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什么是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项？
难易度：★★★
关键词：一元二次方程
答案：
一元二次方程的一般形式为a
( http: / / www.21cnjy.com )x2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．
【举一反三】
典例：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：
(1)2x2＝3x＋5；(2)(x＋1)(x－1)＝1；(3)(x＋2)2－4＝0．
思路导引：一般来说，在做此类问题时，要
( http: / / www.21cnjy.com )先把方程化成一般形式．因为方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程．
(1)整理，得2x2－3x－5＝0．二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－5．9
(2)整理
，得x2－2＝0．二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－2．
(3)整理，得x2＋4x＝0．二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．
标准答案：（1)二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－5．
(2)二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－2．
(3)二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．应用例析：一元二次方程根与系数的关系
对于一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )，当判别式△＝
( http: / / www.21cnjy.com )时，其求根公式为：
( http: / / www.21cnjy.com )；若两根为
( http: / / www.21cnjy.com )，当△≥0时，则两根的关系为：
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )时，那么
( http: / / www.21cnjy.com )则是
( http: / / www.21cnjy.com )的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )根的判别式
( http: / / www.21cnjy.com )存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两个根
( http: / / www.21cnjy.com )，进而分解因式，即
( http: / / www.21cnjy.com )。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程（1）
( http: / / www.21cnjy.com )有两个不相等的实数根，且关于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程（2）
( http: / / www.21cnjy.com )没有实数根，问
( http: / / www.21cnjy.com )取什么整数时，方程（1）有整数解？
　　分析：在同时满足方程（1），（2）条件的
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围中筛选符合条件的
( http: / / www.21cnjy.com )的整数值。
　解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )；
∵方程（2）没有实数根，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )；
于是，同时满足方程（1），（2）条件的
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是
( http: / / www.21cnjy.com )
其中，
( http: / / www.21cnjy.com )的整数值有
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，方程（1）为
( http: / / www.21cnjy.com )，无整数根；
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，方程（1）为
( http: / / www.21cnjy.com )，有整数根。
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，使方程（1）有整数根的
( http: / / www.21cnjy.com )的整数值是
( http: / / www.21cnjy.com )。
　　说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出
( http: / / www.21cnjy.com )，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
　　例1：不解方程，判别方程
( http: / / www.21cnjy.com )两根的符号。
　　分析：对于
( http: / / www.21cnjy.com )来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定
( http: / / www.21cnjy.com )
或
( http: / / www.21cnjy.com )的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定
( http: / / www.21cnjy.com )
或
( http: / / www.21cnjy.com )的正负情况。
解：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，∴△＝
( http: / / www.21cnjy.com )—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为
( http: / / www.21cnjy.com )，
∵
( http: / / www.21cnjy.com )＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中
( http: / / www.21cnjy.com )＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若
( http: / / www.21cnjy.com )＞0，仍需考虑
( http: / / www.21cnjy.com )的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
　
例2：已知方程
( http: / / www.21cnjy.com )的一个根为2，求另一个根及
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
　　分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把
( http: / / www.21cnjy.com )代入原方程，先求出
( http: / / www.21cnjy.com )的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
　　解法一：把
( http: / / www.21cnjy.com )代入原方程，得：
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　即
( http: / / www.21cnjy.com )
　　解得
( http: / / www.21cnjy.com )
　　当
( http: / / www.21cnjy.com )时，原方程均可化为：
　　
( http: / / www.21cnjy.com )，
　　解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
　　∴方程
( http: / / www.21cnjy.com )的另一个根为4，
( http: / / www.21cnjy.com )的值为3或—1。
　　解法二：设方程的另一个根为
( http: / / www.21cnjy.com )，
根据题意，利用韦达定理得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵
( http: / / www.21cnjy.com )，∴把
( http: / / www.21cnjy.com )代入
( http: / / www.21cnjy.com )，可得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∴把
( http: / / www.21cnjy.com )代入
( http: / / www.21cnjy.com )，可得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
即
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )
∴方程
( http: / / www.21cnjy.com )的另一个根为4，
( http: / / www.21cnjy.com )的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程
( http: / / www.21cnjy.com )有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程，即可求得
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
解：∵方程有两个实数根，
　　∴△
( http: / / www.21cnjy.com )
　　解这个不等式，得
( http: / / www.21cnjy.com )≤0
　　设方程两根为
( http: / / www.21cnjy.com )
　　则
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
　　∵
( http: / / www.21cnjy.com )
　　∴
( http: / / www.21cnjy.com )
　　∴
( http: / / www.21cnjy.com )
　　整理得：
( http: / / www.21cnjy.com )
　　解得：
( http: / / www.21cnjy.com )
　　又∵
( http: / / www.21cnjy.com )，∴
( http: / / www.21cnjy.com )
说明：当求出
( http: / / www.21cnjy.com )后，还需注意隐含条件
( http: / / www.21cnjy.com )，应舍去不合题意的
( http: / / www.21cnjy.com )。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
　　例5：已知
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )是关于
( http: / / www.21cnjy.com )的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两个非零实数根，问
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )能否同号？若能同号，请求出相应的
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围；若不能同号，请说明理由，
　　解：因为关于
( http: / / www.21cnjy.com )的一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )有两个非零实数根，
∴则有
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
( http: / / www.21cnjy.com )
假设
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )同号，则有两种可能：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
若
( http: / / www.21cnjy.com )，
则有：
( http: / / www.21cnjy.com )；
即有：
解这个不等式组，得
∵
( http: / / www.21cnjy.com )时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若
( http: / / www.21cnjy.com )
，
则有：
( http: / / www.21cnjy.com )
即有：
解这个不等式组，得；
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )，∴当
( http: / / www.21cnjy.com )时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻
( http: / / www.21cnjy.com )揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两个实数根，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。
解法一：由于
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的实数根，所以
( http: / / www.21cnjy.com )
设
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )相加，得：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )（变形目的是构造
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )）
根据根与系数的关系，有：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
于是，得：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )=0
解法二：由于
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的实数根，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
　　有关一元二次方程根的计算问题
( http: / / www.21cnjy.com )，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为
( http: / / www.21cnjy.com )时，根据根的意义，可以构成关于
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为
( http: / / www.21cnjy.com )，
根据根的意义，
有
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
两式相减，得
( http: / / www.21cnjy.com )
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )，方程的判别式
( http: / / www.21cnjy.com )
方程无实数解
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
有实数解
( http: / / www.21cnjy.com )
代入原方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以
( http: / / www.21cnjy.com )
于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为
( http: / / www.21cnjy.com )
说明：（1）本题的易错点为忽略对
( http: / / www.21cnjy.com )的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认
( http: / / www.21cnjy.com )的错误，甚至还会得出并不存在的解：
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
( http: / / www.21cnjy.com )
且
( http: / / www.21cnjy.com )
另外还应注意：求得的
( http: / / www.21cnjy.com )的值必须满足这两个不等式才有意义。怎样根据一元二次方程的一个根求另一个根？
难易度：★★★★
关键词：一元二次方程
答案：
方程有一根为零时，常数项必须为零；求解字
( http: / / www.21cnjy.com )母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先决条件．
【举一反三】
典例：一元二次方程(m－1)x2＋3m2x＋(m2＋3m－4)＝0有一根为零，求m的值及另一根．
思路导引：一般来说，此类问题根据“
( http: / / www.21cnjy.com )方程有一根为零时，常数项必须为零”这一条件列出关系式求解。因为方程有一根为零，所以它的常数项m2＋3m－4＝0，解得m1＝1，m2＝－4，又因为此方程是一元二次方程，所以m－1≠0，即m≠1，所以m＝－4．把m＝－4代入方程，得－5x2＋48x＝0，解得：x1＝0，x2＝9.6，所以方程的另一根为9.6．
标准答案：m＝－4；方程的另一根为9.6．一元二次方程根与系数的关系的5种应用
一元二次方程根与系数的关系的应用是初中数
( http: / / www.21cnjy.com )学的重点内容，也是中考必考的热门内容．与“一元二次方程根与系数的关系”有关的题型形式灵活多样，常见的形式有下面5种，要求同学们要熟练掌握．
一，已知两根求作新方程
例1，求一个一元二次方程，使它的两根为
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )，且满足
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．
答案：x2+4x+3=0或x2－4x+3=0
解析：由
( http: / / www.21cnjy.com )，可得
( http: / / www.21cnjy.com )，又因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，所以此方程为：x2+4x+3=0或x2－4x+3=0
二，已知关于两根关系式的值，求系数．
例2，如果关于x的方程x2+mx+1=0的两个根的差为1，那么m等于（　　）
A．±2
B．±
( http: / / www.21cnjy.com )
C．±
( http: / / www.21cnjy.com )
D．±
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：C
解析：根据题意，方程的两根
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )，满足
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝１（设
( http: / / www.21cnjy.com )＞
( http: / / www.21cnjy.com )），所以（
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )）2＝１2，得
( http: / / www.21cnjy.com )．又因为，根据根与系数的关系，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，所以m=±
( http: / / www.21cnjy.com )
三，已知一元二次方程，求两根关系式的值
例3，已知
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两个根，那么
( http: / / www.21cnjy.com )的值是（　　）
A．1
B．5
C．7
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：C
解析：根据根与系数的关系，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，又因为
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )=7．
四，已知一根，求另一根及系数
例4，已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)
x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．
解析：设方程的另一根为x
( http: / / www.21cnjy.com )，由根与系数的关系：2
x
( http: / / www.21cnjy.com )=－6，解得
x
( http: / / www.21cnjy.com )=－3．
由根与系数的关系：－3+2=
k＋1，所以k=－2.．
五，知两数和，两数积，求两数
例5，已知，两数和为8，两数积是7，求这两数．
答案：1和7
解析，根据根与系数的关系，这两数是方程
( http: / / www.21cnjy.com )-8x+7=0的两根，
解得，x
( http: / / www.21cnjy.com )=1，
x
( http: / / www.21cnjy.com )=7，所以这两数是1和7．一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是二
( http: / / www.21cnjy.com )次函数中的重要内容．这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用．
函数与方程思想：若
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )轴有交点
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com ))＝0，
若
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com ))与
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com ))有交点(
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ))
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )有解
( http: / / www.21cnjy.com )．
下面我们将主要结合二次函数图像的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用．
一、一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是
( http: / / www.21cnjy.com )方程的根相对于零的关系．比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．
设一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )）的两个实根为
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，且
( http: / / www.21cnjy.com )．
【定理1】
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )（两个正根）
( http: / / www.21cnjy.com )，
推论：，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )或，
上述推论结合二次函数图像不难得到．
【定理2】，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
推论：，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )或，
　　由二次函数图像易知它的正确性．
【定理3】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
【定理4】
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )．
二、一元二次方程的非零分布——k分布
设一元二次方程（
( http: / / www.21cnjy.com )）的两实根为
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，且
( http: / / www.21cnjy.com )，
k为常数，则一元二次方程根的k分布（即
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )相对于k的位置）有以下若干定理．
【定理1】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
【定理2】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
【定理3】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
推论1
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
推论2
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
【定理4】有且仅有
( http: / / www.21cnjy.com )（或
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
【定理5】
( http: / / www.21cnjy.com )或．
此定理可直接由定理4推出，请读者自证．
【定理6】
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )或．
y
o
y
x
o
o
x一元二次方程的根与系数的关系
新版【课后作业问题】问题三、P50
随堂练习3.
答案：
-
( http: / / www.21cnjy.com )。
【举一反三】
典例：若方程x2-4x+3k=0的一个根为2，则另一根为______，k为______．
思路引导：将x=2代入原方程，得k=
( http: / / www.21cnjy.com )，根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=2+x2=4，所以x2=2，
标准答案：2，
( http: / / www.21cnjy.com )。如何根据一元二次方程的根求值？
难易度：★★★
关键词：一元二次方程
答案：
方程的根是能使方程两边相等的未知数的值，即把根代入原方程，则方程两边相等。
【举一反三】
典例：若x=1是关于x的一元二次方程a
x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2011a+b+c的值
思路导引：一般来说，如果一个数是方程的根,那
( http: / / www.21cnjy.com )么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到。把x=1代入到原方程中得a+b+c=0，2011a+b+c=20110=1
标准答案：1有关一元二次方程的习题二则
1．设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2－3m＋3＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若x12＋x22＝0，求m的值；（2）求
( http: / / www.21cnjy.com )的最大值．
分析：方程有两个不相等的实根，
∴△＝4（m－2）2－4（m2－3m＋3）＝－4m＋4＞0，∴－1≤m＜1．
∵x1＋x2＝－2（m－2），x1x2＝m2－3m＋3．
∴（1）x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝4（m－2）2－2（m2－3m＋3）＝2m2－10m＋10，
∴m2－5m＋5＝0．
解得m＝
( http: / / www.21cnjy.com )．∵－1≤m＜1，∴m＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
∵x1＋x2＝－2（m－2），x1x2＝m2－3m＋3．
∴上式可化为
( http: / / www.21cnjy.com )＝2（m2－3m＋1）＝2（m－
( http: / / www.21cnjy.com )）2－
( http: / / www.21cnjy.com )．
∵－1≤m＜1，当m＝－1时，最大值为10．
点拨：本题是一道综合性较强的综合题，考查了根的情况、根与系数的关系以及以配方法求最值的问题．
2．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程＝3x＋k的解，求实数k的取值范围．
解：原方程可化为2x2－3x－(k＋3)＝0　　　①
(1)当△＝0时，k＝－，x1＝x2＝；
(2)当x＝1时，由①得k＝－4，这时另一根为x＝；
(3)当方程①中两根异号时，x1x2＝＜0，
得k＞－3，此时也有一个正实根；
(4)当方程①中有一根为0时，k＝－3，另一根为x＝．
综上，满足条件的k的取值范围是：k＝－或k＝－4或k≥－3．一元二次方程的根与系数的关系
新版【课后作业问题】问题七、P51
问题解决4.
答案：
不可能是20。利用根与系数的关系可知方程的两根之和为17，即这个三角形的两边之和为17，所以第三边应小于17.
【举一反三】
典例：三角形的三边长分别是整数值2cm，5cm，kcm，且k满足一元二次方程2k2－9k－5=0，求此三角形的周长．
思路引导：先解一元二次方程，求出k值，再根据题意，确定k的整数值，最后求出三角形的周长。
标准答案：解：2k2－9k－5=0
k=-
( http: / / www.21cnjy.com )或k=5
因为k为整数，则k=5
所以三角形的周长为2+5+5=12(cm)。一元三次方程的故事
　　很久以前，人们就解决了一
( http: / / www.21cnjy.com )元一次方程与一元二次方程的求解问题．然而对一元三次方程的求解却使众多的数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终．1494年，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论．他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的．这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角．以此为序曲引出了我们要讲述的关于三次方程求解的故事．
　　故事中第一个出场的人物
( http: / / www.21cnjy.com )是一位大学教授，名字叫费罗(Scipione
del
Ferro，1465-1526)．他在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在1500年左右，得到了x3＋mx＝n这样一类缺项三次方程的求解公式．在求解三次方程的道路上，这是一个不小的成功．但出乎我们意料的是，他并没有马上发表自己的成果以广为传播自己的成功．相反，他对自己的解法绝对保密！这在“不发表即发霉”的今天，真是不可思议之事！在当时却有其原因．那时一个人若想要保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败．因此，一个重要的新发现就成了一件论争中处于不败之地的有力武器．最后直到其临终前，大约1510年左右，他才将自己的这一“杀手锏”传给两个人：他的女婿和他的一个学生．他那不学无术的女婿不久就将此抛之脑后了，这样他的学生菲奥尔以这一“杀手锏”唯一传人的角色在我们的故事中作为第二个人物露面了．菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而以之炫耀于世．只不过他“独此一家，别无分店”的招牌却没有挂太长的时间，一个厉害的挑战者塔塔利亚
(Niccolo
Tartaglia
of
Brescia，1499-1557)出现在他的面前．
这是我们故事中出场的第三个人物，其原名丰塔
( http: / / www.21cnjy.com )纳．1512年，在一次战乱中他被一法国兵用刀砍伤脸部，头部口舌多处受伤，其后虽侥幸活命，却留下了口吃的后遗症．于是就得了“塔塔利亚”的绰号，意大利语就是“口吃者”的意思．那时他还只有13岁．然而这并没有妨碍这位有才能的顽强的少年主要通过自学的方式在数学上达到极高的成就．1534年他宣称自己已得到了形如
x3＋mx＝n这类没有一次项的三次方程的解的方法．不久，菲奥尔就听到了挑战者的叫板声，于是我们故事中的两位人物开始碰面了．
　　两人相约在米兰进行公开比赛．双方各出三十
( http: / / www.21cnjy.com )个三次方程的问题，约定谁解出的题目多就获胜．塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法．于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的所有题目，而对方对他的题目却一题都做不出来．这样他以30:0的战绩大获全胜．这次辉煌的胜利为塔塔利亚带来了轰动一时的荣誉，同时也意味着菲奥尔可以在我们的故事中以不体面的方式先行退场了．塔塔利亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法．1541年，终于完全解决了三次方程的求解问题．或许是出于与费罗同样的考虑，或许是想在进一步酝酿后写一本关于三次方程解法的书的缘故，塔塔利亚没有将自己的成果很快发表．于是，风波骤起，本应进入尾声的故事，由于又一个重要人物的出场而被引入了一个完全不同的方向．
　　这位半路杀出来的“程咬金”叫卡尔达诺(G
( http: / / www.21cnjy.com )irolamo
Cardano,
1501-1576)，一位或许是数学史中最奇特的人物．他的本行是医生，并且是一个颇受欢迎的医生．但其才能并没有局限于此，他在各种知识领域里显示出自己的天赋．除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学家，同时是一个占星术家，并在这些知识领域里都获得了重要成果．他行为有些怪异，好赌博，人品看来也不太佳．在他去世后一百年，伟大的莱布尼兹概括了他的一生：“卡尔达诺是一个有许多缺点的伟人；没有这些缺点，他将举世无双．”在我们故事中卡尔达诺所要扮演的正是一个将才能与不佳的人品集于一身的不太光彩的角色．
　　在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛
( http: / / www.21cnjy.com )后不久，卡尔达诺听说了这一故事．在此之前他对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到结果．于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亚这位解三次方程大师的奇妙技巧．为此他多次向塔塔利亚求教三次方程的解法，开始都被塔塔利亚拒绝了．但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后，他于1539年3月25日向卡尔达诺公开了自己的秘密．故事的转折就这样开始了．
　　卡尔达诺并没有遵守自己的诺言
( http: / / www.21cnjy.com )，1545年他出版《大术》一书，将三次方程解法公诸于众，从而使自己在数学界名声鹊起．当然，如果说句公道的话，卡尔达诺的《大术》一书并非完全抄袭之作，其中也包含着他自己独特的创造．然而，这种失信毕竟大大激怒了塔塔利亚．1546年他在《各式各样的问题与发明》一书中严斥卡尔达诺的失信行为，于是一场争吵无可避免地发生了．一时间，充满火药味的信件在双方之间飞来飞去．1548年8月10日在米兰的公开辩论使这场冲突达到白热化．卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣了一位学生出马．这个学生的名字叫费拉里(Ludovico
Ferrari,1522-1565)，是我们故事中出场的最后一个人物．
费拉里15岁时充当卡尔达诺的家仆．主人发现
( http: / / www.21cnjy.com )了他的出众才能，接受他为学生和助手．18岁时接替卡尔达诺在米兰讲学．其最大的贡献是发现四次方程的一般解法．现在这位以脾气暴躁著称且又忠诚的学生要报答老师的知育之恩了．在这场公开的辩论中，塔塔利亚先以三次方程的迅速解答取得优势，而费拉里则指摘对方不能解四次方程．于是一场数学论争逐渐演变成一场无聊的谩骂．最后客场作战的塔塔利亚以失败而告终，后者宣称了自己胜利．由于卡尔达诺最早发表了求解三次方程的方法，因而数学上三次方程的解法至今仍被称为“卡尔达诺公式”，塔塔利亚之名反而湮没无闻了．这对塔塔利亚来说似乎是太不公平了．不过，这又怎么样呢？在历史上，这类争夺优先权的论战又何止这一桩呢？随着时间的推移，多少年过去后，在当时对于个人如此重要的事，对后人而言却不过是“古今多少事，都付笑谈中”而已．
塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
　　一元三次方程的一般形式是x3＋sx2＋tx＋u＝0，如果作一个横坐标平移y＝x＋
( http: / / www.21cnjy.com )，那么我们就可以把方程的二次项消去．所以我们只要考虑形如x3＝px＋q
的三次方程．
　　假设方程的解x可以写成x＝a－b的
( http: / / www.21cnjy.com )形式，这里a和b是待定的参数．代入方程，我们就有a3－3a2b＋3ab2－b3＝p(a－b)＋q；整理得到
a3－b3＝(a－b)(p＋3ab)＋q；由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和
b，使得在x＝a－b的同时，3ab＋p＝0．这样上式就成为a3－b3＝q；两边各乘
以27a3，就得到27a6－27a3b3＝27qa3；由p＝－3ab可知27a6
＋p＝27qa3；
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a，进而可解出b和根x．一元三次方程根与系数的关系
设方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）的三个根分别为x1、x2、x3．
原方程化为
( http: / / www.21cnjy.com )．
∵
x1、x2、x3是方程的三个根，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )．
整理，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：
( http: / / www.21cnjy.com )．一元二次方程的根与系数的关系
新版【课后作业问题】问题四、P51
知识技能1.
答案：
（1）x1+x2=
( http: / / www.21cnjy.com )，x1x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）x1+x2=-3，x1x2=-1；
【举一反三】
典例：已知方程
( http: / / www.21cnjy.com )，则下列说中，正确的是（
）
（A）方程两根和是1
（B）方程两根积是2
（C）方程两根和是-1
（D）方程两根积比两根和大2
思路引导：将
( http: / / www.21cnjy.com )化为一元二次方程的一般形式，x2+x-2=0，则两根之和为-1，两根之积为-2，故选C。
标准答案：C。学习要点：韦达定理及其应用
知识要点
1、若一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )中，两根为
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )；补充公式
( http: / / www.21cnjy.com )
2、以
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )为两根的方程为
( http: / / www.21cnjy.com )
3、用韦达定理分解因式
( http: / / www.21cnjy.com )
例题
不解方程说出下列方程的两根和与两根差：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )
已知关于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )，是否存在负数
( http: / / www.21cnjy.com )，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的
( http: / / www.21cnjy.com )的值；若不存在，说明理由。
已知方程
( http: / / www.21cnjy.com )，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。
解方程组
分解因式：
（1）
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
练习
在关于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )中，（1）当两根互为相反数时
( http: / / www.21cnjy.com )的值；（2）当一根为零时
( http: / / www.21cnjy.com )的值；（3）当两根互为倒数时
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
求出以一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。
解方程组
( http: / / www.21cnjy.com )
分解因式
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )=
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
聪明题
已知一元二次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两个实数根满足
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )分别是
( http: / / www.21cnjy.com )的
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的度数。
2、在
( http: / / www.21cnjy.com )中，
( http: / / www.21cnjy.com )，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两个实数根，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
五、韦达定理的应用
1、已知方程的一个根，求另一个根和未知系数
2、求与已知方程的两个根有关的代数式的值
3、已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值
4、已知两数的和与积，求这两个数
5、已知方程的两根x1，x2
，求作一个新的一元二次方程x2
–(x1+x2)
x+
x1x2
=0
6、利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c
=
a(x-
x1)(x-
x2)
题1：
（1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍，则k=
_____
（2）已知：a,b是一元二
( http: / / www.21cnjy.com )次方程x2+2000x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=
__________
解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=
（1+2000a+a2
+6a)（1+2000b+b2
+5b)
=
6a 5b=30ab
解法二：由题意知
∵
a2
+2000a+1=0；
b2
+2000b+1=0
∴
a2
+1=-
2000a;
b2
+1=-
2000b
∴
（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a
-
2000a)（2005b
-
2000b)
=6a 5b=30ab
∵ab=1，
a+b=-200
∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（ab
+2006a+a2)（
ab
+2005b+b2)
=a(b
+2006+a)
b(
a
+2005+b)
=a(2006-2000)
b(2005-2000)
=30ab
解法三：由题意知
∵
a2
+2000a+1=0；
b2
+2000b+1=0
∴
a2
+1=-
2000a;
b2
+1=-
2000b
∴
（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a
-
2000a)（2005b
-
2000b)
=6a 5b=30ab
题2：
已知等腰三角形的两条边a,b是方程x2-（k+2）x+2
k
=0的两个实数根,另
一条边c=1，求k的值。一元二次方程的根与系数的关系
新版【课后作业问题】问题五、P51
知识技能2.
答案：
（1）x1=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）x1=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=
( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）x1=x2=
( http: / / www.21cnjy.com )；（4）x1=2+2
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=2-2
( http: / / www.21cnjy.com )；
【举一反三】
典例：解一元二次方程（1）(2x-1)2-2(2x-1)=0；（2）2x2-x-15=0．
思路引导：对于方程（1），先提公因式（2x-1），再求解即可；方程（2）运用十字相乘分解因式即可。
标准答案：解：（1）(2x-1)2-2(2x-1)=0
（2x-1）（2x-1-2）=0
2x-1=0或2x-3=0
则x1=
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=
( http: / / www.21cnjy.com )。
（2）2x2-x-15=0
（2x+5）（x-3）=0
2x+5=0或x-3=0
则x1=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=3。一元二次方程的根与系数的关系
新版【课后作业问题】问题六、P51
数学理解3.
答案：
另一个根是-
( http: / / www.21cnjy.com )，k=-7。
【举一反三】
典例：已知x1，x2为方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两实根，则
( http: / / www.21cnjy.com )
思路引导：由题意，得x1+x2=-3.
将x1代入原方程，得x12+3x1+1=0，即x12=-3x1-1,
则x12-3x2+20=-3x1-1-3x2+20=-3(x1+x2)+19=-3×（-3）+19=28.
标准答案：28。一元二次方程的根与系数的关系
新版【课后作业问题】问题二、P50
随堂练习2.
答案：
他们的答案不正确，因为小明求出的两根之积x1x2=
( http: / / www.21cnjy.com )≠-
( http: / / www.21cnjy.com )，小华求出的两根之和x1+x2=-6≠-
( http: / / www.21cnjy.com )。
【举一反三】
典例：一元二次方程2x2+mx+n=0的两根之和为4，两根之积为-3，则m=______，n=______．
思路引导：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )=4，则m=-8，x1x2=
( http: / / www.21cnjy.com )=-3，则n=-6.
标准答案：-8，-6。一元二次方程的根与系数的关系
新版【课后作业问题】问题一、P50
随堂练习1.
答案：
（1）x1+x2=3，x1x2=-1；（2）x1+x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x1x2=-
( http: / / www.21cnjy.com )；
【举一反三】
典例：一元二次方程2x2＋3x－5=0的两根之和为______，两根之积为______．
思路引导：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1，x2，则x1+x2=
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com )，x1x2=
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com )。
标准答案：-
( http: / / www.21cnjy.com )，-
( http: / / www.21cnjy.com )。

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