资源简介

备课资料
［备选例题］
【例题】求下列函数的零点，并画出函数的图象.
(1)y=-x2-x+2;(2)y=(x2-2)(x2-3x+2).
活动：教师点拨提示:求函数的零点可转化为求相应方程的根.
解：(1)如图3-1-1-23,令y=0,即-x2-x+2=0,
解得x1=-2,x2=1.
所以所求函数的零点为-2、1.
(2)如图3-1-1-24,令y=0,即(x2-2)(x2-3x+2)=0,
解得x1=2,x2=-2,x3=1,x4=2.
所以所求函数的零点为2,-2,1,2.
图3-1-1-23
图3-1-1-24
2-10
O
2备课资料
［备选例题］
【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系,问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合？
图1-1-2-6
思路分析：结合Venn图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定.
解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故A={四边形};梯形不是平行四边形、菱形、正方形,而菱形、正方形是平行四边形,故B={梯形},C={平行四边形};正方形是菱形,故E={正方形},
即A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={正方形}.
【例2】2006全国高中数学联赛山东赛区预赛,3设集合A={x||x|2-3|x|+2=0},B={x|(a-2)x=2},则满足BA的a的值共有(
)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
分析:由已知得A={x||x|=1或|x|=2}={-2,-1,1,2},集合B是关于x的方程(a-2)x=2的解集,
∵BA,∴B=或B≠.
当B=时,关于x的方程(a-2)x=2无解,∴a-2=0.
∴a=2.当B≠时,关于x的方程(a-2)x=2的解x=∈A,
∴=-2或=-1或=1或=2.
解得a=1或0或4或3,综上所得,a的值共有5个.
答案：D
【例3】集合A={x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是(
)
A.16
B.8
C.7
D.4
分析:A={x|0≤x<3且x∈N}={0,1,2},则A的真子集有23-1=7个.
答案：C
【例4】已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|(x-1)(x-a)=0},试判断集合B是不是集合A的子集？是否存在实数a使A=B成立？
解析:先在数轴上表示集合A,然后化简集合B,由集合元素的互异性,可知此时应考虑a的取值是否为1,要使集合B成为集合A的子集,集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上,从而确定字母a的分类标准.
当a=1时,B={1},所以B是A的子集;当13时,B不是A的子集.综上可知,当1≤a≤3时,B是A的子集.
由于集合B最多只有两个元素,而集合A有无数个元素,故不存在实数a,使B=A.
点评：分类讨论思想,就是科学合理地划分类别,通过“各个击破”,再求整体解决(即先化整为零,再聚零为整)的策略思想.类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求,探索划分的数量界限是分类讨论的关键.
［思考］
(1)空集中没有元素,怎么还是集合
(2)符号“∈”和“”有什么区别
剖析:(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解,并产生怀疑的想法.产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景,其突破方法是通过实例来体会.例如,根据集合元素的性质,方程的解能够组成集合,这个集合叫做方程的解集.对于=0,x2+4=0等方程来说,它们的解集中没有元素.也就是说确实存在没有任何元素的集合,那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念,把不含任何元素的集合叫做空集.这就是建立空集这个概念的背景.由此看出,空集的概念是一个规定.又例如,不等式|x|<0的解集也是不含任何元素,就称不等式|x|<0的解集是空集.
(2)难点是经常把这两个符号混淆,其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围,并加以对比.符号∈只能适用于元素与集合之间,其左边只能写元素,其右边只能写集合,说明左边的元素属于右边的集合,表示元素与集合之间的关系,如-1∈Z,Z;符号只能适用于集合与集合之间,其左右两边都必须写集合,说明左边的集合是右边集合的子集,表示集合与集合之间的关系,如{1}{1,0},{x|x<0}.备课资料
最值在参数讨论中的应用
Ⅰ.知识归纳：
1.“恒成立”问题：设函数f（x）的定义域为区间D，
①若a＞f（x）对x∈D恒成立a＞max［f（x）］（或［f（x）－a］max＜0）；
②若a＜f（x）对x∈D恒成立a＜min［f（x）］（或［f（x）－a］min＞0）；
2.“存在”问题：设函数f（x）的定义域为区间D，
①若存在x∈D，使得a＞f（x）a＞min［f（x）］（或［f（x）－a］min＜0）.
②若存在x∈D，使得a＜f（x）a＜max［f（x）］（或［f（x）－a］max＞0）.
Ⅱ.学习要点：
1.“恒成立”与“存在”是参数讨论中的两类非常重要的问题，而通过求函数的最值是解决这两类问题的重要方法，在具体解决问题时又有两条基本思路：
①将“参数”与“变量”分离在不等号的两边，然后变量形成的函数的最值；
②“参数”与“变量”不分离，将整个式子看成一个函数，并求它的最值.
2.必须注意，如果f（x）在定义区间D上没有最大或最小值，而只有上限或下限，则最后的结果可能要将“＜（＞）”改为“≤（≥）”.
3.在具体的问题中，“恒成立”与“存在”有很多不同的等价形式.如“恒成立”在有些问题中叙述为“对任意…总有……”，“无论……都有……”等等；而“存在”的等价说法有“不等式在D内有解”“集合A≠”等多种形式，注意总结经验.
【例1】
设函数f（x）=m－，g（x）=2x+1，集合A={x|f（x）≤g（x）}，A≠，求实数m的取值范围.
解：A≠不等式f（x）≤g（x）有解，这是“存在”性问题.
由5－x2≥0－≤x≤.
∵A≠不等式m－≤2x+1在x∈［－，］内有解，即存在x∈［－，］，使得m≤2x+1+.
设h（x）=2x+1+（－≤x≤），故命题又等价于m≤［h（x）］max.
求导得h′（x）=2+==02=xx2=4，x=2，且h′（x）的值在x=2处左正右负，
∴［h（x）］max=h（2）=6.∴实数m的取值范围是（－∞，6］.
评析：有关“存在”的参数讨论问题也是参数讨论问题的重要题型，其中有许多与最值有关，这类问题的理解比“恒成立”要困难一些.
【例2】
设f（x）=x2+bx+c（－1≤x≤1），若b＞2，问是否存在x∈［－1，1］，使得|f（x）|≥b？说明理由.
解：这是关于“存在”性问题，注意问题中x是变量，b是参数.
设存在这样的x，∵|f（x）|≥bf（x）≤－b或f（x）≥b，则命题等价于－b≥［f（x）］min或b≤；f（x）］max；
∵b＞2，∴f（x）的对称轴x0=－＜－1，f（x）在［－1，1］内单调递增.
∴－b≥f（－1）=1－b+c或b≤f（1）=1+b+c，得1+c≤0或1+c≥0，显然正确，故存在x∈［－1，1］，使得|f（x）|≥b.
评析：如果从“存在”的思想方法来理解并解答该问题，则解题思路非常清晰，才能写出上面既简洁又严密的解题过程.备课资料
1.设在离海平面高度x
m处的大气压是y
mm水银柱高，y与x的函数关系是y=cekx，这里c、k都是常量.已知某地某天在海平面与1000
m高空的大气压强分别是760
mm及675
mm水银柱高，（1）求在600
m高空的大气压强；（2）求大气压强是720
mm水银柱高处的高度.（结果都保留3个有效数字）
2.深圳特区1980生产总值为2.7亿元，1999年生产总值为1436.51亿元，问19年中每年平均增长百分之几？
3.某渔场将100
kg鱼投入池塘放养，预计一年后鱼重的增长率为6（600%），以后每年的增长率为上一年的，则三年后鱼的总重量为多少？
解答：
1.将x=0，y=760；x=1000，y=675.分别代入函数式y=cekx，
得
所以
所以y=760e－1.186×10x.
当x=600时，y=707.795；当x=720时，y=697.792.
故在600
m高空大气压约为708
mm水银柱高，在720
m高空大气压约为698
mm水银柱高.
2.设年平均增长率为p.
因为y=2.7（1+p）x，所以1436.51=2.7（1+p）19，解得p≈34.97%.
3.3500
kg.问题探究
问题1如何判断一组对象的全体是否构成集合
探究:如果集合中的元素能找到一个明确的标准,来判定整体中的对象是确定的,则这些对象可构成集合;若对象不确定,则不能构成集合.例如:“我们学校高一(3)班的同学”构成一个集合、“中国的四大佛教名山”也可以构成一个集合,因为它们都有一个确定的标准,可以判定某一同学或某一座山是不是该集合的元素.而“善良的人”“美丽的花”等不能构成集合,为什么？因为我们无法找到一个标准来确定什么样的人是“善良的人”,什么样的花才算“美丽的花”.
问题2在表示集合时,什么情况下适合用列举法？什么情况下适合用描述法？
探究:列举法就是把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内的表示集合的方法.例如:方程x2-1=0的所有解组成的集合可表示为{1,-1}.列举法可表示有限集,也可表示无限集.若元素的个数比较少,用列举法表示比较简单;若集合中元素的个数较多或无限多,但呈现出一定的规律性,在不致发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他的元素用省略号表示.例如:不大于200的正偶数构成的集合可表示为{2,4,6,8,…,200};自然数构成的集合可表示为{0,1,2,3,…,n,…}.列举法表示集合时,可不考虑元素间的顺序,如{1,-1}与{-1,1}是同一个集合.
但要注意的是,有些集合有书写习惯的问题,比如{0,1,2,3,…,n,…},一般不写为{1,0,2,3,…,n,…}等.
描述法就是用确定的条件表示某种对象是否属于一个集合的方法.它的表述形式是A={x∈I|p(x)},其中x是A的元素,x∈I且x满足特征性质p(x),即使说法p(x)成立的I中诸元素子集.其中性质p(x)叫集合A的一个特征性质,它同x∈I一起来确定集合A中的元素.描述法有两种形式,一种是文字描述,如“所有四边形组成的集合”记为{x|x是四边形}.在不致混淆的情况下,可以省去“|”及其左边的部分,直接写成{四边形},而不能写成{所有四边形},因为大括号本身有全部的意思.故用文字描述集合时,应去掉含有“整体”“全部”的词;另一种是数学描述,如“所有的非负数组成的集合”记为{x|x≥0,x∈R
},也可写成{x|x≥0}.当集合是数集,在没有标明x范围的前提下,我们认为x的值是使式子有意义的所有x的值.又如{y|y=},此时我们认为x∈R且x≠0,由反比例函数的性质可知,该集合可化为{y|y∈R且y≠0}.
问题3
Q一定表示无理数集吗？
探究:不一定.这要看全集U是怎样的集合.若U为实数集,则Q为全体无理数的集合,但若全集U为无理数集Q,则Q为空集.因而补集是相对于全集而言的,全集不相同时,同一集合的补集也不相同.
典题精讲
例1:下列各组对象中不能构成集合的是…(
)
A.高一(1)班全体女生卫生
B.高一(1)班全体学生家长
C.高一(1)班开设的所有课程
D.高一(1)班身高较高的男同学
思路解析:
本题判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而D中所给对象不确定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175
cm以上的男同学”,则能构成集合.
答案:D
例2:判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正.
(1){}表示空集;
(2)空集是任何集合的真子集;
(3){1,2,3}不是{3,2,1};
(4){0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1};
(5)如果AB且A≠B,那么B必是A的真子集;
(6)AB与BA不能同时成立.
思路分析:
对每个说法按照相关的定义进行思路解析,认真与定义中的要素进行对比.即能判断正误.
(1){
}不表示空集,它表示以空集为元素的集合,所以(1)不正确.空集有专用的符号“”,不能写成{},也不能写成{
}.
(2)分析空集、子集、真子集的区别与联系.
(3)不正确.两个集合是不是相同,要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是不是都有相同的元素与之对应,而不必考虑各元素的顺序.
(4)不正确.注意到是每个集合的子集.所以这个说法不正确.
(5)正确.AB包括两种情形:AB和A=B.
(6)不正确.A=B时,AB与BA能同时成立.
解:(1)不正确.应该改为:{
}表示这个集合的元素是.
(2)不正确.空集是任何非空集合的真子集,也就是说空集不能是它自身的真子集.这是因为空集与空集相等,而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集.由此也发现了,如果一个集合是另一个集合的真子集,那么这两个集合必不相等.
(3)不正确.{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合.
(4)不正确.{0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1},.
(5)正确.
(6)不正确.A=B时,AB与BA能同时成立
例3:用另一种形式表示下列集合:
(1){绝对值不大于3的整数};
(2){所有被3整除的数};
(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};
(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z
};
(5){(x,y)}|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z
}.
思路分析:
用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.
解:(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z
},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.
(2){x|x=3n,n∈Z
};(说明:{被3除余1的整数}可表示为{x|x=3n+1,n∈Z
}).
(3)∵x=|x|,∴x≥0,
又∵x∈Z且x<5,
∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4}.
(4){-2}(注意x∈Z).
(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
例4:已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中元素至多只有一个,求a的取值范围.
思路分析:
对于方程ax2-3x+2=0,a∈R的解,要看这个方程左边的二次项的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的.则集合A的元素也不相同,所以首先要分类讨论.
解:(1)a=0时,原方程为-3x+2=0x=,符合题意;
(2)a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,
Δ=9-8a≤0a≥.
∴当a≥时,方程ax2-3x+2=0无实根或有两个相等实数根,这都符合题意.
综合(1)(2),知a=0或a≥.
例5:已知集合A={1,2},B={1,2,3,4,5},且AMB,写出满足上述条件的集合M.
思路分析:
要解决这个问题,关键是要搞清满足条件AMB的集合M是由哪些元素组成的.∵AM,∴M中一定含有A的全部元素1、2,且至少含有一个不属于A的元素.又∵MB,∴M中的元素除了含有B的元素1、2外,还有元素3、4、5中的1个、2个或3个.故求M的问题转化为研究集合{3,4,5}的非空子集的问题,显然所求集合M有23-1=7个,按元素的多少把它们一一列举出来即可.
答案:满足条件的集合M是{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
例6:设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R
}.若A∩B=B,求a的值.
思路分析:
首先可以看到集合A中可以用列举法表示出集合中的元素(其元素即是方程x2+4x=0的解),然后根据集合间的关系,可以发现,A的元素和B中元素的关系.也就是说可以明确B的元素(即方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根),进而解出a的值.
解:首先化简集合A,得A={-4,0},
由A∩B=B,则有BA,可知集合B或为或为{0}或为{-4}或为{0,-4},
①若B=时,Δ=4(a+1)
2-4(a2-1)<0,解得a<-1.
②若0∈B,代入得a2-1=0a=1或a=-1.
当a=1时,B={x|x2+4x=0}={0,-4}=A,合题意;
当a=-1时,B={x|x2=0}={0}A,也合题意.
③若-4∈B,代入得a2-8a+7=0a=7或a=1.
当a=1时,已讨论,合题意;
当a=7时,B={x|x2+16x+48=0}={-12,-4},不合题意.
由①②③得,a=1或a≤-1.
例7:已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0,a∈R
},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},若A∩B≠,且A∩C=,求a的值.
思路分析:
可以看出B、C是两个确定元素的集合,再由A∩B≠,且A∩C=,便可求A的元素.
解:由题设易知B={2,3},C={2,-4}.由A∩B≠,且A∩C=知3∈A.
把x=3代入方程x2-ax+a2-19=0得9-3a+a2-19=0.解得a=5或a=-2.
当a=5时,得A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与A∩C=矛盾.
当a=-2时,得A={x|x2+2x-15=0}={3,-5},满足题设条件.
故所求a=-2.
例8设a、b是两个实数,集合A={(x,y)|y=ax+b,x∈Z
},B={(x,y)|y=3x2+15,x∈Z
},C={(x,y)|x2+y2≤144},讨论是否存在实数a和b使得A∩B≠,(a,b)∈C同时成立.
思路分析:
把A∩B≠转化为方程组有解的问题.
解法一:由A∩B≠知方程组有解,
即方程3x2-ax+15-b=0有解.
∴Δ=a2-4×3×(15-b)=a2+12b-180≥0.项基本原则
①
由(a,b)∈C,得144≥a2+b2.
②
由①②得180-12b≤a2≤144-b2.
③
由③得(b-6)
2≤0b=6.
把b=6代入③得108≤a2≤108,
∴a2=108,即a=±6.
把a=±6,b=6代入方程3x2-ax+15-b=0.
解得x=±,这与x∈Z矛盾.
故不存在实数a、b满足条件.
解法二:由A∩B≠知方程组有解,
即方程3x2-ax+15-b=0有解.
由(a,b)∈C,得144≥a2+b2.
由
消去b,得到关于a的二次不等式
(1+x2)a2-2x(3x2+15)a+［(3x2+15)
2-144］≤0.(
)
∵1+x2>0且Δ=-36(x2-3)
2<0(∵x∈Z,∴x2≠3),∴上述不等式(
)没有实数解.
故满足条件的a、b不存在.备课资料
备用题精选
1.选择题
（1）若函数y=f（x－1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于
A.直线x＝－1对称
B.直线x=1对称
C.直线x=对称
D.y轴对称
（2）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0）上f（x）是单调增函数，那么当x1＜0，x2＞0且x1+x2＜0时，有
A.f（－x1）＞f（－x2）
B.f（－x1）＜f（－x2）
C.f（－x1）＝f（－x2）
D.无法确定
（3）如果f（x）是奇函数，而且在开区间（－∞，0）上是增函数，又f（2）＝0，那么xf（x）＜0的解集为
A.{x|－2＜x＜0或0＜x＜2}
B.{x|－2＜x＜0或x＞2}
C.{x|x＜－2或0＜x＜2}
D.{x|x＜－3或x＞3}
（4）已知奇函数f（x）的定义域是x≠0的实数，且f（x）在（0，+∞）内单调递增，则f（－2），f（1），f（－1）的大小关系是
A.f（－2）＜f（－1）＝f（1）
B.f（－2）＜f（－1）＜f（1）
C.f（－2）＞f（－1）＞f（1）
D.大小关系不同以上结论
（5）已知函数f（x）是偶函数，x∈R，当x＜0时，f（x）单调递增，对于x1＜0，x2＞0有|x1|＜|x2|，则
A.f（－x1）＞f（－x2）
B.f（－x1）＜f（－x2）
C.f（－x1）＝f（－x2）
D.|f（－x1）|＜|f（－x2）|
（6）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）－g（x）＝1－x2－x3，则g（x）的解析式为
A.1－x2
B.2－2x2
C.x2－1
D.2x2－2
（7）已知函数f（x）=ax5+bx3+cx+8，且f（－2）＝10，则f（2）的值是
A.－2
B.－6
C.6
D.8
（8）设函数f（x）＝x2－2x－8，则函数f（2－x2）在
A.区间［－2，0］上是减函数
B.区间［0，2］上是减函数
C.区间［－1，0］上是增函数
D.区间［0，1］上是增函数
2.填空
（1）若f（x）是奇函数，f（x）在x=0处有定义，则f（0）＝________.
（2）函数y＝（x－1）－2的单调递增区间是________.
（3）函数f（x）在（－∞，+∞）上为奇函数，且当x∈（－∞，0］时，f（x）＝x（x－1），则当x∈（0，+∞）时，f（x）＝________.
（4）已知g（x）＝1+2x，f［g（x）］＝，则f（2）＝________.
（5）已知f（x）是定义在R上的偶函数，它在［0，+∞）上是减函数，则f（－）与f（a2－a+1）的大小关系为________.
（6）若函数f（x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2001x2001是奇函数，则a0+a2+a4+…+a2000＝________.
（7）已知函数f（x）＝－x2+ax－3在区间（－∞，－2）上是增函数，则a的取值范围为________.
（8）定义在R上的函数f（x）满足：对任意x、y∈R均有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（2）＝2，则f（x）在［－3，3］上的最大值为________.
（9）已知函数f（x）＝2x2+（a+1）x+1，若f（x）在区间（－∞，－2）上是减函数，则实数a的取值范围是________.
3.解答题
（1）已知f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，并且f（x）＜0对一切x∈R成立，试判断－在（－∞，0）上的单调性，并证明你的结论.
（2）设函数f（x）＝是奇函数（a、b、c∈Z），且f（1）＝2，f（2）＜3.①求a、b、c的值；②判断并证明f（x）在［1，+∞］上的单调性.
（3）设f（x）=x+8－在区间［1，+∞）上是增函数，求实数b的取值范围.
（4）f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（）＝f（x）－f（y）.
①求f（1）的值；
②若f（6）＝1，解不等式f（x+3）－f（）＜2.
（5）已知函数f（x）＝x3+x，x∈R.
①指出f（x）在定义域R上的奇偶性与单调性（只需写出结论，无需证明）；
②若a、b、c∈R，且a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，试证明f（a）+f（b）+f（c）＞0.
（6）判断函数f（x）＝的奇偶性.
参考答案：1.（1）A
（2）B
（3）A
（4）D
（5）A
（6）C
（7）C
（8）C
2.（1）0
（2）（－∞，1）
（3）－x（x+1）
（4）
（5）f（－）≥f（a2－a+1）
（6）0
（7）［－4，+∞）
（8）3
（9）（－∞，7］
3.（1）单调递减，证明略.
（2）①a=b=1，c=0；②增函数.
（3）［－1，+∞）.
（4）①令x=y，得f（1）＝0；②0＜x＜.
（5）①f（x）是定义域R上的奇函数且为增函数；②f（a）+f（b）+f（c）＞0.
（6）f（x）为偶函数.备课资料
介绍两款数学函数作图软件
数与形是数学中两个非常基本的对象，它们在一定条件下可以相互转化.数形结合不仅是一种重要的解题方法，也是一种重要的思维方法，利用数形的辩证统一和各自的优势对分析问题和解决问题都有很大的帮助.下面推荐两款数学函数作图软件，它们可以很好地将数与形结合起来.
Equation
Grapher
3.2
软件大小：1074KB
软件语言：英文
运行环境：Windows
9x/Me/NT/2000/XP
下载地址：www．cce．com．cn/soft
这是一款函数图象的作图工具（如下图），只要给它一个函数方程式，就可以帮你画出曲线图，并有12种不同的曲线颜色来区别，还可以将函数图象绘制好后通过打印机输出或保存为位图.
该软件还是一款函数作图与分析的工具.画完一幅图后，程序可自动寻找根、极值点、交叉点.同时带有计算功能，可以让软件自动寻找函数的最大值、最小值，还可以完成根据x求y值或根据y求x值等等运算.
软件还有一些其他功能，包括缩放、网格背景设置、x/y轴标注更改、图形存储（BMP/GIF）、图形打印、粘贴到字处理软件等等.
SmartGraph
软件大小：1317KB
软件语言：简体中文
运行环境：Windows
9x/Me/NT/2000/XP
下载地址：/softSmartGraph
这是一款数学函数作图器（如下图），支持以下四种曲线模型：
1.y=f（x）普通方程
2.x=f（y）普通方程
3.x=f（t）
y=g（t）参数方程
4.r=f（z）极坐标方程
另外，软件支持坐标平移，同时对直线和圆锥曲线进行了特别优化.SmartGraph支持曲线的个性设置，如颜色、宽度等.坐标外观也可以完全自定义，如颜色、线条样式、坐标单位等.SmartGraph支持将函数图象导出成BMP图象，方便插入Word、PowerPoint等软件中.
SmartGraph内包括多个小工具，如表达式计算器，点线位置关系计算器，线线位置关系计算器等.
比较项目
Equation
Grapher3.2
SmartGraph
函数输入
面板输入、键盘输入，方便简单
键盘输入，较方便
作图范围
只要能给出函数解析式y=f（x）
不能作部分超越函数及定义域非R的函数图象
曲线模型
y=f（x）
支持四种：1.y=f（x）普通方程；2.x=f（y）普通方程；3.x=f（t）y=g（t）参数方程；4.r=f（z）极坐标方程
图形导出
BMP、GIF、WMF
BMP
分析工具
自动寻找根、极值点、交叉点、最大值、最小值、根据x找y值、根据y找x值，计算和显示指定分区
表达式计算器，点线位置关系计算器、线线位置关系计算器
显示区域
可放大缩小并可显示指定区域且调整方便
可放大缩小
作图速度
迅速
一般
推荐指数
★★★★★
★★★★教材习题点拨
教材问题详解
思考1
上面的例(3)到例(8)也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？
答：例(3)到例(8)也都能组成集合．
例(3)的元素：金星汽车厂2003年生产的每一辆汽车；
例(4)的元素：2004年1月1日之前与我国建立外交关系的每一个国家；
例(5)的元素：每个正方形；
例(6)的元素：到直线l的距离等于定长d的每一个点；
例(7)的元素：方程x2＋3x－2＝0的每个实数根，即与；
例(8)的元素：新华中学2004年9月入学的每个高一学生．
思考2
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)大于3小于11的偶数；
(2)我国的小河流．
答：(1)大于3小于11的偶数能组成集合，这个集合的元素是4,6,8,10．
(2)我国的小河流不能组成集合，因为小河流没有明确的标准，不符合集合元素的确定性，所以不能组成集合．
思考3
(1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？
(2)你能用列举法表示不等式x－7＜3的解集吗？
答：(1)能．小于10的所有正偶数组成的集合，或大于1且小于9的所有偶数组成的集合．(答案不唯一)
(2)不能．因为不等式x－7＜3的解是x＜10，小于10的实数有无数个，并且这些数是连续的，所以不能用列举法表示．列举法适用于表示元素个数是有限个且较少的集合．
思考4
(1)结合上述实例，试比较用自然语言、列举法、描述法表示集合时，各自的特点和适用的对象．
(2)自己举出几个集合的例子，并分别用自然语言、列举法、描述法表示出来．
答：(1)自然语言的特点是富有表现力，是最基本的语言形式，但是具有多义性，有时难于表达，适用的范围非常广泛；列举法的特点是直观、明白，但有局限性，适用于元素个数较少的有限集；描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于所含元素较多的有限集或无限集．
(2)例如，自然语言：联合国常任理事国；列举法：{中国，美国，英国，法国，俄罗斯}；描述法：{x|x是联合国常任理事国}．
教材习题详解
练习
1．答案：(1)，，，；(2)；(3)；(4)，．
点拨：看一个对象是否属于某个集合，就要看它是否具备该集合中元素所共有的特征性质．
2．答案：(1){3，－3}；(2){2,3,5,7}；(3){(1,4)}；(4){x|x＜2}．
点拨：当一个集合的元素个数较少时，可用列举法表示，如果元素个数较多或有无穷多个时，一般要用描述法表示．如果元素可以有规律地呈现，也可以写出一部分，其他用省略号代替，即用列举法表示有较多元素或无穷元素的集合．
教材问题详解
思考1
实数有相等关系、大小关系，如5＝5，5＜7，5＞3，等等．类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？
答：可以想到集合之间有相等关系、包含关系；一个集合中的元素个数少于另一个集合中的元素个数，并且这个集合中的任何一个元素都在另一个集合中；一个集合中的元素个数多于另一个集合中的元素个数，并且这个集合中的元素包含另一个集合中的所有元素．
思考2
包含关系{a}A与属于关系aA有什么区别？试结合实例作出解释．
答：区别是包含关系{a}A是集合之间的关系，而属于关系aA是元素与集合之间的关系．例如：包含关系{2}{0,1,2,3}与属于关系2{0,1,2,3}，{2}{0,1,2,3}表示集合{2}包含于集合{0,1,2,3}，而2{0,1,2,3}表示元素2属于集合{0,1,2,3}．
教材习题详解
练习
1．答案：集合{a，b，c}的所有子集为，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}．
点拨：如果一个集合有n个元素，则其子集的个数为2n，在书写时可从元素个数为0一直到n依次写出，避免遗漏．
2．答案：(1)；(2)；(3)＝；(4)；(5)；(6)＝．
点拨：元素与集合之间用“”或“”连接，集合之间则用“”或“”或“＝”连接．
3．答案：(1)AB；(2)BA；(3)＝．
点拨：判断两个集合间的关系，关键是看这两个集合的元素的关系，如(1)中A＝{1,2,4}，B＝{x|x是8的约数}＝{1,2,4,8}．从而可判定AB．
教材问题详解
思考1
我们知道，实数有加法运算．类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；
(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．
答：集合也可以“相加”．这两个问题中，集合C与集合A，B之间都具有这样的关系：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的．
思考2
下列关系式成立吗？
(1)AA＝A；(2)A＝A．
答：这两个关系式都成立．可以画Venn图验证或根据并集的含义说明．
思考3
下列关系式成立吗？
(1)AA＝A；(2)A＝A．
答：关系式AA＝A成立，而关系式A＝A不成立，应为A＝．可以画Venn图验证或根据交集的含义说明．
教材习题详解
练习
1．解：AB＝{5,8}，AB＝{3,4,5,6,7,8}．
点拨：观察两个集合中的公共元素和全部元素，列出即得交集与并集，注意集合中元素的互异性．
2．解：由题意可知A＝{－1,5}，B＝{1，－1}，于是AB＝{－1,1,5}，AB＝{－1}．
点拨：解方程化简集合，转化为第1小题的形式．
3．解：AB＝{x|x是等腰直角三角形}，AB＝{x|x是等腰三角形或直角三角形}．
点拨：交集要同时具备两个集合的元素特征，并集则具备两个集合中任何一个的元素特征即可．
4．解：A(UB)＝{2,4}，(UA)(
UB)＝{6}．
点拨：首先求出UA和UB，再按交集定义求解．
习题1.1
A组
1．答案：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
点拨：π是无理数，＝3是整数，()2＝5是自然数．
2．答案：(1)；(2)；(3)．
点拨：令5,7，－10分别等于3k－1，看能否解出整数k．若能，则该元素属于A；否则不属于A．
3．答案：(1){2,3,4,5}；
(2){1，－2}；(3){0,1,2}．
点拨：列举法表示集合时，一定要把所有元素列全，不能遗漏，对于复杂的不等式可先化简．
4．答案：(1){y|y＝x2－4，xR}；
(2){x|x≠0}；(3){x|x≥}．
点拨：本类题一定要注意集合中的代表元素的表达形式，许多的集合可以有不同的表示形式．
5．答案：(1)，，，；(2)，，，＝；(3)，．
点拨：所有的菱形都是平行四边形，所有的等边三角形都是等腰三角形．
6．解：∵A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|x≥3}，
∴AB＝{x|x≥2}，AB＝{x|3≤x＜4}．
点拨：求连续数集的问题，一般要借助于数轴．
7．解：∵A＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，
∴AB＝{1,2,3}，AC＝{3,4,5,6}，
A(BC)＝{1,2,3,4,5,6}，A(BC)＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．
点拨：解此类问题，首先要化简各集合，再寻找符合条件的集合，求交集就是找两集合的公共元素，求并集就是找两集合的全部元素，相同的只算一个，这是由集合中元素的互异性决定的．
8．解：规定的集合运算说明：每个同学最多只能属于AB，AC，BC三个集合中的一个．
(1)AB＝{x|x是参加一百米跑或二百米跑的同学}．
(2)AC＝{x|x是同时参加一百米跑和四百米跑的同学}．
9．解：BC＝{x|x是正方形}，AB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}，SA＝{x|x是梯形}．
点拨：叙述各集合时应力求简洁、清楚，如BC应该说既是菱形又是矩形，所以必为正方形．
10．解：R(AB)＝{x|x≤2，或x≥10}，
R(AB)＝{x|x＜3，或x≥7}，
(RA)B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}，
A(RB)＝{x|x≤2，或3≤x＜7或x≥10}．
点拨：首先求出AB和AB，再求它们的补集，此类题目要借助于数轴，可以非常直观地获得结论，但要注意各端点的值的取舍．
B组
1．答案：4
点拨：由A＝{1,2}，AB＝{1,2}可知BA，即B是A的子集，根据集合A有2个元素，则符合条件的集合B有22＝4个．
2．解：集合D表示两条直线2x－y＝1和x＋4y＝5的交点，集合C与D的关系是DC．
点拨：解D中的方程组可得D＝{(1,1)}，它显然应当在直线y＝x上．
3．解：(1)当a＝3时，A＝{3}，B＝{1,4}，
AB＝{1,3,4}，AB＝；
(2)当a≠3时，A＝{3，a}，B＝{1,4}；
①a＝4时，AB＝{1,3,4}，AB＝{4}；
②a＝1时，AB＝{1,3,4}，AB＝{1}；
③a≠4且a≠1时，AB＝{1,3,4，a}，AB＝．
点拨：本题的关键点是对a进行合理的分类，因为它影响到集合中的元素及A与B的运算，分类时首先区分A是单元素集还是双元素集，再在A含有两个元素时与集合B比较，以便能确定AB．
4．解：由题知，U＝AB＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
∵A(UB)＝{1,3,5,7}，
∴B可从0,2,4,6,8,9,10中任取元素组成．
点拨：其中的集合B是开放的，其包含的元素的个数是不确定的．教学点睛
本课时复习的内容是函数的图象，函数的图象直观地反映了函数的性质，通过函数图象的变换(平移变换、对称变换、伸缩变换)规律和函数的性质的进一步复习，提高答题速度和准确率.函数的图象变换是互逆的，复习时要善于从函数图象的变换规律、特殊点、定义域、值域、单调性、奇偶性等各个角度来对图象进行分析，以选取最优解法.
拓展题例
【例1】
在函数y=logax(0(1)求S关于t的函数表达式；
(2)判断S(t)的单调性；
(3)求函数S(t)的值域.
解：(1)如右图所示，设A′、B′、C′是A、B、C在x轴上的射影，则A(t,logat),B(t+2,loga(t+2)),C(t+4,loga(t+4));设BB′与AC相交于点D，则可得D(t+2,).
于是S(t)=|A′C′|·|BD|
=·4·［-loga(t+2)］
=2loga
=loga(0(2)由S(t)=loga［］(0(3)当t=1时，S(t)取最大值为loga.
又当t→+∞时，S(t)→0,
∴S(t)的值域为(0，loga
).
【例2】已知函数f(x)=x2+lnx.
(Ⅰ)求函数f(x)在区间［1,e］上的最大值和最小值；
(Ⅱ)求证：在区间(1，+∞)上函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方；
(Ⅲ)设h(x)=f′(x)，证明：［h(x)］n-h(xn)≥2n-2.
解析：(Ⅰ)f′(x)=x+，当x∈［1,e］时，f′(x)>0,
∴f(x)在［1,e］上为连续的单调递增函数.
∴fmin(x)=f(1)=,fmax(x)=f(e)=e2+1.
(Ⅱ)设F(x)=f(x)-g(x)=x2+lnx-x2,
又F′(x)=x+-2x2===
当x∈(1,+∞)时，1-x<0,x>0,2x2+x+1>0成立，
∴F′(x)<0，即在［1,+∞］上连续的函数F(x)单调递减，
∴x∈(1,+∞)时，F(x)即F(x)<0,∴f(x)∴结论成立.
(Ⅲ)由已知h(x)=f′(x)=x+,
∴［h(x)］n-h(xn)=(x+)n-xn-
=xn-1+xn-2+…+x2+x
=xn-2+xn-4+…++
=［(xn-2+)+(xn-4+)+…+(+xn-4)+(+xn-2)］
又∵x>0,
∴上式≥(2+2+…+2+2)
=++…+=2n-2.
∴结论成立.备课资料
1.对数的创立
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550～1617年）男爵.
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样.在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的.
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14…
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384…
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现.
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有64×256＝16384.
纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了.回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗 计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了.这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？
经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点.
所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣.伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（Pierre
Simon
Laplace，1749～1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.
2.尤拉的自然对数底公式
（大约等于2.71828的自然对数的底——e）
尤拉被称为数学界的莎士比亚，他是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学中理论与应用的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者，数学史上称十八世纪为“尤拉时代”.
尤拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力，使他在13个小孩子吵闹的环境中仍能精确思考复杂问题.
尤拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名.只有那个大约等于2.71828的自然对数的底，被他命名为e.但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.
我们现在习以为常的数学符号很多都是尤拉所发明介绍的，例如：函数符号f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虚数i等.高中教师常用一则自然对数的底数e笑话，帮助学生记忆一个很特别的微分公式：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你.”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方.”
这个微分公式就是：e不论对x微分几次，结果都还是e！难怪数学系学生会用e比喻坚定不移的爱情.
相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知.有人甚至认为：尤拉取自己名字的第一个字母作为自然对数.
而尤拉选择e的理由较为人所接受的说法有二：一为在a、b、c、d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；一为e是指数的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人尤拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的指数也都是它.备课资料
1.一种放射性元素的最初质量为500
g，按每年10%衰减.
（1）求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式.
（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（精确到0.1）.
（半衰期指的是剩流量为原来的一半所需要的时间）
2.从盛有盐的质量分数为20%的盐水2
kg的容器中，倒出1
kg盐水，然后加入1
kg水，以后每次都倒出1
kg盐水，然后加入1
kg的水.
（1）第5次倒出的1
kg盐水中含盐为多少？
（2）经6次倒出后，一共倒出多少千克盐？此时加入1
kg水后容器内盐水的质量分数为多少？
3.假设A型进口汽车关税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）
（1）已知A型车性能相近的B型国产车2001年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？
（2）某人将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算，那么五年到期时这笔钱连本带息是否能购买一辆按（1）中所述降价后的B型汽车？
答案：
1.（1）最初的质量为500
g，
经过1年，w=500（1－10%）=500×0.91，
经过2年，w=500×0.92.
由此类推，可知t年后，ω=500×0.9t.
（2）解方程500×0.9t=250，0.9t=0.5，
两边取常用对数lg0.9t=lg0.5.
所以tlg0.9=lg0.5，即t=≈6.6，
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
2.（1）设第x次倒出的盐的质量为y，
则当x=1时，y=0.4×=0.2（kg）；
当x=2时，y=0.4×（）2=0.1（kg）.
所以y=0.4×（）x（kg）.
故当x=5时，y=0.4×（）5=0.0125（kg）.
（2）设第x次倒出后容器中的盐的质量为y，
则当x=1时，y=0.4×=0.2（kg），
当x=2时，y=0.4×（）2=0.1（kg）.
所以y=0.4×（）x（kg），
故当x=6时，y=0.4×（）6=0.00625（kg）.
所以经六次倒出后，一共倒出盐0.4－0.00625=0.39375（kg）.
此时加入1
kg水后，容器内盐水的质量分数为=0.3125%.
3.（1）设B型车平均每年下降x万元，那么46－5x≤（32+32×25%）90%.
解得x=2，所以B型车平均每年至少下降2万元.
（2）五年后，B型车价格不高于46－5·2=36（万元）.
五年后的本息合计为33（1+1.8%）5≈36.079＞36.
所以能够买到降价后的B型车.备课资料
奇、偶函数的性质
(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立.
(3)f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数.
(4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0.
(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f［g(x)］是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f［g(x)］是奇函数，简称为“同偶异奇”.
(6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.
(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即
f(x)=.
(8)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；
若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).
若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.
本章复习
整体设计
教学分析
本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体.
三维目标
通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.
重点难点
教学重点：①集合与函数的基本知识.
②含有字母问题的研究.
③抽象函数的理解.
教学难点：①分类讨论的标准划分.
②抽象函数的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题.
思路2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①第一节是集合，分为几部分？
②第二节是函数，分为几部分？
③第三节是函数的基本性质，分为几部分？
④画出本章的知识结构图.
活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.
讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.
②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.
③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.
④第一章的知识结构图如图1-1所示，
图1-1
应用示例
思路1
例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有(
)
A.P∩Q=
B.PQ
C.P=Q
D.PQ
分析：从选项来看，本题是判断集合P,Q的关系，其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域，则集合P是数集，集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合，则集合Q是点集，∴P∩Q=.
答案：A
点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.
变式训练
1.设集合M=｛x|
x>1｝，P={x|
x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是(
)
A.M=P
B.PM
C.MP
D.M∩P=R
分析：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴PM.
答案：B
2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A与B的运算A
B={x|x∈A或x∈B,且xA∩B},则(A
B)
A等于(
)
A.A∩B
B.A∪B
C.A
D.B
分析：设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A
B={3,4,5,6,7}，于是(A
B)
A={1,2,5,6,7}=B.
答案：D
点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A
B的本质就是集合A与B的并集中除去它们公共元素组成的集合.
例2求函数y=x2+1的最小值.
分析：思路一:利用实数运算的性质x2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值；
思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.
解：方法一（观察法）∵函数y=x2+1的定义域是R,
∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1.
方法二:（公式法）函数y=x2+1是二次函数，其定义域是x∈R，则函数y=x2+1的最小值是f(0)=1.
点评：求函数最值的方法：
观察法：当函数的解析式中仅含有x2或|x|或时，通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,≥0等，直接观察写出函数的最值；
公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.
例3求函数y=的最大值和最小值.
分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值.
解：（判别式法）由y=得yx2-3x+4y=0，
∵x∈R，∴
关于x的方程yx2-3x+4y=0必有实数根.
当y=0时，则x=0.故y=0是一个函数值；
当y≠0时，则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,
则有Δ=(-3)2-4×4y2≥0.
∴0综上所得，≤y≤.
∴
函数y=的最小值是，最大值是.
点评：形如函数y=(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0即关于y的不等式，解不等式组此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.
例4函数f(x)=x2-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=在区间（1，+∞）上一定(
)
A.有最小值
B.有最大值
C.是减函数
D.是增函数
分析：函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a，由于函数f(x)在开区间（-∞，1）上有最小值，所以直线x=a位于区间（-∞，1）内，即a<1.g(x)＝=，下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.
设1=(x1-x2)+()=(x1-x2)(1)=(x1-x2).
∵11>0.
又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值.
答案：D
点评：定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是①在所给区间上任取两个变量x1、x2；②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积（商）等；③由②中差的符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没有最大值，也没有最小值.
变式训练
求函数f(x)=的单调区间.
分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间.
解：函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞).设y=，u=x2-1，
当x≥0时，u=x2-1是增函数，y=也是增函数，
又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，
∴函数f(x)=在［1,+∞)上是增函数.
当x≤0时，u=x2-1是减函数，y=也是增函数，
又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，
∴函数f(x)=在(-∞,-1］上是减函数,
即函数f(x)的单调递增区间是［1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1］.
点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y=f［g(x)］，如果y=f(u)，u=g(x)有相同的单调性时，函数y=f［g(x)］为增函数，如果具有相异（即相反）的单调性，则函数y=f［g(x)］为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断或写出函数的单调性或单调区间.
注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是［0,+∞)，单调递减区间是(-∞,0］.其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则.
思路2
例1集合A={x|x2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若BA，则实数m＝________.
分析：集合B是关于x的方程mx-1=0的解集，∵BA，∴B=或B≠.
当B=时，关于x的方程mx-1=0无解，则m=0；
当B≠时，x=∈A，则有()2-4=0，即4m2+3m-1=0.解得m=-1,.
答案：-1,0,
黑色陷阱：本题任意忽视B=的情况，导致出现错误m=-1,.避免此类错误的方法是考虑问题要全面，要注意空集是任何集合的子集.
变式训练
已知集合A={x|}，B={x|p+1≤x≤2p-1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围.
分析：理解集合A是不等式组的解集是关键，又A∩B=B说明了BA，包含=和B≠两种情况，故要分类讨论解决问题.
解：A={x|-2≤x≤5}，∵A∩B=B，∴BA.∴B=或B≠.
当B=时，p+1>2p-1，解得p<2.
当B≠时，则有解得2≤p≤3.
综上所得实数p的取值范围是p<2或2≤p≤3,即(-∞,3］.
点评：本题是已知集合运算的结果，求参数的值，解决此类问题的关键是依据集合运算的含义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用；空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑空集；
要重视常见结论A∩B=BA∪B=ABA的应用，此时通常要分类讨论解决集合问题，分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏.
例2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值.
分析：思路一:画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；
思路二:利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值.
解：方法一（图象法）:y=|x+2|-|x-2|=-4,2x,4,
x≤-2,-2x≥2.其图象如图1-2所示:
图1-2
由图象,得函数的最小值是-4，最大值是4.
方法二（数形结合）:函数的解析式y=|x+2|-|x-2|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±2的对应点A、B的距离的差，即y=|PA|-|PB|,如图1-3所示，
图1-3
观察数轴,可得-|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB|，即函数y=|x+2|-|x-2|有最小值-4，最大值4.
点评：求函数最值的方法：
图象法：如果能够画出函数的图象，那么可以依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.其步骤是①画函数的图象；②观察函数的图象，找出图象的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值.
数形结合：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义,结合图形利用其几何意义求最值.其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为几何问题；③应用几何知识求最值.
例3求函数y=x+,x∈［1,3］的最大值和最小值.
分析：利用函数的单调性来求得函数的最值.转化为讨论函数的单调性.
解：可以证明当x∈［1,2］时，函数y=x+是减函数，
此时函数的最大值是f(1)=5，最小值是f(2)=4.
可以证明当x∈［2,3］时，函数y=x+是增函数，
此时函数的最大值是f(3)=，最小值是f(2)=4.
综上所得，函数y=x+,x∈［1,3］的最大值为5，最小值为4.
点评：如果能够确定函数的单调性，那么可以利用函数的单调性求函数最值，这种方法称为单调法，主要应用以下结论：函数y=f(x)在区间［a,b］上是减函数，在区间［b,c］上是增函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c］上的最大值是f(a)与f(c)的最大值，最小值是f(b)；函数y=f(x)在区间［a,b］上是增函数，在区间［b,c］上是减函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c］上的最小值是f(a)与f(c)的最大值，最大值是f(b).单调法求函数最值的难点是确定函数的单调区间，借助于函数的图象，常用单调性的定义来判断，还要靠经验的积累.
例4求函数y=x4+2x2-2的最小值.
解：函数的定义域是R，设x2=t，则t≥0.
则y=t2+2t-2=(t+1)2-3,t≥0，
则当t=0时，y取最小值-2，
所以函数y=x4+2x2-2的最小值为-2.
点评：求形如函数y=ax2m+bxm+c(ab≠0)或y=ax+(ab≠0)的最值时，常用设xm=t或=t，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为换元法.此时要注意换元后函数的定义域.
例5定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f().
(1)
求证：函数f(x)是奇函数；
(2)
若当x∈(-1，0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.
分析：（1）定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键；（2）定义法证明，其中判定的范围是关键.
解：
(1)函数f(x)的定义域是(-1，1)，
由f(x)+f(y)=f()，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f()，∴f(0)=0.
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减，令0f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f()＝f().
∵00,1-x1x2>0，∴>0.
又(x2-x1)-(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)<0，
∴0＜x2-x1<1-x1x2.
∴-1<<0.由题意知f()＞0，
∴f(x1)＞f(x2).
∴f(x)在(0，1)上为减函数，
又f(x)为奇函数，
∴f(x)在(-1，1)上也是减函数.
点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性，
知能训练
1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},则P∩Q等于(
)
A.{1,2,3}
B.{2,3}
C.{1,2}
D.{2}
分析：明确集合P、Q的运算，依据交集的定义求P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q={-3,2},则P∩Q＝{2}.
答案：D
点评：解决本题关键是集合P是大于等于1且小于等于10的自然数组成的集合，集合Q是方程x2+x-6=0的解集，将这两个集合化简后再运算.
2.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则(S∪T)等于(
)
A.
B.{2,4,7,8}
C.{1,3,5,6}
D.{2,4,6,8}
分析：直接观察（或画出Venn图）得S∪T={1,3,5,6}，则(S∪T)＝{2,4,7,8}.
答案：B
点评：求解用列举法表示的数集运算时，首先看清集合元素的特征，理解并确定集合中的元素，最后通过观察或借助于数轴、Venn图写出运算结果.
3.已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x＋1）-f（x）=2x.
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间［-1，1］上的最大值和最小值.
分析：（1）由于已知f（x）是二次函数，用待定系数法求f（x）；（2）结合二次函数的图象，写出最值.
解：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c，
由f（0）＝1，可知c＝1.
而f（x＋1）-f（x）＝［a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c］-（ax2＋bx＋c）＝2ax＋a＋b.
由f（x＋1）-f（x）＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0.
因而a＝1，b＝-1.
故f（x）＝x2-x＋1.
（2）∵f(x)=x2-x+1=(x-)2+，
∴当x∈[-1，1]时，f（x）的最小值是f()=，f（x）的最大值是f（-1）＝3.
拓展提升
问题：某人定制了一批地砖.每块地砖
(如图14所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图15所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.
(1)
求证：四边形EFGH是正方形；
(2)
E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
图1-4图1-5
思路分析：（1）由于四块地砖拼出了四边形EFGH，只需证明△CFE、△CFG、△CGH、△CEH为等腰直角三角形即可；（2）建立数学模型，转化为数学问题.设CE=x，每块地砖的费用为W，求出函数W=f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题.
解：(1)图1-5可以看成是由四块如图1-4所示地砖绕点C按顺时针旋转90°后得到，则有CE=CF，∠ECF=90°,
∴△CFE为等腰直角三角形，
同理可得△CFG、△CGH、△CEH为等腰直角三角形.
∴
四边形EFGH是正方形.
(2)设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为W，设制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，
W=x2·3a+×0.4×(0.4-x)×2a+［0.16-x2-×0.4×(0.4-x)］a
=a(x2-0.2x+0.24)
=a［(x-0.1)2+0.23］(0由于a>0，则当x=0.1时，W有最小值，即总费用为最省.
即当CE=CF=0.1米时，总费用最省.
课堂小结
本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法.
作业
复习参考题任选两题.
设计感想
本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对课本内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，课本中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结.备课资料
1.关于补集.新的国家标准规定，集合A中子集B的补集或余集记为AB（这里的“”是一个专门符号）.
2.通过以后进一步学习，集合的补集具有以下性质：
（1）（UA）∪A=U；
（2）U（UA）=A；
（3）（UA）∩A=；
（4）U（A∩B）=（UA）∪（UB）；
（5）U（A∪B）=（UA）∩（UB）.
以上性质可通过文氏图来理解和记忆.
3.两集合的差集
设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P=｛x|x∈M且xP｝.
（1）设集合B=｛2，4，6，8｝，请你分别用列举法和描述法写出一个集合A，使得A－B=｛5｝；
（2）请写出两组集合A、B，使得A－B=｛5｝；
（3）从（2）中选出一组A、B，计算A－（A－B），在此基础上，请你写出有关集合A、B的其他表达式，使其结果与集合A－（A－B）相等.
问题解答：（1）由差集的定义及题设条件A－B=｛5｝知，5∈A，且A中若含有其他元素，则必是B中的元素.因此用列举法表示集合A，可以是｛4，5，6｝或｛5｝，｛2，5｝等；
若用描述法表示符合条件的A，可以先用列举法写出A，再从此集合出发来构造.如符合条件的A可以是｛2，5｝.用描述法表示可以是｛x|（x－5）（x－2）=0｝，即｛x|x2－7x+10=0，x∈R｝.若A=｛4，5，6｝，用描述法表示，可以是｛大于3且不大于6的正整数｝.
（2）由A－B=｛5｝知，5∈A且5B，要写出符合条件的集合A、B，可先写出其中的一个集合，再按要求构造另一个集合.如可以设B=｛－5｝，则A=｛5，－5｝，用描述法表示可以是｛x||x|=5，x∈R｝；或设A=｛x|5≤x≤6，x∈R｝，则集合B可以是｛x|y=+，x∈R｝.
（3）取A=｛5，－5｝，B=｛－5｝，则A－B=｛5｝，A－（A－B）=｛－5｝.而A∩B=｛－5｝，又B－A=，B－（B－A）=｛－5｝，可以猜测A－（A－B）=A∩B，A－（A－B）=
B－（B－A）.此两等式都是正确的.
证明如下：设全集为U，由差集定义，“x∈A且xB”等价于“x∈A∩（UB）”.则A－B=A∩（UB），故A－（A－B）=A∩［U（A－B）］=A∩［U（A∩UB）］=A∩（UA∪B）=（A∩UA）∪（A∩B）=A∩B.
同理可证B－（B－A）=A∩B.备课资料
1.超市开进校园在上海已不是什么新鲜事，常有同学抱怨价格高，殊不知商家赚钱也不容易，双休日里虽没有什么收入，但固定的开支可一样不少.
某超市公司在一所学校开设连锁店，每月租金、员工工资、设备损耗等固定成本2万元.每进货价值千元的商品，从进货到上架销售需25元额外费用.经过一段时间试营业后，公司发现学校内消费群体相对固定，且每天在超市有总量不低于2千元、不超过3千元的消费，每月平均可以保证有22个正常营业日.公司打算在该连锁店每月赚得1万元的利润，问进价价值千元的商品，应以多少元零售价出售
问题解决策略：按问题需要设未知数，列出单价、销售与利润的关系式，主要涉及一次函数，需要对实际问题进行合理简化.
解：设每月进价值x千元的货物，则每月总成本为C=20000+25x+1000x元.再设进价价值1千元的货物，以a元零售价出售，则每月利润为L=（a－25－1000）x－20000元（假设每月进货全部售完）.
由于每个营业日进超市消费总额不低于2千元、不高于3千元，按每天2千元的进货规模，是能售完的，这样每月进货2×22=44（千元），要完成1万元的利润，则有10000=（a－1025）×44－20000，解得a=+1025=1706.8≈1707（元），
即每千元进价的商品需以1707元的零售价出售方可保证每月赚得1万元.这时平均每天可实现销售额2000×=3414元.
演变与拓展：上面问题中的校园超市中，一种纸盒装1000毫升牛奶标价6.9元，问该品种牛奶进价约多少元
解：设进价x元，则x·=6.9，解得x≈4.04，即该品种牛奶进价约4元.
2.利用《几何画板》画出函数y=x2－3x＋2的图象.
画法如下：
（1）启动《几何画板》，依次选择“文件”→“新画板”菜单命令，建立新文件.
（2）选择“图表”→“定义坐标系”菜单命令，在操作区中建立直角坐标系.
（3）选择“图表”→“隐藏网格”菜单命令，隐藏坐标系中的网格.
（4）单击工具箱上的“文本”工具，单击坐标系的原点和单位点，显示标签，并双击修改标签，原点标签为“0”，单位点标签为“1”.
（5）单击工具箱上的“画点”工具，在x轴上任取一点，双击修改标签为A.
（6）单击工具箱上“度量”→“横坐标”菜单命令.
（7）单击工具箱上“度量”→“计算”菜单命令.
（8）用“计算器”计算表达式y=x2－3x＋2，依次选择“数值”下拉列表中的度量值.“xA”、平方号“^
”、数字“2”、减号“－”、数字“3”、乘号“
”、自变量“xA”、加号“＋”、数字“2”，单击“确定”退出，得到“xA”所对应的函数值“yA=（xA2－3xA）＋2”.
（9）依次单击“xA”“（xA2－3xA）＋2”，单击工具箱“图表”→“绘制点（x，y）”菜单命令.
（10）依次选择A、（9）中绘制的点（x，y），单击工具箱“构造”→“轨迹”菜单命令得函数y=x2－3x+2的图象.如下图所示.
3.函数的四则运算与函数的复合
函数的四则运算：设A、B是非空数集，且A∩B≠，有两个函数f：A→R，g：B→R，函数f与g的和f＋g，差f－g，积f·g，商分别定义为
（f＋g）（x）=f（x）+g（x），x∈A∩B；
（f－g）（x）=f（x）－g（x），x∈A∩B；
（f·g）（x）=f（x）·g（x），x∈A∩B；
（）（x）=，x∈A∩B－｛x|g（x）=0｝.
函数的运算是构造新函数的一种重要的方法.在这里，可以提及一下运算.运算贯穿于中学数学的全过程，而且导致了代数结构思想的形成.代数结构是数学结构中的母结构之一，另两种结构是序结构和拓扑结构.从集合论的观点来看，运算是一种映射.
设集合A、B、C，把一个从A×B→C的映射叫做A×B到C的一个代数运算或二元运算.
了解了上述知识后，请同学们思考这样的问题：函数y=f（x）+g（x）的图象与y=f（x），g（x）的图象有怎样的关系呢？可以通过以下的例子予以说明.
设f（x）=x，g（x）=，F（x）=f（x）+g（x），请同学们试试利用y=f（x）及y=g（x）的图象画出y=F（x）的图象.
解：f（x）=x的定义域D1=R，g（x）=的定义域D2=（－∞，0）∪（0，+∞），故F（x）的定义域D=D1∩D2=（－∞，0）∪（0，+∞）.
F（x）=x+，x∈（－∞，0）∪（0，+∞）.
过x轴上不同于原点O的任意点P（p，0），作垂直于x轴的直线l，交y=f（x）的图象于点A（p，p），交y=g（x）的图象于点B（p，），即PA=yA=p，PB=yB=.
在l上取点C，使AC=PB，于是
PC=PA+AC=PA+PB=p+，
即点C是y=F（x）的图象上的点.
取一定数量的点P，就能得到一定数量的点C，然后用描点法即可作出y=F（x）的图象（如下图中实线所示）.备课资料
1.对集合定义一个新运算
设集合M=｛a，b｝，N=｛c，d｝，定义M与N的一个运算“”为：M
N=｛x|x=mn，其中m∈M，n∈N｝.
（1）试举出两组集合M、N，分别计算M
N；
（2）对上述集合M、N，计算N
M，由此你可以得到什么一般性的结论
（3）举例说明（A
B）C与A
（B
C）之间的关系.
思路分析：本题是一道开放型的信息迁移题，解题时必须紧扣新定义，用好新信息.
解：（1）不妨设M=｛1，2｝，N=｛3，4｝，则M
N=｛3，4，6，8｝；或设M=｛－1，1｝，N=｛3，－3｝，则M
N=｛－3，3｝等.
（2）对M=｛1，2｝，N=｛3，4｝，则N
M=｛3，6，4，8｝；对M=｛－1，1｝，N=｛3，－3｝，则N
M=｛－3，3｝.由（1）知，N
M=M
N，由此猜测，对任意集合M=｛a，b｝，N=｛c，d｝，总有M
N=N
M.证明如下：对任意x∈M
N，有x=mn，其中m∈M，n∈N；又x=mn=nm，则x∈N
M.于是M
NN
M.
对任意x∈NM，有x=nm，其中n∈N，m∈M；又x=nm=mn，则x∈N
M.于是N
M
M
N.
因此M
N=NM.
（3）设A=｛－1，1｝，B=｛3，－3｝，C=｛2，4｝，则A
B=｛－3，3｝，
于是（A
B）C=｛－6，6，－12，12｝；
又B
C=｛6，12，－6，－12｝，
于是A
（B
C）=｛－6，－12，6，12｝.
因此（A
B）C=A（B
C）.
2.并集与交集的有关性质
（1）A
A∪B，B
A∪B，A∪A=A，A∪=A，A∪B=B∪A，A∪（B∪C）=（A∪B）∪C，A∪B=AB
A.
（2）A∩B
A，A∩B
B，A∩A=A，A∩=，A∩B=B∩A，A∩（B∩C）=（A∩B）∩C，A∩B=AA
B.备课资料
1.化简下列各式（式中字母都是正数）.
（1）·；（2）；（3）a3·；（4）·；（5）（）2·.
2.计算下列各式：（1）100；（2）9；（3）（）.
3.已知x+x－1=3，求下列各式的值：（1）x+x；（2）x+x.
4.已知a=2，b=5，求·的值.
解答：1.（1）·=a·a=a=a；
（2）=====
==a；
（3）a3·=a3·a=a；
（4）·=a·a=a=a；
（5）（）2·=a·ab=a·b=a·b.
2.（1）100=（102）=10=10；
（2）9=（32）=3－3=；
（3）（）=（3－4）=3=33=27.
3.（1）∵（x+x）2=（x）2+2xx+（x）2=x1+x－1+2=3+2=5，
∴x+x=±.又由x+x－1=3得x＞0，∴x+x＞0.
∴x+x=.
（2）（法一）x+x=（x）3+（x）3=（x+x）［（x）2－xx+（x）2］
=（x+x）［（x+x－1）－1］=（3－1）=2.
（法二）（x+x）2=（x）2+（x）2+2xx=x3+x－3+2，
而x3+x－3=（x+x－1）（x2+x－2－1）=（x+x－1）［（x+x－1）2－3］=3×（32－3）=18，
∴（x+x）2=20.
又由x+x－1=3＞0得x＞0，∴x+x＞0.
∴x+x==2.
4.由ab－2－6ab+9b=（ab－1－3b）2，
又1＜a＜b，∴a＜a＜3b，从而得ab－1＜3b.
∴原式=·=·=－b2=
－（5）2=－50.备课资料
1.若b≠1，则logab等于
A.－logba
B.
C.lgb－lga
D.
2.设lg2=a，lg3=b，则log512等于
A.
B.
C.
D.
3.已知x=+，则x的值属于区间
A.（－2，－1）
B.（1，2）
C.（－3，－2）
D.（2，3）
4.（log63）2+=________.
5.若log2=，则log123=________.
答案：1.D
2.C
3.D
4.0.1276
5.a备课资料
1.无限集
在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架.他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地.这个学科就叫做集合论.它的概念和方法已经有效地渗透到所有的现代数学.尽管我们生存的世界是有限的，但是，为了研究它，我们却总是要涉及无限，所有自然数的集合就是一个无限集，圆周率的精确值表示需要无限多位小数，等等.对于无限集，可以得到一些意想不到的结论.例如，设集合A是所有正整数的集合，集合B是所有正偶数的集合.直观地，B中的元素个数恰好是A中元素个数的一半.但是，根据集合论的观点，它们的个数是一样的.这可以用“配对”的方法来验证：
这里没有矛盾，如果有的话，也只是出于我们的成见.对此的阐释最好莫过于“希尔伯特旅馆”，这个理想化的建筑物有无限多个房间，以所有正整数1，2，3……来编号.一天晚上，碰巧所有房间都住满了（在这个故事中人数也是无限多）.这时新来了一个客人，正在老板无法安置的时候，一个聪明的服务员想出了一个办法，她提出将1号房的客人安排到2号房，2号房的客人安排到3号房，3号房的客人安排到4号房，由此类推……这样就腾出了1号房供新客人使用.而且即使来了不止一个客人，也可以同样妥善安置，比如说来了新客人10个，她说：“只需将1号房的客人安排到11号房，2号房的客人安排到12号房，3号房的客人安排到13号房，由此类推……这样就腾出了前十个空房供新客人使用.”这时，有人提出新的问题，如果后来的客人有无数人怎么办呢 这难不到我们的这位服务生，她提出将1号房的客人安排到2号房，2号房的客人安排到4号房，3号房的客人安排到6号房，由此类推……这样不就腾出了1号，3号，5号……无数个房间吗!
2.设a、b∈R，ab≠0，集合A={t|t=++}，则card（a）（card（a）表示有限集A的元素个数）的值为
A.1
B.2
C.3
D.4
3.集合M=｛（x，y）|y=2x2+x+6，x∈R，x≠0｝，点P（x，y）∈M，则点Q（|x|，－y）是第几象限的点
4.设集合P=｛x|x为有长为1的边及40°为内角的等腰三角形｝，试问P中有多少个元素
5.设M=｛a|a=x2－y2，x，y∈Z｝，求证：
（1）一切奇数属于M；
（2）偶数4k－2（k∈Z）不属于M；
（3）属于M的两个整数，其积仍属于M.
答案：2.B
3.四（点拨：y=2x2+x+6=2（x+）2+＞0，|x|＞0，－y＜0）
4.4（点拨：腰长为1且顶角为40°的三角形、腰长为1且底角为40°的三角形、底边长为1且顶角为40°的三角形及底边长为1且底角为40°的三角形）
5.（1）设a为任意的奇数，即a=2k－1（k∈Z）.因2k－1=k2－（k－1）2（k，k－1∈Z），故a∈M.由a的任意性知，一切奇数属于M.
（2）假设4k－2∈M，则存在x、y∈Z，使4k－2=x2－y2（x+y）（x－y）=2（2k－1）.
①
①式说明x+y和x－y必有一个是偶数，另一个是奇数，但是x+y和x－y具有相同的奇偶性，这是一对矛盾.故①式不成立，所以4k－2M.
（3）设α、β∈M，则α=x12－y12，β=x22－y22（x1、x2、y1、y2∈Z）.
进而αβ=（x12－y12）（x22－y22）=x12x22+y12y22－x12y22－x22y12=（x1x2－y1y2）2－（x1y2－x2y1）2.
而x1x2－y1y2∈Z，x1y2－x2y1∈Z，所以αβ∈M.教材习题点拨
教材问题详解
思考1
如何利用函数解析式f(x)＝x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”？
答：对“随着x的增大，相应的f(x)随着减小”可以描述为：在区间(－∞，0]上，任取两个x1，x2，得到f(x1)＝x，f(x2)＝x．当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)．
对“随着x的增大，相应的f(x)也随着增大”可以描述为：在区间(0，＋∞)上，任取两个x1，x2，得到f(x1)＝x，f(x2)＝x．当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)．
你能仿照这样的描述，说明函数f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是减函数吗？
答：在区间(－∞，0]上，任取两个x1，x2，得到f(x1)＝x，f(x2)＝x，当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)．这时，我们就说函数f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是减函数．
探究
画出反比例函数y＝的图象．
(1)这个函数的定义域I是什么？
(2)它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答：函数y＝的图象如图所示．
(1)这个函数的定义域为{x|x＜0或x＞0}．
(2)由图象知函数y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．
证明：设x1，x2I，且x1＜x2，则有
f(x1)－f(x2)＝－＝．
∵当x1＜x2＜0时，x2－x1＞0，x1x2＞0，
则f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)．
∴当x1＜x2＜0时，函数y＝是减函数．
∵当0＜x1＜x2时，x2－x1＞0，x1x2＞0，
则f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)．
∴当0＜x1＜x2时，函数y＝是减函数．
综上所得，函数y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．
思考2
你能以函数f(x)＝－x2为例说明函数f(x)的最大值的含义吗？
答：函数f(x)＝－x2的图象上有一个最高点(0,0)，即对于任意的xR，都有f(x)≤f(0)．当一个函数有一个最高点时，我们就说函数f(x)有最大值，最大值是最高点的纵坐标．
思考3
你能仿照函数最大值的含义，给出函数y＝f(x)的最小值(minimumvalue)的定义吗？
答：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的xI，都有f(x)≥M；
②存在x0I，使得f(x0)＝M．
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
教材习题详解
练习
1．解：装配线的生产效率随工人数的增加而提高，达到一定的高度后，由于人数增多会导致窝工，生产效率反而随工人数的继续增加而降低．
2．解：图象如图．
此函数的单调增区间为[8,12]和[13,18]，单调递减区间为[12,13]和[18,20]．
3．解：函数的单调区间为[－1,0]，[0,2]，[2,4]，[4,5]，并且函数在[－1,0]和[2,4]上是减函数，在[0,2]和[4,5]上是增函数．
4．证明：设x1，x2R且x1＜x2，
则x1－x2＜0．f(x1)－f(x2)＝－2x1＋1－(－2x2＋1)＝－2x1＋2x2＝－2(x1－x2)＞0．故函数在R上是减函数．
点拨：用定义证明函数增减性时，x1，x2应是整个单调区间内的两个任意的自变量．
5．答案：最小值
点拨：画出函数的简易图象，即可发现最值情况．
教材问题详解
观察1
观察图1.3－7，思考并讨论以下问题：
(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
答：(1)这两个函数图象都关于y轴对称．
(2)对于定义域内的任意x与－x，它们对应的函数值相等，
即f(x)＝f(－x)．
问题1
请你仿照这个过程，说明函数f(x)＝|x|也是偶函数．
答：对于函数f(x)＝|x|有：f(－3)＝f(3)＝3，f(－2)＝f(2)＝2；f(－1)＝f(1)＝1．实际上，对于定义域R内任意一个x，都有f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)．这时我们称函数f(x)＝|x|为偶函数．
观察2
观察函数f(x)＝x和f(x)＝的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？
答：填表略．这两个函数的图象都关于原点对称．
问题2
请你仿照这个过程，说明函数f(x)＝也是奇函数．
答：对于函数f(x)＝有：f(－3)＝－＝－f(3)；
f(－2)＝－＝－f(2)；f(－1)＝－1＝－f(1)．
实际上，对于定义域(－∞，0)(0，＋∞)内任意一个x，都有f(－x)＝－＝－f(x)．这时我们称函数f(x)＝为奇函数．
思考
(1)判断函数f(x)＝x3＋x的奇偶性．
(2)下图是函数f(x)＝x3＋x图象的一部分，你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？
答：(1)定义域是R，对任意xR，都有
f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，
故f(x)＝x3＋x是奇函数．
(2)由(1)知函数f(x)＝x3＋x是奇函数，则图象关于原点对称．将函数f(x)＝x3＋x图象位于y轴右边的部分作关于原点对称的对称图象，得函数f(x)＝x3＋x在y轴左边的图象，如图所示．
教材习题详解
练习
1．解：(1)偶函数；(2)奇函数；(3)奇函数；(4)偶函数．
点拨：判断函数的奇偶性时，首先确定定义域是否关于原点对称，然后再考查f(x)与f(－x)的关系．
2．解：f(x)的图象关于y轴对称，g(x)的图象关于原点对称．图略．
教材习题详解
习题1.3
A组
1．解：图略．(1)y＝x2－5x－6的单调区间是(－∞，]和[，＋∞)，其中在(－∞，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(2)y＝9－x2的单调区间是(－∞，0]和[0，＋∞)，其中在(－∞，0]上是增函数，在[0，＋∞)上是减函数．
2．证明：(1)设x1＜x2＜0，则x1－x2＜0．
∵f(x1)－f(x2)＝x＋1－(x＋1)＝x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＞0，
∴函数f(x)在(－∞，0)上是减函数．
(2)设x1＜x2＜0，则x1－x2＜0．
∵f(x1)－f(x2)＝1－－＝－＋＝＜0，
∴函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．
点拨：证明函数在某个区间上的单调性时，要从该区间内任取两数，比较它们的函数值．
3．解：对于一次函数y＝mx＋b，当m＞0时，它是单调递增函数，
当m＜0时，它是单调递减函数．
以m＞0为例：设x1、x2R且x1＜x2，则y1－y2＝(mx1＋b)－(mx2＋b)＝m(x1－x2)＜0，所以函数为增函数．
4．解：心率关于时间的一个图象为：
点拨：图象只要表示出明显减慢再慢慢升高即可．
5．解：y＝－＋162x－21
000
＝－(x2－8
100x＋4
0502)＋349
050
＝－(x－4
050)2＋349
050．
故当每辆车的月租金定为4
050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为349
050元．
点拨：对于二次函数的最值问题，大都要进行配方，也可直接套用公式，即y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－时，y最值＝．
6．解：画出f(x)在x≥0上的图象，利用中心对称性可画出其在x＜0上的图象，如图所示：
f(x)＝
点拨：本题也可先求出f(x)在x＜0上的解析式，写成分段函数的形式，再画图象．
B组
1．解：(1)f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以f(x)的单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是[1，＋∞)；
g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x[2,4]，
所以g(x)的单调增区间是[2,4]，没有单调减区间．
(2)由(1)知f(x)min＝f(1)＝－1；
g(x)min＝g(2)＝0．
点拨：考查二次函数的单调区间和最值时，应特别注意函数定义域的限制，如果是在R上研究，则顶点处的函数值最大(小)，如果限定了某个闭区间，则要研究对称轴与给定闭区间的关系，进而确定最值．
2．解：设每间居室的宽为x
m，则其长为
m，
所以每间居室的面积为S＝x·＝－x2＋15x＝－(x－5)2＋，于是当x＝5时，Smax＝
m2．
答：当宽为5
m时，每间居室面积最大，最大面积为
m2．
点拨：求解本题时，中间的隔墙容易被漏掉，另外要注意所求为每间居室的最大面积，避免出错．
3．解：f(x)在(－∞，0)上是增函数．
证明：设x1，x2(－∞，0)且x1＜x2，则－x1，－x2(0，＋∞)，且－x1＞－x2，f(－x1)＜f(－x2)，
于是f(x1)－f(x2)＝f(－x1)－f(－x2)＜0．
故函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．
点拨：偶函数的图象关于y轴对称，所以它在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性是相反的，证明时应从(0，＋∞)上的函数值比较转化到(－∞，0)上的函数值比较．备课资料
知识点总结——函数概念及性质
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|
x∈A
}叫做函数的值域.
如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零；
偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.求出不等式组的解集即为函数的定义域.
2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域.
构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备).
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域；应熟悉掌握一次函数、二次函数，它是求解复杂函数值域的基础；求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等.
3.函数图象知识归纳
定义：在平面直角坐标系中，以函数
y=f(x)
(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数
y=f(x)(x
∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上,即记为C={
P(x,y)
|
y=
f(x),
x∈A}.图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.
画法：①描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,
y)，最后用平滑的曲线将这些点连结起来.②图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换.
作用：直观地看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发现解题中的错误.
4.区间的概念
区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示.
5.映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”.给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B,且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
6.函数的表示法
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；解析法：必须注明函数的定义域；图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.解析法便于算出函数值；列表法便于查出函数值；图象法便于量出函数值.
分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f\[g(x)\]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数.
7.函数的单调性
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1、x2；当x1.
图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
函数单调区间与单调性的判定方法：定义法，任取x1、x2∈D，且x1函数
单调性
u=g(x)
增
增
减
减
y=f(u)
增
减
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性
偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数.由函数的奇偶性定义,可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.
具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(-x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称再根据定义判定：有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或=±1来判定：利用定理，或借助函数的图象判定.
9.函数的解析表达式
函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f\[g(x)\]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x).
10.函数最大（小）值方法
利用二次函数的性质（配方法）；利用图象；利用函数单调性；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).备课资料
1.从2002年起，每年9月1日到银行存入1万元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并每年到期存款自动转为新的一年定期，到2008年9月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱数（万元）是多少？（列出相应的函数表达式）
2.假设世界人口自1980年起，50年内每年增长率均固定，已知1987年世界人口达50亿，1999年第60亿个人诞生在塞拉佛耶.根据这些资料推测2023年世界人口数最接近下列哪一个数
A.92亿
B.86亿
C.80亿
D.75亿
3.该市煤气收费的方法是：煤气费=基本费+超额费+保险费.
如果每月用气量不超过最低额度A
m3时，只付基本费3元和用户每月额定保险费C元；如果每月用气量超过最低额度A
m3时，超过部分应按B元/m3的标准付费，并知保险费不超过5元，根据上面提供的资料确定A、B、C的值.
月
份
用气量
煤气费
一月份
4
m3
4元
二月份
25
m3
14元
三月份
35
m3
19元
答案：1.设第x年后的9月1日的可取回y万元，则y=（1+p）x+（1+p）x－1+…+（1+p）.
这里2008年9月1日即为6年后的9月1日，即x=6.
所以y=（1+p）6+（1+p）5+…+（1+p）.
2.B
3.设每月的用气量为x
m3，支付费用为y元，依题意得
y=
由于第二、三月份的费用均大于8，故用气量25
m3、35
m3均大于最低额度A，故将
x=25，x=35分别代入②式得
由③④得B=，
⑤
代入③得A=3+2C.
⑥
因为当x=4时代入②无解，所以4≤A，此时付款方式为①式，则有3+C=4，C=1，再代入⑥得A=5.
所以A=5，B=，C=1.
①
②
≤
≤
≤
③
④备课资料
1.如果loga3＞logb3＞0，那么a、b间的关系是
A.0＜a＜b＜1
B.1＜a＜b
C.0＜b＜a＜1
D.1＜b＜a
2.已知y=loga（2－x）是x的增函数，则a的取值范围是
A.（0，2）
B.（0，1）
C.（1，2）
D.（2，+∞）
3.函数f（x）=log0.2（x－1）（x+2）的递增区间是________.
4.欲使函数y＝loga（x＋1）（a＞0，a≠1）的值域是（－∞，＋∞），则x的取值范围是________.
5.已知函数f（x）满足f（x2－3）=loga（a＞0，且a≠1）.
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）当0＜a＜1时，解不等式f（x）≥loga（2x）.
6.设f（x）＝lg（ax2－2x＋a），
（1）如果f（x）的定义域是（－∞，＋∞），求a的取值范围；
（2）如果f（x）的值域是（－∞，＋∞），求a的取值范围.
7.已知f（x）=logax，当0＜x1＜x2时，试比较f（）与［f（x1）+f（x2）］的大小.
解答：
1.答案：B
解析：由loga3＞logb3＞0，有＞＞0，即log3b＞log3a＞0＝log31，由对数函数单调性，有b＞a＞1，所以选B.
2.答案：B
解法一：取a=，代入可排除A、C，取a=3，代入排除D，故答案为B.
解法二：因u＝2－x是x的减函数，要使y＝loga（2－x）是x的增函数，只要0＜a＜1，答案为B.
3.（－∞，－2）
4.（－1，+∞）
5.（1）f（x）=loga，－3＜x＜3；
（2）f（x）是奇函数；
（3）不等式的解集是{x|1≤x≤}.
6.（1）∵f（x）的定义域是（－∞，＋∞），
∴当x∈（－∞，＋∞）时，都有ax2－2x＋a＞0，即满足条件a＞0，且Δ＜0，4－4a2＜0，∴a＞1.
（2）∵f（x）的值域是（－∞，＋∞），即当x在定义域内取值时，可以使y∈
（－∞，＋∞），
要求ax2－2x＋a可以取到大于零的一切值，
∴a＞0且Δ≥0（4－4a2≥0）或a＝0，
解得0≤a≤1.
7.分析：两个数都是同底对数，可以用例2分析的方法解决.也可以采用作差法比较大小.
解：因为f（）－［f（x1）+f（x2）］
=loga－（logax1+logax2）
=loga－loga
=loga，
又因为0＜x1＜x2，所以x1+x2＞2，
即＞1.
于是，当a＞1时，loga＞0，
此时f（）＞［f（x1）+f（x2）］.
而当0＜a＜1时，loga＜0，
此时f（）＜［f（x1）+f（x2）］.
本题要注意对参数的分类讨论.备课资料
［备用习题］
求方程x3+3x-1=0的一个正的近似解 (精确度0.1)
解：设f(x)=x3-3x-1,设x1为函数的零点,即方程x3-3x-1=0的解.
作出函数f(x)=x3-3x-1的图象(图3-1-3-17).
图3-1-2-11
因为f(1)=-3<0,f(2)=1>0,
所以在区间(1，2)内方程x3-3x-1=0有一个解，记为x1.
取1与2的平均数1.5，因为f(1.5)=-2.125<0，
所以1.5再取2与1.5的平均数1.75，因为f(1.75)=-0.890
625<0，
所以1.75如此继续下去，得
f(1)<0，f(2)>0x1∈(1,2),
f(1.5)<0，f(2)>0x1∈(1.5,2)，
f(1.75)<0，f(2)>0x1∈(1.75,2)，
f(1.875)<0，f(2)>0x1∈(1.875,2)，
f(1.875)<0，f(1.937
5)>0x1∈(1.875,1.937
5)，
因为|1.937
5-1.875|=0.062
5<0.1,
所以区间(1.875,1.932
5)内的每一个实数都可以作为方程x3-3x-1=0的正近似解.问题探究
问题1如何将给出的对数式换成指定底数的对数？
探究:《考试大纲》要求知道用换底公式将一般对数转化成指定底数的对数.
对数换底公式:logbN=
(a>0且a≠1,b>0且b≠1,N>0).
推论:logab=,logambn=logab.
更特别地有logaan=n.
问题2对数函数的运算性质有几条？
探究:对数函数有三条运算性质,它们分别是:
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,则有
(1)loga(M·N)=logaM+logaN;
(2)loga()=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
问题3对对数函数的图象和性质的研究,教材是根据互为反函数的图象特征,由指数函数的图象再作出其关于直线y=x的图象,即得对数函数的图象,在数形结合的数学思想指导下,推得对数函数的性质.请归纳对数函数y=logax(a>0且a≠1)的性质.
探究:我们研究函数的性质一般是通过研究函数的图象特征来进行的.通过研究对数函数的图象我们不难总结出对数函数有三条通性,即与a的取值无关的三条性质:(1)定义域都是(0,+∞);(2)值域都为R;(3)图象恒过点(1,0).与a的取值有关的两个特性:(1)a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数;01:0问题4比较两个对数型的数的大小,一般可采用哪些方法？
探究:两数(式)大小的比较主要是找出适当的函数,把要比较的两数作为此函数的函数值,然后利用函数的单调性等来比较两数的大小.一般采用的方法有:
(1)直接法:由函数的单调性直接作答;
(2)作差法:把两数作差变形,然后判断其大于、等于、小于零来确定;
(3)作商法:若两数同号,把两数作商变形,判断其大于、等于、小于1来确定;
(4)转化法:把要比较的两数适当转化成两个新数大小的比较;
(5)媒介法:选取适当的“媒介”数,分别与要比较的两数比较大小,从而间接地求得两数的大小.
典题精讲
例1:比较下列各组中两个值的大小.
(1)log31.9,log32;
(2)log0.90.1,log0.92;
(3)log35,log53;
(4)log23,log0.32;
(5)logaπ,loga3.141.
思路分析:
比较两个对数值的大小:同底可利用对数函数的单调性,如(1)(2);若底数、真数都不同可以借助常数(常用的-1,0,1)为媒介间接比较大小,如(3)(4);若真数相同,底数不同可以借助对数函数图象来比较大小;若底数与1的大小关系不确定,要分情况讨论.
解:(1)因为y=log3x在(0,+∞)上是增函数,所以log31.9(2)因为y=log0.9x在(0,+∞)上是减函数,所以log0.90.1>log0.92.
(3)因为log35>log33=1=log55>log53,所以log35>log53.
(4)因为log23>log22=1,log0.32<0,所以log23>log0.32.
(5)当a>1时,logaπ>loga3.141;
当0例2:已知a=lg(1+),b=lg(1+),试用a、b的式子表示lg1.4.
思路分析:
求以a、b表示的lg1.4的式子,实际上是寻找lg、lg和lg1.4之间的关系,所
以应将三个对数的真数尽量化整并化小(一般把底化成常用对数),便于寻找关系.
解:a=lg(1+)=lg=3lg2-lg7①.b=lg(1+)=lg=lg-lg72=2-lg2-2lg7②.
由①②得lg2=
(2a-b+2),lg7=
(-a-3b+6),
∴lg1.4=lg=lg2+lg7-1=
(a-4b+1).
例3:已知函数y=lg(-x),求其定义域,并判断其奇偶性、单调性.
思路分析:
这是一个常用对数,只要考虑真数大于0即可.但由于真数中含有根式,所以还要判断根式内的式子大于0时自变量的取值.
解:由题意知-x>0,解得x∈R,即定义域为R;
又f(-x)=lg[-(-x)]=lg(+x)=lg=lg(-x)-1=-lg(-x)
=-f(x).
∴y=lg(-x)是奇函数.
∵奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,
∴我们只需研究R+上的单调性.
任取x1、x2∈R+且x1则<+x1<+x2
>,
即有-x1>-x2>0.
∴lg(-x1)>lg(-x2),即f(x1)>f(x2)成立.
又f(x)是定义在R上的奇函数,故f(x)在R-上也为减函数.
例4:(1)函数y=lg的图象大致是(
)
图2-2-1
(2)作出函数y=|log4x|-1的图象.
思路解析:
(1)本题通法有两种:①图象是由点构成的,点点构成函数的图象,所以可取特殊点(2,0),(,1).②利用函数解析式判断函数的性质,函数的定义域为(1,+∞),在定义域上函数为减函数.
(2)y=|log4x|-1的图象可以看成由y=log4x的图象经过变换而得到:将函数y=log4x的图象在x轴下方部分以x轴为对称轴翻折上去,得到y=|log4x|的图象,再将y=|log4x|的图象向下平移1个单位,横坐标不变,就得到了y=|log4x|-1的图象.
答案:(1)A
(2)如图2-2-2所示.
图2-2-2
例5:(1)已知函数y=log3(x2-4mx+4m2+m+)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)已知函数y=loga［x2+(k+1)x-k+］(a>0,且a≠1)的值域为R,求实数k的取值范围.
思路分析:
题(1)中,对任意实数x,x2-4mx+4m2+m+>0恒成立;题(2)中,x2+(k+1)x-k+取尽一切正实数.
解:(1)∵x2-4mx+4m2+m+>0对一切实数x恒成立,
∴Δ=16m2-4(4m2+m+)=-4(m+)<0.
∴
>0.
又∵m2-m+1>0,∴m-1>0.∴m>1.
(2)∵y∈R,
∴x2+(k+1)x-k+可取尽一切正实数.
∴Δ=(k+1)2-4(-k+)≥0.
∴k2+6k≥0.∴k≥0或k≤-6.教材习题点拨
教材问题详解
问题1
我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多．从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？
答：线性函数模型增长量是固定不变的，而指数函数模型的“增长量”是成倍增加的，可以说增长的速度越来越快，到了一定程度，就像导弹爆炸一样，每当自变量增加一定量时，函数值会增加的非常多．
问题2
根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5～8天选方案二，投资8天以上选方案三？
答：应该作这样的选择．
教材习题详解
练习
1．y2　点拨：将所给数据以散点图的形式描在坐标系中，再顺次连结各点，即可发现各个函数图象的大致形状，从而断定函数类型．
2．解：对于每一台计算机，每一轮都要感染20台，所以第5轮将感染204台，于是10台将感染10×204＝1
600
000．
答：第5轮被感染的计算机共有1
600
000台．
点拨：题目所描述的感染形式为指数型增长，其感染力无疑是非常巨大的．
教材问题详解
观察
请在图象上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2，log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围．
答：如图所示，
由图得，使不等式log2x＜2x＜x2成立的自变量x的取值范围是(2,4)；使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是(4，＋∞)(0,2)．
探究1
你能借助图象，对y＝x2和y＝log2x的增长情况进行比较吗？
答：画出函数y＝x2和y＝log2x的图象，如图所示，
由图象可以看出，幂函数y＝x2的图象始终在对数函数y＝log2x的图象上方，这说明幂函数y＝x2比对数函数y＝log2x增长得快，并且当自变量越来越大时，可以看到对数函数y＝log2x的图象接近于直线，说明增长很慢，相比之下，幂函数y＝x2的图象越来越“陡”即增长很快．
探究2
你能用同样的方法，讨论一下函数y＝ax(0＜a＜1)，y＝xn(n＜0)，y＝logax(0＜a＜1)在区间(0，＋∞)上的衰减情况吗？
答：首先作出三个具体函数y＝x，，的衰减情况，作出它们的图象，如图所示，
通过观察上面的图，获得这三个具体函数的衰减情况，然后将结论推广到一般的情况：
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(0＜a＜1)、y＝xn(n＜0)和y＝logax(0＜a＜1)都是减函数，但它们衰减的速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，存在一个x0，当x＞x0时，xn＞ax＞logax．
教材习题详解
练习
解：函数图象如图．
从函数图象可以发现，增长速度最快的是y＝0.1ex－100，次之的是y＝20x，增长速度最慢的是y＝20lnx＋100．
点拨：指数型函数是所有函数中增长速度最快的函数，所以常有“指数爆炸”一说．
教材问题详解
问题1
你能根据图3.2－7作出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？
答：汽车行驶路程关于时间变化的图象如教材图3.2－8所示．
问题2
你对模型得出的结果与实际存在的情况有何看法？
答：由模型得出的结果与实际存在的结果很可能有误差，这是正常的．但从总体来看，这个误差是允许的，因为我们总是估计将来的结果．
教材习题详解
练习1
1．解：(1)1650年世界人口5
亿，年增长率为0.3
%，要使人口变为1650年的2倍，则10＝5e0.003t，
即e0.003t＝2．两边取自然对数，得0.003t＝ln2≈0.693
1，
解得t≈231，
即1881年世界人口将变为1650年的2倍．
1970年世界人口36亿，年增长率为2.1%，要使人口变为1970年的2倍，则72＝36e0.021t，
即e0.021t＝2．两边取自然对数，得0.021t＝ln2≈0.693
1，
解得t≈33，即2003年世界人口将变为1970年的2倍．
(2)函数模型不同，描述现实的程度也有差别，世界各国政府采取的措施都导致人口自然增长率发生变化，所以函数模型是否吻合实际，要依据实际情况作出判断和修正．
点拨：用已知的函数模型刻画实际问题时，条件的变化会影响模型对问题的反映，所以具体应用时，还要考虑各种因素对函数的影响，对模型进行不断地修正，才能更准确地反映实际情况．
2．解：由题意，要使子弹高度保持在100
m以上，则有75t－4.9t2≥100，
即4.9t2－75t＋100≤0，解得1.48≤t≤13.83．
故子弹保持在100
m以上高度的时间约为12.35秒．
∵子弹上升到最大高度后速率变为零，75－9.8×1.48≈60.5，
∴子弹速率的变化范围是[0,60.5)．
点拨：本题是物理学中的竖直上抛运动，由于已有现成的公式，故代入数据计算即可．关键是明确问题的过程：子弹以75
m/s的速度上升，高度增加，速度减小，到速度为0
时，高度达到最大值，之后开始下降，速度向下越来越大，直到返回到射击地，如果不计空气阻力，速度将会和原来的速度大小相等，方向相反．
练习2
1．解：(1)y1＝0.25x＋150；
y2＝＋0.25；
y3＝0.35x；
y4＝0.1x－150．
(2)画出函数y4＝0.1x－150的图象，可以发现当x＝1
500件时，利润为0；
当生产总量大于1
500件时，公司开始赢利，并且随生产总量的增加呈一次函数的增长形势．
2．解：将所给数据分别代入两个函数解析式，有和
解两个方程组，得和
即甲、乙的预测模型分别为y1＝－x2＋12x＋41和y2＝－·x＋92．
将x＝4,5,6分别代入上述解析式，得y1＝73,76,77；y2＝73,78,81．由数据可知，乙选择的函数模型较好．
点拨：判断模型好坏的标准是与实际情况相吻合的程度，谁更好地反映实际谁就更好．
习题3.2
A组
1．解：函数图象如图所示，解析式为F＝x．近似为一次函数关系．
点拨：对于未知函数模型的解析式，在求解时一般要通过描点画大致图象，根据图象确定函数模型，再用待定系数法求解．
2．解：将x＝60，y＝20代入y＝ax2，可得20＝a×602，
即a＝．故函数关系式为y＝x2．
∵当y＝50时，x＝30＜100，∴这辆车没有超速行驶．
3．解：汽车与A地距离x与时间t的函数关系为
x＝
函数图象如图(1)．
车速v与时间t的函数关系为
v＝
函数图象如图(2)．
图(1)
图(2)
4．解：设水池的长为x
m，则宽为
m．于是水池的总造价y＝95×6＋135·x·＝1
140＋27
000．要使水池的总造价控制在7万元以内，
则1
140＋27
000≤70
000，
化简得57x2－2
150x＋11
400≤0，
∴6.4≤x≤31.3，
即水池的长应控制在6.4
m到31.3
m之间，才能使总造价控制在7万元以内．
点拨：利用水池一边的长表示出总造价的函数，再解关于边长的不等式而得结果，这里应当注意实际意义的限制．
5．解：由题意，在y＝cekx中，当x＝0时，y＝1.01×105，当x＝2
400时，y＝0.9×105，代入函数解析式，得
解得
当x＝5
596时，y＝1.01×105×e5
596×(－0.000
057
5)≈0.732×105(Pa)＜0.775×105(Pa)．故这位游客的决定太冒险．
点拨：：海平面的高度为0
m，在计算k的值时，应在所得方程的两边取自然对数．
6．解：设x小时后再补充药液，由题意得500≤2
500(1－20%)x≤1
500，解此不等式，得2.3≤x≤7.2．
故应在注射后2.3小时再补充药液，但不能超过7.2小时．
B组
1．解：(1)取自变量x为0,1，…，10，对应年份为1990，1991，…，2000得函数图象如下图中散点所示．
(2)根据图象，取函数模型y＝a·bx．取2组数据：(2,26
651.9)、(8,76
967.1)，代入y＝a·bx得
解得a≈18
820.6，
b≈1.19，
得函数模型：y＝18
820.6×1.19x．
代入其他数据，差距较大．再取函数模型为y＝kx＋b．
取(4,46
670.0)、(8,76
967.1)两组数据代入得
因此函数模型为y＝7
574.275x＋16
372.9．
代入其他数据可知，拟合程度较高，说明它能较好地反映国民生产总值情况．
其图象如图中直线y2所示．
(3)y2
004＝7
574.275×(2
004－1
990)＋16
372.9＝122
412.75(亿元)，
即预测2004年的国内生产总值为122
412.75亿元．
2．解：(1)由教材中图(1)，点A表示本线路的运营成本，点B表示本线路的收支平衡点，射线AB上的AB段表示亏本经营，B点以上表示赢利经营．
(2)教材图(2)中的射线与原射线平行，上移得到，显然缩减了运营成本，票价不动，所以应是减少运营车辆，以达到扭亏为赢．
图(3)中的射线与原射线仍交于点A，但斜率增大，显然运营成本不变，票价上浮，所以应是提高票价，以达到扭亏为赢．
点拨：解答此类题的关键是理解图象的含义，这要从横、纵坐标所代表的量入手分析，对于直线型函数，多考察斜率k和在y轴上的截距b的意义．备课资料
1.函数y=（2a2－3a+2）ax是指数函数，则a的取值范围是
A.a＞0，a≠1
B.a=1
C.a=
D.a=1或a=
2.下列函数是指数函数的是
A.y=（－3）x
B.y=－3x
C.y=3x－1
D.y=3x
3.函数y=的定义域为
A.（－2，+∞）
B.［－1，+∞）
C.（－∞，－1］
D.（－∞，－2）
4.若a＞1，－1＜b＜0，则函数y=ax+b的图象一定经过
A.第一、二、三象限
B.第一、三、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、二、四象限
5.在同一坐标系下，函数y=ax2和y=（－a）x的图象可能是
6.若（a2+a+2）x＞（a2+a+2）1－x，则x的范围为________.
7.证明函数y=ax和y=a－x（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称.
参考答案：
1.C
2.D
3.B
4.A
5.C
6.x＞
7.设P1（x1，y1）是函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象上任意一点，则y1=a，
而P1（x1，y1）关于y轴的对称点是Q（－x1，y1），
∴y1=a=a，即Q在函数y=a－x的图象上.
由于P1是任意取的，∴y=ax上任一点关于y轴的对称点都在y=a－x的图象上.
同理可证：y=a－x图象上任意一点也一定在函数y=ax的图象上，
∴函数y=ax和y=a－x的图象关于y轴对称.备课资料
1.函数的定义域
函数的定义域是函数三要素之关键，函数定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，具体来说，常有以下几种情况：
（1）f（x）为整式时，定义域为实数集.
（2）f（x）为分式时，定义域为使分母不为零的实数的集合.
（3）f（x）是二次根式（偶次根式）时，定义域为使被开方数非负的实数的集合.
如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集.
由实际问题建立的函数，除了要考虑其解析式有意义外，函数的定义域还要符合实际问题的要求.
函数f（x+1）、f（2x）、f（x2）的定义域都指的是自变量x本身取值的集合，一般地，函数f［g（x）］的定义域是［a，b］，指的是自变量x∈［a，b］.
已知f（x）的定义域为［a，b］，则f［g（x）］的定义域是指满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围.
对于含有字母的函数，求其定义域时，必须对字母作分类讨论，并要注意函数的定义域为非空数集.
2.函数的值域
函数的值域就是函数值的集合｛f（x）|x∈A｝，也是一个非空数集.
求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用.要求函数的值域，首先应求其定义域，求函数值域的常用方法有：
（1）配方法：利用二次函数的配方法求值域，要注意自变量的取值范围.
（2）判别式法：利用二次函数的判别式法求函数的值域，要注意定义域的范围.
（3）图象法.
另外还有单调性法、反表示法、不等式法等等，今后的学习，我们将不断完善值域的求法.教材习题点拨
教材问题详解
思考1
分析、归纳以上三个实例，它们有什么特点？
答：归纳以上三个实例，可以得到，三个实例中都有两个变量，这两个变量的关系都可以描述为：对于数集A中的任意一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的值y和它对应．
思考2
反比例函数y＝(k≠0)的定义域、对应关系和值域各是什么？请用上面的函数定义描述这个函数．
答：定义域是(－∞，0)(0，＋∞)，对应关系x→，值域是(－∞，0)(0，＋∞)；用函数的定义描述为：对于(－∞，0)(0，＋∞)中任意一个数x，在(－∞，0)(0，＋∞)中都有唯一的数y＝(k≠0)和它对应．
思考3
至此，我们在初中学习的基础上，运用集合和对应的语言刻画了函数的概念，并引进了符号y＝f(x)，明确了函数的构成要素．比较两个函数的定义，你对函数有什么新的认识？
答：函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的．两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同．传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将定义域中任一元素与值域中的唯一确定元素对应起来．
至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因，从历史上看，函数的传统定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制．后来，人们认识到了定义域和值域的重要性，如果只根据变量的观点来解释，会显得十分勉强，例如教材引文中的实例(2)(3)．又如：符号函数sgnx＝用集合与对应的观点来解释，就显得十分自然了．用传统定义几乎无法解释，于是就有了函数的近代定义．由于传统的定义比较生动、直观，有时仍然会使用这一定义．
教材习题详解
练习
1．解：(1)；
(2){x|－3≤x≤1}．
点拨：分式型函数要满足分母不等于零，偶次根式型函数要满足被开方数不小于零．
2．解：(1)f(2)＝3×23＋2×2＝28，f(－2)＝3×(－2)3＋2×(－2)＝－28，f(2)＋f(－2)＝0；
(2)f(a)＝3a3＋2a，f(－a)＝3·(－a)3＋2·(－a)＝－3a3－2a，f(a)＋f(－a)＝0．
点拨：求函数值就是将所给数值代入到函数解析式中自变量的位置上，再计算出式子的值．
3．答案：(1)不相等，因为h＝130t－5t2中的t受实际意义的限制，而二次函数y＝130x－5x2的定义域是全体实数．
(2)不相等，因为g(x)＝x0中的x≠0，f(x)＝1的定义域是全体实数．
点拨：看函数是否相等，要从函数的要素出发，只要定义域和对应法则都一样，就认为两个函数相等．
教材问题详解
思考1
(1)比较三种表示法，它们各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？
(2)举出几个函数，分别用三种方法表示．
答：(1)解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．
图象法的特点是：直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等．
列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．
并不是所有的函数都能用解析法表示．只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．
(2)例如函数y＝x，x{1,2,3}这是解析法；
图象法表示如图．
列表法表示如下表：
x
1
2
3
y
1
2
3
思考2
对于例7，如果将(3)中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；(4)中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B→A是从集合B到A的映射吗？
答：如果将(3)中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形后，对应f：B→A不是从集合B到A的映射，这是因为一个圆有无数个内接三角形；如果将(4)中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，对应f：B→A是从集合B到A的映射，这是由于每一个学生仅对应唯一的一个班级．
教材习题详解
练习
1．解：矩形的另一边长为
2＝，其面积为y＝x·(0＜x＜50)．
2．答案：(1)与图象D吻合，(2)与图象A吻合，(3)与图象B吻合．与图象C吻合的事件：我从家里出发后，骑车快赶，一段时间后发现时间还早，就放慢了速度．
点拨：从速度的变化和离家距离切入问题．
3．解：函数y＝|x－2|的图象如下图．
点拨：画含有绝对值的函数的图象，通常要把绝对值号去掉，改写成分段函数的形式．
4．解：∵sin60°＝，∴与A中元素60°对应的B中的元素是．∵sin45°＝，∴与B中元素对应的A中的元素是45°．
教材习题详解
习题1.2
A组
1．解：(1)(－∞，4)(4，＋∞)；
(2)R；
(3)(－∞，1)(1,2)(2，＋∞)；
(4)(－∞，1)(1,4]．
点拨：从分式及根式有意义入手，寻找自变量应满足的不等式或不等式组．
2．答案：第(3)组中f(x)＝g(x)．
点拨：(1)中定义域不相同，(2)中定义域不相同，所以所给的两个函数均不相等．
3．答案：(1)图象为
定义域为R，值域为R．
(2)图象为
定义域为(－∞，0)(0，＋∞)，值域为(－∞，0)(0，＋∞)．
(3)图象为左下图，
定义域为(－∞，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
　
(4)图象为右上图，
定义域为(－∞，＋∞)，值域为[－2，＋∞)．
4．解：f(－)＝8＋5，f(－a)＝3a2＋5a＋2．
f(a＋3)＝3a2＋13a＋14，f(a)＋f(3)＝3a2－5a＋16．
点拨：直接将自变量的具体数值代入解析式中计算，即得对应函数值，字母型的未知量代入后一定要进行化简．
5．解：(1)∵f(3)＝－，
∴点(3,14)不在f(x)的图象上；
(2)当x＝4时，f(4)＝－3；
(3)当f(x)＝2时，＝2，
∴x＝14．
点拨：考查点是否在函数图象上，就看点的坐标是否满足函数的解析式．
6．解：由题意有
解得
于是函数f(x)＝x2－4x＋3．
故f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8．
点拨：待定系数法先求解析式，再求相应的函数值．
7．解：
(1)　　　　
　　　(2)
　
8．解：y＝，y＝，y＝－x等．
9．解：x＝＝·t，定义域是，值域是[0，h]．
点拨：柱体的体积＝底面积×高．
10．解：从A到B的映射共有8个，分别是
点拨：集合A有m个元素，集合B有n个元素，则从A到B的映射有nm个．
B组
1．解：(1)定义域可能是[－5,0][2,6)；
(2)值域可能是[0，＋∞)；
(3)r在[0,2)和(5，＋∞)上只与p的一个值对应．
点拨：定义域看横轴上p的范围，值域看纵轴上r的范围．
2．解：图象如图所示：
(1)点和点不在上面函数的图象上．
(2)略．
3．解：f(x)＝
函数图象如下图．
点拨：f(x)＝[x]可称为“阶梯函数”，其图象是断开的一组平行线段，形同楼梯，应注意端点的包含关系．
4．解：(1)t＝＋(0≤x≤12)；
(2)当x＝4时，t＝＋≈1.49＋1.6≈3(h)．
点拨：总时间＝乘船的时间＋步行的时间，而时间＝．备课资料
［备选例题］
【例1】已知A={y|y=x2-4x+6,x∈R,y∈N},B={y|y=-x2-2x+7,x∈R,y∈N},求A∩B,并分别用描述法、列举法表示它.
解：y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,A={y|y≥2,y∈N},
又∵y=-x2-2x+7=-(x+1)2+8≤8,
∴B={y|y≤8,y∈N}.
故A∩B={y|2≤y≤8}={2,3,4,5,6,7,8}.
【例2】2006第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试,1设S={(x,y)|xy>0},T={(x,y)|x>0且y>0},则(
)
A.S∪T=S
B.S∪T=T
C.S∩T=S
D.S∩T=
分析:S={(x,y)|xy>0}={(x,y)|x>0且y>0或x<0且y<0},则T?S,所以S∪T=S.
答案：A
【例3】某城镇有1000户居民,其中有819户有彩电,有682户有空调,有535户彩电和空调都有,则彩电和空调至少有一种的有_______户.
解析:设这1000户居民组成集合U,其中有彩电的组成集合A,有空调的组成集合B,如图11317所示.有彩电无空调的有819-535=284户;有空调无彩电的有682-535=147户,因此二者至少有一种的有284+147+535=966户.填966.
图1-1-3-17
差集与补集
有两个集合A、B,如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合,那么C就叫做A与B的差集,记作A-B(或A\B).
例如,A={a,b,c,d},B={c,d,e,f},C=A-B={a,b}.
也可以用韦恩图表示,如图1-1-3-18所示(阴影部分表示差集).
图1-1-3-18
图1-1-3-19
特殊情况,如果集合B是集合I的子集,我们把I看作全集,那么I与B的差集I-B,叫做B在I中的补集,记作.
例如,I={1,2,3,4,5},B={1,2,3},=I-B={4,5}.
也可以用韦恩图表示,如图11319所示(阴影部分表示补集).
从集合的观点来看,非负整数的减法运算,就是已知两个不相交集合的并集的基数,以及其中一个集合的基数,求另一个集合的基数,也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数.备课资料
1.复习函数单调性的概念
（1）复述函数单调性的概念.（学生完成）
（2）画图并结合你所画出的图象分别说明在某一个闭区间［a，b］（b＞a）上单调的函数其图象变化的趋势.（分别画出在某一区间［a、b］上递增（减）的函数图象，指出图象的变化趋势）
（3）结合图象，请指出函数值变化的趋势，你能从中得到一些你认为有价值的结论吗？
2.求函数单调区间的方法及几个常用结论
（1）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.然后用定义法、图象法、复合函数法.
（2）讨论复合函数y＝f［φ（x）］的单调性时要注意两点：
①若u＝φ（x），y＝f（u）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y＝f［φ（x）］为增函数；
②若u＝φ（x），y＝f（u）在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y＝f［φ（x）］为减函数.
（3）若函数f（x）、g（x）在给定的区间上具有单调性，利用增（减）函数的定义容易证得，在这个区间上：
①函数f（x）与f（x）+C（C为常数）具有相同的单调性.
②C＞0时，函数f（x）与C·f（x）具有相同的单调性；C＜0时，函数f（x）与C·f（x）具有相反的单调性.
③若f（x）≠0，则函数f（x）与具有相反的单调性.
④若函数f（x）、g（x）都是增（减）函数，则f（x）+g（x）仍是增（减）函数.
⑤若f（x）＞0，g（x）＞0，且f（x）与g（x）都是增（减）函数，则f（x）·g（x）也是增（减）函数；若f（x）＜0，g（x）＜0，且f（x）与g（x）都是增（减）函数，则f（x）·g（x）是减（增）函数.
3.信息技术的使用
创设如下的教学情境让学生体会单调函数的数量变化规律：
（1）用计算器或计算机作出函数y=x2的图象；
（2）观察函数y=x2的图象，并描述该图象的变化规律（可引导学生观察图象的升降情况）；
（3）在函数y=x2的图象上任找一点P，并测出其坐标；
（4）当点P在函数的图象上“按横坐标（即自变量）x增大”的方向移动时，观察点P的纵坐标（即函数值）y的变化规律；
（5）由学生总结规律后，给出增（减）函数的自然语言描述：在区间I上，若随着自变量x增大函数值y也增大，则称函数在区间I上是增函数；在区间I上，若随着自变量x增大函数值y减小，则称函数在区间I上是减函数.
以上过程，一定要在教师的引导下由学生在计算器或计算机上实践，只有由学生自己获得“自变量x增大时函数值y也增大（减小）”这一变化规律后，再给出增（减）函数的自然语言描述，才会让学生觉得自然，并且印象深刻.这样，也完成了单调函数从用图形语言表述到用自然语言表述的过渡.
（6）要使学生从单调函数的自然语言描述上升到符号语言的定义，可安排如下活动：
①让学生在区间［0，+∞）上，从0开始，每隔一个单位取一个自变量的值，然后用计算器或计算机算出其对应的函数值，得到下表：
②让学生在区间［0，+∞）上，从9开始，每隔0.1个单位取一个自变量的值，然后用计算器或计算机算出其对应的函数值，得到下表：
③让学生在区间［0，+∞）上，从10开始，每隔10个单位取一个自变量的值，然后用计算器或计算机算出其对应的函数值，得到下表：
④让学生在区间［0，+∞）上，任选一个自变量的值作起点，等间隔地取一批自变量的值，然后用计算器或计算机算出其对应的函数值，得到一个表，如：
⑤让学生结合函数单调性的上述描述，观察以上表格，表述自己发现的规律；
⑥期望学生或引导学生得出结论：四个表格都说明，任选两个自变量的值，自变量大的函数值也大；
⑦让学生思考后概括出增函数的定义，并类似地得出减函数的定义.备课资料
1.话说臭氧
臭氧，又名“三氧”，因有鱼腥臭味而得名，分子式为O3，是氧气的同素异体形，在距离地球表面15～25千米的高空，因受太阳紫外线照射的缘故，形成了包围在地球外围空间的臭氧层，这厚厚的臭氧层正是人类赖以生存的保护伞.它吸收大部分来自太阳的有害的紫外线，这对所有生物都是非常重要的.因为更多的紫外线意味着将造成更多的黑瘤和非黑瘤皮肤癌，免疫系统能力下降，农作物产量的下降，海洋生态系统的破坏等等.
科学家对破坏臭氧层的关注始于1970年.研究表明，CFCS在大气中分裂并释放出破坏臭氧层的氯原子，哈龙物质释放出来的溴原子也对臭氧层造成同样的破坏.关于南极“臭氧洞”的成因目前尚无定论，其中最为令人信服的是污染物质学说.
如何保护臭氧层，最方便有效的方法就是尽快停止生产和使用氯氟烃和哈龙.1985年8月，美国、前苏联、日本、加拿大等20多个国家签署了《保护臭氧层国际公约》，并且目前有30多个国家批准了该公约的《关于臭氧层物质的蒙特利尔协议书》.该协议书规定签字国在本世纪末把氯氟烃使用量减少到1986年的一半.欧洲共同体12国已同意本世纪末完全停止使用氯氟烃.第三世界国家对停止生产和使用氯氟烃仍保持冷淡态度，人类对臭氧层的保护还将是一项十分艰巨的任务.
2.恩格尔系数
19世纪德国统计学家恩格尔根据统计资料，对消费结构的变化得出一个规律：一个家庭收入越少，家庭收入中用来购买食物的支出所占的比例就越大；随着家庭收入的增加，家庭收入中用来购买食物的支出会下降.
按照恩格尔的理论，一个国家越穷，每个国民的平均收入中用于购买食物的支出所占比例就越大；随着国家的富裕，这个比例呈下降趋势.恩格尔系数是表示生活水平高低的一个指标.计算方法是：食物支出金额除以总支出金额，等于恩格尔系数.依据这个系数，联合国提出了一个划分贫困与富裕的标准，即恩格尔系数在60%以上者为绝对贫困，50%～59%为温饱，40%～50%为小康，30%～40%为富裕，30%以下为最富裕.备课资料
历史上数学计算方面的三大发明
你知道数学计算方面的三大发明吗 这就是阿拉伯数字、十进制和对数.
研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是3万,印度最早到六世纪末才有十进制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早开始使用,后来传到阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受.
十进制位置计数法的诞生,是自然数发展史上的一次飞跃,同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值.无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭,所有的自然数都可以方便清楚地表示出来.
16世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学家纳皮尔(Napier,J.1550~1617)在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614年他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的朋友——英国数学家布里格斯(Birggs,H.1561~1630)所认识,他与纳皮尔合作,并于1624年出版了《对数算术》一书,公布了以10为底的14位对数表,并称以10为底的对数为常用对数.常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以e为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”
一直到18世纪,瑞士数学家欧拉(Euler,L.1707~1783)才发现了指数与对数的关系,他指出“对数源出于指数”,这个见解很快被人们所接受.
本章复习
整体设计
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型,面对纷繁复杂的变化现象,我们还可以根据变化现象懂得不同特征进行分类研究.而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界的变化规律的三类重要且常用的基本初等函数,本章学习了这三类基本初等函数的概念和性质,因此我们对这一些基本知识和三类基本初等函数学完的前提下,综合复习所学知识,进行知识梳理和整合,同时通过进行知识梳理和整合,使学生形成知识网络,强化数学思想和方法的运用,通过复合函数和抽象函数的复习,提高学生的综合能力.
三维目标
1.理解指数与对数,指数函数与对数函数及幂函数的概念和联系,通过提问,提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认知结构.
2.让学生熟悉,能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关的问题,培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.
3.对复合函数,抽象函数有一个新的认识,培养学生分析、解决问题和交流以及分类讨论的能力.
重点难点
教学重点：指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质.
教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题.
课时安排
1课时
教学过程
应用示例
思路1
例1计算:
(1)［(3)(5)0.5+(0.008)÷(0.02)×(0.32)］÷0.062
50.25;
（2）.
活动：学生观察、思考,学生观察式子的特点,特别是指数和真数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,对有困难的学生及时提示,组织学生讨论交流,并对学生作及时的评价.
解：(1)原式=［()3×()·()2×0.5+(0.2)3×()÷(0.2)］÷(0.5)4×=［×+52÷］÷0.5=+10=.
（2）=
===.
点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式,注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用.
变式训练
如果已知log5427＝a,54b＝3,如何用a、b表示log10881
解法一：由54b＝3得log543＝b.
所以log10881＝＝==.
解法二：由log5427=a,得54a=27,设x=log10881,则108x=81,
所以(542×27-1)x=3×27,即(542×54-a)x=54b×54a.
所以542x-ax=54a+b,即2x-ax=a+b.
因此,得x=.
点评：解法一是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果;解法二是通过对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但解法二运算的技巧性较大.
例2已知a＞0,a≠1,x=,求(x+)n的值.
活动：学生思考,观察题目的特点,教师引导学生考虑问题的思路,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,a与a具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,必要时给予提示.
x2-1=(a+a)2-1=(a+2·a0+a)-1=(a-2·a0+a)=(a-a)2.
这时应看到==|a-a|.
解：将x=(a+a)代入x2-1,得x2-1=(a+a)2-1=(a-a)2.
所以==|a-a|,
x+=(a+a)+
|a-a|=
所以(x+)n=
点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.
例3若函数f(x)的定义域是(,3］,求f(log3x)的定义域.
活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求一个函数的定义域的方法.已知抽象函数f(x)的定义域,求抽象函数f［g(x)］的定义域,要借助于f(x)的定义域来求,由于函数f(x)的定义域是(,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3］,从中解出x,即为f(log3x)的定义域.
解：因为函数f(x)的定义域为(,3］,所以f(log3x)中的log3x的范围就是(,3］,
即0.5＜log3x≤3,即＜x≤9.
因此函数f(log3x)定义域为(3,9］.
点评：求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,对复合函数的定义域要严格注意对应法则.
变式训练
1.求函数y=的定义域.
2.求函数f(x)=的定义域.
答案：1.{x|x≠0且x≠1}.2.{x|x≤0}.
思路2
例1求函数y=的定义域、值域和单调区间.
活动：学生观察,思考交流,独立解题,教师要求学生展示自己的思维过程.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围;函数的值域要根据定义域来求;求函数的单调区间一般用定义法,有时也借助复合函数的单调性.由于自变量处在指数位置上,分母是一个指数式,因此自变量取值无限制;值域转化为二次函数,单调区间用复合函数的单调性确定.
解：函数y=的定义域是全体实数,
因为y===［()x］2≥,所以函数的值域为［,+∞).
设u=()x,则它在(-∞,+∞)上单调递减,
而二次函数y=(u)2在u≤时是减函数,在u≥时是增函数,
令()x≤,则x≥1,令()x≥,则x≤1,
所以函数y=在［1,+∞)上是增函数,在(-∞,1］上是减函数.
点评：这里求函数值域的方法是配方法,求单调区间是用复合函数的单调性确定的.
例2已知函数f(x)=x(+).
(1)指出函数的奇偶性,并予以证明；
(2)求证：对任何x(x∈R且x≠0),都有f(x)＞0.
解：(1)因为f(x)的定义域是不为0的实数,关于原点对称,
又f(-x)=-x(+)=x()=x(-1+)=x(+)=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)当x＞0时,2x＞1,所以f(x)＞0.
当x＜0时,由f(x)为偶函数,有f(x)=f(-x)＞0.
所以对一切x∈R,x≠0,恒有f(x)＞0.
点评：利用函数的奇偶性常可使解法简化,如本题,当x＜0时,证明f(x)＞0较繁,若注意到f(x)为偶函数,则只需证明当x＞0时,f(x)＞0,而这是显然的.
知能训练
课本P82复习参考题A组
1、3、4、6、8、10.
拓展提升
问题：已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,过
A作x轴的垂线,垂足为E,过点B作y轴的垂线,交EA于C,若
C恰好在函数y=log2x的图象上,试求A、B、C三点的坐标.
活动：学生先仔细审题,理解题目的含义,然后思考交流,教师适当时候提示指导.
画出函数的图象,设出点的坐标,由图形间的关系建立方程求解.
解：先画出函数的图象如图.
图2-1
设A(x1,log8x1)、B(x2,log8x2),
则C(x1,log8x2).因为C在函数y=log2x的图象上,
所以log8x2=log2x1,即log2x2=log2x1.
所以x2=x13.
又=,即=,
所以x1log8x13=x13log8x1.
所以3x1log8x1=x13log8x1.由x1>1,所以log8x1≠1.
从而有3x1=x13.所以x1=,x2=3.
所以A、B、C三点的坐标分别为A(,log83)、B(3,log83)、C(,log2).
课后作业
课本P82复习参考题A组
2、5、7、9.
设计感想
本堂课是对过去学过的一章知识进行复习,目的是构建知识体系,形成知识网络,总结解题的方法规律和思想,以便综合运用这些知识,使学生能够见题想法,见题有法,能够做到一题多解,触类旁通,由于涉及的知识点和方法思想较多,所以设计的题目也较多,要注意解题方法的总结和提炼,希望加快处理速度,提高课堂复习效果,做到以不变应万变,使全体同学在知识和技能上都有较大的提高.
习题详解
(课本第82页复习参考题)
A组
1.（1）11；（2）；（3）；（4）.
2.（1）原式===;
（2）原式===.
3.（1）因为lg2=a,lg3=b,log125===,
所以log125=.
（2）因为log23=a,log37=b,log1456=====.
4.（1）（-∞,）∪（,+∞）;（2）［0,+∞）.
5.（,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.
6.（1）因为log67>log66=1,所以log67>1.
又因为log76log76.
（2）因为log3π>log33=1,所以log3π>1.又因为log20.8<0,所以log3π>log20.8.
7.证明：（1）因为f（x）=3x,所以f（x）·f（y）=3x×3y=3x+y.
又因为f（x+y）=3x+y,所以f（x）·f（y）=f（x+y）.
（2）因为f（x）=3x,所以f（x）÷f（y）=3x÷3y=3x-y.
又因为f（x-y）=3x-y,所以f（x）÷f（y）=f（x-y）.
8.证明:因为f（x）=lg,a、b∈（-1,1）,
所以f（a）+f（b）=lg=lg,
f（）=lg（）
=lg
=lg.
所以f（a）+f（b）=f（）.
9.（1）设保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式为y=k·ax（a>0,且a≠1）.
因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,
所以解得
所以y=192×0.93x,
即所求函数解析式为y=192×0.93x.
（2）当x=30
℃时,y≈22（小时）；
当x=16
℃时,y≈60（小时）,
即温度在30
℃和16
℃的保鲜时间约为22小时和60小时.
（3）图象如图：
图2-2
10.解析：设所求幂函数的解析式为f（x）=xα,因为f（x）的图象过点（2,）,
所以=2α,即2=2α.所以α=.所以f（x）=x（x>0）.
图略,f(x)为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.
B组
1.A
2.因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以+=+=lg2+lg5=lg10=1.
3.（1）f（x）=a在x∈（-∞,+∞）上是增函数.
证明：任取x1,x2∈（-∞,+∞）,且x1f（x1）-f（x2）=a-a+
=-
=.
因为x1,x2∈（-∞,+∞）,
所以
又因为x1所以即<0.所以f（x1）-f（x2）<0,即f（x1）所以函数f（x）=a在（-∞,+∞）上是增函数.
（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数,则f（-x）+f（x）=0,即a+a=0a=+=+=1,即存在实数a=1使f（x）=为奇函数.
4.证明:（1）因为f（x）=,g（x）=,
所以［g（x）］2-［f（x）］2=［g（x）+f（x）］［g（x）-f（x）］
=
=ex·e-x=ex-x=e0=1,
即原式得证.
（2）因为f（x）=,g（x）=,
所以f（2x）=,2f（x）·g（x）
=2··
=.
所以f（2x）=2f（x）·g（x）.
（3）因为f（x）=,g（x）=,
所以g（2x）=,
［g（x）］2+［f（x）］2=（）2+（）2
=
=.
所以g（2x）=［f（x）］2+［g（x）］2.
5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t=1时,θ=52,于是
52=15+(62-15)e-k,
解得k≈0.24,那么θ=15+47e-0.24t.
所以,当θ=42时,t≈2.3;当θ=32时,t≈4.2.
答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42
℃和32
℃.物体不会冷却到12
℃.
6.(1)由P=P0e-kt可知,当t=0时,P=P0;当t=5时,P=(1-10%）P0.于是有(1-10%)P0=P0e-5k,
解得k=ln0.9,那么P=P0e.
所以,当t=10时,P=P0e=P0eln0.81=81%P0.
答:10小时后还剩81%的污染物.
(2)当P=50%P0时,有50%P0=P0e,
解得t=≈33.
答:污染减少50%需要花大约33h.
(3)其图象大致如下:
图2-3
备课资料
【备用习题】
1.2006湖南卷函数y=的定义域是(
)
A.(3,+∞)
B.[3,+∞)
C.(4,+∞)
D.[4,+∞)
2.2006全国卷I已知函数f(x)=a,若f(x)为奇函数,则a=_________.
3.函数y=log2的值域是__________.
4.已知函数y=2x的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则f(16)=_________.
5.若函数y=log2［ax2+（a-1）x+］的定义域为R,则a的取值范围是_________.
参考答案：
1.D
2.a=
3.［2,+∞)
4.4
5.典题精讲
例1:判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.
(1)y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;
(2)y=与y=
;
(3)y=1+与u=1+;
(4)y=x2与y=x;
(5)y=2|x|与y=
思路分析:
此题的考查目的在于强化函数是三要素构成的整体,且三要素中值域是由定义域和对应法则共同确定的,判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同.
解:(1)不同,因为它们的定义域不同.前者的定义域是全体实数,后者的定义域是全体自然数.
(2)不同,前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2}.
(3)相同,定义域均为非零实数,对应法则都是自变量取倒数后加1.
(4)不相同,定义域是相同的,但对应法则不同,值域不同,前者的值域是{y|y≥2},后者的值域是{y|y∈R
}.
(5)相同,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值,结果就是y=2
例2:如果f()=,则f(x)=___________.
思路解析:
函数解析式y=f(x)是自变量x确定y值的关系式,本题实质是求经怎样的变形得到这一结果.
方法一:∵f()==,
∴f(x)=(x∈R且x≠0,x≠±1).
方法二:设t=,则x=,代入f()=,
得f(t)=,
∴f(x)=
(x∈R且x≠0,x≠±1).
答案:
例3:作出下列函数的图象:
(1)y=1-x,x∈Z;
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3);
(3)y=|x-1|+|3-x|;
(4)y=|x2-4x+3|.
思路分析:
(1)这个函数的图象是由一些点组成的,这些点都在直线y=1-x上.
∵x∈Z,
∴y∈Z,这些点称为整点.(如图1-2-2)
(2)∵0≤x<3,
∴这个函数的图象是抛物线y=2x2-4x-3介于0≤x<3之间的一段弧.(如图1-2-3)
(3)所给函数可写成分段函数f(x)=
其图象是由两条射线与一条线段组成的折线.(如图1-2-4)
(4)所给函数也可写成分段函数f(x)=
其图象是由两条抛物线的两段组成的.(如图1-2-5)
答案:
(1)
(2)
图1-2-2
图1-2-3
(3)
(4)
图1-2-4
图1-2-5
例4:下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么？
(1)A=R,B={x∈R
|x≥0},对应法则是“求平方”;
(2)A=R,B={x∈R
|x>0},对应法则是“求平方”;
(3)A={x∈R
|x>0},B=R,对应法则是“求平方根”;
(4)A={平面α内的圆},B={平面α内的矩形},对应法则是“作圆的内接矩形”.
思路分析:
只有(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应.
(2)不是从集合A到集合B的映射.因为A中的元素0,在集合B中没有象.
(3)不是从集合A到集合B的映射.因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应,象不唯一.
(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应,象不唯一.
答案:(1)是;(2)不是;(3)不是;(4)不是.
例5:如图1-2-7所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从B点开始沿着折线BC、CD、DA前进至A,若P点运动的路程为x,△PAB的面积为y.
图1-2-7
(1)写出y=f(x)的解析式,并求出函数的定义域;
(2)画出函数的图象并求出函数的值域.
思路分析:
首先通过画草图可以发现,P点运动到不同的位置,y的求法是不同的(如图1-2-8的阴影部分所示).
图1-2-8
可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积由其高来定,所以只要由运动里程x来求出各段的高即可.
解:(1)分类讨论:
①当P在BC上运动时,易知∠B=60°,则知
y=×10×x×sin60°=x,0≤x≤4.
②当P点在CD上运动时,
y=×10×2=10,4③当P在DA上运动时,
y=×10×(14-x)×sin60°=-x+35,10≤x<14.
综上所述,函数的关系式为
y=f(x)=
(2)f(x)的图象如图1-2-11所示.
图1-2-11
由图象可知y的取值范围是0≤y≤10.这表明函数f(x)的值域为[0,10].
例6:纵观历史,中国电信业的发展主要是在20世纪的后20年,尤其是90年代至今真正实现了电信的“起飞”.中国电话网规模从1995年的第4位提升为目前的第2位,进入世界前列.目前,中国的电话用户,特别是移动电话还在加速增长,截止到2001年9月,中国的电话用户达到3.03亿户,其中固定电话1.72亿户,移动电话达到1.31亿户.在2001年前9个月里,移动电话用户平均每个月新增500多万户,中国移动电话用户的总规模已超过美国,排世界第一位.中国每百人电话机普及率在80年代和90年代的年均增长率分别达到9%和30%左右.到2001年9月,全国电话普及率达到24.4%,移动电话普及率达到9.2%.中国电信业的起飞,为中国的经济发展和社会进步奠定了一个良好的基础.
中国网通为了配合客户的不同需要,设有A、B两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图1-2-13所示(MN∥CD).
图1-2-13
(1)若通话时间为2小时,按方案A、B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠？
思路分析:
这是一个生活中的实际问题,分段算出每个方案的话费与通话时间之间的函数关系,然后求出每个函数的函数值即可.
解:设方案A与方案B中应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的函数关系分别为
y=和
由图知
又所以,方案A与方案B中应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的函数关系分别为y=与y=
(1)若x=120分钟,则yA=×120+80=116(元),yB=168(元).
(2)由题意可知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元.
(3)由题意x+80=168,得x=.
所以通话时间在大于分钟的范围内时,方案B才会比方案A优惠.备课资料
1.设f（x）=则使f（x）=的x值是________.
2.已知f（x）=|logax|，其中0＜a＜1，则下列不等式成立的是
A.f（）＞f（2）＞f（）
B.f（2）＞f（）＞f（）
C.f（）＞f（）＞f（2）
D.f（）＞f（2）＞f（）
3.已知函数f（x）=则f（log23）=________.
4.函数y＝log2（32－4x）的定义域是________，值域是________.
5.（2004年全国）已知函数f（x）=lg，若f（a）=，则f（－a）等于
A.
B.－
C.2
D.－2
6.（1995年全国）已知y=loga（2－ax）在区间［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
7.已知f（x）=loga（ax－1）（a＞0，且a≠1）.
（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的增减性；（3）当a取何值时，图象在y轴的左侧？
答案：1.3
2.C
3.
4.（－∞，2.5），（－∞，5）
5.B
6.先求函数定义域，由2－ax＞0，
得ax＜2.
又a是对数的底数，∴a＞0，且a≠1.
∴x＜.
由递减区间［0，1］应在定义域内可得＞1.
∴a＜2.又2－ax在x∈［0，1］上是减函数.
∴y=loga（2－ax）在区间［0，1］上也是x的减函数，
由复合函数的单调性可知a＞1，故1＜a＜2.
7.（1）当a＞1时，定义域为（0，+∞）；当0＜a＜1时，由ax－1＞0可知，定义域为（－∞，0）.
（2）设f（x）=logau，u=ax－1.当a＞1时，x∈（0，+∞），u=ax－1是增函数，y=logau也是增函数，由复合函数的单调性可知f（x）在（0，+∞）上为增函数.
当0＜a＜1时，x∈（－∞，0），u=ax－1是减函数，y=logau也是减函数，由复合函数的单调性可知f（x）在（－∞，0）上为增函数.
（3）由图象在y轴左侧可得当x＜0时，ax－1＞0，解得0＜a＜1.
≥备课资料
一、指数的历史背景
指数的概念发展较慢，德国数学家史提非在1544年研究数列1、2、4、8、16、…对应项的Exponent，意思为“代表人物”，后成为指数的专用术语.
我国最早使用正整数的指数.当时主要用在音乐中，《淮南子·天文训》约公元前200～122年中有称“十一三之”即311=177147，即3的11次幂.后来法国数学家奥力森（1323～1382），英国人互里斯（1616～1703），意大利法梅纳诺（1682～1766）在分数指数幂、负数指数幂和虚数指数幂的扩展中作出了较大的贡献.
二、备用题精选
1.若3x＜5y，则=________.
2.=________，=________，=________，=________.
3.化简（1＜a＜2).
4.已知a＜b＜0，n＞1，n∈N
，化简：+.
5.计算：（1）+；（2）.
解答：1.5y－3x
2.－
+
1+
－1
3.1－.
4.当n是奇数时，原式=（a－b）+（a+b）=2a；
当n是偶数时，原式=|a－b|+|a+b|=（b－a）+（－a－b）=－2a.
所以，+=
5.（1）+=+=2；
（2）===
===.备课资料
1.话说集合语言
集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言.集合语言与其他语言的关系以及它们的构成如下：
集合语言的不同形式各有自己的特点，符号语言比较简洁、严谨，可大大缩短语言表达的“长度”，有利于推理与计算；图形语言易引起清楚的视觉形象，它能直观地表示概念、定理的本质以及相互间的关系，在抽象的数学思维中起着具体化和帮助理解的作用；自然语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，课本中的定理、概念等多以自然语言叙述.在数学解题中，如果数学问题以符号语言形式给出，解题能力强的人在审题时往往会先画出草图或把问题变为自然语言.如果问题以自然语言形式表达的，如应用题，为了便于计算和进行推理，则往往需要引进字母变量建立数学模型.尤其是几何问题，离开符号语言将寸步难行.这些都说明解题时各种语言间的互译是必要的，它可达到简缩思维过程的目的，摆脱思维受阻的困境，有时还能产生妙解.
2.下列对象能组成集合的是
A.大于6而小于9的整数
B.长江里的大鱼
C.某地所有高大的建筑群
D.的近似数
3.a，a，b，b，a2，b2构成的集合M，则M中元素个数最多是
A.6
B.5
C.4
D.3
4.设M=｛平行四边形｝，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p________M，q________M.
答案：2.A
3.C
4.∈备课资料
在制造纯净水的过程中，如果每增加一次过滤可减少水中杂质20%，那么要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少要过滤的次数为多少？（lg2=0.3010，lg3=0.4771）
解：设原有杂质为a，经过x次过滤后杂质为y，则y=a×（80%）x，
由题意＜5%，即（80%）x＜5%，
所以lg0.8x＜lg0.05，
即x＞=≈13.4.
故需要经过14次过滤才能使水中杂质减少到原来的5%以下.问题探究
问题1如何解有关函数的应用题？
探究：解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图，引入变量，建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言；二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，要注重数学能力的培养.
问题2应用题中列出函数关系式有哪些方法？
探究：(1)待定系数法：已知条件中已给出了含参数的函数关系式，或可确定函数类别，此种情形下应用待定系数法求出函数表达式中的相关参数(未知系数)的值，就可以得到确定的函数式.
(2)归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数表达式.
(3)方程法：用x表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数学、物理等方面的知识，列出函数关系式，此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数关系式就是含x、y的二元方程.
典题精讲
例1：某公司为了实现1
000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？
思路分析：
某个奖励模型符合公司要求，即当x∈［10,1
000］时，能够满足y≤5，且≤25%，可以先从函数图象得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.
解：借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象,如图3-2-1所示.
图3-2-1
观察图象发现，在区间［10,1
000］上模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在y=5的上方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x，它在区间［10,1
000］上是单调递增的，当x∈(20,1
000)时，y>5，因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x，利用计算器可知，1.002806≈5.005，
由于y=1.002x是增函数，故当x∈(806,1
000］时，y>5，因此，也不符合题意.
对于模型y=log7x+1，它在区间［10,1
000］上单调递增，且当x=1
000时，y=log71
000+1≈4.55<5，
所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否超过利润x的25%，
即当x∈［10,1
000］时，利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图象，
由图象可知f(x)是减函数，因此f(x)7<0，即log7x+1<0.25x.
所以当x∈［10,1
000］时，y<0.25x.这说明，按模型y=log7x+1奖励时奖金不超过利润的25%.
综上所述，模型y=log7x+1确实符合公司要求.
例2：距湛江(点A)东偏南30°方向千公里C处海面发现一大气田，湛江至江门的海岸线可近似地看作一条东偏北15°的直线，现想修一条供气管道供应湛江用气.已知海上建造输气管道的造价是陆地造价的2倍，问：在湛江至江门的海岸线之间何处接驳海上管道通往湛江造价最低？(如图3-2-2所示，取=1.38)
图3-2-2
思路分析：
本题的计算过程中用有关平面几何知识列出造价与距离的关系，然后解之即可.
解：如图所示，设在湛江至江门的海岸线之间的B处接驳海上管道通往湛江造价最低，作CD⊥AD，垂足为D，连结BD，BD=x(千公里).
又设陆地每千公里输气管道的造价为1个单位，则海上是2个单位，总造价为y.
由∠DAC=15°+30°=45°，∠ADC=90°，AC=，易求得CD=AD=0.4.于是y=.利用判别式法，并注意到y＞0，求得y≥，当y=时，x=0.23.
所以AB=0.4-0.23=0.17.
故在湛江至江门的海岸线之间距湛江0.17千公里的B处接驳海上的输气管道造价最省.
例3：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(
m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系是v＝2
000
ln(1＋).当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12
km/s？
思路分析：
把速度值代入已知方程，转换为指数式后，解出即可.
解：由12
000＝2
000
ln(1＋)，即6＝ln(1＋)，1＋＝e6，利用计算器得≈402.
例4：WAP手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)按30元记费；超过500分钟按0.15元/分钟记费.假如上网时间过短，在1分钟以下不记费，1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟记费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.
问：(1)小周12月份用WAP手机上网20小时，要付多少上网费？
(2)小周10月份付了90元的上网费，那么他这个月用手机上网多少小时？
(3)你会选择WAP手机上网吗？你是用哪一种方式上网的？
思路分析：
这是一个分段函数问题，列出函数的解析式后分段求解即可.
解：设使用WAP手机上网的时间为x分钟，由已知条件可知，当上网时间不超过60分钟时，以每分钟0.5元递增计费；当上网时间超过60分钟但不超过500分钟时，一律按30元收费；超过500分钟时，在30元基础上，再增加0.15元/分钟.故所付上网费
y=
(1)当x=20×60=1
200(分钟)时，应将1
200代入第三段解析式，得y=135，小周要付135元上网费.
(2)90元已经超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得x=900，小周这个月用手机上网900分钟.
（3）现在直接用电脑上网一般每月60元，从图形可以看出，上网时间较短时，用手机上网较合算，上网时间较长时，用电脑上网更合算.
图3-2-3
例5：灌满开水的热水瓶上瓶盖放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1-θ0)e-kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20℃)
思路分析：
先用待定系数法来确定k的值.然后根据给出的时间列出方程解出水的温度与85℃相比即可.大于这个度数可以用，否则不可以用.
解：根据题意，有98=20+（100-20）e-60k，整理得e-60k=，利用计算器解得k=0.000
422
2.故θ=20+80e-0.000
422
2t.
从早上六点至中午十二点共过去六小时，即360分钟.
t=360时，θ=20+80e-0.000
422
2×360=20+80e-0.152，由计算器算得θ≈88℃＞85℃.
答：能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.问题探究
问题1指数函数的走势是由什么来决定的？
探究:指数函数的性质:要看底数和指数对图象的影响,表现在哪个方面,要认真总结.
应该明确是底数来决定指数函数的走势:
(1)当a>1时,函数图象在第一象限的值随a值的增大而增大,图象越靠近y轴.如图2-1-1所示.
(2)当0图2-1-1
图2-1-2
问题2对于指数函数y=ax(a>0且a≠1),有人总结出其底数a越接近1,其图象就越接近直线y=1,你认为该结论成立吗？
探究:要说明该结论的正确性,我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x、y=3x和y=5x的图象,根据图象能看出该结论是正确的.
典题精讲
例1:计算下列各式:
(1);
(2)(2)0+2-2·(2-(0.01)0.5.
思路分析:
第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指数化为正分数指数,将小数指数化为分数指数.
(1)解法一:==
解法二:
=
(2)解:(2)0+2-2·(2-(0.01)0.5
=1+×(-(
=1+×-.
例2:指数函数①f(x)=mx;②g(x)=nx满足不等式1>n>m>0,则它们的图象是(
)
图2-1-3
思路解析:
此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线.
解法一:由0图2-1-4
解法二:只要按照题目条件的要求来取m和n,画出草图后,看它的图形走势和哪个相近即是正确的选项.
取m=,n=的草图(如图2-1-4所示),则见m在左上方,n对应的图象在右下方,对应的选项是C.
答案:C
例3:比较下列各题中两个值的大小:
(1)1.72.5,1.73;
(2)0.8-0.1,0.8-0.2.
思路分析:
此题考查指数函数的单调性.对y=ax,当01时,函数为增函数.结合相应图象可顺利解题.
解:(1)1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,图象如图2-1-6,当x=2.5和3时的函数值.因为1.7>1,所以函数y=1.7x在R上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73.
图2-1-6
图2-1-7
(2)0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,图象如图2-1-7,当x=-0.1和-0.2时的函数值.因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x在R上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.
例4:富兰克林(Benjamin
Franklin,1706～1790)是美国著名的科学家、社会活动家,他的业绩遍及十九个科技领域.“你热爱生命吗？那么别浪费时间,因为时间是组成生命的材料.”就是这位科学家留下的名言.这位科学家死后只留下了一千英磅的遗产,然而他却留下了几十万英磅的遗嘱,这份有趣的遗嘱内容是这样的:
“……一千英磅赠给波士顿的居民,如果他们接受了这一千英磅,那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民,他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息.这些钱过了100年增加到131
000英磅.我希望那时候用100
000英磅来建立一所公共建筑物,剩下的31
000英磅拿去继续生息100年……”
请你计算一下富兰克林的遗嘱能实现吗？
思路分析:
要想判断富兰克林的遗嘱能否实现,需计算100年后他留下的1
000英磅的本息和.这是一个指数函数问题.
解:设经过x年后这1
000英磅的本息和为y,则有y=1
000(1+5%)x,
当x=100时,计算得y=131
501.26.
因此,富兰克林的遗嘱能实现.
例5:某债务市场发行三种债务券,P种面值为100元,一年到期本息和为103元;Q种面值为50元,半年到期本息和为51.4元;R种面值为97元,一年到期本息和为100元,作为购买者,分析三种债券的收益,从小到大的排列为(
)
A.Q,P,R
B.P,R,Q
C.P,Q,R
D.R,P,Q
思路解析:
设这三种面值的半年利率分别为x、y、z,则按前面说的模型可知
100(1+x)2=103,50(1+y)=51.4,97(1+z)2=100.
经计算比较可知y>z>x.
答案:B问题探究
问题
如何理解分数指数幂的意义
探究:分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种新的写法.规定=
(a>0,m、n都是正整数,n>1),
=
(a>0,m、n都是正整数,n>1),在这样的规定下,根式与分数指数幂表示相同意义的量,它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义,负数的分数指数幂是否有意义,应视m、n的具体数而定.
典题精讲
例1:若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是___________.
思路解析:
因为函数y=在[0,+∞上单调，所以y=在[0,+∞上单调减，所以
解得答案:(
,)
例2:已知0思路分析:
利用幂函数和指数函数的性质求解.
解:为比较aa与(aa)a的大小,将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f(x)=xa(0由于指数函数y=az(0比较aa与(aa)a的大小,也可将它们看成底数相同(都是aa)的两个幂,于是可以利用指数函数y=bx(b=aa,0由于a(aa).综上,得<
aa<(aa)a.
例3:图2-3-2中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象,已知α取±2,±四个值,则对应于曲线C1,C2,C3,C4的指数α依次为(
)
图2-3-2
A.-2,-
,,2
B.2,
,-,-2
C.-
,-2,2,
D.2,
,-2,-
思路解析:
要确定一个幂函数y=xα在坐标系内的分布特征,就要弄清幂函数y=xα随着α值的改变图象的变化规律.随着α的变大,幂函数y=xα的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出,直线x=1右侧的图象,由低向高依次为C1,C2,C3,C4,所以α依次为2,
,-,-2,故选择答案B.
答案:B
例4:画函数y=1+的草图,并求出其单调区间.
思路分析:
此函数的作图有两个途径,一是根据描点的方法作图,二是利用坐标系的平移来作图.一般说来,作草图时,利用坐标平移较为方便.
解:由y=1+,得y-1=,∴y=+1.
此函数的图象可由下列变换而得到:
先作函数y=的图象,作其关于y轴的对称图象,即y=的图象,将所得图象向右平移3个单位,向上平移1个单位,即为y=1+的图象(如图2-3-3所示).
图2-3-3
例5:若幂函数f(x)=(m∈Z)的图象与坐标轴没有公共点,且关于y轴对称,求f(x)的表达式.
思路分析:
要求幂函数y=
(m∈Z)的解析式,也就是求整数m,考虑到该幂函数的图象特征:1°与坐标轴无公共点,2°关于y轴对称,可
知指数m2-2m-3≤0且m2-2m-3为偶数(m∈Z),容易解得m的值,进而得到f(x).
解:由题意知,幂函数f(x)=
(m∈Z)在第一象限内递减(或无增减性),且为偶函数,
∴m2-2m-3≤0,且m2-2m-3为偶数,m∈Z.
由得m=0,1,2,-1,3.
又m2-2m-3=0为偶数,
∴m=-1或1或3.
当m=-1或3时,f(x)=x0(x≠0);
当m=1时,f(x)=x-4(x≠0).备课资料
［备选例题］
【例1】判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示:
(1)被3除余1的自然数组成的集合;
(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合;
(3)二次函数y=x2+2x-10的图象上的所有点组成的集合;
(4)设a、b是非零实数,求y=的所有值组成的集合.
思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.
解：(1)被3除余1的自然数有无数个,这些自然数可以表示为3n+1(n∈N).用描述法表示为{x|x=3n+1,n∈N}.
(2)由题意得满足条件的正整数有:3,5,7,11,13,17,19.则此集合中的元素有7个,用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}.
(3)满足条件的点有无数个,则此集合中有无数个元素,可用描述法来表示.通常用有序数对(x,y)表示点,那么满足条件的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2+2x-10}.
(4)当ab<0时,y==-1;当ab>0时,则a>0,b>0或a<0,b<0.
若a>0,b>0,则有y==3;若a<0,b<0,则有y==-1.
∴y=的所有值组成的集合共有两个元素-1和3.则用列举法表示为{-1,3}.
【例2】定义A-B={x|x∈A,xB},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},试用列举法表示集合N-M.
分析:应用集合A-B={x|x∈A,xB}与集合A、B的关系来解决.依据定义知N-M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素组成的集合.观察集合M、N,它们的公共元素是2,3.集合N中除去元素2,3还剩下元素6,则N-M={6}.
答案：{6}.
设计方案（二）
教学过程
导入新课
思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”,那么,集合的含义是什么呢 这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合,引出课题.
思路2.开场白:集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听起来比较陌生,其实在初中我们已经有所接触,比如自然数集、有理数集,一元一次不等式x-3>5的解集,这些都是集合.还有,我们学过的圆的定义是什么？(提问学生)圆是到一个定点的距离等于定长的点的集合.接着点出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这5个实例的共同特征是什么
(1)1~20以内的所有质数;
(2)我国古代的四大发明;
(3)所有的安理会常任理事国;
(4)所有的正方形;
(5)北京大学2004年9月入学的全体学生.
活动：教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出5个实例的特征,并给出集合的含义.
引导过程:
①一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
②集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常用小写字母a,b,c,d,…表示.
③集合的表示法:a.自然语言(5个实例);b.字母表示法.
④集合元素的性质:a.确定性:即任给一个元素和一个集合,那么这个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合;b.互异性:一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的;c.无序性:集合中的元素是没有顺序的.
⑤集合相等:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.
⑥元素与集合的关系:“属于”和“不属于”分别用“∈”和“”表示.
元素确定性的符号语言表述为:对任意元素a和集合A,要么a∈A,要么aA.
⑦在初中我们学过了一些数的集合,国际标准化组织(ISO)制定了常用数集的记法:
自然数集(包含零):N,正整数集:N
(N+),整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.
因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局面.
提出问题
(1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”.
(2)你能写出不等式2-x>3的所有解吗？怎样表示这个不等式的解集？
活动：学生回答后,教师指出:
①在数学中,为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为A={0,1,2,3,4}.
②描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.其中x为元素的一般特征,p(x)为x满足的条件.如数集常用{x|p(x)}表示,点集常用{(x,y)|p(x,y)}表示.
应用示例
思路1
1.课本第3页例1.
思路分析：用相应的数学知识明确集合中的元素,再写在大括号内.
点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.
变式训练
请试一试用列举法表示下列集合:
(1)A={x∈N|且∈N};
(2)B={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N};
(3)C={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.
分析:本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.
(1)集合A中元素x满足均为自然数;
(2)集合B中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合;
(3)集合C中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.
答案：(1)A={0,6,8};
(2)B={2,5,6};
(3)C={(0,6),(1,5),(2,2)}.
2.课本第4页例2.
思路分析：本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内.
点评：本题主要考查集合的表示方法,以及应用知识解决问题的能力;描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素,(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={…|…}的形式;描述法适合表示有无数个元素的集合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.
变式训练
课本P5练习2.
思路2
1.下列所给对象不能构成集合的是(
)
A.一个平面内的所有点
B.所有大于零的正数
C.某校高一(4)班的高个子学生
D.某一天到商场买过货物的顾客
思路分析：本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义,可知组成集合的元素必须是明确的,不能模棱两可.在A中对于任何一个点要么在这个平面内,要么不在这个平面内,因而它可以组成一个集合;在B中由于大于零的正数很明确,因此B也能组成一个集合;C中由于“高个子”没有一个确定的标准,因而不能判定一个学生到底是不是高个子,故它不能组成集合;而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场,以及是否买过货物是非常明确的,因此它也能组成一个集合.
答案：C
变式训练
下列各组对象中不能构成集合的是(
)
A.高一(1)班全体女生
B.高一(1)班全体学生家长
C.高一(1)班开设的所有课程
D.高一(1)班身高较高的男同学
分析:判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而D中所给对象不确定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175
cm以上的男同学”,则能构成集合.
答案：D
2.用另一种形式表示下列集合:
(1){绝对值不大于3的整数};
(2){所有被3整除的数};
(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};
(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z};
(5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}.
思路分析：用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.
答案：(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.
(2){x|x=3n,n∈Z}.
(3)∵x=|x|,∴x≥0.
又∵x∈Z且x<5,
∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4}.
(4){-2}.
(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
变式训练
用适当的形式表示下列集合:
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;
(2)所有被3整除的数组成的集合;
(3)方程(3x-5)(x+2)(x2+3)=0实数解组成的集合;
(4)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.
分析:元素较少的有限集宜采用列举法;对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法.
答案：(1){x||x|≤3,x∈Z}或{-3,-2,-1,0,1,2,3};
(2){x|x=3n,n∈Z};
(3){,-2};
(4){(x,y)|y=x+6}.
3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
思路分析：对于方程ax2-3x+2=0,a∈R的解,要看这个方程左边的x2的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的,则集合A的元素也不相同,所以首先要分类讨论.
解：当a=0时,原方程为-3x+2=0x=,符合题意;
当a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,则解得a≠0且a≤.
综上所得a的取值范围是{a|a≤}.
4.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组的解集;
(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合;
(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;
(4)所有正方形;
(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.
分析:本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法.由于方程组的解为x=4,y=-2.故(1)宜用列举法;(2)中尽管是有限集,但由于它的元素个数较多,所以用列举法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)则宜用列举法为好.
解：(1){(4,-2)};
(2){x|x=3k+2,k∈N且x<1000};
(3){(x,y)|x<0且y>0};
(4){正方形};
(5){(x,y)|x<-1或x>１}.
知能训练
课本P5练习1、2.
拓展提升
1.已知A={x∈R|x=,abc≠0},用列举法表示集合A.
分析:解决本题的关键是去掉绝对值符号,需分类讨论.
解：题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况,可分成以下几种情况讨论:
(1)a、b、c全为正时,x=7;
(2)a、b、c两正一负时,x=-1;
(3)a、b、c一正两负时,x=-1;
(4)a、b、c全为负时,x=-1.
∴A={7,-1}.
注意：(2)、(3)中又包括多种情况(a、b、c各自的正负情况),解题时应考虑全面.
2.已知集合C={x|x=a+b,a∈A,b∈B}.
(1)若A={0,1,2,3},B={6,7,8,9},求集合C中所有元素之和S;
(2)若A={0,1,2,3,4,…,2
005},B={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合C中所有元素之和S;
(3)联系高斯求S=1+2+3+4+…+99+100的方法,试求出(2)中的S.
思路分析：先用列举法写出集合C,然后解决各个小题.
答案：(1)列举法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.
(2)列举法表示集合C={5,6,7,…,2
013,2
014},由此可得S=5+6+7+…+2
013+2
014.
(3)高斯求S=1+2+3+4+…+99+100时,利用1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,进而得S=1+2+3+4+…+99+100=101×50=5
050.
本题(2)中S=5+6+7+…+2
013+2
014=2
019×1
005=2
029
095.
课堂小结
在师生互动中,让学生了解或体会下列问题:
(1)本节课我们学习过哪些知识内容
(2)你认为学习集合有什么意义？
(3)选择集合的表示法时应注意些什么
设计感想
本节课是集合的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.
作业
1.课本P11习题1.1A组4.
2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习课本来解答.
(设计者：韩双影)备课资料
1.函数y=ax在［0，1］上的最大值与最小值的和为3，则a等于
A.
B.2
C.4
D.
2.函数y=2－|x|的值域为
A.（0，1］
B［0，1］
C.（0，+∞）
D.（－∞，+∞）
3.定义运算ab=则函数f（x）=12x的图象是
4.已知y=4x－3·2x+3，当其值域为［1，7］时，求x的取值范围.
5.已知9x－10·3x+9≤0，求函数y=41－x－4·（）x+2的最大值和最小值.
6.已知n∈N
，f（n）=n·0.9n，比较f（n）与f（n+1）的大小，并求f（n）的最大值.
7.已知函数y=（）|x－1|，求定义域、值域，并作出其图象.
8.画出函数y=|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|=k无解，有一解，有两解？
解答：
1.B
2.A
3.A
4.由题意得1≤4x－3·2x+3≤7，
即
由①得2x≤1或2x≥2，由②得2x≤4，故2x≤1或2≤2x≤4，
所以x∈（－∞，0）∪［1，2］.
5.ymin=f（1）=1，ymax=f（0）=2.
6.f（n+1）－f（n）=（n+1）·0.9n+1－n·0.9n=0.9n（0.9n+0.9－n）=·0.9n.
∵0.9n＞0，
∴当1＜n＜9时，f（n+1）＞f（n），
当n=9时，f（n+1）=f（n）〔f（10）=f（9）〕，
当n＞9时，f（n+1）＜f（n），
综上，f（0）＜f（1）＜…＜f（9）=f（10）＞f（11）＞f（12）＞…
∴当n=9或n=10时，f（n）最大，最大值为f（9）=9×0.99.
7.y=定义域：R，值域（0，1］.图象如下图.
8.图象如下图所示：
当k＜0时，直线y=k与函数y=|3x－1|图象无交点，∴方程无解；
当k=0或k≥1时，直线y=k与函数y=|3x－1|图象有一个交点，
∴方程有一解；
当0＜k＜1时，直线y=k与函数y=|3x－1|图象有两个交点，
∴方程有两解.
②
①教材习题点拨
教材问题详解
思考
以上问题中的函数具有什么共同特征？
答：上述的问题涉及的函数，都是形如y＝xα，其中x是自变量，α是常数．
探究
观察图2.3－1，将你发现的结论写在下表内：
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
答：结论如下表所示：
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)(0，＋∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上是增函数
在[0，＋∞)上是增函数；在(－∞，0)上是减函数
在R上是增函数
在[0，＋∞)上是增函数
在(－∞，0)，(0，＋∞)上均是减函数
公共点
(1,1)
教材习题详解
习题2.3
1．解：只有函数y＝是幂函数，其余都不是．
2．解：设幂函数为y＝xα，∵图象过点(2，)，
∴＝2α．∴α＝．∴函数解析式为y＝(x≥0)．
点拨：在幂函数的解析式中，只有α一个未知系数，所以只需一个点或一对对应值，即可获得解析式．
3．解：(1)∵流量速率v与管道半径r的四次方成正比，∴v＝kr4(k＞0)．
(2)将r＝3，v＝400代入v＝kr4，得k＝，
∴流量速率v的表达式为v＝r4．
(3)当r＝5时，v＝×54≈3
086(cm3/s)．
点拨：由于v与r4成正比，所以设一个比例系数，根据一组对应值，求出比例系数即可．备课资料
1.的值为
A.2
B.2
C.
D.
2.已知ab=M（a＞0，b＞0，M≠1），且logMb=x，则logMa等于
A.1－x
B.1＋x
C.
D.x－1
3.若8p=7，7q=5，则用p、q表示lg5等于________.
4.若2lg=lga＋lgb，求的值.
5.已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg1.44的值.
6.已知logax=logac+b，求x.
7.计算：（1）log535－2log5+log57－log51.8；
（2）lg25+lg2·lg5+lg2.
答案：1.D
2.A
3.
4.3－2.
5.分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：1.44=1.22=（3×22×10－1）2，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式.
解：lg1.44=lg1.22=lg（3×22×10－1）2=2（lg3+2lg2－1）=2（0.4771+2×0.3010－1）=0.1582.
6.分析：由于x是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式.
解法一：由对数定义可知x=a=a·ab=c·ab.
解法二：由已知，移项可得logax－logac=b，
即loga=b，由对数定义知=ab，
∴x=c·ab.
解法三：∵b=logaab，
∴logax=logac+logaab=logac·ab.
∴x=c·ab.
7.（1）原式=log57+1－2（log57－log53）+log57－（2log53－1）=1+1=2；
（2）原式=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1.教材习题点拨
教材问题详解
探究
表示an的n次方根，等式＝a一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？
答：＝a不一定成立．当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝
思考
参照以上的过程，请你说明无理数指数幂的含义．
答：利用计算器，如下表所示．
的过剩近似值
2的近似值
的近似值
的不足近似值
1.8
3.482
202
253
2.89
1.7
1.74
3.340
351
678
2.992
9
1.73
1.733
3.003
289
2.999
824
1.732
1.732
1
3.000
170
41
2.999
824
1.732
0
1.732
06
3.000
031
844
2.999
997
203
1.732
05
1.732
051
3.000
000
667
2.999
997
203
1.732
050
1.732
050
9
3.000
000
32
2.999
999
974
1.732
050
8
1.732
050
81
3.000
000
008
2.999
999
974
1.732
050
80
1.732
050
808
3.000
000
001
2.999
999
998
1.732
050
807
…
…
…
…
由上表可发现：
当的过剩近似值从大于的方向逼近时，2的近似值从大于2的方向逼近2；
当的不足近似值从小于的方向逼近时，2的近似值从小于2的方向逼近2．
所以，2就是一串有理数指数幂21.8,21.74,21.733，…和另一串有理数指数幂21.7,21.73,21.732，…按上述变化规律变化的结果是一个确定的实数．这个过程可以用下图表示．
教材习题详解
练习
1．解：＝，＝，＝，＝．
2．解：(1)；(2)；(3)；(4)(m－n)2；
(5)
；(6)．
点拨：进行根式与分数指数幂的形式互换时，根指数应在幂指数的分母上，被开方数的指数在幂指数的分子上．
3．解：(1)
＝3＝；
(2)2××＝2××＝2＝2＝6；
(3)；
(4)
＝1－4x－1＝1－．
点拨：计算根式的乘除时，根指数应当化为相同的形式；计算同底数幂的乘除时，底数不变，将指数相加减即可．
教材问题详解
探究1
问题2中函数(t≥0)的解析式与问题1中函数y＝1.073x(xN
，x≤20)的解析式有什么共同的特征？
答：用字母a代替数和1.073，那么这两个函数的解析式都可以表示为y＝ax的形式，其中自变量x是指数，底数a是一个大于0且不等于1的常数．
思考
函数y＝2x的图象与函数y＝x的图象有什么关系？可否利用y＝2x的图象画出函数y＝x的图象？
答：函数y＝2x的图象与函数y＝x的图象关于y轴对称，作y＝2x的图象关于y轴的对称图形即得函数y＝x的图象．
探究2
选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？
答：取a＝，，2,3，画出函数y＝x，y＝x，y＝2x，y＝3x图象，如图所示．
观察图可得：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，底数越小越在下边．
探究3
(1)如果人口年平均增长率提高1个百分点，利用计算器分别计算20年，33年后我国的人口数．
(2)如果年平均增长率保持在2%，利用计算器计算2020～2100年，每隔5年相应的人口数．
(3)你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？
(4)你是如何看待我国的计划生育政策的？
答：(1)如果人口年平均增长率提高1个百分点即2%,20年后我国人口数为13(1＋0.02)20≈19.3(亿)；33年后我国人口数为13(1＋0.02)33≈25(亿)．
(2)每隔5年相应的人口数如下表所示．
年份
2020
2025
2030
2035
2040
2045
2050
2055
人口数(亿)
19.7
21.8
24
26.5
29.3
32.3
35.7
39.4
年份
2060
2065
2070
2075
2080
2085
2090
2095
2100
人口数(亿)
43.5
48
53
58.6
64.6
71.4
78.8
87
96
(3)我国人口数的增长呈现上升趋势，并且上升得越来越快．
(4)如果不实行计划生育政策，那么我国人口就会无限增长下去，人口越来越多，资源越来越少，就会出现资源危机．因此我国非常有必要实行计划生育政策．
教材习题详解
练习
1．解：图象如图．
2．解：(1){x|x≥2}；(2){x|x≠0}．
3．解：y＝2x(xN
)．
点拨：可利用归纳的方法帮助分析思考．
教材习题详解
习题2.1
A组
1．解：(1)100；(2)－0.1；(3)4－π；(4)x－y．
点拨：中的n是偶数时，要特别注意结果的符号．
2．解：(1)1；(2)；(3)1．
3．解：(1)≈1.710
0；
(2)≈2.881
0；
(3)≈4.728
8；
(4)2π≈8.825
0．
4．解：(1)原式＝；
(2)原式＝；
(3)原式＝；
(4)原式＝4×
＝－6a；
(5)原式＝
＝＝；
(6)原式＝[(－2)×3×(－4)]
＝24x0y1＝24y；
(7)原式＝；
(8)原式＝4×(－3)×．
点拨：按照同底数幂的运算法则进行变形，应当特别注意运算符号．
5．(1)R；(2)R；(3)R；(4){x|x≠0}．
6．解：设经过x年的产量为y，则由题意知y＝a(1＋p%)x(x≤m，xN＋)．
7．解：(1)30.8＞30.7；(2)0.75－0.1＞0.750.1；(3)1.012.7＜1.013.5；(4)0.993.3＞0.994.5．
点拨：对于指数函数，当底数大于1时是增函数，当底数大于0且小于1时是减函数．
8．(1)m＜n；(2)m＞n；(3)m＞n；(4)m＞n．
9．解：碳14经过9个半衰期后，将变为()9＝≈0.001
953＞0.001，所以用一般的放射性探测器仍能测到碳14．
点拨：半衰期就是物体质量衰变为原来的一半时所用的时间．
B组
1．解：∵0＜a＜1时，a2x－7＞a4x－1可化为2x－7＜4x－1，
∴x＞－3．
∵a＞1时，a2x－7＞a4x－1可化为2x－7＞4x－1，∴x＜－3．
综上，0＜a＜1时，x的取值范围是{x|x＞－3}；a＞1时，x的取值范围是{x|x＜－3}．
点拨：由于0＜a＜1和a＞1时指数函数的单调性不同，所以应当对底数进行分类讨论．
2．解：(1)∵＝x＋x－1＋2＝3＋2＝5且＞0，
∴＝；
(2)x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2
＝32－2＝7；
(3)∵(x2－x－2)2＝(x2＋x－2)2－4＝72－4＝45，
∴x2－x－2＝±3≈1
118(元)．
点拨：本题考查了x＋与eq
\b\lc\(\rc\)()2等的变形，在第(3)问中，因为不能确定x2与x－2的大小，故有两解．
3．解：y随x变化的函数解析式为y＝a(1＋r)x，
当a＝1
000，r＝2.25%，x＝5时，y＝1
000(1＋2.25%)5≈1
118(元)．
点拨：复利计算中，本利和＝本金×(1＋利率)期数．
4．解：(1)要使y1＝y2，则a3x＋1＝a－2x，
于是3x＋1＝－2x．故x＝－．
(2)要使y1＞y2，则a3x＋1＞a－2x，
当0＜a＜1时，3x＋1＜－2x，
∴x＜－；
当a＞1时，3x＋1＞－2x，
∴x＞－．
点拨：指数形的方程，如af(x)＝ag(x)，直接化为f(x)＝g(x)求解，指数形的不等式，如af(x)＞ag(x)，则要根据底数的范围，得到f(x)＞g(x)(a＞1时)或f(x)＜g(x)(0＜a＜1时)，如果不能确定底数的范围，则需分类讨论．问题探究
问题
什么是函数与方程思想？
探究：(1)函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题和转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和处理问题.
(2)方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程观点观察、处理问题.
典题精讲
例1：利用函数的图象，指出函数f(x)=2x·ln(x-2)-3零点所在的大致区间.
思路分析：
首先对x取值来寻找y值的符号，然后判断零点所在的大致区间.
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(如下表).
x
2.5
3
3.4
4
4.5
5
f(x)
-6.465
7
-3
-0.161
7
2.545
2
5.246
6
7.986
1
图3-1-2
由上表和图3-1-2可知，该函数零点的大致区间为［3，4］.
例2：二次函数y=ax2+bx+c中，a·c<0，则函数的零点个数是(
)
A.1
B.2
C.0
D.无法确定
思路分析：
分析条件a·c<0，a是二次项系数，确定抛物线的开口方向；c=f(0).
所以a·c=af(0)<0，由此得解.
解：∵c=f(0),
∴ac=af(0)<0，即a与f(0)异号.
即
∴函数必有两个零点.
答案：B
例3：求方程lnx+x-3=0在(2，3)内的根(精确到0.1).
思路分析：
用二分法求解.
解：令f(x)=lnx+x-3，即求函数f(x)=0在(2，3)内的零点.
∵f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0.
∴可取(2，3)作为初始区间，用二分法列表如下：
中点
端点或中点函数值
取区间
f(2)<0,f(3)>0
(2，3)
2.5
f(2.5)>0
(2，2.5)
2.25
f(2.25)>0
(2,2.25)
2.125
f(2.125)<0
(2.125,2.25)
2.187
5
f(2.187
5)<0
(2.187
5,2.25)
2.218
75
f(2.218
75)>0
(2.187
5,2.218
75)
∵2.187
5≈2.2,2.218
75≈2.2,
∴所求方程的根为2.2(精确到0.1).
例4：国家购买某种农产品的价格为120元/担，其中征税标准为100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)，计划可收购m万担.为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点.
(1)写出税收f(x)(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后达到计划的78%，试求此时x的值.
思路分析：第(1)问这样考虑：调节税率后税率为(8-x)%，预计可收购m(1+2x%)万担，总金额为120m(1+2x%)万元，从而列出函数表达式.
解：(1)由题设，调节税率后税率为(8-x)%，预计可收购m(1+2x%)万担，总金额为120m(1+2x%)万元.f(x)=120m(1+2x%)(8-x)%，
即f(x)=-(x2+42x-400)(0＜x≤8).
(2)计划税收为120m·8%万元，
由题设，有f(x)=120m·8%·78%，
即x2+42x-88=0(0＜x≤8，解得x=2.
试用函数的图象指出方程x2+42x-88=0(0＜x≤8的根，即函数g(x)=x2+42x-88=0(0＜x≤8的零点所在的大致区间.
例5：如图3-1-4是一个二次函数y=f(x)的图象，试求这个函数的解析式.
图3-1-4
思路分析：
要确定二次函数的解析式，就是确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数解析式，需要已知三个独立的条件.
当已知抛物线上任意三点时，通常设函数的解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列三元一次方程组求解；
当已知抛物线的顶点坐标为(h,k)和抛物线上另一点时，通常设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解；
当已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)时，通常设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2).
解法一：设y=ax2+bx+c，然后把(-3,0),(1,0),(-1,4)代入解析式得
解得a=-1,b=-2,c=3.
∴所求二次函数为y=-x2-2x+3.
解法二：∵二次函数与x轴有两个交点(-3,0)、(1,0)，
∴可设y=a(x+3)(x-1)，再把(-1，4)代入，得2×(-2)×a=4.∴a=-1.
∴所求二次函数为y=-(x+3)(x-1)，即为y=-x2-2x+3.
解法三：∵抛物线的顶点为(-1,4)，
∴可设y=a(x+1)2+4，再把(1,0)代入,得4a+4=0,a=-1.问题探究
问题1如果一个函数在两个区间上同增减,那么在这两个区间的并集上是不是还符合原来的增减性？
探究:对某一函数y=f(x),它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增(减)函数,不能说y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增(减)函数.比如说,函数y=在(-∞,0)、(0,+∞)内都是减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上不能说是减函数,这是因为取个特例x1=1,x2=-1,可见y1=1,y2=-1,这时变成x1>x2时,却有y1>y2,不再符合减函数的定义.
问题2你认为函数奇偶性定义中的哪些词语最为关键？一个函数是奇函数或偶函数,你能说出它们的定义域有什么共同的特征吗？
探究:定义中“定义域内的任意一个x”即x是定义域内任意的,不可只对部分特殊值满足条件.如f(x)=x2,x∈(-2,2),f(-1)=f(1),f(-)=f(),f(2)虽然存在,但f(-2)无定义,故f(-2)=f(2)不成立,所以f(x)是无奇偶性的.
定义中“都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”即遍布定义域内的所有x都满足f(-x)是否等于±f(x).
问题3函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要性质,你能说说这两条性质的区别吗？函数的奇偶性反映在函数图象上表现为图象的对称性,你能说出奇偶性与对称性之间的对应关系吗？用定义来判断函数的奇偶性的一般步骤是什么？请你总结一下函数的奇偶性的性质.
探究:根据函数单调性和奇偶性的定义我们知道:函数的单调性反映函数值的变化趋势,反映在图象上,是曲线的上升或下降.它通过定义区间(或子区间)内的任意两点x1、x2所对应的函数值大小的比较,推断定义区间(或其子区间)内无限多个函数值间的大小关系;函数的奇偶性反映函数的整体形态,即函数的奇偶性是函数图象对称性的代数描述.
奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于y轴成轴对称图形;反之也成立.所以可用函数图象的对称性来判断函数的奇偶性.
判断函数奇偶性的一般方法是利用定义,通常是先求函数的定义域,观察定义域是否关于原点对称,然后验证f(-x)是否等于±f(x);有时也可利用定义的变形形式,如验证f(-x)±f(x)=0,或=±1〔f(x)≠0〕是否成立.
函数奇偶性的几个性质:
(1)对称性:奇偶函数的定义域关于原点对称;
(2)整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立;
(3)可逆性:f(-x)=f(x)
f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)
f(x)是奇函数;
(4)等价性:f(-x)=f(x)
f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)
f(x)+f(-x)=0;
(5)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
(6)可分性:根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数.
典题精讲
例1:证明函数y=x+在(1,+∞)上为增函数.
思路分析:
证明函数的增减性,先在定义域上取x1证明:设x1、x2是(1,+∞)上的任意两个实数,且x1x1-x2+(-)=x1-x2-=(x1-x2)().
∵x1-x2<0,x1x2-1>0,x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数y=x+在(1,+∞)上为增函数.
例2:已知函数f(x)=,x∈[1,+∞.
(1)当a=时,求函数的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞,f(x)>0恒成立,试求实数a的值范围.
思路分析:
先来解决第(1)问,当a的值给定时,函数变为f(x)=x++2,它类似于函数f(x)=x+,所以可以利用函数的单调性来判断最值.
解:(1)当a=时,f(x)=x++2.
f(x)在[1,+∞上为增函数,所以在f(x)在[1,+∞上的最小值为f(1)=.
(2)f(x)=x+
+2,x∈[1,+∞.
当a≥0时,函数f(x)的值恒为正.
当a<0时,函数f(x)在[1,+∞上为增函数,故当x=1时,f(x)有最小值3+a,于是当3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故0>a>-3.
综上可知,当a>-3时,f(x)>0恒成立.
例3:判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=x3-2x;
(3)f(x)=a(x∈R);
(4)f(x)=
思路分析:
按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可.
解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(3)函数的定义域为R,关于原点对称,
当a=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数;
当a≠0时,f(-x)=a=f(x),即f(x)是偶函数.
(4)函数的定义域为R,关于原点对称,
当x>0时,-x<0,此时f(-x)=-x[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-x[1+(-x)]=-x(1-x)=
-f(x);
当x=0时,-x<0,此时f(-x)=0,f(x)=0,即f(-x)=-f(x);
综上,f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
例4:已知f(x)是奇函数,在(-1,1)上是减函数,且满足f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的范围.
思路分析:
要求a的取值范围,先要列出关于a的不等式,这需要根据原条件,然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系.
解:由f(1-a)+f(1-a2)<0,得f(1-a)<-f(1-a2).
∵f(x)是奇函数,∴-f(1-a2)=f(a2-1).
于是f(1-a)又由于f(x)在(-1,1)上是减函数,
因此,解得0例5:设函数f(x)在定义域R+上是单调递减函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f()=1.求f(1)及f().
思路分析:
这里的函数f(x)没有给出具体的解析式,要求f(1)的值,就需要对已知条件f(xy)=f(x)+f(y)中的x、y进行恰当的赋值,于是令x=,y=1,得f(1)=0.
解:令x=,y=1,得f(1)=0.
∵f()=1,∴f()=2.教材习题点拨
教材问题详解
思考
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的图象有什么关系？
答：设Δ＝b2－4ac，则有：
(1)当Δ＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)．
(2)当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等实根x1＝x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)．
(3)当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实根，相应的二次函数的图象与x轴无交点．
探究
观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？
答：可以发现f(－2)·f(1)＜0，函数f(x)＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2x－3＝0的一个根．同样地，f(2)·f(4)＜0，函数f(x)＝x2－2x－3在区间(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．
问题
你能给出这个函数是增函数的证明吗？
答：设0＜x1＜x2，则有
f(x1)－f(x2)＝(lnx1＋2x1－6)－(lnx2＋2x2－6)
＝(lnx1－lnx2)＋(2x1－2x2)＝ln＋2(x1－x2)．
∵0＜x1＜x2，∴0＜＜1，x1－x2＜0．
∴ln＜0．
∴f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝lnx＋2x－6在定义域上是增函数．
教材习题详解
练习
1．解：分别画出四个函数的图象如下图．
从图象可以看出，方程(1)有两个根，方程(2)没有根，方程(3)有一个根，方程(4)有两个根．
点拨：作函数大致图象时，一般从开口方向、对称轴与y轴交点几个方面来确定．
2．解：(1)f(x)＝－x3－3x＋5的图象如图(1)，其零点在区间(1,2)内．
(2)f(x)＝2x·ln(x－2)－3的图象如图(2)，其零点在区间(3,4)内．
(3)f(x)＝ex－1＋4x－4的图象如图(3)，其零点在区间(0,1)内．
(4)f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x的图象如图(4)，其中一个零点在区间(－4，－3)，一个零点在(－3，－2)内，一个零点在(2,3)内．
教材问题详解
思考
一元二次方程可以用公式求根，但没有公式用来求方程lnx＋2x－6＝0的根．联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？
答：一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量地缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．
取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084，因为f(2.5)f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内；
再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512，
因为f(2.75)f(2.5)＜0，
所以零点在(2.5,2.75)内；
由于(2,3)，(2.5,3)，(2.5,2.75)越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值．例如，当精确度为0.01时，由于|2.539
062
5－2.531
25|＝0.007
812
5＜0.01，所以我们可以将x＝2.54作为函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的近似值，也就是方程lnx＋2x－6＝0的根的近似值．
问题
为什么由|a－b|＜ε，可知，区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．
答：设函数零点为x0，则a＜x0＜b，
则0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0，
由于|a－b|＜ε，
所以|x0－a|＜b－a＜ε，|x0－b|＜|a－b|＜ε，即a或b作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度ε．
教材习题详解
练习
1．解：f(0)＝－1.4＜0，f(1)＝1.6＞0，在区间(0,1)内用二分法计算如下表：
区间
中点的值
中点函数近似值
(0,1)
0.5
－0.55
(0.5,1)
0.75
0.315
625
(0.5,0.75)
0.625
－0.163
671
875
(0.625,0.75)
0.687
5
0.061
373
046
(0.625,0.687
5)
∵|0.687
5－0.625|＝0.062
5＜0.1，
∴函数f(x)在(0,1)内的零点的近似值为0.625.
点拨：求函数在规定区间内的零点，就是将区间不断地一分为二，取两端函数值异号的区间的中点，直到该区间的长度不大于精确度，那么该区间中点的自变量，即为函数的近似零点．
2．解：令f(x)＝x＋lgx－3，
则f(2)＝2＋lg2－3≈－0.699
0＜0，
f(3)＝3＋lg3－3≈0.477
1＞0，在区间(2,3)内用二分法计算如下表：
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
－0.102
059
991
(2.5,3)
2.75
0.189
332
693
(2.5,2.75)
2.625
0.044
129
307
(2.5,2.625)
2.562
5
－0.028
836
125
(2.562
5,2.625)
∵|2.625－2.562
5|＝0.062
5＜0.1，
∴函数f(x)在(2,3)内的零点的近似值为2.562
5．
∴方程x＝3－lgx在区间(2,3)内的近似解为2.562
5．
点拨：求方程的近似解时，首先将方程变形，得到对应的函数，用二分法求函数的零点，即得方程的近似解．
习题3.1
A组
1．(A)，(C)
点拨：能用二分法求的零点必须是变号零点，即在该点的两侧，函数值的符号相反，也即函数图象在此点处穿过x轴．
2．解：函数f(x)在(2,3)，(3,4)，(4,5)三个区间内有零点．
理由：f(x)的图象连续，且f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，根据定理知此三个区间内有零点．
点拨：连续函数f(x)在(a，b)上满足f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在(a，b)内至少有一个零点，并且这个零点可用二分法求得．
3．解：由(x＋1)(x－2)(x－3)＝1，得x3－4x2＋x＋5＝0，
令f(x)＝x3－4x2＋x＋5，
则f(－1)＝－1＜0，f(0)＝5＞0．
在区间(－1,0)内用二分法计算如下表：
区间
中点的值
中点函数近似值
(－1,0)
－0.5
3.375
(－1，－0.5)
－0.75
1.578
125
(－1，－0.75)
－0.875
0.392
578
125
(－1，－0.875)
－0.937
5
－0.277
099
609
(－0.937
5，－0.875)
∵|(－0.875)－(－0.937
5)|＝0.062
5＜0.1，
∴函数f(x)在(－1,0)内的零点的近似值为－0.937
5．
∴方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在区间(－1,0)内的近似解为－0.937
5．
4．解：由方程0.8x－1＝lnx，得0.8x－lnx－1＝0．
令f(x)＝0.8x－lnx－1，
则f(1)＝－0.2＜0，f(0.5)≈0.587
6＞0．
在区间(0.5,1)上用二分法计算如下表：
区间
中点的值
中点函数近似值
(0.5,1)
0.75
0.133
579
083
(0.75,1)
0.875
－0.043
840
131
(0.75,0.875)
0.812
5
0.041
820
98
(0.812
5,0.875)
∵|0.875－0.812
5|＝0.062
5＜0.1，
∴函数f(x)在(0,1)内的零点的近似值为0.812
5．
∴方程0.8x－1＝lnx在(0,1)内的近似解为0.812
5．
5．解：f(2)＝ln2－1≈－0.306
85＜0，f(3)＝ln3－≈0.431
95＞0，
在区间(2,3)上用二分法计算如下表：
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.116
290
731
(2,2.5)
2.25
－0.077
958
672
(2.25,2.5)
2.375
0.022
892
174
(2.25,2.375)
2.312
5
－0.026
535
674
(2.312
5,2.375)
∵|2.375－2.312
5|＝0.062
5＜0.1，
∴函数f(x)在(2,3)内的零点的近似值为2.343
75．
B组
1．解：由2x2－3x－1＝0，
得x＝＝．
令f(x)＝2x2－3x－1，
则f(－1)＝4＞0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝－2＜0，f(2)＝1＞0．
∴f(－1)·f(0)＜0，f(1)·f(2)＜0，
即函数的两个零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内．
分别在(－1,0)和(1,2)内用二分法计算如下表：
区间
中点的值
中点函数近似值
(－1,0)
－0.5
1
(－0.5,0)
－0.25
－0.125
(－0.5，－0.25)
－0.375
0.406
25
(－0.375，－0.25)
－0.312
5
0.132
812
5
(－0.312
5，－0.25)
(1,2)
1.5
－1
(1.5,2)
1.75
－0.125
(1.75,2)
1.875
0.406
25
(1.75,1.875)
1.812
5
0.132
812
5
(1.75,1.812
5)
∵|－0.25－(－0.312
5)|＝0.062
5＜0.1，
|1.812
5－1.75|＝0.062
5＜0.1，
∴函数f(x)的两个零点的近似值分别是－0.312
5和1.75．
∴方程2x2－3x－1＝0的近似解为－0.312
5和1.75．
2．解：方程x3＋5＝6x2＋3x可化为x3－6x2－3x＋5＝0，
令f(x)＝x3－6x2－3x＋5，
则f(0)＝5，f(1)＝－3，f(6)＝－13＜0，f(7)＝33＞0，f(－2)＝－21＜0，f(－1)＝1＞0．
因此函数f(x)在区间(－2，－1)，(0,1)，(6,7)上各有一个零点．
在这三个区间上分别用二分法计算如下表：
区间
中点的值
中点函数近似值
(－2，－1)
－1.5
－7.375
(－1.5，－1)
－1.25
－2.578
125
(－1.25，－1)
－1.125
－0.642
578
125
(－1.125，－1)
－1.062
5
0.214
599
609
(－1.125，－1.062
5)
(0,1)
0.5
2.125
(0.5,1)
0.75
－0.203
125
(0.5,0.75)
0.625
1.025
390
625
(0.625,0.75)
0.687
5
0.426
513
671
(0.687
5,0.75)
(6,7)
6.5
6.625
(6,6.5)
6.25
－3.984
375
(6.25,6.5)
6.375
1.115
234
375
(6.25,6.375)
6.312
5
－1.485
107
422
(6.312
5,6.375)
∵|－1.062
5－(－1.125)|＝0.062
5＜0.1，|0.75－0.687
5|＝0.062
5＜0.1，|6.375－6.312
5|＝0.062
5＜0.1，
∴函数f(x)的三个零点的近似值分别是－1.125,0.687
5,6.312
5．
∴方程x3＋5＝6x2＋3x的近似解为－1.125，0.687
5,6.312
5．
3．解：(1)∵f(x)＝－x2－3x－2，
∴g(x)＝2－[f(x)]2＝2－(－x2－3x－2)2＝2－(x4＋9x2＋4＋6x3＋4x2＋12x)＝－x4－6x3－13x2－12x－2．
(2)图略．
(3)g(－1)＝2＞0，g(0)＝－2＜0，在区间(－1,0)内用二分法计算如下表：
区间
中点的值
中点函数近似值
(－1,0)
－0.5
1.437
5
(－0.5,0)
－0.25
0.277
343
75
(－0.25,0)
－0.125
－0.691
650
39
(－0.25，－0.125)
－0.187
5
－0.168
716
429
(－0.25，－0.187
5)
∵|(－0.187
5)－(－0.25)|＝0.062
5＜0．1，
∴函数g(x)在(－1,0)内的零点的近似值是－0.25．
同理，可求得函数g(x)在区间(－3，－2)内的零点的近似值是－2.812
5．备课资料
奇函数和偶函数具有以下性质
（1）两个奇函数的和（差）仍是奇函数，两个偶函数的和（差）仍是偶函数.
（2）奇偶性相同的两个函数的积（商：分母不为零）为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积（商：分母不为零）为奇函数.
（3）奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
（4）定义域关于原点对称的函数f（x）可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f（x）＝+.
（5）若f（x）是（－a，a）（a＞0）上的奇函数，则f（0）＝0.
复合函数的单调性与奇偶性
复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关，其规律可列表如下：
（1）若函数f（x）、g（x）、f［g（x）］的定义域都是关于原点对称的，那么由u=g（x），y=f（u）的奇偶性得到y=f［g（x）］的奇偶性的规律如下：
函数
奇偶性
u=g（x）
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
y=f（u）
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
y=f［g（x）］
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
即当且仅当u=g（x）和y=f（u）都是奇函数时，复合函数y=f［g（x）］是奇函数.
（2）若函数u=g（x）在区间［a，b］上是单调函数，函数y=f（u）在［g（a），g（b）］或［g（b），g（a）］上也是单调函数，那么复合函数y=f［g（x）］在区间［a，b］上是单调函数，其单调性规律如下：
函数
单调性
u=g（x）
增函数
增函数
减函数
减函数
y=f（u）
增函数
减函数
增函数
减函数
y=f［g（x）］
增函数
减函数
减函数
增函数
即u=g（x），y=f（u）增减性相同时，y=f［g（x）］为增函数，增减性相反时，y=f［g（x）］为减函数.备课资料
1.教学中设置下列疑问和注意
【置疑1】
能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？
解疑：不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．
因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．
【置疑2】
能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”
解疑：对照定义可以证明这样的定义是正确的.
注意：（1）子集与真子集符号的方向.如AB与BA同义；AB与AB不同.
（2）易混符号①“∈”“”，元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系.如1∈N，－1N，NR，R，{1}{1，2，3}.
②{0}与：{0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合.如：{0}，不能写成={0}，∈{0}.
2.康托尔·罗素·数学第三次危机
1847年，德国数学家康托尔（1845～1918）创立了集合论，他是集合理论的创始人.集合理论很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础.到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了.就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1903年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗.
1903年，英国逻辑学家、数学家、诺贝尔和平奖获得者罗素却对集合论提出了以他的名字命名的“罗素悖论”.后来，他用一个“理发师悖论”来形象地说明自己的悖论：一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发.”于是有人问他：“您的头发由谁理呢 ”理发师顿时哑口无言.很显然，在逻辑上，他无论怎样做，都会违背自己的原则.
“罗素悖论”在20世纪数学理论中引起轩然大波.“数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝”，那么人类耗费数千年心血建立起来的“数学殿堂”，会不会倒塌呢 一时间，数学界众说纷纭，悲观者甚至因此把当代数学比作“建立在沙滩上的庞然大物”.这就是数学史上著名的“第三次数学危机”.“罗素悖论”构成的危机震撼了国际数学界，进而也进一步推动了数学的向前发展.
“理发师悖论”分析如下：如果理发师给自己理发，那么理发师就属于自己给自己理发的那类人.但是，招牌上说明理发师不给这类人理发，因此理发师不能自己理.如果由另外一个人给理发师理发，理发师就是不给自己理发的人，而招牌上明明说理发师要给所有不自己理发的男人理发，因此，理发师应该自己理.由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的.用集合论的语言可以把这一“理发师悖论”表述如下：P是一个集合，它是由那些不属于元素x自身的元素组成，即P=｛x|x不属于x｝.那么，x是否属于集合P呢 显然，无论在什么情况下都是矛盾的.备课资料
1.化简y=+.
2.已知a＞0，且a3x+a－3x=52，求ax的值.
3.已知a＞0，a≠1，x=（a+a），求（x+）n的值.
4.已知9x+4y=1，求3x－1+22y－1的最大值.
5.化简下列各式：
（1）；
（2）求证：.
6.计算下列各式：
（1）1.5×（－）0+80.25×+（×）6－）；
（2）÷（1－2）×.
7.先化简，再用计算器求值（结果保留四位有效数字）.
（1）（a－4）+2.31.4；
（2）（+）+（其中m=8.3）.
8.已知ax+a－x
=u，其中a＞0，x∈R，将下列各式分别用u表示出来：（1）a+a；
（2）a+a.
解答：1.∵==x－1，
=|x+1|=
∴y=
2.设t=ax+a－x，则a3x+a－3x=（ax+a－x）（a2x－axa－x+a－2x）=t（t2－3）=52，
∴t3－3t－52=0（t－4）（t2+4t+13）=0.
∵t2+4t+13=（t+2）2+9＞0，
∴t=4，
即ax+a－x
=4.
∴（ax）2－4ax+1=0.
∴ax=2±.
3.∵x2－1=（a+a）2－1=（a+a+2）－1=（a－a）2，
∴（x+）n=［（a+a）+|a－a|］n=
4.∵3x－1+22y－1=·3x+（1－9x）=－（3x－）2+，
∴当3x=，即x=－1时，3x－1+22y－1有最大值.
5.（1）原式=====
=2+；
（2）∵（+）2=（）2+2·+（）2=+2
+=3+2+=4+2.
6.（1）原式=（）+2×2+22×33－（）=21+4×27=110；
（2）原式=××a==a.
7.（1）原式=［（）－2）2］+2.31.4=－2+2.31.4=3.445431931≈3.445；
（2）原式=（m+）+2+m－）+m=（2m+2）+m=18.6+8.3=12.84979177≈12.85.
8.（1）a+a====.
（2）a+a=（a+a）（ax－a×a+a－x）=（ax+a－x－1）（a+a）
=（u－1）.教材习题点拨
教材问题详解
思考
在2.1.2的例8中，我们能从关系y＝13×1.01x中，算出任意一个年头x的人口数．反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿，…”，该如何解决？
答：此问题实际上就是从＝1.01x，＝1.01x，＝1.01x，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这就是本节将要学习的对数问题．
问题
请你利用对数与指数的关系证明这两个结论．
答：∵a0＝1，∴loga1＝0．
∵a1＝a，
∴logaa＝1．
教材习题详解
练习1
1．解：(1)23＝8写成对数式为log28＝3；
(2)25＝32写成对数式为log232＝5；
(3)2－1＝写成对数式为log2＝－1；
(4)写成对数式为log27＝－．
2．解：(1)log39＝2写成指数式为32＝9；
(2)log5125＝3写成指数式为53＝125；
(3)log2＝－2写成指数式为2－2＝；
(4)log3＝－4写成指数式为3－4＝．
点拨：指对数的互换，抓住底数相同，指数式的指数就是对数的值，即y＝axlogay＝x．
3．解：(1)log525＝2；(2)log2＝－4；(3)lg1
000＝3；(4)lg0.001＝－3．
点拨：解此类题目时用好logaax＝x即可．
4．解：(1)log1515＝1；(2)log0.41＝0；
(3)log981＝2；(4)log2.56.25＝2；
(5)log7343＝3；(6)log3243＝5．
点拨：底的对数等于1,1的对数等于0．
教材问题详解
探究1
从指数与对数的关系以及指数运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗？
答：性质(1)：设logaM＝x，logaN＝y，根据对数的定义，可得ax＝M，ay＝N．
所以MN＝ax·ay＝ax＋y．
所以loga(MN)＝loga(ax＋y)＝x＋y＝logaM＋logaN，
即loga(MN)＝logaM＋logaN．
性质(2)：设logaM＝x，logaN＝y，根据对数的定义，可得ax＝M，ay＝N．
所以＝＝ax－y．
所以loga＝loga(ax－y)＝x－y＝logaM－logaN，
即loga＝logaM－logaN．
性质(3)：设logaM＝x，根据对数的定义，可得ax＝M．
所以Mn＝axn．
所以logaMn＝xn＝nlogaM，
即logaMn＝nlogaM．
探究2
你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
logab＝(a＞0且a≠1，c＞0且c≠1，b＞0)
答：∵＝b，
∴logc()＝logcb．
∴logab·logca＝logcb．
∴logab＝．
教材习题详解
练习2
(1)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz；
(2)lg＝lgx＋2lgy－lgz；
(3)lg＝lgx＋3lgy－lgz；(4)lg＝lgx－2lgy－lgz．
2．解：(1)log3(27×92)＝log337＝7；
(2)lg1002＝lg104＝4；
(3)lg0.000
01＝lg10－5＝－5；
(4)ln＝．
3．解：(1)log26－log23＝log2＝1；
(2)lg5＋lg2＝lg10＝1；
(3)log53＋log5＝log51＝0；
(4)log35－log315＝log3＝－1．
4．解：(1)logac·logca＝·＝1；
(2)log23·log34·log45·log52
＝···＝1；
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)
＝
＝
＝·＝．
点拨：对数的换底公式为logab＝，其中c是任意大于0且不等于1的数，它可以根据题意选择，常用的是c＝10，即常用对数．
教材问题详解
探究1
选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些共同特征吗？
答：在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x，y＝，y＝log3x，的图象，如图所示．
可以看出：在第一象限内，底数越小，图象越靠左边，底数越大，图象越靠右边．
探究2
在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是因变量．如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．
答：在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数(xR，yR＋)，而且其在R上是增函数．过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图象有且只有一个交点．由指数式与对数式关系y＝2x与x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y的作用之下，都有唯一的确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x是y的函数，其对应关系是x＝log2y．
教材习题详解
练习
1．解：函数图象如图所示．
相同点：图象都在y轴右侧，都经过(1,0)点．
不同点：y＝log3x单调递增，y＝单调递减．
2．解：(1){x|x＜1}；
(2){x|x＞0且x≠1}；
(3){x|x＜}；(4){x|x≥1}．
点拨：对数的真数需大于0，分式的分母不等于0，二次根式的被开方数需不小于0．
3．解：(1)log106＜log108；
(2)log0.56＜log0.54；
(3)；
(4)log1.51.6＞log1.51.4．
习题2.2
A组
1．解：(1)log31＝x；
(2)log4＝x；
(3)log42＝x；
(4)log20.5＝x；
(5)lg25＝x；
(6)log56＝x．
2．解：(1)5x＝27；(2)8x＝7；(3)4x＝3；(4)7x＝；
(5)10x＝0.3；(6)ex＝．
3．解：(1)0；(2)2；(3)－2；(4)2；
(5)－14；(6)2．
点拨：按对数的四则运算法则计算，应当根据式子的特征灵活变形，如(4)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.(5)2log525－3log264＝2log552－3log226＝2×2－3×6＝－14.
4．解：(1)lg6＝lg2＋lg3＝a＋b；
(2)log34＝＝＝；
(3)log212＝＝＝；
(4)lg＝lg3－lg2＝b－a．
点拨：根据已知，将底数不是10的全部换底成为常用对数，并将真数变成2的次幂或3的次幂．
5．解：(1)∵lgx＝lga＋lgb＝lg(ab)，
∴x＝ab．
(2)∵logax＝logam－logan＝loga，
∴x＝．
(3)∵lgx＝3lgn－lgm＝lgn3－lgm＝lg，∴x＝．
(4)∵logax＝logab－logac＝loga－logac＝loga，∴x＝．
点拨：求解对数方程的方法是将所给等式化成两个对数式相等，根据底数相等得真数相等，从而去掉对数符号变为代数方程得解．
6．解：设x年后我国的GDP在1999年的基础上翻两番，由题意知(1＋7.3%)x＝4，两边取常用对数，得xlg(1＋7.3%)＝lg4．
故x＝≈20．
答：约20年后我国的GDP将在1999年的基础上翻两番．
点拨：由于所列方程为指数型函数，所以通过取对数，将指数用对数表示出来，这也是解决此类问题的通用方法．
7．解：(1)要使函数有意义，应有x＞0，
故所求函数定义域为(0，＋∞)．
(2)要使函数有意义，应有log0.5(4x－3)≥0，即0＜4x－3≤1，
解得＜x≤1．故所求函数的定义域为．
点拨：函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围，本题中的自变量要满足真数大于0，同时偶次根式的被开方数应当不小于0．
8．解：(1)∵log3m＜log3n且函数y＝log3x是单调递增函数，
∴m＜n．
(2)∵log0.3m＞log0.3n且函数y＝log0.3x是单调递减函数，
∴m＜n．
(3)∵logam＜logan(0＜a＜1)且函数y＝logax为减函数，∴m＞n．
(4)∵logam＞logan(a＞1)且函数y＝logax为增函数，∴m＞n．
点拨：比较对数值的大小，一般要利用对数函数的单调性，关键是看对数的底数，如果不能确定，则应分类讨论．
9．解：由题意，得2
000ln＝12
000，于是1＋＝e6．故≈402.43．
答：当燃料质量是火箭质量的402.43倍时，火箭的最大速度可达12
km/s．
10．解：(1)图象①对应y＝lgx，图象②对应y＝log5x，图象③对应y＝log2x．过y轴上一点(0,1)作x轴的平行线，分别交三个图象于点A、B、C(自左至右)，
设A(x1,1)，B(x2,1)，C(x3,1)，
则x1＝2，x2＝5，x3＝10．
据此即得图象与函数的对应关系．
(2)函数y＝，y＝，y＝的图象都在y轴右侧，经过(1,0)，并且单调递减．其图象如下图所示．
(3)从图中可以发现，y＝与y＝log2x，y＝与y＝log5x，y＝与y＝lgx的图象关于x轴对称．
点拨：函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称，对于y＝logax，当a＞1时，a越大，图象在第一象限内越靠近x轴；当0＜a＜1时，a越小，图象在第四象限内越靠近x轴．
11．(1)解：log225·log34·log59＝··＝··＝8；
(2)证明：logab·logbc·logca＝··＝1，命题成立
．
点拨：利用换底公式，可以产生能够约分的式子，达到化简的目的，通常将底数化为10，使用常用对数．
12．解：(1)由题意得，v＝log3
＝log327＝log333＝；
(2)鱼静止时的速度为0，于是有log3＝0，
即＝1．故O＝100．
答：耗氧量是2
700个单位时，游速是
m/s；当鱼静止时，耗氧量为100个单位．
B组
1．解：∵xlog34＝1，∴x＝＝log43．
∴4x＋4－x＝＝3＋＝．
点拨：本题中使用了对数恒等式，即，运用这一等式，可以将复杂的指数式变得简单．
2．解：∵当0＜a＜1时，由loga＜1可得loga＜logaa，
∴a＜．∴a的取值范围是0＜a＜；
∵当a＞1时，由loga＜1可得loga＜logaa∴a＞．
∴a的取值范围是a＞1．
综上，a的取值范围是(1，＋∞)．
点拨：由于对数不等式中的底数为字母，所以必须进行分类讨论．
3．解：(1)当声强为10－12
W/m2时，声强级LI＝10lg＝0(dB)；当声强为1
W/m2时，声强级LI＝10lg＝120(dB)．
所以一般正常人听觉的声强范围是0(dB)≤LI≤120(dB)．
(2)当声强为10－6
W/m2时，声强级LI＝10lg＝60(dB)．
4．解：(1)要使f(x)＋g(x)有意义，则有
即－1＜x＜1．
故函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称，f(－x)＋g(－x)＝loga(1－x)＋loga(x＋1)＝f(x)＋g(x)，
故函数f(x)＋g(x)是偶函数．
点拨：f(x)＋g(x)的定义域应为f(x)与g(x)的定义域的交集，判断奇偶性的首要条件是定义域关于原点对称．
5．解：(1)符合f(a·b)＝f(a)＋f(b)的函数有f(x)＝log2x，g(x)＝log3x，h(x)＝等．这些函数都是对数函数．
(2)符合f(a＋b)＝f(a)·f(b)的函数有f(x)＝2x，g(x)＝3x，h(x)＝x等，这些函数都是指数函数．
点拨：题目给出的两条性质分别是对数式和指数式的性质，所以举例应分别是对数函数和指数函数．

展开更多......

收起↑