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依米书院学科教师辅导讲义
直角三角形
一．直角三角形全等的判定
直角三角形的判定定理：
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简称为）．
二．直角三角形的性质
定理1：直角三角形的两个锐角互余．
定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于．
题模一：直角三角形的性质
例1.1.1如图，中，，，平分，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】中，，，．平分，
，．
例1.1.2如图，在中，，，为上一点，过作，垂足为，连接，若，则的长为________．
【答案】．
【解析】在中，，，垂足为，，，中，，
，中，，
，
中，，
．
例1.1.3已知：如图，在中，是边上的高，，，是边上的中线．
（1）；
（2）若，求证：．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）是边上的高，，，
，是等腰直角三角形，，．
（2）连接，如图所示：是边上的中线，，是斜边上的中线，，，，，．
题模二：直角三角形全等的判定
例1.2.1已知：如图所示，在中，，，．
求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】证明：，，和都是直角三角形．
在与中，
得
，即是等腰三角形．
随练1.1如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则______．
【答案】
【解析】在中，，
，
，
．
随练1.2如图，是的平分线上的一点，，垂足为，交于点，若，，则_______．
【答案】4
【解析】如图，过点作于点，是的平分线，，，
，
．
随练1.3如图：，，过点，于，于，．求证：．
【答案】见解析
【解析】证明：连接
，，，
，，，在和中，
．
等腰三角形
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角．
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等，两条腰相等．
2．等腰三角形的三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
证明：是等腰三角形，，作底边的高，
由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高是的对称轴可知，
对称轴左右两边的三角形完全相等，即，得，．
等腰三角形三线合一及其逆定理：一个三角形如果一条边上的中线，高线以及这条边所对角的平分线有两条互相重合，则这个三角形是等腰三角形．
等腰三角形的判定：
1．如果一个三角形有两个角相等，那么着两个角所对的边也相等
补充：1．如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形（需要证明）
题模一：等边对等角
例2.1.1如图，在中，，为斜边上的两个点，且，，则的大小为____________．
【答案】
【解析】设一个角度为，即可导出的度数．
例2.1.2如图所示，已知O是四边形ABCD内一点，OB=OC=OD，∠BCD=∠BAD=75°，则∠ADO+∠ABO=____度．
【答案】135
【解析】用的知识点为：等边对等角；四边形的内角和为360°．
由线段相等可得相应的角相等，那么可得∠CDO=∠DCO，∠OCB=∠OBC，可得这四个角的和；根据四边形ABCD的内角和为360°减去已知角的度数即为所求的度数．
∵OB=OC=OD，
∴∠CDO=∠DCO，∠OCB=∠OBC，
∵∠DCO+∠BCO=75°，
∴∠CDO+∠DCO+∠OCB+∠OBC=150°，
∴∠ADO+∠ABO=360°-∠BAD-（∠CDO+∠DCO+∠OCB+∠OBC）=135°．
题模二：等角对等边
例2.2.1已知：如图，平分，．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】作于，于．
平分，，．
，．，
，，即，
，是等腰三角形．
例2.2.2如图，在中，，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是_______
【答案】5
【解析】∵、分别是和的角平分线，
，．
，，，，
，，，，
∴的周长．
题模三：三线合一
例2.3.1如图，△ABC中，，，AD是BC边上的中线，且，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】该题考查的是三角形的性质．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵AD是BC边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故该题答案为B．
题模四：角平分线，平行线，等腰三角形知二推一
例2.4.1如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD=7cm，BC=8cm，则AB的长度是____cm．
【答案】15
【解析】
∵∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AB∥DC，
∴∠2=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠5，∠4=∠6，
∴AE=AD，BE=BC，
∵AD=7cm，BC=8cm，
∴AB=AE+BE=AD+BC=7+8=15（cm）．
故答案为：15．
题模五：等腰三角形与全等三角形综合
随练2.1如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（　　）
A．36°
B．60°
C．72°
D．108°
【答案】C
【解析】∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，
∴∠1=∠A+∠ABD=72°
随练2.2如图，在△ABC中，，，AD平分，于G，交AB、AC及BC的延长线于E、M、F，则______________．
【答案】
【解析】该题考查的是等腰三角形三线合一．
∵，，AD平分
∴
又∵AD⊥EF即
∴
又∵△CFM的外角
∴
随练2.3如图，在△ADC中，AD，BE分别为边BC，AC上的高，D，E为垂足，M为AB的中点，N为DE的中点，求证：
（1）△MDE是等腰三角形；
（2）MN⊥DE．
【答案】见解析
【解析】（1）如图，在△ABD中，AD⊥BD，则△ABD是直角三角形，AB是斜边．
∵M是AB的中点，
∴，同理
∴
∴△MDE是等腰三角形；
（2）由（1）知，△MDE是等腰三角形．
∵N是ED的中点，∴MN平分DE，
∴MN⊥DE．
等边三角形
一．等边三角形的概念
等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是一种特殊的等腰三角形．
二．等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于．
三．等边三角形的判定
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
四．直角三角形性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
证明：，，延长至使，则有垂直平分，所以，因为，所以是等边三角形，所以，即．
五．等边三角形与全等三角形综合
等边三角形与全等三角形综合问题主要分两种类型：
一是以等边三角形为载体来考察全等三角形的综合问题；
二是利用全等三角形的性质和判定证明三角形是等边三角形．
不管是哪种类型都要注意60°角和边的等量关系的应用，尤其是后面学习旋转之后，会出现一些比较难的等边三角形和全等三角形结合的问题．
题模一：等边三角形的性质
例3.1.1如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为____．
【答案】
【解析】该题考查的是
∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为的平分线，
∴，，
又，
∴，
∴，即，
∴；
∵等边△ABC的周长为9，
∴，
∴，
即．
例3.1.2在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（　　）
A．AE∥BC
B．∠ADE=∠BDC
C．△BDE是等边三角形
D．△ADE的周长是9
【答案】B
【解析】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．
首先由旋转的性质可知∠AED=∠ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠EAB=∠C=∠ABC=60°，
∴AE∥BC，故选项A正确；
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=5，
∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，
∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=5，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，故选项C正确；
∴DE=BD=4，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；
而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC，
∴结论错误的是B，
故选：B．
题模二：等边的判定
例3.2.1如图所示，AD是的中线，，，把沿直线AD折叠后，点C落在位置，则的长为________.
【答案】4
【解析】本题考察的是等边三角形．
由题意，，．
，有
一个角为的等腰三角形为等边三角形，
．
故本题的答案是4．
例3.2.2已知：如图，点为线段上一点，，都是等边三角形，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）求证：为等边三角形．
【答案】见解析
【解析】（1），是等边三角形，
，，，
，即．
在和中，，，，
，．
（2），，
又，，
在和中，，，，
，，为等腰三角形，
又，为等边三角形．
题模三：30°的角直角三角形等于斜边的一边
例3.3.1如图，已知中，，，，则下列关系式正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】该题考查的是特殊的直角三角形．
，
∴为等腰三角形，∴，
在中，，
∴
故选B．
例3.3.2如图，，OP平分，于D，交OA于C.若，则__________，
__________.
【答案】
【解析】该题考查的是角平分线的性质定理和含30°直角三角形的性质．
∵OP平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过P作于点E，
∵，OP平分，
∴，
∵，
∴
在中，
∴
题模四：等边三角形与全等三角形综合
例3.4.1如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为____
【答案】6
【解析】延长到，连接，使，连接．为等边三角形，为等腰三角形，且，，，又，，，，，，在和中，，，，，．
例3.4.2已知等边三角形ABC的边长为8，P是BC边上一点，连接AP，若AP=7，则BP的长为__________．
【答案】3或5．
【解析】如图1所示，
过点A作AD⊥BC，
设DP=x，
∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴BD==4，
在Rt△ABD中，
AD2=AB2﹣BD2=82﹣42=48，
在Rt△APD中，
DP2=AP2﹣AD2=72﹣48=1，
∴DP=1，
∴BP=5；
当点P在AD的左侧时，如图2所示，
同理可得，BP=BD﹣PD=4﹣1=3，
综上所述，BP的长为3或5，
随练3.1如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（
）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
【答案】B
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
随练3.2如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=___________．
【答案】2．
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴BC=2DC，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=∠E=30°，
∴CD=CE=1，
∴BC=2CD=2．
随练3.3如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
【答案】（1）见解析（2）60°
【解析】
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
勾股定理的应用
一．求线段长
常用的方法有：
1．直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条；
2．通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；
3．通过特殊三角形的比例关系来计算（仅限于选择、填空题中的快速计算）；
如图1，；如图2，
4．面积法：当所求的线段为三角形的高时，利用面积相等可求得对应高的长度；
如上图，，．
5．挖掘题目中的隐含条件，通过全等三角形、等腰三角形等来求线段长；
6．做辅助线：根据题目中的条件，添加适当的辅助线，如垂直等进而解三角形．
二．勾股定理与最短距离
在立体图形中，往往会涉及到求某两点之间的最短路程问题，这就需要我们画出立体图形的展开图，然后利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离．
三．两点间距离公式
在平面直角坐标系中，任意给定两点，．过点A、B分别向坐标轴作垂线，则，，由勾股定理可得，．（初中阶段解答题中不能直接应用，如果需要，应提前说明“由勾股定理得”）
题模一：求线段长
例4.1.1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB==15，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S△
ABC=AC BC=AB CD，
∴CD===，
则点C到AB的距离是．
故选A
例4.1.2如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（　　）
A．2
B．2
C．4
D．4
【答案】A
【解析】∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=180°﹣30°﹣90°=60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
∵BD=1，
∴CD=2=AD，
∴AB=1+2=3，
在△BCD中，由勾股定理得：CB=，
在△ABC中，由勾股定理得：AC==2，
故选：A．
例4.1.3如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（
）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
【答案】B
【解析】该题考查的是勾股定理的计算．
∵，，，
∴，
∵，∴，
设，则在Rt△DEB中，
，故，
故选B．
题模二：最短路径问题
例4.2.1如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是（
）
A．3
B．
C．
D．4
【答案】C
【解析】该题考查最短路径求解．
将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
如图，．故选C．
题模三：两点之间距离公式
随练4.1已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为　　cm．
【答案】4.8
【解析】∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，∴斜边为=10，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×6×8=×10h，h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．
随练4.2在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=30°，BC=2，以斜边AB为一边，作等边△ABD，则线段CD的长为__________.
【答案】2或
【解析】本题考察的是解三角形．
如图，由，知．．
①当D与C分居直线AB两侧时，，由勾股定理，
．
②若，故在BC的延长线上．那么
随练4.3如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】
过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD===3，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离=AD=3．
故选A．
随练4.4在平面直角坐标系中，已知点A（-，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标____．
【答案】（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）
【解析】本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质．解题时，要分类讨论，以防漏解．另外，当点C在y轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点C的坐标．
需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C的坐标；②当点C位于y轴上时，根据勾股定理求点C的坐标．
如图，①当点C位于y轴上时，设C（0，b）．
则+=6，解得，b=2或b=-2，
此时C（0，2），或C（0，-2）．
如图，②当点C位于x轴上时，设C（a，0）．
则|--a|+|a-|=6，即2a=6或-2a=6，
解得a=3或a=-3，
此时C（-3，0），或C（3，0）．
综上所述，点C的坐标是：（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）．
故答案是：（0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）．
作业1如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动_______分钟后与全等．
【答案】4
【解析】于，于，，设运动分钟后与全等；
则，，则，分两种情况：
①若，则，，，，；
②若，则，解得：，，此时与不全等；
综上所述：运动分钟后与全等．
作业2已知：如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，为边边的中点，连接、、．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）证明：为边的中点，，，．为等腰三角形；
（2），
，同理可得：
．
作业3如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】该题考查的是等腰直角三角形的性质．
根据图形可得：，，
故△ABC为等腰直角三角形，，
故BC边上的高等于斜边BC的一半，
故．
故选A．
作业4如图，D为外一点，，BD平分的一个外角，，若，，则BD的长为（
）
A．1
B．1.5
C．2
D．3
【答案】D
【解析】本题考查勾股定理及等腰三角形的判定与性质．
如图，设CB与AD延长线交于E点．
∵，
∴．
又∵BD平分∠ABE，BD⊥AD，
∴，
∴，
∴，
∴在RT△ABD中，由勾股定理得到．
作业5如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（　　）
A．13
B．26
C．47
D．94
【答案】C
【解析】
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，
即S3=9+25+4+9=47．
故选C．
作业6如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=60°，AB=2，AD=DC=4，则BC边的长为　　　　　　．
【答案】6
【解析】连结BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，
∵∠BAD=120°，
∴∠MAD=180°﹣120°=60°，
∵AD=4，
∴AM=2，DM=2，
∵∠C=60°，
∴DN=2，NC=2，
在Rt△BDM与Rt△BDN中，
，
∴Rt△BDM≌Rt△BDN（HL），
∴BN=BM=2+2=4，
∴BC=BN+NC=6．
故答案为：6．
作业7如图，长方体的高cm，一只小蚂蚁从A点爬到BC上某一点P，再爬到D点去吃糖，如果小蚂蚁走的最短路程是13cm，则____cm
【答案】12
【解析】如图展开，连接AD交BC于P，此时小蚂蚁走的路程最短，
cm，cm，，
在Rt△AED中，由勾股定理得：，
即cm，
作业8如图，已知：△ABC中，，D是BC上一点，且，，求∠BAC的度数．
【答案】
【解析】题中所要求的∠BAC在△ABC中，但仅靠是无法求出来的．因此需要考虑和在题目中的作用．此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系．因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求．
因为，所以
因为，所以；
因为，所以（等边对等角）
而
所以
所以
又因为
即，所以
即求得
作业9如图，在等边中，点D、E分别在边BC、AC上，且，BE与AD相交于点P，于点Q.
（1）求证：；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】该题考查全等三角形的判定与性质．
∵△ABC为等边三角形．
∴,,
在△BAE和△ACD中：
∴△BAE≌△ACD
（2）
∵△BAE≌△ACD
∴
∵是△ABP的外角，
∴，
∴
∵，
∴
∴
知识精讲
题模精讲
随堂练习
知识精讲
题模精讲
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