资源简介

如何求字母的取值范围
在《二次根式》一章中，根据含有字母的代数式或等式求字母的取值范围是常见的题型.那么如何求字母的取值范围呢？
一、利用二次根式的定义
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )≥0）中被开方数
( http: / / www.21cnjy.com )≥0求解
例1　二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )有意义，则
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是＿＿.
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )有意义，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，即
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≤0，
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )＝0.
∴
( http: / / www.21cnjy.com )＝3.
二、利用式子中同时含有
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )求解
例2　若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是＿＿.
解析：由条件知，
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )都有意义.
∴
( http: / / www.21cnjy.com ).
解得
( http: / / www.21cnjy.com )＝4.
代入已知条件，得
( http: / / www.21cnjy.com )＞3.
三、利用二次根式的非负性（
( http: / / www.21cnjy.com )≥0）求解
例3　如果
( http: / / www.21cnjy.com )成立，那么实数
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是（　　）
A　
( http: / / www.21cnjy.com )≤0
B　
( http: / / www.21cnjy.com )≤3
C　
( http: / / www.21cnjy.com )≥－3
D　
( http: / / www.21cnjy.com )≥3
解析：由已知，得
( http: / / www.21cnjy.com ).
∵等式左边是一个算术平方根，而算术平方根的结果是非负数，
∴等式右边
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，解得
( http: / / www.21cnjy.com )≤3，选B.
四、利用公式
( http: / / www.21cnjy.com )求解
例4　若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是（　　）
A　
( http: / / www.21cnjy.com )＞1
B　
( http: / / www.21cnjy.com )＜1
C　
( http: / / www.21cnjy.com )≥1
D　
( http: / / www.21cnjy.com )≤1
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，解得
( http: / / www.21cnjy.com )≥1，选C.
五、利用公式
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )≥0）求解
例5　若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是（　　）
A　
( http: / / www.21cnjy.com )＞5
B　
( http: / / www.21cnjy.com )＜5
C　
( http: / / www.21cnjy.com )≥5
D　
( http: / / www.21cnjy.com )≤5
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，解得
( http: / / www.21cnjy.com )≥5，选C.
六、利用公式
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )求解
例6　等式
( http: / / www.21cnjy.com )成立的条件的是（　　）
A　
( http: / / www.21cnjy.com )＜1
B　
( http: / / www.21cnjy.com )＞1
C　
( http: / / www.21cnjy.com )≤1
D　
( http: / / www.21cnjy.com )≥1
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )≥1，选D.
七、利用公式
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
( http: / / www.21cnjy.com )＞0）求解
例7　若等式
( http: / / www.21cnjy.com )成立，则实数
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是＿＿.
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴
( http: / / www.21cnjy.com )≥0.
八、综合运用公式求解
例8　如果
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是＿＿.
析解：∵
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴
( http: / / www.21cnjy.com ).
∴－2≤
( http: / / www.21cnjy.com )≤0.“三步六字”围攻二次根式的加减
二次根式加减时，必须先将所给式子中的每个
( http: / / www.21cnjy.com )二次根式化成最简二次根式，，再将被开方数相同的二次根式进行合并，所以进行二次根式的加减运算时，可以分成“三步六字”围攻，智取其值.
一、运算过程解读
第一步：化简——把每一个根式化简成“最简二次根式”
所谓“最简二次根式”就是二次根式必须符合如下的两个特征：
（1）被开方数不含分母.如果被开方数是分式或分数，可以利用
( http: / / www.21cnjy.com )，然后再分母有理化得到
( http: / / www.21cnjy.com ).如
( http: / / www.21cnjy.com ).
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.也就是说应该把能开得尽方的因数或因式开出来.如
( http: / / www.21cnjy.com )
第二步：观察——观察被开方数相同的项.
在第一步化简的基础上，观察寻找出被开方数相同的项，将它们分别聚集在一起，特别要注意一定是化简后再识别，防止出现认为
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )被开方数是不相同错误现象.
第三步：合并——合并同类二次根式（即被开方数相同二次根式）
与整式的合并同类项相似，合并同类二次根式时，只是把被开方数相同的二次根式外面的因数或因式进行加减，根式内部的被开方数（或式）保持不变.
二、典型案例剖析
【例1】（2009临沂）
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：因为题中的二次根式都不是最简二次根式，因此必须对每个二次根式先进行化简.
解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )
=3
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )－2
( http: / / www.21cnjy.com )
=（3
( http: / / www.21cnjy.com )－2
( http: / / www.21cnjy.com )）－
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )
【例2】（2009年新疆乌鲁木齐市）计算：
( http: / / www.21cnjy.com )．
分析：本题是加减乘除的混合运算，根据运算顺序应当先算有括号内的，事实上括号内就是二次根式的加减，可用“三步六字”去解决.
解：原式
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
【例3】（2009年烟台市）化简：
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：本题是一个较为复杂的“二次根式的加减”运算问题，需要搞清两个性质，一个就是“任何不等于0的数的零次幂都等于1”，另一个就是二次根式的性质：
( http: / / www.21cnjy.com )，还要掌握一个去括号法则：去掉括号和括号前的“－”时，括号内各项都要变号.
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
创新展台：
【例4】（09年邵阳市）阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )；……①
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )……②
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )　……③
以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
( http: / / www.21cnjy.com )还可以用以下方法化简：
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )……④
请用不同的方法化简
( http: / / www.21cnjy.com ).
参照③式得
( http: / / www.21cnjy.com )＝_________________________；
参照④式得
( http: / / www.21cnjy.com )＝___________________________.
（2）化简：
( http: / / www.21cnjy.com )。
解：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )．二次根式常见错误剖析
本文通过对一些二次根式运算中典型错误的剖
( http: / / www.21cnjy.com )析，揭示错误之所在,诊断产生错误的原因，从中探寻正确的解法，以避免类似错误发生，现举例剖析，供读者参考.
应用性质
( http: / / www.21cnjy.com )时,忽视a≥0这一条件
例1
化简:
( http: / / www.21cnjy.com )
错解:原式=2-x.
错解剖析:导致错解的原因是忽视了算术
( http: / / www.21cnjy.com )平方根的非负性,避免出错的方法是先写出化简后的带绝对值的代数式,再判断绝对值中的代数式的符号然后去绝对值.
正解:原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
对二次根式变形时,将负号误带入根号内,造成错解
例2
将
( http: / / www.21cnjy.com )根号外的因式移到根号内.
错解:原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
错解剖析:
( http: / / www.21cnjy.com )中的根式符号“-”号不能移到根号里面，因为
( http: / / www.21cnjy.com )是非正数，而
( http: / / www.21cnjy.com )则是非负数.
正解:原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
三.错误理解最简二次根式
例3
下列根式中,不是最简二次根式的是(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
错解:
A或C.
错解剖析:由于最简二次根式应满足两个条件:一是被开方数中不能含有开的尽方的因数或因式,二是被开方数中不能含有字母，因而A、
B、C都应是最简二次根式.事实上,
( http: / / www.21cnjy.com )中比再含有开得尽方的因式了,
( http: / / www.21cnjy.com )尽管式子含有分母,但被开方数是2b,因而它仍是最简二次根式.而
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )被开放数中含有分母,故它不是最简二次根式.对于这类题,不可仅从表面形式上作出结论,应深究其所具有的本质特征才行.
正解:
D
四.错用分配律
对乘法分配律a(b+c)=ab+ac的变形应用(a+b)÷d=(a+b)
( http: / / www.21cnjy.com )的错误理解.
例4
计算:
( http: / / www.21cnjy.com ).
错解:原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
错解剖析:错解的原因是把和对除数的分配即(a+b)÷d=(a+b)
( http: / / www.21cnjy.com ),误解为除数对和的分配.
正解:
原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
五.不熟悉二次根式的运算法则
例5
下列计算正确的是(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
错解:
C或D.
错解剖析:产生上述错误的原因在于对二次根式的运算法则不熟悉.
A中
( http: / / www.21cnjy.com );B中
( http: / / www.21cnjy.com );
C中
( http: / / www.21cnjy.com )
D中
( http: / / www.21cnjy.com )
正解:
A
通过以上几例可以看出,为避免二次根式问题出现错误,应把握准几个相关的概念:二次根式,最简二次根式以及同类二次根式等，从定义本身全面分析,获得结果,同时要能熟练地运用分母有理化的方法进行化简计算,正确处理
( http: / / www.21cnjy.com ),掌握
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )和a=
( http: / / www.21cnjy.com )的限制条件,以保证在化简过程中不出差错.根式问题常见错误例析
在解二次要式的化简或计算问题时，常见一些同学因概念不清或忽视问题的必要条件而造成错误。现举例剖析如下：
一、概念不清
例1
若x+
( http: / / www.21cnjy.com )=4,则x-
( http: / / www.21cnjy.com )=
.
错解：(x-
( http: / / www.21cnjy.com ))2=(x+
( http: / / www.21cnjy.com ))2－4=42-4=12,∴x－
( http: / / www.21cnjy.com )=2
( http: / / www.21cnjy.com ).
评析：解题过程中忽视了平方根定义中“x2=a”,x可取正负两个值。
正解：(x-
( http: / / www.21cnjy.com ))2=12,∴x-
( http: / / www.21cnjy.com )=±2
( http: / / www.21cnjy.com )。
二、错误理解代数式的意义
例2
计算：
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )。
错解：
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )=5
( http: / / www.21cnjy.com )。
评析：上面解法中错误地将根式
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )理解为
( http: / / www.21cnjy.com )x
( http: / / www.21cnjy.com ),前者是运算结果，后者是一种运算：错误地理解改变了运算顺序：
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )相当于
( http: / / www.21cnjy.com )÷(
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com ))；
而
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )则是(
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com ))·
( http: / / www.21cnjy.com )。
正解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=5
( http: / / www.21cnjy.com )。
三、忽视运算法则
例3
计算：
( http: / / www.21cnjy.com )÷(
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com ))。
错解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=5
( http: / / www.21cnjy.com )-12。
评析：本题误将乘法分配律用于除法，忽视a÷(b+c)≠a÷b+a÷c.
正解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=-6.
四、忽视“分母的有理化因式其值不能为零”
分母有理化的一般方法是分子、分母同乘以分母的有理化因式，其次是借助分解，然后约分；利用前一方法分母有理化应注意的有理化因式值的情况。
例4
计算：x÷(1＋
( http: / / www.21cnjy.com ))(x≥-1).
错解：x÷(1+
( http: / / www.21cnjy.com ))=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-1.
评析：因x≥-1，故x=0符合题意，但当x=0时，1-
( http: / / www.21cnjy.com )=0，此时相当于分子分母同乘以零.故虽计算结果正确，但其过程也是错误的。
正解：当x=0时，x÷(1+
( http: / / www.21cnjy.com ))=0;
当x≠0时，原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-1。
例5
化简
( http: / / www.21cnjy.com )。
错解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=1-
( http: / / www.21cnjy.com )。
评析因a≥0，故a可取1，而当a=1时，1-
( http: / / www.21cnjy.com )=0，此时分母不可乘以(1-
( http: / / www.21cnjy.com ))。
正解：采用约分法：
原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=1-
( http: / / www.21cnjy.com )。
五、忽视隐含条件
例6
已知a为实数，化简：a
( http: / / www.21cnjy.com )。
错解：原式=a
( http: / / www.21cnjy.com )=a·
( http: / / www.21cnjy.com )=
a·
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )。
评析：题中仅知a为实数，而没有明确a的正负性，为此，应从
( http: / / www.21cnjy.com )中挖掘隐含条件：-
( http: / / www.21cnjy.com )>0，∴a<0。
正解：原式=
a
( http: / / www.21cnjy.com )=a·
( http: / / www.21cnjy.com )
=a·
( http: / / www.21cnjy.com )=
—
( http: / / www.21cnjy.com )。
例7
已知a+b=－8，ab＝8，化简
( http: / / www.21cnjy.com ).
错解：原式=b
( http: / / www.21cnjy.com )+a
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )。
=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
=6
( http: / / www.21cnjy.com )=12
( http: / / www.21cnjy.com )。
正解：注意到a+b=－8，ab=8，故a<0,b<0.
所以，原式=b
( http: / / www.21cnjy.com )+a
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )
=﹣
( http: / / www.21cnjy.com )=﹣
( http: / / www.21cnjy.com )
=﹣6
( http: / / www.21cnjy.com )=﹣12
( http: / / www.21cnjy.com )。
六、忽视定义的前提条件
例8
若最简二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )是同类二次根式，求a的值。
错解：∵最简二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )是同类二次根式，
∴2a+1=3a+2,∴a=
-1。
评析：当a=
-1时，2a+1=3a+2=
—1，此时
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )均无意义故满足条件的a不存在。
例9
已知最简二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )，是同类二次根式，求a、b的值。
错解：由条件，得
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )
评析：当a=3，b=1时，
( http: / / www.21cnjy.com )已不是最简二次根式，与条件不符；此外与同类二次根式的定义也不相符。
正解：化简
( http: / / www.21cnjy.com )=2
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )
七、忽视分母不能为零
例10
二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )中，实数x满足的条件是
。
错解：x≥3，
评析：当x=3时，分母为0,
( http: / / www.21cnjy.com )无意义。
正解：x>3,
例11
若y=
( http: / / www.21cnjy.com )+7,求x+y的立方根。
错解：由条件，得x2－1=0,∴x±1。
(1)当x=1时，y=7,x+y=8,立方根为2；
(2)当x=
-1时，y=7,x+y=6,立方根为
( http: / / www.21cnjy.com )。
评析：当x=
-1时，x+1=0,式子
( http: / / www.21cnjy.com )无意义。
正解：x=
1时，y=7,x+y=8,立方根为2。
八、忽视算术根的非负性
例12
化简
( http: / / www.21cnjy.com )。
错解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=1-
( http: / / www.21cnjy.com )。
评析：
( http: / / www.21cnjy.com )表示(1-
( http: / / www.21cnjy.com ))2的算术平方根，故结果不应为负。
正解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=∣1-
( http: / / www.21cnjy.com )∣=
( http: / / www.21cnjy.com )-1。(共2张PPT)
计算:
解：关注二次根式“外移”“内移”问题
二次根式的化简运算是中考数学命题的
( http: / / www.21cnjy.com )热点之一，它主要有两种题目类型：一类是因式开平方后“外移”，另一类是因式平方后“内移”。在进行二次根式“外移”“内移”运算时，若能根据二次根式的性质，结合题目特征灵活运用，常常能使问题迎刃而解，下面将结合例题加以说明。
例1、已知x≤1，化简
( http: / / www.21cnjy.com )=
.
分析：因为x≤1，所以1－x≥0，x－2<0.
故
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
=1－x－
( http: / / www.21cnjy.com )=
－1。
例2、已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简b－
( http: / / www.21cnjy.com )=
。
分析：根据题意，得b>a，所以b—a>0，
故b－
( http: / / www.21cnjy.com )=b－
( http: / / www.21cnjy.com )=
b－（b－a）=b－b+a=a。
a
b
例3、若xy<0，则
( http: / / www.21cnjy.com )化简为（
）
A、x
( http: / / www.21cnjy.com )
B、－x
( http: / / www.21cnjy.com )
C、x
( http: / / www.21cnjy.com )
D、－x
分析：由
( http: / / www.21cnjy.com )，得x
( http: / / www.21cnjy.com )≥0，又因为xy<0，所以x<0，y>0，故
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
—x
( http: / / www.21cnjy.com )，故应选B。
点拨：在进行二次根式“外移”运算时，应先把根号内的因式写成平方形式，再根据二次根式的性质：
( http: / / www.21cnjy.com )进行化简。
例4、把（1－a）
( http: / / www.21cnjy.com )的根号外的因式移到根号内，则该因式等于
。
A、
( http: / / www.21cnjy.com )
B、
( http: / / www.21cnjy.com )
C、－
( http: / / www.21cnjy.com )
D、－
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：由（1－a）
( http: / / www.21cnjy.com )可知－
( http: / / www.21cnjy.com )>0，所以a－1<0，即a<1。
当a<1时，1－a>0。
所以（1－a）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，故应选A。
点拨：在进行二次根式
“内移”运
( http: / / www.21cnjy.com )算时，应先确定根号外因式的符号，若根号外的因式是非负数，则把因式平方后移到根号内；若根号外的因式是负数，则把负号留在根号外，再把根号外因式的相反数平方后移到根号内进行化简。
练习：1、若b>0，化简
( http: / / www.21cnjy.com )的结果是（
）
A、－b
( http: / / www.21cnjy.com )
B、b
( http: / / www.21cnjy.com )
C、－b
( http: / / www.21cnjy.com )
D、b
( http: / / www.21cnjy.com )
2、实数p在数轴上的位置如图所示，化简
( http: / / www.21cnjy.com )
。
0
1
p
2
3、阅读下面一道题的解答过程，请判断是否正确，若不正确，请写出正确答案。
已知a为实数，化简
( http: / / www.21cnjy.com )
。
解：原式=a
( http: / / www.21cnjy.com )。
答案：1、B
2、1
3、不正确，原式=（1—a）
( http: / / www.21cnjy.com )。二次根式新题型赏析
随着课改是进一步推进，近年来中考试题中
( http: / / www.21cnjy.com )出现了不少新题型，这类问题往往给出学生一些新情境，设置一些新问题，要求学生充分发挥阅读理解能力、应变能力和创新能力解答试题，可以全面考查学生综合素质，这些试题已成为中考试题中的一道靓丽的风景线。本文拟以与二次根式有关的创新题为例加以分析，希望对读者有所启发。
一、程序运算型
例1、（荆州）有一个数值转换器，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（
）
A、8
B、
( http: / / www.21cnjy.com )
C、
( http: / / www.21cnjy.com )
D、
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：64的算术平方根是8，是有理数，再取算术平方根为
( http: / / www.21cnjy.com )，是无理数，所以输出的是
( http: / / www.21cnjy.com )，选B。
评注：以“数值转换机”的形式考查平方根有关概念，形式新颖。这类题目不仅考查学生基础知识的掌握情况，而且可以考察学生的综合能力。
二、估算型
例2、（扬州）大家知道
( http: / / www.21cnjy.com )是一个无理数，那么
( http: / / www.21cnjy.com )－1在哪两个整数之间
A．1与2
B．2与3
C．3与4
D．4与5
解析：因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，选A。
评注：新课标要求：能用有理数估算一个无理数的大致范围，估算的方法很多，可以采用平方法，作差法等等。
三、无关型
例3、（吕梁）课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当
( http: / / www.21cnjy.com )时，求代数式
( http: / / www.21cnjy.com )的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程．
解：原式
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以，当
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )时，代数式的值都是
( http: / / www.21cnjy.com )．
评注：本题看似复杂，其实简单，只要先化简，
( http: / / www.21cnjy.com )可以发现其结果与x
的取值无关。做完后有“柳暗花明又一村”之感。这也提示我们在在碰到难题或陌生的问题时不要害怕，应敢于探索。
四、说理型
例4、（内江）已知实数x、y、a满足：
( http: / / www.21cnjy.com )，试问长度分别为a、y、a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由.
分析：要判断能否组成三角形，
( http: / / www.21cnjy.com )关键是确定三边之间的关系，而条件中给出的是一个含二次根式的等式，整体观察可以发现被开放数之间存在一定的关系可用二次根式的性质来解。
解：根据二次根式的性质，解得，所以以长为x、y、a的三条线段能组成一个三角形，且是一个直角三角形，其面积为6。
评注：本题通过整体观察，发现前两个二次根式的被开方数互为相反数，进而得到x+y-8=0，，从而得到
( http: / / www.21cnjy.com )，再利用非负数的性质得到相应方程。
评注：本题全面考查了二次根式的两个非负性，同时将二次根式与几何问题结合在一起，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力。
五、规律探究型
例5、（大连）用计算器计算：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，…，请你猜测
( http: / / www.21cnjy.com )的结果为______________。
解析：本题可从特殊到一般，发现规律：
( http: / / www.21cnjy.com )=10，
( http: / / www.21cnjy.com )=100，
( http: / / www.21cnjy.com )=1000，
…，猜测
( http: / / www.21cnjy.com )的结果为10n.
评注：近几年来具新意的以观察探索归纳猜
( http: / / www.21cnjy.com )想为形式的新颖题脱颖而出，此类问题的设置有利于考查学生的创新意识和独立解决问题的能力，有助于引导学生在平时的学习过程中进行自觉的探索，是中考必考内容之一，这类问题形式多种多样，可以是数形结合的，也可以是探究一组数的变化规律的，或单纯图形的变化趋势，有助于发展学生的合情推理能力，有助于学生“符号感”的形成．
图1《二次根式的加减》考点分析
中考考点
知道什么是同类二次根式（
( http: / / www.21cnjy.com )能判断几个二次根式是否为同类二次根式，并把同类二次根式的概念与方程或方程组相联系，同时考查二次根式的加减法运算，即合并同类二次根式）会进行二次根式的加减法运算。
考点讲解
1．同类二次根式的概念：
( http: / / www.21cnjy.com )几个二次根式都化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。同类二次根式的定义和判断，是学好二次根式加减运算的基础和关键。判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须满足以下两个条件：（1）它们都是最简二次根式；（2）它们的被开方数必须完全相同。需要强调的是：同类二次根式与根号前面的数或式无关。
另外，对尚未化为最简二次根式的几个根式，被开方数不相同，并不能判定为不同类二次根式。如：
( http: / / www.21cnjy.com )与-2
( http: / / www.21cnjy.com )，它们分别可化为6
( http: / / www.21cnjy.com )、-
( http: / / www.21cnjy.com )，故它们仍为同类二次根式。
2．二次根式的加减法是学习本节内容的
( http: / / www.21cnjy.com )重点。二次根式的加减，实质上就是对二次根式进行化简与合并。合并“同类二次根式”与合并“同类项”类同，因此合并同类二次根式时，只把根号外的因式（数）相加，根指数和被开方数保持不变。这就是对二次根式进行加减运算。其步骤是：（1）对每个二次根式化简，一般先化为最简二次根式；（2）对同类二次根式进行合并、整理即得结果。
3．原来在学习整式加减法中运用的交换律、分配律及去括号、添括号法则在二次根式的加减法中仍然适用。
4．二次根式的加减运算结果应写成最简形式，这结果或是单个最简二次根式，或是几个不同类最简二次根式的和、差。
5．考查本节的知识，要求能判断几个二次根式是否为同类二次根式，并能熟练地进行二次根式的加、减运算。
考题评析
1．（福州市）下列二次根式中与
( http: / / www.21cnjy.com )是同类二次根式的是（
）.
（A）
( http: / / www.21cnjy.com )
（B）
( http: / / www.21cnjy.com )
（C）
( http: / / www.21cnjy.com )
（D）
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：同类二次根式。
评析：要判断同类二次根式，首先明确最简
( http: / / www.21cnjy.com )二次根式及化简二次根式的方法。然后看被开方数是否相同（技巧：将各二次根式被开方数均除以作判断标准的最简二次根式的被开方数，结果能写成完全平方数即是，如300÷3=100=102，故选D）。
2．（江西省）计算：
( http: / / www.21cnjy.com )=
.
考点：无理数的加减
评析：运算是减法，首先化成最简二次根式，再合并，要正确运用法则。
3．（西安市）已知a=2+
( http: / / www.21cnjy.com )，b=
( http: / / www.21cnjy.com )-2，求下式的值：
（a4-b4）÷
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：运用二次根式和差求代数式的值（分式运算及无理数）
评析：由于代数式比较复杂，首先要化简该代
( http: / / www.21cnjy.com )数式，即分式运算要注意因式分解和约分，其次观察所给的字母的值代入计算是否简单，若计算繁琐，则利用其较简单代数式的值整体代入。
如该题可知：
( http: / / www.21cnjy.com )
a-b=4故代数式化简成与a+b和a-b有关的式子。（ab=-1等）计算。注：此方法是常用的一种技巧，要理解掌握。(共4张PPT)
1.将下列各式化成最简二次根式，并求它们的和.
解：
求和：
2.计算下列各式.
解
：二次根式错解分类辨析
二次根式是初中数学中的重要内容，其中的概念和
( http: / / www.21cnjy.com )性质都有条件限制，同学们在运用这些概念和性质解题时，往往会忽视这些条件而导致错解．现列举六种常见的解题错误进行分析，希望能引起同学们的注意．
一、忽视二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )中
( http: / / www.21cnjy.com )这一隐含条件而造成错解
例1、化简
( http: / / www.21cnjy.com )
错解：
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
辨析：错解中忽视了
( http: / / www.21cnjy.com )＞0这一隐含条件，即
( http: / / www.21cnjy.com )＜1，此式的值应为负值．
正解：
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
二、运用
( http: / / www.21cnjy.com )时忽视
( http: / / www.21cnjy.com )＜0这种情形，没有把
( http: / / www.21cnjy.com )区别开来．
例2、化简
( http: / / www.21cnjy.com )
错解：
( http: / / www.21cnjy.com )=1－
( http: / / www.21cnjy.com )
辨析：错解中没有把
( http: / / www.21cnjy.com )区别开来，忽视了1－
( http: / / www.21cnjy.com )是一个负数这种情况．平时应养成先判断
( http: / / www.21cnjy.com )的符号，再脱去
( http: / / www.21cnjy.com )中的根号这一好的习惯．
正解：因为1－
( http: / / www.21cnjy.com )＜0
所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )－1
三、运用二次根式性质时出错
例3、
( http: / / www.21cnjy.com )
错解：
( http: / / www.21cnjy.com )
辨析：上面错在不明确
( http: / / www.21cnjy.com )的意义，也不明确二次根式乘法的运算步骤．
正解：
( http: / / www.21cnjy.com )
四、忽视同类二次根式的定义
例4、已知
( http: / / www.21cnjy.com )是同类二次根式，则
( http: / / www.21cnjy.com )、b的值是（
）
A、
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
B、
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
C、
( http: / / www.21cnjy.com )
D、
( http: / / www.21cnjy.com )
错解：由
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )
故选B．
辨析：两个根式是同类二次根式，必须满足以下两个条件：①是最简二次根式，②被开方数相同。而
( http: / / www.21cnjy.com )不是最简二次根式，故需先将其化简．
正解：依题意：
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )
故选A．
五、违背运算规律
例5
计算：
( http: / / www.21cnjy.com )．
错解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )．
分析：对于同一级运算，要按从左到右的顺序进行，错解中违反了这一规律．
正解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
六、忽视将二次根式的计算结果化为最简二次根式
例6、
计算：
( http: / / www.21cnjy.com )。
错解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )。
分析：错解中的
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )不是最简二次根式，应把它化为最简二次根式后，再把同类二次根式进行合并计算出最后结果．
正解：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )《二次根式的加减》疑难分析
1．同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,特别强调一定先要化成最简二次根式.
2．二次根式的加减的实质是合并同类二次根式,整式的加减运算中的交换律、结合律及添、去括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用.
3．不是同类二次根式的不能合并,如
( http: / / www.21cnjy.com ).
例题选讲
例1
若两个最简二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )是同类二次根式,则a、b的值是（
）
(A)a=0,b=2
(B)a=1,b=1
(C)a=0,b=2或a=1,b=1
(D)a=2,b=0
解：∵由题意得方程组
( http: / / www.21cnjy.com )解得
( http: / / www.21cnjy.com )，∴应选(A)
评注：本例要求熟练掌握同类二次根式的意义，并构建方程组求解.注意：同类二次根式的被开方数相同必须在最简二次根式的条件下.
例2
计算:
( http: / / www.21cnjy.com )
解：原式
( http: / / www.21cnjy.com )
评注：二次根式的加减运算就是先将每项化成最简二次根式,再合并同类二次根式.
例3
若矩形的长为,宽为
( http: / / www.21cnjy.com ),求矩形的的周长和面积.
解:
矩形的长为:
( http: / / www.21cnjy.com )
矩形的面积为:
( http: / / www.21cnjy.com )
评注：结合几何性质,熟练的进行二次根式的加减和乘除运算.《二次根式的加减》错解分析
初学二次根式，若对于二次根式的概念或有关的运
( http: / / www.21cnjy.com )算理解不透，则常会出现一些解题上的错误．现就有关的易出现的错误，归纳如下，希望对你的学习有帮助哟．
例1　当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )是否是二次根式？
【错解】因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )不是二次根式．
【分析】根据二次根式的定义，形如
( http: / / www.21cnjy.com )叫做二次根式．对于二次根式的理解是:（1）带有根号;（2）被开方数非负．所以二次根式是形式上的定义．所以
( http: / / www.21cnjy.com )是二次根式．
例2　化简：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )．
【错解】（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )．
【分析】上述错解在把被开方数是和的形式模仿
( http: / / www.21cnjy.com )进行运算了．实际上（1）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=8≠4．
例3　计算
( http: / / www.21cnjy.com )．
【错解】
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】错解在虽然结果正确，但没有考虑
( http: / / www.21cnjy.com )的使用条件是a≥0，b≥0．实际上负数没有算术平方根．
正确的解法是
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
例4　如果
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )_____．
【错解】由
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )．
【分析】错解在没有根据绝对值的意义全面的考虑问题．取了特殊值
( http: / / www.21cnjy.com )，实际上
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )．
例5　计算：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )．
【错解】（1）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com );
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )．
【分析】（1）错解没有理解合并
( http: / / www.21cnjy.com )同类二次根式的方法:合并同类二次根式，被开方数和根指数不变．（2）错解在把根号外的因式与根号内的因式直接相除．
正确的解法是：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com );
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )．《二次根式》复习指导
一、考点精析
二次根式的定义：
一般地，式子
( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0）叫做二次根式。
“
( http: / / www.21cnjy.com )”叫做二次根号，二次根号下的“a”叫做被开方数。
二次根式的意义
二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0），就是指非负数a的算术平方根。
由算术平方根的性质可知，当（）a≥0时，
( http: / / www.21cnjy.com )有意义；当a＜0时，因为负数没有平方根，所以
( http: / / www.21cnjy.com )没有意义。
怎样判定一个式子是不是二次根式。
判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是否同时具备二次根
式的两个特征：
带二次根号“
( http: / / www.21cnjy.com )”。
被开放数不小于0.
只要同时满足这两个特征，它就是二次根式；否则，不满足其中任何一个特征，它就
不是二次根式。
最简二次根式：符合①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫做最简二次根式。
同内二次根式：化简最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。
二次根式的性质
（1）（
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )=
a（a≥0）
a
（a≥0）
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
-a
（a＜0）
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0,b
≥0）
（4）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0,b＞0）
7、二次根式的乘法
（1）算术平方根的性质：
( http: / / www.21cnjy.com )=
a（a≥0）
对于二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )的化简，将根号内的完全平方式开出根号时，一般先要加上绝对
值的符合，然后再根据a的符号进一步化简，用
( http: / / www.21cnjy.com )进行过渡，可以避免发生错误。
（2）积的算术平方根的性质：
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0,b
≥0）
（3）二次根式的乘法：
( http: / / www.21cnjy.com )·
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
（a≥0,b
≥0）
即：两个二次根式相除，被开放数相除，根指数不变。
二次根式的加减法
二次根式的加减；就是合并同类二次根式
二次根式加减法的一般步骤：
将每一个二次根式化为最简二次根式
找出其中的同类二次根式
合并根式二次根式
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样
本节考察的试题往往以大题（混合运算）的形式出现，解答题要注意步骤及每一步的依据，要特别熟悉二次根式的性质及(
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com ))(
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com ))=m－n；
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )=n.
二、命题趋势
1、能熟练地掌握二次根式的概念和性质。
2、能根据二次根式的性质熟练的化简二次根式。
多在填空题、选择题中出现，解答题中也较常见。
熟练掌握二次根式的运算，会将分母含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化，会解与二次根式有关的化简求值题。
二次根式的混合运算，及分母有理化在中考试卷中出现的频率较多，题型选择题、填空题和计算题，难度相对大一些，属于中档题较多。
三、思想方法
1、分类讨论思想；2、转化与化归思想；3、方程思想。
四、典型题型
1、二次根式有意义的条件
例1当x______时，二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )在实数范围内有意义。
解析：二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )在实数范围内有意义的条件是
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )。
2、化简
( http: / / www.21cnjy.com )
例2、化简
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )的结果为______.
解析：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )
又
( http: / / www.21cnjy.com )
，则
( http: / / www.21cnjy.com )
原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
3、利用二次根式的性质化简为最简二次根式
例3、下列式子为最简二次根式的是（
）
A、
( http: / / www.21cnjy.com )
B、－2
( http: / / www.21cnjy.com )
C、
( http: / / www.21cnjy.com )
D、
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：8=2
( http: / / www.21cnjy.com )×2，0.3=
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，B是和的形式，所以ACD不是最简二次根式，分别可化为
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
4、判断同类二次根式及合并
例4、找出下列与
( http: / / www.21cnjy.com )是同类二次根式的，并与
( http: / / www.21cnjy.com )的和是_________.
A、错误！不能通过编辑域代码创建对象。
B、
( http: / / www.21cnjy.com )
C、
( http: / / www.21cnjy.com )
D、
( http: / / www.21cnjy.com )－1
解析：先化为最简二次根式，再判断，后合并。
A不符合，B为
( http: / / www.21cnjy.com )，C为2
( http: / / www.21cnjy.com )，D不是单个，所以只有C是，合并可以仿照合并同类项的方法。和为3
( http: / / www.21cnjy.com ).
5、二次根式的混合运算
例5、（
( http: / / www.21cnjy.com )）－（
( http: / / www.21cnjy.com )）（
( http: / / www.21cnjy.com )）＋（
( http: / / www.21cnjy.com )）÷
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：原式=
( http: / / www.21cnjy.com )－（18
( http: / / www.21cnjy.com )＋2
( http: / / www.21cnjy.com )－6
( http: / / www.21cnjy.com )－2
( http: / / www.21cnjy.com )）＋（
( http: / / www.21cnjy.com )）×
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )－18
( http: / / www.21cnjy.com )－2
( http: / / www.21cnjy.com )＋6
( http: / / www.21cnjy.com )＋2
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com )
=－12
( http: / / www.21cnjy.com )－3
( http: / / www.21cnjy.com )＋4
( http: / / www.21cnjy.com )
6、求含二次根式的代数式的最值
例6、求
( http: / / www.21cnjy.com )的最小值
解析：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )。此时x=5.
7、探究规律
例7、
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，……
猜想
( http: / / www.21cnjy.com )的结果；（2）你发现了什么规律？请用含n的式子将规律表示出来。
解析：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )=10
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）3=2
( http: / / www.21cnjy.com )－1，8=3
( http: / / www.21cnjy.com )－1，15=4
( http: / / www.21cnjy.com )－1，……
则有
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
五、走近生活
（1）星期天，张琪和妈妈做了一个小游戏，张琪的妈妈说“你现在学习了二次根式，若x表示
( http: / / www.21cnjy.com )的整数部分，y表示它的小数部分，我这个纸包里的钱数是（
( http: / / www.21cnjy.com )）y元。你猜一下这个纸包里有多少钱？若猜对了，包里的钱有你支配。”你知道有多少吗？
（2）我们存款都要密码，最好不用
( http: / / www.21cnjy.com )你的生日号。设密码的方式很多，现在介绍一种好记的方法：你的年、月、日的平方根分别加上一个你喜欢的数（最好是一个一或两位数），在分别看平方根在哪两个整数之间，依次取这些整数组成一个密码。
如：某人的生日为78年4月7日，他喜欢的数为58，则11
( http: / / www.21cnjy.com )，7
( http: / / www.21cnjy.com )，8
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ).则可取密码11127889，根据需要进行删减。
按照这个方法你给自己取一个密码。
六、请你指出错误并更正
（1）如果
( http: / / www.21cnjy.com )是二次根式，则
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )是二次根式；
（3）当
( http: / / www.21cnjy.com )有意义时，
( http: / / www.21cnjy.com )的值是
( http: / / www.21cnjy.com )；
（4）已知
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )；
（5）（
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=3-
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=－1；（6）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=-2×（-5）=10；（7）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )；（8）
( http: / / www.21cnjy.com )=32－17=15；
（9）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )÷
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )；
（10）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )；（11）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=1；（12）
( http: / / www.21cnjy.com )；
（13）
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )；（14）（
( http: / / www.21cnjy.com )=2
( http: / / www.21cnjy.com )。根式化简十二法
　　含有根式的分式化简，
( http: / / www.21cnjy.com )是中考、竞赛中的常见题型．若用常规解法：分母有理化，有时会很繁琐，甚至会陷入“困境”，如能根据题目本身的特点，采用灵活的解题技巧，则会收到事半功倍的良好效果，下面举例说明．
　　1.先平方，再开方
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
∵x>0，所以原式=x=2.
　　2.先分解，再约分
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
(天津竞赛)
　　
　　　
　　3.常数代换
　　
　　　
4.分子有理化
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
　　　　　　
　　5.活用乘法公式
.(山东竞赛)
　　6.依次通分
　　(广州联赛)
　　
　　7.逆用分式计算法则
　　.(天津竞赛)
　　
　　8.巧用倒数
　　(四川联赛)
　　
　　
　　9.换元转化
　　例9化简
( http: / / www.21cnjy.com ).(山东)
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　则x＋y＝2a＋2，xy＝2a＋2．于是有
　　
　　10.直接配方
　　.(上海竞赛)
　　
　　　
　　11.裂项相消
　　
( http: / / www.21cnjy.com ).(四川联赛题)
　　
　　12．运用比例性质
　　.(全国部分省市初中数学通讯赛试题)
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
　　
( http: / / www.21cnjy.com )　
　　由等比性质得
　　
( http: / / www.21cnjy.com )。二次根式规律探索题例析
数学课程标准自主探索与合作交流是学
( http: / / www.21cnjy.com )生学习的重要方式,从而探究规律型试题渗透到各个知识点.下面是中考数学试题,
例举几道与二次根式有关的规律探索题加以分析,供同学们学习时参考.
例1(辽宁大连市)用计算器计算：
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),…,请你猜测
( http: / / www.21cnjy.com )的结果为_________。
解析:这是一道用计算器进行探索的规律性试题,用计算器不难算得:
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )的值分别是10,100,1000,从而猜测待求式的结果是10n.
说明：这是由课本16页第10题改编的一道中考试题,其实,有些中考试题就是课本典型题目或其变式,望同学们对课本中的典型题目要格外重视.
例2(广西桂林市)在
( http: / / www.21cnjy.com )中,共有
个有理数.
A.42
B.43
C.44
D.45
解析:本题逐一验证显然不可能,我们不妨反过来考虑,若这些算术平方根是有理数,则其被开方数应是正整数的平方,又所有的被开方数是连续整数,而442=1936,452=2025,即44<
( http: / / www.21cnjy.com )<45,所以在
( http: / / www.21cnjy.com )中,共有44个有理数,选C.
例3(湖南邵阳市)如图1中,螺旋形是
( http: / / www.21cnjy.com )由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为①,②,③,④,⑤,…,则第n个等腰直角三角形的斜边长是
.
解析:第①,②,③,④的斜边分别为
( http: / / www.21cnjy.com ),不难发现:斜边都是二次根式,且被开方数是以底数为2,指数是三角形序号的数,即第n个等腰直角三角形的斜边长是2n.例4(广州市)已知A=
( http: / / www.21cnjy.com )，
B=
( http: / / www.21cnjy.com )(n为正整数)．当n≤5时，有A.
解析:利用计算器计算发现:当n=6时,A=5.5>B=
( http: / / www.21cnjy.com );当n=7时,A=6.5>B=
( http: / / www.21cnjy.com );当n=8时,A=7.5>B=
( http: / / www.21cnjy.com ),……,由此归纳出当n≥6时，A>B.破解二次根式考题中的隐含条件
关于二次根式的考查，有一类题是专门对二次根式有意义的条件进行的。我们熟知，二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com )≥0)≥0。这里体现了二次根式的两个非负性：即被开方数是非负数，根式本身也是非负数。而有许多同学解题时虽然知道这些条件，但由于考题中没有明确给出，学生不去破解其隐含条件而导致解题出错。以下举例说明，望给大家提个醒儿。
适合
( http: / / www.21cnjy.com )的正整数
( http: / / www.21cnjy.com )的值有(
)
说明：本题在测试中的错误率达到90%以上，错误现象不容忽视。错误原因是对根式
( http: / / www.21cnjy.com )的非负性不理解。
错解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )正整数
( http: / / www.21cnjy.com )的值有2、1，选(B)
正解：
( http: / / www.21cnjy.com )（隐含条件）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )正整数
( http: / / www.21cnjy.com )的值为3、2、1
故选(C)
例2、小明作业本上有以下四题：
①
( http: / / www.21cnjy.com )②
( http: / / www.21cnjy.com )③④，做错的题是(
　
)
A.
①
B.
②
C
.②④
D.
③④
说明：学生容易判断①②正确，本题的错误现象主要是③的变形出错。对于
( http: / / www.21cnjy.com )不辨别式子本身的符号，凭空认为
( http: / / www.21cnjy.com )>
( http: / / www.21cnjy.com )导致错误。另外，④式属于二次根式的加减运算，只有同类二次根式才可以合并，而
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )不是同类二次根式，所以不能合并。
③式的正确变形为：
( http: / / www.21cnjy.com )有意义
( http: / / www.21cnjy.com )>
( http: / / www.21cnjy.com )（隐含条件）
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )
选(
D
)
例3、最简二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )是同类二次根式，则
( http: / / www.21cnjy.com )=___
说明：本题的错误现象是对
( http: / / www.21cnjy.com )的值能否使两个根式有意义考虑不全面，
( http: / / www.21cnjy.com )的值应满足
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )（隐含条件）
错解：由题意得：
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )的值为
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
正解：同上得出
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
当
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )>
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )>
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
合题意，
当
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )
不合题意，舍去。
( http: / / www.21cnjy.com )
例4、已知
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )，化简二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )的正确结果是(
)
说明：本题的错误现象是学生开方时直接将
( http: / / www.21cnjy.com )变为
( http: / / www.21cnjy.com )，而没有考虑
( http: / / www.21cnjy.com )的取值应使根式有意义的条件。
正解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )有意义
( http: / / www.21cnjy.com )（隐含条件）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )异号且
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )>
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
　　由以上各题的解决可以看出，在二次根式问题中，我们只有对根式本身有意义的隐含条件即
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com )≥0)≥0掌握牢固，具体问题用心分析其条件的隐含性，才能在解题时不出现上述错误。
请你尝试一下（当心哦）：
1、最简二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )是同类二次根式，则
( http: / / www.21cnjy.com )=__。
2、化简二次根式
( http: / / www.21cnjy.com )的结果是(
)
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
3、已知是
( http: / / www.21cnjy.com )实数，且
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )的值为(
)
A.13
B.7
C.3
D.13或7或3
答案：1、6
2、B
3、C

展开更多......

收起↑