资源简介

依米书院学科教师辅导讲义
直角三角形
一．直角三角形全等的判定
直角三角形的判定定理：
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简称为）．
二．直角三角形的性质
定理1：直角三角形的两个锐角互余．
定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于．
题模一：直角三角形的性质
例1.1.1如图，中，，，平分，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
例1.1.2如图，在中，，，为上一点，过作，垂足为，连接，若，则的长为________．
例1.1.3已知：如图，在中，是边上的高，，，是边上的中线．
（1）；
（2）若，求证：．
题模二：直角三角形全等的判定
例1.2.1已知：如图所示，在中，，，．
求证：是等腰三角形．
随练1.1如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则______．
随练1.2如图，是的平分线上的一点，，垂足为，交于点，若，，则_______．
随练1.3如图：，，过点，于，于，．求证：．
等腰三角形
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角．
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等，两条腰相等．
2．等腰三角形的三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
证明：是等腰三角形，，作底边的高，
由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高是的对称轴可知，
对称轴左右两边的三角形完全相等，即，得，．
等腰三角形三线合一及其逆定理：一个三角形如果一条边上的中线，高线以及这条边所对角的平分线有两条互相重合，则这个三角形是等腰三角形．
等腰三角形的判定：
1．如果一个三角形有两个角相等，那么着两个角所对的边也相等
补充：1．如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形
题模一：等边对等角
例2.1.1如图，在中，，为斜边上的两个点，且，，则的大小为____________．
例2.1.2如图所示，已知O是四边形ABCD内一点，OB=OC=OD，∠BCD=∠BAD=75°，则∠ADO+∠ABO=____度．
题模二：等角对等边
例2.2.1已知：如图，平分，．求证：是等腰三角形．
例2.2.2如图，在中，，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是_______
题模三：三线合一
例2.3.1如图，△ABC中，，，AD是BC边上的中线，且，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
题模四：角平分线，平行线，等腰三角形知二推一
例2.4.1如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD=7cm，BC=8cm，则AB的长度是____cm．
题模五：等腰三角形与全等三角形综合
随练2.1如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（　　）
A．36°
B．60°
C．72°
D．108°
随练2.2如图，在△ABC中，，，AD平分，于G，交AB、AC及BC的延长线于E、M、F，则______________．
随练2.3如图，在△ADC中，AD，BE分别为边BC，AC上的高，D，E为垂足，M为AB的中点，N为DE的中点，求证：
（1）△MDE是等腰三角形；
（2）MN⊥DE．
等边三角形
一．等边三角形的概念
等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形是一种特殊的等腰三角形．
二．等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于．
三．等边三角形的判定
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
四．直角三角形性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
证明：，，延长至使，则有垂直平分，所以，因为，所以是等边三角形，所以，即．
五．等边三角形与全等三角形综合
等边三角形与全等三角形综合问题主要分两种类型：
一是以等边三角形为载体来考察全等三角形的综合问题；
二是利用全等三角形的性质和判定证明三角形是等边三角形．
不管是哪种类型都要注意60°角和边的等量关系的应用，尤其是后面学习旋转之后，会出现一些比较难的等边三角形和全等三角形结合的问题．
题模一：等边三角形的性质
例3.1.1如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为____．
例3.1.2在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（　　）
A．AE∥BC
B．∠ADE=∠BDC
C．△BDE是等边三角形
D．△ADE的周长是9
题模二：等边的判定
例3.2.1如图所示，AD是的中线，，，把沿直线AD折叠后，点C落在位置，则的长为________.
例3.2.2已知：如图，点为线段上一点，，都是等边三角形，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）求证：为等边三角形．
题模三：30°的角直角三角形等于斜边的一边
例3.3.1如图，已知中，，，，则下列关系式正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
例3.3.2如图，，OP平分，于D，交OA于C.若，则__________，
__________.
题模四：等边三角形与全等三角形综合
例3.4.1如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且．以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为____
例3.4.2已知等边三角形ABC的边长为8，P是BC边上一点，连接AP，若AP=7，则BP的长为__________．
随练3.1如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（
）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
随练3.2如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=___________．
随练3.3如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
勾股定理的应用
一．求线段长
常用的方法有：
1．直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条；
2．通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；
3．通过特殊三角形的比例关系来计算（仅限于选择、填空题中的快速计算）；
如图1，；如图2，
4．面积法：当所求的线段为三角形的高时，利用面积相等可求得对应高的长度；
如上图，，．
5．挖掘题目中的隐含条件，通过全等三角形、等腰三角形等来求线段长；
6．做辅助线：根据题目中的条件，添加适当的辅助线，如垂直等进而解三角形．
二．勾股定理与最短距离
在立体图形中，往往会涉及到求某两点之间的最短路程问题，这就需要我们画出立体图形的展开图，然后利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离．
三．两点间距离公式
在平面直角坐标系中，任意给定两点，．过点A、B分别向坐标轴作垂线，则，，由勾股定理可得，．（初中阶段解答题中不能直接应用，如果需要，应提前说明“由勾股定理得”）
题模一：求线段长
例4.1.1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）
A．
B．
C．
D．
例4.1.2如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（　　）
A．2
B．2
C．4
D．4
例4.1.3如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（
）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
题模二：最短路径问题
例4.2.1如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程是（
）
A．3
B．
C．
D．4
随练4.1已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为　　cm．
随练4.2在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=30°，BC=2，以斜边AB为一边，作等边△ABD，则线段CD的长为__________.
随练4.3如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
随练4.4在平面直角坐标系中，已知点A（-，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标____．
作业1如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动_______分钟后与全等．
作业2已知：如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，为边边的中点，连接、、．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求的度数．
作业3如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（
）
A．
B．
C．
D．
作业4如图，D为外一点，，BD平分的一个外角，，若，，则BD的长为（
）
A．1
B．1.5
C．2
D．3
作业5如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（　　）
A．13
B．26
C．47
D．94
作业6如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=60°，AB=2，AD=DC=4，则BC边的长为　　　　　　．
作业7如图，长方体的高cm，一只小蚂蚁从A点爬到BC上某一点P，再爬到D点去吃糖，如果小蚂蚁走的最短路程是13cm，则____cm
作业8如图，已知：△ABC中，，D是BC上一点，且，，求∠BAC的度数．
作业9如图，在等边中，点D、E分别在边BC、AC上，且，BE与AD相交于点P，于点Q.
（1）求证：；
（2）请问PQ与BP有何关系？并说明理由.
知识精讲
题模精讲
随堂练习
知识精讲
题模精讲
A
B
C
D
E
随堂练习
M
知识精讲
题模精讲
A
C
D
B
随堂练习
知识精讲
题模精讲
随堂练习
自我总结
课后作业
A
B
C
D
A
B
P
E
Q
D
C

展开更多......

收起↑