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怎样用一元二次方程解决面积问题？
难易度：★★★★
关键词：一元二次方程的应用
答案：
列一元二次方程可解决几何体面积有关的应用题，注意舍根，面积问题还要画图分析。
【举一反三】
典例：要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？

设长为xcm，则宽为（x-5）cm

列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0

请根据列方程回答以下问题：

（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：

x
10
11
12
13
14
15
16
17
…
x2-5x-150










（3）你知道铁片的长x是多少吗？
思路导引：一般来说，x2-
( http: / / www.21cnjy.com )5x-150=0的形式不能用平方根的意义和整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能．
（2）

x
10
11
12
13
14
15
16
17
……
x2-5x-150
-100
-84
-66
-46
-24
0
26
54
……

（3）铁片长x=15cm
标准答案：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意．
x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能。
（2）

x
10
11
12
13
14
15
16
17
……
x2-5x-150
-100
-84
-66
-46
-24
0
26
54
……

（3）铁片长x=15cm点击中考中一元二次方程的应用
构造一元二次方程模型解决实际问题是中考的热点之一，下面以2004年部分中考试题为例加以说明．
一、市场经营问题
例1、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加了
( http: / / www.21cnjy.com )，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均月增长率．
解：设3月份至5月份营业额的平均月增长率为
( http: / / www.21cnjy.com )．由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
整理，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合题意，舍去）．
所以，3月份到5月份营业额的平均月增长率为
( http: / / www.21cnjy.com )．
二、农业税问题
例2、今年，我国政府为减轻农民负担
( http: / / www.21cnjy.com )，决定在5年内免去农业税，某乡今年人均上缴农业税25万，若两年后人均上缴农业税为16万，假设这两年降低的百分率相同．
（1）求降低的百分率；
（2）小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？
（3）小红所在的乡约有16
000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？
解：（1）设降低的百分率为
( http: / / www.21cnjy.com )，由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合题意，舍去）．
（2）小红家减少的农业税额为
( http: / / www.21cnjy.com )（元）．
（3）全乡减少的农业税额为
( http: / / www.21cnjy.com )（元）．
三、环保问题
例3、据某城市的统计资料显示，到20
( http: / / www.21cnjy.com )03年末该城市堆积的垃圾已达50万吨，不但侵占了大量土地，而且已成为一个重要的污染源，从2004年起，该城市采取有力措施严格控制垃圾的产生量，但根据预测，每年仍将产生3万吨的新垃圾，垃圾处理已成为该城市建设中的一个重要问题．
（1）若2000年末该城市堆积的垃圾为30万吨，则2001年初至2003年末产生的垃圾总量为　　万吨．已知2001年产生的垃圾量为5万吨，求从2001年初至2003年末产生的垃圾量的年平均增长率是多少？（参考数据：
( http: / / www.21cnjy.com )；结果保留两个有效数字）
（2）若2004年初，该城市新建的
( http: / / www.21cnjy.com )垃圾处理厂投入运行，打算到2008年底前把所堆积的新、旧垃圾全部处理完，则该厂平均每年至少需处理垃圾多少万吨？
解：（1）由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )（万吨）．
设从2001年初至2003年末产生的垃圾量的年平均增长率为
( http: / / www.21cnjy.com )．由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
解这个方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合题意，舍去），即
( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )（万吨）．
四、几何问题
例4、如图，正方形
( http: / / www.21cnjy.com )的边长为
( http: / / www.21cnjy.com )，划分成
( http: / / www.21cnjy.com )个小正方形格．将边长为
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )为整数，且
( http: / / www.21cnjy.com )）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张
( http: / / www.21cnjy.com )的纸片正好盖住正方形
( http: / / www.21cnjy.com )左上角的
( http: / / www.21cnjy.com )个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为
( http: / / www.21cnjy.com )的正方形．如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形
( http: / / www.21cnjy.com )的右下角为止．
请你认真观察思考后，回答下列问题：
（1）由于正方形纸片边长
( http: / / www.21cnjy.com )的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：
纸片的边长
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
使用的纸片张数
（2）设正方形
( http: / / www.21cnjy.com )被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为
( http: / / www.21cnjy.com )，未被盖住的面积为
( http: / / www.21cnjy.com )．
①当
( http: / / www.21cnjy.com )时，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值；
②是否存在使得
( http: / / www.21cnjy.com )的
( http: / / www.21cnjy.com )值，若存在，请求出这样的
( http: / / www.21cnjy.com )值；若不存在，请说明理由．
解：（1）依次为：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )．
①当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以
( http: / / www.21cnjy.com )．
②若
( http: / / www.21cnjy.com )时，则有
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )，解之，得
( http: / / www.21cnjy.com )（舍去）．
所以当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )，即这样的
( http: / / www.21cnjy.com )值是存在的．日常生活中一元二次方程的应用
当今社会正处在市场经济的时代，我们的
( http: / / www.21cnjy.com )日常生活中经常会遇到各种经营、销售、利润、房产等问题．我们知道数学来源于生活，又应用于我们的生活，新课程的改革实验也要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，体会到数学的应用价值，下面我们就最近所学的“一元二次方程在日常生活中应用“看两个实例，以求对同学们有所帮助．
问题1：联华超市将进货单价为40元的商品
( http: / / www.21cnjy.com )如果按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理的话，为了赚得8000元的利润，你觉得售价应定为多少？这时应进货多少个？
分析：我们知道商品的定价和进货量应
( http: / / www.21cnjy.com )该根据市场的行情而定，如果定价过高，超越了消费者心理承受力的话，恐怕消费者无人问津，销售商只能自认倒霉了；定价过低的话，利润过低、甚至亏本的话，销售商也就划不来的．上述问题中如果销售价按照单价50元的话，每个利润是10元，可以卖出500个，共可获利5000元，无法完成利润8000元的目标，所以只有提高单价并控制适当的单价，才可以完成获得利润5000元任务．
解：设该种商品的单价为（50+x）元，则每个的利润是
( http: / / www.21cnjy.com )元，销售数量为（500-10x）个，由题意得方程：
( http: / / www.21cnjy.com )；
整理得：
( http: / / www.21cnjy.com )；解之得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
故这个商品的单价可定为60元时，其
( http: / / www.21cnjy.com )进货量为500-10×10=400个；当这个商品的单价定为80元时，其进货量为500-10×30=200个．
注：如果同学们以后学了二次函数内容的话，还可以知道当单价定为70元时，获得的最大利润为8100元．
问题2：某地开发区为改善居民的住房条件，每年要建一批新的住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积=
( http: / / www.21cnjy.com )，单位平方米/人）．
该开发区2002年至2004年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果如图所示，
请根据此提供的信息解答下面问题：
（1）该区2003年和2004年两年中哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少平方米？
（2）由于经济发展需要，预计
( http: / / www.21cnjy.com )到2006年底，该地区人口总数将比2004年底增加2万，为使到2006年底地区人均住房面积达到11平方米/人，试求2005年和2006年这两年该地区住房总面积的年增长率应达到百分之几？
分析：随着我们国家经济迅
( http: / / www.21cnjy.com )速发展，经济实力的不断强大，广大人民的住房条件正在得到不断的改善，生活水平正在得到不断地提高．我们从上述问题的图象中可以获取一些信息：
年度
人口
人均住房面积（平方米/人）
总面积（万平方米）
比上一年增加数（万平方米）
2002
17
9
153
/
2003
18
9.6
172.8
19.8
2004
20
10
200
27.2
解：（1）2004年比2003年增加的住房多，多增加了7.4平方米．
（2）设住房总面积年平均增长率应达到x，由题意得：
( http: / / www.21cnjy.com )；
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )℅；
( http: / / www.21cnjy.com )（不合题意，舍去）．
答略．
应该说一元二次方程在日常生活中的应用应该说是非常广泛的，还有诸如储蓄、利税问题等，同学们有兴趣的话还可以作更多的研究．
0
17
2004
2003
2002
18
年
20
万人
开发区近三年人口变化图
0
2002
2003
2004
9
9.6
10
平方米/人
年
开发区近三年人均住房面积变化曲线看看古代一元二次方程应用题
我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的
( http: / / www.21cnjy.com )研究，有着优良的传统，并取得了重要成果。古代文献中有很多的方程应用型问题，题的内容来自生活，新颖有趣，有很高的数学价值和欣赏价值．本文列举几例供同学们赏析。
例1、我国南宋数学家杨辉在127
( http: / / www.21cnjy.com )5年提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．”
　　解：设阔(宽)为x步，则长为(x+12)步．根据题意，列出方程x(x+12)＝864．
展开，整理，得x2+12x-864＝0，解这个方程，得x1＝24，x2＝-36(舍去)，x1+12＝36．
答：矩形的阔(宽)为24步，长为36步．
例2、《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”
　　大意是说：已知甲、乙二人同时
( http: / / www.21cnjy.com )从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？
　　解：如图1所示，设甲、乙二人出发后
( http: / / www.21cnjy.com )时相遇，根据题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，其中
( http: / / www.21cnjy.com )．
　　则由勾股定理，得
( http: / / www.21cnjy.com )．
　　解这个方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )（舍去）．
　　那么甲走的路程是：
( http: / / www.21cnjy.com )（步）；
　　乙走的路程是：
( http: / / www.21cnjy.com )（步）．
　　例3、《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”
　　大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？
　　解：如图2所示，设门的宽为
( http: / / www.21cnjy.com )尺，则高为
( http: / / www.21cnjy.com )尺，
　　根据题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )．
　　即
( http: / / www.21cnjy.com )．
　　解此方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )（舍去）．
　　此时
( http: / / www.21cnjy.com )．
　　所以门高为
( http: / / www.21cnjy.com )尺，门宽是
( http: / / www.21cnjy.com )尺．
　　例4、印度古算书中有
( http: / / www.21cnjy.com )这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起．”
　　大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？
　　解：设猴子总数为
( http: / / www.21cnjy.com )只，根据题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
　　解此方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以，猴子总数为
( http: / / www.21cnjy.com )只或
( http: / / www.21cnjy.com )只。
图2
1丈
甲
乙
北
东
图1如何列一元二次方程解动点问题？
难易度：★★★★
关键词：一元二次方程的应用
答案：
运动变化的题目需要在动中找静，准确把握数量关系，并注重检验解的合理性。
【举一反三】
【举一反三】
典例：如图，在△ABC中，∠B=
( http: / / www.21cnjy.com )90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

思路导引：一般来说，此类问题需找一静点，找出数量关系式。
设x秒后△PBQ的面积等于8cm2

则PB=x，BQ=2x

依题意，得：x·2x=8

x2=8

根据平方根的意义，得x=±2
( http: / / www.21cnjy.com )

即x1=2
( http: / / www.21cnjy.com )，x2=-2
( http: / / www.21cnjy.com )

可以验证，2
( http: / / www.21cnjy.com )和-2
( http: / / www.21cnjy.com )都是方程
( http: / / www.21cnjy.com )x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．
所以2
( http: / / www.21cnjy.com )秒后△PBQ的面积等于8cm2．
标准答案：2
( http: / / www.21cnjy.com )秒．承包获利
　　某人承包水库养鱼1万条，为了了解鱼的生长
( http: / / www.21cnjy.com )情况，第一次网出25条，平均每条重2.2千克；第二次网出40条，平均每条重2.4千克；第三次网出35条，平均每条重2.6千克．问：（1）该水库中鱼的总重量约是多少千克？（2）若不论大小，全部按每千克7.5元出售，他能收入多少元？（3）若把鱼分类出售，大鱼每千克10元，小鱼每千克6元，则水库中大鱼总重量不低于多少时，承包人卖鱼所得收入才能不低于按每千克7.5元出售所得收入？
分析：本题是应用统计知识对生活中的问题进行观察、评估与决策，生活气息浓．本题主要检查学生对加权平均数公式
( http: / / www.21cnjy.com )，（f1＋f2＋…＋fk＝n）的意义的理解和应用．有利于培养学生运用所学知识解决实际问题的能力．其具体的思路是：
　　（1）由于已知水库中有1万条鱼，要想知道这些鱼的总重量，只要知道平均每条鱼的重量即可．因此，可以运用统计方法，通过抽查水库中部分鱼的重量，来估计水库中每条鱼的重量．所以水库中鱼的总重量＝平均每条鱼的重量×鱼的条数，即
( http: / / www.21cnjy.com )，也即
( http: / / www.21cnjy.com )
．
　　（2）用水库中鱼的总重量乘售鱼单价．
　　（3）思路一：把问题转化为“水库中大鱼总重量为多少时，承包人卖鱼所得收入与按每千克7.5元出售所得收入相等”，通过列方程解决问题．
　　思路二：先列出承包人收入与水库中大鱼总重量之间的函数关系式，列出不等式来解．
　　解：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )
（千克）．
　　答：该水库中鱼的总重量约为24200千克．
　　（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
（元）．
　　答：不论大小，全部按每千克7.5元出售，水库承包人能收入181500元．
　　（3）解法一：设水库中大鱼质量为x千克时，承包人分类售鱼收入与（2）中收入相同，根据题意，得
　　
( http: / / www.21cnjy.com )
．
　　解这个方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )
．
　　答：水库中大鱼总重量不低于9075千克时，承包人分类售鱼收入才能不低于按每千克7.5元出售的收入．
　　解法二：设水库中大鱼重量为q千克，承包人售鱼收入为y元，则有
　　
( http: / / www.21cnjy.com )．
要使承包人分类售鱼收入不低于（2）中收入，必须有
( http: / / www.21cnjy.com )
．
　　解这个不等式，得q≥9075．
　　答：水库中大鱼总重量不低于9075千克时，承包人卖鱼收入才能不低于每千克7.5元出售的收入．
　　我们学习统计，还为了利用有关知识和统计思想方法来解决现实生活中的问题．列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？
难易度：★★★
关键词：一元二次方程的应用
答案：
：根据例题分析，列一元一次方程解应用题的方法和步骤如下：
(1)仔细审题，透彻理解题意。即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数；
(2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。(这是关键步骤)；
(3)根据相等关系，正确列出方程，即
( http: / / www.21cnjy.com )所列方程应满足两边的量要相等；方程两边代数式的单位要相同；题中条件要充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；
(4)根据方程的同解性原理，解方程，求出未知数的值；
(5)检验后完整写出答案。
【举一反三】
典例：某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：s=10t+3t2，那么行驶200m需要多长时间
思路导引：一般来说，此类问题按照列一元
( http: / / www.21cnjy.com )二次方程解应用题的一般步骤进行求解。这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200代入求关系t的一元二次方程即可。当s=200时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0

解得t=
( http: / / www.21cnjy.com )（s）
标准答案：行驶200m需
( http: / / www.21cnjy.com )s．一类由篱笆围成兔舍问题的再思考
教材中的例习题都是专家精心挑选或独巨匠
( http: / / www.21cnjy.com )心命制的,具有典型性,示范性或迁移再生的特性,解决问题之后，若能大胆地联想变化问题的相关条件,或通过变换问题的情景向纵深进行拓广和延伸,挖掘蕴涵的数学思想方法,再次经历问题变化过程的探索与思考,可大大提高解决问题的能力.本文以一道关于“构建养兔栅栏”的数学问题为例加以剖析，以飨读者.
【引例】
如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长篱笆，怎样围成一个面积为50m2矩形兔舍场地？
分析：设围成长方形的长（与兔舍的墙平行的一边）为xm.根据题意，得x·
( http: / / www.21cnjy.com )
=50，解之，得x1=x2=10
所以当围成长方形的宽为5m
长为10m时，矩形兔舍面积为50m2。
从上述的解答过程中，我们发现给出的墙面的长
( http: / / www.21cnjy.com )度不限，因此对解出所需的篱笆长没有影响，只要解符合实际意义（正实数）即可。若给出的墙面的长度有限制，必然制约着问题的解（这是因为墙面短时，就不能围城兔舍）请看变式1：
拓展1：学生生物课外活动小组
( http: / / www.21cnjy.com )要在兔舍外面开辟一个面积为20m2的长方形活动场地，它的一边靠墙，其余3边利用13m的旧围栏，已知兔舍墙面宽6m，问围成长方形的长和宽各是多少？
分析：设围成长方形的宽（与兔舍的墙垂直的一边）是xm.根据题意，得x·(13-2x)=20，解之，得x1=4，x2=
( http: / / www.21cnjy.com )
当长方形的宽为4m或
( http: / / www.21cnjy.com )m，故相应的兔舍的长5m或，由于兔舍的墙面宽6m，所以当长为8m时，超过墙宽，不满足要求，应舍去.所以围成长方形的长和宽分别为4m、5m..
从拓展1的解答过程中，我们很容易发现墙面的宽度对解的影响不容忽视，因而在未明确告知墙的长度时，需对墙长分类讨论.请同学们给出如下问题探讨.
拓展2、学生生物课外活动小组要在兔舍外
( http: / / www.21cnjy.com )面开辟一个面积为20m2的长方形活动场地，为了节约材料，它的一边靠墙，其余3边利用13m的旧围栏，已知兔舍墙面宽a
m，（1）求围成长方形的长和宽各是多少？（2）题中兔舍墙面宽a
m对题目的解有怎样的制约作用？
从提高兔舍经济效益方面考虑，我们试图利用现有的原材料建造一个面积最大的兔舍活动场地请你判断下面构建能实现吗？
拓展2、试用“13m的旧围栏围城长方形，并使兔舍场地的面积最大(假设墙宽没有限制条件)？能建造出面积为22㎡的兔舍活动场地吗？”
分析：设围成长方形的宽（与兔舍的墙垂直的一边）是xm.
根据题意，x·(13-2x)=22,即2
x2－13
x+22=0
因为△=（-13）2－4×2×22<0,方程无实数解，所以不能建造出面积为22㎡的兔舍活动场地。
如果出现养兔场的两边靠墙怎样建造才能使所围兔场的面积最大呢？
拓展3、如图，用长为13m的篱笆，两面靠墙围成矩形的养兔场，能建造出面积为22㎡的兔舍活动场地吗？
解答由读者完成.
尝试练习：某农场要建一个长方形的养鸡场
( http: / / www.21cnjy.com )，鸡场的一边靠墙（墙长25米），另3边用木兰围城，木栏长40米，（1）鸡场的面积能达到180米2吗？能达到200米2吗？（2）鸡场的面积能达到250米2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由.如何列一元二次方程解直角三角形？
答案：
很多几何题求边时，用方程思想解决，而相等关系多由勾股定理提供，掌握本题很重要，体现了“几何问题代数化”。
【举一反三】

典例：一个直角三角形，斜边
( http: / / www.21cnjy.com )，两条直角边长相差
( http: / / www.21cnjy.com )，求这个直角三角形的两条直角边的长。
思路导引：一般来说，此类问题根据直角三角形三边关系。在Rt△中，三边a，b，c满足
( http: / / www.21cnjy.com )，这是构造方程的相等关系。设一条直角边长为x
cm，则另一条边长为
( http: / / www.21cnjy.com )。根据题意列方程
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合题意，舍去）。
( http: / / www.21cnjy.com )。
标准答案：两条直角边长分别是8cm和4cm。一元二次方程的应用题
本节课的内容涉及三方面的内容：数字问题、面积问题、增长率或降低率的问题。下面就这三方面的内容作进一步的说明和补充。
一、数字问题
解决此类问题的关键是正确而巧妙地设
( http: / / www.21cnjy.com )未知数，一般采用间接设的方法。多位数字用各数位上的数字与其数位值的乘积的和表示，如百、十、个位数字分别为a,b,c的三位数可表示为100a
+
10b
+
c。
注意：
1、连续整数的表示方法：通常设中间
( http: / / www.21cnjy.com )的数为x，再用含x的代数式表示其他的数，根据连续整数相邻两个数相差1的特征，可分别设前一个数为x—1，后一个数为x+1。
2、连续奇（偶）数的表示方法：通常设中间一个
( http: / / www.21cnjy.com )数为x，再用含x
的代数式表示其他的数，根据
连续奇（偶）数相邻两个数相差2的特征，可分别设前一个数为x-2，后一个数为x+2。
二、面积问题
面积问题是一元二次方程中常
( http: / / www.21cnjy.com )见的问题，通常是求线段的长度，如长方形的长或宽等等。此类问题的等量关系即为几何图形的面积公式，如长×宽=长方形面积。解决此类问题的关键就是如何用未知数x表示公式中的未知量，如利用未知数表示长方形的长或宽。
三、增长率、降低率的问题
1、增长率问题是在某个数
( http: / / www.21cnjy.com )据的基础上，连续增长两次得到新的数据。此类问题的等量关系是a（1+增长率）2=b，其中a表示增长前的数据，b表示增长后的数据。
2、降低率问题是在某个数据的基础上，连
( http: / / www.21cnjy.com )续降低两次得到新的数据。此类问题的等量关系是a（1-降低率）2=b，其中a表示降低前的数据，b表示降低后的数据。
四、补充相关中考新题型
1、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
解：设该单位这次共有名员工去天水湾风景区旅游，
因为
( http: / / www.21cnjy.com )，所以员工人数一定超过25人。
可得方程
( http: / / www.21cnjy.com )
整理，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )。
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )，故舍去
( http: / / www.21cnjy.com )
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )，符合题意
答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游。
2、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm
由题意得：
( http: / / www.21cnjy.com )
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，20-x=4
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
20-x=16
答：（略）
（2）不能
理由是：
( http: / / www.21cnjy.com )
整理得：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵
△=
( http: / / www.21cnjy.com )
∴此方程无解
即不能剪成两段使得面积和为12cm2
如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元
如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元如何列一元二次方程解决利润问题？
难易度：★★★
关键词：一元二次方程的应用
答案：
利润问题中常用用到的公式是：（1）单位利润×销量＝总利润
（2）总利润=总销售额-总成本
【举一反三】
典例：黄岗百货商店服装柜销售中发现：“宝乐”
( http: / / www.21cnjy.com )牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为迎接“六·一”，商场决定降价，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么每天平均可多售8件，要想每天平均在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
思路导引：一般来说，此类问题为经济类问题应用，应找准数量关系。要切实理解减少库存是本题需要。

解：设每件童装应降价x元，根据题意，

( http: / / www.21cnjy.com )

( http: / / www.21cnjy.com )

解得：
( http: / / www.21cnjy.com )

因要减少库存，∴
( http: / / www.21cnjy.com )，
标准答案：每件童装应降价20元。如何列一元二次方程解决平移问题？
答案：
平移是物体运动的一种形式，恰当的平移往往能产生事半功倍的效果。
【举一反三】
典例：某中学有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修建宽都是2米的两条互相垂直的道路,余下的四块矩形小场地建成草坪。
（1）如图，请分别写出每条道路的面积（用含a或含b的代数式表示）
（2）已知a:b=2:1，并且四块草坪的面积之和为312米2
，试求原来矩形场地的长和宽各为多少米？
思路导引：一般来说，此类问题应表示出图形中的面积，特别注意重合部分。
虽然表示出两条道路的面积为2a米
( http: / / www.21cnjy.com )2
和2b米2，但由于两条道路有重合的部分，草坪的面积是矩形场地的面积减去两条道路的总面积(2x+4x-4)
米2.
（1）这两条道路的面积分别为2a米2
和2b米2
（2）设b=x米，则a=2x米，由题意可得
x 2x-(2x+4x-4)=312
即x2-3x-154=0
(x-)2=
( http: / / www.21cnjy.com )
所以x-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )或x-
( http: / / www.21cnjy.com )=-
( http: / / www.21cnjy.com )
整理得：x1=14
,x2=-11
(舍负根)
所以b=14
,a=28
即矩形的长为28米，宽为14米。
标准答案：（1）这两条道路的面积分别为2a米2
和2b米2（2）矩形的长为28米，宽为14米。如何列一元二次方程解翻番问题？
答案：
关于翻番问题，应清晰地知道翻一番，即为原来数值的两倍，翻两番即为原数值的四倍。
【举一反三】
典例：党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值以2020年比2000年翻两番．在本世纪的头二十年（2001年~2020年），要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )满足的方程为（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
思路导引：一般来说，此类问题注意翻番的
( http: / / www.21cnjy.com )特点。翻一番，即为原来数值的两倍，翻两番即为原数值的四倍。设2000年生产总值为a，则2010年的生产总值为a(1+x),2020年的生产总值为a(1+x)2
列方程得：a
( http: / / www.21cnjy.com )a,即
( http: / / www.21cnjy.com )
标准答案：B如何用
一元二次方程解决增长率问题？
答案：求增长率问题时，应正确运用增长率公式：
( http: / / www.21cnjy.com )
【举一反三】
典例：市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
思路导引：一般来说，此类问题应先分析数量关系式，正确运用增长率的公式，设出相关未知数，表示关系式。

设每年人均住房面积增长率为x．一年后人
( http: / / www.21cnjy.com )均住房面积就应该是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2

解：设每年人均住房面积增长率为x，

则：10（1+x）2=14.4

（1+x）2=1.44

直接开平方，得1+x=±1.2

即1+x=1.2，1+x=-1.2

所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．

所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
标准答案：每年人均住房面积增长率应为20%．一元二次方程公共根问题
若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：
设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；
用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；
把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．
例1
已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根，
求k的取值范围．
如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．
解析：（1）∵一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根
∴△=16-4k＞0，∴k＜4
（2）当k=3时，解x2-4x+3=0得x1=3，x2=1
当x=3时，32+m·3-1=0，m=-
当x=1时，12+m·1-1=0，m=0
例2
若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值
解：设两个方程的公共根为α，则有α2+α+a=0
①
α2+aα-1=0
②
①-②得（1-a）α+a-1=0，即（1-a）（α-1）=0
因为只有一个公共根，所以a≠1，所以α=1
把α=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2
例3
已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根，请说明理由．
分析：判断两个方程是否有公共解，常假设有公共根，代入两个方程整理，求出这个解，再检验，如有矛盾方程的公共根不存在．
解：不妨设关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有公共根，设有x0，则有
整理，可得（x0+1）（a+b-ab）=0
∵a＞2，b＞2，∴a+b≠ab，∴x0=-1
把x0=-1代入①得，1+a+b+ab=0这是不可能的
所以，关于x的两个方程没有公共根．
①
②购物中的一元二次方程
现实生活中，只要你有一双善于发现
( http: / / www.21cnjy.com )的慧眼，你就会惊奇的感觉到：生活，时时刻刻都充满着数学，整个生活就是用数学那美丽的花环编织起来的，绚丽多彩，让人陶醉。
下面，请同学们欣赏！

例1
某商场销售一批名牌衬
( http: / / www.21cnjy.com )衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。

求：(1)若商场平均每天要盈利1
200元，每件衬衫应降价多少元

(2)若要使商场平均每天盈利最多，请你帮助设计方案．

解：(1)设每件衬衫应降价x元，则(40-x)(20+2x)＝l200
整理，得x2-30x+200＝0
解得x1＝10，x2＝20

因为要尽快减少库存，∴x＝20

(2)商场每天盈利(40-x)(20+2x)＝-2(x-15)2+1250

当x＝15时，商场盈利最多，共1250元．
答：(1)每件衬衫应降价20元．(2)每件衬衫降价15元时，商场盈利最多。
点评：商场购物是我们每个人都经历过的事情，但你注意、观察、感悟过吗？
例2
某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元。设平均每次降价的百分率为x，则，列方程正确的是(
)
A.
580(1+x)2＝1185
B.1185(1+x)2=580
C.580(1-x)2=1185
D.1185(1-x)2=580

分析：由题意得：1185(1-x)2=580
解：D
点评：购买手机这件事情也充满着数学，你看生活是多么的有意思啊！
例3
某电视机厂2001
( http: / / www.21cnjy.com )年生产一种彩色电视机，每台成本3000元，由于该厂不断进行技术革新，连续两年降低成本，至2003年这种彩色电视机每台成本仅1920元．问平均每年降低成本百分之几

分析：设每年降低成本的百分率为。x，
( http: / / www.21cnjy.com )那么2002年的成本为3000(1-x)元，2003年的成本为3000(1-x)2元．根据题意可列方程3000(1-x)
2＝1920

解：设平均每年降低成本的百分率为x，依题意列方程3
000(1-x)
2＝l920

答：平均每年降低成本20％。
点评：平均降低率问题与平均增长率问题类似，只要把平均增长率公式a(1+x)＝b中的“+”号换成“-”号即可。学习要点：用一元二次方程解决问题
列一元二次方程解实际应用题的一般步骤
具体的步骤一般是：
审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知量，未知量以及他们之间的关系
设未知数：一种方法是直接设所要求的量x，另一种是设与所求量有关系的，且具有关键性作用的未知量为x,即所求量可以用x表示出来
列代数式：用含有x的代数式表示出有关的未知量。
列方程：根据题目已知量和未知量的关系列出方程
解方程：利用配方法，公式法，因式分解法等求出未知量的值。
检验：应用题中未知量的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列出的方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义
写出答案：根据题意，选择合理的答案
1、平均增长率方面的应用题
平均增长率的公式：
( http: / / www.21cnjy.com )（a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）.类似的，还有降低率问题，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )（a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）.
2、利润方面的应用题
总利润=总销售价—总成本
总利润=单个的利润×总销售量
3、与几何图形有关的一元二次方程的应用题
与几何图形有关的一元二次
( http: / / www.21cnjy.com )方程的应用题主要是将数字与数字之间的关系隐藏在图形中，这样的图形主要有三角形，四边形（以后还有圆），涉及三角形的三边关系、三角形全等、面积的计算、体积的计算、勾股定理等.
解答此类问题时，关键是把
( http: / / www.21cnjy.com )实际问题数学化，这就要求我们认真的分析题意，把实际问题中的已知条件和未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何原理来寻找他们之间的关系。
在解题时，联想图形中有关的几何定理，面积和公式，这里运用了数行结合和化归的思想。
4、数字问题
数的表示方法：
（1）三个连续的整数，设中间的一个为x，，则其余两个分别为x-1,x+1.
(2)
三个连续的偶数（或奇数），设中间的一个为x，则其余的两个分别为x-2，x+2.
（3）两位数=十位上的数字×10+个位上的数字
（4）三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字
【例1】
在一幅长80cm，宽50cm的矩形图画的四周镶一条金色的纸边，
制成一幅矩形的挂图，如图所示，如果要使整个面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x
cm，那么x满足的方程为（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )
B.
( http: / / www.21cnjy.com )
C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
【例2】一个三位数，十位上的数字比个
( http: / / www.21cnjy.com )位上的数字大3，百位上的数字等于个位上的数字的平方，如果这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字之积的25倍大202，则这个三位数是__________________.
【例3】
某商店如果将进货价为8元的商
( http: / / www.21cnjy.com )品按每件10元出售，每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这件商品每件涨0.5元，其销售量就会减少10件，那么将售价定位多少时，才能使所赚利润为640元？
【例4】
制造一种产品，原来每件的成本为100元，由于连续两次降低生产成本，现在每件的成本为81元，则平均每次降低成本的（
）
A.
8.5%
B.9%
C.9.5
%
D.10%
【例5】
某大学为改善校园环境，计划在一块长为80cm，宽为60cm
的矩形场地的中央建一块矩形网球场.网球场占地面积为3500m
( http: / / www.21cnjy.com ),四周为宽度相等的人行步道，求人形步道的宽度.与一元二次方程有关的阅读理解题
近几年来，阅读理解题频频出现在全国各
( http: / / www.21cnjy.com )地的中考试题中，成为试卷中一个耀眼的亮点，关于解阅读理解题，我总结了三句精要：“阅读是重点，理解是难点，应用是关键”．本文结合同学们学习的一元二次方程，精选近几年的中考题，谈谈阅读理解题的求解要领，旨在对同学们的学习和中考都能有所帮助．
例1
（福建省三明市05年中考模拟题）阅读并解答下列问题：
（1）如下表，方程1、方程2、方程3、……是按一定规律排列的一列方程，解方程1，并把它的解填在表中的空白处：
序号
方程
方程的解
1
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
2
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
3
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
……
……
……
……
（2）若方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解是x1＝6，x2＝10，求a、b的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？
（3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程．
简析：本例是可化为一元二次方
( http: / / www.21cnjy.com )程的分式方程，好在八（下）第10章我们有“分式方程”（可化为一元一次方程的分式方程）垫底，其难度就降低多了．作为阅读理解题，重点是阅读，阅读可分两轮：（1）疏通性阅读，即读懂题意；（2）要领性阅读，即有的放矢地抓住要领．难点是理解，理解可分两层：（1）给定一列方程的排列规律；（2）分式方程的两个正根与参变数a、b之间的内在联系．关键是应用，应用体现两步：（1）第（2）小题求解中的求a、b（视a、b为未知数）值和对方程位序的判断；（2）把这列方程按规律从特殊拓广到一般．
略解：（1）x1＝3，x2＝4；（2）a＝12，b＝5，是第四个方程；
（3）
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．验证略．
例2　（厦门市03年中考题）阅读下面的例题：
解方程
( http: / / www.21cnjy.com )．
解：（1）当x≥0时，原方程化为
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )（不合题意，舍去），
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以原方程的根是
( http: / / www.21cnjy.com )．
参照例题解方程
( http: / / www.21cnjy.com )，得到此方程的根是_________．
简析：本例是含有绝对值符号的一元二次方程，且为填空题，这类题目在竞赛中亦频频出现，求解时请效仿例题，注意分类讨论．
略解：应填写
( http: / / www.21cnjy.com )（具体求解过程留给读者仿阅读材料自行完成）．
评注：该例属于方法模拟型阅读理解题，解题过程中请注意以下几点：
（1）理解阅读材料中的因
( http: / / www.21cnjy.com )果关系；（2）注意阅读材料中隐含的数学思想方法；（3）重视阅读材料中与新知识伴随的方法；（4）除模仿阅读材料中的方法外，还要注意迁移发展，探索有创造性的解题方法．
作为练习与巩固，请同学们完成以下两道练习题．
练习1　方程1：
( http: / / www.21cnjy.com )；方程2：
( http: / / www.21cnjy.com )；
方程3：
( http: / / www.21cnjy.com )；……方程k．
（1）解方程1；
（2）先根据方程1、2、3中所反映的某种规律写出方程k，再根据方程1的结果，提出对方程k的解的情况的猜想，并说明你猜想的理由．
练习2：先阅读下面的例题及解答过程，然后解答后面的问题．
例题：若方程
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )有相同的根，求k的值及相同的根．
解：设相同的根为α，则有
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）当k≠6时，α＝1，代入原方程可求得
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）当k＝6时，代入原方程中，两方程均为
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
故当k≠6时，有一个相同的根是α＝1；当k＝6时，它们两根都相同，是－1和7．
请你依照上面的解答，完成下题：
已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )仅有一个相同的实根？
（为了便于读者阅读，这里附上参考答案．练习1（1）方程1：解得
( http: / / www.21cnjy.com )，经检验
( http: / / www.21cnjy.com )是原方程的增根，舍去，故方程1无解；（2）方程k为
( http: / / www.21cnjy.com )，根据方程1的结果，可猜想方程k无解，这是因为解方程k得
( http: / / www.21cnjy.com )，而当
( http: / / www.21cnjy.com )时，公分母
( http: / / www.21cnjy.com )，故方程k无解．练习2，设相同的根为α，则由题意我们有
( http: / / www.21cnjy.com )．所以
( http: / / www.21cnjy.com )．即
( http: / / www.21cnjy.com )．（1）当m≠1时，α＝1，代入原方程求得m＝0；（2）当m＝1时，代入原方程，两方程均为
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )，即它们的两根都相同，不合题意，舍去，故只有当m＝0时，两方程仅有一个相同的实根．）如何列一元二次方程解行程问题？
难易度：★★★★★
关键词：一元二次方程的应用
答案：
行程问题应把握好路、速度、时间三者之间的关系，设置恰当的未知数列出正确的关系式，求解时注意实际问题中不合理的解要舍去。
【举一反三】
典例：2008年5月1日，目前世界
( http: / / www.21cnjy.com )上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．
（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
（2）若货物运输费用包括
( http: / / www.21cnjy.com )运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？
（3）A地准备开辟宁波方向的外运路
( http: / / www.21cnjy.com )线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？
思路导引：一般来说，此类问题应根据路程、速度、时间三者关系列出等量关系式。
解：（1）设
( http: / / www.21cnjy.com )地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为
( http: / / www.21cnjy.com )千米，
由题意得，解得．
( http: / / www.21cnjy.com )地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米．
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )（元），
( http: / / www.21cnjy.com )该车货物从
( http: / / www.21cnjy.com )地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元．
（3）设这批货物有
( http: / / www.21cnjy.com )车，
由题意得
( http: / / www.21cnjy.com )，
整理得
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )（不合题意，舍去），
( http: / / www.21cnjy.com )这批货物有8车．
标准答案：（1）A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米．
（2）该车货物从
( http: / / www.21cnjy.com )地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元
（3）这批货物有8车．如何列一元二次方程求数字问题？
答案：
一般来说，常用的是十进制计数法。十位数字是a，个数字是b，则这个两位数可表示为：10a+b。如123=1×100+2×10+3×1;
【举一反三】
典例：两个连续偶数积为288，求这两个数。
思路导引：一般来说，此类问题应分析数字的特点。两个连续偶数差2，可设x，
( http: / / www.21cnjy.com )。设这两个偶数分别为x，x+2，根据题意，
( http: / / www.21cnjy.com )，解得：
( http: / / www.21cnjy.com )。
( http: / / www.21cnjy.com )。
标准答案：这两个连续偶数是16，18或－18，－16。《用一元二次方程解决问题》
1、导读：
一元二次方程解应用题是列一元一次
( http: / / www.21cnjy.com )方程解应用题的继续和发展，从根本上讲，则是为了解决实际问题的需要，比如在几何、物理及其他学科中，许多问题都要化归到一元二次方程问题来解决．
　　2、列一元二次方程解应用题的一般步骤是
　　(1)审题．分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系．
　　(2)设未知数．一般采取直接设法，有的要间接设．
　　(3)列出方程．要注意方程两边的数量相等．方程两边的代数式的单位相同．
　　(4)解方程．应注意一
( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．
　　3、掌握常见相关问题的数量关系及其表示方法
　　(1)三连续整数：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－1，x＋1．
　　三连续偶数(奇数)：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－2，x＋2．
　　(2)三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数为100a＋10b＋c．
　　(3)增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1＋x)，二次增长后的值为a(1＋x)2．
　　降低率问题：若基数为a，降低率为x，则一次降低后的值为a(1－x)，二次降低后的值为a(1－x)2．
　　(4)三角形、梯形、特殊的平行四边形的面积公式也是列一元二次方程的依据．
4、典例析解：
在列方程解应用题的过程中，审题是解决
( http: / / www.21cnjy.com )问题的基础，找出相等关系列方程是解决问题的关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步．
　　例1．将进货单价为40元
( http: / / www.21cnjy.com )的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8
000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
　　析解：如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5
000元．为了赚得8
000只．只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多．其中的等量关系是：每个商品的利润×销售量=
8
000（元）．这里的关键是如何表示出每个商品的利润和销售量的问题．可设商品的单价是
( http: / / www.21cnjy.com )元，则每个商品的利润是
( http: / / www.21cnjy.com )元，销售量是
( http: / / www.21cnjy.com )个．由题意列方程为
( http: / / www.21cnjy.com )
解之得，
( http: / / www.21cnjy.com )．
因此，售价定为60元时，进货是400个，售价定为80元时，进货是200个．
例2．某电脑公司2000年的各项经营收入中
( http: / / www.21cnjy.com )，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2
160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？
析解：运用基本关系式：基数（1+平均增长率）n=实际数．
首先要求（或表示）出基数=600÷40%．
设2001年预计经营总收入为
( http: / / www.21cnjy.com )万元，每年经营总收入的年增长率为
( http: / / www.21cnjy.com )．
由题意列方程为
( http: / / www.21cnjy.com )
解之得　所以2001年预计经营总收入为1
800万元．古希腊三大几何问题
　　传说大约在公元前400年
( http: / / www.21cnjy.com )，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将它神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行．人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力．这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方问题．用数学语言表达这就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的2倍．另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方的问题．
　　古希腊三大几何问题既引人入胜，又十
( http: / / www.21cnjy.com )分困难．问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵．它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规．但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点．某个图形是可作的就是指从有限个点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到．这一过程中隐含了近代代数学的思想．经过两千多年的艰苦探索，
数学家们终于弄清楚了这三个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题”．认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃．
　　然而，一旦改变了作图的条件，问题则会变
( http: / / www.21cnjy.com )成另外一个样子．比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了．数学家们在这些问题上又演绎出很多故事．直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”（即半径固定的圆规）的两个作图问题，为尺规作图增添了精彩的一笔．

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