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依米书院学科教师辅导讲义
全等三角形的判定
一．全等三角形的判定方法：
边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
边边边定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等．
角角边定理（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
二．全等三角形的应用：
1．运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线；
2．能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
题模一：SSS
例2.1.1如图，，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】由SSS可得．
题模二：SAS
例2.2.1已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD，，．
求证：
【答案】见解析
【解析】证明：∵AC∥BD，∴
在△ACB和△EBD中：
，∴△CBM≌△DBM（SAS），∴．
例2.2.2如图，已知△ABC中，厘米，，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等
【答案】4，6
【解析】该题考查的是动点与全等三角形综合．
设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵，
∴要使△BPD与△CQP全等，只能或BP=CP，
∵，点D为AB的中点，
∴，
故，
或
时，，；
时，，；
即点Q的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒．
题模三：ASA
例2.3.1已知：如图，C是线段AB的中点，，．
求证：．
【答案】见解析
【解析】该题考查三角形的全等．
∵C是线段AB的中点，
∴．
∵，
∴，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（ASA）．
∴．
题模四：AAS
例2.4.1如图，于点D，于点E，AD与BE相交于点F，且．
求证：．
【答案】见解析
【解析】该题考查的是三角形的综合．
证明：∵于D，于E，
∴
在Rt△和Rt△中，,
∴………………………………
1分
在△和△中，
．…………………………
3分
∴△≌△．……………………
4分
∴．……………………
5分
题模五：HL
例2.5.1如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．
【答案】见解析
【解析】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴△ACB≌△BDA（HL）．
随练2.1已知：如图，在四边形中，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】连接，由SSS定理证明，从而得到．
随练2.2如图，C为线段AB上一点，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．求证：△ACD≌△BEC．
【答案】见解析
【解析】证明：∵AD∥BE，∴∠A=∠B．
在△ACD和△BEC中
，
∴△ACD≌△BEC（SAS）．
随练2.3如图，已知，，，．
求证：（1）；（2）
【答案】见解析
【解析】（1）∵，，
∴，∴，即．
在△EAC和△BAF中，
∵，∴△EAC≌△BAF，
∴．
（2）由（1）知，△EAC≌△BAF，∴．
在△AFC中，∵，∴，
∴，∴，∴
随练2.4已知：如图，AC=EC，E、A、D在同一条直线上，∠1=∠2=∠3．试说明：△ABC≌△EDC．
【答案】见解析
【解析】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD，∴∠ACB=∠ECD，
∵∠1=∠3，∠4=∠5，∴∠B=∠D，
在△ABC和△CDE中，，
∴△ABC≌△EDC（AAS）．
随练2.5如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．
【答案】见解析
【解析】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC=∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACB=180°﹣90°=90°．
随练2.6如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．
求证：△BEC≌△CDA．
【答案】见解析
【解析】本题考查了全等三角形的判定定理，本题根据AAS证明两三角形全等，难度适中．
根据垂直的定义以及等量代换可知∠CBE=∠ACD，根据已知条件∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，根据全等三角形的判定AAS即可证明△BEC≌△CDA．
证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，
∴∠BEC=∠CDA=90°，
在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，
在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，
∴△BEC≌△CDA．
作业1如图，在四边形中，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】连接，由SSS证明，得到，，则．
作业2已知：如图，AB，CD交于点O，E，F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF．求证：△ACE≌△BDF．
【答案】见解析
【解析】证明：∵OA=OB，OE=OF，∴OA﹣OE=OB﹣OF，∴AE=BF，
在△AEC和△BFD中，
∴△ACE≌△BDF（AAS）．
作业3已知：D是AC上一点，，，
求证：．
【答案】见解析
【解析】∵DE//AB，∴.
在△和△中，
∴△≌△
∴
作业4如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
【答案】（1）见解析；（2）108°
【解析】（1）证明：∵正五边形ABCDE，∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．
即∠APN的度数为108°．
作业5如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．
【答案】证明见解析
【解析】∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，
在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，
∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
作业6已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．
【答案】见解析
【解析】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，∴∠ABD=∠ACE，
在△ABQ和△ACF中，
∴△ABQ≌△ACF（SAS），∴∠F=∠BAQ，
∵∠F+∠FAE=90°，∴∠BAQ+∠FAE═90°，
∴AF⊥AQ．
作业7如图已知：，，，试判断直线AD、BC的位置关系并加以证明．
【答案】垂直
【解析】该题考查的是三角形全等．
连接AD，BC，交于O，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴，
∴．
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