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依米书院学科教师辅导讲义
全等三角形辅助线的作法
一．中点类辅助线作法
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（
是底边的中线)．
二．角平分线类辅助线作法
有下列三种作辅助线的方式：
1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；
3．，这种对称的图形应用得也较为普遍．
三．截长补短类辅助线作法
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．
题模一：角平分线类
例2.1.1如图，，平分，平分，点在上．
①探讨线段、和之间的等量关系．
②探讨线段与之间的位置关系．
【答案】见解析
【解析】①；②．证明如下：
在线段上取点，使，连结．
在和中
∴
∴，
∵
而
∴
在和中
∴
∴，
∴，
例2.1.2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若AD=2DC，请你判断∠A与∠DBC之间的数量关系并证明你的结论
【答案】见解析
【解析】该题考查的是三角形的性质．
如图，过点D作于E．
∵BD平分，
∴，
∵，，
∴，
在△CBD和△EBD中，
，
∴△CBD≌△EBD（AAS），
∴，
∵，
∴在Rt△ADE中，，
∴，
∴在Rt△ABC中，
，
∵，
∴，
∴．
例2.1.3如图，已知，，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE，求证：．
【答案】见解析
【解析】延长CE，交BA的延长线于点F．
∵BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE，
∴△BEF≌△BEC，∴，．
∵，CE⊥BE，∴，
又∵，∴△ABD≌△ACF，∴．∴．
题模二：中点类
例2.2.1已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，，，试求AD的取值范围．
【答案】
【解析】该题考查了三角形三边关系和三角形的全等．
延长AD至E，使得，连结CE
在△ABD和△ECD中
∴△ABD≌△ECD（SAS）
∴
∴AE的取值范围为
例2.2.2如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证：．
【答案】见解析
【解析】解法一：如图所示，延长到，使，连接BF．
容易证明，从而，而，故．
注意到，
，
故，而公用，故，
因此．
解法二：如图所示，取的中点，连接．
因为是的中点，是的中点，
故是的中位线，从而，
由可得，故，
从而，．
例2.2.3如图，在四边形ABCD中，，，BD平分∠ABC，求证：．
【答案】见解析
【解析】延长BA至F，使，连FD
△BDF≌△BDC（SAS），故，
又，故在等腰△BFD中，
故有
题模三：截长补短类
例2.3.1如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
【答案】见解析
【解析】如图所示，延长到使．
在与中，因为，，，
所以，故．
因为，，所以．
又因为，所以．
在与中，，，，
所以，则，所以的周长为．
例2.3.2阅读下列材料：
如图1，在四边形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°.求证：CD=AB.
小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AE⊥AB交BC的延长线于点E，则AB=AE，∠E=∠D.
在△ADC与△CEA中，
∵
∴△ADC≌△CEA，
得CD=AE=AB.
请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，请问：CD与AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质．
CD与AB相等．
证明如下：
作交BC的延长线于点E，
∴
∵
∴，
∵，，
∴，
∵在△DAC和△ECA中
∴△DAC≌△ECA
∴
∴.
例2.3.3如图，在中，，是的平分线，且，求的度数．
【答案】见解析
【解析】法一：如图所示，延长至使，连接、．
由知，
而，则为等边三角形．
注意到，，，
故．
从而有，，
故．
所以，．
法二：在上取点，使得，则由题意可知.
在和中，，，，
则，从而，
进而有，，
.
注意到，则：
，
故.
随练2.1已知：如图，在△ABC中，，，BE⊥AE．求证：．
【答案】见解析
【解析】延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，∴
在△ABE中，∵，
∴
同理，
∵，∴，∴
∵BE⊥AE，∴，
∴，
∵∠4是△BCM的外角，∴
∵，∴
∴，∴
∴，∴
随练2.2如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥．
【答案】见解析
【解析】延长到，使，连结，利用证明≌，
∴，．
又，∴，
∴，∴，
∵平分，∴，
∴，∴∥．
随练2.3已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．
【答案】见解析
【解析】，
理由是：在上截取，连结，
利用证得≌，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，
∵，∴，∴，
利用证得≌，∴，
∴．
随练2.4如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：
（1）；
（2）．
【答案】见解析
【解析】该题考察的是全等三角形．
（1）∵BQ是的角平分线，
∴．
∵，且，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）延长AB至M，使得，连结MP．
∴，
∵△ABC中，，
∴，
∵BQ平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AP平分，
∴，
在△AMP和△ACP中，
∵
∴△AMP≌△ACP，
∴，
∵，，
∴
随练2.5五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．
【答案】见解析
【解析】延长DE至F，使得，连接AC.
∵，，∴
∵，，∴△ABC≌△AEF．
∴，
∵，∴
∴△ADC≌△ADF，∴
即AD平分∠CDE．
随练2.6如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题：
（1）若，，则△ABC____
“高和三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论
【答案】（1）是（2）；见解析
【解析】该题考察的是全等三角形．
（1）如图，Rt△ABC中，，，
在BC上截取，则△ABE为等边三角形
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，且△ABE为等边三角形
∴
∴
∴是高和三角形．
（2）如上图，在△ABC中，在DC上截取．
∵
∴
∴
∴
∵AD是BC边上的高且
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴
∴
随练2.7如图所示，，是的中点，，，求证．
【答案】见解析
【解析】如图所示，设交于，要证明，实际上就是证明，而条件不好运用，我们可以倍长中线到，连接交于点，交于点．
容易证明
则，，从而，
而，，故
从而，故
而
故，亦即．
作业1已知：，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．
（1）PC和PD的数量关系是__________．
（2）请你证明（1）得出的结论．
【答案】见解析
【解析】（1）．
（2）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴，
∵OM是∠AOB的平分线，∴，
∵，且，
∴，
∴，∴，
在△CFP和△DEP中
，∴△CFP≌△DEP，∴．
作业2已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且．
求证：．
【答案】见解析．
【解析】延长DE到F，使，连接BF，
∵E是BC的中点，∴，
∵在△BEF和△CED中
∴△BEF≌△CED．
∴，．
∵，∴．
∴，
又∵，∴．
作业3如图，在中，D为BC边上的中点，AE平分交BC于E，交AC于F，，，求CF的长．
【答案】
【解析】解：延长DF交BA延长线与点G，延长FD到H使得，连接BH．
平分，，
，，
又，，易得，
，，
则，设，则，，
解得，，．
作业4如图，在△ABC中，，AD平分∠BAC，求证：．
【答案】见解析
【解析】在AB上截取点E，使得．
∵AD平分∠BAC，∴，
∴△ADE≌△ADC（SAS）．∴，．
∵，∴．
∵，∴，∴．
∴．
作业5已知：如图，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有动点P．
（1）DP⊥BC时（如图1），求证：；
（2）DP平分∠BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）证明：在BP上截取，连接DM，
∵DP⊥BC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
理由是：在BD上截取，连接PM，
∵DP平分∠BDC，
∴，
在△MDP和△CDP中
∴△MDP≌△CDP（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
作业6已知等腰，，的平分线交于，则．
【答案】见解析
【解析】如图，在上截取，连接，
过作，交于，于是，．
又∵，
∴，故．显然是等腰梯形．
∴，．
∵，
，
∴，∴，
∴，．
又∵，∴．
作业7如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：
【答案】见解析
【解析】延长BD至E，使，连接AE，AD，
∵，，∴，
∵，∴△ABE是等边三角形，
∴，，
在△ACD和△ADE中，，
∴△ACD≌△ADE（SSS），
∴．
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