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测量方案问题两例
《新课程标准》要求同学们学会，运用数学知识解决日常生活和其他学科中的问题．测量方案问题正是这样的问题
，希望同学们切实掌握．
例1．如图1，小明想测量校园内一棵不可攀的树的高度，由于无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识按以下要求设计一种测量方案．
（1）画出测量图案；
（2）写出测量步骤(测量数据用字母表示)；
（3）计算A，B间的距离．
分析：测量方案有多种，我们给出其中一种方案．
解：（1）测量图案如图2．
（2）把一面很小的镜子放在离树底(A)a米的点E处，然后沿着直线AE后退到点C，这时恰好在镜子里看到树梢顶点B，再用皮尺量得CE=b米，测出测量者的身高CD=
c米．
树(AB)的高度就可以求出来了．
（3）因为测量者的身体与树均垂直于地面，
所以∠DCE=∠BAE=90°，又∠BEA=∠DEC，
所以△DCE∽△BAE，所以，DC∶BA=CE∶AE，
即
c∶BA=b∶a，
所以，AB=．
则树(AB)的高度为米．
例2．（本题有2个小题，请从中任选一题作答）测量路灯的高度或河的宽度．
说明：①测量可以在有阳光的晴日里进行．
②测量者手头只有若干个标杆及测量长度的皮尺．
③画出相关图形，用a，b，…表示测量所得的数据．
题(1)：小明和爸爸一起散步，发现小区新安装了漂亮的路灯．决定测量一下路灯的高度，请你帮助小明设计一个测量方案．
题(2)：小杉星期天到郊外游玩，来到一条不能到达对岸的河边．决定测量一下小河的宽度(河岸大致平行)，请你帮助小彬设计一个测量方案．
分析：本题有两个小题供选作，解答时，选自己把握性大的题目作．
解：(1)在阳光下利用影长测路灯高．
如图3，设AB表示路灯高，BC为它的影长，DE为标杆高．
EF为它的影长，测得
BC=a．DE=b，EF=c．
由△ABC∽△DEF得：AB∶BC=DE∶EF，
即AB∶a=b∶c，所以，AB=．
(2)
测量小河的宽．
如图4，找到与河岸大致垂直的A，B两个目标，顺河岸找到点D．C点与AB在同一直线上，E点与A，D在同一直线上，并使CE∥BD，
测得BC=a，BD=b，CE=c．
令AB=x，由△ABD∽△ACE得：
，即，所以x=AB=．
评注：解答测量方案问题时应注意，设计方案要合理、实用，叙述要简洁，画图要正确．测塔高方案多
解直角三角形在实际生活中应用广泛，其中测塔高问题就是典型的例子．
例1
如图1，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测倾器．
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）．
（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）．
解：
方案1：（1）如图a（测三个数据）
（2）解：设HG=x
在Rt△CHG中，　CG=
在Rt△DHM中　，DM=．
所以=，所以x=．
方案2：（1）如图b（测四个数据）
（2）解：设HG=x
在Rt△AHM中，　AM=，
在Rt△DHM中　DM=，
所以=
+m
．
所以x=。
方案3：（1）如图c（测五个数据）（请大家写出计算式）．
以下两种方案（图d、e）或其他与其相似的图形不合理．
图d
A
H
G
B
D
C
α
β
n
方案1图a
M
A
H
G
B
D
C
图1
H
A
G
B
D
C
α
γ
n
m
β
方案3图c
M
H
A
G
B
D
C
α
γ
n
m
方案2图b
M
图e
A
H
G
B
D
C
γ
β
n
M
m
A
H
G
B
D
C图d
α
β
n
M利用解直角三角形测量物体高度
今天，为了承应数学课程标准总体目标“增强应用数学的意识”的要求，解直角三角形的知识有着更为广泛的应用，本文将求物体的高度的题目采撷几例，供读者学习参考。
求楼高
例1某地某时刻太阳光线与水平线的夹角为，此时在该地测得一幢
楼房在水平地面上的影长为30米，（如图1）求这幢楼房的高AB。（结果精确到1米。参考数据：0.52，，）
图1
图2
【解答】：设直线AE交水平地面于点C，如图2，由题意得：
，
BC=30米
，于点B。
在RtΔABC中，
所以（米）
答：这幢楼房的高约为18米。
二.求塔高
例2为测量某塔AB
的高度，在离该塔底部20米处目测其顶，仰角为
，目高1.5米，（如图3）试求该塔的高度。（）
图3
图4
【解答】：如图4所示，过点C作，交AB于点D。
在RtΔACD中，
所以
，所以
因此，AB=AD+DB=34+1.5=35.5（米）。
答：该塔的高度是35.5米。
三.求旗杆高
例3如图5，小鹏准备测量学校旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面BC与斜坡坡面CD上，测得旗杆在水平地面上的影长BC=20米，在斜坡坡面上的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成的角，且太阳光线AD与斜坡坡面CD互相垂直。请你帮小鹏求出旗杆AB的高度。（精确到1米）。（可供选用的数据：，）
图5
图6
【解答】：延长AD、BC交于点E，则。
因为
，CD=8米，所以
CE=2CD=16米
在RtΔABE中，BE=BC+CE=20+16=36米，由得
（米）
答：旗杆AB的高度约为20米。
四．求树高
例4如图7，在一个坡角为15"的斜坡上有一棵树，高为AB．当太阳光与水平线成50°时．测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m,求树高．(精确到0.1m)
图7
图8
【解答】：如图8，过点C作水平线与AB
的延长线交于点，则，
所以
。
在RtΔCDB中，
，
在RtΔACD中，
所以
（）
答：树高AB约为6.2。
五.求建筑物高
例5如图9，两建筑物的水平距离BC为27米，从点A测得点D的俯角，测得点C的俯角，求AB和CD两建筑物的高。
图9
图10
【解答】：过点A作AM∥BC交CD的延长线于M，由题意知四边形ABCM是矩形。
因为，所以。
在RtΔABC中，，所以
在RtΔAMD中，，因为，
所以
所以
答：建筑物AB的高为米，CD的高为米。《测量》知识解读
学习了相似三角形的有关知识，我们可以借助三角形相似测量旗杆的高度，下面从三个不同的方面介绍测量旗杆高度的方法.
方法一：利用阳光下的影子
测量：如图，身高为a的小明站在旗杆AB的影子的顶端处D处，同时测量小明的影长DE=b，和旗杆AB的影长BD=c.
计算：因为CE//AD，所以∠CED=∠ADB，
因为CD⊥BE，AB⊥BE，
所以∠CDE=∠ABD=90°，
所以△CDE∽△ABD，
所以，即,所以AB=
所以旗杆的高度为.
思路概括：由于太阳离地球非常远，而且太阳的体积比地球大得多，所以可以把太阳光线近似看成平行线.借助太阳光下的影子测量旗杆的高度，基本思路是利用太阳光是平行光线以及人，旗杆与地面垂直构造相似三角形，通过相似三角形对应边成比例列出关系式求解.
方法二：利用标杆
测量：如图，小华的眼睛到地面的高度CD=m，标杆GF的高度为n，小明与标杆的水平距离DF=a，旗杆与标杆的水平距离BF=b.
计算：作CE⊥AB于E，交GF于H，
因为GF⊥BD，AB⊥BD，所以GH//AE，
所以∠GHC=∠AEC，
因为∠GCH=∠ACE，所以△CGH∽△CAE，
所以，
因为CH=DF=a，GH=GF－HF=GF－CD=n－m，BD=DF+BF=a+b，
所以，
所以AE=，所以AB=AE+BE=+m.
所以旗杆的高度为+m.
思路概括：借助标杆测量旗杆的高度，思路是从人眼所在的部位向旗杆作垂线，根据人，标杆，旗杆与地面垂直构造相似三角形，利用相似三角形对边成比例列式计算.
方法三：利用镜子的反射
测量：测量小亮的眼睛与地面的距离CD=a，测量小亮的脚部与镜面的距离DE=b，旗杆的低端B与镜子的距离BE=c.
计算：因为CD⊥BD，AB⊥BD，
所以∠CDE=∠ABE=90°，
根据入射角等于反射角可得∠CED=∠AEB，
所以△CDE∽△ABE，
所以，所以，所以AB=，所以旗杆的高度为.
思路概括：利用镜子反射测量旗杆的高度，思路是根据入射角等于反射角，人、旗杆与地面垂直，构造相似三角形，根据对应边成比例列出算式.

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