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列一元二次方程解几何图形问题
代数、几何的综合题一直是中考的热点，用代数方法解几何问题，是初中数学的一种重要思想.在解几何题时，如果能根据几何问题中的数量关系，恰当地建立一元二次方程模型，并借助一元二次方程的相关知识来求解，定能收到事半功倍的效果.下面举例说明.
一、利用勾股定理建立一元二次方程模型
例1.(深圳中考题)在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为______________________.
分析：对于本题，先画出图形，判断出△ABC为直角三角形后，再利用勾股定理建立一元二次方程模型求边长.
解：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，
∵
CD=3，AB=6，
∴AD=BD=3，
∴CD=AD=BD.
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD.
∵∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD=180°.
∴∠A＋∠B=90°.
∴△ABC为直角三角形，
∴AC2＋BC2=AB2=36.
又∵BC+AC=8，
∴设BC的长为，则.
∴，整理，得.
解得.
∴，.或，.
∴·.
说明：本题主要考查直角三角形中线的有关性质、一元二次方程的相关知识以及综合分析、解答问题的能力.
二、利用面积公式建立一元二次方程模型
例2.
(辽宁十一市中考题)如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．(部分参考数据：，，)
分析：本题是一道典型的列一元二次方程解决的实际应用问题.下面从两个角度给出如下的解法.
解法(1)：由题意转化为右图，设道路宽为米.
根据题意，
可列出方程为.
整理得.
解得(舍去)，.
答：道路宽为米.
解法(2)：由题意转化为右图，设道路宽为米，根据题意列方程得：
.
整理得：.
解得：，(舍去).
答：道路宽应是米.
说明：把不规则的图形转化为规则的图形是解决这类问题的关键所在，同时整体代换的思想方法在解题中起着化难为易的作用，同学们应该既能理解它，又会应用它.
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1什么是一元二次方程的根？
答案：
使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程可以无解，若有解，就一定有两个解。
【举一反三】
典例：下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
思路导引：一般来说，要判定一个数是否是方
( http: / / www.21cnjy.com )程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
标准答案：x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．怎样用一元二次方程解决面积问题？
答案：

列一元二次方程可解决几何体面积有关的应用题，注意舍根，面积问题还要画图分析。
【举一反三】
典例：要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？

设长为xcm，则宽为（x-5）cm

列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0

请根据列方程回答以下问题：

（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：

x
10
11
12
13
14
15
16
17
…
x2-5x-150










（3）你知道铁片的长x是多少吗？
思路导引：一般来说，x2-5x-150=0的形式不能用平方根的意义和整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．
（2）

x
10
11
12
13
14
15
16
17
……
x2-5x-150
-100
-84
-66
-46
-24
0
26
54
……

（3）铁片长x=15cm
标准答案：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．
x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能。
（2）

x
10
11
12
13
14
15
16
17
……
x2-5x-150
-100
-84
-66
-46
-24
0
26
54
……

（3）铁片长x=15cm
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1用数学思想方法解一元二次方程问题
数学思想是数学知识的精髓，是数学内容的一种本质认识，它在学习和运用数学知识的过程中，起着观念性的指导作用．下面举例说明数学思想在一元二次方程中的应用．
一、转化思想
有一些题目按照一般的解题思路去思考，往往比较烦琐．若根据知识间内在的联系，恰当地把题目中的数量关系从一种形式转化为另一种形式，问题就可能比较顺利地得到解决，这就是转化的思想方法．它能够帮助我们打开思路，把一个较复杂或陌生的问题转化成一个已经解过的比较简单或熟悉的问题．
例1
解方程
分析：此方程不能直接求解，可将方程整理转化为一般形式，易知方程可直接用因式分解法求解．
解：整理，得，即
所以
二、整体思想
整体的思想方法，就是将注意力和着眼点放在问题的整体上或把一些相互联系的量作为整体来处理的思想方法．有些一元二次方程问题，可根据其特点，采用整体处理的方法，不仅可避免复杂的计算，而且还达到了解决问题的目的．
例2
已知的值为9，则代数式的值为（
）
（A）4
（B）6
（C）8
（D）10
解：由=9得，
所以．故应选D．
三、分类讨论思想
当我们研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来区别讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思想方法称为分类思想．它既是一种数学思想方法，又是一种重要的解题策略．
例3
当为何值时，关于的方程有实数根？
解：因为题中没明确方程的次数，需讨论：
（1）当，即时，方程为一元二次方程，
因方程有实数根，所以解得．
所以，当且时，一元二次方程有实数根
（2）当，即时，方程为实数根为
总上可知，当时，方程有实数根．
四、建模思想
数学模型是一种常见的解决实际问题的思想方法，其实质是从实际问题中提取出关键性的基本量，将其转化为数学问题来表达，并进行推理、计算、论证等，最后得出结论．
例4　市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
解：设这种药品平均每次降价的百分率是，根据题意，得
解得（不合题意，舍去），
答：这种药品平均每次降价的百分率是20%．
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1如何列一元二次方程求数字问题？
答案：
一般来说，常用的是十进制计数法。十位数字是a，个数字是b，则这个两位数可表示为：10a+b。如123=1×100+2×10+3×1;
【举一反三】
典例：两个连续偶数积为288，求这两个数。
思路导引：一般来说，此类问题应分析数字的特点。两个连续偶数差2，可设x，。设这两个偶数分别为x，x+2，根据题意，，解得：。。
标准答案：这两个连续偶数是16，18或－18，－16。
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www.因式分解法教材分析
教材首先通过实际问题得到方程10x－4.9x2=0，让学生思考解决方程的方法除了之前所学习过的配方法和公式法以外，是否还有更简单的方法解方程，通过分析,则或得到启发，利用提取公因式法将一元二次方程化成两个一次项的乘积为零．然后引导学生思考：上述方法是如何让方程从二次降到一次的？让学生体会到解一元二次方程的基本策略是降次，因式分解法将一个一元二次方程转化为两个一次式乘积为零的形式实现降次，从而引出本节课学习的内容．
通过教材中的两道例题，进一步深化巩固用因式分解法求解一元二次方程，合理的选择适当的方法可以简化解题过程．
学生在利用因式分解法解方程式往往会在因式分解上存在着一定的困难，从而不能将方程化成两个一次式乘积为零的形式．另外在面对一元二次方程时，缺乏对方程结构的观察，从而在方法的选择上欠佳，缺乏解决问题的灵活性，增加了计算的难度，降低了计算的准确性．
基于以上分析，确定出本节课的教学重点：会用因式分解法解特殊的一元二次方程．
本节课的难点：学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程．
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www.趣题两则
1、一元二次方程与数学家
巴拿赫是波兰数学家，是泛函分析的奠基人之一.1945年8月31，巴拿赫病故于乌克兰的利沃夫.人们为了纪念这位伟大的数学家，特编下面这一道关于他生平的智力问题：
巴拿赫病故于1945年8月31日。他在世时某年年份恰好是他当时年龄的平方。问：他是哪年出生的？
解：设他在世时某年年龄为x，则[(x2-x)+x]≤1945,且x为自然数.
其出生年份为：x2-x=x(x-1)，
他在世时年龄为：1945-x(x-1).
由，则x应为44或略小于44的自然数.
当x=44时，由x(x-1)=44×43=1892，算得他在世时年龄为1945-1892=53；
当x=43时，由x(x-1)=43×42=1806，算得他在世时年龄为1945-1806=139；
若x再取小，其在世年龄越大，显然不合理.
所以x=44，即他生于1892年，终年53岁.
2、阅读材料
已知p2-p-1=0,1-q-q2=0,且pq≠1,求的值.
解：由p2-p-1=0及1-q-q2=0,可知p≠0,
q≠0。
又∵pq≠1,∴p≠
∴1-q-q2=0可变形为()2--1=0
根据p2-p-1=0和()2--1=0，可知p和是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，则p+=1，
∴=1
根据阅读材料所提供的方法，解答下面的问题。
已知：2m2-5m-1=0,
,且m≠n,求的值.
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1什么是直接开平方法？
答案：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n
(n≥0)的方程，其解为x=m±.
【举一反三】
典例：解方程(3x+1)2=9
思路导引：一般来说，直接开平方法适用于解化为x2＝a形式的方程，当a≥0时，方程有实数解；当a＜0时，方程没有实数解。此方程可用直接开平方法解。(3x+1)2=9
，
∴3x+1=±3(注意不要丢解)
，
∴3x=-1±3，
∴原方程的解为
标准答案：
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www.一元二次方程的应用解读
1、导读：
一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从根本上讲，则是为了解决实际问题的需要，比如在几何、物理及其他学科中，许多问题都要化归到一元二次方程问题来解决．
　　2、列一元二次方程解应用题的一般步骤是
　　(1)审题．分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系．
　　(2)设未知数．一般采取直接设法，有的要间接设．
　　(3)列出方程．要注意方程两边的数量相等．方程两边的代数式的单位相同．
　　(4)解方程．应注意一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．
　　3、掌握常见相关问题的数量关系及其表示方法
　　(1)三连续整数：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－1，x＋1．
　　三连续偶数(奇数)：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－2，x＋2．
　　(2)三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数为100a＋10b＋c．
　　(3)增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1＋x)，二次增长后的值为a(1＋x)2．
　　降低率问题：若基数为a，降低率为x，则一次降低后的值为a(1－x)，二次降低后的值为a(1－x)2．
　　(4)三角形、梯形、特殊的平行四边形的面积公式也是列一元二次方程的依据．
4、典例析解：
在列方程解应用题的过程中，审题是解决问题的基础，找出相等关系列方程是解决问题的关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步．
　　例1．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8
000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
　　析解：如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5
000元．为了赚得8
000只．只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多．其中的等量关系是：每个商品的利润×销售量=
8
000（元）．这里的关键是如何表示出每个商品的利润和销售量的问题．可设商品的单价是元，则每个商品的利润是元，销售量是个．由题意列方程为
解之得，．
因此，售价定为60元时，进货是400个，售价定为80元时，进货是200个．
例2．某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2
160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？
析解：运用基本关系式：基数（1+平均增长率）n=实际数．
首先要求（或表示）出基数=600÷40%．
设2001年预计经营总收入为万元，每年经营总收入的年增长率为．
由题意列方程为
解之得　所以2001年预计经营总收入为1
800万元．
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1如何用配方法解一元二次方程
答案：
用配方法解方程ax2+bx+c=0
(a≠0)
，先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
，将二次项系数化为1：x2+x=-
，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2
方程左边成为一个完全平方式：(x+
)2=
，
当b2-4ac≥0时，x+ =±，
∴x= (这就是求根公式)
【举一反三】
典例：用配方法解下列方程：x2－12x+5=0;思路导引：一般来说，此类问题应按配方法的步骤：(1)将二次项系数化为1；(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x＋a)2＝k的形式，然后用开平方法求解．移项，得x2－12x=－5,配方，得x2－12x+36=－5+36,(x－6)2=31，解这个方程，
标准答案：
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www.趣题两则
1、一元二次方程与数学家
巴拿赫是波兰数学家，是泛函分析的奠基人之一.1945年8月31，巴拿赫病故于乌克兰的利沃夫.人们为了纪念这位伟大的数学家，特编下面这一道关于他生平的智力问题：
巴拿赫病故于1945年8月31日。他在世时某年年份恰好是他当时年龄的平方。问：他是哪年出生的？
解：设他在世时某年年龄为x，则[(x2-x)+x]≤1945,且x为自然数.
其出生年份为：x2-x=x(x-1)，
他在世时年龄为：1945-x(x-1).
由，则x应为44或略小于44的自然数.
当x=44时，由x(x-1)=44×43=1892，算得他在世时年龄为1945-1892=53；
当x=43时，由x(x-1)=43×42=1806，算得他在世时年龄为1945-1806=139；
若x再取小，其在世年龄越大，显然不合理.
所以x=44，即他生于1892年，终年53岁.
2、阅读材料
已知p2-p-1=0,1-q-q2=0,且pq≠1,求的值.
解：由p2-p-1=0及1-q-q2=0,可知p≠0,
q≠0。
又∵pq≠1,∴p≠
∴1-q-q2=0可变形为()2--1=0
根据p2-p-1=0和()2--1=0，可知p和是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，则p+=1，
∴=1
根据阅读材料所提供的方法，解答下面的问题。
已知：2m2-5m-1=0,
,且m≠n,求的值.
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1配方法及其应用
配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形，它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n次方的形式，通常是指配成完全平方式．
配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．
一、用配方法解方程
例1
解方程：2x2－3x+1=0．
分析：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
1．将二次项的系数化为1；
2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边；
3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4．将方程化为(x+m)2=n的形式；
5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）．
解：方程两边都除以2，得
移项，得
配方，得，
，
即或
所以x1=1，
二、用配方法分解因式
例2
把x2+4x-1分解因式．
分析：在原式中加上4的同时又减去4．
解：原式=x2+4x+4-4-1=x2+4x+4-5
=(x+2)2-=
三、用配方法求代数式的值
例3
已知实数a，b满足条件：，求—ab的平方根．
分析：一个方程含有两个未知数，看似无法求出a，b．但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a，b的值．
解：∵，
∴，
即，
∴
∴±
四、用配方法求代数式的最大（小）值
例4
代数式2x2-3x-1有最大值或最小值吗？求出此值．
分析：代数式2x2-3x-1的值随x的变化而变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值．
解：2x2-3x-1=2(x2-x)-1=2(x-)2+
∴当时，有最小值0，
∴当时，2x2-3x-1有最小值为．
五、用配方比较两个代数式的大小
例5
对于任意史实数x，试比较两个代数式3x3-2x2-4x+1与3x3+4x+10的值的大小．
分析：比较两个代数式的大小，可以作差比较，本题两个代数式相减后，可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后，即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小．
解：（3x2-2x2-4x+1）-（3x3+4x+10）
=-2x2-8x-9=-2(x+2)2-1<0，
所以对于任意实数x，恒有
3x3-2x2-4x+1<3x3+4x+10．
六、用配方法证明等式和不等式
例6
已知方程中(a2+b2)x2-2b(a+c)x+b2+c2=0中字母a，b，c都是实数．
求证：
分析：一个方程含有四个未知数，看似无法求出a，b，c，x．但仔细观察发现，方程左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a，b，c，x之间的关系．
证明：原方程坐标拆成两个二次三项式为：(a2x2-2abx+b2)+(b2x2-2bcx+c2)=0，
∴(ax-b)2+(bx-c)2=0．
∵a，b，c，x都是实数，
∴(ax-b)2≥0,(bx-c)2≥0．
∴ax-b=0,bx-c=0．
∴
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1怎样根据一元二次方程的一个根求另一个根？
答案：

方程有一根为零时，常数项必须为零；求解字母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先决条件．
【举一反三】

典例：一元二次方程(m－1)x2＋3m2x＋(m2＋3m－4)＝0有一根为零，求m的值及另一根．
思路导引：一般来说，此类问题根据“方程有一根为零时，常数项必须为零”这一条件列出关系式求解。因为方程有一根为零，所以它的常数项m2＋3m－4＝0，解得m1＝1，m2＝－4，又因为此方程是一元二次方程，所以m－1≠0，即m≠1，所以m＝－4．把m＝－4代入方程，得－5x2＋48x＝0，解得：x1＝0，x2＝9.6，所以方程的另一根为9.6．
标准答案：m＝－4；方程的另一根为9.6．
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www.注意：不可忽视二次项系数
【例1】已知方程（m－1）+2x－m=0是关于x的二次方程，则（　　）
(A)m=－3　　　(B)m=－1　　　(C)m=3或m=1　　　(D)m=－3或m=1
错解：由二次方程的概念，得
m2+2m－1=2,即m2+2m－3=0，
∴（m+3）(m－1)=0,
∴m=－3或m=1。
故选D。
【错解分析】由二次方程概念知，二次项系数不为零，m－1≠0,
∴m≠1.
以上正是由于忽略了这一点，而误入陷阱。因此，正确的应该是选A。
【例2】
当m取何值时，关于x的方程mx2+2x=x2－5是一元二次方程？
错解：当m≠0时，mx2+2x=x2－5是一元二次方程.
【错解分析】错误原因是没正确理解一元二次方程的概念，判断一元二次方程必须先将方程化为一般形式.
正解：原方程可化为（m－1）x2+2x+5=0.
∵
m－1≠0，
∴
m≠1.
∴
当m≠1时，原方程是一元二次方程.
【例3】已知关于x的一元二次方程（k+4）x2+3x+k2+3k－4=0的一个根为0，求k的值.
错解：∵
方程（k+4）x2+3x+k2+3k－4=0的一个根为0.
∴
k2+3k－4=0.
解这个方程，得
k1=－4，k2=1.
【错解分析】错误原因是忽略“一元二次方程”的限制条件“k+4≠0”.
正解：∵
方程（k+4）x2+3x+k2+3k－4=0的一个根为0.
∴
k2+3k－4=0.
∴
k1=－4，k2=1.
又∵
原方程是关于x的一元二次方程，
∴
k+4≠0.
∴
k≠－4.
∴
k＝1
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1聚焦一元二次方程的两种解法
一元二次方程的解法是这一部分内容的重点．解法各有特点，只有准确把握，解方程时才会得心应手．直接开平方法适宜于解形如的方程；而因式分解法适合的方程是：一边为零而另一边易于分解成两个一次因式的积的方程(其依据是若ab=0，则a=0，或b=0)．在遇到不同形式的方程时，要根据方程的特点选择恰当的方法求解．掌握它的解法并不困难，但由于各种原因，同学们初学时会出现如下错误：
　例1
解方程x2＝4
　　误解：x＝2．
　　错误原因：对非负数的平方根的概念不清．
　　正确的解是x1＝2，x2＝-2．
　例2
解方程(x-1)2＝x-1
　　误解：x-1＝1，x＝2
　　错误原因：两边同除以含有字母的代数式，引起失根．
　　正确的解：(x-1)2-(x-1)＝0，(x-1)(x-2)＝0，∴x1＝1，x2＝2．
　例3
解方程x2-2x+1＝0
　　误解：(x-1)2＝0，∴x＝1．
　　错误原因：一元二次方程若有实数根，则必定有两个根．
　　正确的解：(x-1)2＝0∴x1＝x2＝1．
　例4
解方程：x2-3x＝0，
　　
　　
　　
方程的解就是“能使方程左右两边的值相等的未知数的值”．在方程没有解出之前，未知数x就是它的代表．解方程，就是通过“变”把方程的解“解放”出来，以致最终能成为x＝？的形式，而“变”的规则是必须使方程的解始终保持一样．解一元二次方程，首要的问题是通过变形把x解出，怎么变？除了分母、括号、系数等障碍以外，最重要的是次数！怎样把二次降成一次？或者开平方，或者分解因式，这是两种最基本的降次方法．
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1如何学好配方法
配方法是数学中一种很重要的思想方法，它的主要用途是用来求一元二次方程的解．那么怎样用配方法解一元二次方程？先让我们来看一个例子吧．
例
用配方法解方程4x2－12x－1=0．
分析：我们知道形如(x+a)2=b(b≥0)的方程可以用直接开平方法求解．如果方程4x2－12x－1=0能化成这种形式，不也就可以用直接开平方法求解了吗？通过观察，发现式子(x+a)2=b中等号左边为二次项系数为1的一个多项式的完全平方形式，右边为常数项，于是考虑先把方程4x2－12x－1=0的二次项系数化为1，再把常数项移到方程的右边，然后把方程左边配成完全平方形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
解：二次项系数化为1，得．移项，得．配方，得，即．两边开平方，得，即，．解得，．
由此可见，配方法是以完全平方公式为理论依据，以开平方法为目标的一个变形过程．其一般步骤为：（1）二次项系数不为1，先把二次项系数化为1即在方程两边同除以二次项的系数；（2）移项：使方程左边只含二次项与一次项，右边为常数项；（3）配方：在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x+a)2=b的形式；（4）当b≥0时，再用开平方法解变形得到的这个方程．
用配方法求一元二次方程的解时，常出现“①对于二次项系数不为1的方程，没有把二次项系数化为1，就直接进行配方；②配方时，没有在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．”这两个方面的错误．
错解1：移项，得4x2－12x=1．配方，得4x2－12x+=1+，即．两边开平方，得x－6=．解得，．
剖析：用配方法解一元二次方程时，若二次项系数不为1，应先把它化为1，再进行配方．错解1未做好这一准备工作就急于配方而致错．
错解2：二次项系数化为1，得．移项，得x2－3x=．配方，得x2－3x+=+，即，解得．
剖析：用配方法解方程的关键是配方，而配方的核心待原方程的左边化为“x2+bx”的形式后，在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，使方程的左边变为完全平方式．错解2只在方程的两边加上一次项系数一半，而没有把一半平方．
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1配方法解一元二次方程
解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程“降次”为两个一元一次方程.通过解两个一元一次方程，到达求解的目的.而配方法是解一元二次方程的基础方法，且又是一种重要的方法，下面让我们一起来理解配方法在解一元二次方程中的应用.
1．知识点拨
配方法:通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.
配方法的基本思想：通过配方来降次,将方程转换为(x+n)2=P(P≥0),进而转化为x+n=达到求解的目的.
配方的基本步骤:①方程两边同除以二次项的系数,将二次的系数化为1;②移项:把常数项单独移到方程的右边;③配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,把原方程化为(x+n)2=P(P≥0);④求解:将方程(x+n)2=P(P≥0)化为两个一元一次方程:x+n=,进而求出方程的解.
2．应用体验
例1
用配方法解方程x2+10x-8=0.
分析:方程的特点是二次项的系数等于1,可以先移项,再配方求解.
解:移项,得x2+10x=8,
配方,得x2+10x+52=8+52,
即(x+5)2=33,
所以x+5=±
所以x1=-5+,x2=-5-
点评:配方的关键是方程两边加上一次项系数的平方的一半.
例2
用配方法解方程-x2+x+2=0。
分析：观察方程的特点可知，二次项的系数不为1，可在方程的两边同乘除-2，将二次项的系数化为1，然后再配方求解。
解：化二次项系数为1，得x2-2x-4=0，
移项，得x2-2x=4，
方程的两边都加上一次项系数一半的平方，得x2-2x+1=4+1，
即(x-1)2=5,
所以x-1=,
所以x1=1+,x2=1-.
点评:本题求接的关键是将二次项系数化为1.
3.
亲自尝试
(1)
用配方法解方程2x2-12x-182=0.
(2)
用配方法解方程x(x+4)=8x+12.
答案:
(1)
x1=13,x2=-7;
(2)
x1=6,x2=-2.
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1专题练习：一元二次方程根与系数的关系
知识考点：
掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。
经典例题：
【例1】关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是
；＝
。
分析：设另一根为，由根与系数的关系可建立关于和的方程组，解之即得。
答案：，－1
【例2】、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）
（2）
（3）
略解：（1）＝＝
（2）＝＝
（3）原式＝＝＝
【例3】已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值。
分析：有实数根，则△≥0，且，联立解得的值。
略解：依题意有：
由①②③解得：或，又由④可知≥
∴舍去，故
探索与创新：
【问题一】已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问：与能否同号？若能同号请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由。
略解：由≥0得≤。，≥0
∴与可能同号，分两种情况讨论：
（1）若＞0，＞0，则，解得＜1且≠0
∴≤且≠0
（2）若＜0，＜0，则，解得＞1与≤相矛盾
综上所述：当≤且≠0时，方程的两根同号。
【问题二】已知、是一元二次方程的两个实数根。
（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
（2）求使的值为整数的实数的整数值。
略解：（1）由≠0和△≥0＜0
∵，
∴
∴，而＜0
∴不存在。
（2）＝＝，要使的值为整数，而为整数，只能取±1、±2、±4，又＜0
∴存在整数的值为－2、－3、－5
跟踪训练：
一、填空题：
1、设、是方程的两根，则①＝
；②
＝
；③＝
。
2、以方程的两根的倒数为根的一元二次方程是
。
3、已知方程的两实根差的平方为144，则＝
。
4、已知方程的一个根是1，则它的另一个根是
，的值是
。
5、反比例函数的图象经过点P（、），其中、是一元二次方程
的两根，那么点P的坐标是
。
6、已知、是方程的两根，则的值为
。
二、选择题：
1、如果方程的两个实根互为相反数，那么的值为（
）
A、0
B、－1
C、1
D、±1
2、已知≠0，方程的系数满足，则方程的两根之比为（
）
A、0∶1
B、1∶1
C、1∶2
D、2∶3
3、已知两圆的半径恰为方程的两根，圆心距为，则这两个圆的外公切线有（
）
A、0条
B、1条
C、2条
D、3条
4、已知，在△ABC中，∠C＝900，斜边长，两直角边的长分别是关于的方程：的两个根，则△ABC的内切圆面积是（
）
A、
B、
C、
D、
5、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于的方程：的根，则的值为（
）
A、－3
B、5
C、5或－3
D、－5或3
三、解答题：
1、证明：方程无整数根。
2、已知关于的方程的两个实数根的倒数和等于3，关于的方程有实根，且为正整数，求代数式的值。
3、已知关于的方程……①有两个不相等的实数根，且关于的方程……②没有实数根，问：取什么整数时，方程①有整数解？
4、已知关于的方程
（1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设、是方程的两根，且，求的值。
5、已知关于的方程只有整数根，且关于的一元二次方程的两个实数根为、。
（1）当为整数时，确定的值。
（2）在（1）的条件下，若＝2，求的值。
6、已知、是关于的一元二次方程的两个非零实根，问：、能否同号？若能同号，请求出相应的取值范围；若不能同号，请说明理由。
参考答案
一、填空题：
1、①2；②；③7；
2、；3、±18；
4、2，2；
5、（－2，－2）
6、43；
二、选择题：ABCDA
三、解答题：
1、略证：假设原方程有整数根，由可得、均为整数根，
∵
∴、均为奇数
但应为偶数，这与相矛盾。
2、，
3、
4、（1）；（2）
5、（1）＝0，－1；（2）当＝0时，；当时，
6、能同号，≤且≠0
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5配方法的几何解释
课本中，我们利用了配方法解一元二次方程．实际上，配方法不仅可以用来解一元二次方程，在其他方面还有很多应用．
配方法，顾名思义，就是利用添项或拆项的方法，结合已有项，构造完全平方式．回顾以往知识，我们曾经利用图形面积验证完全平方公式，那么，能否也用图形面积解释配方法解方程的过程呢？
下面我们用几何方法来求方程x2＋10x＝39的解，把x2＋10x解释为右图中多边形ABCDEF的面积，为了求出x，我们考虑把这块图形补成一个正方形，为此必须补上正方形DCGE．从图中可以看出，正方形DCGE的面积为52（它恰好等于原方程中一次项系数一半的平方），由于整个正方形的面积为39＋25＝64，可知这个正方形的边长为8，又由图形可知边长为x＋5，故x＝3．
这里，我们直观地看到了配方的几何意义．但求得的解是不完备的，你发现问题了吗？对了，受几何图形的限制，我们只能求出方程的正数解．
B
A
C
D
E
F
G
5
x
x
5
52
x2
5x
5x
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www.配方法重点讲解
一、何谓配方法
配方法就是将一个一元二次方程通过配方，将其转化为的形式，当时，即可运用直接开平方法求得一元二次方程的解。
配方法不仅是解一元二次方程的一个重要且基本的方法，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
二、配方法的理论依据
配方法的理论依据是完全平方公式：。用代替公式中的，则有。
应用时要注意等号左右两边的特征：左边是关于的二次三项式，且二次项的系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方，即。
三、注意事项
在把二次三项式中二次项的系数化为1和常数项化为平方形式时，要时刻注意保持恒等变形。
四、应用举例
例1
证明关于的方程，不论为何值，该方程都是一元二次方程。
证明：。
，。
不论为何值，都有。
不论为何值，关于的方程都是一元二次方程。
说明：⑴在解形如把配方的这类问题时，需要注意：将二次项的系数化为1时，应根据乘法的分配律各项都提出2，而不是将各项都除以2。提出2是恒等变形，原式的值没有改变；都除以2是运算变形，原式的值改变了。⑵对二次项系数为1的二次三项式配方时，需要加上“一次项系数一半的平方”。但要注意：为了使代数式的值不变，必须再减去这个“一次项系数一半的平方。”
例2
用配方法解下列方程：
⑴；⑵。
分析：方程⑴的系数已经是1，所以直接移项、配方、求解即可；方程⑵则需要先将二次项的系数化为1。
解：⑴移项，得。
配方，得，即。
。，。
⑵请同学们完成。答案：，。
说明：⑴系数化为1是用配方法解一元二次方程的首要步骤，要保证其正确性；
⑵配方法解一元二次方程的关键步骤是：方程左右两边都加上一次项系数一半的平方。
⑶一次项系数的符号决定了方程左边的完全平方式中，是两数差的平方还是两数和的平方。
例3
已知，求的值。
分析：仔细观察方程左边代数式的特征，可以发现，通过配方可将原式化为两个非负数之和为0的形式，然后根据非负数的性质来解答。
解：原式可化为，即。
，，。
例4
若，求关于的一元二次方程的解。
分析：因为二次项的系数中含有字母，又已知该方程为一元二次方程，所以求解时应注意使二次项的系数不为0。
解：，。
又该方程为一元二次方程，，，。
原方程可化为。化简，得。配方，得。
，，，。
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1怎样利用因式分解法解一元二次方程
？
答案：
当把一元二次方程的一边化为0，而另一边可以分解成两个一次因式的积时，就可以用因式分解法来解这个方程。要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0。
【举一反三】
典例：解方程
1.x2－25=0
2.(x+1)2=(2x－1)2
3.x2－2x+1=4
4.x2=4x
思路导引：一般来说，此类问题应先转化为一般式，再进行因式分解。
1.解：(x+5)(x－5)=0
∴x+5=0或x－5=0
∴x1=5,x2=－5
2.解：(x+1)2－(2x－1)2=0
(x+1+2x－1)(x+1－2x+1)=0
∴3x=0或－x+2=0，∴x1=0,x2=2
3.解：x2－2x－3=0
(x－3)(x+1)=0
∴x－3=0或x+1=0，
∴x1=3,x2=－1
4.解：x2－4x=0
x(x－4)=0
∴x=0或x－4=0，
∴x1=0,x2=4
标准答案：（1）x1=5,x2=－5（2）x1=0,x2=2（3）x1=3,x2=－1（4）x1=0,x2=4
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www.韦达与韦达定理
数学在许多人眼里是很抽象、复杂的，但在这些复杂现象的背后却往往有着非常和谐、自然的规律，如果能更多地理解和掌握这些规律，就会对数学有更深刻的认识。很多迷恋数学的人就是被数学的这一特点所吸引，韦达便是其中的一员。
韦达于1540年生于法国普瓦图地区，1560年就读于法国普瓦图大学，是大学法律系的毕业生。毕业后长期从事法律工作，一直到1603年去世，数学始终是韦达的业余爱好，并且达到了酷爱的程度。
韦达研究二次方程时，已经注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根。由于时代的局限，他当时没能从理论上证明它，但他的数学思想和他的数学著作都大大充实了数学宝库。1615年(此时，韦达已逝世12年，这些著作是由后人整理的)发表的韦达的著作《论方程的整数与修正》是一部方程论的专著，书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系。其中不仅包括一元二次方程的根与系数的关系，还包含了一元n次方程根与系数的关系：
　　如果一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的n个根是x1,
x2,
…,
xn,
那么
　　
　　人们为了纪念他，把这个关系称为“韦达定理”。
　　一元二次方程根与系数的关系，就是上述定理在n=2时的情况。
下面是关于韦达的两则趣事。
与罗门的较量：比利时的数学家罗门曾提出一个45次方程的问题向各国数学家挑战。法国国王便把该问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出了22解。答案公布，震惊了数学界。韦达又回敬了罗门一个问题。罗门苦思冥想数日方才解出，而韦达却轻而易举地作了出来，为祖国争得了荣誉，他的数学造诣由此可见一斑。
韦达的“魔法”：在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分恼火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”。原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权。另外，韦达还设计并改进了历法。所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底。
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1邑方几何
在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：
“今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何。”
题目大意是：有一方城，四边正中各有一门，距北门20步处有一树木。出南门南行14步，再转向西行1775步，刚好看到树木。求方城边长。
A
D
H
G
E
K
F
B
C
图中HA=20步，KC=14步，CB=1775步，求FG
设FG=x
根据题意，RtAHD∽RtACB
因此有
即
x2+34x-71000=0
解得x1=250,
x2=-284(不合，舍去)
所以方城的边长为250步。
从上面可以看到其实此题是一个可化为一元二次方程的分式方程的求解问题。解可化为一元二次方程的分式方程的方法，与解可化为一元一次方程的分式方程的方法是相同的。通常是先去分母化为一元二次方程，然后再解出原方程的根。
下面是大数学家欧拉的《代数引论》里的一个有趣的题目，你能解决吗
？
两个农妇共带100个鸡蛋上市。两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同。第一个农妇对第二个农妇说：“如果咱们两人的鸡蛋交换，我可以卖15个克罗索（德国古代的一种货币）。”第二个农妇答道：“可是如果咱们俩的鸡蛋交换，我就只能卖得20/3个克罗索。”试问：这两个农妇各带了多少个鸡蛋
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-
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-怎样讨论一个整式方程是否是一元二次方程？
答案：
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．如果不是一般形式，则化为一般形式进行讨论。
【举一反三】
典例：关于x的整式方程(m－1)x2＋(2m－1)x＋4＝0是一元二次方程吗
思路导引：一般来说，要判别原方程是否是一元二次方程，易想到用定义，满足条件：(1)整式方程；(2)方程中只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数2．原方程显然满足(1)、(2)．由于不知m是怎样的实数，所以不一定满足(3)．因此，需分类探讨．当m－1≠0，即m≠1时，原方程是一元二次方程．当m－1＝0，即m＝1时，原方程是x＋4＝0是一元一次方程．
标准答案：当m≠1时，原方程是一元二次方程．当m＝1时，是一元一次方程。
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www.如何
“变形换元”配方？
答案：

解较为复杂的一元二次方程时，可用一个未知数代替方程中的一个整式，将原方程转化为一个较简单的一元二次方程，再求解。
【举一反三】
典例：用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
思路导引：一般来说，此类问题需要变形换元。因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．设6x+7=y，则3x+4=y+，x+1=y-，依题意，得：y2（y+）（y-）=6，去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72，y2（y2-1）=72，
y4-y2=72，y2-）2=，y2-=±，
y2=9或y2=-8（舍），
∴y=±3，当y=3时，6x+7=3
6x=-4
x=-；当y=-3时，6x+7=-3
6x=-10
x=-，所以，原方程的根为x1=-，x2=-。
标准答案：原方程的根为x1=-，x2=-
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www.用公式法、分解因式法解方程的误区
公式法、分解因式法是解一元二次方程的两种重要的方法，熟练掌握这两种方法非常重要.为了帮助你学好这两种解法，现就解题中易出现的错误分析如下：
一、应用公式法时，忽视a、b、c的符号.
例1
解方程2x2-6x=1.
错解：因为a=2，b=6，c=1，
所以b2-4ac=36-8=28>0，
所以x1=，
x2=.
所以方程的解为x1=，x2=.
分析：错解在运用公式法解一元二次方程时，将b、c的符号搞错.用公式法解一元二次方程，先将方程化为一般形式，然后再确定a、b、c的值，最后代入求根公式.
正解：将方程化为一般形式为：2x2-6x=1=0，
这里a=2，b=-6，c=-1，
b2-4ac=(-6)2-4×1×(-1)=40，
所以x1=，x2=.
提示：一元二次方程是解决实际问题中的一种重要的工具，而解方程又是本章的一个重要组成部分，是列一元二次方程解实际的基础，应熟练理解其解法，避免出现解题过程中的错误.
二、理解不透，公式用错
例2
解方程2x2-3x=2.
错解：因为a=2，b=-3，c=-2，
所以x=，所以x1=1，x2=-4.
剖析：利用公式法解一元二次方程，要熟练掌握公式的特征，错解没有理解公式的特征，当b=-3时，出现了-b=-3的错误，且分母中的2a，当a=2时，2a=4，而错解等于2了.
正解：a=2，b=-3，c=-2，
所以x1==2，x2=
提示：利用公式法解方程的关键是正确找出a、b、c的值，且熟练把握公式的特征.
三、解法混淆，求解不当
例3
解方程(2x-1)(3x+2)=1.
错解：
由方程，得2x-1=1或3x+2=1，解得x1=1，x2=-.
剖析：
错解在对分解因式法解决一元二次方程理解不对.用分解因式法解一元二次方程，右边必须为0，左边是两个一次因式积的形式.而已知方程是右边是1.本题要将方程化为一般形式，然后选择恰当的解法.
正解：方程化为6x2+x-3=0，
利用公式，得x1=，x2=.
提示：
解一元二次方程的基本方法有三种，根据方程的不同特点可选择恰当的方法.无论用哪种方法求解，最好把求到的解代入原方程检验一下，这样可以避免错误.
四、违背性质
出现失根
例4
解方程2x(x-3)=3(x-3).
错解：方程两边都除以x-3，得2x=3，所以x=，即原方程的解为x=.
剖析：我们知道一元二次方程若有实数根，则实数根有两个.错解在解方程两边同除以含有未知数的整式.求到方程的一个根，造成失根现象.
正解：
方程化为(x-3)(2x-3)=0，解得x1=3，x2=.
提示：一元二次方程的根一般分三种情况：
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)没有实数根.当求到一个实数根时，应考虑可能出现失掉一个根.
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1应用例析：一元二次方程根与系数的关系
对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
　　分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
　解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴
解得；
∵方程（2）没有实数根，
∴
解得；
于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是
其中，的整数值有或
当时，方程（1）为，无整数根；
当时，方程（1）为，有整数根。
解得：
所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
　　说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
　　例1：不解方程，判别方程两根的符号。
　　分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定
或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定
或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，
∵＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
　
例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
　　分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
　　解法一：把代入原方程，得：
　　
　　即
　　解得
　　当时，原方程均可化为：
　　，
　　解得：
　　∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
　　解法二：设方程的另一个根为，
根据题意，利用韦达定理得：
，
∵，∴把代入，可得：
∴把代入，可得：
，
即
解得
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有两个实数根，
　　∴△
　　解这个不等式，得≤0
　　设方程两根为
　　则，
　　∵
　　∴
　　∴
　　整理得：
　　解得：
　　又∵，∴
说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。
四、运用判别式及根与系数的关系解题。
　　例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，
　　解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，
∴则有
∴
又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：
假设、同号，则有两种可能：
（1）
（2）
若，
则有：
；
即有：
解这个不等式组，得
∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若
，
则有：
即有：
解这个不等式组，得；
又∵，∴当时，两根能同号
说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。
六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。
例：已知、是方程的两个实数根，求的值。
分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。
解法一：由于是方程的实数根，所以
设，与相加，得：
）
（变形目的是构造和）
根据根与系数的关系，有：
，
于是，得：
∴=0
解法二：由于、是方程的实数根，
∴
∴
说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。
　　有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。
七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。
例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。
分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。
解：设两方程的相同根为，
根据根的意义，
有
两式相减，得
当时，
，方程的判别式
方程无实数解
当时，
有实数解
代入原方程，得，
所以
于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为
说明：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：
当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；
（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
且
另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。
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2用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
答案：
用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；(2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．
【举一反三】
典例：用配方法解方程x2-2x-8=0;
思路导引：一般来说，通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程.移项，得x2-2x=8,x2-2x+1=9,配方，得(x-1)2=9.解这个方程，得x-1=±3,
即x1=4,x2=-2.
标准答案：x1=4,x2=-2.
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1
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www.配方法学习问答
甲：配方法是一种什么方法？
乙：配方法是运用配方进行解题的方法．
甲：配方是怎么一回事？是不是象医药师把几种药配成一个方子？
乙：不！配方，顾名思义，这里的方是指平方，配方就是要把一个式子配成完全平方的形式，其做法和医药师搭配药方的确有点类似，你知道医药师是如何配方的吗？
甲：我只知道他是将几味可以搭配的中草药凑合在一起．
乙：医药师配方时就是把几味可以搭配的草药凑合在一起，形成了一个方子．在我们数学中的配方也是要把几个可以搭配的式子凑合在一起，形成一个完全平方．
甲：能不能举个例子？
乙：例如，在多项式中，你说哪几项可以搭配成完全平方式？
甲：第一、三、四项吧？
乙：正是这三项，把它们搭配在一起，变为．然后把括号内这三项配成完全平方，又变成了，这就是配方．
甲：配方的关键是什么呢？
乙：配方的关键是找出可以搭配成方的三项，然后运用完全平方公式把它们配成．
甲：对于，如何找出可以搭配成方的三项呢？
乙：这三项直接搭配显然不成方是吧？
甲：是啊，我也这样想的，那该怎么办呢？
乙：如果把1换作9那怎么样？
甲：把1换作9，这三项就是，它们恰好等于，太妙了！可这里是1而不是9呀？
乙：天上要是掉下个9那又如何？
甲：天上要是掉下个9，此时变成了，再把第一、二、四项搭配组成，然后配成，那可真是天助我也！但此时……
乙：此时怎么样？
甲：不大合适吧？
乙：为什么？
甲：与原式不相等呀？
乙：对！配方追求的是公正、公平、平等的完美变形，象这种与原式不相等的变形不能称之为配方．那你想一想：如何让与原式相等呢？
甲：比多了个9．啊！对了，只须再把减去9就可以了．
乙：对极了．你能不能把这个配方过程写出来？
甲：没问题，你看：
＝＝．
乙：很好！现在你对配方还有什么问题吗？
甲：我想这一题还有另一种配法？
乙：还有新的配法？你说说看．
甲：你看：
＝．
乙：错了！
甲：怎么会呢？
乙：看来你对配方还没有真正的理解．配方一般是对二次三项式而言的，把写成这种形式才叫做配方．这里的是常数．
甲：不也是这种形式吗？
乙：形式没有错，可这里的却不是常数．
甲：你是说配方后，带平方后面那个尾巴不能带字母？
乙：是的．
甲：那象如何配方呢？
乙：这已经是配方的形式了．
甲：它怎么和你说的这种形式不同呢？
乙：你说哪里不同？
甲：这种形式带有括号，而却没有．
乙：你如果喜欢它带括号就让它带上嘛，你看：，这不是一样吗？
甲：啊，原来如此．对于一般的二次三项式的配方，可有公式能够套用？
乙：有．我们只须把系数的值代入中进行计算就得到的配方形式．
甲：这个公式是怎么推出来的？
乙：有两种办法．第一：
＝
＝
＝
＝．
甲：这种推导太复杂了，有没有简单一点的？
乙：你看：
．
是不是简单些？
甲：的确简单些．可还是复杂．你能不能告诉我配方的要领？不然这两个公式太难记了．
乙：是的．这两个公式的确不好记．我建议你去读一读《甲乙对话配方法和求根公式》那篇文章，读后也许就明白了．
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1如何根据一元二次方程的根求值？
答案：
方程的根是能使方程两边相等的未知数的值，即把根代入原方程，则方程两边相等。
【举一反三】
典例：若x=1是关于x的一元二次方程a
x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2011a+b+c的值
思路导引：一般来说，如果一个数是方
( http: / / www.21cnjy.com )程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到。把x=1代入到原方程中得a+b+c=0，2011a+b+c=20110=1
标准答案：1什么是一元二次方程？
答案：
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
【举一反三】
典例：指出下列方程中哪些是一元二次方程：
(1)5x2＋6＝3x(2x＋1)；(2)8x2＝x；(3)y3－y－1＝0；
(4)4x2－3y＝0；(5)－x2＝0；(6)x(5x－1)＝x(x＋3)＋4x2．
思路导引：一般来说，判断一个方
( http: / / www.21cnjy.com )程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，化成一般形式，然后再根据条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2．只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程．
解：(1)去括号，得5x2＋6＝6x2＋3x，移项、合并同类项，得x2＋3x－6＝0，
∴此方程是一元二次方程．
(2)移项，得8x2－x＝0，∴此方程是一元二次方程．
(3)因为未知数的最高次数是3，∴此方程不是一元二次方程．
(4)∵方程中含有两个未知数，∴它不是一元二次方程．
(5)∵a＝－1≠0，∴它是一元二次方程．
(6)整理，得4x＝0，∴它不是一元二次方程．
标准答案：（1）（2）（5）是一元二次方程，（3）（4）（6）不是一元二次方程。4
用因式分解法求解一元二次方程
阅读资料库：
故事:追求忘我
不要把自己当作鼠，否则肯定被猫吃。
１８５８年，瑞典的一个富豪人家生下了一个女儿。然而不久，
孩子染患了一种无法解释的瘫痪症，丧失了走路的能力。一次，女孩和家人一起乘船旅行。船长的太太给孩子讲船长有一只天堂鸟，她被这只鸟的描述迷住了，极想亲自看一看。于是保姆把孩子留在甲板上，自己去找船长。孩子耐不住性子等待，她要求船上的服务生立即带她去看天堂鸟。那服务生不知道她的腿不能走路，而只顾带着她一道去看那只美丽的小鸟。奇迹发生了，孩子因为过度地渴望，竟忘我地拉住服务生的手，慢慢地走了起来。从此，孩子的病便痊愈了。女孩子长大后，又忘我地投入到文学创作中，最后成为第一位获诺贝尔文学奖的女性，也就是茜尔玛．拉格萝芙。
温馨提示：忘我是走向成功的一条捷径，只是在这种坏境中，人才会超越自身的束缚，释放出最大的能量。
(二)今天，教师应该怎样上课
我认为，教师主要应具备三种能力，即更新自我的能力、教会学生学习的能力和科学评价学生的能力。这三种能力都会集中表现在课堂教学中。今天，我们教师应该怎样上课？应该怎样使教师的能力在课堂教学中有效地发挥出来？应该怎样评价教师的课堂教学？下面，我从教学管理的角度，谈谈我的认识，供教育管理者评价教师课堂教学工作时参考。
一、课堂教学要有“三声”
课堂是教师工作、学生学习的主阵地，怎样构建高效课堂，怎样提高课堂教学质量，是每一名教师所追求的基本目标。有一次，我问一位很优秀的教师：“你上课成功的最大秘诀是什么？”那位教师告诉我：“课堂教学中，当我的心与学生的心融在了一起，教学肯定成功！”这位教师的话对我们很有启发，课堂教学的效率，实际上就表现在教师“用心”教和学生“用心”学上。师生之心相融，才能实实在在地获得教学的成功。
在课堂教学中，怎样做到师生心心相融呢？我提倡，课堂教学要有“三声”：
1、课堂教学中要有“笑声”
我们有些教师上课，严肃有余，活泼不够。课堂“火药”味太浓。课堂上教师老绷着脸，想用严厉来镇住学生。有时课堂上会出现斥责声、挖苦声，甚至出现哭声（不是感动）。可想而知，这样的课堂，教学活动只会停滞或低效。课堂教学中要有“笑声”，我们要懂得，师生之笑能舒缓紧张情绪，激发师生教学的积极心态，形成和谐的教学氛围。教师要树立欢乐课堂的观念，使课堂有教学内容引发的笑声；有教学情境设置引发的笑声；有教师幽默语言引发的笑声；有学生机敏语言动作引发的笑声。。。。。。有笑声的课堂，师生关系和谐，学生注意力集中，学生学习参与度更大。我认为，每一节课，教师至少要让学生笑一次。心理学研究证明，人在快乐中学习，学习更主动，接受知识更快。有笑声的课堂教学，教学效率会更高。
2、课堂教学中要有“赞美声”
我们有些教师上课，习惯于做“纠错”的工作（这也是必要的）,教学中经常出现“批评声”、“叹息声”，这样容易造成学生“无声”。其实，课堂就是学生出错的地方，教师要允许学生出错，如果没有错，那就不需要教学了。教学中，我们要改变那种一味批评纠错的方式，用激励赞扬之声来促使师生进入教学的积极兴奋状态。课堂教学中要有“赞美声”，教学中要有师生对教学内容的赞美；要有教师对学生学习进步和取得成绩的赞美；要有学生对教师精湛教学技艺的赞美；要有学生对学生学习创新的赞美……这些“赞美”，催发师生学习进取精神，激活师生沉淀的潜力，提高师生的美感品位。这样教学，使教学的内涵更加丰富，师生教学互动更为融洽，必将提高教学的有效性。
3、课堂教学中要有“惊讶声”
我们有些教师上课，比较注重教学任务按部就班地完成，但教学没有特点，少有亮点。有的教师只强调学生的机械记忆（对某些知识是必需的），容易使学生产生学习上的“枯燥感”，学习缺乏激情。课堂教学中要有“惊讶声”，我们要明白，每一教学内容必有令学生“惊讶之处”。这要看教师是否能够挖掘教学内容并巧妙设置情景。教师本身也能呈现“惊讶之举”，这要看教师是否具有较高的素质并拿出教学绝活。“好奇”是孩子们的天性，课堂教学要激发学生的惊奇感，要引发学生的惊讶声。这样的教学，能够引导学生学习自觉性，培养学生的探索精神，启迪学生的创新意识。有惊讶声的课堂，教学质量一定很高。
课堂教学中的“三声”，能够拉近教师与学生的距离，使教师与学生心心相通，心心相融。这时的教学定能迸发出成功的火花！
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1学习一元二次方程概念的常见误点展示
1、判定方程是否为一元二次方程时，忽略a≠0的条件
例1、m为何值时，方程
( http: / / www.21cnjy.com )是关于x的一元二次方程。
错解：要使方程是关于x的一元二次方程，则x的最高次幂是2，即m2－2=2，解得m=±2，因此，当m=±2时，原方程是关于x的一元二次方程。
剖析：此解犯了顾此失彼的错误，没有考虑二次项系数m+2≠0这一条件，事实上，当m=－2时，原方程为一元一次方程，并非一元二次方程。
正解：要使方程是关于x的一元二次方程，则x的最高次幂是2，且二次项系数不为零，即
( http: / / www.21cnjy.com )解得m=2，因此，当m=2时，原方程是关于x的一元二次方程。
点评：a≠0是一元二次方程一般形式中的一个重要组成部分，因为方程ax2+bx+c=0只有a≠0时，才是一元二次方程。
2、确定一元二次方程各项系数时，不将方程化为一般形式或漏写符号
例2、确定一元二次方程3x2=5x－1各项的系数。
错解一：二次项系数为3，一次项系数为5，常数项为－1。
错解二：将原方程化为3x2－5x
+1=0，所以二次项系数为3，一次项系数为5，常数项为1。
剖析：错解一是没有将方程化为一般形式
( http: / / www.21cnjy.com )；错解二虽然将方程化为了一般形式，但在确定系数时，忽略了前面的“－”，这两个错误都是同学们初学时常犯的错误，希引以为戒，杜绝重蹈覆辙。古诗文与一元二次方程
在《九章算术》及其它古代文献中有很多的方程应用型问题，题的内容来自生活，新颖有趣，有很高的数学价值和欣赏价值．本文列举几例供同学们赏析．
例1
《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”
大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？
解：如图1所示，设甲、乙二人出发后时相遇，根据题意，得
，其中．
则由勾股定理，得．
解这个方程，得（舍去）．
那么甲走的路程是：（步）；
乙走的路程是：（步）．
例2
《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”
大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？
解：如图2所示，设门的宽为尺，则高为尺，
根据题意，得．
即．
解此方程，得（舍去）．
此时．
所以门高为尺，门宽是尺．
例3
印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起．”
大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？
解：设猴子总数为只，根据题意，得，
解此方程，得．
所以，猴子总数为只或只．
下面请欣赏一道借用苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》的头两句改编而成的中考试题（江西赣州），本题强调对古文化诗词的阅读理解，贯通了数学的实际应用，不失为一道有创新的应用型好题．
例4
解读诗词（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物，
而立之年督东吴，早逝英年两位数，
十位恰小个位三，个位平方与寿符，
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设周瑜去世时年龄的个位数字为，则十位数字为，
根据题意，得，所以．
当时，年龄为，非而立之年，舍去；当时，年龄为，合题意．
点评：在课改春风的吹拂下，中考试题不断进行创新是一道亮丽的风景线，并且还出现了如上例的文笔灵动的文史背景综合题，知识的综合性考查再次得以提升，望同学们仔细体会．
图2
1丈
甲
乙
北
东
图1
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2一元二次方程根与系数的关系的5种应用
一元二次方程根与系数的关系的应用是初中数学的重点内容，也是中考必考的热门内容．与“一元二次方程根与系数的关系”有关的题型形式灵活多样，常见的形式有下面5种，要求同学们要熟练掌握．
一，已知两根求作新方程
例1，求一个一元二次方程，使它的两根为、，且满足，．
答案：x2+4x+3=0或x2－4x+3=0
解析：由，可得，又因为，所以，，所以此方程为：x2+4x+3=0或x2－4x+3=0
二，已知关于两根关系式的值，求系数．
例2，如果关于x的方程x2+mx+1=0的两个根的差为1，那么m等于（　　）
A．±2
B．±
C．±
D．±
答案：C
解析：根据题意，方程的两根、，满足－＝１（设＞），所以（－）2＝１2，得．又因为，根据根与系数的关系，
，，所以，所以m=±
三，已知一元二次方程，求两根关系式的值
例3，已知、是方程的两个根，那么的值是（　　）
A．1
B．5
C．7
D．
答案：C
解析：根据根与系数的关系，
，，又因为=，所以=7．
四，已知一根，求另一根及系数
例4，已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)
x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．
解析：设方程的另一根为x，由根与系数的关系：2
x=－6，解得
x=－3．
由根与系数的关系：－3+2=
k＋1，所以k=－2.．
五，知两数和，两数积，求两数
例5，已知，两数和为8，两数积是7，求这两数．
答案：1和7
解析，根据根与系数的关系，这两数是方程-8x+7=0的两根，
解得，x=1，
x=7，所以这两数是1和7．
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1中考中的一元二次方程
一元二次方程的有关知识是初中代数中的重点内容，以一元二次方程为背景的中考题更是推陈出新．本文以近年中考试题，将其考点作简要分析，供同学们学习参考．
考点一、有关概念定义问题
例1
已知是关于的一元二次方程，则有（
）
．
．
．
．为任意实数
解：由一元二次方程的定义知
，即．选．
例2
已知关于的方程的一个根是，则另一个根是
，=
．
简解：将代入求得，从而求得另一个根为．
评注：
一元二次方程有关概念定义问题通常有两种情形：一是考查一元二次方程的定义，此时要注意二次项系数这一条件；二是考查一元二次方程根的定义，一般有正用、逆用两种题型．
考点二、有关方程的解法问题
例3
方程的根是
．
解：(因式分解法)原方程得．
例4
方程的解为
(
)
．
．
．
．
解：(直接开平法)，由原方程得，
．选．
评注：有关方程的解法要求根据方程的特点灵活选用具体方法，讲究解法技巧，讲究准确、迅速．
考点三、有关根的的判别式问题
例5
下列方程有实数根的是
(
)
．
．
．
．
简解：通过计算各方程“”的值，选．
例6
已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．
简解：由题意，得
．
解得
．
评注：
一元二次方程的根的判别式主要有两个用途：一是不解方程，判断方程的根的情况（如例5）；二是利用方程的根的情况，确定方程中某一待定系数的取值范围（如例6）．
考点四、有关根与系数的关系问题
例7
已知方程的两根为，求的值．
解：，
∴．
例8
以为根的一元二次方程是
．
解：∵．
．
∴所求作的方程为．
评注：此类考题主要考查根与系数关系的定理及逆定理，并综合运用代数式恒等变形及配方等到数学思想方法的能力．
考点五、综合应用问题
例9
某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%，作为新产品开发的研究资金，该集团公司2002年投入新产品开发的研究资金是4000万元，2004年销售总额是7.2亿元，求该集团公司2002年和2004年的年销售总额的平均增长率．
解：设该公司2002年和2004年的年销售总额的平均增加率为x．
该公司2002年销售总额为
4000÷8%=50000(万元)=5(亿元)．
根据题意得5(1+)2=7.2
解得，因为不合题意，所以只取．
答：略．
评注：本题主要考查列方程解应用题的一般步骤及方法，是典型的增长率问题且十分贴近生活．
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用公式法求解一元二次方程
阅读资料库：
（一）、故事：
断箭
　　不相信自己的意志，永远也做不成将军。
春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打仗。父亲做了将军，儿子还是马前卒。又一阵号角吹响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地拖起一个箭囊，其中插着一只箭。父亲正重对儿子说：“这是家袭宝箭，佩带身边，力量无穷，但千万不可抽出来。”
那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾，一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作。儿子喜上眉梢，贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过，敌方的主帅应声折马而毙。
果然，佩带宝箭的儿子英勇非凡，所向披靡。当鸣金收兵的号角吹响时，儿子再也禁不住得胜的豪气，完全背弃了父亲的叮嘱，强类的欲望驱使着他呼地一声就拔出宝箭，试图看个究竟，骤然间他惊呆了。一只断箭，箭囊里装着一只折断的箭。“我一直刳着只断箭打仗呢！”儿子吓出可一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱的房子，轰然意志坍塌了。结果不言自明，儿子惨死于乱军之中。
拂开蒙蒙的硝烟，父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道：“不相信自己的意志，永远也做不成将军。”把胜利寄托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人，又多么危险！
温馨提示：自己才是一只箭，若要它坚韧，若要它锋利，若要它百步穿杨，百发百中，磨砺它，拯救它的都只有自己。
（二）、数学家华罗庚
“数学，如音乐一样，以奇才辈出而著称，这些人即便没有受过正规的教育也才华横溢。虽然华罗庚谦虚地避免使用奇才这个词，但它却恰当地描述了这位杰出的中国数学家。”──G·B·Kolata
华罗庚是一个传奇式的人物，是一个自学成才的数学家。
他1910年11月12日出生于江苏省金坛县一个城市贫民的家庭，1985年6月12日，中国数学届陨灭一颗巨星－华罗庚在日本讲学时不幸因心肌梗塞逝世了。
华罗庚是蜚声中外的数学家。他是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自守与多复便函数等多方面研究的创始人与开拓者。他的著名学术论文《典型域上的多元复变函数论》，由于应用了前人没有用过的方法，在数学领域内做了开拓性的工作，于1957年荣获我国科学一等奖。他研究的成果被国际数学界命名为“华氏定理”，“布劳威尔－加当－华定理”。华罗庚一生精勤不倦，奋斗不息，著作很多，研究领域很广。他共发表学术论文约二百篇，专著有《堆垒素数论》、《高等数学引论》、《指数和的估计及其在数论中的应用》、《典型群》、《多复变数函数论中的典型域的分析》、《数论引导》、《数值积分及其应用》、《从单位圆谈起》、《优选法》、《二阶两个自变数两个未知函数的常系数偏微分方程》、《华罗庚论文选集》等12部。
陈景润 （1933－1996）福建福州人，1953年毕业于厦门大学数学系，中国科学院数学研究所研究员。主要从事解析数论方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得国际领先的成果。50年代对高斯圆内格点、球内格点、塔里问题与华林问题作了重要改进。60年代以来对筛法及其有关重要问题作了深入研究，1966年5月证明了命题“1＋2”，将200多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步。这一结果被国际上誉为“陈氏定理”；其后又对此作了改进，将最小素数从原有的80推进到16，深受称赞。
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1《一元二次方程的根与系数的关系》学习要点
知识要点
1、若一元二次方程中，两根为，，则，
；补充公式
2、以，为两根的方程为
3、用韦达定理分解因式
例题
不解方程说出下列方程的两根和与两根差：
（1）
（2）
（3）
已知关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的的值；若不存在，说明理由。
已知方程，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。
解方程组
分解因式：
（1）
（2）
练习
在关于的方程中，
（1）当两根互为相反数时的值；
（2）当一根为零时的值；
（3）当两根互为倒数时的值。
求出以一元二次方程的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。
解方程组
分解因式
（1）=
（2）
聪明题
已知一元二次方程的两个实数根满足，，，分别是的，，的对边。
（1）证明方程的两个根都是正根；
（2）若，求的度数。
在中，，斜边AB=10，直角边AC，BC的长是关于的方程的两个实数根，求的值。
五、韦达定理的应用
1、已知方程的一个根，求另一个根和未知系数
2、求与已知方程的两个根有关的代数式的值
3、已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值
4、已知两数的和与积，求这两个数
5、已知方程的两根x1，x2
，求作一个新的一元二次方程x2
–(x1+x2)
x+
x1x2
=0
6、利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c
=
a(x－
x1)(x－
x2)
题1：
（1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍，则k=
_____
（2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=
__________
解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=
（1+2000a+a2
+6a)（1+2000b+b2
+5b)
=
6a 5b=30ab
解法二：由题意知
∵
a2
+2000a+1=0；
b2
+2000b+1=0
∴
a2
+1=－
2000a;
b2
+1=－
2000b
∴
（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a
－
2000a)（2005b
－
2000b)
=6a 5b=30ab
∵ab=1，
a+b=－200
∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（ab
+2006a+a2)（
ab
+2005b+b2)
=a(b
+2006+a)
b(
a
+2005+b)
=a(2006－2000)
b(2005－2000)
=30ab
解法三：由题意知
∵
a2
+2000a+1=0；
b2
+2000b+1=0
∴
a2
+1=－
2000a;
b2
+1=－
2000b
∴
（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a
－
2000a)（2005b
－
2000b)
=6a 5b=30ab
题2：
已知等腰三角形的两条边a,b是方程x2－（k+2）x+2
k
=0的两个实数根,另
一条边c=1，求k的值。
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1因式分解法重难点突破
一、会用因式分解法解特殊的一元二次方程
突破建议
1．首先注重课堂的引入，从实际问题出发，贴近学生的生活，激发学生的学习兴趣．
2．对于方程的解法给孩子们思考的空间，让他们从已有的知识出发，用配方法和公式法寻求方程的解，教师不要过于主观的马上给出因式分解法，剥夺了孩子思考的空间，使学习过于被动．
3．引导孩子观察方程的结构，从如果，则有或的结论得到启发，主动思考解决问题的过程，利用提取公因式的方法可以将方程化为两个一次项的乘积为零的形式．
4．通过一系列的相互联系的问题串，将学生零散的思维系统化，通过例题的进一步训练，学生加深对方法的理解，归纳出因式分解法解一元二次方程的一般步骤，突破难点．
二、学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程
突破建议
例　解下列方程：
（1）；
（2） .

解析：题目（1）学生可能会回答将括号打开，然后利用配方法或公式法，也有些学生会观察到如果将当作一个整体，利用提取公因式的方法直接就化为两个一次式乘积为零的形式．
题目（2）的方程需要先进行移项，将方程化为右侧等于零的结构，然后得到一个平方差的结构，利用平方差公式将一元二次方程化为两个一次式的乘积为零的结构．
在解题的过程中，通过对例题的完成，加深学生对解方程方法的理解：
1．学生能够体会到解一元二次方程的方法是不唯一的．
2．配方法和公式法适用于所有的方程，而因式分解法对并不适用于所有的方程．
3．遇到方程应该注意观察方程的结构，选择合理的方法，降低计算量，提高准确性．
4．虽然方法不同，但是三种方法的基本思想都是降次．
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1根据方程特点
选用最佳解法
我们学习了一元二次方程的三种解法：配方法、公式法和因式分解法．这三种方法各有千秋，在解一元二次方程时可根据方程的特点，选用最佳解法．
一、当一元二次方程的二次项系数为1，一次项的系数是偶数时，可考虑使用配方法．
例1　解方程（1）；
（2）．
解：（1）原方程配方得，
即，所以，
所以．
（2）方程化为，
配方，得，即，
所以，所以．
练一练：（1）；（2）．
二、如果一元二次方程缺少常数项，或方程的右边为0，左边很容易分解因式，可考虑用因式分解法．
例2
　解方程（1）；
（2）．
解：，所以或，
所以．
（2）方程化为，
即，，
所以，或，所．
练一练:：（1）；
（2）．
三、如果用以上两种方法都不易求解时，可考虑用公式法求解．
例3
　解方程（1）；
（2）．
解：（1）方程化为，
因为，
所以，
所以，所以，．
（2）方程化为，
这里，
，
所以，所以，．
练一练：解方程（1）；（2）．
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www.配方法的拓展与解析
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。配方法的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab。
配方法在数学的教与学中有着广泛的应用。在初中阶段它主要适用于：一元二次方程、二次函数、二次代数式的讨论与求解。经过几年的教学实践发现：很多情况下用配方法解一元二次方程或者求二次函数的顶点坐标要比用公式法简单实用。
在应用配方法解一元二次方程（ax2+bx+c=0）时有两种做法：
一种是先移走常数项，然后方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1，再两边同时加上一次项系数（除以二次项系数后的）一半的平方，把原方程化成(x＋m)=n(n≥0)的形式，再两边同时开方，把一元二次方程转化为一元一次方程。
典型例题：2x2+6x-3=0
解法1：移项得：2x2+6x=3
两边同时除以2得：
两边同时加得:
所以：
开方得：或
解得：
另一种方法是先移走常数项，然后通过“凑”与“配”进行配方。
解法2：移项得：2x2+6x=3
原方程变为：
即原方程化为：
两边同时开方得：或
解得：
与用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函数的顶点坐标时，要把二次项和一次项看作一个整体，提出（而不是除以）二次项的系数，再进行配方，但配方时与解一元二次方程的配方有所不同。
典型例题2：用配方法求的顶点坐标
解：
=
=
=
=
如上例，用配方法求二次函数顶点坐标时，不是等号两边同时加上一次项系数一半的平方，而是在中括号里加上一次项系数一半的平方，但为了保持原有的二次函数不变，必须在中括号里再减去一次项系数一半的平方。这是学生在以后学习用配方法求二次函数顶点坐标时经常与用配方法解一元二次方程相混淆的地方，也是学生经常出错的地方。
另外配方法在二次代数式的讨论与求解中应用也非常广泛。
典型例题3：用配方法证明:无论x为何实数，代数式的值恒大于零。
与用配方法求二次函数的顶点坐标类似，此题也是把二次项和一次项看作一个整体，并对其进行配方。解法如下:
∵
=
=＞0
∴无论x为何实数，代数式的值恒大于零。
典型例题4：若，求的值。
此题可以运用“裂项”与“凑”的技巧，把-20xy裂成-18xy与-2xy的和，来完成配方，并根据完全平方式为非负数的性质把二元二次方程化为二元一次方程组。其解法如下：
∵
∴
即
∴，
∴
典型例题5：（2005
卡西欧杯
全国初中数学竞赛）若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是实数)，则M的值一定是（
）
A
正数
B负数
C零
D整数
精析：先将元多项式转化成几个完全平方式的和的形式，然后就其结构特征进行合理的分析、推理，可达到目的。
解：因为M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2（x-2y）2+（x-2）2+（y+3）2≥0并且2（x-2y）2,（x-2）2,（y+3）2这三个式子不能同时为0，所以M〉0，故选A。
典型例题6
化简二次根式
精析：复合二次根式的化简是竞赛中比较常见的问题，化简的关键是将被开方数化成完全平方的形式，要用到配方的思想。
解：
同理可得
所以，原式=8
典型例题7
已知三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,请你判断这个三角形的形状。
精析：确定三角形的形状，主要是讨论三条边之间的关系。代数式a2+b2+c2=ab+ac+bc之中蕴含了完全平方式，我们要重新拆项，组合如下：
2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab
+b2+
a2-2ac+
c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
所以a=b=c
三角形是等边三角形
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1一元二次方程中考新题型
一元二次方程是初中数学学习的重要知识块，并且经常和其它的数学知识相结合，显示出多姿多彩的表现形式，考查题型也多种多样．各地中考试题很好地把握了新课改的要求，出现了许多亮点，现从中采撷几例，供同学们鉴赏．
一、开放型
例1（常德）已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是（填上你认为正确的一个方程即可）．
解析：首先构造方程的一个根为，然后在的两边同乘以，展开得，或两边同乘以，…，展开后都可以得到一个一元二次方程．
点评：本题是一道考查学生发散思维能力的试题，特点是答案不惟一，解答这类试题必须借助定义既是判定定理，又是性质定理的思路进行逆向操作．
二、定义型
例2
（兰州）在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，方程的解为
．
解析：仿照规则，可以发现操作规律是求“”前后两项的平方差，故为，此方程为一元二次方程，运用因式分解法，可求得，．
点评：本题定义了一种新运算，用一种特定的符号“”形成一种特定操作，解答这类试题必须仔细观察条件中给出的规则，弄清运算前后的的变化规律．
三、探索型
例3（海淀）已知下列（为正整数）个关于的一元二次方程：
（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<>；
（2）请你指出这个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．
解析：（1）<1>，所以
<2>，所以
<3>，所以
……
<>，所以
（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等．
点评：本题从解方程出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．
四、应用型
例4（辽宁）
如图1，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．（部分参考数据：，，）
解析：本题是一道典型的利用一元二次方程解决实际问题的题目，下面
从两个不同角度给出解答：
解法（1）：由题意转化为右图2，设道路宽为米．
根据题意，可列出方程为
．
整理，得．
解得（舍去），
答：道路宽为米．
解法（2）：由题意转化为右图3，设道路宽为米，
根据题意列方程得：
．
整理，得．
解得：，（舍去）．
答：道路宽应是米
点评：把不规则的图形转化为规则图形是解决这类问题的关键，同时
整体代换的思想方法在解题中起到化难为易的作用．
从以上各地中考试题中可以看出，一元二次方程各个知识点的考查出现了新趋势，题目新颖、情景丰富，既考查了基本知识的掌握情况，也考查了同学们探索、思维能力，因此在学习中要注意知识的梳理，有的放矢，以便顺利过关．
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13
用公式法求解一元二次方程
新版【课后作业问题】问题二、P43
随堂练习2.
答案：
（1）x1=，x2=；（2）x1=x2=-；
（3）x1=，x2=-；（4）没有实数根。
【举一反三】
典例：用公式法解一元二次方程，正确的应是(
)．
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=
思路引导：先将方程化成一元二次方程的一般形式x2-2x-=0，b2-4ac=5＞0，所以x=。
标准答案：B。
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www.帮你认识一元二次方程
一元二次方程的定义
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．
一元二次方程的一般形式
我们把(a≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特别注意二次项系数一定不为0，b、c可以为任意实数，包括可以为0，即一元二次方程可以没有一次项，常数项．(a≠0)，(a≠0)，
(a≠0)都为一元二次方程．
例1如果关于x的方程有解，则m的取值范围是(
)
A.m<3
B.m≤3
C.m<3且m≠2
D.m≤3且m≠2
解析：此题是关于x的方程有解时，求m的取值范围，应分二次项系数m-2=0与m-2≠0两种情况讨论。
当m-2=0即m=2时，方程化为-2x+1=0其解为。
当m-2≠0，即m≠2，要使方程有解，则
,得m≤3,且m≠2
综合所述，当方程有解时m≤3。
选B。
点拨：已知方程根的情况求系数的取值范围，这类问题在求解时，应根据方程根的情况，利用判别式建立不等式（或方程），解得m的取值范围（或值）；同时还应特别注意二次项系数不为零这一保证方程是一元二次方程的隐含条件.
例2在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（
）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
解析：由题意可列方程（2x+50）（2x+80）=5400，
化简可得x2+65x-350=0，故选B．
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1如何根据一元二次方程的定义，确定未知数的取值？
答案：
一元二次方程定义中，一元是指只含有一个未知数，二次指未知数的最高次数是2。
【举一反三】
典例：已知：关于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程,
求：m的取值范围.
思路导引：一般来说，此类问题根据定义：未知数的最高次数2．∵
原方程是一元二次方程，∴
2m-1≠0，∴
m≠
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.
标准答案：m≠
( http: / / www.21cnjy.com )如何列一元二次方程解直角三角形？
答案：
很多几何题求边时，用方程思想解决，而相等关系多由勾股定理提供，掌握本题很重要，体现了“几何问题代数化”。
【举一反三】

典例：一个直角三角形，斜边，两条直角边长相差，求这个直角三角形的两条直角边的长。
思路导引：一般来说，此类问题根据直角三角形三边关系。在Rt△中，三边a，b，c满足，这是构造方程的相等关系。设一条直角边长为x
cm，则另一条边长为。根据题意列方程
，
解得
（不合题意，舍去）。。
标准答案：两条直角边长分别是8cm和4cm。
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www.关于估算的指导思想
“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方
( http: / / www.21cnjy.com )程时应用广泛。因初中学生所学知识面所限，在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法。其具体的指导思想是：将一元二次方程变形为一般形式：ax2+bx+c=0，分别将x1,x2代入等式左边，当获得的值为一正、一负时，方程必定有一根x0，而且x1
＜x0
＜x2。这是因为，当ax12+bx1+c＜0（或＞0）而ax22+bx2+c＞0（或＜0）且在x1到x2之间由小变大时，ax2+bx+c的值也将由小于0（或大于0），逐步变成大于0（或小于0），其间ax2+bx+c的值必有为0的时候，此时的x值就是原方程的根x0。
时间允许的前提下，建议老师们可以讲述如下例题，以让学生更好地理解估算的指导思想。
例：不解方程，估计方程x2-4x-1=0的根的大小（精确到0.1）。
解：分别取x=-0.3与x=-0.2时，有
( http: / / www.21cnjy.com )(-0.3)2-4×(-0.3)-1=0.09+1.2-1=0.29＞0，(-0.2)2-4×(-0.2)-1=-0.16＜0。于是，方程x2-4x-1=0必有一根在－0.3和-0.2之间。
分别取x=4.2与x=4.3时，有4.22
( http: / / www.21cnjy.com )-4×4.2-1=-0.16＜0，4.32-4×4.3-1=0.29＞0。于是，方程x2-4x-1=0必有一根在4.2和4.3之间。
注：如若不能选准所取的x的值，也就无法进行估算，因此，本例中x取的值－0.3、－0.2以及4.2、4.3，是在多次进行实验的基础上获得的。在估算根的范围时，要进一步提高精确度，这里可以分别考虑取x＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝-0.25和取x=
( http: / / www.21cnjy.com )=4.25时，x2-4x-1的正负情况，这样根的估计就缩小了范围，不断重复以上工作，精确度就会逐步提高。
当然，在估计之初，你是不可
( http: / / www.21cnjy.com )能得到这么好的数据的，你一般可以随便估计一个数，如0，发现0的时候，左边小于0，而x正得很多或者负得很多时，对应的左边的值大于0，因此可以再选取两个绝对值比较大的数，这样可以估计出两个根的范围，再逐步逼近。解析“一元二次方程的根与系数的关系”中考题
一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空、选择、解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。而且，今后的试题可能将此部分内容融入到代数变形、函数和几何等问题之中。
例1、（广西南宁）已知一元二次方程x2－2x＋1=0的两个根为x1、x2，则x1＋x2＋x1·x2的值为（
）
A、3
B、2
C、－3
D、－2
精析：由根与系数的关系，得：x1＋x2=2
，x1·x2=1
。
∴x1＋x2＋x1·x2=2＋1=3
。
答：A
例2、（浙江温州）已知x1、x2是一元二次方程
x2－x－3=0的两个根，那么x12＋x22
的值是（
）
A、1
B、5
C、7
D、
精析：由根与系数的关系，得：x1＋x2=1
，x1·x2=－3
。
∴x12
＋x22=（x1
＋x2
）2－2
x1·x2
=1+6=7。
答：C
例3、（江苏南通）已知关于x的方程x2－kx＋k2＋n=0有两个不相等的实根x1、x2，且（2x1
＋x2）2－8（2x1
＋x2）＋15=0。
⑴求证：n﹤0;
⑵设用k的代数式表示x1;
⑶当n=－3时，求k的值。
精析：⑴Δ﹥0;
⑵2x1
＋x2是x2－8x＋15=0的根；
⑶当n=－3时，x1是x2－kx＋k2－3=0的一个实数根。
解：⑴∵Δ=
k2－4（
k2＋n）=－3
k2－4n﹥0,
∴
n﹤－k2
.
又
－k2
≤0
，
∴
n﹤0
.
⑵由根与系数的关系，得：x1＋x2=k.
由（2x1
＋x2
）2－8（2x1
＋x2
）＋15=0,解得
2x1
＋x2=3或2x1
＋x2=5。
当2x1
＋x2=3即x1
＋（x1
＋x2）=3时，得x1=3－k；
当2x1
＋x2=5即x1
＋（x1
＋x2）=5时，得x1=5－k。
⑶当n=－3时，x1是x2－kx＋k2－3=0的一个实数根。
当x1=3－k时，则有（3－k）
2－k（3－k）＋k2－3=0,
即k2－3k＋2=0,解得k1=1,
k2=2.
当k=2时，原方程变为x2－2x＋1=0，不合题意，舍去。
∴
k=1。
当x1=5－k时，则有（5－k）
2－k（5－k）＋k2－3=0,
即3k2－15k＋22=0，此方程无实数根。
综上所述，所求的k的值为1。
例4、（北京）已知关于x的方程
x2－2mx＋3m=0有两个实数根是x1、x2，且（x1
－x2
）2=16。如果关于x的另一个方程
x2－2mx＋6m－9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。
精析：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的解法及分类的思想方法。
解：∵x1、x2是方程x2－2mx＋3m=0的两个实数根，
∴x1＋x2=2m
，x1·x2=3m。
∵（x1
－x2
）2=16，
∴（x1
＋x2
）2－4
x1·x2
=16。
∴（2m
）2－12m
=16。
即m
2－3m－4
=0。
解得m1=－1,
m2=4
⑴当m=－1时，方程x2－2mx＋3m=0为方程x2＋2x－3=0
解得x1=－3,
x2=1
方程
x2－2mx＋6m－9=0为方程x2＋2x－15=0
解得x1’=－5,
x2’=3.
∵－5,
3不在－3和1之间，∴m=－1不合题意，舍去。
⑵当m=4时，方程x2－2mx＋3m=0为方程x2－8x＋12=0
解得x1=2,
x2=6
方程
x2－2mx＋6m－9=0为方程x2－8x＋15=0
解得x1’=3,
x2’=5.
∵3,
5都在2和6之间，∴m=4
综上所述，得m的值为4。
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1一元二次方程公共根问题
若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：
设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；
用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；
把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．
例1
已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，
求k的取值范围．
如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．
解析：（1）∵一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根
∴△=16-4k＞0，∴k＜4
（2）当k=3时，解x2-4x+3=0得x1=3，x2=1
当x=3时，32+m·3-1=0，m=-
当x=1时，12+m·1-1=0，m=0
例2
若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值
解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0
①
α2+aα-1=0
②
①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0
因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1
把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2
例3
已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根，请说明理由．
分析：判断两个方程是否有公共解，常假设有公共根，代入两个方程整理，求出这个解，再检验，如有矛盾方程的公共根不存在．
解：不妨设关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有公共根，设有x0，则有
整理，可得（x0+1）（a+b-ab）=0
∵a＞2，b＞2，∴a+b≠ab，∴x0=-1
把x0=-1代入①得，1+a+b+ab=0这是不可能的
所以，关于x的两个方程没有公共根．
①
②
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1用一元二次方程模型解决市场经济问题
义务教育阶段的数学课程标准明确指出：“学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”．为此，我们要在平时的学习中，善于用数学的眼光来观察现实生活，用数学的知识来解决身边的问题．
一、商品盈利问题
例1
某百货商场服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六·一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
命题意图：本题考查一元二次方程解应用题及分析问题和解决实际问题的能力．
思路分析：解决本题的关键是根据“每天所卖童装件数×每件童装赢利＝每件赢利1200元”关系式建立方程．不妨设每件降价元，可知在每天售20件，每天盈利40元的基础上，根据每降价4元，就多售8件得降价元，多售件，即售件，相应每件盈利减少元，即盈利元，列出方程并求解，对所求结果，还要结合“减少库存”进行取舍，从而得到最后结果．
解：设降价元，则，解得，由于要减少库存，故降价越多，售出越多，库存越少，故取．
答：每件降价20元．
二、教育经费投入问题
例2
“国运兴衰，系于教育”，图中给出了我国从1998----2002年每年教育经费投入的情况．
(1)由图可见，1998---2002年的五年内，我国教育经费呈现出
趋势；
(2)根据图中所给数据，求我国从1998年到2002年教育经费的年平均数；
(3)如果我国的教育经费从2002年的5480亿元，增加到2004年的7891亿元，那么这两年的教育经费平均年增长率为多少？(结果精确到，)
命题意图：本题考查学生的阅读理解能力和观察图象捕捉数据信息的能力及列方程解应用题．
思路分析：(1)从图中数据来看，数据一年比一年大，由此可得，教育经费是逐年增加的；(2)教育经费的年平均数为这几年教育经费之和除以年数即可；(3)设这两年的教育经费平均年增长率为，那么年教育经费投入为亿元，年教育经费投入为亿元，于是就可以根据题意列出方程．
解：(1)逐年增加；
(2)(亿元)；
(3)设这两年的教育经费平均年增长率为，
则有，，
，所以，
所以，(不合题意舍去)．
三、风景画的装饰问题
例3
在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，请你求出金色纸边的宽为多少cm？
命题意图：本题考查学生矩形面积的掌握情况，并用方程模型来解决．
思路分析：设金色纸边的宽为cm，那么整个挂图的长为cm，宽为cm，再由矩形面积公式得方程，解之后需检验所的值是否满足题意．
解：设金色纸边的宽为cm，依题意，得：，整理，得，解之，得，因为，所以不合题意应舍去．
答：金色纸边的宽为5cm．
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
2949
3349
3849
4638
5480
亿元
年份
1998
1999
2000
2001
2002
80cm
50cm
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1配方法的几何解释
课本中，我们利用了配方法解一元二次方程．实际上，配方法不仅可以用来解一元二次方程，在其他方面还有很多应用．
配方法，顾名思义，就是利用添项或拆项的方法，结合已有项，构造完全平方式．回顾以往知识，我们曾经利用图形面积验证完全平方公式，那么，能否也用图形面积解释配方法解方程的过程呢？
下面我们用几何方法来求方程x2＋10x＝39的解，把x2＋10x解释为右图中多边形ABCDEF的面积，为了求出x，我们考虑把这块图形补成一个正方形，为此必须补上正方形DCGE．从图中可以看出，正方形DCGE的面积为52（它恰好等于原方程中一次项系数一半的平方），由于整个正方形的面积为39＋25＝64，可知这个正方形的边长为8，又由图形可知边长为x＋5，故x＝3．
这里，我们直观地看到了配方的几何意义．但求得的解是不完备的，你发现问题了吗？对了，受几何图形的限制，我们只能求出方程的正数解．
B
A
C
D
E
F
G
5
x
x
5
52
x2
5x
5x
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www.日常生活中一元二次方程的应用
当今社会正处在市场经济的时代，我们的日常生活中经常会遇到各种经营、销售、利润、房产等问题．我们知道数学来源于生活，又应用于我们的生活，新课程的改革实验也要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，体会到数学的应用价值，下面我们就最近所学的“一元二次方程在日常生活中应用“看两个实例，以求对同学们有所帮助．
问题1：联华超市将进货单价为40元的商品如果按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理的话，为了赚得8000元的利润，你觉得售价应定为多少？这时应进货多少个？
分析：我们知道商品的定价和进货量应该根据市场的行情而定，如果定价过高，超越了消费者心理承受力的话，恐怕消费者无人问津，销售商只能自认倒霉了；定价过低的话，利润过低、甚至亏本的话，销售商也就划不来的．上述问题中如果销售价按照单价50元的话，每个利润是10元，可以卖出500个，共可获利5000元，无法完成利润8000元的目标，所以只有提高单价并控制适当的单价，才可以完成获得利润5000元任务．
解：设该种商品的单价为（50+x）元，则每个的利润是元，销售数量为（500-10x）个，由题意得方程：；
整理得：；解之得：，
故这个商品的单价可定为60元时，其进货量为500-10×10=400个；当这个商品的单价定为80元时，其进货量为500-10×30=200个．
注：如果同学们以后学了二次函数内容的话，还可以知道当单价定为70元时，获得的最大利润为8100元．
问题2：某地开发区为改善居民的住房条件，每年要建一批新的住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积=，单位平方米/人）．
该开发区2002年至2004年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果如图所示，
请根据此提供的信息解答下面问题：
（1）该区2003年和2004年两年中哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少平方米？
（2）由于经济发展需要，预计到2006年底，该地区人口总数将比2004年底增加2万，为使到2006年底地区人均住房面积达到11平方米/人，试求2005年和2006年这两年该地区住房总面积的年增长率应达到百分之几？
分析：随着我们国家经济迅速发展，经济实力的不断强大，广大人民的住房条件正在得到不断的改善，生活水平正在得到不断地提高．我们从上述问题的图象中可以获取一些信息：
年度
人口
人均住房面积（平方米/人）
总面积（万平方米）
比上一年增加数（万平方米）
2002
17
9
153
/
2003
18
9.6
172.8
19.8
2004
20
10
200
27.2
解：（1）2004年比2003年增加的住房多，多增加了7.4平方米．
（2）设住房总面积年平均增长率应达到x，由题意得：
；
解得：℅；（不合题意，舍去）．
答略．
应该说一元二次方程在日常生活中的应用应该说是非常广泛的，还有诸如储蓄、利税问题等，同学们有兴趣的话还可以作更多的研究．
0
17
2004
2003
2002
18
年
20
万人
开发区近三年人口变化图
0
2002
2003
2004
9
9.6
10
平方米/人
年
开发区近三年人均住房面积变化曲线
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1如何列一元二次方程解翻番问题？
答案：
关于翻番问题，应清晰地知道翻一番，即为原来数值的两倍，翻两番即为原数值的四倍。
【举一反三】
典例：党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值以2020年比2000年翻两番．在本世纪的头二十年（2001年~2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是，那么满足的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
思路导引：一般来说，此类问题注意翻番的特点。翻一番，即为原来数值的两倍，翻两番即为原数值的四倍。设2000年生产总值为a，则2010年的生产总值为a(1+x),2020年的生产总值为a(1+x)2
列方程得：aa,即
标准答案：B
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www.什么是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项？
答案：
一元二次方程的一般形式为
( http: / / www.21cnjy.com )ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．
【举一反三】
典例：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：
(1)2x2＝3x＋5；(2)(x＋1)(x－1)＝1；(3)(x＋2)2－4＝0．
思路导引：一般来说，在做此类问题时，要
( http: / / www.21cnjy.com )先把方程化成一般形式．因为方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程．
(1)整理，得2x2－3x－5＝0．二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－5．9
(2)整理
，得x2－2＝0．二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－2．
(3)整理，得x2＋4x＝0．二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．
标准答案：（1)二次项系数是2，一次项系数是－3，常数项是－5．
(2)二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－2．
(3)二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．3
用公式法求解一元二次方程
新版【课后作业问题】问题三、P43
随堂练习3.
答案：
6,8,10.
【举一反三】
典例：直角三角形的两边分别为3和4，第三边是方程x2―7x＋10=0的解，则第三边的长为(
)．
A．2
B．5
C．2或5
D．无法确定

思路引导：用公式法解一元二次方程，得x1=2，x2=5，且能构成直角三角形，则x=5.
标准答案：B。
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www.韦达其人
一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为该定理一般被认为是16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。　
　
韦达1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈。他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学爱，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。他还写下了《数学典则》（1579年）、《应用于三角形的数学定律》（1579年）等不少数学论著。韦达的著作，以独特形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容。只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播。在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版。韦达1603年卒于巴黎，享年63岁。下面是关于韦达的两则趣事：
一、与罗门的较量
　　比利时的数学家罗门曾提出一个45次方程的问题向各国数学家挑战。法国国王便把该问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出了22解。答案公布，震惊了数学界。韦达又回敬了罗门一个问题。罗门苦思冥想数日方才解出，而韦达却轻而易举地作了出来，为祖国争得了荣誉，他的数学造诣由此可见一斑。
二、韦达的“魔法”
　　在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分脑火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”。原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权。另外，韦达还设计并改进了历法。所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底。
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1如何用分解因式法解一元二次方程
作为分解因式法解一元二次方程是解一元二次方程的首选方法那么如何才能正确地运用分解因式滚过来解一元二次方程呢？一般来说，有下列几个步骤：①将方程右边化为零；②将方程左边分解为两个一次因式乘积；③令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.正确举几例说明：
例1　解方程：x2
－6x－16＝0.
分析　由于－16＝－8×2，且－8+2＝－6.所以可以考虑运用分解因式法求解.
解　原方程的左边分解因式，得(x－8)(x+2)＝0.
即x－8＝0，或x+2＝0.解得x1＝8，x2＝－2.
例2　解方程：x2＋(－)x－＝0.
分析　考虑－＝(－)，所以，原方程可以利用分解因式法求解.
解　原方程的左边分解因式，得(x+)(x－)＝0.
即x+＝0，或x－＝0.解得x1＝－，x2＝.
例3　解关于x的方程：x2+2(p－q)x－4pq＝0.
分析　由于－4pq＝2p(－2q)，而2p+(－2q)＝2(p－q)，所以原方程可以考虑利用分解因式求解.
解　原方程的左边分解因式，得(x+2p)(x－2q)＝0.
即x+2p＝0，或x－2q＝0.解得x1＝－2p，x2＝2q.
例4　解关于x的方程：x2－a(3x－2a+b)＝0.
分析　方程中x是未知数，其它字母均为字母系数.若用公式法解含有字母系数的一元二次方程时，计算量大，容易出错.考虑原方程通过整理变形后可以利用分解因式得到两个一次因式的乘积，于是可以求解.
解　原方程化为x2－3ax－(b2+ab－2a2)＝0，由于b2+ab－2a2＝(b+2a)(b－a).
所以方程的左边分解因式，得[x－(2a+b)][x－(a－b)]＝0，
即x－(2a＋b)＝0，或x－(a－b)＝0，所以x1＝2a+b，x2＝a－b.
综上所述，分解因式法解一元二次方程的理论根据是，如果两个因式的积等于零，那么，这两个因式至少要有一个等于零.它是解一元二次方程最常用的方法.一般来说，能用分解因式法的一元二次方程应尽量用分解因式法，其法快速、方便，准确率高，当分解因式法实在困难时，再考虑运用公式法等.
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1解一元二次方程课标解读
一、课标要求
包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对解一元二次方程一节相关内容提出的要求如下。
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．
3．了解一元二次方程的根与系数的关系．
二、课标解读
1．学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的基本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解．学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程．从数学知识的内部发展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元”上的推广．自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程．类比二（三）元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次”降为“一次”，这是本章学习的另一条主线．
与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解．这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的机会．根据《课程标准（2011年版）》的规定，教科书着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程．
2．解一元二次方程的基本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．具体地，根据平方根的意义，可得出方程和的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程配方后得出的．如能将分解为两个一次因式的乘积，则可令每个因式为0来解．
一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点．一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了．当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它．在推导求根公式的过程中，从到再到，是方程形式的不断推广，体现了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程则是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，体现了化归思想．显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的．
3．与《课程标准（实验稿）》相比，《课程标准（2011年版）》重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”，“了解一元二次方程的根与系数的关系”，这是需要注意的一个变化．这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题．实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备基础．
教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a
≠0的规定是由“二次”所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机．
一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重点内容之一．教科书在第二节中，首先通过实际问题，建立了一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为，通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基．接着，教科书安排“探究”栏目，自然引出解并总结出“降次”的策略，从而为用配方法解比较复杂的一元二次方程做好铺垫，然后教科书重点讲解了配方的步骤，并归纳出通过配方将一元二次方程转化为后的解的情况．以配方法为基础，教科书安排了“探究”栏目，引导学生自主地用配方法解一般形式的一元二次方程 (a≠0)，得到求根公式．最后，通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法”而达到“降次”目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，并在“归纳”栏目中总结出几种解法的基本思路、各自特点和适用范围等．上述过程的思路自然，体现了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，并通过将一般性问题化归为特殊问题，获得这一类问题的解．这是具有普适性的数学思想方法．
由于限定在实数范围，因此对求根公式，首先要关注判别式的讨论．这是使学生领悟分类讨论数学思想方法的契机．
另一方面，求根公式不仅直接反映了方程的根由系数唯一确定（系数a，b，c确定，方程就确定，其根自然就唯一确定），而且也反映了根与系数的联系．这里体现了一种多角度看问题的思想观点，而根与系数的联系表达非常简洁．教科书仍然采用从特殊到一般的方法，先讨论“将方程化为的形式，，与p，q之间的关系”，在“+，”的启发下，利用求根公式求和，进而得到根与系数的关系．让学生学习根与系数的关系，不仅能深化对一元二次方程的理解，提高用一元二次方程分析和解决问题的能力，而且也是培养学生发现和提出问题的能力的机会．根与系数的关系是求根公式的自然延伸，得出它的过程并不复杂，而其中蕴含的思想很重要．所以，对于根与系数的关系，教科书着重在其数学思想的启发和引导上，而对用根与系数的关系去解决问题，严格地控制了难度．
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12.1
认识一元二次方程学习要点
学习目标：
1、要求学生会根据具体问题列出一元二次方程，会识别一元二次方程及各部分名称。
2、会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解。
学习重难点：
重点：
1、认识产生一元二次方程知识的必要性。
2、探索一元二次方程的解或近似解。
难点：
1、列方程的探索过程。
2、培养学生的估算意识和能力。
学习要点：
学习目标1
1、会根据实际问题列出方程
2、一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
从一元二次方程的定义可知，一元二次方程需具备以下三个条件：
(1)只含有一个未知数，即未知数有且只有一个。如果方程中未知数的个数多于1个，那么它就不是一元二次方程。
(2)未知数的最高次数是2，即未知
( http: / / www.21cnjy.com )数的最高次数不能低于2，也不能高于2。但方程中是否存在一次项或常数项，并没有提出要求。因此，可将方程进行降幂排列，观察未知数的最高次数是否为2。
(3)方程的两边是整式。整式是单项式和多项式的统称。说明分母不能含有未知数，被开数不能含有未知数。
3、一元二次方程的一般形式及各部分名称
一般形式：
( http: / / www.21cnjy.com )
各部分名称：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )分别称为一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。
4、判断一个方程是不是一元二次方程时应注意的问题
(1)判断一个方程是否是一元二次
( http: / / www.21cnjy.com )方程，应以化简后的结果为准。如化简前含有未知数是2次的项，但是化简后未知数最高次数是1，那它就不是一元二次方程。
(2)当方程中含有字母系数(又叫参数)时，应区分未知数和字母。如“关于x的方程……”，则表明x是未知数，而方程中其它字母均是常数。
(3)“×元×次方程”中的“元”指未知数，“次”指未知数的最高次数。
学习目标2
5、用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解
一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)。
近似计算的重要思想——“夹逼”思想。
注意：(1)估算的精度不适过高。
(2)计算时提倡使用计算器。一元二次方程的特点是什么？
答案：
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．
【举一反三】
典例：求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
思路导引：一般来说，元二次方程的概
( http: / / www.21cnjy.com )念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而言的。要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
标准答案：证明：m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．购物中的一元二次方程
现实生活中，只要你有一双善于发现的慧眼，你就会惊奇的感觉到：生活，时时刻刻都充满着数学，整个生活就是用数学那美丽的花环编织起来的，绚丽多彩，让人陶醉。
下面，请同学们欣赏！
例1
某商场销售一批名牌衬衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。
求：(1)若商场平均每天要盈利1
200元，每件衬衫应降价多少元
(2)若要使商场平均每天盈利最多，请你帮助设计方案．
解：(1)设每件衬衫应降价x元，则(40－x)(20+2x)＝l200
整理，得x2－30x+200＝0
解得x1＝10，x2＝20
因为要尽快减少库存，∴x＝20
(2)商场每天盈利(40－x)(20+2x)＝－2(x－15)2+1250
当x＝15时，商场盈利最多，共1250元．
答：(1)每件衬衫应降价20元．(2)每件衬衫降价15元时，商场盈利最多。
点评：商场购物是我们每个人都经历过的事情，但你注意、观察、感悟过吗？
例2
某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元。设平均每次降价的百分率为x，则，列方程正确的是(
)
A.
580(1+x)2＝1185
B.1185(1+x)2=580
C.580(1－x)2=1185
D.1185(1－x)2=580
分析：由题意得：1185(1－x)2=580
解：D
点评：购买手机这件事情也充满着数学，你看生活是多么的有意思啊！
例3
某电视机厂2001年生产一种彩色电视机，每台成本3000元，由于该厂不断进行技术革新，连续两年降低成本，至2003年这种彩色电视机每台成本仅1920元．问平均每年降低成本百分之几
分析：设每年降低成本的百分率为。x，那么2002年的成本为3000(1－x)元，2003年的成本为3000(1－x)2元．根据题意可列方程3000(1－x)
2＝1920
解：设平均每年降低成本的百分率为x，依题意列方程3
000(1－x)
2＝l920
答：平均每年降低成本20％。
点评：平均降低率问题与平均增长率问题类似，只要把平均增长率公式a(1+x)＝b中的“+”号换成“－”号即可。
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1点击中考中一元二次方程的应用
构造一元二次方程模型解决实际问题是中考的热点之一，下面以部分中考试题为例加以说明．
一、市场经营问题
例1、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加了，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均月增长率．
解：设3月份至5月份营业额的平均月增长率为．由题意，得
，
整理，得，
解得（不合题意，舍去）．
所以，3月份到5月份营业额的平均月增长率为．
二、农业税问题
例2、今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税，某乡今年人均上缴农业税25万，若两年后人均上缴农业税为16万，假设这两年降低的百分率相同．
（1）求降低的百分率；
（2）小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？
（3）小红所在的乡约有16
000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？
解：（1）设降低的百分率为，由题意，得
，解得（不合题意，舍去）．
（2）小红家减少的农业税额为（元）．
（3）全乡减少的农业税额为（元）．
三、环保问题
例3、据某城市的统计资料显示，到2003年末该城市堆积的垃圾已达50万吨，不但侵占了大量土地，而且已成为一个重要的污染源，从2004年起，该城市采取有力措施严格控制垃圾的产生量，但根据预测，每年仍将产生3万吨的新垃圾，垃圾处理已成为该城市建设中的一个重要问题．
（1）若2000年末该城市堆积的垃圾为30万吨，则2001年初至2003年末产生的垃圾总量为　　万吨．已知2001年产生的垃圾量为5万吨，求从2001年初至2003年末产生的垃圾量的年平均增长率是多少？（参考数据：；结果保留两个有效数字）
（2）若2004年初，该城市新建的垃圾处理厂投入运行，打算到2008年底前把所堆积的新、旧垃圾全部处理完，则该厂平均每年至少需处理垃圾多少万吨？
解：（1）由题意，得（万吨）．
设从2001年初至2003年末产生的垃圾量的年平均增长率为．由题意，得
，
解这个方程，得
（不合题意，舍去），即．
（2）（万吨）．
四、几何问题
例4、如图，正方形的边长为，划分成个小正方形格．将边长为（为整数，且）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张的纸片正好盖住正方形左上角的个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为的正方形．如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形的右下角为止．
请你认真观察思考后，回答下列问题：
（1）由于正方形纸片边长的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：
纸片的边长
使用的纸片张数
（2）设正方形被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为，未被盖住的面积为．
①当时，求的值；
②是否存在使得的值，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）依次为：，，，，．
（2）．
①当时，，
所以．
②若时，则有，即，解之，得（舍去）．
所以当时，，即这样的值是存在的．
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1求根公式法解一元二次方程的五个注意点
大家知道，一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，方程有两个实数根：x1,2＝；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根.尽管如此，我们在具体求解时还应注意以下几个问题：
一、注意化方程为一般形式
　　例1　解方程：6x2+3x＝(1+2x)(2+x).
　　分析　将原方程整理成一元二次方程的一般形式后确定a、b、c的值，代入求根公式求解.
解　原方程可化为：4x2－x－2＝0.
因为a＝4，b＝－1，c＝－2，所以b2－4ac＝(－1)2－4×4×(－2)＝33＞0.
所以x＝＝＝，
即x1＝，x2＝.
说明　对于结构较为复杂的一元二次方程，一定要依据有关知识将其化为一般形式，然后才能想到运用求根公式.
　　二、注意方程有实数根的前提条件是b2－4ac≥0
例2　解方程：3x2＝5x－4.
分析　先移项，化原方程为一般形式，确定a、b、c的值，再估算一下b2－4ac的值.
解　移项，得3x2－5x+4＝0.
因为a＝3，b＝－5，c＝4，所以b2－4ac＝－23＜0，因此一元二次方程无实数解.
说明　由本题的求解过程，我们可以看出在解一元二次方程时，化一元二次方程为一般形式，确定a、b、c的值后，估算一下b2－4ac的值非常重要，不然就有可能出现下列的错误：x1,2＝＝.
三、注意a、b、c的确定应包括各自的符号
例3　解方程：2x2－5x+1＝0.
分析　已知方程已经是一般形式，只要对号入座地写出a、b、c，再求b2－4ac的值，最后即求解.
解　因为a＝2、b＝－5、c＝1，所以b2－4a＝(－5)2－4×2×1＝17＞0.
所以x＝＝＝，
即x1＝，x2＝.
说明　确定出a、b、c的值，应注意两个问题：一是要化原方程为一般形式，二是要注意连同a、b、c本身的符号，特别是“－”号更不能漏掉.
四、注意一元二次方程如果有根，应有两个
例4　解方程：x(x－2)+3＝0.
分析　将原方程化为一般形式后代入求根公式.
解　原方程可化为x2－2x+3＝0.因为a＝1、b＝－2、c＝3，所以b2－4a＝(－2)2－4×1×3＝0.
所以x＝＝＝.
所以x1＝x2＝.
　　说明　当b2－4a＝0时表明原方程有两个相等的实数根，所以在具体作答时不能出现x＝的错误.
　　五、求解出的根应注意适当化简
例5　解方程：2x2－2x－1＝0.
　　分析　因为a＝2，b＝－2，c＝－1，所以b2－4ac＝(－2)2－4×2×(－1)＝12.
所以x＝＝＝.
所以x1＝，x2＝.
　　说明　本题利用求根公式求得的结果时应约去分子与分母中的公约数，以便使结果简便，值得注意的是，在化简时一定要注意不能出现差错.
下面几道题目供同学们自己练习：
用求根公式解下列方程：
1，x2－3x＋2＝0.
2，x2+2x＝3.
3，9x2+10x－4＝0.
4，10y2－12y+1＝0.
5，3x(x－1)＋2x＝2.
6，
x2+x－4＝0.
7，(x－)2＝4x.
8，3x(x－2)＝2(x－2).
用求根公式解下列关于x的方程：
9，x2+2ax+a2－b2＝0.
10，x2+2(p－q)x－4pq＝0.
　　11，(a2－b2)x2－4abx＝a2－b2(a2－b2≠0).
12，
(x+a)(x－b)+(x－a)(x+b)＝2a(ax－b).
参考答案：1，x1＝1，x2＝2；2，x1＝－3，x2＝1；3，x＝；4，x＝；5，x1＝1，x2＝；6，x＝；7，x1＝x2＝－；8，x1＝2，x2＝，9，x1＝－a－b，x2＝－a+b；10，x1＝－2p，x2＝2q；11，x1＝－，x2＝；12，x1＝0，x2＝a2.
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1剖析一元二次方程的概念
一、一元二次方程的概念及剖析
1.定义
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2.剖析
从一元二次方程的定义可知,一元二次方程需具备以下三个条件:
(1)只含有一个未知数,即未知数有且只有一个.如果方程中未知数的个数多于1个,那么它就不是一元二次方程.
(2)未知数的最高次数是2,即未知数
( http: / / www.21cnjy.com )的最高次数不能低于2,也不能高于2.但方程中是否存在一次项或常数项,并没有提出要求.因此,可将方程进行降幂排列,观察未知数的最高次数是否为2.
(3)方程的两边是整式.整式是单项式和多项式的统称.说明分母不能含有未知数,被开数不能含有未知数.
只要某个方程不符合以上三条中的一条,那它就不是一元二次方程.反之,是一元二次方程,那么它就一定满足以上三个条件.
3.注意
(1)判断一个方程是否是一
( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程,应以化简后的结果为准.如化简前含有未知数是2次的项,但是化简后未知数最高次数是1,那它就不是一元二次方程.
(2)当方程中含有字母系数(又叫参数)时,应区分未知数和字母.如“关于x的方程……”,则表明x是未知数,而方程中其它字母均是常数.
(3)“×元×次方程”中的“元”指未知数,“次”指未知数的最高次数.
4.典例
例1
下列方程中,关于x的一元二次方程是(
)
A.3(x+1)2=2(x+1)
B.
( http: / / www.21cnjy.com )=0
C.ax2+bx+c=0
D.x2+2x=x2-1
解:因B中的分母含有未知数,所以它不是一
( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程.C中字母a没有强调不为0,若a=0,则C中未知数的最高次数低于2,因此,不能肯定C中的方程是否是一元二次方程.D中方程化简后是一元一次方程.只有A中的方程符合一元二次方程的三个条件.故选A.
例2
方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则(
)
A.m=±2
B.m=2
C.m=-2
D.m≠±2
解:由于一元二次方程中未知数的最高
( http: / / www.21cnjy.com )次数是2,所以|m|=2,即m=±2.但当m=-2时,原方程变为-6x+1=0,它是一元一次方程,不合题意,舍去.当m=2时,原方程变为4x2+6x+1=0,它是一元二次方程,故选B.
二、与一元二次方程的相关概念及剖析
1.概念
把方程化成形式ax2+bx+c=0(a≠0),这种形式叫一元二次方程的一般形式.
2.剖析
(1)一元二次方程的一般
( http: / / www.21cnjy.com )形式是将方程变形和整理后的一种很有规律的表达形式,它的左边是未知数的二次三项式的降幂排列,且其中a通常写成大于0的形式,而右边是0.
(2)当一元二次方程化成一般形式后,左
( http: / / www.21cnjy.com )边的三个单项式ax2,bx,c分别叫做二次项,一次项和常数项;且常数a,b分别叫二次项系数和一次项系数.
(3)一元二次方程的一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基础.
3.典例
例3
把方程(
( http: / / www.21cnjy.com )1-3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.
解:原方程化为一般形式是:
( http: / / www.21cnjy.com )5x2+8x-2=0(若写成-5x2-8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是-2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).根据一元二次方程根的情况确定系数的取值范围？
答案：
这部分题目特别容易忽视判别式这一隐含条件.实际上一元二次方程有两个实数根,则必然有这一条件.根据此方程有两个实数根,可先列出不等式，再确定系数。
【举一反三】
典例：已知是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，求实数的取值范围.
思路导引：一般来说，此类问题应先判定根的情况。∵一元二次方程有两个实数根,
∴，即，
∵

∴

∵

∴

∴
标准答案：
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www.如何用一元二次方程解决增长率问题？
答案：求增长率问题时，应正确运用增长率公式：
【举一反三】
典例：市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
思路导引：一般来说，此类问题应先分析数量关系式，正确运用增长率的公式，设出相关未知数，表示关系式。

设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2

解：设每年人均住房面积增长率为x，

则：10（1+x）2=14.4

（1+x）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．

所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
标准答案：每年人均住房面积增长率应为20%．
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www.配方法的拓展与解析
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。配方法的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab。
配方法在数学的教与学中有着广泛的应用。在初中阶段它主要适用于：一元二次方程、二次函数、二次代数式的讨论与求解。经过几年的教学实践发现：很多情况下用配方法解一元二次方程或者求二次函数的顶点坐标要比用公式法简单实用。
在应用配方法解一元二次方程（ax2+bx+c=0）时有两种做法：
一种是先移走常数项，然后方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1，再两边同时加上一次项系数（除以二次项系数后的）一半的平方，把原方程化成(x＋m)=n(n≥0)的形式，再两边同时开方，把一元二次方程转化为一元一次方程。
典型例题：2x2+6x-3=0
解法1：移项得：2x2+6x=3
两边同时除以2得：
两边同时加得:
所以：
开方得：或
解得：
另一种方法是先移走常数项，然后通过“凑”与“配”进行配方。
解法2：移项得：2x2+6x=3
原方程变为：
即原方程化为：
两边同时开方得：或
解得：
与用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函数的顶点坐标时，要把二次项和一次项看作一个整体，提出（而不是除以）二次项的系数，再进行配方，但配方时与解一元二次方程的配方有所不同。
典型例题2：用配方法求的顶点坐标
解：
=
=
=
=
如上例，用配方法求二次函数顶点坐标时，不是等号两边同时加上一次项系数一半的平方，而是在中括号里加上一次项系数一半的平方，但为了保持原有的二次函数不变，必须在中括号里再减去一次项系数一半的平方。这是学生在以后学习用配方法求二次函数顶点坐标时经常与用配方法解一元二次方程相混淆的地方，也是学生经常出错的地方。
另外配方法在二次代数式的讨论与求解中应用也非常广泛。
典型例题3：用配方法证明:无论x为何实数，代数式的值恒大于零。
与用配方法求二次函数的顶点坐标类似，此题也是把二次项和一次项看作一个整体，并对其进行配方。解法如下:
∵
=
=＞0
∴无论x为何实数，代数式的值恒大于零。
典型例题4：若，求的值。
此题可以运用“裂项”与“凑”的技巧，把-20xy裂成-18xy与-2xy的和，来完成配方，并根据完全平方式为非负数的性质把二元二次方程化为二元一次方程组。其解法如下：
∵
∴
即
∴，
∴
典型例题5：若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y是实数)，则M的值一定是（
）
A
正数
B负数
C零
D整数
精析：先将元多项式转化成几个完全平方式的和的形式，然后就其结构特征进行合理的分析、推理，可达到目的。
解：因为M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2（x-2y）2+（x-2）2+（y+3）2≥0并且2（x-2y）2,（x-2）2,（y+3）2这三个式子不能同时为0，所以M〉0，故选A。
典型例题6
化简二次根式
精析：复合二次根式的化简是竞赛中比较常见的问题，化简的关键是将被开方数化成完全平方的形式，要用到配方的思想。
解：
同理可得
所以，原式=8
典型例题7
已知三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,请你判断这个三角形的形状。
精析：确定三角形的形状，主要是讨论三条边之间的关系。代数式a2+b2+c2=ab+ac+bc之中蕴含了完全平方式，我们要重新拆项，组合如下：
2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
a2-2ab
+b2+
a2-2ac+
c2+b2-2bc+c2=0
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
所以a=b=c
三角形是等边三角形
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-关于估算的指导思想
“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方
( http: / / www.21cnjy.com )程时应用广泛。因初中学生所学知识面所限，在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法。其具体的指导思想是：将一元二次方程变形为一般形式：ax2+bx+c=0，分别将x1,x2代入等式左边，当获得的值为一正、一负时，方程必定有一根x0，而且x1
＜x0
＜x2。这是因为，当ax12+bx1+c＜0（或＞0）而ax22+bx2+c＞0（或＜0）时，在x1到x2之间由小变大时，ax2+bx+c的值也将由小于0（或大于0），逐步变成大于0（或小于0），其间ax2+bx+c的值必有为0的时候，此时的x值就是原方程的根x0。
时间允许的前提下，建议老师们可以讲述如下例题，以让学生更好地理解估算的指导思想。
例：不解方程，估计方程x2-4x-1=0的根的大小（精确到0.1）。
解：分别取x=-0.3与x=
( http: / / www.21cnjy.com )-0.2时，有(-0.3)2-4×(-0.3)-1=0.09+1.2-1=0.29＞0，(-0.2)2-4×(-0.2)-1=-0.16＜0。于是，方程x2-4x-1=0必有一根在－0.3和-0.2之间。
分别取x=4.2与x=4.3时，有4.
( http: / / www.21cnjy.com )22-4×4.2-1=-0.16＜0，4.32-4×4.3-1=0.29＞0。于是，方程x2-4x-1=0必有一根在4.2和4.3之间。
注：如若不能选准所取的x的值，也就无法进行估算，因此，本例中x取的值－0.3、－0.2以及4.2、4.3，是在多次进行实验的基础上获得的。在估算根的范围时，要进一步提高精确度，这里可以分别考虑取x＝
( http: / / www.21cnjy.com )＝-0.25和取x=
( http: / / www.21cnjy.com )=4.25时，x2-4x-1的正负情况，这样根的估计就缩小了范围，不断重复以上工作，精确度就会逐步提高。
当然，在估计之初，你是不可能得到这么好
( http: / / www.21cnjy.com )的数据的，你一般可以随便估计一个数，如0，发现0的时候，左边小于0，而x正得很多或者负得很多时，对应的左边的值大于0，因此可以再选取两个绝对值比较大的数，这样可以估计出两个根的范围，再逐步逼近。学习要点：一元二次方程的应用
列一元二次方程解实际应用题的一般步骤
具体的步骤一般是：
审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知量，未知量以及他们之间的关系
（2）设未知数：一种方法是直接设所要求的量x，另一种是设与所求量有关系的，且具有关键性作用的未知量为x,即所求量可以用x表示出来
列代数式：用含有x的代数式表示出有关的未知量。
列方程：根据题目已知量和未知量的关系列出方程
解方程：利用配方法，公式法，因式分解法等求出未知量的值。
（6）检验：应用题中未知量的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列出的方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义
（7）写出答案：根据题意，选择合理的答案
1、平均增长率方面的应用题
平均增长率的公式：（a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）.类似的，还有降低率问题，（a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）.
2、利润方面的应用题
总利润=总销售价—总成本
总利润=单个的利润×总销售量
3、与几何图形有关的一元二次方程的应用题
与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要是将数字与数字之间的关系隐藏在图形中，这样的图形主要有三角形，四边形（以后还有圆），涉及三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理等.
解答此类问题时，关键是把实际问题数学化，这就要求我们认真的分析题意，把实际问题中的已知条件和未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何原理来寻找他们之间的关系。
在解题时，联想图形中有关的几何定理，面积和公式，这里运用了数行结合和化归的思想。
4、数字问题
数的表示方法：
（1）三个连续的整数，设中间的一个为x，，则其余两个分别为x-1,x+1.
(2)
三个连续的偶数（或奇数），设中间的一个为x，则其余的两个分别为x-2，x+2.
（3）两位数=十位上的数字×10+个位上的数字
（4）三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字
【例1】
在一幅长80cm，宽50cm的矩形图画的四周镶一条金色的纸边，
制成一幅矩形的挂图，如图所示，如果要使整个面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x
cm，那么x满足的方程为（
）
A.
B.
C.
D.
【例2】一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，百位上的数字等于个位上的数字的平方，如果这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字之积的25倍大202，则这个三位数是__________________.
【例3】
某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这件商品每件涨0.5元，其销售量就会减少10件，那么将售价定位多少时，才能使所赚利润为640元？
【例4】
制造一种产品，原来每件的成本为100元，由于连续两次降低生产成本，现在每件的成本为81元，则平均每次降低成本的（
）
A.
8.5%
B.9%
C.9.5
%
D.10%
【例5】
某大学为改善校园环境，计划在一块长为80cm，宽为60cm
的矩形场地的中央建一块矩形网球场.网球场占地面积为3500m,四周为宽度相等的人行步道，求人形步道的宽度.
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1一元二次方程求根公式的推导
创新是一个学生学习数学的灵魂，是学业成绩不断提高的不竭动力．因此，同学们在数学学习的过程中，要
怀疑权威——书本和老师，不人云亦云．敢于对同一个问题要另辟途径，探求问题的存在规律，只有这样，我们的数学发展水平才能不断提高．
比如，我们课本对一元二次方程求根公式的推导是通过配方法得到的，即：
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)
(1)方程两边同除以a得：x2+x+=0
(2)将常数项移到方程的右边得：x2+x=﹣
(3)方程两边同时加上()2得：x2+x+()2=()2﹣
(4)左边写成完全平方式，右边通分得：(x
+)2=
由a≠0得，4
a2＞0，所以，当b2－4ac≥0时，≥0，
所以，x=
除了上述推导方法外，不知道同学们是否思考过：还有其他方法吗？
多思出智慧，多练出成绩．我们也可以这样推导：
方法1：ax2+bx+c=0(a≠0)
方程两边同乘以4a得：4
a2x2+4abx+4ac=0
方程两边同时加上b2得：4
a2x2+4abx+4ac+b2=b2
把4ac移到方程的右边得：4
a2x2+4abx+
b2=b2－4ac
将左边写成完全平方式得：(2ax+b)2=
b2－4ac
当b2－4ac≥0时，有：
2ax+b=±
所以，2ax=﹣b±
因为，a≠0
所以，x=
方法2：ax2+bx+c=0(a≠0)
移项得：ax2+bx=﹣c
方程两边同乘以a得：a2x2+abx=﹣ac
方程两边同时加上()2得：a2x2+abx+()2=()2﹣ac
整理得：(ax+)2=﹣ac
即：(ax+)2=
当b2－4ac≥0时，
ax+=±
即：x=
同学们，没有做不到，只怕想不到．对于任何问题，大家都要想一想：这个问题还有其他的解法吗？问题都可以得到圆满的解决．
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用公式法求解一元二次方程
新版【课后作业问题】问题一、P43
随堂练习1.
答案：
（1）有两个不相等实数根；（2）没有实数根；（3）有两个相等的实数根。
【举一反三】
典例：方程2x2-3x+1=0有(
)．
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实根
D．以上说法都不对。
思路引导：根据题意，确定该方程b2-4ac=1，可知方程有两个不相等的实数根。
标准答案：B。
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www.如何列一元二次方程解决平移问题？
答案：
平移是物体运动的一种形式，恰当的平移往往能产生事半功倍的效果。
【举一反三】
典例：某中学有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修建宽都是2米的两条互相垂直的道路,余下的四块矩形小场地建成草坪。
（1）如图，请分别写出每条道路的面积（用含a或含b的代数式表示）
（2）已知a:b=2:1，并且四块草坪的面积之和为312米2
，试求原来矩形场地的长和宽各为多少米？
思路导引：一般来说，此类问题应表示出图形中的面积，特别注意重合部分。
虽然表示出两条道路的面积为2a米2
和2b米2，但由于两条道路有重合的部分，草坪的面积是矩形场地的面积减去两条道路的总面积(2x+4x-4)
米2.（1）这两条道路的面积分别为2a米2
和2b米2
（2）设b=x米，则a=2x米，由题意可得
x 2x-(2x+4x-4)=312
即x2-3x-154=0
(x-)2=
所以x-=或x-=-
整理得：x1=14
,x2=-11
(舍负根)
所以b=14
,a=28
即矩形的长为28米，宽为14米。
标准答案：（1）这两条道路的面积分别为2a米2
和2b米2（2）矩形的长为28米，宽为14米。
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用公式法求解一元二次方程
新版【课后作业问题】问题五、P43
知识技能2.
答案：
（1）x1=1+，x2=1-；（2）x1=2，x2=-；
（3）x1=，x2=；（4）没有实数根。
【举一反三】
典例：用公式法解一元二次方程。（1）x2＋4x－3=0；
（2）
2x－1=－2x2。
思路引导：将方程化为一元二次方程的一般形式，判断b2-4ac的值，再根据求根公式x=，解答即可。
标准答案：解：（1）x2＋4x－3=0
a=1，b=4，c=-3
所以b2-4ac=16+12=28，
x=
=-2±，
x1=-2+，x2=-2-。
（2）
2x－1=－2x2
原方程化为2x2+2x-1=0
a=2，b=2，c=-1
所以b2-4ac=4+8=12，
x=
，
x1=，x2=。
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1解一元二次方程课标要求
包括配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对解一元二次方程一节相关内容提出的要求如下。
1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．
2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等．
3．了解一元二次方程的根与系数的关系．
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www.什么形式的一元二次方程可以用直接开平方法来解？
答案：

方程可化为一边是含未知数的完全平方式,另一边是一个常数,那么就可以用直接开平方法来求解.
直接开平方法的理论依据是平方根的定义及性质
【举一反三】
典例：解方程x
2+6x+9=2
思路导引：一般来说，解一元二次方程应先观察特点，再确定用什么方法求解。
原式可变为完全平方：（x+3）2=2，直接开平方，得：x+3=±，即x+3=，x+3=-

所以，方程的两根x1=-3+，x2=-3-
标准答案：x1=-3+，x2=-3-
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www.用公式法求解一元二次方程学习要点
学习目标：
1、会一元二次方程的求根公式的推导。
2、会用求根公式解一元二次方程。
学习重难点：
重点：
公式的推导和用公式法解一元二次方程。
难点：
求根公式的推导。
学习要点：
1、求根公式的推导
ax2+bx+c=0
(a≠0)
方程两边都作以a，得
x2+x+=0
移项，得：
x2+x=－
配方，得：
x2+x+()2=－+()2
即：(x+)2=
∵a≠0，所以4a2>0
当b2－4ac≥0时，得
x+=±
EQ
\R(,)
=±
∴x=(此式称为求根公式)
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)
当b2－4ac≥0时，它的根是
x=
注意：当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。
2、公式法
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
3、利用求根公式解一元二次方程的步骤
应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b－4ac的值。当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程。
4、一元二次方程的判别式
我们把b－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根的判别式。
表示方法：
5、利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况
(1)
当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根：
(2)
当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根：
(3)
当b2－4ac<0时，方程没有实数根。
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1巧变一元二次方程
一些条件中含有(或可转化为)一元二次
( http: / / www.21cnjy.com )方程的题目，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．现举例说明如下．
1.把方程
( http: / / www.21cnjy.com )变形为
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )，代换后使之转化关系或整体的消去
( http: / / www.21cnjy.com )．
例1
已知
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的根，则
( http: / / www.21cnjy.com )的值为__________．
解:由题设知
( http: / / www.21cnjy.com )，
原式=
( http: / / www.21cnjy.com )．
2.
把方程
( http: / / www.21cnjy.com )变形为
( http: / / www.21cnjy.com )，代换后使降幂或升幂.
例2
设
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )=__________．
解:
由题设得
( http: / / www.21cnjy.com )，整理得
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以，原式=
( http: / / www.21cnjy.com )．
3.
把方程
( http: / / www.21cnjy.com )直接作零值代换，使问题化繁为简.
例3
若
( http: / / www.21cnjy.com )是方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两个根，那么(
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )的值等于____________．
解:由题设知
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )及
( http: / / www.21cnjy.com )
所以，原式=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )
=
( http: / / www.21cnjy.com )

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