资源简介

如何用分解因式法解一元二次方程
作为分解因式法解一元二次方程是解一元二
( http: / / www.21cnjy.com )次方程的首选方法那么如何才能正确地运用分解因式滚过来解一元二次方程呢？一般来说，有下列几个步骤：①将方程右边化为零；②将方程左边分解为两个一次因式乘积；③令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.正确举几例说明：
例1　解方程：x2
－6x－16＝0.
分析　由于－16＝－8×2，且－8+2＝－6.所以可以考虑运用分解因式法求解.
解　原方程的左边分解因式，得(x－8)(x+2)＝0.
即x－8＝0，或x+2＝0.解得x1＝8，x2＝－2.
例2　解方程：x2＋(
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com ))x－
( http: / / www.21cnjy.com )＝0.
分析　考虑－
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )(－
( http: / / www.21cnjy.com ))，所以，原方程可以利用分解因式法求解.
解　原方程的左边分解因式，得(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))(x－
( http: / / www.21cnjy.com ))＝0.
即x+
( http: / / www.21cnjy.com )＝0，或x－
( http: / / www.21cnjy.com )＝0.解得x1＝－
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
例3　解关于x的方程：x2+2(p－q)x－4pq＝0.
分析　由于－4pq＝2p(－2q)，而2p+(－2q)＝2(p－q)，所以原方程可以考虑利用分解因式求解.
解　原方程的左边分解因式，得(x+2p)(x－2q)＝0.
即x+2p＝0，或x－2q＝0.解得x1＝－2p，x2＝2q.
例4　解关于x的方程：x2－a(3x－2a+b)＝0.
分析　方程中x是未知数，其它字母均为字母
( http: / / www.21cnjy.com )系数.若用公式法解含有字母系数的一元二次方程时，计算量大，容易出错.考虑原方程通过整理变形后可以利用分解因式得到两个一次因式的乘积，于是可以求解.
解　原方程化为x2－3ax－(b2+ab－2a2)＝0，由于b2+ab－2a2＝(b+2a)(b－a).
所以方程的左边分解因式，得[x－(2a+b)][x－(a－b)]＝0，
即x－(2a＋b)＝0，或x－(a－b)＝0，所以x1＝2a+b，x2＝a－b.
综上所述，分解因式法解一元二次方程的理论根据
( http: / / www.21cnjy.com )是，如果两个因式的积等于零，那么，这两个因式至少要有一个等于零.它是解一元二次方程最常用的方法.一般来说，能用分解因式法的一元二次方程应尽量用分解因式法，其法快速、方便，准确率高，当分解因式法实在困难时，再考虑运用公式法等.如何学好配方法
配方法是数学中一种很重要的思想方法，它的主要用途是用来求一元二次方程的解．那么怎样用配方法解一元二次方程？先让我们来看一个例子吧．
例
用配方法解方程4x2－12x－1=0．
分析：我们知道形如(x+a)2=b
( http: / / www.21cnjy.com )(b≥0)的方程可以用直接开平方法求解．如果方程4x2－12x－1=0能化成这种形式，不也就可以用直接开平方法求解了吗？通过观察，发现式子(x+a)2=b中等号左边为二次项系数为1的一个多项式的完全平方形式，右边为常数项，于是考虑先把方程4x2－12x－1=0的二次项系数化为1，再把常数项移到方程的右边，然后把方程左边配成完全平方形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
解：二次项系数化为1，得
( http: / / www.21cnjy.com )．移项，得
( http: / / www.21cnjy.com )．配方，得
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )．两边开平方，得
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．
由此可见，配方法是以完全平方公式为理论依
( http: / / www.21cnjy.com )据，以开平方法为目标的一个变形过程．其一般步骤为：（1）二次项系数不为1，先把二次项系数化为1即在方程两边同除以二次项的系数；（2）移项：使方程左边只含二次项与一次项，右边为常数项；（3）配方：在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x+a)2=b的形式；（4）当b≥0时，再用开平方法解变形得到的这个方程．
用配方法求一元二次方程的解时，常出现
( http: / / www.21cnjy.com )“①对于二次项系数不为1的方程，没有把二次项系数化为1，就直接进行配方；②配方时，没有在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．”这两个方面的错误．
错解1：移项，得4x2－12x=1．配方，得4x2－12x+
( http: / / www.21cnjy.com )=1+
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )．两边开平方，得x－6=
( http: / / www.21cnjy.com )．解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．
剖析：用配方法解一元二次方程时，若二次项系数不为1，应先把它化为1，再进行配方．错解1未做好这一准备工作就急于配方而致错．
错解2：二次项系数化为1，得
( http: / / www.21cnjy.com )．移项，得x2－3x=
( http: / / www.21cnjy.com )．配方，得x2－3x+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
剖析：用配方法解方程的关键是配方，而配
( http: / / www.21cnjy.com )方的核心待原方程的左边化为“x2+bx”的形式后，在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，使方程的左边变为完全平方式．错解2只在方程的两边加上一次项系数一半，而没有把一半平方．韦达与韦达定理
数学在许多人眼里是很抽象、复杂
( http: / / www.21cnjy.com )的，但在这些复杂现象的背后却往往有着非常和谐、自然的规律，如果能更多地理解和掌握这些规律，就会对数学有更深刻的认识。很多迷恋数学的人就是被数学的这一特点所吸引，韦达便是其中的一员。
韦达于1540年生于法国普瓦图地区，1560
( http: / / www.21cnjy.com )年就读于法国普瓦图大学，是大学法律系的毕业生。毕业后长期从事法律工作，一直到1603年去世，数学始终是韦达的业余爱好，并且达到了酷爱的程度。
韦达研究二次方程时，已经注
( http: / / www.21cnjy.com )意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根。由于时代的局限，他当时没能从理论上证明它，但他的数学思想和他的数学著作都大大充实了数学宝库。1615年(此时，韦达已逝世12年，这些著作是由后人整理的)发表的韦达的著作《论方程的整数与修正》是一部方程论的专著，书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系。其中不仅包括一元二次方程的根与系数的关系，还包含了一元n次方程根与系数的关系：
　　如果一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的n个根是x1,
x2,
…,
xn,
那么
　　
　　人们为了纪念他，把这个关系称为“韦达定理”。
　　一元二次方程根与系数的关系，就是上述定理在n=2时的情况。
下面是关于韦达的两则趣事。
与罗门的较量：比利时的数学
( http: / / www.21cnjy.com )家罗门曾提出一个45次方程的问题向各国数学家挑战。法国国王便把该问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出了22解。答案公布，震惊了数学界。韦达又回敬了罗门一个问题。罗门苦思冥想数日方才解出，而韦达却轻而易举地作了出来，为祖国争得了荣誉，他的数学造诣由此可见一斑。
韦达的“魔法”：在法国和西班牙的战争
( http: / / www.21cnjy.com )中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分恼火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”。原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权。另外，韦达还设计并改进了历法。所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底。如何用配方法解一元二次方程
难易度：★★★★
关键词：一元二次方程的解法
答案：
用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)
，先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
，将二次项系数化为1：x2+
( http: / / www.21cnjy.com )x=-
( http: / / www.21cnjy.com )，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+
( http: / / www.21cnjy.com )x+(
( http: / / www.21cnjy.com ))2=-
( http: / / www.21cnjy.com )+(
( http: / / www.21cnjy.com ))2
方程左边成为一个完全平方式：(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))2=
( http: / / www.21cnjy.com )，
当b2-4ac≥0时，x+
( http: / / www.21cnjy.com ) =±
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x=
( http: / / www.21cnjy.com ) (这就是求根公式)
【举一反三】
典例：用配方法解下列方程：
x2－12x+5=0;思路导引：一般来说，此类问题应按配方法的步骤：(1)将二次项系数化为1；(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x＋a)2＝k的形式，然后用开平方法求解．移项，得x2－12x=－5,配方，得x2－12x+36=－5+36,(x－6)2=31，解这个方程，
标准答案：配方法重点讲解
一、何谓配方法
配方法就是将一个一元二次方程通过配方，将其转化为
( http: / / www.21cnjy.com )的形式，当
( http: / / www.21cnjy.com )时，即可运用直接开平方法求得一元二次方程的解。
配方法不仅是解一元二次方程的一个重要且基本的方法，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
二、配方法的理论依据
配方法的理论依据是完全平方公式：
( http: / / www.21cnjy.com )。用
( http: / / www.21cnjy.com )代替公式中的
( http: / / www.21cnjy.com )，则有
( http: / / www.21cnjy.com )。
应用时要注意等号左右两边的特征：左边是关于
( http: / / www.21cnjy.com )的二次三项式，且二次项的系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方，即
( http: / / www.21cnjy.com )。
三、注意事项
在把二次三项式中二次项的系数化为1和常数项化为平方形式时，要时刻注意保持恒等变形。
四、应用举例
例1
证明关于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )，不论
( http: / / www.21cnjy.com )为何值，该方程都是一元二次方程。
证明：
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )不论
( http: / / www.21cnjy.com )为何值，都有
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )不论
( http: / / www.21cnjy.com )为何值，关于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )都是一元二次方程。
说明：⑴在解形如把
( http: / / www.21cnjy.com )配方的这类问题时，需要注意：将二次项的系数化为1时，应根据乘法的分配律各项都提出2，而不是将各项都除以2。提出2是恒等变形，原式的值没有改变；都除以2是运算变形，原式的值改变了。⑵对二次项系数为1的二次三项式配方时，需要加上“一次项系数一半的平方”。但要注意：为了使代数式的值不变，必须再减去这个“一次项系数一半的平方。”
例2
用配方法解下列方程：
⑴
( http: / / www.21cnjy.com )；⑵
( http: / / www.21cnjy.com )。
分析：方程⑴的系数已经是1，所以直接移项、配方、求解即可；方程⑵则需要先将二次项的系数化为1。
解：⑴移项，得
( http: / / www.21cnjy.com )。
配方，得
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
⑵请同学们完成。答案：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
说明：⑴系数化为1是用配方法解一元二次方程的首要步骤，要保证其正确性；
⑵配方法解一元二次方程的关键步骤是：方程左右两边都加上一次项系数一半的平方。
⑶一次项系数的符号决定了方程左边的完全平方式中，是两数差的平方还是两数和的平方。
例3
已知
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
分析：仔细观察方程左边代数式的特征，可以发现，通过配方可将原式化为两个非负数之和为0的形式，然后根据非负数的性质来解答。
解：原式可化为
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
例4
若
( http: / / www.21cnjy.com )，求关于
( http: / / www.21cnjy.com )的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解。
分析：因为二次项的系数中含有字母
( http: / / www.21cnjy.com )，又已知该方程为一元二次方程，所以求解时应注意使二次项的系数不为0。
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
又
( http: / / www.21cnjy.com )该方程为一元二次方程，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )原方程可化为
( http: / / www.21cnjy.com )。化简，得
( http: / / www.21cnjy.com )。配方，得
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。什么形式的一元二次方程可以用直接开平方法来解？
难易度：★★★
关键词：一元二次方程的解法
答案：
方程可化为一边是含未知数的完全平方式,另一边是一个常数,那么就可以用直接开平方法来求解.
直接开平方法的理论依据是平方根的定义及性质
【举一反三】
典例：解方程x
2+6x+9=2
思路导引：一般来说，解一元二次方程应先观察特点，再确定用什么方法求解。
原式可变为完全平方：（x+3）2=2，直接开平方，得：x+3=±
( http: / / www.21cnjy.com )，即x+3=
( http: / / www.21cnjy.com )，x+3=-
( http: / / www.21cnjy.com )

所以，方程的两根x1=-3+
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=-3-
( http: / / www.21cnjy.com )
标准答案：x1=-3+
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=-3-
( http: / / www.21cnjy.com )如何用换元法解一元二次方程？
难易度：★★★★
关键词：一元二次方程的解法
答案：
在考查一元二次方程解法的同时，还可
( http: / / www.21cnjy.com )以考查、换元法、阅读分析能力等。换元的目的是将原方程变形为较简单易解的方程，解出换元后的未知数还应代入所换元的关系式，求出原方程的解。
【举一反三】
典例：阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作一个整体，然后设x2－1＝y……①，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±
( http: / / www.21cnjy.com )；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±
( http: / / www.21cnjy.com )，故原方程的解为x1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x3＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x4＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程x4－x2－6＝0．
思路导引：一般来说，此类问题应细心读题，弄清题意。易知上述解一元二次方程用的是换元法，本题通过换元，达到了降次的目的。
(1)换元法
(2)设x2＝y，那么原方程可化为y2－y－6＝0
，解得y1＝3，y2＝－2
，当y＝3时，x2＝3，∴x＝±
( http: / / www.21cnjy.com )
，当y＝－2时，x2＝－2不符合题意，舍去.∴原方程的解为：x1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )
。
标准答案：(1)换元法（2）x1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式是一个重要的知识点，有极为广泛的应用．下面举例说明判别式的几种常见应用．
一、判断方程根的情况
例1
方程
( http: / / www.21cnjy.com )的根的情况是（
）
（A）有两个不相等的实数根
（B）无实数根
（C）有两个相等的实数根
（D）有一个根为零
分析：由
( http: / / www.21cnjy.com )知方程有两个不相等的实数根．
二、证明方程根的情况
例2
已知关于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )，求证：无论
( http: / / www.21cnjy.com )取什么数，这个方程总有两个不相等的实数根．
分析：由
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，所以不论
( http: / / www.21cnjy.com )为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
三、判断方程中未知系数的取值范围
例3
已知关于
( http: / / www.21cnjy.com )的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )有两个不相等的实数根，求
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围．
分析：由题意得
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )．
四、确定二次三项式是完全平方式的条件
例4
已知关于
( http: / / www.21cnjy.com )的二次三项式
( http: / / www.21cnjy.com )是一个完全平方式，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值．
分析：因关于
( http: / / www.21cnjy.com )的二次三项式
( http: / / www.21cnjy.com )是一个完全平方式，故关于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )有两个相等的实数根，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
五、讨论两函数图象的交点情况
例5
直线
( http: / / www.21cnjy.com )与双曲线
( http: / / www.21cnjy.com )有没有交点？若有，求出交点坐标；若没有，请说明理由．
分析：要判断直线与双曲线有没有交点，只要看它们的解析式组成的方程组有没有实数根，即看消去
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )有无实数解，易知
( http: / / www.21cnjy.com )28>0,故直线与双曲线有交点．
一元二次方程根的判别式还有其它方面的应用
( http: / / www.21cnjy.com ),这里不在一一举例,但同学们学习时要注意根的判别式与其它知识之间的联系和区别,掌握将所研究的问题转化为一元二次方程问题的方法，通过对知识的归纳、整理进一步提高分析问题解决问题的能力．什么是直接开平方法？
难易度：★★★
关键词：一元二次方程的解法
答案：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n
(n≥0)的方程，其解为x=m±
( http: / / www.21cnjy.com ).
【举一反三】
典例：解方程(3x+1)2=9
思路导引：一般来说，直接开平方法适用于解化为x2＝a形式的方程，当a≥0时，方程有实数解；当a＜0时，方程没有实数解。此方程可用直接开平方法解。(3x+1)2=9
，
∴3x+1=±3(注意不要丢解)
，
∴3x=-1±3，
∴原方程的解为
( http: / / www.21cnjy.com )
标准答案：
( http: / / www.21cnjy.com )巧用配方法解题
配方法是一元二次方程解法中非
( http: / / www.21cnjy.com )常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式．
配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．
一、用配方法解方程
例1
解方程：2x2－3x+1=0．
分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
1．将二次项的系数化为1；
2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边；
3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4．将方程化为(x+m)2=n的形式；
5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）．
解：方程两边都除以2，得
( http: / / www.21cnjy.com )
移项，得
( http: / / www.21cnjy.com )
配方，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
即
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
所以x1=1，
( http: / / www.21cnjy.com )
二、用配方法分解因式
例2
把x2+4x-1分解因式．
分析：在原式中加上4的同时又减去4．
解：原式=x2+4x+4-4-1=x2+4x+4-5
=(x+2)2-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
三、用配方法求代数式的值
例3
已知实数a，b满足条件：
( http: / / www.21cnjy.com )，求—ab的平方根．
分析：一个方程含有两个未知数，看
( http: / / www.21cnjy.com )似无法求出a，b．但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a，b的值．
解：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )，
即
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
∴±
( http: / / www.21cnjy.com )
四、用配方法求代数式的最大（小）值
例4
代数式2x2-3x-1有最大值或最小值吗？求出此值．
分析：代数式2x2-3x-1的值随x的变化
( http: / / www.21cnjy.com )而变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值．
解：2x2-3x-1=2(x2-
( http: / / www.21cnjy.com )x)-1=2(x-
( http: / / www.21cnjy.com ))2+
( http: / / www.21cnjy.com )
∴当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )有最小值0，
∴当
( http: / / www.21cnjy.com )时，2x2-3x-1有最小值为
( http: / / www.21cnjy.com )．
五、用配方比较两个代数式的大小
例5
对于任意史实数x，试比较两个代数式3x3-2x2-4x+1与3x3+4x+10的值的大小．
分析：比较两个代数式的大小，可以作差比
( http: / / www.21cnjy.com )较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小．
解：（3x2-2x2-4x+1）-（3x3+4x+10）
=-2x2-8x-9=-2(x+2)2-1<0，
所以对于任意实数x，恒有
3x3-2x2-4x+1<3x3+4x+10．
六、用配方法证明等式和不等式
例6
已知方程中(a2+b2)x2-2b(a+c)x+b2+c2=0中字母a，b，c都是实数．
求证：
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：一个方程含有四个未知数，看似
( http: / / www.21cnjy.com )无法求出a，b，c，x．但仔细观察发现，方程左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a，b，c，x之间的关系．
证明：原方程坐标拆成两个二次三项式为：(a2x2-2abx+b2)+(b2x2-2bcx+c2)=0，
∴(ax-b)2+(bx-c)2=0．
∵a，b，c，x都是实数，
∴(ax-b)2≥0,(bx-c)2≥0．
∴ax-b=0,bx-c=0．
∴
( http: / / www.21cnjy.com )利用配方法解题举例
作为一个重要的数学方法，配方法在中学数学中的应用极为广泛，下面举例说明．
　　一、用于因式分解
　　例1
分解因式：
　　(1)x4+4；
　　(2)a2-4ab+3b2-2bc-c2
　　解：(1)原式＝x4+4x2+4-4x2
　　＝(x2+2)2-(2x)2
　　＝(x2+2x+2)(x2-2x+2)．
　　(2)原式＝(a2-4ab+4b2)-(b2+2bc+c2)
　　＝(a-2b)2-(b+c)2
　　＝(a-b+c)(a-3b-c)．
　　二、用于求值
　　例2
已知x2+y2+4x-6y+13＝0，x，y为实数，则xy＝_______．
　　解：由已知等式配方，得(x+2)2+(y-3)2＝0．
　　因x，y为实数，故x＝-2，y＝3．
　　故xy＝(-2)3＝-8．
　　三、用于化简根式
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　四、用于解方程(组)
　　例4
解方程(x2+2)(y2+4)(z2+8)＝64xyz(x，y，z均为正实数)．
　　解：原方程变形，得
　　x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz＝0．
　　各自配方，得(xyz-8)2+2(4x-yz)2+4(2y-xz)2+8(z-xy)2＝0．
　　
　　
　　解：显然，x＝y＝z＝0适合方程组．
　　当x≠0，y≠0，z≠0时，原方程组可变形为：
　　
　　
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　∴
x＝1，y＝1，z＝1．
　　
　　五、用于求最值
　　
　　解：所求式变形配方，得
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　∴
当x＝1时，y有最小值1．
　　六、用于证明恒等式
　　例7
四边形的四条边长a，b，c，d满足等式a4+b4+c4+d4＝4abcd．求证：a＝b＝c＝d．
　　证明：已知等式变形，得
　　a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d2+2a2b2+2c2d2-4abcd＝0．
　　配方，得(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2＝0．
　　∴
a2＝b2，c2＝d2，ab＝cd．故a＝b＝c＝d．
　　七、用于证明不等式
　　例8
若a，b，c为实数，求证：a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0．
　　证明：∴2(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
　　＝(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)
　　＝(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0，
　　∴
a2+b2+c2-ab-bc-ac≥0．
　　八、用于判定几何图形的形状
　　例9
已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2-ab-bc-ca＝0，试判定△ABC的形状．
　　解：仿上例，已知等式可化为(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2＝0．
　　∴
a-b＝0，b-c＝0，c-a＝0．即
a＝b＝c．
　　故
△ABC是等边三角形．用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
难易度：★★★
关键词：一元二次方程的解法
答案：
用配方法解已化成一般形式
( http: / / www.21cnjy.com )的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；(2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．
【举一反三】
典例：用配方法解方程x2-2x-8=0;
思路导引：一般来说，通过配成完全平方式的
( http: / / www.21cnjy.com )形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程.移项，得x2-2x=8,x2-2x+1=9,配方，得(x-1)2=9.解这个方程，得x-1=±3,即x1=4,x2=-2.
标准答案：x1=4,x2=-2.如何“变形换元”配方？
难易度：★★★
关键词：一元二次方程的解法
答案：
解较为复杂的一元二次方程时，可用一个未知数代替方程中的一个整式，将原方程转化为一个较简单的一元二次方程，再求解。
【举一反三】
典例：用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
思路导引：一般来说，此类问题需要变形换元。因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=
( http: / / www.21cnjy.com )（6x+7）+
( http: / / www.21cnjy.com )，x+1=
( http: / / www.21cnjy.com )（6x+7）-
( http: / / www.21cnjy.com )，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．设6x+7=y，则3x+4=
( http: / / www.21cnjy.com )y+
( http: / / www.21cnjy.com )，x+1=
( http: / / www.21cnjy.com )y-
( http: / / www.21cnjy.com )，依题意，得：y2（
( http: / / www.21cnjy.com )y+
( http: / / www.21cnjy.com )）（
( http: / / www.21cnjy.com )y-
( http: / / www.21cnjy.com )）=6，去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72，y2（y2-1）=72，
y4-y2=72，y2-
( http: / / www.21cnjy.com )）2=
( http: / / www.21cnjy.com )，y2-
( http: / / www.21cnjy.com )=±
( http: / / www.21cnjy.com )，
y2=9或y2=-8（舍），
∴y=±3，当y=3时，6x+7=3
6x=-4
x=-
( http: / / www.21cnjy.com )；当y=-3时，6x+7=-3
6x=-10
x=-
( http: / / www.21cnjy.com )，所以，原方程的根为x1=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )。
标准答案：原方程的根为x1=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )怎样利用因式分解法解一元二次方程
？
难易度：★★★
关键词：一元二次方程的解法
答案：
当把一元二次方程的一边化为0，而另一
( http: / / www.21cnjy.com )边可以分解成两个一次因式的积时，就可以用因式分解法来解这个方程。要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0。
【举一反三】
典例：解方程
1.x2－25=0
2.(x+1)2=(2x－1)2
3.x2－2x+1=4
4.x2=4x
思路导引：一般来说，此类问题应先转化为一般式，再进行因式分解。
1.解：(x+5)(x－5)=0
∴x+5=0或x－5=0
∴x1=5,x2=－5
2.解：(x+1)2－(2x－1)2=0
(x+1+2x－1)(x+1－2x+1)=0
∴3x=0或－x+2=0，∴x1=0,x2=2
3.解：x2－2x－3=0
(x－3)(x+1)=0
∴x－3=0或x+1=0，
∴x1=3,x2=－1
4.解：x2－4x=0
x(x－4)=0
∴x=0或x－4=0，
∴x1=0,x2=4
标准答案：（1）x1=5,x2=－5（2）x1=0,x2=2（3）x1=3,x2=－1（4）x1=0,x2=4解一元二次方程的基本思想是什么？
难易度：★★★
关键词：一元二次方程的解法
答案：
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
【举一反三】
典例：解方程x
2+4x+4=1
思路导引：一般来说，此类
( http: / / www.21cnjy.com )问题应想办法“降次”。很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．x+2=±1，x1=-1;x2=-3
标准答案：x1=-1;x2=-3配方法解一元二次方程
解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二
( http: / / www.21cnjy.com )次方程“降次”为两个一元一次方程.通过解两个一元一次方程，到达求解的目的.而配方法是解一元二次方程的基础方法，且又是一种重要的方法，下面让我们一起来理解配方法在解一元二次方程中的应用.
1．知识点拨
配方法:通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.
配方法的基本思想：通过配方来降次,将方程转换为(x+n)2=P(P≥0),进而转化为x+n=
( http: / / www.21cnjy.com )达到求解的目的.
配方的基本步骤:①方程两边同除以二次项的系数,将二次的系数化为1;②移项:把常数项单独移到方程的右边;③配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,把原方程化为(x+n)2=P(P≥0);④求解:将方程(x+n)2=P(P≥0)化为两个一元一次方程:x+n=
( http: / / www.21cnjy.com ),进而求出方程的解.
2．应用体验
例1
用配方法解方程x2+10x-8=0.
分析:方程的特点是二次项的系数等于1,可以先移项,再配方求解.
解:移项,得x2+10x=8,
配方,得x2+10x+52=8+52,
即(x+5)2=33,
所以x+5=±
( http: / / www.21cnjy.com )
所以x1=-5+
( http: / / www.21cnjy.com ),x2=-5-
( http: / / www.21cnjy.com )
点评:配方的关键是方程两边加上一次项系数的平方的一半.
例2
用配方法解方程-
( http: / / www.21cnjy.com )x2+x+2=0。
分析：观察方程的特点可知，二次项的系数不为1，可在方程的两边同乘除-2，将二次项的系数化为1，然后再配方求解。
解：化二次项系数为1，得x2-2x-4=0，
移项，得x2-2x=4，
方程的两边都加上一次项系数一半的平方，得x2-2x+1=4+1，
即(x-1)2=5,
所以x-1=
( http: / / www.21cnjy.com ),
所以x1=1+
( http: / / www.21cnjy.com ),x2=1-
( http: / / www.21cnjy.com ).
点评:本题求接的关键是将二次项系数化为1.
3.
亲自尝试
(1)
用配方法解方程2x2-12x-182=0.
(2)
用配方法解方程x(x+4)=8x+12.
答案:
(1)
x1=13,x2=-7;
(2)
x1=6,x2=-2.配方法在解题中的巧妙的应用
配方法是一种重要的数学方法，它
( http: / / www.21cnjy.com )既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，还是挖掘题目当中隐含条件的有力工具。它不仅可以用来解一元二次方程,，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用，下面分别阐述如下：
用于求字母的值
例1
已知
( http: / / www.21cnjy.com )则x,y的值分别为______.
分析:可将含x,y的方程化为两个非负数和为0的形式,从而求出两个未知数的值.
∵
( http: / / www.21cnjy.com )∴
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )∵
( http: / / www.21cnjy.com )∴xy+2=0,x-3=0,∴xy=-2,x=3.
将x=3代入xy=-2中解得
( http: / / www.21cnjy.com )∴
x=3,
( http: / / www.21cnjy.com )
用于证明代数式非负
例2
用配方法证明:不论x为任何实数,代数式
( http: / / www.21cnjy.com )的值恒大于0.
分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于0,说明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“
( http: / / www.21cnjy.com )+正数”的形式.
证明:
∵
( http: / / www.21cnjy.com ),
又∵
( http: / / www.21cnjy.com ),∴
( http: / / www.21cnjy.com )
∴不论x为任何实数,代数式
( http: / / www.21cnjy.com )的值恒大于0.
用于比较大小
例3
若代数式
( http: / / www.21cnjy.com )则M-N的值(
)
A.
一定是负数
B.一定是正数
C.
一定不是负数
D.一定不是正数
分析:
M-N=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )故选B.
用于因式分解
例4
分解因式:
( http: / / www.21cnjy.com )=_____________.
分析:原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
用于判定三角形的形状
例5
已知a、b、c是△ABC的三边，且满足
( http: / / www.21cnjy.com )，则△ABC的形状为_______________.
分析:等式两边乘以2,得
( http: / / www.21cnjy.com )
配方，得
( http: / / www.21cnjy.com )
即
( http: / / www.21cnjy.com )
由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,
a=b,b=c,c=a,即a=b=c.
故△ABC是等边三角形.
用于求代数式的最值
例6
利用配方法求
( http: / / www.21cnjy.com )的最大值或最小值.
分析:求最大值或最小值,必须将它们化成
( http: / / www.21cnjy.com )的形式,然后再判断,当a＞0时,它有最小值c;当a＜0时,它有最大值c.
解:
( http: / / www.21cnjy.com )
∵
( http: / / www.21cnjy.com )∴
( http: / / www.21cnjy.com )
故它的最小值是-9.
评注:配方法是求一元二次方程根的一种方法,也是推导求根公式的工具,并且也是解决其他问题的方法.其用途相当广泛.聚焦一元二次方程的两种解法
一元二次方程的解法是这一部分内容的重点．解法各有特点，只有准确把握，解方程时才会得心应手．直接开平方法适宜于解形如
( http: / / www.21cnjy.com )的方程；而因式分解法适合的方程是：一边为零而另一边易于分解成两个一次因式的积的方程(其依据是若ab=0，则a=0，或b=0)．在遇到不同形式的方程时，要根据方程的特点选择恰当的方法求解．掌握它的解法并不困难，但由于各种原因，同学们初学时会出现如下错误：
　例1
解方程x2＝4
　　误解：x＝2．
　　错误原因：对非负数的平方根的概念不清．
　　正确的解是x1＝2，x2＝-2．
　例2
解方程(x-1)2＝x-1
　　误解：x-1＝1，x＝2
　　错误原因：两边同除以含有字母的代数式，引起失根．
　　正确的解：(x-1)2-(x-1)＝0，(x-1)(x-2)＝0，∴x1＝1，x2＝2．
　例3
解方程x2-2x+1＝0
　　误解：(x-1)2＝0，∴x＝1．
　　错误原因：一元二次方程若有实数根，则必定有两个根．
　　正确的解：(x-1)2＝0∴x1＝x2＝1．
　例4
解方程：x2-3x＝0，
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
方程的解就是“能使方程左右两边的
( http: / / www.21cnjy.com )值相等的未知数的值”．在方程没有解出之前，未知数x就是它的代表．解方程，就是通过“变”把方程的解“解放”出来，以致最终能成为x＝？的形式，而“变”的规则是必须使方程的解始终保持一样．解一元二次方程，首要的问题是通过变形把x解出，怎么变？除了分母、括号、系数等障碍以外，最重要的是次数！怎样把二次降成一次？或者开平方，或者分解因式，这是两种最基本的降次方法．什么是一元二次方程的求根公式？
难易度：★★★★
关键词：一元二次方程的解法
答案：
用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x＝
( http: / / www.21cnjy.com )(b2－4ac≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法
【举一反三】
典例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）
( http: / / www.21cnjy.com )+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
思路导引：一般来说，求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，代入公式求出方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了．存在．根据题意，得：m2+1=2，m2=1
m=±1，当m=1时，m+1=1+1=2≠0；当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去），∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0，a=2，b=-1，c=-1，
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9，x=
( http: / / www.21cnjy.com )，x1=1，x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )。
标准答案：该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )．求根公式法解一元二次方程的五个注意点
大家知道，一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，方程有两个实数根：x1,2＝
( http: / / www.21cnjy.com )；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根.尽管如此，我们在具体求解时还应注意以下几个问题：
一、注意化方程为一般形式
　　例1　解方程：6x2+3x＝(1+2x)(2+x).
　　分析　将原方程整理成一元二次方程的一般形式后确定a、b、c的值，代入求根公式求解.
解　原方程可化为：4x2－x－2＝0.
因为a＝4，b＝－1，c＝－2，所以b2－4ac＝(－1)2－4×4×(－2)＝33＞0.
所以x＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )，
即x1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
说明　对于结构较为复杂的一元二次方程，一定要依据有关知识将其化为一般形式，然后才能想到运用求根公式.
　　二、注意方程有实数根的前提条件是b2－4ac≥0
例2　解方程：3x2＝5x－4.
分析　先移项，化原方程为一般形式，确定a、b、c的值，再估算一下b2－4ac的值.
解　移项，得3x2－5x+4＝0.
因为a＝3，b＝－5，c＝4，所以b2－4ac＝－23＜0，因此一元二次方程无实数解.
说明　由本题的求解过程，我们可以看出在解一元二次方程时，化一元二次方程为一般形式，确定a、b、c的值后，估算一下b2－4ac的值非常重要，不然就有可能出现下列的错误：x1,2＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
三、注意a、b、c的确定应包括各自的符号
例3　解方程：2x2－5x+1＝0.
分析　已知方程已经是一般形式，只要对号入座地写出a、b、c，再求b2－4ac的值，最后即求解.
解　因为a＝2、b＝－5、c＝1，所以b2－4a＝(－5)2－4×2×1＝17＞0.
所以x＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )，
即x1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
说明　确定出a、b、c的值，应注意两个问题：一是要化原方程为一般形式，二是要注意连同a、b、c本身的符号，特别是“－”号更不能漏掉.
四、注意一元二次方程如果有根，应有两个
例4　解方程：x(x－2
( http: / / www.21cnjy.com ))+3＝0.
分析　将原方程化为一般形式后代入求根公式.
解　原方程可化为x2－2
( http: / / www.21cnjy.com )x+3＝0.因为a＝1、b＝－2
( http: / / www.21cnjy.com )、c＝3，所以b2－4a＝(－2
( http: / / www.21cnjy.com ))2－4×1×3＝0.
所以x＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以x1＝x2＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
　　说明　当b2－4a＝0时表明原方程有两个相等的实数根，所以在具体作答时不能出现x＝
( http: / / www.21cnjy.com )的错误.
　　五、求解出的根应注意适当化简
例5　解方程：2x2－2x－1＝0.
　　分析　因为a＝2，b＝－2，c＝－1，所以b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－1)＝12.
所以x＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以x1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
　　说明　本题利用求根公式求得的结果时应约去分子与分母中的公约数，以便使结果简便，值得注意的是，在化简时一定要注意不能出现差错.
下面几道题目供同学们自己练习：
用求根公式解下列方程：
1，x2－3x＋2＝0.
2，x2+2x＝3.
3，9x2+10x－4＝0.
4，10y2－12y+1＝0.
5，3x(x－1)＋2x＝2.
6，
x2+
( http: / / www.21cnjy.com )x－4＝0.
7，(x－
( http: / / www.21cnjy.com ))2＝4
( http: / / www.21cnjy.com )x.
8，3x(x－2)＝2(x－2).
用求根公式解下列关于x的方程：
9，x2+2ax+a2－b2＝0.
10，x2+2(p－q)x－4pq＝0.
　　11，(a2－b2)x2－4abx＝a2－b2(a2－b2≠0).
12，
(x+a)(x－b)+(x－a)(x+b)＝2a(ax－b).
参考答案：1，x1＝1，x2＝2；2，x1＝－3，x2＝1；3，x＝
( http: / / www.21cnjy.com )；4，x＝
( http: / / www.21cnjy.com )；5，x1＝1，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )；6，x＝
( http: / / www.21cnjy.com )；7，x1＝x2＝－
( http: / / www.21cnjy.com )；8，x1＝2，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )，9，x1＝－a－b，x2＝－a+b；10，x1＝－2p，x2＝2q；11，x1＝－
( http: / / www.21cnjy.com )，x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )；12，x1＝0，x2＝a2.配方法的几何解释
课本中，我们利用了配方法解一元二次方程．实际上，配方法不仅可以用来解一元二次方程，在其他方面还有很多应用．
配方法，顾名思义，就是利用添项
( http: / / www.21cnjy.com )或拆项的方法，结合已有项，构造完全平方式．回顾以往知识，我们曾经利用图形面积验证完全平方公式，那么，能否也用图形面积解释配方法解方程的过程呢？
下面我们用几何方法来求方程x2＋1
( http: / / www.21cnjy.com )0x＝39的解，把x2＋10x解释为右图中多边形ABCDEF的面积，为了求出x，我们考虑把这块图形补成一个正方形，为此必须补上正方形DCGE．从图中可以看出，正方形DCGE的面积为52（它恰好等于原方程中一次项系数一半的平方），由于整个正方形的面积为39＋25＝64，可知这个正方形的边长为8，又由图形可知边长为x＋5，故x＝3．
这里，我们直观地看到了配方的几何意义．但求得的解是不完备的，你发现问题了吗？对了，受几何图形的限制，我们只能求出方程的正数解．
B
A
C
D
E
F
G
5
x
x
5
52
x2
5x
5x用公式法、分解因式法解方程的误区
公式法、分解因式法是解一元二次方程的两种重要的方法，熟练掌握这两种方法非常重要.为了帮助你学好这两种解法，现就解题中易出现的错误分析如下：
一、应用公式法时，忽视a、b、c的符号.
例1
解方程2x2-6x=1.
错解：因为a=2，b=6，c=1，
所以b2-4ac=36-8=28>0，
所以x1=
( http: / / www.21cnjy.com )，
x2=
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以方程的解为x1=
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=
( http: / / www.21cnjy.com ).
分析：错解在运用公式法解
( http: / / www.21cnjy.com )一元二次方程时，将b、c的符号搞错.用公式法解一元二次方程，先将方程化为一般形式，然后再确定a、b、c的值，最后代入求根公式.
正解：将方程化为一般形式为：2x2-6x=1=0，
这里a=2，b=-6，c=-1，
b2-4ac=(-6)2-4×1×(-1)=40，
所以x1=
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=
( http: / / www.21cnjy.com ).
提示：一元二次方程是解决实
( http: / / www.21cnjy.com )际问题中的一种重要的工具，而解方程又是本章的一个重要组成部分，是列一元二次方程解实际的基础，应熟练理解其解法，避免出现解题过程中的错误.
二、理解不透，公式用错
例2
解方程2x2-3x=2.
错解：因为a=2，b=-3，c=-2，
所以x=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以x1=1，x2=-4.
剖析：利用公式法解一元二次方程，
( http: / / www.21cnjy.com )要熟练掌握公式的特征，错解没有理解公式的特征，当b=-3时，出现了-b=-3的错误，且分母中的2a，当a=2时，2a=4，而错解等于2了.
正解：a=2，b=-3，c=-2，
所以x1=
( http: / / www.21cnjy.com )=2，x2=
( http: / / www.21cnjy.com )
提示：利用公式法解方程的关键是正确找出a、b、c的值，且熟练把握公式的特征.
三、解法混淆，求解不当
例3
解方程(2x-1)(3x+2)=1.
错解：
由方程，得2x-1=1或3x+2=1，解得x1=1，x2=-
( http: / / www.21cnjy.com ).
剖析：
错解在对分解因式法解决一元
( http: / / www.21cnjy.com )二次方程理解不对.用分解因式法解一元二次方程，右边必须为0，左边是两个一次因式积的形式.而已知方程是右边是1.本题要将方程化为一般形式，然后选择恰当的解法.
正解：方程化为6x2+x-3=0，
利用公式，得x1=
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=
( http: / / www.21cnjy.com ).
提示：
解一元二次方程的基本方法有三
( http: / / www.21cnjy.com )种，根据方程的不同特点可选择恰当的方法.无论用哪种方法求解，最好把求到的解代入原方程检验一下，这样可以避免错误.
四、违背性质
出现失根
例4
解方程2x(x-3)=3(x-3).
错解：方程两边都除以x-3，得2x=3，所以x=
( http: / / www.21cnjy.com )，即原方程的解为x=
( http: / / www.21cnjy.com ).
剖析：我们知道一元二次方程若有实数根，则实数根有两个.错解在解方程两边同除以含有未知数的整式.求到方程的一个根，造成失根现象.
正解：
方程化为(x-3)(2x-3)=0，解得x1=3，x2=
( http: / / www.21cnjy.com ).
提示：一元二次方程的根一般分三种情况：
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)没有实数根.当求到一个实数根时，应考虑可能出现失掉一个根.配方法学习问答
甲：配方法是一种什么方法？
乙：配方法是运用配方进行解题的方法．
甲：配方是怎么一回事？是不是象医药师把几种药配成一个方子？
乙：不！配方，顾名思义，这里的方是指平方
( http: / / www.21cnjy.com )，配方就是要把一个式子配成完全平方的形式，其做法和医药师搭配药方的确有点类似，你知道医药师是如何配方的吗？
甲：我只知道他是将几味可以搭配的中草药凑合在一起．
乙：医药师配方时就是把几味可
( http: / / www.21cnjy.com )以搭配的草药凑合在一起，形成了一个方子．在我们数学中的配方也是要把几个可以搭配的式子凑合在一起，形成一个完全平方．
甲：能不能举个例子？
乙：例如，在多项式
( http: / / www.21cnjy.com )中，你说哪几项可以搭配成完全平方式？
甲：第一、三、四项吧？
乙：正是这三项，把它们搭配在一起，变为
( http: / / www.21cnjy.com )．然后把括号内这三项配成完全平方，又变成了
( http: / / www.21cnjy.com )，这就是配方．
甲：配方的关键是什么呢？
乙：配方的关键是找出可以搭配成方的三项
( http: / / www.21cnjy.com )，然后运用完全平方公式把它们配成
( http: / / www.21cnjy.com )．
甲：对于
( http: / / www.21cnjy.com )，如何找出可以搭配成方的三项呢？
乙：这三项直接搭配显然不成方是吧？
甲：是啊，我也这样想的，那该怎么办呢？
乙：如果把1换作9那怎么样？
甲：把1换作9，这三项就是
( http: / / www.21cnjy.com )，它们恰好等于
( http: / / www.21cnjy.com )，太妙了！可这里是1而不是9呀？
乙：天上要是掉下个9那又如何？
甲：天上要是掉下个9，此时
( http: / / www.21cnjy.com )变成了
( http: / / www.21cnjy.com )，再把第一、二、四项搭配组成
( http: / / www.21cnjy.com )，然后配成
( http: / / www.21cnjy.com )，那可真是天助我也！但此时……
乙：此时怎么样？
甲：不大合适吧？
乙：为什么？
甲：
( http: / / www.21cnjy.com )与原式
( http: / / www.21cnjy.com )不相等呀？
乙：对！配方追求的是公正、公平、平等的完美变形，象这种与原式不相等的变形不能称之为配方．那你想一想：如何让
( http: / / www.21cnjy.com )与原式
( http: / / www.21cnjy.com )相等呢？
甲：
( http: / / www.21cnjy.com )比
( http: / / www.21cnjy.com )多了个9．啊！对了，只须再把
( http: / / www.21cnjy.com )减去9就可以了．
乙：对极了．你能不能把这个配方过程写出来？
甲：没问题，你看：
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
乙：很好！现在你对配方还有什么问题吗？
甲：我想这一题还有另一种配法？
乙：还有新的配法？你说说看．
甲：你看：
( http: / / www.21cnjy.com )
＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
乙：错了！
甲：怎么会呢？
乙：看来你对配方还没有真正的理解．配方一般是对二次三项式
( http: / / www.21cnjy.com )而言的，把
( http: / / www.21cnjy.com )写成
( http: / / www.21cnjy.com )这种形式才叫做配方．这里的
( http: / / www.21cnjy.com )是常数．
甲：
( http: / / www.21cnjy.com )不也是
( http: / / www.21cnjy.com )这种形式吗？
乙：形式没有错，可这里的
( http: / / www.21cnjy.com )却不是常数．
甲：你是说配方后，带平方后面那个尾巴不能带字母
( http: / / www.21cnjy.com )？
乙：是的．
甲：那象
( http: / / www.21cnjy.com )如何配方呢？
乙：这已经是配方的形式了．
甲：它怎么和你说的
( http: / / www.21cnjy.com )这种形式不同呢？
乙：你说哪里不同？
甲：
( http: / / www.21cnjy.com )这种形式带有括号，而
( http: / / www.21cnjy.com )却没有．
乙：你如果喜欢它带括号就让它带上嘛，你看：
( http: / / www.21cnjy.com )，这不是一样吗？
甲：啊，原来如此．对于一般的二次三项式
( http: / / www.21cnjy.com )的配方，可有公式能够套用？
乙：有．我们只须把系数
( http: / / www.21cnjy.com )的值代入
( http: / / www.21cnjy.com )中进行计算就得到
( http: / / www.21cnjy.com )的配方形式．
甲：这个公式是怎么推出来的？
乙：有两种办法．第一：
( http: / / www.21cnjy.com )
＝
( http: / / www.21cnjy.com )
＝
( http: / / www.21cnjy.com )
＝
( http: / / www.21cnjy.com )
＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
甲：这种推导太复杂了，有没有简单一点的？
乙：你看：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
是不是简单些？
甲：的确简单些．可还是复杂．你能不能告诉我配方的要领？不然这两个公式太难记了．
乙：是的．这两个公式的确不好记．我建议你去读一读《甲乙对话配方法和求根公式》那篇文章，读后也许就明白了．配方法的拓展与解析
配方法是对数学式子进行一
( http: / / www.21cnjy.com )种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。配方法的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)
( http: / / www.21cnjy.com )＝a
( http: / / www.21cnjy.com )＋2ab＋b
( http: / / www.21cnjy.com )，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a
( http: / / www.21cnjy.com )＋b
( http: / / www.21cnjy.com )＝(a＋b)
( http: / / www.21cnjy.com )－2ab＝(a－b)
( http: / / www.21cnjy.com )＋2ab；
a
( http: / / www.21cnjy.com )＋ab＋b
( http: / / www.21cnjy.com )＝(a＋b)
( http: / / www.21cnjy.com )－ab＝(a－b)
( http: / / www.21cnjy.com )＋3ab。
配方法在数学的教与学中有着广泛的应
( http: / / www.21cnjy.com )用。在初中阶段它主要适用于：一元二次方程、二次函数、二次代数式的讨论与求解。经过几年的教学实践发现：很多情况下用配方法解一元二次方程或者求二次函数的顶点坐标要比用公式法简单实用。
在应用配方法解一元二次方程（ax2+bx+c=0）时有两种做法：
一种是先移走常数项，然后方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1，再两边同时加上一次项系数（除以二次项系数后的）一半的平方，把原方程化成(x＋m)
( http: / / www.21cnjy.com )=n(n≥0)的形式，再两边同时开方，把一元二次方程转化为一元一次方程。
典型例题：2x2+6x-3=0
解法1：移项得：2x2+6x=3
两边同时除以2得：
( http: / / www.21cnjy.com )
两边同时加
( http: / / www.21cnjy.com )得:
( http: / / www.21cnjy.com )
所以：
( http: / / www.21cnjy.com )
开方得：
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
另一种方法是先移走常数项，然后通过“凑”与“配”进行配方。
解法2：移项得：2x2+6x=3
原方程变为：
( http: / / www.21cnjy.com )
即原方程化为：
( http: / / www.21cnjy.com )
两边同时开方得：
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
与用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函数
( http: / / www.21cnjy.com )的顶点坐标时，要把二次项和一次项看作一个整体，提出（而不是除以）二次项的系数，再进行配方，但配方时与解一元二次方程的配方有所不同。
典型例题2：用配方法求
( http: / / www.21cnjy.com )的顶点坐标
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
如上例，用配方法求二次函
( http: / / www.21cnjy.com )数顶点坐标时，不是等号两边同时加上一次项系数一半的平方，而是在中括号里加上一次项系数一半的平方，但为了保持原有的二次函数不变，必须在中括号里再减去一次项系数一半的平方。这是学生在以后学习用配方法求二次函数顶点坐标时经常与用配方法解一元二次方程相混淆的地方，也是学生经常出错的地方。
另外配方法在二次代数式的讨论与求解中应用也非常广泛。
典型例题3：用配方法证明:无论x为何实数，代数式
( http: / / www.21cnjy.com )的值恒大于零。
与用配方法求二次函数的顶点坐标类似，此题也是把二次项和一次项看作一个整体，并对其进行配方。解法如下:
∵
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )＞0
∴无论x为何实数，代数式
( http: / / www.21cnjy.com )的值恒大于零。
典型例题4：若
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
此题可以运用“裂项”与“凑”的技巧
( http: / / www.21cnjy.com )，把-20xy裂成-18xy与-2xy的和，来完成配方，并根据完全平方式为非负数的性质把二元二次方程化为二元一次方程组。其解法如下：
∵
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
即
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
典型例题5：（2005
卡西欧杯
( http: / / www.21cnjy.com )
全国初中数学竞赛）若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是实数)，则M的值一定是（
）
A
正数
B负数
C零
D整数
精析：先将元多项式转化成几个完全平方式的和的形式，然后就其结构特征进行合理的分析、推理，可达到目的。
解：因为M=3x2-8xy+9y2
( http: / / www.21cnjy.com )-4x+6y+13=2（x-2y）2+（x-2）2+（y+3）2≥0并且2（x-2y）2,（x-2）2,（y+3）2这三个式子不能同时为0，所以M〉0，故选A。
典型例题6
化简二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )
精析：复合二次根式的化简是竞赛中比较常见的问题，化简的关键是将被开方数化成完全平方的形式，要用到配方的思想。
解：
同理可得
所以，原式=8
典型例题7
已知三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,请你判断这个三角形的形状。
精析：确定三角形的形状，主
( http: / / www.21cnjy.com )要是讨论三条边之间的关系。代数式a2+b2+c2=ab+ac+bc之中蕴含了完全平方式，我们要重新拆项，组合如下：
2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab
+b2+
a2-2ac+
c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
所以a=b=c
三角形是等边三角形一元二次方程求根公式的推导
创新是一个学生学习数学的灵魂，是学业成绩不
( http: / / www.21cnjy.com )断提高的不竭动力．因此，同学们在数学学习的过程中，要
怀疑权威——书本和老师，不人云亦云．敢于对同一个问题要另辟途径，探求问题的存在规律，只有这样，我们的数学发展水平才能不断提高．
比如，我们课本对一元二次方程求根公式的推导是通过配方法得到的，即：
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)方程两边同除以a得：x2+
( http: / / www.21cnjy.com )x+
( http: / / www.21cnjy.com )=0
(2)将常数项移到方程的右边得：x2+
( http: / / www.21cnjy.com )x=﹣
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)方程两边同时加上(
( http: / / www.21cnjy.com ))2得：x2+
( http: / / www.21cnjy.com )x+(
( http: / / www.21cnjy.com ))2=(
( http: / / www.21cnjy.com ))2﹣
( http: / / www.21cnjy.com )
(4)左边写成完全平方式，右边通分得：(x
+
( http: / / www.21cnjy.com ))2=
( http: / / www.21cnjy.com )
由a≠0得，4
a2＞0，所以，当b2－4ac≥0时，
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
所以，x=
( http: / / www.21cnjy.com )
除了上述推导方法外，不知道同学们是否思考过：还有其他方法吗？
多思出智慧，多练出成绩．我们也可以这样推导：
方法1：ax2+bx+c=0(a≠0)
方程两边同乘以4a得：4
a2x2+4abx+4ac=0
方程两边同时加上b2得：4
a2x2+4abx+4ac+b2=b2
把4ac移到方程的右边得：4
a2x2+4abx+
b2=b2－4ac
将左边写成完全平方式得：(2ax+b)2=
b2－4ac
当b2－4ac≥0时，有：
2ax+b=±
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，2ax=﹣b±
( http: / / www.21cnjy.com )
因为，a≠0
所以，x=
( http: / / www.21cnjy.com )
方法2：ax2+bx+c=0(a≠0)
移项得：ax2+bx=﹣c
方程两边同乘以a得：a2x2+abx=﹣ac
方程两边同时加上(
( http: / / www.21cnjy.com ))2得：a2x2+abx+(
( http: / / www.21cnjy.com ))2=(
( http: / / www.21cnjy.com ))2﹣ac
整理得：(ax+
( http: / / www.21cnjy.com ))2=
( http: / / www.21cnjy.com )﹣ac
即：(ax+
( http: / / www.21cnjy.com ))2=
( http: / / www.21cnjy.com )
当b2－4ac≥0时，
ax+
( http: / / www.21cnjy.com )=±
( http: / / www.21cnjy.com )
即：x=
( http: / / www.21cnjy.com )
同学们，没有做不到，只怕想不到．对于任何问题，大家都要想一想：这个问题还有其他的解法吗？问题都可以得到圆满的解决．如何综合运用完全平方式、算术根、绝对值的非负性等知识求值？
难易度：★★★★
关键词：一元二次方程的解法
答案：
在用完全平方式、算术根、绝对值的非负性等知识解一元二次方程及求代数式的值的时候，应注意正确地运用各知识点之间的互动关系，列出正确的关系式。
【举一反三】
典例：设a、b、c都是实数，且满足(2－a)2+
( http: / / www.21cnjy.com )+|c+8|=0，ax2+bx+c=0，求代数式x2+x+1的值.
思路导引：一般来说，此类问题应先求出a、b、c的值，然后即可解方程，最后求代数式的值.由题意，得
解得
∵ax2+bx+c=0，∴2x2+4x－8=0,
即x2+2x－4=0,解得x1=－1+
( http: / / www.21cnjy.com ),x2=－1－
( http: / / www.21cnjy.com ).
当x=－1+
( http: / / www.21cnjy.com )时，x2+x+1=6－
( http: / / www.21cnjy.com ),
当x=－1－
( http: / / www.21cnjy.com )时，x2+x+1=6+
( http: / / www.21cnjy.com ).
标准答案：当x=－1+
( http: / / www.21cnjy.com )时，x2+x+1=6－
( http: / / www.21cnjy.com ).

展开更多......

收起↑