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由博弈产生的科学——概率
概率的产生带有许多传奇色彩，正如著名的数学家拉普拉斯所说的那样：一门开始于研究博弈中输赢机会的学问，居然成为人类文化中最重要的科学，这无疑是令人惊讶的事情，这门科学就是概率．真正为概率奠定基础的是17世纪两位法国著名的数学家帕斯卡和费马．据说他们对当时一些博弈中提出的古怪问题进行了认真的讨论，发现这种偶然现象的规律用以往的数学方法无法解决，必须开创和发展新方法，并预见到这种新方法将会对自然科学和哲学产生深刻的影响．
古怪问题的其中之一是“赌金分配问题”，它直接推动了概率的产生．对与之类似的问题有的同学也许并不陌生，在上学期的教科书中曾经提到过它，现在让我们再回顾一下．比如，两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得1分，掷出反面乙得1分，先得到3分的人将赢得一个大蛋糕．如果游戏因故中途结束，此时甲得了2分，乙得了1分，他们该如何分配这个蛋糕呢？
甲乙二人对“蛋糕的如何分”发生了争论．乙说：“再掷出一次正面你就获胜，而再掷出两次反面我就获胜，因此你应得块蛋糕，我应得块．”“这不公平．”甲对此提出不满，“即使下一次掷出了反面，我们两人也是各得2分，各自得到块蛋糕．何况下一次还有一半的可能掷出正面，所以我应得块蛋糕，你应得块．”
历史上，也曾有人对类似这样的问题发生过争论，他们最后决定去请教帕斯卡和费马．没想到这个问题居然一下子难住了两位大数学家，他们竟为此整整考虑了3年，最后终于解决了这个问题．
同学们，你们一定想知道问题的答案，下面我们就尝试着讨论一下：假如上面的游戏继续下去，只要最多再掷两次硬币就一定能分出输赢．再掷两次硬币会发生什么结果呢？你完全可以用学过的知识解决它，利用“树状图”试一试！列出“树状图”后我们会发现，一共有四种可能的结果（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），其中前三种结果都是甲先得到3分，只有最后一种结果才能使乙先得到3分，因此，甲应得块蛋糕，乙应得块蛋糕．
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-频率与概率的关系
在我们的日常生活中存在着大量随机事件，我们已经学习了用列表法和树形图法求某些随机事件发生的概率，但是当试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，如何确定某些随机事件发生概率的大小呢 25.3节我们主要学习通过试验体会“某一随机事件发生的频率无限的接近于理论概率”这一重要规律，以及运用随机事件出现的频率估计随机事件发生的概率大小的重要方法.
一、关于在试验中感悟“频率稳定于概率”这一规律
通过大量的课内和课外的反复试验，我们发现尽管随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性，但只要保持试验不变，当试验次数很大时，那么这一事件出现的频率就会随着试验次数的增大而趋于稳定，这个稳定值就可以作为该事件在每次试验中发生的可能性(即概率)的一个估计值．例如从一副52张(没有大小王)的牌中每次抽出一张，然后放回洗匀再抽，在这个试验中，我们可以发现，虽然每次抽取的结果是随机的、无法预测的，是一个随机事件，但是随着试验次数的增加，出现每一种花色牌的频率都稳定在25％左右，因此我们可以用平稳时的频率估计牌在每次抽出时的可能性，即概率的大小.
二、关于用频率估计概率的大小
在随机事件中.虽然每次试验的结果都是随机的、无法预测的，但是不确定事件的发生并非完全没有规律.随着试验次数的增加，隐含的规律会逐渐显现，事件出现的频率会逐渐稳定到某一个值.大量试验表明：当试验次数足够多时，事件A发生的频率会稳定到它发生的概率的大小附近，所以，我们常用频率估计事件发生的概率．用频率估计事件发生的概率时，需要说明以下几点：
(1)频率和概率是两个不同的概念，二者既有区别又有联系.事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
(2)通过试验用频率估计概率的大小，方法多种多样，但无论选择哪种方法，都必须保证试验应在相同的条件下进行，否则结果会受到影响.在相同条件下，试验的次数越多，就越有可能得到较准确的估计值，但每个人所得的值并不一定相同.
(3)频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.如随机抛掷一枚硬币时，理论上“落地后国徽面朝上”发生的概率为，可抛掷1000次硬币，并不能保证落地后恰好500次围徽面朝上，但经大量的重复试验发现，“落地后国徽面朝上”发生的频率就在附近波动．
(4)事件的概率需要用稳定时的频率来估计．它需要做充分多的试验才能较准确.需要注意的是一次试验的结果是随机的、无法预测的，不受概率的影响.
(5)我们不但可以运用事件出现的频率来估计这一事件在每次试验中发生概率的大小，同样，当我们预知某一事件在每次试验中发生的概率大小的值，就可以知道当试验次数很大时这一事件出现的频率逐渐会接近于这个概率值
此外还应补充的一点是，虽然用试验的方法可以帮助我们估计随机事件发生的机会的大小，但有时手边恰好没有相关实物，或者用实物进行试验困难很大时.我们就需要用替代物进行模拟试验．进行模拟试验时应注意：(1)模拟试验的多样性，即同一试验可以有多种多样的替代物；(2)模拟试验必须在相同的条件下进行.
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1用列举法求概率课标解读
一、课标要求
包括用列表法求概率和用画树状图法求概率等内容．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本节相关内容提出的教学要求如下：
能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率．
二、课标解读
1．用列举法求概率是在第二学段定性描述随机现象发生可能性基础上，对随机事件发生的可能性（概率）进行定量研究．对于试验只涉及一个因素或只需要一步完成的，可以采用直接列举的方法．而当试验涉及两个或两个以上因素时，直接列举容易造成试验可能结果的重复或遗漏，而采用列表和画树状图来辅助列举，则可以条理清楚、不重不漏地列举试验的结果，而且容易找出指定事件所包含的试验结果．从而可以利用概率的古典定义，计算简单随机事件的概率，深化对概率意义的认识．
2．这里所说的列表法，是通过建立二维表格，将试验涉及的两个因素的所有结果，分别写在表头的横行和竖列中，而将表头中所列出的结果按序排列在表中，就可以不重不漏地列出这两个因素所组成的所有可能结果．教学中要让学生体会列表法的作用，弄清列表法是针对涉及两个因素或是分两步实施的试验．对于涉及到三个因素或分三步完成的试验，这种列二维表格的方法则不适用．
3．画树状图法是一种借助图形的形式列举试验结果的又一方法，它能够更好地体现分步思考的结果．和列表法相比，它的适用性更加广泛，其不仅适用每个试验包含两个子结果的情形，更适用于每个试验子结果数超过两个的情形．理论上讲，只要试验涉及的因素有限，且每个因素可能出现的结果有限，画树状图法都可以列举出试验所有的可能结果．但过多的层次和过多的结果数，除了增加列举的难度，对学生理解概率的意义没有太大的帮助．所以，教学中画树状的问题不宜超过三步．
4．无论是用列表法还是画树状图法，目的都是能够清晰地、有条理地、不重不漏地列举试验的所有可能结果，以满足古典概率定义的条件．教学中应该与学生一起归纳两种方法求概率的一般步骤．
5．概率与现实生活的联系比较紧密．这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的．教学中应该结合实际情况，挖掘身边的一些素材，选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子，在解决这些实际问题的过程中培养随机观念，学习计算概率的方法，理解概率的意义，体会概率与实际生活的密切联系，调动学生学习概率知识的积极性，提高他们应用知识解决问题的能力．
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1例析用概率知识讨论游戏公平性
用概率知识讨论游戏公平性的题目在近几年的中考试卷中层出不穷，今举数例，供同学们学习时参考.
一、双转盘游戏
例1.
（兰州市）有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，丁洋和王倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘A和B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止；③如果和为0，丁洋获胜，否则王倩获胜．
（1）用列表法（或树状图）求丁洋获胜的概率；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
分析：要求丁洋获胜的概率，则需要求出转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为0的可能的结果数及所有可能的结果数，从而求出其概率，对于第（2）问，看双方获胜的概率是否相等即可.
解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
转盘B转盘A
0
-1
-2
0
（0，0）
（0，-1）
（0，-2）
1
（1，0）
（1，-1）
（1，-2）
2
（2，0）
（2，-1）
（2，-2）
3
（3，0）
（3，-1）
（3，-2）
根据表格，共有12种可能的结果，其中和为0的有三种：（0，0），（1，-1），（2，-2）．
故丁洋获胜的概率为P==．
（2）这个游戏不公平．
因为丁洋获胜的概率为，王倩获胜的概率为，故游戏对双方不公平．
评注：要判断游戏规则是否公平，则需判断游戏双方获胜的概率是否相等，只有双方获胜的概率相等时，游戏才公平，否则，谁获胜的概率大，游戏就对谁有利.
二、摸球游戏
例2.（衡阳）A、B两个口袋中均有3个分别标有数字1、2、3的相同的球，甲、乙两人进行玩球游戏．
游戏规则是：甲从A袋中随机摸一个球，乙从B袋中随机摸一个球，当两个球上所标数字之和为奇数时，则甲赢，否则乙赢．问这个游戏公平吗 为什么
分析：可以利用列表法或画树状图法来帮助分析问题.
解：不公平
下面列举所有可能出现的结果：
由此可知，和为奇数有4种，和为偶数有5种
∴甲赢的概率为4/9，乙赢的概率为5/9
∴不公平
评注：列举的方法有列表法和画树状图两种方法.一般地.画树状图法适用于求两步及两步以上的随机事件的概率，列表法只适用于求两步实验的随机事件的概率.列表时要注意列全所有可能出现的结果.
除了上面所列举的两种情况外，还有扑克牌游戏（如《计算概率的几种方法》中的例4）掷骰子游戏，剪子、包袱、锤游戏等，这里就不一一说明了.请同学们自己结合相关题目仔细体会.
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2转盘游戏中的概率问题
转盘游戏是同学们很熟悉的游戏，其中蕴涵的概率知识非常丰富，越来越多成为中考题的背景材料，频频出现中考的题目中，现举例进行说明：
一、一个转盘中的概率问题
例1（海南）右图是一个被等分成6个扇形可自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针指向红色区域的概率是　　　　　．
分析：由于一个圆平均分成6个相等的扇形，而转动的转盘又是自由停止的，所以指针指向每个扇形的可能性相等，即有6种等可能的结果，在这6种等可能结果中，指针指向写有红色的扇形有三种可能结果，所以指针指到红色的概率是，也就是
解：
点评：由概率的定义求概率是常用方法，即找到某一事件的所有等可能出现的结果，然后找到这一事件发生的等可能结果，利用两者作商，就可以求出这个事件的概率。
二、两个转盘的概率问题
例2
有两个可以自由转动的均匀转盘，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下：
①分别转动转盘；
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等份线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．
（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；
（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，
他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平．
分析：对于多步发生的事件，我们通常可以用列表法
或树状图来求概率，用列表示来求概率时，用横行来表示一步的
所有等可能结果；用竖列来表示另一步的所有等可能结果，用树状图主要求三步或三步以上的事件求概率。游戏是否公平关键就看小亮和小芸的每次得分，若两人的每次得分相等，则游戏公平，否则游戏不公平。
解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
转盘B的数字转盘A的数字
4
5
6
1
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，4）
（3，5）
（3，6）
表格中共有9种等可能的结果，则数字之积为3的倍数的有五种，其概率为；数字之积为5的倍数的有三种，其概率为．
（2）这个游戏对双方不公平．
小亮平均每次得分为（分），
小芸平均每次得分为（分）．
，游戏对双方不公平．
修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可．
点评：修改规则，使游戏变得公平这类问题，对于概率不同的问题，可以通过修改事件，来达到概率相同的目的，对于得分问题，既可以修改事件，又可以修改得分规定，来达到游戏公平。
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1运用概率对血缘关系进行分析
日本电视连续剧《血疑》，是围绕着血型的疑问而展开的．剧中的四个主要人物，相良、理惠、幸子和光夫的血型均为AB，RH阴性．他们之间的血缘关系是：幸子为相良与理惠所生，光夫为相良与多加子所生．多加子的血型在剧中虽说没有亮相，但从科学角度分析，也不应当是任意的．
《血疑》的故事情节，当然是虚构的，本文想从科学的角度研究一下《血疑》中的血型结构，究竟有多大的现实可能性．
1990年美籍奥地利生物学家朗德斯特纳（Land—steiner）发现了血球的凝结现象．此后，学者们又陆续发现了人类的血液可以按照凝结与否而分为若干大类，并称之为血型．1924年，波斯汀（Bernstein）提出了“三复等位基因“的学说．这一著名学说的要点是：人类的血型受体细胞第七对染色体中的A基因，B基因和O基因控制．在一个位点上，A，B，C三种基因必居其一．这样，在受精过程中，两条染色体相配，可以表现出六种基因的基本组合，OO，OA，OB，AA，AB，BB．由于A，B基因属于显性，O基因属于隐性，所以A，B能表现出来，O却不能表现出来．因此，上述六种基因组合中，OA与AA均表现为A型，OB与BB均表现为B型加上O型（OO）与AB型，一共有四种表现型：
据有关资料统计，世界上不同人种中的血型分布有很大的不同．以黄色人种为例，血型为A的占，血型为B的占，AB的占，O型占．血型中Rh阴性者占．
由于《血疑》的故事是发生在黄种人的日本，所以在人口中出现AB，Rh阴性的概率为：
，即万分之八，
而同是AB，Rh阴性的相良和理惠结合的概率为：．他们的子女的血型，按奥地利遗传学家孟德尔（Mendel，1822～1884）的分离自由组合定律，可能有A型，Ｂ型和AB型三种．由下图可知，由下图可知，自由组合中AB型占．注意到幸子是女生，又其血型不仅是AB型，而且还是Rh阴性等各种独立的限制，可得这一情形出现的概率为：
．
综合上述，相良、理惠及其女儿幸于这一血缘链中，三者血型均为AB，Rh阴性的概率为：
．
现在看另一条血缘链．由于相良和光夫父子的血型都是AB型，因而尽管不知道母亲多加子的血型，但可以肯定她的血型不会是O型．因为如若是O型，就不可能分离组合出AB型的子代．这样，多加子的血型组合基因只能是AO，AA，BO，
BB，
AB五种．
对多加子的上述五种可能的血型基因组合，像前面那样利用孟德尔分离组合定律，逐一加以计算．考虑到黄种人的多加子，能够获得各种基因组合的百分比，便可算得光夫血型为AB，Rh阴性的概率如下表：
多加子血型基因
血型基因所占比例
相应光夫AB，Rh阴性概率
AO
AA
BO
BB
AB
这就是说，在相良血型为AB的前提下，光夫血型为AB，Rh阴性的概率为：．
最后，我们来研究相良、理惠、幸子和光夫四人血型同为AB，Rh阴性的可能性．很明显，幸子与光夫之间的血型，是不可能没有关系的．因为他们毕竟是同父异母的兄妹．所以，当我们算得相良、理惠和幸子的血型同为AB，Rh阴性的概率之后，继而计算光夫的血型概率时，就必须考虑“同父”的条件．好在当我们计算时，已经把相良血型是AB
作为前提．于是，我们终于得出四人血型同为AB，Rh阴性的概率：
．
五千亿分之一！这比千载难逢的“生日相同五同胞”的概率还要小三十倍．因此，我们可以断言：电视剧《血疑》中的血型结构，完全是一种臆造和夸张，在现实世界上是不可能发生的．这就是关于电视连续剧《血疑》的质疑的科学结论．
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1怎样分配才合理
17世纪的一天，保罗与著名的赌徒梅尔睹钱，每人拿出6枚金币，比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局，这时一件意外的事中断了他们的赌博，于是他们商量这12枚金币应怎样分配才合理.
保罗认为，根据胜的局数，他应得总数的，即4枚金币，梅尔得总数的，即8枚金币；但精通赌博的梅尔认为他赢的可能性大，所以他应得全部赌金，于是，他们请求数学家帕斯卡评判，帕斯卡又求教于数学家费尔马，他们一致的裁决是：保罗应分3枚金币，梅尔应分9枚.
帕斯卡是这样解决的：如果再玩一局，或是梅尔胜，或是保罗胜,如果梅尔胜，那么他可以得全部金币(记为1)；如果保罗胜，那么两人各胜两局，应各得金币的一半(记为).由这一局中两人获胜的可能性相等，因此梅尔得金币的可能性应该是两种可能性大小的一半，即梅尔为(1+)÷2=，保罗为(0+)÷2＝.所以保罗为（0+）÷2=.所以梅尔分9枚，保罗分3枚.
费尔马是这样考虑的：如果再玩两局，会出现四种可能的结果：(梅尔胜，保罗胜)；(保罗胜，梅尔胜)；(梅尔胜，梅尔胜)；(保罗胜，保罗胜).其中前三种结果都是梅尔胜，只有第四种结果保罗才能取胜.所以梅尔取胜的概率为，保罗取胜的概率为，所以梅尔分9枚，保罗分3枚.
帕斯卡和费尔马还研究了有关这类随机事件的更一般的规律，由此开始了概率论的早期研究工作.
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1用列表法求简单随机事件的概率
一、列表法求简单随机事件的概率
突破建议：
1．如果试验所涉及的因素包含两个，或试验的完成需要两步进行时，采用直接列举容易造成重复和遗漏，而用列表法则可以避免上述问题．
2．教学中要尽量设计一些贴近学生实际的问题，帮助学生建立基本模型，归纳列表的方法及利用列表法求概率的一般步骤．
3．列表法求概率的基本方法，概括起来可以是一列（列表）；二数（对试验可能产生的所有结果和所求事件出现的可能结果进行计数）；三算（利用古典概率的定义，进行计算）．
例1
小聪、小明和小慧设计了一个游戏：同时掷两枚硬币，如果都是正面朝上，小聪羸；如果都是反面朝上，小明赢；如果是一正一反，小慧赢．你来判断一下，这个游戏公平吗？
解析：这个问题贴近学生实际生活，试验中涉及两个因素，每个因素只有两个取值，最后可能产生的结果数量不多，用直接列举的方法，可以实现．但如果学生忽略了区分两个硬币，则易出现错误判断．因而在列举试验结果时，可以预先对两枚硬币进行编号硬币1和硬币2，这样可以将所有情况一一列举出来：正1正2（记为事件A）；正1反2；反1正2；反1反2（记为事件B），显然这四种情况出现的可能性相等．因而P(A)=，P(B)=，而一正一反（记为事件C）的结果共有2种，所以P(C)=．由于三个事件的概率不同，因而这个游戏是不公平的．教学中，可以让学生尝试建立一个二维表格，将表头的横行表示掷第一枚硬币所有可能的两种结果，竖列则表示掷第二枚硬币所有可能的两种结果，每个格中就可以依据先后次序表示掷两枚硬币的一种可能结果．通过表格，可以更加直观地看到，所有结果共有4个，且这4
个结果出现的可能性相等．
二、确定试验的分步实施或涉及因素准确列表
突破建议：
1．教学中教师要引导学生对需要进行列举试验结果的问题进行分析，弄清每个试验所涉及的因素．对于只涉及两个因素（或分两步实施）的试验，且每个因素的取值个数较多时，优选列表法，让学生体会列表法的作用．
2．列表法是依据试验涉及的两个因素（或是两个步骤），将它们分别作为表格的横纵表头，而将实验的所有结果写在表格之中，从而实现不重不漏地列举出所有结果．在用列表法时，写在表格内的结果一定要注意区分两个因素或确定分步实施的先后次序，这样才能保证试验结果的等可能性．在具体教学中，要做一些适当的变式练习，以巩固学生对列表法的应用，但要注意控制难度，不要引入结果种数太多的试验．
例2
同时抛掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1)两个骰子的点数相同；
(2)两个骰子的点数的和是9；
(3)至少有一个骰子的点数为2．
解析：在这个问题中也是涉及到了两个因素（第一枚骰子和第二枚骰子），而每个因素的取值个数较多，达到6种，如果直接列举会比较复杂，而且可能会出现重复或遗漏．因而可以采用列表格的形式，将第一枚骰子的所有结果作为表头的横行，将第二枚骰子的所有可能结果作为表头的纵列，并按序将两枚骰子共同组成的所有可能结果填入表格中．通过表格发现共有36种结果，而且它们的可能性相等．在此基础上，找出上面问题中三个具体事件包含的试验结果，利用古典概率的定义不难求出三个事件发生的概率．
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1例析用列表法或树状图求事件的概率
列表法或树状图是查找事件所有可能结果的非常有效的方法，要根据“求某事件的概率”的题目的具体特点，选用列表法或画树状图法，找出事件所有等可能结果，才能正确解决这类问题。
利用列举法求概率的关键在于正确列举出实验结果的各种可能性，当事件只有一步或涉及一个因素时，通常用直接列举法。
例1（天门市）2006年6月5日是中国第一个“文化遗产日”，某中学承办了“责任与使命——亲近文化遗产，传承文明火炬”的活动，其中有一项“抖空竹”的表演，已知有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名同学各自随机选用其中的一种空竹。求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹的概率。
解析：三名同学的选择可以选择塑料和木质两种，我们可以将选择情况用列举法及树状图解决。
解：设塑料—A，木质—B。
P（M）=
例2（济南市）在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同。
（1）从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；
（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率。
解：（1）在7张卡片中共有两张卡片写有数字1
从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是。
（2）组成的所有两位数列表为：
1
2
3
4
1
11
21
31
41
2
12
22
32
42
3
13
23
33
43
或列树状图为：
这个两位数大于22的概率为
练一练：
1、（大连市）为丰富学生的校园文化生活，振兴中学举办了一次学生才艺比赛，三个年级都有男、女各一名选手进入决赛。初一年级选手编号为男1号、女1号，初二年级选手编号为男2号、女2号，初三年级选手编号为男3号、女3号。比赛规则是男、女各一名选手组成搭档展示才艺。
（1）用列举法说明所有可能出现搭挡的结果；
（2）求同一年级男、女选手组成搭档的概率；
（3）求高年级男选手与低年级女选手组成搭档的概率。
参考答案：
解：（1）方法一：树状图：
共9种等可能结果；
方法二：列表：
男1号
男2号
男3号
女1号
男1号，女1号
男2号，女1号
男3号，女1号
女2号
男1号，女2号
男2号，女2号
男3号，女2号
女3号
男1号，女3号
男2号，女3号
男3号，女3号
共9种等可能结果；
（2）所有等可能的结果为9种，同一年级男、女选手组成搭档的情况有3种：男1号、女1号，男2号、女2号，男3号、女3号。
（同一年级男、女选手组成搭档）。
（3）所有等可能的结果为9种，高年级男选手与低年级女选手组成搭档的情况有3种：男3号、女2号，男3号、女1号，男2号、女1号。
（高年级男选手与低年级女选手组成搭档）
十位数
个位数
男
选
手
组
合
搭
档
女
选
手
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1下一个百万富翁就是你？
“下一个百万富翁就是你!”这句响亮的且极具诱惑力的话是彩票的广告词.花上几元钱,买一张彩票,然后就中了几百万乃至上千万的巨额奖金,这大概是很多人梦寐以求的事.可是这样的机会有多大呢
我们以前段时间比较流行的中国体育福利彩票为例来计算一下.买一注彩票,你只需在0到9的10个数字中任意选取7个,可以重复.在每一期开奖时有一个专门的摇奖机按顺序随机摇出7个标有数字的小球,如果你买的号码与开奖的号码一致,那你就中了特等奖,其奖金最高是500万元.可是,当我们计算这种摇奖方式能产生出多少种不同的情况时,我们会吓一跳:10×10×10×10×10×10×10=10000000种!这就是说,假如你只买了一注彩票,7个号码按顺序与开奖号码完全一致的机会是一千万分之一.一千万分之一是一个什么样的概念呢 如果每星期你坚持花20元买10注彩票,那你在每19230年中有赢得一次大奖的机会;即使每星期坚持花2000元买1000注,也大致需要每192年才有一次中大奖的机会.这几乎是单靠人力所不能完成的,获大奖仅是我们期盼的偶然中的偶然事件.即数学上归为小概率事件之列.
概率理论从赌博中发展而来,又反过来成为赌场老板赚钱的强大工具.进入赌场的人总是相信自己运气十足,孰不知赌场庄家早已利用概率规律为他们设下了陷阱.例如,很多赌场里的老虎机上都顶着跑车,下面写着告示,告诉赌客已经有多少人玩了游戏,车还没送出,暗示现在轮到你的机会大增.但这其实是赌场利用概率规律为赌徒设下的一个诱惑陷阱.概率里有一个重要的规律就是随机事件的独立性,在随机事件中下次事件发生与否与上次事件是没关系的.
但人们通常都对这个规律无知无觉,很多情况下,人们因为前面已经有了大量的未中奖人群而去买彩票或参与到游戏中去.实际上,只要得大奖的规则没有变化,每人是否幸运,和前面的人是否中奖毫无关系,并不会因为前面人没中奖你就多了中奖的机会.庄家在参与赌博时已经设计好了一个有利于自己的概率,而很多玩家却浑然不知.
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1利用树状图或列表法求概率。
答案：
画树状图是列举事件的所有可能结果的重要方法。树状图是将实验中的第一步的结果写在第一层，第二步的结果写在第二层，以此类推，把所有事件可能的结果一一列出，其特点直观又有条理性。
列表法也是列举随机事件的所有可能结果的重要方法，当事件涉及两步时，将其中一个步骤作为行，另一个步骤作为列，列出表格，最后将事件所有可能的结果列在表格中。
【举一反三】
典题：（2014·舟山）有三辆车按1，2，3编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两人同坐3号车的概率为　　．
思路导引：根据题意画出树状图，得出所有的可能，进而求出两人同坐3号车的概率．
标准答案：解：由题意可画出树状图：
，
所有的可能有9种，两人同坐3号车的概率为：．
故答案为：．
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1
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www.象棋比赛阵容
少年宫请来了一位象棋大师，他对少年象棋队的队员们做了一些辅导之后，决定与少年棋手来几盘棋赛。大师的棋艺高出少年棋手好多好多，怎么能比呢？不要紧，大师下的是盲棋——不看棋盘，由别人将对手的走着告诉大师，大师再把自己的走着告诉这个人，由他代走。
比赛作了这样的约定：由少年象棋队挑出两名队员，轮流与大师赛棋，共赛三盘。如果能连胜大师两盘，就算少年棋队胜。注意：是连胜两盘，不是共胜两盘。
假定少年棋手甲能胜大师的概率是0．75，乙能胜大师的概率是0．5，那么少年棋队应该用“甲—乙—甲”，还是用“乙—甲—乙”的阵容来对付大师呢？
“当然用‘甲—乙—甲’阵容啦！甲是我队最好的队员嘛！”少年棋队的队员们一致这样看。
其实，“甲—乙—甲”阵容战胜大师（连胜两盘）的概率比“乙—甲—乙”阵容战胜大师的概率要小一些。
为什么呢？我们在这里只做一些直观的解释。
用“甲—乙—甲”阵容参战，最佳的棋手可以上场两次，看来好像是有利的。但是，我们现在的规则是：连胜两盘才能算少年队赢。用这个阵容，即使甲胜了两盘，也没用，因为不是“连胜”两盘。
要连胜两盘，必须在第二盘比赛中取胜，因此第二盘比赛是关键。而“乙—甲—乙”阵容，就是把最佳选手安排在最关键的场合，所以是较好的方案。
拼图游戏中的概率
记得小的时候，母亲和我经常用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，先抽取一张后，放回搅匀，再抽取第二张．规则如下：
当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，我赢；
当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，母亲赢（如图2）．
结果总是母亲赢得多，而我赢的少。
问题：游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？
房子
电灯
小山
小人
（图2）
（图1）
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1例析用列举法解转盘概率题
转盘游戏涉及的随机事件发生的概率问题，通常用列举法来解．列举的方法有两种：列表法和画树状图法．现以中考题为例，加以说明．
例1（广东省广州市中考题）如图1，甲转
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（1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”．按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性肚分别是多少
（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法(例如：树状图，列表)说明其公平性．
解：（用列表法来解）
（1）所有可能结果为：
甲
1
1
2
2
3
3
乙
4
5
4
5
4
5
和
5
6
6
7
7
8
由表格可知，小夏获胜的可能为：
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( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）同上表，易知，和的可能性中，有三个奇数、三个偶数；三个质数、三个合数．
因此，游戏规则可设计为：如果和为奇数，小夏胜；为偶数，小秋胜．（答案不唯一）
例2（江苏常州中考题）小颖为九
( http: / / www.21cnjy.com )年级1班毕业联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：图2是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色”成功，游戏者获胜，求游戏者获胜的概率．
解法1：用表格说明
转盘2转盘1
红色
蓝色
红1
（红1，红）
（红1，蓝）
红2
（红2，红）
（红2，蓝）
蓝色
（蓝，红）
（蓝，蓝）
解法2：用树状图来说明
所以配成紫色得概率为P(配成紫色)＝
( http: / / www.21cnjy.com )，所以游戏者获胜得概率为
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做一做，体验中考：
1．（湖北省十堰市）小莉和小慧用如图3
( http: / / www.21cnjy.com )所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字和为奇数，则小莉胜；若两次数字和为偶数，则小慧胜．这个游戏对双方公平吗？试用列表法或树状图加以分析．
2．（山东省青岛市）小明和小亮用如下（图4
( http: / / www.21cnjy.com )）的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．
答案：1．P(小莉获胜)＝
( http: / / www.21cnjy.com )，这个游戏对双方公平．
2．P（小明获胜）＝
( http: / / www.21cnjy.com )，P（小亮获胜）＝
( http: / / www.21cnjy.com )．∴小明的得分为
( http: / / www.21cnjy.com )×1＝
( http: / / www.21cnjy.com )，小亮的得分为
( http: / / www.21cnjy.com )×1＝
( http: / / www.21cnjy.com )．∵
( http: / / www.21cnjy.com )＞
( http: / / www.21cnjy.com )，∴游戏不公平．修改规则不惟一，如若两次转出颜色相同或配成紫色，则小明得4分，否则小亮得5分．
图1
图2
红
蓝
蓝
红
红
开始
红1
红2
蓝色
红（红1，红）
蓝（红1，蓝）
红（红2，红）
蓝（红2，蓝）
红（蓝，红）
蓝（蓝，蓝）
图3
图4
蓝
黄
红消息的传播
现在假定在某一个有200人的小村庄，开始有一个人向三个人传出某种消息；第二天，听到消息的三个人中，有一个人把消息传了开去，不过，他也只传了三个人。第三天，刚听到消息的三个人中，也只有一个人把消息传开去，而且也只传了三个人……
在这样的假定下，传播的速度似乎并不十分快。因为不是一传三，三传九，九传二十七……而是每天只传三个，半个月至多不过传了45人，不到全村人数的四分之一。
但是，有一个出乎意料的情况，半个月之后，几乎必定有人重复听到这一消息。因为根据计算，经过15次传播之后，至少有一人重复听到消息的概率达到99．45％。
你信不信？如果有疑问，可以设计一则试验来验证这个结论。
准备200张卡片，在上面分别写上1，2，3，…，200，将卡片装入布袋里。
第一次从布袋里盲目地取出一张，把号码记下。这个号码就算是信息的发布者。暂时不放回。
第二次，从布袋中盲目取出三张，记下号码。这算是第一批听到消息的三个人。留一张暂时不放回（这张卡片代表下一次传播消息的人），另两张放回。
把第一张卡片放回，然后第三次从布袋中盲目取三张卡片，记下号码。这算是第二批听到消息的三个人。留一张暂时不放回，其余两张放回。
把第二次摸出的并暂时留下的一张卡片放回，然后第四次从布袋中摸……
看一下，15次后，有没有被重复摸出的？
上述消息传播问题是很有实用价值的。比如，在医疗事业中，必须十分注意疾病的重复感染问题，因为传染病的传播就像消息传播一样，重复听到消息的可能性很大，说明重复感染的可能性也是很大的。
——摘自《初中新课标优秀教案》（有改动）
生日相同的故事
有一次，美国数学家伯格米尼去观看世界杯足球赛，在看台上随意挑选了22名观众，叫他们报出自己的生日，结果竟然有两人的生日是相同的，使在场的球迷们感到吃惊。
还有一个将军也作了一次试验。一天他与一群高级军官用餐,席间大家天南地北地闲聊。慢慢地,话题转到生日上来。他说:“我们来打个赌。我说,我们之间有两个人的生日相同。”
“赌输了,罚酒三杯!”在场的军官们都很感兴趣,“行！”在场的各人把生日一一报出，结果没有生日恰巧相同的。
“快！你可得罚酒啊！”
突然，一个女佣在门口说：“先生，我的生日正巧与那边的将军一样”。
大家傻了似的望望女佣。他趁机赖掉了三杯罚酒。
——摘自《初中新课标优秀教案》（有改动）
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1用树状图或列表法求概率解决实际问题
答案：
运用这两种方法解决实际问题，要考虑事件涉及到的因素，当事件有两个因素时，用列表法比较简单；当事件中涉及到3个或更多因素时，选用画树状图较为简单。
【举一反三】
典题：（2014·陇南）在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．
（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；
（2）求点（x，y）在函数y=﹣x+5图象上的概率．
思路导引：（1）首先根据题意画出表格，即可得到P的所以坐标；
（2）然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=﹣x+5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案
标准答案：解：列表得：
（1）点P所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种；

（2）∵共有12种等可能的结果，其中在函数y=﹣x+5图象上的有4种，
即：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）
∴点P（x，y）在函数y=﹣x+5图象上的概率为：P=．
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1用频率估计概率典例解析
随机事件发生的可能性的大小可以通过大量的重复实验去探索.通过频率的稳定性来揭示随机事件发生的可能性的大小，在大量的实验中，某个事件发生的频率稳定一个常数，此常数叫该随机事件发生的概率.
例1在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只,
某学习小组做摸球实验,
将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,
再把它放回袋中,
不断重复.
下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
(1)
请估计：当很大时,
摸到白球的频率将会接近
；
(2)
假如你去摸一次,
你摸到白球的概率是
,摸到黑球的概率是
；
(3)
试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只
(4)
解决了上面的问题,
小明同学猛然顿悟,
过去一个悬而未决的问题有办法了.
这个问题是:
在一个不透明的口袋里装有若干个白球,
在不允许将球倒出来数的情况下,
如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)
请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.
分析:本题是一道根据摸球实验频率估算概率的试题,利用摸球次数最多1000次的频率去估计接近值,利用这个值代替概率值即可解决问题.
解:
(1)由表格可知,当n≥500时,频率值稳定在0.6左右,由此,当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6.
(2)摸到白球的概率是0.6,这时摸到黑球的概率为1-0.6=0.4.
(3)白球个数为:20×0.6=12(只),黑球个数为20×0.4=8(只)或20-12=8(只).
(4)方案一:①添加:向口袋中添加一定数目的黑球,并充分搅匀;
②实验:进行大数次的摸球实验(有返回),记录摸到黑球和白球的次数,分别计算频率.由频率估计概率;③估算:.球的总个数×摸到白球的概率=白球的个数.
方案二:
①标记:从口袋中摸出一定数目的白球做上标记,然后放回口袋并充分搅匀;
②实验:进行大数次的摸球实验(有返回),记录摸到有标记球的次数,计算频率,由频率估算概率.
③估算:.
例2王强与李刚两位同学在学习“概率”时.做抛骰子(均匀正方体形状)实验，他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：
向上点数
1
2
3
4
5
6
出现次数
6
9
5
8
16
10
(1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率.
(2)王强说：“根据实验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大.”
李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次.”
请判断王强和李刚说法的对错.
(3)如果王强与李刚各抛一枚骰子.求出现向上点数之和为3的倍数的概率.
分析:本题是一道与频率与概率有关的试题,解决问题的关键要理解概率与频率的计算方法.根据表格信息可知，抛了54次，向上的点数为3共出现了5次，向上点数为5的共出现了16次，由此可计算出相应的频率.通过列表或画数状图的方法可求到向上点数之和为3的倍数的概率.
解：(1)出现向上点数为3的频率为，出现向上点数为5的频率为.
(2)因为掷一次骰子点数1，2，3，4，5，6出现向上具有等可能性，所以王强说法不对，虽然投掷54次出现点数6向上的频数是，但频率不一定等于概率，因为掷一次骰子，点数6向上的概率是，所以李刚的说法也不正确的.
(3)通过画树状图或列表可得王强与李刚各抛一枚骰子.求出现向上点数之和为3的倍数的概率
评注:通过试验来估算不确定事件发生的概率大小,通常是在试验次数越多,事件发生的频率值逐渐稳定时,才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率.
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1频率与概率的含义
答案：
在试验中，每个对象出现的频率程度不同，我们称每个对象出现的次数为频率，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率=。
把事件发生的可能性大小的数值，称为事件发生的概率。
【举一反三】
典题：（2014·黔东南州）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是
（
）
A．可能有5次正面朝上
B．必有5次正面朝上
C．掷2次必有1次正面朝上
D．不可能10次正面朝上
思路导引：掷一次硬币正面朝上的可能性为，可能是正面朝上，也可能是反面朝上。掷2次硬币不一定有1次正面朝上，C错误；掷10次硬币可能10次正面朝上，D错误；不一定有5次正面朝上，B错误；掷10次硬币可能有5次正面朝上，A正确。
标准答案：A。
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www.概率论的产生和发展的历史
概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论问题的源泉．
早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢局就算赢，全部赌本就归谁．但是当其中一个人赢了局，另一个人赢了
局的时候，赌博中止．问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机．
三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作．
近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域．许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的．
概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科．但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容．
概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法．
数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性．使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率．
统计方法——是以上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的理论根据、数学论证．
应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的主要不同点有：
第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石．但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性．
第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法．这是因为它研究的对象——随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行．但是由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结论的可靠性．
第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的．而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果．我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律．
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1用频率估计概率课标解读
一、课标要求
用频率估计概率一节包括两个课时，本课是在学生已经学习了用列举法求概率的基础上，进一步研究用频率估计概率．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对用频率估计概率一节相关内容提出的教学要求是：
1．能够通过随机试验，获得事件发生的频率；
2．知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率；
3．了解频率与概率的区别与联系．
二、课标解读
1．本章知识结构如下图所示：
本节介绍用频率估计概率．由前两节可知，对于结果个数有限且每个结果等可能的随机试验中的事件，我们可以用列举法去概率．教科书这一节从统计试验结果频率的角度去研究一些随机试验中事件的概率，此方法求概率不受列举法求概率的两个条件的限制．
2．理解用频率估计概率方法的合理性和必要性
教科书设置了一个投币试验，一方面要求学生亲自动手试验获得数据，从数据中发现规律；另一方面还给出历史上投币试验的数据，为学生发现规律提供帮助．通过学生的亲自动手试验和历史数据，学生能够用自己在统计中学过的频率知识来研究投掷一枚硬币时“正面向上”的频率的大小．学生自主可以发现，在大量重复投掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0．5的左右摆动，一般地，随着投掷次数的增加，频率会呈现出一定的稳定性：在0．5的左右摆动的幅度会越来越小．这个稳定值和用古典概型求出的概率理论值0．5是一致的，从而说明用频率估计概率方法的合理性．通过这个试验，也让学生从频率的角度进一步认识概率的意义，概率反映的规律是针对大量重复试验而言．但试验的次数再多，也很难保证试验的结果与理论值相等．让学生明白这一点，认识到概率的思维方式与确定性思维方式的差异，从而建立良好的随机观念．
由于用频率估计概率不受随机试验中可能结果数有限和各种结果发生等可能的限制，适用的范围比列举法更广．
3．频率与概率的联系
初学概率的学生容易混淆概率与频率两个概念，更不容易理解两者的联系与区别．在一定条件下，大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率会在某一个常数附近波动，即频率具有随机性．试验的次数越多，波动越小，这个性质就是频率的稳定性，这个常数就是事件A发生的概率P（A）．人们常把试验次数很大时事件发生的频率作为概率的近似值．频率与概率是两个对立的概念，事件的概率是一个客观存在的常数，事件的频率是一个与试验次数、试验者都有关的一组波动的变数，而概率的统计定义是把频率的稳定值看作概率的近似值，因为频率与概率的差异永远存在，但随着试验次数的增大，这个差异会越来越小，频率由量变到质变成为概率，反映了变量与常量的辩证统一的思想．
用概率的统计定义时，概率会取不同的近似值，但一个事件发生的概率不会有两个不同的值．事件发生的概率是一个客观存在的数值，反映了事件本身固有的属性．
4．重视学生动手实验
数学课程标准指出：有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现“以人为本”的理念，促进学生的全面发展．学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等方式；学生在获得知识技能的过程中，只有亲身参与教师精心设计的教学活动，进一步体会概率与统计的关系，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展．教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件．因势利导、适时调控、努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动．
应鼓励学生动手实验，不应教给学生这样一种观念:
只有运用理论的方法才能得到正确的解答．概率、事件的可能性的测量，可以理论地和实验地确定．也可以借助计算机（器）进行模拟活动、处理数据，正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，更好地体会频率与概率的意义．
为了让学生通过具体的试验操作获得一定的活动经验，体会随机试验中频率的随机性以及大量重复试验中频率的稳定性，进而加强对概率意义的理解，教科书在25．3节设置了一个投掷硬币的试验，为学生提供一个体验随机试验的机会．由于在这个试验中需要获得的投掷次数相对较多，因此这里需要发动全体学生积极参与，动手试验，靠集体的力量快速地获得试验频率．
在学习用频率估计概率这部分内容时，一方面要鼓励学生亲自动手，集体合作，这主要是针对一些比较简单的试验，比如说投币试验、图钉试验等；另一方面也鼓励学生采用模拟方法进行试验，特别是利用计算机或计算器进行模拟试验．我们知道，为了提高频率估计概率精度，需要进行大量的重复试验，这样的试验是极其费时费力的，因此应该鼓励学生使用现代信息技术．比如“实验与探究
的估计”，其实是用计算器或计算机产生随机数的方法进行模拟．通过模拟试验，学生既可以感受到概率知识广泛的应用性，而且也有利于学生进一步理解概率的意义．
概率与生活的密切联系，生活中的素材充满了趣味性和吸引力，教学时要注意挖掘学生身边的素材，让学生亲身参与到实践活动中，在解决问题的过程中，进一步加强对随机概念的培养．

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1每种彩票中奖的概率有多大
概率是表示一个事件发生的可能性的大小．了解事件发生的概率，我们可以解决实际生活中的一些实际问题，如我们可以通过计算概率来判断彩票中奖机会的可能性的大小．
例1
某种彩票规定：每发行100万份，设立特等奖1名，一等奖10名，二等奖100名，三等奖1000名，四等奖10000名.然后随机摇出中奖号码.小李花了2元钱买了1份，
（1）请计算一下小李中各种奖的概率分别是多少
（2）请计算小李中奖的概率是多少
（3）如果他想使中奖的概率达到以上，至少需要花多少元 (设各种奖可以兼得)
析解：（1）(特等奖)；(一等奖)；
(二等奖)；(三等奖)；(四等奖)．
（2）因为只要中各奖项中的一种都算中奖，所以中奖的概率为
(中奖)．
（3）设购买份彩票可使中奖概率提高到，则，解得．所以至少需要花元．
例2某种彩票的购买及中奖的方法是：买一注彩票时任选一个位数(每一位数字从这个数字中选一个)，如果抽签所得到的位数与你购买的这注彩票的位数数字相同且排列也相同，那么就中了大奖，问购买一注此种彩票中大奖的概率是多少
析解：选定第一位数时它的概率为，同样选定第二位数时也是从个数字中选取一个，概率是，……，依次类推，选定这个7位数的概率是：
．
所以购买一注此种彩票中大奖的概率是．
例3
有一种彩票是“选”，规则是从这个数中任选个数，如果所选的个数，不计顺序，与开奖的个数完全吻合，那么就中了一等奖.当你购买一注这种彩票时，中奖的概率是多少？
析解：从中选个数正好是中奖的个数中的一个的概率是，
再从剩余的个数中选个数正好是中奖的个数中剩余个数中的个的概率是．
再从剩余的个数中选个数，正好是中奖的个数中剩余个数中的个的概率是．
再从剩余的个数中选个数，正好是中奖的个数中剩余个数中的个的概率．
最后从剩余的个数中选中最后一个中奖的数字的概率是．
所以在“选”这种彩票中，中大奖的概率为：
．
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1以游戏为载体的概率中考题
随着新课程标准的实施，概率作为新增加的内容，已成为各种考试的重点，备受命题者的青睐，已成为中考命题的热点.现就部分省市中考题，精选三例简析如下，供同学们参考：
一.商场促销
例1
(山东省青岛)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，
就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．
（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；
（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．
分析:(1)根据获50元、30元、20元奖的概率和奖金数即可计算出每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；（2）比较转动一次转盘所获购物券金额的平均数与10元购物券的大小可以得出答案。
解：⑴
每转动一次转盘所获购物券金额的平均数为：
（元）；
⑵
∵11.875元＞10元，
∴选择转转盘．
评注：以商家抽奖事件为背景，用概率对摸奖行为进行科学指导，体现了“人人学有价值的数学”的课程理念.
二.
观光采摘游活动
例2
（金华市）水果种植大户小方，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游活动.每一位来采摘水果的顾客都有一次抽奖机会：在一只不透明的盒子里有A、B、C、D四张外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽出一张卡片，再从盒子中剩下的3张中抽取第二张.（1）请你利用树状图（或列表）的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况；（2）如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少？
分析:本题可以利用树状图（或列表）的方法，表示出前后两次抽得的卡片所有可能的情况，然后代入公式计算即可.
解：（1）方法一：列表得
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
方法二：画树状图
（2）获奖励的概率：．
评注：在列举所有可能出现的情况时要做到不重不漏，否则概率的计算不准确。
三.转盘游戏
例3
(湖南怀化)“六一”儿童节前夕，我市某县“关心下一代工作委员会”决定对品学兼优的“留守儿童”进行表彰，某校八年级8个班中只能选两个班级参加这项活动，且8（1）班必须参加，另外再从其他班级中选一个班参加活动．8（5）班有学生建议采用如下的方法：将一个带着指针的圆形转盘分成面积相等的4个扇形，并在每个扇形上分别标上1，2，3，4四个数字，转动转盘两次，将两次指针所指的数字相加，（当指针指在某一条等分线上时视为无效，重新转动）和为几就选哪个班参加，你认为这种方法公平吗？请说明理由．
分析：本题可以利用列表法，列出该游戏所有的可能结果.游戏是否公平关键是看对游戏各方的概率是否相等，通过计算即可判断出来.
解：方法不公平
说理方法1：（用表格说明）
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
所以，八（2）班被选中的概率为：，八（3）班被选中的概率为：，
八（4）班被选中的概率为：，八（5）班被选中的概率为：，
八（6）班被选中的概率为：，八（7）班被选中的概率为：，
八（8）班被选中的概率为：，所以这种方法不公平.
说理方法2（用树状图说明）
所以，八（2）班被选中的概率为：，八（3）班被选中的概率为：，
八（4）班被选中的概率为：，八（5）班被选中的概率为：，
八（6）班被选中的概率为：，八（7）班被选中的概率为：，
八（8）班被选中的概率为：，所以这种方法不公平.
评注:本题是考查概率的计算问题,然后是概率决策问题,它通过概率计算,看这个游戏的概率是否相等，若相等,就公平;若不相等，就不公平.
红
黄
黄
绿
绿
绿
绿
图1
图2
开始
A
B
C
D
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
A
C
D
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
A
B
D
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
A
B
C
（D，A）
（D，B）
（D，C）
1
4
3
2
图3
第一次
和
第二次
1
2
3
4
开始
1　2
2　3
3　4
4　5
1　3
2　4
3　5
4　6
1　4
2　5
3　6
4　7
1　5
2　6
3　7
4　8
和
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1用频率估计概率的实际应用
当实验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们可以通过统计频率来估计概率．有些实际问题，往往需要用频率来估计概率的思想来解决．请看：
例1
为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的条数可估计为．你认为这种估计方法有道理吗？为什么？
析解：本题主要考查利用频率估计概率的有思想方法．第二次捞出的a条鱼中带记号的b条鱼所占的比例为，不妨设鱼塘中有m条鱼，则第一次捞出的n条鱼占总数的比为．根据用样本估计总体的统计思想，可得＝，所以m＝．
例2
王老汉为了与客户签订购销合同，对自己的鱼塘中的鱼的总质量进行估计．第一次捞出100条鱼，称得质量约为184㎏，并将每条鱼都做上记号，在回鱼塘中．当它们混合与鱼群后，又捞出200条，称得质量为416㎏，且有记号的鱼有20条．
（1）请你估计一下，鱼塘中的鱼有多少条？
（2）请你计算一下，鱼塘中的鱼的总质量大约是多少㎏？
解：（1）设鱼塘中有鱼x条，则根据题意，得
＝．解得x＝1000．
因此，可以估计鱼塘中共有1000条鱼．
（2）第一次打捞的鱼平均质量为：184÷100＝1.84（㎏）．
第二次打捞的鱼中没有作记号的鱼有（200－20）条，总质量为416－1.84×20＝379.2（㎏）．
∴鱼塘中的每条鱼的平均质量为：
（184＋379.2）÷（200－20＋100）≈2.011（㎏）．
因此，鱼塘中鱼的总质量为：2.011×1000＝2011（㎏）．
评析：在统计的过程中，为了使所得的结果比较准确、减少误差，应将统计过程的步骤细化，例如上述过程中求每条鱼的平均质量．求鱼塘中每条鱼的平均质量，还会出现如下两种结果：
（1）（184＋416）÷（100＋200）＝2（㎏）．
（2）（184＋416－1.84×10）÷（100＋200－20）＝2.077（㎏）．
这两种结果都不如上面的结果准确．但在实际生活中利用（184＋416）÷（100＋200），求平均质量还是很实用的．
再者，像本题这样不宜多次试验或不可能多次试验的实际问题，必须利用样本估计总体．
试一试：
1．为了研究某地区的生态环境，生物学家在该自然区做了如下的实验：在该地区第一次捕捉了100只雀鸟，然后做上记号放回该地区．经过一段时间，再从该地区捕捉了同样的雀鸟100只，发现其中标有记号的雀鸟有5只．你能根据以上实验估计一下，该地区这种雀鸟的数量吗？
2．质量检查员准备从一批产品中抽取10件进行检查，如果是随机抽取，为了保证每件产品被检的机会均等．
（1）请采用计算器模拟实验的方法，帮质检员抽取被检产品；
（2）如果没有计算器，你能用什么方法抽取被检产品？
简解：
1．设该地区有这种雀鸟x只，则，解得x＝2000（只）．所以该地区有这种雀鸟2000只．
2．（1）利用计算器模拟产生随机数与这批产品编号相对应，产生10个号码即可；（2）利用摸球游戏或抽签等．
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1用频率估计概率典例解析
用频率求概率的估计值是中考必考知识点.中考试卷中出现了不少的概率问题,在具体情景中展示数学的整体性，下面举几例看看概率问题在中考中的体现.
例1.某农场中学八年级的同学，就“每年过生日时，你是否会向母亲道一声‘谢谢’”这个问题，对本年级66名同学进行了调查.调查结果如表1.
表1
否
否
否
有时
否
否
否
是
否
有时
有时
否
否
有时
有时
是
否
有时
否
否
有时
有时
否
有时
否
否
有时
有时
有时
否
否
否
有时
有时
是
是
有时
有时
否
否
否
是
否
否
否
是
否
否
否
否
否
否
否
否
有时
否
否
否
否
否
是
是
是
否
是
否
（1）请你整理表1中的信息，填写表2.（频率保留四个有效数字）
（2）选择适当的统计图描述这组数据.
（3）通过对这组数据的分析，你有何感想？（用一两句话表示即可）
表2
回答内容
频数
频率
是
有时
否
解：（1）如表3.
表3
回答内容
频数
频率
是
10
0.1515
有时
17
0.2576
否
39
0.5909
（2）如图1所示（作出条形、扇形、折线统计图或频数分布直方图均可）.
（3）从上面的数据可以看出，现在的孩子对父母的感恩之情比较淡薄，学校和社会应加强这方面的教育.（答案不唯一，有积极意义即可）
评注：解此类题目往往要先对数据进行整理和计算，然后用所学的知识进行分析，提出合理化建议，一般结论不唯一，只要建议合理就行.
例2．某灯泡厂生产了100箱灯泡，从中随机抽取了10箱，发现这10箱中不合格的灯泡数分别是3，2，4，3，2，1，2，3，0，1，你能估计出这100箱灯泡中大约有多少个坏灯泡？
解：（3+2+4+3+2+1+2+3+0+1）÷10=2.1，
2.1×100=210．
答：这100箱灯泡中约含有210个次品．
评注：灯泡实验的次数即是频数，频数m对总次数n的比即为频率，当实验次数很大时，事件发生的频率呈现稳定性，这时可用事件发生的频率来估计坏灯泡的概率.
例3.
2006年2月23日《南通日报》公布了2000～2005年南通市城市居民人均可支配收入情况（如图2所示）.
（1）求南通市城市居民人均可支配收入的中位数.
（2）哪些年份南通市城市居民人均可支配收入比上年增加了1000元以上？
（3）如果从2006年开始，南通市城市居民人均可支配收入每年比上年增加a元，到2008年底可达到18000元，求a的值.
解：（1）中位数（8640+9598）÷2=9119（元）
（2）由折线图知：2004年和2005年南通市城市居民人均可支配收入比上年增加了1000元以上.
（3）可列方程：12384+3a=18000.解得a=1872.
评注：这是一道与城市居民人均可支配收入的问题，与实际生活息息相关，此题创设了一个较新的情境，不仅要求学生掌握相关的知识点，还要求学生用数学的眼光看待周围的世界，这正是新课标所倡导的．
例4.四张扑克牌的牌面如图①所示，将扑克牌洗均匀后，如图②背面朝上放置在桌面上.
（1）若随机抽取一张扑克牌，则牌面数字恰好为5的概率是_____________；
（2）规定游戏规则如下：若同时随机抽取两张扑克牌，抽到两张牌的牌面数字之和是偶数为胜；反之，则为负.你认为这个游戏是否公平？请说明理由.
解：（1）
（2）不公平.
画树状图如图所示：
所以P（和为偶数）＝，
P（和为奇数）＝
因为P（和为偶数）≠P（和为奇数），
所以游戏不公平.
评注：画树形图是列举的有效方法，但若列举是分步进行且是步步递推的，用树形图列举法统计多位数个数效率更高，本题考查概率知识，这种试题在近几年的中考试卷中出现频率极高，应予以重点关注.
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1中考概率计算题赏析
综观近两年中考试卷中的概率计算题，题材新颖，贴近生活，难易适中，符合课标要求，现归类整理如下，供同学们赏析．
一、利用概率公式计算
例1
学校门口经常有小贩搞摸奖活动．某小贩在一只黑色的口袋里装有只有颜色不同的只小球，其中红球只，黄球只，绿球只，其余为白球．搅拌均匀后，每元摸个球．奖品的情况标注在球上（如下图）：
（1）如果花元摸个球，那么摸不到奖的概率是多少？
（2）如果花元同时摸个球，那么获得元奖品的概率是多少？
解：（1）∵白球的个数为，
∴摸不到奖的概率是：．
（2）获得元的奖品只有一种可能即同时摸出两个黄球，
∴获得元奖品的概率是：．
二、利用列举法计算概率
例2
如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃和方块，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于的概率是多少？请你用列举法（列表或画树状图）加以分析说明．
解：可以用下表列举所有可能得到的牌面数字之和：
方块黑桃
从上表可知，共有种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字之和等于的情况共出现次，因此牌面数字之和等于的概率为．
例3四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张．
（1）用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
（2）计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？
解：（1）
（2）（积为奇数）=．
三、利用综合法计算概率
例4
某电脑公司现有三种型号的甲品牌电脑和两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么型号电脑被选中的概率是多少？
解：（1）树状图如下：
列表如下：
有6种可能结果：（A，D），（A，E），（B，D），
（B，E），（C，D），（C，E）．
（2）因为选中A型号电脑有2种方案，即（A，D）（A，E），所以A型号电脑被选中的概率是．
例5
将分别标有数字的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
（1）随机地抽取一张，求（奇数）；
（2）随机地抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？恰好是“”的概率为多少？
解：（1）（奇数）＝．
（2）树状图为：
从而得到所组成的两位数有个：．
因此恰好是“”的概率为：．
8元的奖品
5元的奖品
1元的奖品
无
奖品
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1用列举法求概率课标要求
包括用列表法求概率和用画树状图法求概率等内容．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本节相关内容提出的教学要求如下：
能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率．
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1
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www.生活与概率
公元1052年4月，侬智高起兵反宋。当朝
( http: / / www.21cnjy.com )皇帝宋仁宗决定派遣大将狄青去平定叛乱。当时路途艰险，军心不稳，狄青取胜的把握不大。为了鼓舞士气，狄青便设坛拜神，说：“这次出兵讨伐叛军，胜败没有把握，是吉是凶，只好由神明决定了。是吉的话，那我随便掷100个铜钱，神明保佑，正面定然会全部朝上；只要有一个背面朝上，那我们就难以制敌，只好回朝了。”
左右官员诚惶诚恐，劝道：“大将军，运气再好
( http: / / www.21cnjy.com )，100个铜钱，总不会个个正面朝上，如果有背面朝上，岂不动摇军心？如果不战而回朝，那更是违抗圣旨。请大将军三思而行！”此时的狄青已是胸有成竹，叫心腹拿来一袋铜钱，在千万人的注视下，举手一挥，把铜钱全部抛向空中，100个铜钱居然鬼使神差地全部朝上。顿时，全军欢呼，声音响彻山野。由于士兵个个认定神灵护佑，战斗中奋勇争先，仅一次战役，就收回了失地，大功告成。
那么，那100个铜钱究竟是怎么回事呢？原来
( http: / / www.21cnjy.com )，狄青那100个铜钱正反两面都是正面的图案，使得正面朝上的机会为100％，从而鼓舞了士气，大军获胜。
以上只是古人利用简单的概率
( http: / / www.21cnjy.com )知识获利。其实，从古到今，概率就与人们的生活息息相关。如今，还有许多不法分子利用人们对概率的不了解牟取暴利。下面，我们就以“机会型”赌博，简要地讲一下如何计算概率以及概率的重要性。
“机会型”赌博规则如下：每个参加者每次
( http: / / www.21cnjy.com )先付赌金1元，然后将3枚骰子一起掷出。他可以赌某一个点数，譬如赌“1”点。如果三枚骰子中出现一个“1”点，庄家除把赌金发还外，再奖一元；如果出现两个“1”点，发还赌金外，再奖两元；如果全是“1”，那么发还赌金，再奖三元。
看起来，一枚骰子赌“1”点，取胜的可能性是
( http: / / www.21cnjy.com )；那么两枚骰子就是
( http: / / www.21cnjy.com )的可能性，三枚就是
( http: / / www.21cnjy.com )。即使是一元对一元的奖励，机会也是均等的，何况还可能是2倍、3倍奖励的可能性，自然对参加者有利。其实，这只是一个假象。
我们来计算一下，三枚骰子一起掷，会出现怎样的情况。见表1。
表1
3枚骰子可能出现的总结果
6×6×6＝216
三枚点数各不相同的可能
6×5×4＝120
三枚点数完全相同的可能
6
其他可能
216－120－6＝90
一个参加者，假设他总是赌“1”点，
( http: / / www.21cnjy.com )如果赌了216次，那么他能有几次获奖呢？先来看只有一枚出现“1”点的情况：出现“1”点的骰子可能是第一枚，也可能是第二枚或第三枚，共有三种可能；而其余两枚不出现“1”点的可能性有5×5＝25种，所以共有3×25＝75种可能。这75种可能出现时，它可获2元，那么总共可获75×2＝150元。再来看出现两枚“1”点的可能性：可以出现在第一枚和第二枚，也可以是第一枚和第三枚，还可以是第二枚和第三枚，也是三种可能；而另一枚骰子不出现“1”点只有5种可能，所以共有15种可能。这时，每次他可获3元，共45元。最后，三枚都出现“1”点的只有一种可能，这时，它可获4元。
这样，216次，他共获150＋45
( http: / / www.21cnjy.com )＋4＝199元。但每次先付一元，他一共付了216元。所以，一般来说，他会输216－199＝17元，占总金额的7.9％。
我们再来看看庄家的情况。根据前面的分析过程，
( http: / / www.21cnjy.com )假使有6人参加赌博，每人分别赌“1”、
“2”、……“6”点，并假定每人进行了216次，则庄家共收了6×216＝1296元，一共付出了720＋450＋24＝1194元，净赚1296－1194＝102元，占总金额的7.9％。
通过概率的计算，我们看到赢的一定是庄家。看清了赌博的真面目，我们就应该抵制赌博。
同样我们可以利用概率计算动物的寿命，以乌龟的寿命为例，如表2：
表2
年龄/岁
存活概率
年龄/岁
存活概率
0
1.00
140
0.70
20
0.92
160
0.61
40
0.90
180
0.51
60
0.89
200
0.39
80
0.87
220
0.08
100
0.83
240
0.04
120
0.78
260
0.0003
根据表2内容，再计算出，活
( http: / / www.21cnjy.com )满20岁的乌龟有0.87÷0.92×100％＝95％的概率可活到80岁，活满120岁的乌龟有0.39÷0.87×100％＝50％的概率可活到200岁。
同理，通过大量调查数据获得人类的寿命表，保险公司便可算出保险费率。
以上两个例子说明，概率与
( http: / / www.21cnjy.com )人们的生活息息相关，只要你熟练地掌握了概率的知识，并应用到日常生活中去，我想你就能做到较好地把握机会，将胜算牢牢地掌握在自己的手中。理解实验频率与理论概率
在七、八年级时，我们已经认识了一些简单的随机事件发生的可能性的大小（概率），现在我们继续学习和探究实验频率与理论概率之间的关系.正确认识实验频率与理论概率的关系应从以下三个方面理解：
一、理解随机事件的偶然性与必然性
随机事件是指在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，具有偶然性.如一个袋子里装有个红球，个白球，个黄球，它们除颜色外，其他都相同.从中任意取一个球，取到的可能是白球，也可能是其他两种颜色的球.取到白球这个事件就是一个随机事件.随机事件在一次实验中，可能发生，也有可能不发生.在实际问题中，常常要求我们能够确切地判断某个事件发生的可能性的大小.某个事件发生的可能性的大小是该事件本身所固有的特性，可以通过大量重复实验来认识它.在大量的重复实验中，随机事件的发生与否具有内部规律性，这个规律可用理论概率来表示.
二、理解频率的稳定性
随机事件发生的可能性的大小可以通过大量的重复实验去探索.通过频率的稳定性来揭示随机事件发生的可能性的大小.如上面的摸球事件，如果在10次摸球中白球出现了1次，则为此事件在10次实验中出现的频率.如果分别摸球10次，20次，100次，…….计算出每次实验的频率，从计算频率结果可以发现，实验次数较少时，摸到白球的频率是不稳定的，但随着实验次数的增加，频率会明显地呈现出稳定性.
当实验的次数很大时，可以发现一个随机事件发生的频率总是在每个常数附近摆动，也就是频率呈现出稳定性.随着实验次数的不断增加，摆动的程度越来越小.在大量的实验中，某个事件发生的频率稳定一个常数，此常数叫该随机事件发生的概率.
三、理解频率与概率
抛掷一枚硬币，理论上“落地后国徽朝上”发生的概率是，但抛掷100次硬币，不一定是50次国徽朝上.我们通过大量的实验发现，实验频率并不一定等于理论概率.频率是变化的，理论概率是稳定的，虽然多次实验的频率逐渐稳定于其理论概率，但也可能无论做多少次实验，实验频率仍然是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率，两者之间存在着一定的偏差.
四、理解概率与统计的关系
概率这一概念是建立在频率这一统计量稳定性基础上的，而统计又离不开概率理论的支撑.统计推断、估计等统计方法的合理性和科学性都依赖概率理论的严密性.用实验的方法估计随机事件发生的概率等活动本身就是一个统计活动，如“池塘里有多少条鱼”的估计方法的理论依据就是概率问题.
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1研究不确定事件的学问
掷硬币具有一定的规律，在大量的掷硬币的重复试验中，正面朝上的次数约等于抛掷总次数的50%．其他偶然事件是否也有它固有的规律(出现的“可能性”)有一门专门的学问，叫做“概率论”，它是数学中别有风味的一个分支．
什么是概率呢？简单地说就是某一个不确定事件发生的可能性大小，用一个数值表示出来，这个数值就叫做这一个不确定事件发生的“概率”．例如，掷一枚硬币出现正面的可能性大约是50%，我们就说这一事件发生的概率是0.5．
概率是一个数值，但它又是一个十分“特殊”的数值．对于概率的含义，一定要有正确的理解，否则就有可能闹出笑话来．
仍以掷硬币“出现正面”这一不确定事件为例，我们已经知道它的概率是0.5．但是这一数值并不是指我们每掷两次硬币，总有一次出现正面，而是指掷足够多次硬币(比如10000次)，出现正面的次数大致上是投掷总次数的一半(5000次上下)．
有这样一则笑话——
一次，一位病人到医生那里就诊．那位医生在检查完病情以后说：
“你病的很重，这种病是‘九死一生’的啊！”
“上帝，我快完了！”病人几乎被吓昏了．
“不过，你是可以活的．”
“有什么根据呢？”
“因为你找到了我．”
“我知道你医术高明，我真不知怎样报答您……”
“不，不是我医术高明，而是因为我已经医治过九个患有这种病的病人，他们都死了——所以，你一定能活的．”
“……”
你们看出来了吗？那位医生正是错误地解释了“概率”的意义，才使他所作出的结论成了笑话．事实上，一个人患了上述那种疾病，后果有两种可能：生和死．生也好，死也好，都可看成偶然事件．由于这种疾病是“九死一生”的，因此，可以认为患这种病的病人活的概率是0.1，死的概率是0.9．但是，按照概率的正确含义，它只能说是在相当多，比如说10000个病人中，大致有1000个能活下来，而不能保证每10个这种病人，必定是9个死1个活．
现在，你对于概率是什么已经有了大概的了解，那么，就不会出现医生的笑话啦．
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1用频率估计概率课标要求
用频率估计概率一节包括两个课时，本课是在学生已经学习了用列举法求概率的基础上，进一步研究用频率估计概率．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对用频率估计概率一节相关内容提出的教学要求是：
1．能够通过随机试验，获得事件发生的频率；
2．知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率；
3．了解频率与概率的区别与联系．
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1
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www.用抽取法估计概率
答案：
解决此类问题有两种方法：（1）从袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后将其放回袋中，重复这一过程，进行多次试验，记录某种颜色球出现的次数，利用频率估计这种球的数目；（2）从袋中一次摸出10个球，求出其中某一颜色球的个数与10的比值，再将球放回袋中，不断重复上述过程，利用平均概率估算这一颜色球的数目.
【举一反三】
典题：一个不透明口袋中有6个红色的小正方体和若干个黄色的小正方体，小正方体处颜色外其他都相同，从口袋中随机摸出一个正方体，记下颜色后再把它放回口袋中，不断重复上述过程，共模了300次，其中有100次摸到红颜色小正方体，则口袋中大约有____个黄色小正方体.
思路导引：解设口袋中有x个小正方体，根据题意，得，得x=18,18-6=12.
标准答案：12.
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中国极育出版网
www.解决游戏是否公平问题。
答案：
解决游戏是否公平需先计算出各自的概率，通过比较概率的大小得出是否公平。使不公平的游戏变得公平的方法是通过调整分值使之公平。
【举一反三】
典题：（2014·怀化）甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一个球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一个球然后放回，摇匀后在随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜．试分析这个游戏公平吗？请说明理由．
思路导引：（1）共有3种可能，符合条件有1种，即可得出结果；（2）列出表格得出所有可能，得出甲获胜，乙获胜的概率，最后确定游戏是否公平。
标准答案：解：（1）P（标号是1）=.
（2）这个游戏不公平，理由如下：
把游戏可能出现标号的所有可能性（两次标号之和）列表如下：

第一次第二次
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
P（和为偶数）=，P（和为奇数）=，
二者不相等，说明游戏不公平。

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1布丰的投针试验
公元1777年的一天，法国科学家布丰（D．Buffon1707-1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”
客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！”
众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙。“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”
布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。”说着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。
π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为，投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，那么当n相当大时有：
在上面故事中，针长等于平行线距离d的一半，所以代入上面公式简化
我想，喜欢思考的读者，一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简单而巧妙的证明。
找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离d。可以想象，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。
现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点、3个交点、2个交点、1个交点，甚至于都不相交。
由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望是一样的。这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。
现在再来讨论铁丝长为的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度成正比，因而有：
m＝k
式中k是比例系数。
为了求出k来，只需注意到，对于＝πd的特殊情形，有m＝2n。于
这便是著名的布丰公式。
亲爱的读者，你不妨一试。
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1利用概率的定义解题
在实际生活中，我们经常来描述一件事情发生可能性的大小，表示一个事情发生的可能性的大小的这个数，叫做概率．为了帮助大家对概率这个概念的认识，以便更好地利用这个定义解决实际问题，现举几例．
例1
九年级6班有48名学生，其中男生30人，班上每个同学的名字都各写在一个大小形状相同的小卡片上，放在一个盒子里摇匀．
张老师随便从盒子中取出一个小卡片，那么每个同学的名字被抽到的概率是多少？
男同学的名字被抽到的概率是多少？
女同学的名字被抽到的概率是多少？
若张老师已经从盒子中抽出10名同学的名字，其中4个男同学的名字，把这10个卡片放在一边，再从盒子中抽出其它卡片，当他抽第七个卡片时，女同学的名字被抽到的概率是多少？
分析：全班有48名同学，男生30名，则女生有18名，当张老师从盒子中抽写有每个同学名字的卡片时，全班48个学生的名字被抽到的机会是均等的．
解：（1）（抽到每个学生的名字）=；
（2）（抽到男同学的名字）=；
（3）（抽到女同学的名字）=1－；
（4）（抽到女同学的名字）=．
例2
口袋中装有2个红球、3个白球和5个黑球，除了颜色不同外，其它都相同，搅匀后从中摸出一个球．
1．（1）摸出的是红球的概率是多少？
（2）摸出的是白球的概率是多少？
（3）摸出的是黑球的概率是多少？
2．假设第一次摸到的是白球，将其放在外边，再从口袋中摸出一个球，则摸出的是黑球的概率是多少？
分析：已知口袋中共有2+3+5=11个球，它们被摸到的机会是均等的．
解：1．（1）（红球）=；
（2）（白球）=；
（3）（黑球）=；
2．（黑球）=.
练一练：1．图1表示某班21位同学衣服上口袋的数目．若任选一位同学，则其衣服上口袋数目为5的概率是
．
图1
2．某班的联欢会上，设有一个摇奖节目,奖品为钢笔、图书、和糖果，标于一个转盘的相应区域，(如图2)（转盘被相应分成四个区域）转盘可以自由转动．参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品，则获得钢笔的概率______．
图2
3．某商店举办有奖销售活动，办法如下：凡购货满100元者得奖券一张，多购多得．每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个．那么买100元商品的中奖概率是（　　）
．
．
．
．
答案：1．；
2．；
3．D
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2例说概率计算的技巧
概率计算是新教材的一个新内容和新亮点，概率计算问题与其它问题一样也有一些技巧，现举例如下：
例1
同时抛掷枚硬币，计算三个正面都朝上的概率．
分析：由于每个硬币朝上的面只有正面和反面两种情况，因而可以通过画树型图：
从图中我们可以清楚地看到三枚硬币出现的情况有：“正正正”、“正正反”、“正反正”、“正反反”、“反正正”、“反正反”、“反反正”、“反反反”共种，其中三个都是正面的“正正正”只有一种，因此，三个正面都朝上的概率是．
同样，三个反面都朝上的概率也是，既有正面也有反面朝上的概率是．
例2
四只蚂蚁分别从正方形的四个顶点同时沿正方形的边爬行，如果它们的速度相同，那么这四只蚂蚁不相撞的概率是多少？
分析：许多人的解法是：将每只蚂蚁可能爬行的方向按顺时针和逆时针一一罗列出来，然后确定不相撞的情形（都按顺时针或逆时针方向爬行）求解．而事实上，我们可以先确定第一只蚂蚁爬行的方向，为了不相撞，其余三只蚂蚁爬行的方向必须与第一只相同，而每只蚂蚁爬行方向与第一只相同的可能性都是，因此，三只蚂蚁爬行与第一只都相同的可能性是，这就是四只蚂蚁不相撞的概率．
例3
某班有名同学，求这名同学中至少有两位同学生日相同的概率．
分析：直接入手很难，先求名同学生日互不相同的概率．把个同学按号数１至进行编号，天按月日至月日依次记为第天，第天，……，第天．假设号是第天出生的，那么号与号不同生日，他只能在余下的天中选一天，因此，
号与号不同生日的概率是；假设号是第天出生的，那么号和号不同生日，她只能在余下的天中选一天，因此，号与号、号生日不同的概率是；……；依此类推，号与号生日不同的概率是．
因此，人生日互不相同的概率是（今后将会学到），
故人中至少有两人生日相同的概率为．
因此，名同学中有生日相同的概率约为．
正
反正
正
正
正
反正
反正
硬币
硬币１
反正
正
反正
反正
硬币３
正正
反正
正
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1细做模拟实验
明辨频率与概率
频率和概率是两个不同的概念，二者既有区别又有联系，事件发生的概率是一个确定的值，而频率是不确定的．我们可以通过实验用频率估计概率的大小，当实验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当实验次数增大时，频率的大小波动变小，逐渐稳定在概率附近，此时它会非常接近于频率，但不一定会相等．我们通常利用概率来预测不确定事件进行多次试验后频率的稳定值；反过来，利用平稳的频率也可以估计相应的概率，进而解决实际问题．现以08年中考题为例作分析和说明，或许会对同学们有所启发．
一、摸球实验估计球的个数
例1（甘肃省兰州市）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是
（
）
A．24
B．18
C．16
D．6
解析：由于在多次试验后摸到红球、黑球的频率稳定在15%和45%，因此我们就可以估计红球可能有（个）；红球可能有（个）；则口袋中白色球的个数就可能是（个）．故本题选择C．
例2（辽宁省大连市）某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次．
（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是多少？
（2）请你估计袋中红球接近多少个？
解析：（1）由题意可知，该活动小组共做了次实验，摸到红球的频率为，该频率就可以近似地看成是摸到红球的概率
因此从袋中任意摸出一个红球的概率是．
（2）白球有5个，因此我们可以估计该口袋中球的总数是（个），
那么口袋中的白球大约有（个）
二、掷骰子实验判断结论正误
例3
（贵阳市）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
解析：（1）
根据频率的计算方法，有：
“3点朝上”出现的频率是；
“5点朝上”出现的频率是.
（2）小颖的说法是错误的．这是因为虽然在本次实验中“5点朝上”的频率最大，但不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大．只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近．小红的判断也是错误的，因为事件发生具有随机性，并不是“6点朝上”发生的频率总为，故投掷600次“6点朝上”的次数不一定是100次．
三、投棋子实验估计其概率值
例4（广东中山市）一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的，将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”，也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：
请将数据图补充完整；
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“兵”字面朝上频数
14
38
47
52
66
78
88
相应频率
0．7
0.45
0.63
0.59
0.52
0.56
0.55
（2）画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；
（3）如果实验继续进行下去，根据表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？
解析：（1）当实验次数是40时，对应的频率是0.45，所以“兵”字面朝上的频数是40×0.45=18；当实验次数是120时，“兵”字面朝上的频数是66，相应的频率是66÷120=0.55．
（2）所画的频率分布折线图如图所示．
（3）根据表中数据以及频率分布折线图可以发现，如果继续实验可以发现实验的频率将稳定0.55左右，由此可估计“兵”字面朝上的概率为0.55．
总之，解决频率与概率有关问题,需要正确理解频率、频数以及实验次数之间的关系，注意只有当实验的次数比较多时，实验的频率才能稳定在相应的概率附近．我们特别要注意的是：实验的频率不等同于理论概率．
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