专题五　用锐角三角函数解航海问题
　　航海问题主要包括求航行的时间、求航行速度、判断是否有触礁危险等，是考试中的热点问题．解决航行问题的关键是从实际问题中构建一个或两个直角三角形，通过三角函数直接解决或根据图形中的数量关系建立方程解决．
　　例1　如图1，灯塔A周围1
000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O处测得灯塔A在北偏东74°方向线上，这时O，A相距4
200米，如果不改变航向，此舰艇是否有触礁的危险？
　　分析：要判断舰艇是否有触礁的危险，关键比较点A到正东方向的距离与1
000米的大小，因此，需过点A向正东方向引垂线，转化为直角三角形中的问题．
　　解：如图1，过点A作AB与正东方向线垂直，垂足为B．
　　在Ｒt△AOB中，OA=4
200，∠AOB=90°－74°=16°．
　　AB=AO·sin∠AOB=4
200·sin16°
　　=4
200×0.275
6≈1
158（米）．
　　因为1
158>1
000，所以此舰艇按原航向继续航行没有触礁的危险．
　　说明：本题是一道比较简单的航行问题，不仅要能从实际问题中构造出直角三角形，而且还要注意一些解题技巧，如能用乘法的运算的，不用除法，能用正弦计算的，不用余弦．
　　例2　如图2，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
　　（1）试说明点B是否在暗礁区域外？
　　（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
　　分析：要判断点B是否在暗礁区域外．则需要计算BC的长度，看其长度是否大于16海里，若BC>16海里，则点B在暗礁区域外；要判断继续向东航行有无触礁危险，则需要计算船到岛C的最短距离，看是否小于16海里．若小于16海里，则有触礁的危险．为此，需要构造直角三角形解决．
　　解：（1）过点B作BD∥AE，交AC于点D．
　　因为AB=36×0.5=18（海里），∠ADB=60°，∠DBC=30°，
　　所以∠ACB=30°．
　　又∠CAB=30°，所以BC=AB．
　　即BC=AB=18>16．
　　所以点B在暗礁区域外．
　　（2）过点C作CH⊥AB，垂足为H，
　　在Rt△CHB中，∠BCH=30°，
　　令BH=x，则CH=x．
　　在Rt△ACH中，∠CAH=30°，
　　所以．
　　因为，所以．
　　解得．所以．
　　所以船继续向东航行有触礁的危险．
　　说明：有无触礁问题是航海中的热点，也是中考试题中经常出现的试题．解决此类问题需要正确理解题意，从实际问题构建直角三角形模型．
　　专题训练：
　　1．如图3，一艘船向正东方向航行，在B处测得有一灯塔在它的北偏东30°，距离为72海里的A处．当行至C处测得灯塔恰好在它的正北方向，求此时它与灯塔的距离AC（计算结果精确到0.1海里）．
　　2．如图4，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁．一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向．
问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？
参考答案：
1．据题意∠ABC=90°－30°=60°，AB=72．
在Rt△ABC中，因为sin∠ABC=，
所以AC=ABsin∠ABC=72sin60°=72×≈62.4（海里）．
2．过P作PC⊥AB于C点．
据题意知：AB=9×=3，∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°．
所以PC=BC．
在Rt△PAC中，．
即．
所以．
所以客轮不改变方向继续前进无触礁危险．专题二　特殊角的三角函数值
　　本专题主要是特殊角的三角函数值的有关计算，特殊角的三角函数值在解决实际问题中应用非常广泛，所以通过复习应达到以下目标：熟练掌握30°，45°，60°角的三角函数值，并能通过特殊角的锐角三角函数值进行简单的计算．
　　例1　tan30°的值等于（　　）．
　　A．　　B．　　C．　　D．
　　分析：本题考查特殊角三角函数值的理解情况，解决本题需要熟练记住特殊锐角的三角函数值．
　　解：选C．
　　说明：如果没有记住30°的正切值，可以先画一个含有30°角的直角三角形，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，找到三边关系，根据定义求解．
　　例2　计算tan60°+2sin45°-2cos30°的结果是（　　）．
　　A．2
　B．　
C．
　
D．1
　　分析：本题是一道与锐角三角函数值有关的计算问题，解决问题的关键是先确定函数值，然后再进行实数的运算．
　　解：tan60°＋2sin45°-2cos30°
　　．
　　故选C．
　　说明：与特殊角三角函数值有关的运算，先写出每个锐角函数值，然后转成具体的实数运算，应注意运算的顺序和计算的方法．
　　专题训练：
　　1．计算：｜－4sin45°｜+（cos60°－tan30°）=_____．
　　2．计算：sin30°+sin245°tan260°=______．
　　3．锐角A满足2sin（A－15°）=，则A=______．
　　4．如果，那么锐角的度数是（　　）．
　　A．15°　
B．30°　
C．45°　
D．60°
　　5．在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A，则cosB的值等于（　　）．
A．
　B．
　C．
　D．
参考答案：
1．1
2．0
3．75°
4．D
5．D专题一　锐角三角函数
　　本专题包括两个方面的知识点，一是锐角三角函数的概念，二是一般的锐角三角函数值的计算．这两个知识点是本章的基础，也是解决实际问题的关键，通过本专题的复习应达到以下目标：（1）掌握锐角三角函数定义；（2）掌握锐角三角函数值的几种不同的计算方法．
　　例1　三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin的值是（　　）．
　　A．　　B．　　C．　　D．
　　分析：本题是一道设计比较新颖的试题，它通过网格的特征给出解题信息，由正方形网格可知角的对边的长为3，邻边的长为4，要求sin，只要根据勾股定理求出三角形的斜边，再根据三角函数的定义计算即可．
　　解：设的对边为a，邻边为b，斜边为c，则a=3，b=4，所以，所以，选C．
　　说明：解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长，然后根据定义进行计算．
　　例2　如图2，△ABC中，∠C=90°，AC+BC=7（AC>BC），AB=5，则tanB=______．
　　分析：要求tanB，根据锐角三角函数的定义，则需要求对边AC和邻边BC的长，因为知道斜边AB=5，且AC+BC=7，所以可以根据勾股定理进行计算．
　　解：设AC=x，则BC=7-x，根据勾股定理，得
　　，解得．
　　所以．所以．
　　说明：本题的解题思路是根据已知条件确定∠B的对边和邻边的长，采用了一般的解题方法，并体现了方程思想在求三角函数值中的应用．实际上，本题是一道填空题，不通过计算直接观察就可以解决．因为斜边是5，且两条直角边的和为7，所以两条直角边的长分别是4和3．
　　例3　在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2AC，则cosA的值等于（　　）．
　　A．　
B．
　C．
D．
　　分析：已知三角形的两边的关系，要求cosA，根据三角函数的定义可知，，所以只要由已知条件求出即可．
　　解：因为，所以．
　　所以．选C．
　　说明：本题是一道选择题，解决问题时可以采用取特殊值的方法，即令AC=1，则AB=2．这样更简单．
　　专题训练：
　　1．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是（　　）．
　　A．　　B．　　C．　　D．2
　　2．在△ABC中，∠C=90°，，则边AC的长是（　　）．
　　A．　　B．3　　C．　　D．
　　3．如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（　　）．
　　A．　　　B．　　C．　　
D．
参考答案：
1．A
2．A
3．A专题三　直角三角形边角关系的应用
　　本专题主要是根据直角三角形边角的关系，确定边长、角的度数以及三角函数值等，此类问题是锐角三角函数解决实际问题中的一个过渡，通过本专题的复习，应达到以下目标：能根据直角三角形中的边角关系，求边长、角的度数以及锐角三角函数值等．
　　例1　如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，
∠C=120°，AB=8，则CD的长为（　　）．
　A．　　B．　　C．　　D．
　　分析：求CD的长可构造直角三角形利用三角函数求解：如图1，作AF⊥BC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E，则根据已知条件可求出DE=AF=AB·sinB，再根据三角函数求出CD的长．
　　解：作AF⊥BC于F，DE⊥BC并交BC的延长线于E．
　　在Rt△ABF中，因为AB=8，∠B=45°，
所以，
　　所以．
　　在Rt△CDE中，
　　因为，
　　所以，故选A．
　　说明：在利用锐角三角函数求边长时，若所求的边不在直角三角形内，则需将它转化到直角三角形中去，转化的途径比较多，如构造直角三角形或用已知的直角三角形的边或角来代替．
　　例2　如图2，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，
且，AC上有一点E，满足AE∶EC=2∶3．那么，
tan∠ADE是（　　）．
　　A．　
B．　
C．　
D．
　　分析：要求tan∠ADE值，需要构造包含∠ADE的直角三角形，为此需要过点E作EF⊥AD，再求出即可．
　　解：因为AD⊥BC，垂足为D，AB=AC，
　　所以∠BAD=∠CAD．
　　因为，∠B+∠CAD=90°，
　　所以．
　　作EF⊥AD交AD于F，则tan∠CAD．
　　所以．
　　因为AD⊥BC，EF⊥AD，
　　所以EF∥CB．
　　又AE∶EC=2∶3，所以AF∶FD=2∶3．所以．
　　所以．故选C．
　　说明：当要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构造直角三角形或寻找等角．本题采用了构造直角三角形的方法．
　　专题训练：
　　1．如图3，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=_____．
　　2．如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AC=，tan∠DAC=，则AB=（　　）．
　　A．5　　　
B．
　　C．　
D．
　　3．如图5，在△ABC中，∠B=60°，BC=2，中线CD⊥BC，求AB，tanA的值．
参考答案：
1．
2．A
3．因为∠B=60°，CD⊥BC，所以∠CDB=30°．
因为CB=2，所以DB=4，CD=．
所以AD=4，AB=8．
作CE⊥BD，则CE=，DE=3．
所以AE=7．所以tanA=．

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