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《探索勾股定理》中考考点对接
中考考点解读
本节内容在中考中主要考查应用勾股定理求线段的长度，多以选择题、填空题的形式出现，另外，在一些综合计算题、实际应用题中有时也会涉及勾股定理的应用，今后勾股定理仍是中考考查的重点。
中考真题剖析
1. 【中考真题】（广东肇庆中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB= .
解析：本题考查勾股定理的运用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
根据勾股定理得，所以有故AB=15.
【对接点】教材第4页习题1.1第1题。
【点睛】中考题和教材习题都是勾股定理的直接应用，题目较为基础，直接代入数据计算即可.
2.【湖南怀化中考】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC于点D，AB=5，BC=6，则AD= .
分析：首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC=BC，AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD的长.
解：解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴DB=DC=CB=3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
∵AD2+BD2=AB2，
∴AD==4，
故答案为：4．
【对接点】教材第4页习题1.1第4题.
【点睛】中考题源于教材，本中考题与教材习题的解答思路完全相同，都是根据等腰三角形的性质推出结论，符合勾股定理的条件，再利用勾股定理求解.
3.中考真题实战演练
选择题
1） （黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（　　）
A．5 B． C． D．5或
2）（滨州）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（　　）
A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对
3）（杭州）如果直角三角形的三条边为2，4，a，那么a的取值可以有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
填空题
1）（桂林）如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE= ．
2）（滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为 ．
3）（佳木斯）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 ．

参考答案
选择题
1）解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为，
故选D．
2）解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=15；
在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD=6．
当AD在三角形的内部时，BC=15+6=21；
当AD在三角形的外部时，BC=15-6=9．则BC的长是21或9．
故选D．
3）解：当4是斜边时，a=2；
当2，4均为直角边时，a=2；
所以a的取值可以有2个，故选C．
填空题
1）解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴AD=BE=4，
∵AB=5，
∴AE=
=3，
故答案为：3．
2）解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5，
∴AC==
=2．
故答案为：2．
3）
1　探索勾股定理
1．勾股定理的探索
如图，在单位长度为1的方格纸中画一等腰直角三角形，然后向外作三个外正方形：
观察图形可知：
(1)各正方形的面积：正方形①的面积S1为1，正方形②的面积S2为1，正方形③的面积S3为2；
(2)各正方形面积之间的关系：S1＋S2＝S3；
(3)由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是：两直角边的平方和等于斜边的平方．
【例1】 如图，Rt△ABC在单位长度为1的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形．回答下列问题：
(1)a2＝__________，b2＝__________， c2＝__________；
(2)a，b，c之间有什么关系？(用关系式表示)
分析：a2等于以BC为边长的正方形的面积16，b2等于以AC为边长的正方形的面积9，c2等于以AB为边长的正方形的面积25.
解：(1)16　9　25　(2)a2＋b2＝c2.
释疑点 网格中求正方形的面积
求以AB为边长的正方形的面积时，可把它放到以正方形格点为顶点的正方形CDEF(如图)中去，它的面积等于正方形CDEF的面积减去它外围的4个小直角三角形的面积．
2．勾股定理
(1)勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边．
(2)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即：勾2＋股2＝弦2.
(3)勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＋b2＝c2.
辨误区 应用勾股定理的几个误区
(1)勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．
(2)利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系式只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2.
(3)勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，b2＝c2－a2等．熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助．
【例2－1】 在△ABC中，∠C＝90°，
(1)若a＝3，b＝4，则c＝__________；
(2)若a＝6，c＝10，则b＝__________；
(3)若a∶b＝3∶4，c＝5，则a＝__________，b＝__________.
解析：因为在△ABC中，∠C＝90°，所以有关系式a2＋b2＝c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”．
(1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝52，则c＝5；
(2)b2＝c2－a2＝102－62＝82，则b＝8；
(3)若a∶b＝3∶4，可设a＝3x，b＝4x，
于是(3x)2＋(4x)2＝52.
化简，得9x2＋16x2＝25，
即25x2＝25，x2＝1，x＝1(x＞0)．
因此a＝3x＝3，b＝4x＝4.
答案：(1)5　(2)8　(3)3　4
谈重点 用勾股定理求边长
这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知两边长，就可以求出直角三角形第三边的长．
【例2－2】 有一飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000 m处，过了20 s，飞机距离这个男孩头顶5 000 m，那么飞机每时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以先画出图形．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 000 m，AB＝5 000 m.
欲求飞机每时飞行多少千米，就须知道其20 s时间里飞行的路程，即图中CB的长．
由于△ABC的斜边AB＝5 000 m，AC＝4 000 m，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算．
解：如图，AB＝5 000 m＝5 km，AC＝4 000 m＝4 km，
故由勾股定理得BC2＝AB2－AC2＝52－42＝9，
即BC＝3 km.
因为飞机20 s飞行3 km，所以它每小时飞行的距离为×3＝540(km)．
3．勾股定理的验证
方法1：用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形．
由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得
(a＋b)2＝c2＋4×ab.
化简可得：a2＋b2＝c2.
方法2：用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形．
由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得
c2＝(b－a)2＋4×ab.
化简可得：a2＋b2＝c2.
方法3：用两个完全相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的梯形．
由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得：
(a＋b)(a＋b)＝2×ab＋c2.
化简可得：a2＋b2＝c2.
说明：勾股定理的验证还有很多方法．
我明白了！在一些几何问题中，利用图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变．
对啊! 利用拼图来验证勾股定理,就是根据同一种图形(或两个全等的图形)面积的不同表示方法列出等式，从而推导出勾股定理.
【例3】 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a＋b)2的值为(　　)．
A．169 B．144 C．100 D．25
解析：根据图形面积的和差关系，4个直角三角形的面积＝大正方形面积－小正方形面积＝13－1＝12，可知4×ab＝12，即2ab＝12，由勾股定理得a2＋b2＝13，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋12＝25.
答案：D
4．利用勾股定理求长度
利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题．
常见的方法有：
(1)利用高(作垂线)构造直角三角形；
(2)利用已知直角构造直角三角形；
(3)利用勾股定理构造直角三角形．
已知直角三角形的两边，求第三边，关键是弄清已知什么边，求什么边，用平方和还是用平方差．
【例4】 如图①，校园内有两棵树，相距12 m，一棵树高13 m，另一棵树高8 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？
图①
分析：分别用AB，CD表示两棵树，如图②，得到梯形ABCD，过D作AB的垂线，垂足为E，可构造出Rt△AED，利用勾股定理解决．
解：如图②，作DE⊥AB于点E，
图②
∵AB＝13 m，CD＝8 m，
∴AE＝5 m.
由BC＝12 m，得DE＝12 m.
∵在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴AD＝13 m.
∴小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞13 m．
5.利用勾股定理求面积
(1)利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用．把所求的面积转化到已知的数量关系中去．
如求图中阴影部分的面积，可转化为中间正方形的面积，而中间正方形的面积等于右侧直角三角形短直角边的平方，借助于右侧的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
(2)利用勾股定理求面积，还要注意整体思想的应用．
【例5】 如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．
分析：要求阳光透过的最大面积即塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边AB的长是多少，可以借助勾股定理求出．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，即AB＝5(m)．
故矩形塑料薄膜的面积是5×20＝100(m2)．
点评：勾股定理是以直角三角形存在(或添加辅助线可以构造的)为基础的；表示直角三角形边长的a，b，c并非是一成不变的，c并不一定就是斜边的长．
6．勾股定理与方程相结合的应用
(1)在进行直角三角形的有关计算时，一般要运用勾股定理，在运用过程中，有时直接运用，有时是通过勾股定理来列方程求解．
具体问题如下：
①已知直角三角形的两边，求第三边的长；
②说明线段的平方关系；
③判断三角形的形状或求角的大小；
④解决实际问题．
(2)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)，利用列方程或方程组来解决．
(3)勾股定理与代数中的平方差公式相结合，解决此类问题可以先根据勾股定理列出关于两直角边的数量关系式，再通过恒等变形巧妙求解．
【例6】 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5 m，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，求滑杆顶端A下滑了多少米？
分析：注意滑杆AB在滑动过程中长度保持不变，同时注意∠ACB为直角这一条件．在Rt△ABC中，应用勾股定理求得AC；在Rt△ECD中，应用勾股定理求得EC，两者之差即为所求．
解：设AE的长为x m，由题意，得CE＝(AC－x) m.
∵AB＝DE＝2.5 m，BC＝1.5 m，∠C＝90°，
∴AC2＝AB2－BC2＝2.52－1.52＝22.
∴AC＝2 m.
∵BD＝0.5 m，∴CD＝CB＋BD＝1.5＋0.5＝2 m.
在Rt△ECD中，
CE2＝DE2－CD2＝2.52－(1.5＋0.5)2＝1.52.
∴2－x＝1.5 m，x＝0.5 m，
即AE＝0.5 m.
∴滑杆顶端A下滑了0.5 m．
探索勾股定理典型例题1
在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？
它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.
（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？
（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？
参考答案
（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC=4，BC=3,
S正方形ABED=S正方形FCGH－4SRt△ABC
=(3+4)2－4××3×4=72－24=25
即AB2=25，又AC=4，BC=3，
AC2+BC2=42+32=25
∴AB2=AC2+BC2
（2）如图（图见题干中图）
S正方形ABED=S正方形KLCJ－4SRt△ABC=(4+7)2－4××4×7=121－56=65=42+72
探索勾股定理典型例题2
下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.
①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？
②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？
③图中（1）（2）的面积之和是多少？
④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？
由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？
参考答案
①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.
②图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.
③图中（1）（2）面积之和为a2+b2.
④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.
因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.
由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.
勾股定理 教材分析 第1课时
勾股定理把几何图形中直角三角形的形的特征转化成数量关系，为几何图形与数量关系之间搭建桥梁发挥了重要作用．由于直角图形的普遍性，勾股定理在实际应用中及其重要．
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教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想及证明过程，首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说，并让学生也去观察同样的图案，通过研究等腰直角三角形这种特殊直角三角形的面积关系，发现它的三边之间的数量关系，在进一步的探究中，又让学生对一般直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，进而得到这些直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，然后，对更一般的结论提出了猜想．并用赵爽证法加以证明，这是一个典型的从特殊到一般的思想方法，这样安排有利于学生认识结论研究的探究过程（观察、想象、计算、猜想、证明），激发学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯．
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历史上对勾股定理的证明的研究很多，得到了很多证明方法．教科书正文中介绍了3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法．这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成另个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法得到等量关系．在教科书中，主要是将边长分别为、的两个正方形切割成四个直角三角形和一个小正方形，其中，直角三角形两直角边分别为、，面积都等于；小正方形的边长为,面积为．这样，由于从而证明了勾股定理．
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本节课的教学重点是勾股定理的探究和证明．
勾股定理 重难点突破 第1课时
1．发现直角三角形三边之间的关系
?
突破建议
?
1．教科书首先让学生探索发现解直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方，然后证明上述关系成立，最后让学生运用勾股定理解决问题．学生直接发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，有一定的难度，因此，教学时，先让学生发现以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积之间的关系．从等腰直角三角形入手，容易发现数量关系．
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2．结合毕达哥拉斯的传说故事，可以提高学生学习的兴趣，另外，其中的图案对学生发现规律也有一定的提示作用．教学时，要引导学生先观察地砖中等腰直角三角形与周边直角三角形、正方形的关系，两看看等腰直角三角形三边所在的正方形的面积之间的关系，然后得出猜想．
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3．让学生探究几个一般的直角三角形，这几个直角三角形是在正方形网格背景下的，看看是否有相同的数量关系．在这个“探究”栏目中，关键是计算以斜边为边长的正方形的面积．图中以斜边为边长的两个正方形的面积可以如下求出：
?
?
也可以由四个直角三角形的面积加上一个小正方形的面积求出：
?
???
?
2．勾股定理的探究与证明
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突破建议
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1．在地板图案中，由于等腰直角三角形都是全等的，利用面积相等的思路比较容易观察出等腰直角三角形两直角边的平方和等于以斜边的平方．要注意引导学生观察、猜想，得出结论．
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2． 在一般情况下直角三角形还有上述关系吗？为在得到结论。需要在网格背景下，进行实验操作，利用割补法，也能探索发现，比较特殊（主要是网格背景下直角三角形边长取整数）的直角三角形的三边之间也有相同的数量关系．从而说明猜想的正确性．
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3．实验方法得到的结论是否可靠，需要理论证明．勾股定理的证明方法很多，教科书介绍的是我国古代数学家赵爽的证法，这是一种面积证法．在前面正方形网格中比较容易发现等腰直角三角形及一般直角三角形的三边关系．由于以前没有系统地讲过面积理论，学生对面积证法的推理根据会感觉不太明确．教学时，先要说明赵爽的证明思路：两直角边所在的正方形的面积之和等于斜边所在的正方形的面积．所以，要先作一个直角三角形，再将两直角边所在的正方形面积拼在一起，图形在经过适当的切割后再另拼接后，新图形的面积与原图形的面积是相等的．由赵爽弦图可知，以斜边为边长的正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．由此考虑以直角边为边长的两个正方形连在一起的图形是否也由四个全等的直角三角形和一个正方形组成．教科书中图17．1-6展示了图形切割拼接的过程，从而由图形的面积关系得到了勾股定理的证明．
勾股定理 教材分析 第2 课时
勾股定理在解决实际问题中有广泛的应用价值，在证明几何结论中则起着非常重要的作用,在教学中应引起充分的重视．
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在运用勾股定理解决实际问题的过程中，先要找出直角三角形（有时也需要构建直角三角形），再找出其三边，看看两边是否已知，求哪条边．要让学生熟练掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法，不过，目前所掌握的只是工具很有限，因此只能求解一些较简单的实际问题．
勾股定理 重难点突破 第2课时
利用勾股定理，解决求直角三角形边的问题．
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突破建议
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1．明确勾股定理应用的条件：直角三角形；知二求一．教学时，要充分让学生明确，应用勾股定理时，要在直角三胸形中进行，一般三角形不能用勾股定理，同时，勾股定理是研究直角三角形三边关系，要知道两边，才能求出第三边．因此，勾股定理的应用，先要找直角三角形，有时，直角三角形不能直接找到，还要通过想象、构造得出直角三角形，其次是找其三边．
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2．想象、构造直角三角形．
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例　一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2．2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
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解析? 这是一个实际应用问题，可以看出，木板的长边和短边都超过了门框的高，薄木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．将门框看作长方形，那么长方形的对角线是门框能通过的最大长度．求出对角线的长，与木板的短边比较，如果对角线的长超过木板的短边，薄木板就能顺利通过门框，否则，就不能通过．
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将门框抽象成一个长为1m，宽为2m的长方形,实际问题就抽象成一个数学问题．具体地，长方形有直角，连接对角线,就可以构造直角三角形，该实际问题抽象成已知一个直角三角形的两条直角边的长，求斜边长的数学问题，而这个问题可以用勾股定理来求解．
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3．注意直角三角形的运动变化．
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在进行例2的教学时，通过学生分析、讨论，两直角三角形的斜边（即梯子的长度）是没有变化的，只有两直角边产生了变化（其中一条直角边是梯子顶端靠在墙面上的高度，另一条直角边是梯脚离墙脚的距离）．只比较梯子顶端下滑的距离和梯脚滑动的距离就知道结论是否正确了．
勾股定理
教学分析与建议
主要内容
勾股定理在数学的发展历史上起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学的、文化的内涵。它是几何学中的重要的定理之一。
教材为学生设计了自主探索勾股定理内容以及验证它的素材和空间，教学中要使学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程
教材的设计过程中，希望学生能够利用方格纸探索勾股定理内容，并且能利用拼图验证勾股定理，再次就是通过测量获得勾股定理的逆定理
教材提供了较为丰富的历史的或现实的例子，以展示勾股定理及其逆定理的应用，体现其文化价值。当然限于学生的已有知识，问题解决中所涉及的数据均为完全平方数，本章更多的关注学生对勾股定理及其逆定理的理解和应用，不追求复杂计算。
二、评价建议
关注对探索勾股定理等活动的评价。一方面要关注学生是否积极参与，是否能与同伴进行有效合作交流；另一方面也要关注学生在活动中能否进行积极的思考，能否探索出解决问题的方法，是否能够进行积极的思考，在活动中学生所表现出的归纳，概括能力，学生是否能够有条理地表达活动过程和所获得的结论等。
关注考查对勾股定理及其逆定理的理解和应用。注意评价时，不应以复杂运算为主，我们应更另关注学生对有关结论的正确使用。
三、教学目标
l．经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想；
2．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题；
3．掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题；
4．通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。
四、教材特点
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
为了使学生能更好地认识勾股定理、发展推理能力，教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，同时又安排了用拼图的方法验证勾股定理的内容，试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系（如将a2,b2,c2与正方形的面积联系起来，再由比较同一正方形面积的几种不同的代数表示得到勾股定理）。
勾股定理的逆定理也有着重要的地位，但在本章中不要求学生从逻辑上对定理与逆定理进行一般的认识，因此，教科书中没有给出勾股定理逆定理的名称，而是称之为直角三角形的判别条件。教科书以历史上古埃及人作直角的方法引人“三角形的三边长如果满足a2+b2=c2是否能得到一个直角三角形”的问题，然后通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件。
为了让学生更好地体会勾股定理及逆定理在解决实际问题中的作用，教科书提供了较为丰富的历史的或现实的例子来展示它们的应用，体现了它们的文化价值。限于学生已有的知识，有关应用中涉及的数均为完全平方数，本章更多关注的是对勾股定理的理解和实际应用，而不追求计算上的复杂。在学生学习了无理数之后，可以再利用勾股定理解决一些涉及无理数运算的实际问题。
五、课时安排建议
1．探索勾股定理 2课时
2．一定是直角三角形吗 1课时
3．勾股定理的应用 1课时
六、具体内容分析
探索勾股定理（第一课时）
本节核心内容：勾股定理及它的探索过程
在教学中，我们可以通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题．其中课本中的，做一做”采用的是数方格的方法； “议一议”对归纳基础的加强；“想一想”是一个有趣的实际问题；
教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师应鼓励学生充分经历这一观察、归纳、猜想的过程！鼓励学生尝试求出方格中三个正方形的面积，比较这三个正方形的面积，由此得到直角三角形三边的关系，通过对几个特殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律，运用自己的语言表达探索过程和所得结论．当然教学时，教师也可以根据学生的实际情况，设计其他的探索情景。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质．如有条件，还可以利用计算机（几何画板软件动态显示）的优越条件，提供足够充分的典型材料——形状大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的教学方法．
教学中要注意：a，多采取小组合作讨论的方式b, 给学生留下充分的探索实践的时间和空间c,介绍相关的背景材料
2，探索勾股定理（第二课时）
本节核心内容：用拼图来验证勾股定理及其一个简单运用。
在勾股定理的探索和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现．教师在教学中应注意渗透这种思想，鼓励学生从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这有助于学生认识数学的内在联系。例如，在探索勾股定理的过程中，教师应引导学生由正方形的面积想到a2,b2,c2，而在勾股定理的验证过程中，教师又应引导学生由数“a2+b2=c2想到正方形的面积。” 在教学中，“议一议”使学生进一步体会直角三角形三边的关系，要给学生充分的讨论空间。
勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴涵了丰富的文化价值，古代很多国家和民族都对勾股定理有不同程度的认识和了解，我国是最早了解勾股定理的国家之一．当考虑等腰直角三角形的斜边时，这一定理又导致了无理数的产生一数学历史上的第一次数学危机。教师应鼓励每一个学生阅读教科书提供的勾股定理的历史，并可以向学生再展示一些历史资料。教师还可以引导学生自己从书籍、网络上查阅资料，了解更多的有关勾股定理的内容，体会它的文化价值．
3，一定是直角三角形吗
本节的核心内容是：掌握直角三角形的判别条件。
课本创设了古埃及人利用结绳的方法作出直角，教师还可以创设其他现实情境或鼓励学生自己寻找有关问题，进一步展现勾股定理和逆定理在解决问题中的作用，认识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息。在教学中，“做一做”是用计算、画图再测量的方法归纳出勾股定理的逆定理。归纳的基础应尽可能的厚实一些，但此处有一定的作图困难。教师可对其正确性予以说明。还要让学生熟悉一些常用的勾股数。
勾股定理的应用
本节的核心内容是：勾股定理及其判别条件的简单运用。
这一节内容，可以让学生先自主探索，再引导其考虑侧面展开图来解决问题，培养空间观念。本节课要以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的思维能力，动手能力，探究能力为重点的教学思想。在课堂教学中，尽量为学生提供“做中学”的空间，小组合作，探究交流得到了真正体现。数学源于生活，并运用于生活是整节课的一条暗线贯穿其中。
这节课的目标具体的可以分为：
1、初步运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。
2、能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法和理解。
3、在解决实际问题的过程中，体验空间图形展开成平面图形时，对应的点，线的位置关系，从中培养空间观念。
4、在解决实际问题的过程中，进一步培养从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养学生的转化、推理能力。
5、通过研究勾股定理的历史，了解中华民族文化的发展对数学发展的贡献，激发学生的爱国热情和学习数学的兴趣。
总之，我们要培养学生从空间到平面的想象能力，运用数学方法解决实际问题的创新能力及探究意识。
勾股定理
1．解析：主要考查利用勾股定理求直角三角形的边长．各小题答案依次是：（1）；（2）；（3）．
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2．解析：本题是勾股定理在实际问题中的应用．相当于已知直角三角形的两直角边的长，求斜边长．根据勾股定理得折断处到木杆顶端的长为加上3，可知木杆折断之前应为8m．答案是：8m．
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3．解析：本题是几何问题，主要考查利用勾股定理求直角三角形的边长．根据勾股定理得答案是：2.5．
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4．解析：本题考查勾股定理在实际问题中的应用．求两孔中心的距离相当于已知直角三角形两直角边的长，求斜边的长．依题意知，根据勾股定理得．于是，两孔中心的距离为43.4mm．
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5．解析：本题主要考查利用勾股定理解决实际应用问题．相当于已知直角三角形的斜边与一条直角边，求另一条直角边．根据勾股定理得，故点A到电线杆底部B的距离是4.9m．
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6．解析：本题考查利用勾股定理画出长为（为正整数）的线段．利用勾股定理可以发现，直角边长为2，4的直角三角形的斜边长为．由此可以依照如下方法在数轴上画出表示的点．如图，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点．
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7．解析：本题主要考查利用勾股定理求解含特殊角的直角三角形的边长问题．
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（1）是直角三角形中30°角所对的直角边，故，根据勾股定理得；（2）容易推出图形是等腰三角形，两直角边相等，故于是，，
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8．解析：本题主要考查三角形的面积公式和利用勾股定理求直角三角形的边长．各小题答案如下：（1）；（2）根据勾股定理得；（3）由可得，
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．
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9．解析：本题主要考查勾股定理的应用．实际是利用勾股定理求等腰三角形底边上的高．根据勾股定理得，故高的长为82mm．
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10．解析：本题主要考查勾股定理在实际问题中的应用．题给图形是截面图，抽象成数学问题，相当于求解直角三角形的边长问题．设水的深度为尺，则芦苇的长度为尺，根据勾股定理得解得于是，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺．
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11．解析：本题考查特殊直角三角形边之间的数量关系及勾股定理的应用．直角三角形中，30°角所对直角边的长等于斜边的一半，设，则，根据勾股定理得，解得所以斜边的长
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12．解析：主要考查正方形的面积公式和勾股定理的应用．先根据面积关系确定大正方形的边长，然后根据勾股定理得到分割的方法．因为5个小正方形的面积之和为5，所以大正方形的面积为5，可得大正方形的边长为，容易发现，直角边的长为2，1的直角三角形的斜边长为，这就提示我们，分割和拼接方法分别如图1和图2所示．
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13．解析：本题主要考查勾股定理的应用．由勾股定理得到，直角边上的两个半圆的面积的和等于斜边上半圆的面积．运用上述结论可得，阴影部分的面积就是直角三角形的面积．证明如下：，，．
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因为根据勾股定理得所以
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14．解析：本题主要考查勾股定理的应用、全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的性质．证明如下：
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证法一：如图1，连接BD．
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又
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在Rt中，得
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即
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证法二：如图2，作由题给条件可知，
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在Rt中，根据勾股定理得
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在等腰Rt和等腰Rt中，根据勾股定理得，
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又
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而
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勾股定理的发现与证明
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：
周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”
商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”??? 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”
勾股定理课标解读
1．在研究三角形时，我们前面研究了三角形的角的关系（三角形三内角和定理）和三角形的三边关系（任何两边的和大于第三边），但三角形的边的关系只是不等关系，有的三角形边之间是否有相等关系呢？这是勾股定理提出的思考前提．
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2．勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，将形的特征与数量关系密切联系起来，为几何图形与数量关系之间搭建桥梁发挥了重要作用．
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3．勾股定理的探索过程，是数与形的有机结合，是数学探索的典范．是从观察到想象、从发现到猜想、从特殊到一般、从定性到定量、从实验到理论证明的过程．
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4．借助图形的面积研究相关数量关系是我国古代数学研究中经常采用的重要方法．充分展示了我国古人的智慧．可借助对勾股定理的多种证明方法，加强对面积法的理解．
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5．直角三角形有很多性质，勾股定理是其中最重要的定理之一．用它可以解决直角三角形中边的计算问题，是解直角三角形的重要依据，在生产生活中用途很广．它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用．在实际应用时，要注意的是：一是注意找到或构建直角三角形，二是找三条边，已知两条边，才能求出第三条边．
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6．有勾股定理作基础，可以作出长为（为非负整数）的线段，进而在数轴上画出表示的数，从而加深对“实数与数轴上的点一一对应”的理解．
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7．我国古代在数学方面有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目，并得到了高度评价．在数学教学中，应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生的爱国热情和民族自豪感．
《探索勾股定理》学习指导
一、学习要点
勾股定理背景
我国是最早发现勾股定理的国家，据《周髀算经》记载，我国数学家早在公元前1120年就对对勾股定理有了明确认识。勾股定理从发现到现在已有三千年的历史，在西方它被称为毕达哥拉斯定理，但它的发现时间却比中国晚了几百年。勾股定理把直角三角形这个几何图形与三边长的数量关系联系在一起，体现了数形结合的思想。
旧知回顾
1.直角三角形两个锐角关系：直角三角形的两个锐角互余。
2.三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。
目标导航
重点：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解探索勾股定理的各种方法及其内在联系，进一步发展空间概念和合情推理能力。
难点：掌握勾股定理，知道该定理反映了直角三角形三边间的数量关系，它是直角三角形的重要性质之一，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
考点：能运用勾股定理由已知直角三角形的两边长求第三边的长。
二、学习引导
尝试通过测量、数格子等方法探索得到勾股定理
1）动手在纸上作出几个直角三角形，分别测量它们的三条边，填写好下表．观察三条边的平方有什么关系？(其中a、b是两直角边长，c是斜边长)
a2
b2
c2
可能的关系
2）如图所示，思考以下几个问题
图1-2中，如何计算直角三角形三边的平方（即正方形面积），是否满足探究方法一中猜想的数量关系？
图1-3中，如何计算正方形面积？ 思考后根据以下提示计算。
①直接数出正方形内部所包含的完整的小方格的个数，而将不足一个小方格的都算作半个。
②将不足一个方格的部分进行适当拼凑，以拼凑出若干个完整的小方格。
③将斜边上的正方形划分为若干个边长为整数的直角三角形，再利用三角形面积公式求得。
④在斜边上的正方形的边长上各补一个直角三角形，得到一个大的正方形。
结论：我们古代把直角三角形中较短的直角边称为 ，较长的直角边称为 ，斜边称为 ．从而得到著名的勾股定理： ．如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 ．
通过拼图验证勾股定理
为了计算图1-4中大正方形的面积，对这个大正方形适当进行了割补，如1-5和1-6所示，思考：
①将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；
图1-5：
图1-6：
②两图中正方形ABCD的面积分别为多少？有哪些表示方式？
图1-5：
图1-6：
方式：
③分别用两图验证勾股定理。
学以致用
1）求出下列直角三角形中未知边的长度。
2）求斜边长17厘米、一条直角边长15厘米的直角三角形的面积。
3）我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方骑车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，骑车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？
思考
前面已讨论了直角三角形的三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形的三边也满足这一关系吗？通过数格子的方法验证。
结论：锐角三角形中，；钝角三角形中，
练一练
必做题：
1、如图，隔湖有两点A、B，从与BA方向成直角的BC方向上的点C，测得AB=40cm,CB=30cm，求AC的长度。
（第1题图） （第2题图）
2、一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少?
3、已知直角三角形两直角边BC和AC的长分别为3cm和4cm，那么高CD有多长？
选做题：
4、若一个直角三角形的一条直角边长为7，其它两条边长为两个连续整数，则这个直角三角形的周长是 。
5、如图，有一个长方体纸盒，长、宽、高分别为15cm、8cm、5cm，请你估算一下，能否把一根长为18cm的铅笔放入这个纸盒里面？
第一章第一节勾股定理
第1课时 1.1勾股定理（1）
1、我国是最早发现勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角．如果勾（即直角三角形中较短的直角边）等于3，股（即直角三角形中较长的直角边）等于4，那么弦（即直角三角形中的斜边）等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式．因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”．在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理．相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜．但因此也引发了数学的第一次危机——边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示．
关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。
所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智．
例如：高24米的天线杆，在离地面9米处断裂，如果线杆底部仍和地面垂直，顶部到底部的距离唯一吗？如何解决？
解答：上半截杆高24-9=15米，即直角三角形的斜边为15米，一条直角边为9米，由勾股定理可得152-92=144，所以，另一直角边长为12米。
2、如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作<勾股圆方图》它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。请你拼出如图所示的图形并，根据面积验证勾股定理。
解：设直角三角形边长如图：则
整理得
3、?勾股定理又称商高定理或毕达哥拉斯定理。据记载，最早给出勾股数的是巴比伦人，在一块公元前18世纪的泥板上刻有十五组勾股数，至今已有三千七百多年。我国古书《周髀算经》记述了约公元前110年周公和商高的对话中，明确提出"勾三股四弦五"的关系，因此在我国称为商高定理。最早给出证明的是毕达哥拉斯学派，所以得名为"毕达哥拉斯定理"。毕达哥拉斯(Pythagiras，约公元前580-前500年)是古希腊数学家，约在公元前530年建立了自己的学派。相传，毕达哥拉斯学派找到勾股定理的证明后，欢喜若狂，杀了一百头牛祭神，由些又有"百牛定理"之称。公元前三世纪，欧几里得(Euclid,公元前330-前275年)，古希腊数学家，在《几何原本》中把勾股定理列为命题47，他给出的证法成为近两千年来教科书中通用的证法。勾股定理的证法极多，据有记载的已达四百多种，是到目前为止证法最多的定理。勾股定理在数学中占有重要地位，特别是它的应用导致了无理数的发现。
4、《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。
探索勾股定理的教法建议
1．注重使学生经历探索勾股定理的过程．
教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师应鼓励学生充分经历这一观察、归纳、猜想的过程，鼓励学生尝试求出方格中三个正方形的面积，比较这三个正方形的面积，由此得到直角三角形三边的关系，通过对几个特殊例子的考察归纳出直角三角形三边之间的一般规律，运用自己的语言表达探索过程和所得结论．教学时，教师也可以根据学生的实际情况，设计其他的探索情景．通过观察、实践、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能力．
教师还可以让每一个学生任意画一个直角三角形，验证自己的发现，并在此基础上得到结论．在这个过程中，学生体验到由特例归纳猜想、由特例检验猜想的过程．教师最后可以向学生说明，这个发现是可以证明的．
教学中，教师可以首先向学生渗透一下归纳与验证的关系（归纳的结论不一定正确，需要进一步验证）．在验证过程中，教师要引导学生进行联想，将形的问题与数的问题联系起来；要鼓励学生大胆地拼摆，对于学生可能拼摆出来的与图1－7不同的图形，教师都应给予鼓励．对于教科书中给出的图1—7，教师可以联系整式运算的有关知识，让学生自己推导出勾股定理．
2．注重创设丰富的现实情境，体现勾股定理的广泛应用．
勾股定理在现实世界中有着较为广泛的应用，教师应充分利用教科书中的素材让学生体会这种应用．教师还可以创设其他现实情境或鼓励学生自己寻找有关问题，进一步展现勾股定理在解决问题中的作用，认识现实世界中蕴涵着丰富的数学信息．
3．尽可能地介绍有关勾股定理的历史，体现其文化价值．
勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴涵了丰富的文化价值，古代很多国家和民族都对勾股定理有不同程度的认识和了解，我国是最早了解勾股定理的国家之一．当考虑等腰直角三角形的斜边时，这一定理又导致了无理数的产生——数学历史上的第一次数学危机．
教师应鼓励每一个学生阅读教科书提供的勾股定理的历史，还可以向学生详细介绍一些有关勾股定理的历史、人类对它的研究、它的广泛应用等，以激发学生的学习欲望，使他们了解勾股定理对人类发展的重要作用，体会它的重大意义和文化价值．教师还可以引导学生自己从书籍、网络上查阅资料，了解更多的有关勾股定理的内容，体会它的文化价值．
4．注意渗透数形结合的思想．
在勾股定理的探索和验证过程中，数形结合的思想有较多的体现．教师在教学中应注意渗透这种思想，鼓励学生从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这有助于学生认识数学的内在联系．例如，在探索勾股定理的过程中，教师应引导学生由正方形的面积想到，而在勾股定理的验证过程中，教师又应引导学生由数想到正方形的面积．
5. 本节的重点是探索勾股定理，并能用它来解决一些简单的问题．难点是勾股定理的发现， 能运用拼图的方法证明勾股定理．
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用．勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值．勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解．
为了使学生能更好地认识勾股定理、发展推理能力，教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，同时又安排了用拼图的方法验证勾股定理的内容，试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系（如将与正方形的面积联系起来，再由比较同一正方形面积的几种不同的代数表示得到勾股定理）
数学家故事·毕达哥拉斯
　　无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。
　　毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。
　　毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC-497 BC)古希腊数学家、哲学家。
　　毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28，496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数。他们还发现了“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，西方人称之为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。当今数学上又有“毕达哥拉斯三元数组”的概念，指的是可作为直角三角形三条边的三数组的集合。
在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
　　毕达哥拉斯学派认为数最崇高，最神秘，他们所讲的数是指整数。“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。但是，有一个名叫希帕索斯的学生发现，边长为1的正方形，它的对角线()却不能用整数之比来表达。这就触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在 (即无理数)的秘密。天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。但很快就引起了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。希帕索斯为殉难留下的教训是：科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬。
　　可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯，到了晚年不仅学术上趋向保守，而且政治上反对新生事物，最后死于非命。
《探索勾股定理》方法学习

【例1】 在△ABC中，已知∠B=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=5，b=12，求c2．
【分析】
由∠B=90°,知b才是斜边（如图），所以a2＋c2= b2,注意不要受思维定势（勾股定理的表达式：）的影响而误认为c是斜边
【解答】
由∠B=90°,则知b是Rt△ABC的斜边，
由勾股定理，得c2===119．
【总结】我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理表达式进行求解．
【例2】如图，在△ABC中，AB = 25，AC = 30，BC边上的高AD = 24，求BC的长.
【分析】本例不能直接求出BC的长，但通过观察图形可以发现BC边上的高AD把△ABC分成了两个直角三角形，可以分别在两个直角三角形中救出BD、DC的长，从而救出BC的长。
【解答】在直角三角形ABD中，由勾股定理，得
BD 2=AB2－AD2=252－242=49，所以BD=7 ；
在直角三角形ADC中，由勾股定理，得
CD 2=AC2－AD2=302－242=324，所以CD=18.
所以，BC = BD + DC = 7 + 18 = 25.
【总结】在直角三角形中已知两条边可以应用勾股定理救出第三条边，要注意发现题目中的直角三角形，从而找到解题的思路。

【例1】用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的．
　　观察，你能验证吗？把你的验证过程写下来，并与同伴进行交流．
【分析】仔细观察图形，可以看出图中以为边的正方形面积有两种不同表示形式：即可以利用边长为C来表示也可以用四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积来表示。
【解答】由图可知
正方形==．
　　正方形=，所以．
【总结】本例通过拼图来验证勾股定理，体现了“数形结合”的思想，需要对图形进行细致观察、分析，如图形中小正方形的边长为．
【例2】如图如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…己知正方形ABCD的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为为正整数），那么第8个正方形的面积=
【分析】求解这类题目的关键策略是：从特殊到一般，即先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得到一般规律，再利用其一般规律求解所要解决的问题．
照此规律可知：
观察数、2、4、8、16得于是可得
因此
【解答】填：128.
【总结】本题利用了正方形是由两个全等的等腰直角三角形构成这个特点，在解题时要注意分析图形的构成。
【例1】在一棵树的米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
【分析】根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解．
【解答】如图，为树顶， ，为池塘，，设的长是，则树高．因为，所以，在中，，所以．故，解得．所以，即树高15米．
【总结】勾股定理的本身就是数形结合的体现，求解时它又与方程紧密相联．
【例2】在中，，边上的高，试求的长．
　　【分析】三角形中某边上的高既可以在三角形内部，也可以在三角形外部，只有将这两种情况全面考虑才能正确解答本题．
【解答】当在内部时，如图（1），由勾股定理，得
　　，即．
　　，即．
　　则．
　　当在外部时，如图（2）
　　同样，由勾股定理可求得
　　．
　　．
　　故的长为25或7．
【总结】本题在考查勾股定理的同时，也考查了对三角形高的位置情况的认识。

《探索勾股定理》知识点解读
知识点1：勾股定理（重点）
★勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么。该定理反映了直角三角形的三边关系。（古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”）
■温馨提示①勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能是在同一个直角三角形中时，才能利用它求第三边边长。
例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长。
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB2=AC2+BC2=52+122=169，所以AB=13.
②在式子中，a代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边，它们之间的关系不能弄错。应用勾股定理时，要注意确定哪条边是直角三角形的最长边，也就是斜边。在Rt△ABC中，斜边未必一定是c，当∠A=90°时，当∠C=90°时，
例：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，求AB2的值。
解：当∠C=90°时，AB2=AC2+BC2=32+42=25；
当∠A=90°时，AB2=BC2-AC2=42-32=7
③遇到直角三角形中的线段求值问题，要首先想到勾股定理。勾股定理把“数”与“形”有机地结合起来，把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想方法的典型。
④勾股定理的变式：
在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则
例：如图，已知等腰△ABC的腰AB=AC=10 cm，底边BC=12 cm，AD是∠BAC的平分线，则AD的长是 cm.
解析 ∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC=6（cm）
在Rt△ABD中，由勾股定理知 AD=
答案 8
知识点2：勾股定理的验证（难点）
★勾股定理的验证方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。
说明：（1）探索勾股定理时找面积相等是关键。
（2）由面积之间的等量关系，并结合图形进行代数变形可推导出勾股定理。
（3）拼图法是探索勾股定理的有效方法，一般应遵循以下步骤：
拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导出勾股定理。
例：如图是美国第20任总统加菲尔德于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它验证勾股定理吗？
分析：通过构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积，
从而得到一个关于三边长a，b，c之间的关系式，这种方法
习惯称为“算两次”。
解：
解题关键：两个全等的直角三角形按上图摆放可得到一个大的直角梯形，而中间得到一个等腰直角三角形（由全等易证出）。
知识点2：勾股定理的应用（重点）
★已知直角三角形任意两边的长度，利用勾股定理可以求出第三边的长度。
应用勾股定理应注意的三个问题：
（1）勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一，即应用勾股定理的前提条件是“在直击三角形中”；
（2）应用勾股定理时，必须分清斜边和直角边；
（3）不能直接用勾股定理解决问题时，可以通过添加辅助线的办法构造出直角三角形，再利用勾股定理解答。
例：如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行多少米？
解：由题意可画出如图所示的图形，作DE⊥AB，垂足为E，则∠BED=90°，AE=CD，DE=AC，其中AB=10 m，AC=8 m，CD=4 m，
所以BE=AB-AE=AB-CD=10-4=6（m）.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2=BE2+DE2=62+82=100.
所以BD=10 m.
答：小鸟至少要飞行10 m.
解题关键：对于实际问题，要仔细分析题意，从所给信息中抽象出直角三角形，再用勾股定理计算出所求线段的长.
1.1探索勾股定理
勾股定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把形的特征——三角形中一个角是直角，转化成数量关系——三边之间满足。利用它可以解决直角三角形中的许多计算问题，是解直角三角形的主要根据之一。它在理论上有重要的地位，在实际中有很大的用途，因而这一节课的教学就显得相当重要。
对“勾股定理”的教学，笔者做如下的设计：
一、复习性导语，自然引入(时间：7—8分钟)
我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
这一段导语的目的是，既复习旧知识：三角形两边之和大于第三边，又很自然地引出新问题：勾股定理。这时，让学生带着问题去阅读课文的第一、二自然段。
二、拼图证明，直观易懂(时间：13—15分钟)
勾股定理的证明方法很多，采用哪种方法直观易懂地使定理得到证明，是本节课教学的难点，为解决这个难点，我们设计这样一则填空题：
用两直角边是a、b，斜边是c的四个全等直角三角形拼成图1。
观察图形并思考、填空：
1．拼成的图中有_______个正方形，______个直角三角形。
2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
3．图中大正方形的面积为_______，小正方形的面积为_______，四个直角三角形的面积为_______。
4．从图中可以看到大正方形的面积等于小正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，于是可列等式为_______，将等式化简、整理，得_______。
学生讨论、回答，教师及时点拨，并适时引导，使学生正确地完成填空题。
对于勾股定理的证明，我们没有采用教师讲解的方法去完成，而是设计了一组思考填空题，让学生在思考、填空的过程中完成该定理的证明。
勾股定理的证明是本节的难点，教科书采用将八个全等的直角三角形拼成两个图形的方法进行证明，既繁琐，又费时。笔者所采用的证明方法，在初二学生目前所学的有限知识中，是一种较简便的证明方法，比教科书上介绍的证明方法省时易懂。
三、精选练习，掌握应用(时间：20—22分钟)
勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法，为此，可设计下列三组具有梯度性的练习：
练习1(填空题)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；
②若a=40，b=9，则c=________；
③若a=6，c=10，则b=_______；
④若c=25，b=15，则a=________。
练习2(填空题)
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10。
①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；
②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。
练习3
已知等边三角形ABC的边长是6cm。求：
(1)高AD的长；
(2)△ABC的面积。
练习1是在学生刚刚了解了勾股定理的内容后，已知两边求第三边的练习。这时应提醒学生注意：∠C=90°，则c是斜边，边a、b是直角边。以便学生正确运用勾股定理求第三边。
练习2是学生在初步掌握了在直角三角形中已知两边求第三边的方法以后，有所提高的一组练习，既要用到30°直角三角形和45°直角三角形的性质，又要用到勾股定理。
练习3综合性较强，它既要结合图形的性质，又要用到勾股定理和三角形的面积公式。
这三组练习紧紧围绕本节的重点而设置，学生完成这三组练习后，对勾股定理的应用就有了较深刻的认识，在学了四边形和一元二次方程后，应用范围将逐步扩大。
教学后记

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