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相似三角形中的开放性问题
相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，由于相似三角形中对应顶点的不确定性，导致了在很多问题中出现多解的情况，即答案不是唯一确定的，下面举几例简单加以说明，希望能对同学们有所帮助。
1．寻找三角形相似的条件
例1．如图1，分别是的边上的点，请你添加一个条件，使与相似，你添加的条件是
．
分析：在△ADE与△ABC中，有一个公共角∠A，根据三角形相似的判定定理，要使△ADE∽△ABC，只要两个三角形中另有一组角对应相等或∠A的夹边对应成比例就可以了．
解：只需添加条件：∠B＝∠AED或∠C＝∠ADE或等等．
说明：本题添加的条件不唯一，是一道典型的条件开放题．本题添加的条件还可以是上面所写条件的等价形式，如，AC AE＝AB AD．
2．寻找相似三角形
例2.
已知:如图2，
△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE．若∠BDE+∠BCE=180°．
(1)写出图中三对相似三角形(注意:不得加字母和线)；
(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明他们相似的理由．
分析:
在一对角相等的条件下，如果有另一对角相等，那么两个三角形相似，或相等角的对应边成比例，也可得到两个三角形相似．
∵∠BDE+∠BCE=180°，
∠BDE+∠ADE=180°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB
．
∴又∵∠A=∠A，
∴△AEB∽△ADC．
∵∠BDE+∠BCE=180°，∠BCE+∠ECF=180°，
∴∠ECF=∠BDE，
∴△CEF∽△DBF．
∴又∵∠F=∠F，
∴△FEB∽△FCD．
由此得到四对相似三角形，只要写出其中三个即可．
解答:(1)△ADE∽△ACB，
△AEB∽△ADC，
△CEF∽△DBF，
△FEB∽△FCD中任意三对即可．
(2)证明略．
说明：本题是一道结论开放题，要找出相似三角形，应从相似三角形的判定条件入手进行分析，先考虑是否有两对角对应相等的三角形，再分析两边对应成比例且夹角相等的三角形．
3．构造格阵中的相似三角形
例3.
如图3，已知格点，请在图2中分别画出与相似的格点和格点，并使与的相似比等于2，而与的相似比等于．(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形．友情提示：请在画出的三角形的顶点处标上相对应的字母！)
分析：各边的长分别为1，，，与的相似比等于2，因此各边的长分别为2，，，各边的长分别为，，5.
解：如图4(所作图形只需符合题意即可)
说明：当相似比确定后，△A1B1C1的形状就确定了，但△A1B1C1可以有多个不同的位置．而设定不同的相似比，又可以得到不同的相似三角形．另外，本题也可以利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理求解，从题目条件可知∠ACB＝135°，故只需把AB、BC的长求出，然后再设相似比即可求解．
4．分割相似三角形
例4.
已知：在直角坐标系中的位置如图5所示，为的中点，点为折线上的动点，线段把分割成两部分．问：点在什么位置时，分割得到的三角形与相似？
(注：在图上画出所有符合要求的线段，并求出相应的点的坐标)．
分析：由于原△AOB为直角三角形，要使分割得到的三角形与相似，故线段PC必须与原三角形的三条边垂直，因此我们需要考虑三种情况.
解：过作，垂足是，则．
点坐标是．过作，垂足是，
则．点坐标是．
过作，垂足是（如图6），
则，．
易知，
，．
点坐标是．
符合要求的点有三个，其连线段分别是（如图6）．
说明：本题在分割三角形中，充分考虑了直角三角形的特点，利用相似三角形的性质来分割图形．
图1
A
B
C
D
E
B
A
C
D
E
F
图2
A
B
C
图3
A
B
C
图4
1
1
图5
1
1
图
6
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1什么是两条线段的比？
难易度：★★★
关键词：两条线段的比
答案：
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n，或写成
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【举一反三】
典题：在比例尺为1:500000的地图上，量得甲乙两地的长度是3cm，求甲乙两地的实际距离。
思路导引：由图上距离为3cm，根据比例尺=
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标准答案：解：设甲乙两地的实际距离为xcm，则1:500000=3:x，得x=150000，即x=15（km）
所以甲乙两地的实际距离15km。比例求值的常用方法
一、运用比例的性质
对已知的等式，利用比例的性质，如比例的基本性质、含比性质、等比性质进行变形，进而求出所求式子的值。
例1
已知：=，则=
。
分析：本题可以由比例的基本性质、合比性质、等比性质解。
解法一：根据比例的基本性质，得
2（x-y）=y
所以2x=3y，所以=
解法二：根据合比性质，得
=，即=
解法三：把原等式变形为=
根据等比性质，得
=，=，所以=
点评：解法三是利用等比性质求解的，解题过程比较简捷，对于所求比中对应项字母系数相同时，易采用等比性质来求。
二、等比设值法
对于有等比条件求比值的题目，可设等比为k，把每个比的前项用k与比的后项的积表示，将其代入所求式中，求出其值。
例2
已知==，求的值。
分析：已知是个等比，设其为k，用k表示x、y、z,将x、y、z代入所求式即可求值。
解：设===k，则x=2k，y=5k，z=7k
∴==
点评：本题也可利用等比性
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三、代入消元法
在求一个比的值时，可根据已知等式，
( http: / / www.21cnjy.com )用一个字母表示其他字母，并代入所求的比中，使比的前项、后项都用同一个字母表示，并整理，约去这个字母，求出其比的值。
已知x：y：z=1：2：3，求的值.
分析：因已知比中有1，故可用x表示其它字母,然后代入所求式即可求值。
解：∵x：y=1：2，所以y=2x
∵x：z=1：3，所以z=3x
∴==-
点评：对于已知比式中有1
( http: / / www.21cnjy.com )时，可用1所对应的字母表示其它字母，然后代入所求式求值比较简捷。若没有1时，可增设字母k，如本题设x=k,y=2k,z=3k。
四、特殊值法
例4
若==，则=
。
分析；本题是填空题，故可取为特殊值代入所求式中，求出其值。
解：取a=2，b=3，c=4满足已知条件
则==。
点评：对于求比值的填空题、选择题，选取满足已知条件的值，代入所求式中，求出其值。什么是黄金分割？
难易度：★★★
关键词：黄金分割、黄金-分割点、黄金比
答案：
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
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( http: / / www.21cnjy.com )，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
【举一反三】
典题：已知线段AB=1，点C是AB上一点，且AC=
( http: / / www.21cnjy.com )，问点C是线段AB的黄金分割点吗？为什么？
思路导引：若满足
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( http: / / www.21cnjy.com )，则点C是线段AB的黄金分割点，若不满足，则不是。
标准答案：点C是线段AB的黄金分割点。理由：由AB=1，AC=
( http: / / www.21cnjy.com )，得
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( http: / / www.21cnjy.com )，所以点C是线段AB的黄金分割点。相似三角形课标要求
内容包括相似三角形的判定、性质和应用，是全章的重点内容．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本节相关内容提出的教学要求如下：
1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；了解相似三角形判定定理的证明；
3．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．
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www.如何利用线段的比值求比例式的值？
难易度：★★★★★
关键词：线段的比-比例式的值
答案：
解决此类问题的方法是：引进一个参数k，把线段比中的字母用含k的式子表示，再代入比例式求值。
【举一反三】
典题：已知a:b:c=2:3:5,求
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思路导引：由a:b:c=2:3:5，设a=2k,b=3k,c=5k,再将a、b、c代入
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标准答案：解：根据题意，设a=2k,b=3k,c=5k,则
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( http: / / www.21cnjy.com )=1.相似多边形的性质的应用
　　1、相似多边形的性质
　　（1）相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比．
　　（2）相似多边形中，对应线段的比等于相似比．
　　（3）相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
　　2、重要方法
　　相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.
　　相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便．性质（2）、（3）揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题，这里要注意这些性质的灵活运用．如：两个相似三角形的相似比，等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根．
　　例1　一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
　　A．12　　　B．18　　　C．24　　　D．30
　　【思路与技巧　由相似多边形对应边成比例，设最长边为x.
　　∴，∴2x=36,x=18.
　　答案　B
　　点评　本题根据相似多边形的对应边成比例的性质，第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边，第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错．
　　例2　如图在□ABCD中，AB=6，AD=4，EF∥AD，若□ABCD∽□EFDA，求AE的长．

　　思路与技巧（1）图形中有几对相似的平行四边形？为什么？对应边分别是什么？
　　（2）AE的对应边应是哪条线段？为什么？
　　（3）试一试：求S□ABCD∶S□EFDA的值.
　　解　∵EF∥AD，四边形ABCD是平行四边形，
　　AD=4
∴EF=AD=4，
　　∵□ABCD∽□EFDA，
　　∴
（相似多边形对应边成比例），
　　又∵AB=6，
　　　∴
∴
.
　　点评　由相似的条件，可知AE的对应边是DA，一般的在条件中，若使用的是相似符号，则对应边则是确定的，因此书写相似多边形时，对应的字母要写在对应的位置上.
　　例3　已知：如图，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，AB=6，AE∶EC=2∶1，
求S四边形AFEG．
　　思路与技巧　（1）四边形AFEG是什么图形？为什么？
　　（2）AE∶EC的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF的长？
　　（3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？所有的菱形都相似吗？
　　解　∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥AD
　　∴EF∥CB，EG∥DC
　　∵∠1=∠2=45°
∴EF=AF
　　∵∠FAG=90°，∴AFEG是正方形，
　　∴正方形ABCD∽正方形AFEG，
　　∴S正ABCD∶S正AFEG=AB2∶AF2
　　（相似多边形的面积比等于相似比的平方），
　　在△ABC中，EF∥CB
∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，
　　又AB=6
∴AF=4
∴S正ABCD∶S正AFEG=36∶16，
　　∴
.
　　点评　本题中的正方形是特殊的多边形，但在一般的多边形中，一定要注意对应关系．
　　（1）相似多边形的对应边的比，等于相似比的平方；
　　（2）所有的正方形都是相似的，此题中只须证出四边形AFEG是正方形，即可得到它与正方形ABCD相似
　　例4　已知：如图所示，△ABC中，DE//FG//BC．
　　（1）若AD=DF=FB，求S1:S2:S3；
　　（2）若S1:S2:S3=1:8:27，求AD:DF:FB．
　　思路与技巧　注意在（2）中，不能由S1:S2=1:8，
就得出AD:DF=1:，因为此处不能直接运用面积的比等于相似比的平方，S1,S2不是两个相似三角形的对应面积．
　　解　
　　
　　（1）
　　
　　令，则，
　　
　　
　　
　　
　　（2）
　　∴可设，则
　　
　　
　　∴AD:AF:AB=1:3:6
　　AD:DF:FB=1:2:3.
　　点评　根据相似形，实施比例转化，应用面积比等于相似比的平方．
　　例5　如图所示，△ABC的面积为16，，D为AB上任一点，F为BD的中点，DE//BC，FG//BC，分别交AC于E、G，设AD=x．
　　（1）把△ADE的面积S1，用含x的代数式表示；
　　（2）把梯形DFGE的面积S2，用含x的代数式表示．
　　思路与技巧　转化为相似三角形，利用其性质解决．
　　解答：（1）
　　，即
　　
　　（2）
　　
∵F为BD的中点，
　　
　　
　　
　　
　　.
　　例6　如图所示，已知O是四边形ABCD的一边AB上的任意一点，EH//AD，HG//DC，GF//BC．试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否相似，并说明你的理由．
　　思路与技巧　证明两个四边形的对应边成比例，对应角相等．
　　解答：四边形四边形．
　　理由：因为，所以，
　　所以，
　　所以
　　又因为，所以，
　　所以，所以．
　　而，所以．
　　因为，所以，
　　所以．
　　而，所以．
　　设，
　　所以，
　　所以，
　　所以
　　因此，
　　
　　所以四边形四边形．
　　点评　通过图形的分割，转化为三角形问题加以研究．
　　例7　已知：ABCD是梯形，AB//DC，对角线AC，BD交于E，ΔDCE的面积与ΔCEB的面积比为1∶3．
　　求：ΔDCE的面积与ΔABD的面积比．
　　分析：题目中已知条件是面积比，要求的也是面积比，因此根据图形找到面积之间的关系是很重要的．ΔDCE与ΔCEB是等高三角形，因此面积比为底的比，而ΔDCE与ΔABE是相似三角形，面积的比等于相似比的平方，又可证出ΔADE与ΔBCE的面积相等，这样ΔDCE与ΔABD的面积比就可求了．
　　解　∵SΔ
DCE∶SΔCEB=1∶3,而ΔDCE与ΔCEB是等高三角形，
　　∴DE∶EB=1∶3，
　　∵DC//AB，
∴ΔDCE∽ΔBAE，
　　∴SΔDCE∶SΔBAE=(DE∶EB)2=1∶9，
　　∵ΔADC与ΔBDC为等底、等高三角形，
　　∴SΔADC=SΔBDC，
　　∴SΔADC-SΔDCE=SΔBDC-SΔDCE，
　　∴SΔAED=SΔBEC
　　设SΔDCE=k,
则SΔAED=SΔBEC=3k,
SΔBAE=9k,
　　∴SΔABD=SΔABE+SΔADE=12k,
　　∴SΔDCE∶SΔABD=1∶12.
　　点评　相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时不要丢掉平方；若从面积比求相似三角形的相似比，则要注意开平方．
　　例8　如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2，解答下列问题：
　　（1）当t=3秒时，求S的值；
　　（2）当t=5秒时，求S的值；
　　思路与技巧　本题考点有等腰三角形；正方形；相似三角形．
　　第一问，思路，作PE
QR，E为垂足，运用相似三角形的性质，面积比第于相似比的平方，可求出面积．
　　第二问方法与第一问类似，但是要注意图形的位置．
　　解　（1）：作PE⊥QR，E为垂足
　　∵PQ=PR，
　　∴QE=RE=QR=4.
　　∴PE=
=3.
　　当t=3时，QC=3．设PQ与DC交于点G.
　　∵PE∥DC，
　　∴△QCG∽△QEP，∴=()2.
　　∵S△QEP=
×4×3=6，
　　∴S=()2×6=(cm2).
　　（2）当t=5时，QC＝5，B、C两点重合，CR=3，设PR与DC交于G.
　　由△RCG∽△REP，可求出S△RCG=.
　　S=12-=
(cm2).
　　点评　本题是代数，几何综合问题，等腰三角形，正方形等多种知识，解答本题的基本思想是数形结合，构造函数，用运动观点考虑．每种情况画一图形，结合图形，认真分析，实现数形结合的思想．
PAGE纸张的大小
如图，将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN．
(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗？
(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？
(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？
事实上，这些矩形都是相似四边形，它们长与宽的比始终保持不变，有趣的是，印刷业经常提及的对开、4开、8开、16开……的纸正是按照上面的方式，将一整张平板纸依次不断对折所得到的，只不过厂家通常将一整张平板纸的尺寸近似取出787×1092mm（即长1092mm、宽787mm），有时也用850mm×1156mm,
890mm×1240mm等规格。
纸张尺寸是将纸张的长宽规范成固定的比例尺寸来使用。目前在国际间最常使用的是ISO所制定的标准，并将尺寸冠以编号例如A4、B5等等。在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸。在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活便利性。
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B判定三角形相似的方法全攻略
判定三角形相似的方法有五种：
一、由定义判定：三个角对应相等，三边对应成比例的两三角形相似.
二、由三边的比判定三角形相似
1、判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单地说三边对应成比例的两个三角形相似.
2、推理形式：如图1所示，在△ABC和△中，如果，那么△ABC∽△.
类比拓展：由三边的比判定三角形相似的方法与判定三角形全等的“SSS”方法类似，只是把三边对应相等，改为三组对应边成比例即可.
例1
如图2，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的为(
)
解析:由于正方形边长均为1，在△ABC中，AC=，BC=2，AB=;图A中三角形三边长为1，而与△ABC三边的比分别为显然它们不相等;图B中三角形三边长为1，与△ABC的三边的比分别为故对应边的比相等;同样的道理可以得出在图C和图D中的两个三角形三边分别与△ABC三边的比不相等.故选B.
三、由两边和夹角判定三角形相似
1、判定方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形形似.简单说成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2、推理形式：如图1，在△ABC和△中，如果那么△ABC∽△.
例2
如图3，在4×4的正方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空：∠ABC=_____，BC=_____;
(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
解析：(1)利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC=，由勾股定理得BC=;
(2)△DEF中，∠DEF=，分别计算△ABC的边AB、BC和△DEF的边DE、EF，AB=2，BC=；EF=2，DE=.∵∴
且∠ABC=∠DEF=，∴△ABC∽△DEF.
技巧点拨：本题是网格中的形似问题，首先要用正方形的性质和勾股定理求出相等的角和边长.再利用两组对边的比相等，夹角相等的两个三角形相似来判断，本题的另一种方法就是利用三边的比对应相等的两个三角形相似来判断，本题的易错点是不少同学认为：因为
，故这两个三角形不相似.网格中的数学问题是近几年中考的热点题型，预计这类问题在今后的中考中有所加强.
四、由两角判定三角形相似
1、判定方法：如果一个三角形的两个角与另一三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两个三角形相似。
2、推理格式：如图1，在△ABC和△中，如果，那么△ABC∽△.
品思感悟：由两个角判定三角形形似的方法是所有方法中最常见的方法，应用时关键是找准对应角，一般地公共角、对顶角、同角的余角（或补角）都是相等的，解题时应注意挖掘题中的条件.
例3如图4，已知△PMN是等边三角形，∠APB=，你能得出：吗？
分析：欲得出，只需说明即只需证明△AMP∽△PNB.
证明：∵△PMN是等边三角形
∴∠PMN=∠PNM=，
又∵∠PMA+∠PMN=∠PNB+∠PNM=，
∴∠PMA=∠PNB=，
∴∠A+∠1=，∠1+∠2=-=，
∴∠A+∠1=∠1+∠2，
∴∠A=∠2，
∴△APM∽△PBN，
∴∴.
A
B
C
图1
B
A
图2
A
C
B
C
D
P
图4
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N
M
B
A
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3解决测量高招多
近几年来测量问题备受中考命题者的青睐，而且测量的方法很多.本文将举例介绍几种解答这类问题的方法.
利用相似三角形的性质测量物体的高度或宽度
例1.如图1，学校的围墙外有一旗杆，甲在操场上的处直立3高的竹竿，
乙从处退到处，恰好看到竹竿顶端与旗杆顶端重合，量得，乙的眼睛到地面的距离，丙在处也直立3高的竹竿，乙从处后退6到处，恰好看到竹竿顶端与旗杆顶端也重合，量得，求旗杆的高.
图1
分析：本题考察了相似三角形中比例线段的应用，难度稍大，表现在图形复杂，数据较多.设乙的水平视线与旗杆、竹竿的交点分别为，，.经细致分析，发现问题集中在与，与上，且这两对三角形均相似，于是可设相关线段，由，可得
①
由，有.②
由①，②联立方程组，解得{故旗杆的高为9+1.5=10.5（）.
评注：利用相似三角形的性质可以测量物体的高度，在测量过程中，要学会数学建模的思想，画出示意图，必要时设辅助未知数列方程（组）求解.
特别提示：这种测量的关键是构造和实物相似的三角形，但必须考虑周边的环境，方案设计必须切实可行.
构造相似三角形测量河的宽度
例2.
如图2，为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸边点P处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A和B，使得B，A，P在一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C，D，使CA⊥BP，BD⊥BP.由观测可以确定CP与BD的交点为D，他们测得AB=45，BD=90，AC=60，从而确定河宽PA=90，你认为他们的结论对吗？
图2
分析：因为CA⊥BP，BD⊥BP，所以可得.则有，即.解得PA=90（）.又因为PA垂直于河岸，所以PA的长即为河的宽度.故他们的结论正确.
评注：测量河宽的常用方法是在平地上选点，构造相似三角形，测出相关数据，根据相似三角形的对应边成比例来求解.常构造如下两种相似三角形（AB为河宽）：
图3
图4
图3中，可先测量BD，BC，CE的长，再求AB的长；图4中，可先测量AC，DC，DE的长，再求AB的长.
特别提示：选点的位置必须恰当，否则在理论上成立而实际操作不具可行性，出现类似在水中测线段的长的情况.利用分类思想解决相似三角形问题
分类思想是数学学科中比较常用的一种方法。分类过程中必须要有一定的标准，争取做到不丢到任何一种情况。相似三角形问题中就存在着一些需要分类讨论的问题。
例题1、要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别是4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可以使这两个三角形框架相似？
分析：题目中只是说明这两个三角形相似，但是并没有说明长度为2的边与已知三边长度的三角形中哪一条边是对应边，所以应该分成三种情况进行考虑。
解：设另一个三角形的另外两条边长分别是x、y。
当长度为2的边与长度为4的边是对应边时，
根据题意得，所以，；
当长度为2的边与长度为5的边是对应边时，
根据题意得，所以，；
当长度为2的边与长度为6的边是对应边时，
根据题意得，所以，；
答；另外两条边的长度可以是，或者，或者，。
例题2、如图1所示，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，当△ADP与△QCP相似时，求出BQ的长度。
分析：本道题目当中，由正方形ABCD可知，∠C=∠D=90°,构成的两个直角三角形相似在对应顺序上就有两种可能，即△ADP∽△PCQ或者△ADP∽△QCP，所以在解题过程中也要从两个角度进行考虑。
解：∵∠C=∠D=90°,
（1）当△ADP∽△PCQ时，，即，
∴，∴。
（2）当△ADP∽△QCP时，，即，
∴，∴。
所以当△ADP与△QCP相似时，或者。
练习：如图所示，在正方形ABCD中，P是CD上一个动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一条直角边与正方形的某一边所在的直线相交于点E。探究：观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并说明你的理由。
图1
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2三角形相似判定方法的汇总及选用
一.相似三角形的判定方法:
(1)定义法:对应角相等,对应边的比相等的两个三角形相似.
(2)平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
(3)判定定理1:如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
(4)判定定理2:如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
(5)判定定理3:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
注意:①在两个三角形中，只要满足两个角对应相等,那么这两个三角形相似,证明时,关键是寻找对应角;②一般地,公共角、对顶角、同角的余角(或补角)都是相等的，在证明过程中要特别注意，这一判定方法是三角形相似的最常用的方法.
二.合理选择判定方法
在运用相似三角形的判定定理解几何问题时，要注意定理的选择，即①已知有一角相等时，可选择判定定理2
或判定定理3；②已知有两边的比相等时，可选择判定定理1或判定定理2.还应注意形似三角形判定定理的作用，即①可以用来判定两个三角形相似；②间接证明角相等，线段成比例：间接地为计算线段长度及角的大小创造条件.
例1：如图1，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD∽△ABC？试分别加以举例.
分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判定方法可知：△ACD与△ABC已有公共角∠A,要使这两个三角形相似，可根据相似三角形的判定方法寻找一个条件即可.
解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC.
条件一：∠ACD=∠B;
条件二：∠ADC=∠ACB;
条件三：
反思：本题探索的问题是相似三角形的判别方法，在探索两个三角形形似时，用分析法，可先证明△ACD∽△ABC然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.
例2:如图2,已知△ABC中,D、E在BC上，且BD=DE=EC=AC，指出图中相似三角形,并证明你的结论.
分析:先利用排除法找到不可能形似的,再证明相似的,
△ACE是等腰直角三角形,所以不可能同其他三角形相似;又△ACD是直角三角形,所以不可能和非直角三角形△ADE、△ABD、△ABE相似；又△ACD和△ACB对应边的比不相等,所以一也不可能相似;因为∠AED=∠BEA，所以△AED和△BEA可能相似.
证明:设AC=CE=ED=DB=a.
即.∠AED=∠BEA，
△AED∽△BEA.
反思:对于具体问题，一定要灵活处理.因为此题出现三角形较多,首先要“快刀斩乱麻”去掉那些不可能相似的三角形，再来检验那些可能相似的三角形.
例3:(06苏州)如图3，梯形ABCD中．AB∥CD．AB=2CD，E,F分别是AB，BC的中点.EF与BD相交于点M．
(1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM．
分析：(1)从已知条件中易推出BE=CD,BE∥CD,于是根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得四边形DCBE是平行四边形.因此CB∥DE,故可推出△EDM∽△FBM.
(2)利用(1)中的△EDM∽△FBM，可得而F为BC的中点，得DE=2BF,DM=2EB.故BM为所求.
解：(1)∵E是AB的中点,∴AB=2EB.
∵AB∥CD,∴四边形CBED为平行四边形,∴
CB∥DE.
∴∠DEM=∠BFM,
∠EDM=∠FBM.
∴△EDM∽△FBM.
(2)
∵△EDM∽△FBM,
∴.∵F是BC的中点,∴
DE=2BF.
∴DM=2BM,∴BM=
反思:遇到有平行条件时,通常利用平行线的性质;借助平行线的性质,找相等的角来证明三角形相似.
例4:如图4,已知在△ABC中,
∠C=D、E分别为AB、BC上的点,且求证:DE⊥AB.
分析:证垂直的方法很多,我们已知当一个三角形与已知直角三角形全等,那么这个三角形也是直角三角形,类似地,我们也可以通过证一个三角形与已知三角形相似来证明垂直问题，而由∠B为公共角,
可得△ABC∽△EBD,故问题得证.
证明:
∵∠B=∠B,
∴△ABC∽△EBD.
∴∠EDB=∠C.
又∵∠C=∴∠EDB=
∴DE⊥AB.
反思:若将题设里的与结论DE⊥AB交换后,该如何证明 请与同伴交流你的证明思路.
图1
D
C
B
A
C
E
D
B
A
图2
图3
E
D
C
B
A
图4
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3用分类讨论思想解相似图形难题
所谓分类讨论思想就是根据问题可能存在的多种情况进行讨论，防止出现漏解的一种数学思想.它能使同学们的思维日趋严谨。它的应用大致可分为四个步骤：（1）确定分类对象；（2）合理进行分类；（3）逐步进行讨论；（4）归纳讨论结果，得出正确结论.下面举几例说明分类讨论思想在相似图形中的应用.
例1
已知a、b、c为非零实数，且满足,则一次函数的图象一定经过（
）.
A
第一、二、三象限
B
第二、四象限
C
第一象限
D
第二象限
分析：本题主要考察一次函数图象性质的灵活应用，但如果思维不周的话，就容易漏掉的情形，因此可按和两种情况讨论.
解：（1）当时，,此时，图象过第二、四象限；
（2）当时，应用等比性质可以得出：
,此时的图象过第一、二、三象限，结合两种情况，函数图象一定过第二象限，故选D.
例2
已知线段,若第四条线段与它们成比例式，则这样的线段有几条？
分析：因为第四条线段大小不定，所以应用分类讨论思想，利用比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，把分类点定为让第四条线段分别与三条线段相乘，既可得到正确答案.
解：设第四条线段为d,让d分别与1、2、3相乘，得
,所以这样的线段有三条，分别为
例3
三角形一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形为（
）.
A
直角三角形
B
等腰三角形
C
等腰直角三角形
D
等腰三角形或直角三角形
分析：因为只知道两个三角形相似，并没有指定顶点间的对应关系，所以存在多种可能，所以可以把分类点定在顶点对应上.
解：（1）已知AD⊥BC，如图（1）所示，若△ABD∽△ACD，则有∠B=∠C,所以AB=AC,所以△ABC为等腰三角形.
（2）已知AD⊥BC，如图（2）所示，若△ABD∽△CAD，所以∠B=∠CAD,∠C=∠BAD,又因为∠CAD+∠BAD+∠B+∠C=,所以∠CAD+∠BAD=，即∠BAC=，此时△ABC为直角三角形，综合上述两种情况，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.
例4
一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与之相似的钢筋三角架，而现在只有30cm,50cm的两根，现要求其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许剩余，损耗不计）作另两边，则不同的截法有（
）种.
分析：因为只要求两三角形相似，所以存在多种可能，首先在截哪根上，可以发现只能截取50cm的一根，因为若截30dm的一根，则不满足三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”.故只能截取50cm。其次，30cm的一边可以与任何的一边对应，可以就其继续展开讨论.
解：（1）若截取30cm为一边，用50cm作另一边，不成立，是因为不满足两边之和大于第三边，故只能截取50cm作另两边.
（2）因为30cm可以与三边分别对应，设截取的第三边分别为：,1)当30cm与20cm对应时，有,解之得：,因为75+90>50,故做不成三角形.2）当30cm与50cm对应时，有,解之得：12+36<50,成立.3）当30cm与60cm对应时，有，解之得：,10+25<50,成立。综上所述，不同的截法有两种，故选B.
例5
已知△ABC∽△ADE,AE=3,EC=5,BC=7,求DE的长.
分析：因为题中并未提供图形，所以应该想到存在两种可能，即“A”字型和“X”字型，这个题的分类点就是图形的多变性.
解：（1）如图3所示：因为△ABC∽△ADE，所以所以所以.
（2）如图4所示，△ABC∽△ADE所以所以，所以，综上所述，DE的长为或.
例6
如图5，∠ACB=∠D=,AB=a,AC=b,AD=c,当线段a、b、c之间满足什么关系时，图中所示的三角形相似？
分析：此题中Rt△ABC和Rt△ADC三边均可用a、b、c表示，所以要使其相似，只要依据它们的两直角边对应成比例就可确定a、b、c之间的关系，但由于没有告诉我们两个三角形边、角之间的对应关系，所以应根据边的对应关系分两种情况展开讨论.
解：因为∠ACB=∠D=，
所以BC=,DC=所以，（1）当时，△ABC∽△ACD，所以整理后得：
（2）当时，△ABC∽△C
AD,所以,整理后得：.
所以当a、b、c满足或时两三角形相似.
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2活用线段比解决问题
在实际生活中有大量的比例线段，求解成比例线段，应根据题意列出比例式，然后通过列方程求解，下面举例说明.
例1
在比例尺为1∶80
( http: / / www.21cnjy.com )00的某学校地图上，如果矩形运动场的图上尺寸是1
cm×2
cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为【
】
A.80
m×160
m
B.8
m×16
m
C.800
m×160
m
D.80
m×800
m
分析：根据比例尺的定义即得.
解：设矩形运动场的实际长为x
cm，宽为y
cm，则由图上尺寸与实际尺寸对应成比例，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以x=16000（cm）=160（m），
( http: / / www.21cnjy.com )，所以y=8000（cm）=80（m），
即y·x=80
m×160
m.
故选A.
跟踪训练1　小亮家有大小两台电
( http: / / www.21cnjy.com )视机，它们的显示屏对角线之比为18∶29，有一次电视屏幕出现了京九铁路的路线图，小亮在大电视机屏幕上量得京九铁路的路线图的长度为34.8
cm，那么小电视机的屏幕上京九铁路的路线图的长度为多少？　
例2
王刚利用树影
( http: / / www.21cnjy.com )测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1.5米，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高是多少？
分析：本题应根据同一时刻物高与影长成比例求解，分两步来进行.第一步，先求墙影是1.4米的实际影长；第二步，求大树的高.
解：设墙影是1.4米的实际影长为x米，大树高为y米，则
( http: / / www.21cnjy.com )，解得x=1.12.又
( http: / / www.21cnjy.com )，解得y=9.4.
所以这棵大树高是9.4米.
说明：同一时刻物高与影长成比例是解这类题的关键.
跟踪训练2　在相同时刻的物高与
( http: / / www.21cnjy.com )影长成比例.小明的身高为1.5
m，在地面上的影长为2
m，同时一古塔在地面上的影长为40
m，则古塔高为【
】
　　A.60
m
B.40
m
　　C.30
m
D.25
m　
答案
1.21.6
cm　
2．C相似三角形中的网格问题
关于网格的数学问题越来越多，例如寻找对称点、对称图形、相似图形以及利用格点进行面积计算等等，都已经成为近几年中考试题的考点问题。其中使用频率比较高的是利用勾股定理进行三角形的有关计算，全等及相似三角形的判定。
例题1、已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位。
（1）将图1中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1B1C1，请你在图1中画出△A1B1C1。
（2）在图2中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形。
分析：画全等的格点三角形比较容易，只需要弄清楚三个顶点之间的位置关系，然后就可以画出另一个三角形。但是画相似三角形就比较困难，关键是计算出△DEF的三边的长度，然后找一个不等于1的相似比，比如相似比为2，计算出新三角形三边长或计算出其一边长后，利用平移得出新三角形。
答案：（1）
（2）答案不唯一
例题2、如图3，4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上。请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上。
分析：可以先求出△ABC的三边的长，根据“三边对应成比例，两三角形相似”的判断条件，设定一个相应的相似比，再求出△A1B1C1的三边的长，再画出△A1B1C1。
解：在△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝。
设相似比为或。
可得所求三角形的边长分别为1、、或者2、、。
所以可以构造出不同的符合条件的三角形。如图4中的△A1B1C1和△A2B2C2。
说明：当相似比确定后，△A1B1C1的形状就确定了，但△A1B1C1可以有多个不同的位置。而设定不同的相似比，又可以得到不同的相似三角形。
另外，本题可以利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判断条件来画图，从题目条件可知∠ABC＝135°，所以只需把AB、BC的长求出，然后再设相似比即可求解。
练习：1、如图所示，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（
）。
2、如图所示，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O为位似中心将鱼放大，使新画出来的“鱼”和原来图形的对应线段的比是2：1。（不要求写画法）
图2
F
D
E
A
B
C
图1
图2
F
D
E
A
B
C
图1
A1
B1
C1
图3
A
B
C
A1
C
B
A
B1
C1
A2
B2
C2
图4
A
B
C
D
A
B
C
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1走进生活感受相似
数学源于生活，生活中处处有数学，下面我们来看看生活中如何用相似来解决问题！
一、巧测高度
例1
如图，小明用一直尺测量树高，即拿一个直尺MN竖直放在一只眼睛的前面，然后向后移动，到只看见树顶C和根部E后停止移动，这时小明离树的距离是8米，眼睛到直尺的距离是0.4米，直尺的长度是0.2米，你能求出这棵树有多高吗？
分析：由题意可知，MN∥CE，所以△AMN∽△ACE，从而根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可求得此题.
解：由MN∥CE，则△AMN∽△ACE．所以，即．解得CE＝4．所以这棵树的高度为4米．
跟踪训练1　如图是小明设计的用手电来测量古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好反射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该城墙的高度是【
】
A．6米　　
B．8米　
C．18米　
D．24米
二、设计方案　
例2　如右图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形.要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等，请你给出设计方案.（画图并标注尺寸）
分析：因为建筑物地基是正六边形，所以可环绕地基开辟一个正六边形的绿化带.由题意“绿化带的面积和地基面积相等”，可知大正六边形的面积是地基面积的2倍.
解：显然，这两个正六边形相似，设正六边形绿化带的边长为x米，则有（）2＝，即有.解得x≈42.
由此可得设计方案为：环绕正六边形地基开辟一个外边边长约为42米的绿化带（设计图案如上图所示）.
请同学们开动脑筋，设计出更加合理、优美的方案.
跟踪训练2　一块直角三角形木板ABC的一条直角边AB为1.5
m，另一条直角边BC为2
m，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图（1）进行加工，小华准备按图（2）进行加工，他们谁的加工方案符合要求？
答案
1．B　
2．小明的加工方案符合要求．
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1网格中的位似
网格中的位似是近年来中考试卷的一个亮点，由于它的诸多条件都可以从正方形网格中挖掘出来，因而是一种探究性较强的新题型.这类问题考查了学生的观察能力、猜想能力、探究能力，体现了新课标以学生为主体，重过程、重方法、重能力的精神.
例1
（四川成都）如图1，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（
）
A.
B.
C.
D.
分析:本题考查位似变换和旋转变换.观察“小鱼”和“大鱼”的位置发现,“小鱼”放大2倍并绕坐标原点旋转后与“大鱼”完全重合,所以若“小鱼”上一个“顶点”的坐标为,放大2倍为（2a,2b）,再旋转后为（-2a,-2b）,故选C.
评注:位似是特殊的相似,本题考查了同学们对位似变换知识的理解和运用.位似变换中,对应点连线经过位似中心,而对应点到位似中心的距离比等于位似比是关键.
例2
(四川绵阳)如图2，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为
．
分析:∵
A（2，2），C（6，4），∴线段AC的中点P的坐标为（4,3）.
∴△DEF与△ABC是以原点O为位似中心，位似比
∴点P变换后对应的点的坐标或
评注:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比为k或-k.
例3
（山东威海）线段在平面直角坐标系中的位置如图3所示，为坐标原点，若线段上一点的坐标为，则直线与线段的交点的坐标为
．
分析:观察图3可发现,线段AB、CD是以原点O为位似中心的位似图形.设网格中最小正方形的边长为1,则对应点A、D的坐标分别为（-1，-2）、（2，4）.
∴位似比为-2.∴直线OP与线段CD的交点的坐标为（-2a，-2b）.
评注:本题利用位似图形求点的坐标,简单快捷.
例4
（山西太原）如图4，在的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，
的顶点都在格点上，请在网格中画出的一个位似图形，使两个图形以为位似中心，且所画图形与的位似比为．
分析:分别画出点A、B关于点O且位似比为2:1的对应点,连结三点即为所求,如图5中△.
评注:已知位似中心及位似比画位似图形，关键是确定已知图形上所有关键点的对应点.
图1
图2
图3
A
B
O
图5
A
B
O
图4
PAGE
1如何作位似图形
　　位似图形是以相似形为基础，研究图形的放大或缩小的问题，那么如何才能作出放大或缩小后的图形呢？现以2006年的两道中考试题为例说明如下：
例1（淮安市）如图1，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新三角形与原三角形的相似比为2），画出图形．
（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标．
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
分析　由于所画新三角形与原
( http: / / www.21cnjy.com )三角形的相似比为2，就是说新三角形是放大的图形，即顶点的横坐标之比和纵坐标之比都应该是－2∶1，于是以下两个问题京可以进一步解决了．
解（1）因为所画新三角形与原三角形的
( http: / / www.21cnjy.com )相似比为2，所以新三角形与原三角形的对应顶点的横坐标之比和纵坐标之比都是－2∶1．由此可画出图形，如图1所示．
（2）由（1）可得，B，C两点的对应点B′，C′的坐标分别为（－6，2），（－4，－2）．
（3）由（1）可得，点M（x，y）的对应点M′的坐标（－2x，－2y）．
说明　两个多边形不仅相似，而
( http: / / www.21cnjy.com )且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．求解本题的关键是要能以某一点为位似中心作位似图形．
例2（广东省）如图2，图中的小方格都是边长
( http: / / www.21cnjy.com )为1的正方形，
△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5．
分析（1）要画出△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心O，只要连结其对应点找到其交点即为所求；（2）由AB＝，A′B′＝得，AB∶A′B′＝1∶2；（3）要以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1．5，就是说OA1∶OA＝OB1∶OB＝OC1∶OC＝1∶1.5，从而分别确定了A1，B1，C1，顺次连结A1B1，B1C1，C1A1即得．
解（1）分别连结A′A，B′B，C′C，并分别延长交于点O，点O即为所求，如图2；
（2）因为小方格都是边长为1的正方形，所以由勾股定理，得AB＝，A′B′＝，所以AB∶A′B′＝1∶2，即位似比为
1∶2；
（3）分别在OA，OB，OC
( http: / / www.21cnjy.com )上取A1，B1，C1，使OA1∶OA＝OB1∶OB＝OC1∶OC＝1∶1.5，再顺次连结A1B1，B1C1，C1A1，则△A1B1C1即为所求的三角形，如图7．
说明　位似图形上任意一对对应点
( http: / / www.21cnjy.com )到位似中心的距离之比等于位似比．利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小，在作位似变换时，可以把位似中心取在多边形的外部，内部、多边形的边或顶点上．求解本题的关键是要能根据图形确定位似中心．
图2
O
C1
A1
B1
O
2
-2
-5
x
y
B
C
C′
B′
图1相似三角形中的动态问题
相似三角形的问题中，有些问题属于动态问题，并且这类问题是近年来的主流问题。在解决这种问题的过程中，应该考虑到运动的整个过程，考虑到图形中哪些内容是不断发生改变的，哪些内容是不发生变化的，从中找出规律，从而解题。
例题1、如图所示，正方形ABCD的边长为2，AE=BE，MN=1。线段MN的两个端点分别在CB、CD上滑动，并且△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，试求出符合条件的CM的长。
分析：本道题目是一个动态问题，△AED的形状虽然已经固定，但是因为线段MN的两个端点可以在CB、CD上滑动，所以△MCN的形状就不能固定。但是因为这两个三角形都是直角三角形，所以顶点A和顶点C是对应点，至于顶点D是和顶点M还是顶点N对应，就很难确定，又因为题目中只是说明“△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似”，没有严格的表明对应顶点分别是哪三对，所以只能分成两种情况进行考虑。
解：第一种情况，如图1所示，当△AED∽△CMN时。
∵AE=BE，正方形ABCD的边长为2，
∴，AD=2。
在Rt△AED中，
∵△AED∽△CMN，
∴。
∴，
∴。
第二种情况，如图2所示，当△AED∽△CNM时。
∵AE=BE，正方形ABCD的边长为2，
∴，AD=2。
在Rt△AED中，
∵△AED∽△CNM，
∴。
∴，
∴。
例题2、如图所示，∠C＝90°，BC＝8㎝，AC︰AB＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2㎝/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1㎝/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似。
解：∵∠C=90°，BC=8，AC:AB=3:5，
∴设AC=3x，则AB=5x。
根据勾股定理得，
即，。
∵x为正数，∴只取，∴AC=6，AB=10。
设经过y秒后，△CPQ∽△CBA，此时BP=2y，CQ=y。
∵CP=BC－BP=8－2y，CB=8，CQ=y，CA=6。
∵△CPQ∽△CBA，
∴。
∴，
∴y=2.4。
设经过y秒后，△CPQ∽△CAB，此时BP=2y，CQ=y。
∴CP=BC－BP=8－2y。
∵△CPQ∽△CAB，
∴。
∴，
∴。
所以，经过2.4秒或者经过后两个三角形都相似。
练习：如图所示，在正方形ABCD中，P是CD边上的一个动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一条直角边与正方形的某一条边所在的直线相交于点E。探究：观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并说明你的结论。
图1
图2
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1学好相似多边形的性质
一．相似多边形的性质
1.相似多边形对应角相等．对应边成比例；
2.相似三角形对应高的比．对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
温馨提示：（1）对于相似多边形问题，一
( http: / / www.21cnjy.com )般是通过添加辅助线（如对角线），将其转化为相似三角形的问题来解决.（2）此三条性质可以简单记做“相似多边形的对应角相等，对应边成比例”，这是揭示相似多边形边．角关系的重要结论，利用这一结论可以解决很多与相似多边形有关的问题，下面结合例题予以分类剖析，供同学们参考：
二．相似多边形性质的应用
1．已知相似多边形的某些边求相似比
例1
四边形ABCD的四边长分别是3．4．
( http: / / www.21cnjy.com )7．9，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，其最长边是15，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比是
.
分析：相似多边形对应边的比称为相似比，要求相似比关键是找出对应边.9是四边形ABCD的最长边，15是四边形A′B′C′D′的最长边，因此，它们是对应边，所以四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比是9：15，即.
解：填.
2．已知相似多边形的某些边求边
例2
已知四边形ABCD与四边形A1B1C1
D1相似，如图1，求BC．CD的长.
分析：根据“两个多边形相似，对应边之比相等”列方程求解.
解：由于两个四边形相似，它们的对应边之比相等，所以
，解得，.
3．已知相似多边形的某些角求角
例3已知梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′，∠A=62°，∠C′=110°，求∠D′．∠B的度数.
分析：根据“两个多边形相似，对应角相等”可轻而易举地求到对应角的度数.
解：因为梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′，所以∠A′=∠A=62°，
因为A′B′∥C′D′，所以∠D′＋∠A′=180°，所以∠D′=180°－62°=118°．
因为∠C′＋∠B′=180°，所以∠B′=70°，所以∠B=∠B′=70°．
图1
36
A
BA
CA
DA
A1
B1A
C1A
D1A
4
6相约“相似三角形”
和探索“相似的条件”
我们已经认识了形状相同的图形，结识了相似多边形，下面让我们一起来研究最简单的相似图形――相似三角形，来探索两个三角形相似的条件吧。
一．相似三角形的概念
三角对应相等，三边对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
温馨提示：
全等三角形是相似三角形的特例，两者之间有如下关系：
（1）全等三角形是相似比为1的相似三角形；相似三角形不一定全等；
（2）全等三角形要求对应边相等；相似三角形要求对应边成比例。
因此，我们可以通过将全等三角形与相似三角形进行类比，来学习和掌握相似三角形的相关知识。现将三角形全等的判别方法与三角形相似的条件列表比较如下：
三角形全等的条件
三角形相似的条件
ASA，AAS
两角对应相等
SAS
两边对应成比例且夹角相等
SSS
三边对应成比例
二．探索“三角形相似的条件”
1．条件比拼
判定两个三角形相似，除了运用相似三角形的定义外，常用的方法还有以下三种：
（1）两角对应相等的两个三角形相似．
（2）三边对应成比例的两个三角形相似．
（3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
2．指点迷津
在利用相似三角形解决问题时，常用到以下几个基本图形：
（1）平行型：条件中若有平行线，可直接得两三角型相似，如没有平行线，可添加平行线，构造平行型相似三角形．如：如图1，DE//BC，则△ABC∽△ADE。
（2）斜交型：条件中若有一对角相等，可考虑在找一对角相等，应用相似三角形方法1（两角对应相等的两个三角形相似），或找等角的夹边对应成比例，应用相似三角形的方法3（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．如：如图2，若∠1=∠B或∠2=∠ACB，则△ABC∽△ACD（或△ABC∽△ADE）。
（3）垂直型：若有一对直角出现在条件中，可考虑再找一对等角，使用方法1；或者证明斜边、直角边对应成比例．
如：如图3（1），AB⊥AC，AD⊥BC，则△ABD∽△CBA∽△CAD；如图3（2），AB⊥AC，ED⊥BC，则△ABC∽△DEC。
温馨提示：在解与相似三角形有关的问题时，可以通过寻找基本图形来确定相似三角形，也可以通过添加辅助线构造基本图形得到相似三角形，从而使问题得到解决。
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1位似课标解读
一、课标要求
包括位似图形和直角坐标系中的位似图形．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对位似一节相关内容提出的要求是：
1．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．
2．在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的．
二、课标解读
1．课标定位于让学生知道位似是一种变换，一种可以将图形放大或缩小的变换，强化了图形变换的意识，在学习位似之前，学生已经学移、旋转（含中心对称）、轴对称三种变换，变换前后两个图形是全等形．在学习了相似形的知识后，还有必要让学生了解：初等几何变换还有相似变换，其中最简单的是位似变换，它是可以把图形放大缩小的一种变换．这种变换在生活中的例子除了在放映机、照相机等成像过程中常见外，还可以用位似变换来设计艺术字．
几何图形的直观，为运用图形运动的方法研究图形性质提供了有利条件．通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法．学生通过观察图形的共同特点，从而归纳出位似图形的概念和简单特性，体现了研究几何问题的一般方法．对于图形的概念学习，尤其要注重概念的生成过程和基本含义，并且将图形的相似、位似与简单作图等内容巧妙地结合在一起，让学生进一步体会图形相似、位似的应用价值和丰富的内涵，有意识地培养学生积极的情感和态度，促进学生观察、操作、分析、概括等一般能力和审美意识的发展．
2．学生已经学过在平面上建立直角坐标系，在直角坐标系中确定图形的位置：如用坐标描述点的位置、刻画一个简单图形的位置等．之后学习了在直角坐标系中进行图形的运动，并描述运动后图形的位置及其对应顶点坐标之间的关系：如把一个多边形沿坐标轴平移、或以坐标轴为对称轴进行轴对称变换后，能用坐标描述图形的位置，并体会对应顶点坐标之间的关系．本节的主要内容是在直角坐标系中把一个多边形放大或缩小，并且变化后的图形与原图形是位似图形．这实际上是图形的位似变换，有助于学生体会如何在坐标系中画一个图形的位似图形．经过这种变换，“对应顶点的坐标之间的关系”是显然的，但给出的多边形的顶点坐标以整数为宜，以避免给画图带来不便．
本节内容是在平面直角坐系下研究位似图形的点的坐标的变化特点及应用这个特点画图，是在平面直角坐标系下研究相似变换的基础．在学习本节课前学生已学习了在平面直角坐标系中画平移、轴对称和旋转（中心对称），由于一般的相似变换在平面直角坐标系下的描述比较复杂，所以只研究平面直角坐标系下的位似变换，而且是位似中心在原点的特殊情况，也是最简单的情况．在生活和生产中有时需要放大（或缩小）一个图形，利用位似（特别是利用平面直角坐系下的位似）可以很方便地将一个图形放大或缩小．
本节可以采用“问题情境──探究规律──归纳规律──解释应用”的基本模式，在探究归纳部分，由于要画的图较多，学生画图然后总结会需要很长时间，所以老师可以通过画板演示（利用画板可以很方便地让图形动起来，有利于学生发现数量关系），学生观察归纳的方法，让学生经历了知识的形成与应用过程，从而更好的理解平面直坐标系下位似图形的点的坐标变化特点及利用这个特点画出平面直角坐标系下的位似图形，发展学生应用数学的意识，增强学生学好数学的愿望和信心．
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1相似三角形的古老应用
“图形的相似”是初中数学内容之一，其中相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要的内容。从历史上看，相似三角形很早就已经被人们所认识。在巴比伦泥版文献中已经出现相似三角形的应用问题；公元前6世纪，古希腊萨莫斯岛上的工程师欧帕里诺斯（Eupalinos）在负责隧道开掘时已经运用了相似三角形的性质；泰勒斯已经会运用相似三角形来进行测量。
欧几里得、海伦的有关著作中都有利用相似三角形性质进行测量的问题。我国汉代的远距离测量技术也正是建立在相似三角形性质之上的。
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1
中国极育出版网
www.如何根据黄金分割的意义求线段的长？
难易度：★★★★★
关键词：黄金分割-线段的长
答案：
利用黄金分割求线段的长，首先确定黄金分割点的位置，再根据黄金比求出线段的长。
【举一反三】
典题：如图，已知线段AB=6cm，点C和D都是线段AB的黄金分割点，求线段CD的长。
思路导引：由于点C和D都是线段AB的黄金分割点，AB=6cm，得出AD和BC的长度，由AD+BC-AB求出CD的长度。
标准答案：解：因为点D是线段AB的黄金分割点，所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，得AD=3（
( http: / / www.21cnjy.com )-1），同理BC=3（
( http: / / www.21cnjy.com )-1），所以CD=AD+BC-AB==6
( http: / / www.21cnjy.com )-12.相似三角形中的创新题型
相似知识，是近几年中考命题中的一个重要内容之一，试题设计新颖，除了考察相似图形的叛定、计算之外，开放型、探索型、动态型等创新题备受宠爱，它们能从不同的角度，多层次的考查学生的能力，下面举几例加以说明.
一、开放型
例1
已知△ABC中，P是AB边上一点，连接CP，要使△APC∽△ACB，则应添加的条件是
.
分析：开放型问题分为条件开放型、
结论开放型.本题是一个条件开放型问题
问题.注意该题中隐含的条件的使用，既公共角∠A，因此根据三角形相似的判定方法：“有两个角对应相等的两个三角形相似”和“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”两条思路进行思考，这是一个开放型题.
解：（1）∠APC=∠ACB，或∠ACP=∠B时，可得三角形相似.
（2）时，可得三角形相似.
二、分类讨论型
例2
△ABC中，AB=12，AC=8，P是
AC中点，过点P的直线交AB于点Q，
若以A，P，Q为顶点的三角形和△ABC相
似，则AQ的长为（
）
分析：由于以A，P，Q为顶点的三角形和△ABC有公共角，由相似的判定方法，可使用两角对应相等的三角形相似，可构造另一组角相等，在此，应该分类讨论，既过P点的直线有两条：（1）过点P做PQ∥BC，由相似三角形的性质可得：.(2)过P做∠APQ=∠ABC，交AB于Q，此时△ABC∽△APQ，，故应选B.
三、动态探索型
例3
在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，M为BD上任一点，ME⊥AB于E，MF⊥CD于F，那么.
A
1
B
2
C
D
分析：由于M在BD上自由运动，
所以ME，MF总在变化，因此直
接求是不可能的，所
以应将比值进行转化，变动为静.
解：∵ME⊥AB
∴∠MEA=∠A=90°
又∵∠MBA=∠DBA，∴△ABD∽△EBM
∴，同理可得则原式=，故选（A）.
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1平行线分线段成比例的基本事实教材分析
是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定的基础上进行学习的，是本章的重点内容．
首先，教材编写者给出了相似三角形的定
( http: / / www.21cnjy.com )义．根据定义，要判定两个三角形相似，必须同时满足三个角分别相等，三条边成比例；接着，类比判定三角形全等存在简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS等），提出判定相似三角形是否也存在简便方法的问题；接下来，教材编写者设置了一个“探究”，通过探究，给出了平行线分线段成比例的基本事实，然后将其应用于三角形中，得到推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．平行线分线段成比例的基本事实及其推论，是判定三角形相似的第一个定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）的基础．
本节课的教学重点是，平行线分线段成比例的基本事实及其在三角形中的应用；教学难点应该是，平行线分线段成比例基本事实的探究．相似三角形的古老应用
“图形的相似”是初中数学内容之一，其中相似三角形的判定、性质和应用是其中最重要的内容。从历史上看，相似三角形很早就已经被人们所认识。在巴比伦泥版文献中已经出现相似三角形的应用问题；公元前6世纪，古希腊萨莫斯岛上的工程师欧帕里诺斯（Eupalinos）在负责隧道开掘时已经运用了相似三角形的性质；泰勒斯已经会运用相似三角形来进行测量。
欧几里得、海伦的有关著作中都有利用相似三角形性质进行测量的问题。我国汉代的远距离测量技术也正是建立在相似三角形性质之上的。
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1自相似
下图看上去很特别．图中画些什么呢？
首先看到，在图的右边醒目位置，画了一个女孩．她正站在画板前面，神采奕奕，提笔作画（这是第一个女孩）．
其次看到，女孩在画中所表现的，是她自己正在绘画的情形．所以她的画中有一位和她一模一样的女孩，正在摆着与她同样的姿势，站在画板前面，提笔作画（这是第二个女孩）．
女孩画中的女孩，所画的当然也是她自己正在绘画的情形．所以，在画中女孩的画里，也有一位一模一样的女孩，以同样的姿势，正在作画（这是第三个女孩）．
画中女孩画中的女孩，画的还是同样的画．所以，在画中女孩画中女孩的画里，同样有一个一模一样的女孩，以同样的姿势，正在作同样的画（这是第四个女孩）．
在绘制同一幅图形的过程中，如果下一步产生的图形总是与上一步的图形相似，那么这种现象叫做自相似．
上图就是一幅自相似的图形．只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去．
起初，自相似现象偶尔被应用于广告或宣传画，用来吸引行人停足观看．后来发现，自然界中其实存在很多自相似现象．例如雪花的形成、树木的生长、土地干旱形成的地面裂纹等等．有一门新兴的数学分支，叫做分形几何学，对自相似图形进行了富有成效的研究．
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1看看古人如何测量太阳的高度
我国是世界文明古国，具有悠久的文化历史，在古代就曾研究过相似三角形的应用.在魏晋时期数学家刘徽所著的《海岛算经》，记录了古人利用相似三角形测量太阳高度的方法．
两千多年前，汉朝天文学家在夏至这一天的同一时刻，在南北相距1000里的A，B两地分别测出一根8尺长的竹竿AC，BD的影长AE＝m尺，BF＝n尺（如图所示）．设此时的太阳高空的T点处，它到地面的垂直距离为TM．根据他们的测算，竹竿影长BF与AE相差0．1尺，即n-m=0.1,据此就能测出太阳的高度TM．
他们是这样做的：连接DC并延长，交TM于点N，则DN⊥TM．
设NT＝x里，CN＝y里，
易得△TNC∽△CAE，所以，即.①
同理，△TND∽△DBF，所以，即.②
②－①，得.
因为n-m＝0．1，等式左右两边分子、分母的单位分别相同，
所以由比例的性质，得x=＝80000（里）．
所以太阳的高度TM为80000里零8尺．
这种测量方法在古代叫做“重差术”．遗憾的是，当时的人们误认为天是圆的，地是方的，觉得地面是平的，从而导致了计算结果是错误的.现在我们都知道，太阳和地球是两个近似椭圆形的球体，二者之间的平均距离为14960万千米．虽然如此，但这种测量物高的基本方法是正确的．
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1《比例线段》典型例题
例题1.
已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否是成比例线段？
（1）；
（2）．
例题2.
如图，．
（1）求出AB、BC、AC的长．
（2）把上述三个点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到的坐标，求出的长．
（3）这些线段成比例吗？
例题3．已知，求
例题4．已知，求的值
例题5．若，则的值是__________
例题6．设，求的值
例题7．如果，求：的值
例题8．线段，满足，求的值
例题9．如图，已知，在中，、分别是、上的点，并且
，的周长为12cm，求：的周长
参考答案
例题1
分析
观察四条线段是否成比例时，首先要把四条线段的单位都化成一致的单位，再把它们按从小到大的顺序排列，由比例线段的基本性质知，即如果第一、四两个数的积等于第二四两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例．
解答
（1），
，
∴，
∴四条线段成比例．
（2），
，
∴这四条线段不成比例．
例题2
分析
利用勾股定理可以求出这些线段的长．
解答
（1），．
（2），
，
，
．
（3），
∴，
这些线段成比例．
例题3．解答：由比例的基本性质得
说明
本题考查比例的基本性质，易错点是由化成比例式时错成，解题关键是运用比例的基本性质，本题还可以运用合比性质求解。
例题4．解答：设，则，，
说明
本题考查比例的性质，解题关键是设，将、、统一成。
例题5．解法1：，，，
解法2：设，则
由，
得
解法3
，
说明
本题考查比例的性质，解题关键是灵活运用比例的性质
例题6．错解：
正解：当时，
当时，
或－1
说明
错解中忽视了的情形
例题7．分析
可设，则、、均可用来表示，把它代入欲求值的代数式中，就可以求出它的值
解答
设，
则，，，
说明
设比例式的比值为的（比例系数），这是解比例式常用的有效方法，要注意掌握。
例题8．分析
要直接求出比较困难，我们不妨先利用比例的基本性质，求得与的关系式，再求与的比值
解答
，
例题9．分析
的周长，则由给出的比例式，可以用表示
解答，
即的周长等于8cm三角形相似的“基本图形”
几何图形大都由基本图形复合而成,因此熟悉三角形相似的基本图形,有助于快速准确地识别相似三角形,从而顺利找到解题思路和方法.
一、平行线型
如图1、图2,若DE∥BC,则
△ADE∽△ABC,形象地说图1为“A”型,图2为“X”型,故称之为平行线型的基本图形.
例1
如图3,在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连结DE交AC于G，交BC于F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有____对.
二、相交线型
如图5、图6,若∠AED=∠B,则△ADE∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.
例2
如图7,D、E分别为△ABC的边AC、AB上一点，BD,CE交于点O,且,试问△ADE与△ABC相似吗 如果是,请说明理由.
三、母子型
将图5中的DE向下平移至点C,则得图8,有△ACD∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=,CD则为斜边上高(如图9),
则有△ACD∽△ABC∽△CBD.
例3
如图10,在△ABC中,P为AB上一点,要使△APC∽△ACB,还需具备的一个条件
是________.
四、旋转型
将图5中的△ADE绕点A旋转一定角度,则得图11,称之为旋转型的基本图形.
例4
如图12,
∠1=∠2,∠3=∠4,试说明△ABC∽△DBE.
参考答案
例1:
析解:
本题图中有两组平行线,故存在平行线型的基本图形,把它们一一分离出来,如图
4(1)—(4).但由于△ADE∽△BFE∽
CFD,故共有5对相似三角形.
例2：
析解:容易看出△ADE与△ABC是相交线型基本图形中的两个三角形.因∠A为公共角,故考虑再找一对对应角相等.而由条件及∠BOE=∠COD,∠DOE=∠COB,可同时得到相交线型的△BOE∽△COD,
DOE∽△COB.所以∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO,所以∠ADE=∠DCO+∠DEO=∠EBO+∠CBO=∠ABC.故△ADE∽△ABC.
例3：
析解:本题为开放题,答案不为一.注意到△APC与△ACB属于子母型基本图形,而∠A为公共角,故还需具备的一个条件是
∠PCA=∠B或∠APC=∠ACB或AC2=AP×AB(即).
例4：
析解:观察发现图12是旋转型的基本图形.因已知∠3=∠4,则∠ABC=∠DBE,可再找∠BAC=∠BDE或∠5=∠6,
而由条件都不易直接找到.
但易得另一对旋转型基本图形△ABD∽△CBE,从而得.又∠ABC=∠DBE,故得△ABC∽△DBE.
D
C
G
F
A
B
E
图3
D
C
D
C
D
D
C
G
F
F
G
A
F
A
B
E
B
E
A
E
(1)
(2)
(3)
(4)
图4
A
E
D
D
E
A
B
C
B
C
图5
图6
A
E
O
D
B
C
图7
A
A
D
B
C(E)
B
C
图8
图9
D
1
P
A
B
C
图10
A
D
E
B
C
图11
A
1
3
D
5
B
4
2
C
E
图12
6
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3什么是比例线段？
难易度：★★★
关键词：比例线段
答案：
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，那么这四条线段a，b，c，d，叫做成比例线段，简称比例线段。
【举一反三】
典题：下面各组线段（1）3cm，4cm，5
( http: / / www.21cnjy.com )cm，7cm；（2）2cm，8cm，3cm，4cm；（3）6cm，12cm，7cm，14cm。中＿＿组是成比例线段。
思路导引：（1）（2）不满足
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以组内四条线段不成比例；(3) 因为
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，满足题意，正确。
标准答案：（3）.成比例线段的应用
活动一：
1、教师活动：画一个Rt△ABC，作斜边上的高CD，交AB于D点，提问：
（1）哪些线段的比值相等？
（2）△ABC、△ACD、△CBD有什么特点？
2、学习活动：
（1）小组合作交流，求出三角形中各边的长，讨论得出成比例的线段。
（2）回答结论：它们是形状相同、大小不同的直角三角形。
活动二：
已知线段a，b，c，d成比例，那么成立吗？
解：成立。理由如下：
∵
a，b，c，d成比例，
∴
∴
÷，得
活动三：
已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a-c）：（a+b）：（c-b）＝-2：7：1，试判断△ABC的形状。
解：由题意，得
设，
则
解得
因为
即
所以此三角形是直角三角形。相似图形与相似多边形教材分析
本节课的教材分为两部分，主要介绍了相似图形和相似多边形的概念，并给出了相似多边形的性质．
教材首先列举了生活中具有形状相同形象的物体，紧接着把形状相同的图形定义为相似图形，然后指出放大和缩小这两种操作与相似图形之间的关系．接下来，教材给出了特殊的相似图形──相似多边形的定义，并由定义得到判定两个变数相同的多边形是相似多边形的方法，以及相似多边形的性质——对应角相等、对应边成比例．
相似是生活中常见的现象，日常生活中到处都存在着相似的例子，相似图形的性质在实际中也有着广泛的应用．为了让学生认识到这一点，并增强学生发现问题、解决问题的能力，教科书结合具体内容融入了大量实际背景和问题．如在概念引入的环节，为了让学生建立对相似图形的直观认识，教材不仅在章头图呈现了两张不同尺寸同底版的万里长城照片，还在本节给出了汽车和它的模型、大小不同的足球等形象，并通过放映电影、复印机复印等实例让学生感受相似图形与放大、缩小两种操作的关系．所以在本节课的教学过程中，应该紧密结合实际，让学生充分体会数学与实际生活的联系．
本节课的教学，首先要充分利用教材所提供的实际生活中的实例，使学生能够理解相似图形的概念；其次以描述图形特征的方式给出相似多边形的概念，让学生从概念出发自主的探究出相似多边形的性质．
本节课的教学重点是：相似图形与相似多边形的概念．
本节课的教学难点是：相似多边形的性质．
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1教你如何求比值
相似图形是数学中的一个非常
( http: / / www.21cnjy.com )重要的内容，它揭示了图形之间的大小及位置关系，不仅在数学中占有重要的地位，而且在其他自然科学中也有着极其广泛的作用.在学习相似图形前，我们必须掌握线段的比，这是学习相似图形的入门功课，下面将总结出如何求比值的方法，我们一起来看看吧！
一、运用比例的性质
对已知的等式，利用比例的性质，如比例的基本性质、合比性质、等比性质进行变形，进而求出所求式子的值.
例1　已知
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )=_______.
分析：本题可以由比例的等比性质解决.
解：把原等式变形为
( http: / / www.21cnjy.com ).
根据等比性质，得
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com ).所以
( http: / / www.21cnjy.com ).
点评：本题是利用等比性质求解的，解题过程比较简捷.对于所求比中对应项字母系数相同时，易采用等比性质来求解.
跟踪训练1　已知
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )=________.
二、等比设值法
例2　若
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
分析：我们可以利用题中给出的等量关系，通过设参数k求解.
解：设
( http: / / www.21cnjy.com )=k，则x=4k，y=5k，z=6k.
所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
点评：此种方法尽管增设了参数k，但在变形过程中k又会自行消失，参数起到了很好的桥梁作用.
跟踪训练2　已知
( http: / / www.21cnjy.com )，求：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com ).
三、代入消元法
在求一个比的值时，可根据
( http: / / www.21cnjy.com )已知等式，用一个字母表示其他字母，并代入所求的比中，使比的前项、后项都用同一个字母表示，整理后约去这个字母，求出比的值.
例3　已知x∶y∶z=1∶2∶3，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
分析：因已知比中有1，故可用x表示其他字母，
然后代入所求式即可求值.
解：因为x∶y=1∶2，所以y=2x.因为x∶z=1∶3，所以z=3x.所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
点评：若已知比式中有1，可用1
( http: / / www.21cnjy.com )所对应的字母表示其他字母，然后代入所求式求值比较简捷.若没有1，可增设字母k，如本题可设x=k，y=2k，z=3k然后仿照例2
求解.
跟踪训练3　已知x∶y∶z=4∶5∶7，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
四、特殊值法
例4　若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )=________.
分析：本题是填空题，故可取特殊值代入所求式中，求出其值.
解：取a=2，b=3，c=4满足已知条件.
所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
点评：对于求比值的填空题、选择题，选取满足已知条件的值，代入所求式中求值，比较简单、快捷.
跟踪训练4　若
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )=______.
答案
1.2　
2．（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）7　
3．
( http: / / www.21cnjy.com )　
4．
( http: / / www.21cnjy.com )位似课标要求
包括位似图形和直角坐标系中的位似图形．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对位似一节相关内容提出的要求是：
1．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．
2．在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的．
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中国极育出版网
www.如何添加条件使两三角形相似？
难易度：★★★
关键词：相似三角形
答案：
此题是一类开放题，答案不唯一。解决的关键在于准确把握相似三角形的三种判定方法，再依据已知条件进行条件的添加。
【举一反三】

典例：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC与△AED相似，你添加的条件是
．
思路导引：一般来讲，解决本题要理解此题是一类开放题，答案不唯一。解决的关键在于准确把握相似三角形的三种判定方法，再依据已知条件进行条件的添加。
标准答案：如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或DE∥BC等等
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中国极育出版网
www.相似三角形课标解读
一、课标要求
内容包括相似三角形的判定、性质和应用，是全章的重点内容．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本节相关内容提出的教学要求如下：
1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；
了解相似三角形判定定理的证明；
3．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．
二、课标解读
1．对于“基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的要求是掌握，即要求学生在探索理解的基础上能把它应用于新的对象，如将其应用于三角形中即可得到推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．在此基础上，通过平移的方法，利用定义得到三角形相似的一个判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．对于该基本事实，教学中应注意把握难度，不强调基本事实在判定线段成比例的应用．
2．对于“相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似”
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的要求是了解，所以教学中应该结合具体实例，类比全等三角形的判定方法，让学生根据两个三角形的特征，能够进行识别即可．教学中可以重点讲解三边对应成比例的两个三角形相似的判定方法，使学生再次经历几何结论的发现、验证和证明过程．而对于其他判定方法可以用类似的方法进行研究．对于相似三角形判定定理的证明为选学内容，课标要求为了解，但对其证明不做考试要求．
3．对于
“相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．”
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的要求是了解．这里所说的对应线段通常是指对应边上的高、对应边上的中线和对应角平分线，三角形的周长是三边的和，因而相似三角形的周长比也等于相似比．教学中可以重点讲解对应高的比等于相似比，其他性质可由学生发现并证明；对于面积比和相似比之间关系的理解，一些学生容易出现错误，教学中要指导学生进行相似三角形面积比的代数推导，明确三角形的边及边上的高是同时进行放大或缩小的，因而面积比等于相似比的平方．
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1平行线分线段成比例的基本事实重难点突破
一、平行线分线段成比例的基本事实的探究
突破建议
1．平行线分线段成比例的
( http: / / www.21cnjy.com )基本事实，是后续学习相似三角形的判定的重要基础．对于这一基本事实的探究，可以从等距平行线入手，这样可以使学生更容易发现对应线段的比的关系，在此基础上通过改变平行线间的距离，再由学生动手测量、计算，进而发现事实．
2．实际教学中，可以使用媒
( http: / / www.21cnjy.com )体技术，通过改变平行线的间距和被截线与平行线的夹角，进行动态演示，在图形的变化过程中发现对应线段的比不变的本质，从而更好地验证这一基本事实．
例1　（1）如图1，两条直线m，
( http: / / www.21cnjy.com )n被三条平行线a，b，c所截，其中三条平行线的间距相等．通过观察、度量，你能说出AB、BC、DE、EF这四条线段的关系吗？

（2）如图2，两条直线m，n被三条
( http: / / www.21cnjy.com )平行线a，b，c所截，其中三条平行线的间距不相等．通过观察、度量，你能说出AB、BC、DE、EF这四条线段的关系吗？
解析：图1中，三条平行线间距相等，学
( http: / / www.21cnjy.com )生易于观察和分析对应线段间的关系，图2是在图1的基础上由特殊到一般，通过观察、度量、计算等手段，发现和认定对应线段的比相等．
二、平行线分线段成比例基本事实应用于三角形中
突破建议
1．探究平行线分线段成比例的基本事
( http: / / www.21cnjy.com )实，主要目的是为了利用它的推论证明三角形相似的第一个定理．在条件允许时，易采用信息技术手段，通过平移被截线到特殊位置，形成三角形两边或其延长线被平行线所截的两种情形，可以使学生迅速将平行线分线段成比例的基本事实应用于三角形中．
2．实际教学中，应当引导学生挖掘将平行
( http: / / www.21cnjy.com )线分线段成比例的基本事实应用于三角形中的两种基本图形──“A”和“X”型，并能正确识别对应线段，从而通过列出相应的比例式，求未知线段的长．
例2　（1）如图3，在△ABC中，DE∥BC，AC=6
，AB=5，EC=2．求AD和BD的长．
图3
（2）如图4，ED∥BC，AB=6，AC=8，AD=2，求AE的长．
图4
解析：两个问题中，都是将平行线分
( http: / / www.21cnjy.com )线段成比例的基本事实的推论的应用．两个问题放在一起，一方面让学生进一步熟悉基本图形，另一方面通过对比，能够正确写出比例式，从而求出未知线段长．如何利用比的性质确定三角形的形状？
难易度：★★★★★
关键词：线段的比-三角形形状
答案：
综合利用比的性质求出三角形各边的关系或各边的长度，再确定三角形的形状。

【举一反三】
典题：已知a、b、c是△ABC的三边满足
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，且a+b+c=17，
试判断△ABC的形状。
思路导引：由已知给出的关系式，求出a、b、c的长度，再确定△ABC的形状。
标准答案：解：根据比例性质：因为
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，又因为a+b+c=17，所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=3
即a=7，b=5，c=5，所以△ABC是等腰三角形。
用物理知识来研究位似图形
我们知道，要想学好物理知识，就必须有一定的数学基础；然而反过来，要学好数学，有时又必须运用物理知识，才能更好地解决数学问题，特别地是运用物理知识来帮助我们解决数学中的位似图形问题.为了帮助同学们及时地掌握这些知识，现分类举例说明，供参考.
一、幻灯机
例1
小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是150cm，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（
）
A.50cm
　　
B.500cm
　　
C.60cm
　　　D.600cm
简析　由于幻灯片与屏幕平行，则光源与幻灯片的上下两个端点所组成的三角形和光源与屏幕上小树的上下两个端点所组成的三角形相似，于是有＝，所以小树高度＝60（cm）.故应选C.
说明　幻灯机是物理中常用的教具之一，它能把精制的画片投到银幕上，能够在一定的程度上激发同学们的学习兴趣，然而它的工作原理就利用的是位似图形的性质.对应高之比等于它的位似比.
二、杠杆问题
例2
马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目.跷跷板支柱AB的高度为1.2米.
（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
简析　如图3.（1）狮子能将公鸡送到吊环上.当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ，因为AB为△PHQ的中位线，AB＝1.2（米），所以QH＝2.4＞2（米）.（2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝PQ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上.如图3，△PAB∽△PQH，，所以QH＝3AH＝3.6（米）.
　　说明　物理中的杠杆是说，若将一木头抬起一端，另一端放在地上（不滑动），在抬高的过程中，所用的力始终竖直向上，想办法求出力的大小并说明它的变化情况，这就用到了力学原理和位似图形的性质.
三、小孔成像
　　例3　根据图4中尺寸(AB∥A′B′，可以知道物像A′B′的长与物AB的长之间的关系是____.
　　简析　要求像A′B′的长与物AB的长之间的关系，由小孔成像的原理可知，小孔O是位似中心，两条光线AA′和BB′形成了两个相似三角形△OAB和△OA′B′.即＝＝＝.所以AB＝3A′B′.
　　说明　小孔成像是光的直线传播现象中的应该典型现象，现在我们用一个蜡烛通过小孔成像的原理在暗箱里成一个倒立的像.
　　四、平面镜成像
例4
检查视力时，规定人与视力表之间的距离为5m.如图5.现因房间两面墙的距离为3m，因此使用平面镜来解决房间小的问题.若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图6，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A、B发出的光线经平面镜MM′的上下边沿反射后射入人眼C处，如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米
简析　根据平面镜成像原理，作CD⊥MM′，垂足为D,，并延长交A′B′于E.因为AB∥MM′∥A′B′，所以CE⊥A′B′.所以△CMM′∽△CA′B′.所以＝.又CD＝5－3＝2，CE＝5，A′B′＝AB＝0.8，所以＝，所以MM′＝0.32(m).所以镜长至少为0.32m.
　　说明　知道平面镜的成像原理，构造出位似图形是求解本题的关键.
图2
图1
图4
图3
图6
图5
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1相似三角形中的操作题
实验操作性题目，一般先设置材料背景，让学生在通过实际操作的基础上设计有关问题.使学生在数学活动中，通过手脑并用，获得初步体验，促进学生生动、活泼、积极主动的发展，这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，现从07年中考试题中采撷两例与相似有关的操作题，供读者参考.
例1
(07乐山)如图1，在矩形中，AB=4，AD=10.直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）当∠CPD=时，求AE的长；
（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．
分析:本题考查相似三角形的性质和解直角三角形的有关知识.
（1）在Rt△DPC中，
根据∠CPD的正切求PD，进而求AP，再根据“Rt△AEP∽Rt△DPC”，对应直角边成比例求得AE的长;(2)存在性探索题目，假设满足条件的点P存在，设DP=x，
则AP=10-x，仍然根据“Rt△AEP∽Rt△DPC”，对应直角边成比例求得AE的长，若求得的AE≤4，说明存在，否则不存在.
解:（1）在Rt△PCD中，由得
∴AP=AD-PD=10-，
由Rt△AEP∽Rt△DPC知∴
（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x.
由Rt△AEP∽Rt△DPC知∴解得x=8，此时AP=2，AE=4符合题意．
评注:存在型问题的解题思路是:先假定探索的对象存在，以此为依据进行计算或推理，若推出矛盾，则假定是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定的结论.
例2
(07芜湖)如图2，在直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0)．
(1)
请在图中画出△ABC的一个以点P
(12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧);
(2)求线段BC的对应线段所在直线的解析式．
分析:
(1)
点P
(12，0)为位似中心，相似比为3，于是在射线PC截取=3PC，连接PA并延长，在射线PA上截取，同理找出，顺次连接，△即为所求.(2)欲求线段所在直线的解析式，需求和点的坐标，这可通过两三角形相似来实现.
解:(1)画出，如图3所示．
(2)作BD轴，
轴，垂直分别是D，E点．∴∥BD．
∴．
∵B(8，2)，∴，．
∴．∵与△ABC的相似比为3，∴．∴．∴，PE=12．
∵PO=12．，∴E与O点重合，线段在y轴上．∴点坐标为(0，6)．
同理:．又∵=，∴．
∴．∴点坐标为(3，0)．
设线段所在直线的解析式为．则
∴．∴线段所在直线解析式为．
评注:位似是特殊的相似，本题考查了同学们对位似变换知识的理解和运用.位似变换中，对应点连线经过位似中心，而对应点到位似中心的距离比等于位似比是关键.
快乐套餐:
1.(07杭州)如图4，用放大镜将图形放大，应该属于（　　）
Ａ．相似变换
Ｂ．平移变换
Ｃ．对称变换
Ｄ．旋转变换
2.(07成都)如图5，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为(
)
A.
B.
C.
D.
3.(07青岛)如图6是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为
cm.
4.(07仙桃)小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，如果小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是
米.
5.(07荆州)如图7是一张简易的活动小餐桌，现测的OA
＝OB＝30㎝，OC＝OD＝50㎝，桌面离地面的高度是40㎝，则两条桌腿的张角∠COD的度数为
．
参考答案:1.
Ａ
2.
C
3.16
4.
6.4
5.
120°提示:如图1，
过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于E，
∵OA＝OB＝30㎝，OC＝OD＝50㎝，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，
∴∴∴OF=25㎝.
∴OF=OD，
∴∠ODF=，∴∠DOF=，∴∠COD=2∠DOF
=.
P
A
E
B
C
D
图1
图2
图3
（第3题
图4
图6
D
C
B
A
40㎝
O
图7
图5
D
C
B
A
40㎝
O
图1
E
F比例线段错解诊断
比例线段是相似三角形的基础
( http: / / www.21cnjy.com )，是勾通代数与几何计算的桥梁，初学这部分内容，有的同学由于对比例线段的概念、比例的基本性质等理解不深，掌握不扎实，或缺乏慎重考虑，时常出现各种各样的错误，现将同学们作业中常见的错例归类剖析，望能对大家的学习有所帮助.
一、忽视单位的统一
例1
A、B两地的实际距离AB=300m，画在图上的距离A/B/=5cm，求图上距离与实际距离的比.
错解：图上距离与实际距离的比是A/B/:AB=5:300=1:60.
诊断：出现症状的原因是没有先统
( http: / / www.21cnjy.com )一单位.事实上，求两条线段的比，就是求出这两条线段用同一单位量得的线段长度之比，这里要注意两点：如果给出的线段长度单位不同，则必须先化成同一长度单位后再求线段的比；二是两条线段的比总是正数，如在运用中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比.
正解：因为AB=300m=30000cm，所以图上距离与实际距离的比是A/B/:AB=5:30000=6000.
二、忽视成比例线段的顺序性
例2
已知三条线段的长分别为1cm、2cm、cm,如果另外一条线段与它们是成比例线段,试求出另外一条线段的长.
错解:设另一条线段的长为ccm,则1：2=：x，解得x=2.
诊断:在题目中并没有明确成比例线段的排列顺序
( http: / / www.21cnjy.com ),就要考虑到所求的线段可能在不同的位置上,所以要分类讨论.本题也可以按照等积式求解,在这三个数中仍选两个数相乘,等于剩余的一个与的乘积.即.利用它们求出的值.
正解:设另一条线段的长为xcm,有下列三种情况:
①1：=2：x，解得x=2；
②x：1=2:
,解得x=;
③2:1=:x,解得x=.
综上所述,另外一条线段的长是2cm或cm或cm.
三、忽视等比性质的条件
例3
已知，求x的值.
错解：因为，所以
诊断：运用等比性质的条件是分母之和不能等于0，而这里并没有说明a+b+c≠0，所以应分情况讨论.
正解：（1）当a+b+c≠0时，；
（2）当a+b+c=0时，有c=—(a+b)，所以=-1.
所以x的值为或-1.位似与显微镜的发展
我们的眼睛能看到数百万光年外的星系，却不一定能看到眼前细小的物体。在大尺度上观察物质的运动，毫无疑问能得到强烈的美感。那么从极其微小的尺度上呢？威廉·布莱克在一首诗中写道：
一花一世界，一沙一天堂，掌中握无限，霎那成永恒。
——《天真的预言》(Auguries
of
Innocence)，1863
如果除去其中的神秘主义和宗教意味，那么这首诗恰好与微观世界的某些特点不谋而合。例如一朵花包含数以万计的细胞，而一粒沙确实是由无数的氧原子和硅原子组成的(SiO2)。
不过，即使把一朵花握于掌中，你也决不会肉眼分辨出其中的“世界”。一个视力正常的人，只能看清大约25厘米之外的物体，如果继续靠近，晶状体就无法把物体的像正确的投影在视网膜上。即使在25厘米的明视距离上，你也只拥有1分的分辨率。或者说，在这个距离上，你恰好能把两条相距0.075毫米的线分开。从生物学的角度可以解释这种现象。当两条线的距离小于0.075毫米的时候，它们的像就会落在视网膜的同一个视觉感受器—视锥细胞或者视杆细胞—上面。那么你就没法把它们分辨开来。
很早以前，人们就知道某些光学装置能够“放大”物体。比如在《墨经》里面就记载了能放大物体的凹面镜。至于凸透镜是什么时候发明的，可能已经无法考证。凸透镜——有的时候人们把它称为“放大镜”——能够聚焦太阳光，也能让你看到放大后的物体，这是因为凸透镜能够把光线偏折。你通过凸透镜看到的其实是一种幻觉，严格的说，叫做虚像。当物体发出的光通过凸透镜的时候，光线会以特定的方式偏折。当我们看到那些光线的时候，或不自觉地认为它们仍然是沿笔直的路线传播。结果，物体就会看上去比原来大。
单个凸透镜能够把物体放大几十倍，这远远不足以让我们看清某些物体的细节。公元13世纪，出现了为视力不济的人准备的眼镜——一种玻璃制造的透镜片。随着笼罩欧洲一千年的黑暗消失，各种新的发明纷纷涌现出来，显微镜(microscope)就是其中的一个。大约在16世纪末，荷兰的眼镜商詹森(Zaccharias
Janssen)和他的儿子把几块镜片放进了一个圆筒中，结果发现通过圆筒看到附近的物体出奇的大，这就是现在的显微镜和望远镜的前身。
詹森制造的是第一台复合式显微镜。使用两个凸透镜，一个凸透镜把另外一个所成的像进一步放大，这就是复合式显微镜的基本原理。如果两个凸透镜一个能放大10倍，另一个能放大20倍，那么整个镜片组合的的放大倍数就是10
20=200倍。
复合式显微镜
1665年，英国科学家罗伯特·胡克(人们可能更熟悉他的另一个发现：胡克定律)用他的显微镜观察软木切片的时候，惊奇的发现其中存在着一个一个“单元”结构。胡克把它们称作“细胞”。不过，詹森时代的复合式显微镜并没有真正显示出它的威力，它们的放大倍数低得可怜。荷兰人安东尼·冯·列文虎克(Anthony
Von
Leeuwenhoek
，1632-1723)制造的显微镜让人们大开眼界。列文虎克自幼学习磨制眼镜片的技术，热衷于制造显微镜。他制造的显微镜其实就是一片凸透镜，而不是复合式显微镜。不过，由于他的技艺精湛，磨制的单片显微镜的放大倍数将近300倍，超过了以往任何一种显微镜。
当列文虎克把他的显微镜对准一滴雨水的时候，他惊奇的发现了其中令人惊叹的小小世界：无数的微生物游曳于其中。他把这个发现报告给了英国皇家学会，引起了一阵轰动。人们有时候把列文虎克称为“显微镜之父”，严格的说，这不太正确。列文虎克没有发明第一个复合式显微镜，他的成就是制造出了高质量的凸透镜镜头。
在接下来的两个世纪中，复合式显微镜得到了充分的完善，例如人们发明了能够消除色差(当不同波长的光线通过透镜的时候，它们折射的方向略有不同，这导致了成像质量的下降)和其他光学误差的透镜组。与19世纪的显微镜相比，现在我们使用的普通光学显微镜基本上没有什么改进。原因很简单：光学显微镜已经达到了分辨率的极限。
如果仅仅在纸上画图，你自然能够“制造”出任意放大倍数的显微镜。但是光的波动性将毁掉你完美的发明。即使消除掉透镜形状的缺陷，任何光学仪器仍然无法完美的成像。人们花了很长时间才发现，光在通过显微镜的时候要发生衍射——简单的说，物体上的一个点在成像的时候不会是一个点，而是一个衍射光斑。如果两个衍射光斑靠得太近，你就没法把它们分辨开来。显微镜的放大倍数再高也无济于事了。对于使用可见光作为光源的显微镜，它的分辨率极限是0.2微米。任何小于0.2微米的结构都没法识别出来。
提高显微镜分辨率的途径之一就是设法减小光的波长，或者，用电子束来代替光。根据德布罗意的物质波理论，运动的电子具有波动性，而且速度越快，它的“波长”就越短。如果能把电子的速度加到足够高，并且汇聚它，就有可能用来放大物体。
1938年，德国工程师Max
Knoll和Ernst
Ruska制造出了世界上第一台透射电子显微镜(TEM)。1952年，英国工程师Charles
Oatley制造出了第一台扫描电子显微镜(SEM)。电子显微镜是20世纪最重要的发明之一。由于电子的速度可以加到很高，电子显微镜的分辨率可以达到纳米级(10-9m)。很多在可见光下看不见的物体——例如病毒——在电子显微镜下现出了原形。
用电子代替光，这或许是一个反常规的主意。但是还有更令人吃惊的。1983年，IBM公司苏黎世实验室的两位科学家Gerd
Binnig和Heinrich
Rohrer发明了所谓的扫描隧道显微镜(STM)。这种显微镜比电子显微镜更激进，它完全失去了传统显微镜的概念。
诺贝尔奖：Ernst
Ruska，Gerd
Binnig和Heinrich
Rohrer(从左至右)分别因为发明电子显微镜和扫描隧道显微镜而分享1986年的诺贝尔物理学奖。
很显然，你不能直接“看到”原子。因为原子与宏观物质不同，它不是光滑的、滴溜乱转的小球，更不是达·芬奇绘画时候所用的模型。扫描隧道显微镜依靠所谓的“隧道效应”工作。如果舍弃复杂的公式和术语，这个工作原理其实很容易理解。隧道扫描显微镜没有镜头，它使用一根探针。探针和物体之间加上电压。如果探针距离物体表面很近——大约在纳米级的距离上——隧道效应就会起作用。电子会穿过物体与探针之间的空隙，形成一股微弱的电流。如果探针与物体的距离发生变化，这股电流也会相应的改变。这样，通过测量电流我们就能知道物体表面的形状，分辨率可以达到单个原子的级别。
因为这项奇妙的发明，Binnig和Rohrer获得了1986年的诺贝尔物理学奖。这一年还有一个人分享了诺贝尔物理学奖，那就是电子显微镜的发明者Ruska。
据说，几百年前列文虎克把他制作显微镜的技术视为秘密。今天，显微镜——至少是光学显微镜——已经成了一种非常普通的工具，让我们了解这个小小的大千世界。
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1正确运用相似三角形的“对应”关系
在证两个三角形相似时，和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边．
这段注意含义深刻，不仅对学生初学相似三角形时提出了书写的要求，为今后证明两个三角形相似带来方便，而且对解决一类相似三角形中答案不唯一问题的解法，具有指导性意义，下面举例说明．
例1
在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC=AC，在AB上取一点E，得到△ADE，若图中的两个三角形相似，则DE的长是______。
简析：根据题设条件，两个三角形相似的对应性没有明确，具有结论的不确定性，因而应分两种情况解答此题．
简解：①若D点的对应点为C点时，(ED∥BC)(图1)
即△AED∽△ABC，
∴DE=6
②若D点的对应点为B时，(∠ADE=∠B)(图2)
即△ADE∽△ABC
∴
DE=8
∴DE的长为8或6．
例2
如图3，在两个直角三角形中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=，AD=2，试求AB的长，使得这两个直角三角形相似。
简析：因为题设只要求两个直角三角形相似，并没有指明具体的对应关系．同样具有结论的不确定性，因此本题应分两种情况解答．
简解：(1)当△ABC∽△ACD时
∴AB=3．
(2)当△ABC∽△CAD时
例3
如图4，直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
解：根据题设条件，三角形相似应考虑两种情况：
①当△PAD∽△PBC时，设AP=x，
则PB=7-x，
②当△PAD∽△CBP时，
解得x1=1，x2=6．
因此，满足题设条件的点P有3个，所以应选C．
评析：如果未注意到题目中以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似未限制顶点的对应关系这一点，就会片面考虑一种相似关系而被诱误．因此解答这类答案不唯一的试题，应注意相似三角形的对应关系，正确运用概念，养成从多角度看问题的习惯，才能防止错误．
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3相似三角形中的操作题
实验操作性题目，一般先设置材料背景，让学生在通过实际操作的基础上设计有关问题.使学生在数学活动中，通过手脑并用，获得初步体验，促进学生生动、活泼、积极主动的发展，这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，现从07年中考试题中采撷两例与相似有关的操作题，供读者参考.
例1
(07乐山)如图1，在矩形中，AB=4，AD=10.直角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与A，D不重合)，一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
(1)当∠CPD=时，求AE的长；
(2)是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．
分析:本题考查相似三角形的性质和解直角三角形的有关知识.
(1)在Rt△DPC中，根据∠CPD的正切求PD，进而求AP，再根据“Rt△AEP∽Rt△DPC”，对应直角边成比例求得AE的长;(2)存在性探索题目，假设满足条件的点P存在，设DP=x，
则AP=10-x，仍然根据“Rt△AEP∽Rt△DPC”，对应直角边成比例求得AE的长，若求得的AE≤4，说明存在，否则不存在.
解:(1)在Rt△PCD中，由得
∴AP=AD-PD=10-，
由Rt△AEP∽Rt△DPC知∴
(2)假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x.
由Rt△AEP∽Rt△DPC知∴解得x=8，此时AP=2，AE=4符合题意．
评注:存在型问题的解题思路是:先假定探索的对象存在，以此为依据进行计算或推理，若推出矛盾，则假定是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定的结论.
例2
(07芜湖)如图2，在直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0)．
(1)
请在图中画出△ABC的一个以点P
(12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧);
(2)求线段BC的对应线段所在直线的解析式．
分析:
(1)
点P
(12，0)为位似中心，相似比为3，于是在射线PC截取=3PC，连接PA并延长，在射线PA上截取，同理找出，顺次连接，△即为所求.(2)欲求线段所在直线的解析式，需求和点的坐标，这可通过两三角形相似来实现.
解:(1)画出，如图3所示．
(2)作BD轴，
轴，垂直分别是D，E点．∴∥BD．
∴．
∵B(8，2)，∴，．
∴．∵与△ABC的相似比为3，∴．∴．∴，PE=12．
∵PO=12．，∴E与O点重合，线段在y轴上．∴点坐标为(0，6)．
同理:．又∵=，∴．
∴．∴点坐标为(3，0)．
设线段所在直线的解析式为．则
∴．∴线段所在直线解析式为．
评注:位似是特殊的相似，本题考查了同学们对位似变换知识的理解和运用.位似变换中，对应点连线经过位似中心，而对应点到位似中心的距离比等于位似比是关键.
快乐套餐:
1.(杭州)如图4，用放大镜将图形放大，应该属于(
)
A．相似变换
B．平移变换
C．对称变换
D．旋转变换
2.(成都)如图5，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为(
)
A.
B.
C.
D.
3.(青岛)如图6是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为
cm.
4.(仙桃)小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，如果小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是
米.
5.(荆州)如图7是一张简易的活动小餐桌，现测的OA
＝OB＝30㎝，OC＝OD＝50㎝，桌面离地面的高度是40㎝，则两条桌腿的张角∠COD的度数为
．
参考答案:
1.
A
2.
C
3.16
4.
6.4
5.
120°提示:如图1，
过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于E，
∵OA＝OB＝30cm，OC＝OD＝50cm，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，
∴∴∴OF=25cm
∴OF=OD，
∴∠ODF=，∴∠DOF=，∴∠COD=2∠DOF
=.
图6
D
C
B
A
40㎝
O
图7
图5
D
C
B
A
40㎝
O
图1
E
F
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1比例的性质是什么？
难易度：★★★
关键词：比例的性质
答案：
如果
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，那么ad=bc；如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )。
【举一反三】
典题：已知:
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),求
( http: / / www.21cnjy.com )的值。
思路导引：根据比例的基本性质，把比例式化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法求解。
标准答案：由
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，得m=9n，所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=9.《相似多边形》典型例题
例题1
在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小．
例题2
所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？
例题3
所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？
例题4
已知下图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示．
例题5
图中的两个多边形相似吗？说说你的理由．
例题6
下面给出的两个四边形是相似的，请写出它们的对应角和对应边．
例题7
已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和的度数．
例题8
在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小．
参考答案
例题1
解答
∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等．
∴，
∴．
．
例题2
解答：所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．
所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．
例题3
解答：所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．
所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．
例题4
解答
例题5
解答
不相似．
，而，不可能有“对应角相等”．
例题6
解答
例题7
分析
解题中要充分利用相似多边形的特征和梯形的性质．
解答
由于对应边成比例，所以．
所以．
由于对应角相等，所以
，
．
例题8
解答
∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等．
∴，∴．．如何确定某条线段的黄金分割点？
难易度：★★★★★
关键词：黄金分割点的画法
答案：
如右图所示，设AB是已知线段，
（1)以线段AB为边作正方形ABCD；
(2)取AD的中点E，连接EB；
(3)延长DA至F，使EF=EB；
（4)以线段AF为边作正方形AFGH。
则点H为线段AB的黄金分割点．
【举一反三】
典题：利用正方形可以做出线段的黄金分割点，根据上图，证明点H是线段AB的黄金分割点。
思路导引：证明点H是线段AB的黄金分割点，只要得出
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )即可。
标准答案：
证明：设AB=1，则AE=
( http: / / www.21cnjy.com ),BE=
( http: / / www.21cnjy.com ),EF=EB=
( http: / / www.21cnjy.com ),所以AF=
( http: / / www.21cnjy.com )-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),所以AF=AH=
( http: / / www.21cnjy.com ),BH=AB-AH=1-
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以，点H是线段AB的黄金分割点。如何证明黄金矩形？
难易度：★★★★★
关键词：黄金矩形
答案：
一个矩形的宽与长之比为
( http: / / www.21cnjy.com )，那么这个矩形被称为黄金矩形。
【举一反三】
典题：宽与长之比为
( http: / / www.21cnjy.com )的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论，
思路导引：只要能得出
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，就能说明四边形ECDF是黄金矩形，否则不是。
标准答案：留下的矩形是黄金矩形
因为四边形ABEF是正方形，得AB=DC=AF，又因为
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),即点F是线段AD的黄金分割点。所以
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ),即
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以矩形ECDF是黄金矩形。相似多边形学习导航
一．认识“形状相同的图形”
1．形状相同的图形：形状相同的图形就是两个图形的形状完全一样，而图形的大小和位置不一定相同.
温馨提示：判断两个图形是否形状相同时，应注意考察图形的变化特征，抓住问题的关键.
2．画形状相同的图形的方法：画形状相同的图形，实际上就是将图形放大或缩小，利用方格纸或利用坐标的变化放大或缩小图形是车形状相同图形的两种常用的准确的方法.
二．结识“相似多边形”
1．相似多边形的定义
若两个多边形的各角对应相等，各边对应成比例，则这两个多边形就叫做相似多边形.
温馨提示：（1）两个多边形的边数不同，则两个多边形一定不相似；
（2）两个边数相同的多边形，必须具备以下两个条件：①对应角相等；②对应边成比例；这是两个相似多边形的本质特征.
（3）边数相同的正多边形一定相似；
（4）在记两条多边形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
2.
灵活掌握相似多边形的性质
相似多边形有以下性质：
（1）
两个相似多边形的对应角相等、对应边成比例.
（2）
两个相似多边形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方.
温馨提示：①相似多边形的对应边的比叫做相似比.
②全等的多边形是相似比为1的相似多边形；
③求两个相似多边形的相似比时，要注意两个图形的顺序：若相似多边形甲与乙相似，若甲与乙的相似比为，则乙与甲相似比为.
三.学会利用定义判定两个多边形是不是相似
判定两个多边形是不是相似，主要是利用定义，特别需要注意的是，必须同时满足两个条件才行，否则就会出错.
四.典例分析
例1
已知矩形ABCD，长8m，宽6m，又知矩形ABEF的面积为21，试问：矩形ABCD与矩形ECDF相似吗？并说明理由.
分析：因为两个四边形都是矩形，所以只要判断对应边的比是不是相等即可.
解：因为矩形ABEF的面积为21，所以AB·BE=21,所以
，所以EC=BC－BE=.因为,,所以,又因为矩形的四个角都是直角，所以矩形ABCD与矩形ECDF的四个角都对应相等，所以矩形ABCD∽矩形ECDF.
例2
已知梯形ABCD中，EF∥AD，且AD=m,BC=n，若梯形ABCD∽梯形EBCF，求EF的长.
分析：因为两个梯形是相似的，所以可以直接利用相似的性质来求EF的长.
解：因为梯形ABCD∽梯形EBCF，所以所以所以.
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2判断两个相似三角形中的错误
判断两个图形相似，应正确理解相似图形的判断方法，若判断方法把握不准确，判断就有可能出错哟！
例1下面各组中的两个三角形一定相似的为______
①都有一个角是50°的两个等腰三角形
②
都有一个角是120°的两个等腰三角形
③都有一个角是60°的
两个等腰三角形
④都有一个角90°的等腰三角形
错解：①，④.
分析:要判断两个三角形相似相似，应根据三角形相似的判断方法,判断已知条件中是否具备两个三角形相似的条件.观察①中的两个等腰三角形,由于50°的角可以是底角,也可以是顶角,当作为顶角时,两个底角分别是65°,65°;当作为底角时,两外两个角分别是50°,80°,当第一个三角形中的50°是顶角度数,第二个三角形的50°是底角度数,则这两个三角形不相似.观察②可知,120°的角只能是等腰三角形的顶角,这样的两个三角形的底角也相等,所以满足这个条件的两个三角形相似;观察③中的两个三角形一定是等边三角形,两个三角形一定形似;观察④中的两个三角形是等腰直角三角形,两个三角形一定相似.
正解:②④③
.
例2
在△ABC和△A′B′C′中,已知AB=6cm,AC=8cm.BC=10cm,
A′B′=24cm,
A′C′=18cm,B′C′=30cm,试判断△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由.
错解:△ABC与△A′B′C′不相似.理由:,,,
，所以△ABC与△A′B′C′不相似.
分析:本题已知两个三角形的边长,要判断这两个三角形是否相似,应判断两个三角形的最短边与最短边的比,中等边与中等边的比,最长边与最长边的比是否相等,而不要思维定势把AB与A′B′,AC与A′C′,BC与B′C′是对应边.
正解:因为,,,
所以，所以△ABC∽△A′C′B′.
例3
已知△ABC△A′B′C′,∠A=50°,∠A′=50°,AB=8,BC=15,A′B′=16,B′C′=30,请问这两个三角形是否相似.请说明你判断的理由.
错解:
因为∠A=∠A′=50°,且,
所以△ABC与△A′B′C′相似.
分析:根据边角对应关系判断两个三角形相似,应具备“两边对应成比例，且夹角相等”，本题中虽然，但BC，B′C′分别是∠A，∠A′的对边，不满足“两边对应成比例，且夹角相等”，，不能由此来判断△ABC与△A′B′C′相等．
正解：△ABC与△A′B′C′不一定相似，因为∠A=∠A′=50°，但不知道是否等于，所以根据已知条件不能确定△ABC与△A′B′C′相似．
例4
在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°，则有(
)．
(A)△ABC∽△A′B′C′
(B)△ABC∽△A′C′B′
(C)△ABC∽△C′A′B′
(D)△ABC与△A′B′C′不相似
错解：因为∠A=∠A′，但∠B≠∠B′，∠C≠∠C′，所以△ABC与△A′B′C′不相似.故选(D).
分析：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′是对应角，但∠B与∠B′不一定是对应角，不能由∠B≠∠B′，∠C≠∠C′而臆断两个三角形不相似,实际上,本题中.
∠B=∠C′.
正解：因为∠A=45°，∠B=26°，
所以∠C=180°-∠A-∠B=109°，所以∠C=∠B′，
又∠A=∠A′，所以△ABC∽△A′C′B′(两组对应角分别对应相等的两个三角形全等).
所以选(B).
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2如何学好位似图形
位似图形是新课标中新增加的内容，具有较高的实用价值.那么如何学好呢
一、理解位似图形及有关概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形(如图1)，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
温馨提示:(1)位似图形是相似图形的特例，不仅要求形状形同，而且还要求对应点的连线相交于同一点.因此位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
(2)如图1，位似图形上任意两组对应点连线的交点或其延长线的交点就是位似中心，位似中心和两对对应点构成“A型”或“X型”的相似三角形.
二、掌握位似图形的性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
如图1，△ABC与△是位似图形，且位似比为k，则=k.
三、会作一个图形的位似图形
作一个图形的位似图形，就是作一个与已知图形相似的具有特殊位置的图形，方法有多种:比如“橡皮筋法”，“方格纸法”，“平行线法”等，但常用的方法是根据“位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比”来作.其基本步骤是:选定位似中心——连点——延长——截倍(分)等，而得到放大或缩小的图形，新图形与原图形就是位似图形.
例
将图2中的四边形ABCD放大，使得放大前后对应线段的比为1∶2.
分析:作出四边形ABCD的位似图形，使新图与原图的位似比为2∶1，即可得到符合要求的图形.
解:如图2:①任取一点O;
②以点O为端点作射线OA，OB，OC，OD;
③分别在射线OA，OB，OC，OD上取点，，，，使O∶OA=O∶
OB=O∶
OC
=O∶OD=2∶1;
④连接，，，.则四边形就是所求的图形(即四边形与四边形ABCD是位似比为2∶1的位似图形).
温馨提示:抓住位似比是画位似图形的关键.由于位似中心可以任意选取，因此答案不唯一，画出一种即可.
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1一道有趣的相似问题的变式及应用
题目：已知AC⊥AB，BD⊥AB，AD与BC交于点E，过E作EF⊥AB于F，试说明.
解：因为AC⊥AB，BD⊥AB，EF⊥AB，
所以AC∥BD∥EF.
所以△AEF∽△ADB，△BEF∽△BCA.
所以EF：BD=AF：AB，EF：AC=BF：AB.
即AF=，BF=，
所以AF+BF=AB，
所以AB=AB，
所以.
把题目的结论再变化一下就得到：EF=，这个等式有何应用呢？
应用一：如图2所示，两根电线杆都垂直于地面，分别在高为10米的C处和高为15米的D处用钢索将两根电线杆固定，求钢索AD与钢索BC的交点E处离地面的高度EF.
有了上面的结论，很容易就得到EF===6（米）.
应用二：如图3所示，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房AB的高度为12米，楼房CD的高度为18米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而从D处看楼顶B处也正好通过树顶E，求这棵树的高度.
根据上面的计算方法，很容易就得到树的高度大约是7.2米.
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1拓展小知识：比例
比例
如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。
比例的基本性质
a:b=c:d→ad=bc。(也可反
( http: / / www.21cnjy.com )推)
如果a:b=c:d,那么（a±b）:（c±d）:
如果a:b=c:d=···=m:n（b+d+···+n≠0），那么（a+c+···+m）:（b+d+···+n）=a:b
比例线段
1.两条线段的长度比叫做这两条
( http: / / www.21cnjy.com )线段的比
2.在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
3.一般地，如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。（不难看出，此时b^2=ac，即此时b是ac的几何平均数）
4.d叫做a,b,c的第四比例项。（此时a,b,c的书写有顺序性，必须按顺序写，若b:a=c:d，则就要写成d是b,a,c的第四比例项）
5.可由ad=bc推出a:b=c:d;a:c=b:d;d:b=c:a和d:c=b:a
比例尺
1、概念：
比例尺是表示图上距离比实地距离缩
( http: / / www.21cnjy.com )小或扩大的程度。公式为：比例尺=图上距离与实际距离的比。比例尺有三种表示方法:数字式，线段式，和文字式。三种表示方法可以互换。一般讲，大比例尺地图，内容详细，几何精度高，可用于图上测量。小比例尺地图，内容概括性强，不宜于进行图上测量。
用公式表示为：比例尺=图上距离/实际距离。比例尺通常有三种表示方法。
2.表示方法：
（1）数字式，用数字的比例
( http: / / www.21cnjy.com )式或分数式表示比例尺的大小。例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1∶50,000,000或写成：1/50,000,000。
（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。
（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少米，如：图上1厘米相当于地面距离500米，或五万分之一。
三种表示方法可以互换。必须化单位。
在绘制地图和其他平面图的时候
( http: / / www.21cnjy.com )，需要把实际距离按一定的比缩小（或扩大），再画在图纸上。这时，就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
比例尺公式：
图上距离=实际距
( http: / / www.21cnjy.com )离×比例尺　
实际距离=图上距离÷比例尺，比例尺=图上距离÷实际距离.（在比例尺计算中要注意单位间的换算）
（1千米=1×1000米=1×100000厘米）
单位换算：图上用厘米，实地用千米，厘米换千米，去五个零；千米换厘米，在千的基础上再加两个零。
3.使用方法：
根据地图上的比例尺，
( http: / / www.21cnjy.com )可以量算图上两地之间的实地距离；根据两地的实际距离和比例尺，可计算两地的图上距离；根据两地的图上距离和实际距离，可以计算比例尺。
根据地图的用途，所
( http: / / www.21cnjy.com )表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的详略等不同情况，制图选用的比例尺有大有小。地图比例尺中的分子通常为1，分母越大，比例尺就越小。通常比例尺大于十万分之一的地图称为大比例尺地图；比例尺介于十万分之一至一百万分之一之间的地图，称为中比例尺地图；比例尺小于百万分之一的地图，称为小比例尺地图。在同样图幅上，比例尺越大，地图所表示的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，精确度越低。（此可简记为“大小详、小大略”方便应用）地理课本和中学生使用的地图册中的地图，多数属于小比例尺地图。怎样学好相似多边形的性质
相似多边形的性质是相似图形的重点，熟练把握相似图形的性质是解决有关问题的关键.下面相似多边形的性质及应用分析如下：
一、性质解读
1．相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
2．相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
3．相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
提示：（1）当已知相似三角形的高时，应想到相似三角形对应高的比等于对应边的比；当已知相似三角形的中线时，应想到相似三角形对应中线的比等于对应边的比.
（2）当已知相似三角形的一组对应边的比，并知道了一个三角形的周长，求另一个三角形周长时，应想到“相似三角形周长的比等于对应边的比”.已知一个三角形的面积，求另一个三角形的面积时，应想到“相似三角形的面积比等于相似比的平方”.
（3）相似多边形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，常应用到矩形相似和菱形相似等问题的解决.相似多边形对应边的比等于面积比的算术平方根.
二、应用举例
例1
已知：△ABC的三边长分别为5、12、13，和△ABC相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的周长.
分析：本题已知△ABC与△A′B′C′相似，可知两个相似三角形的最长边为对应边，由此可求到两个三角形的相似比，根据“相似三角形周长比等于相似比”可计算出△A′B′C′的面积.
解：
因为△ABC的最长边长为13，△A′B′C′最长边长为26，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为13：26=1：2，
设△A′B′C′的周长为x，则，解得x=60.
所以△A′B′C′的周长为60.
例2如图，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）上有和，这两个三角形相似吗？如果相似，求出和的面积比．
分析：要判断两个三角形是否相似，观察图形可知，这两个三角形有一对对应角为135°，只要计算这个角的两边，即可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判定相似，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求到两个三角形的面积比.
解：因为A1C1=4，A2C2=2，所以，A1B1=2，A2B2=，所以，
又因为∠B1A1C1=∠B2A2C2=135°，所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
所以和的面积比为4．
例3
已知五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，两个五边形的最长边分别是35cm和14cm，它们的周长差为60cm，那么这两个五边形的周长分别是多少？
分析：相似多边形的相似比等于对应边的比，已知这两个五边形的最长边为35cm和14cm，那么这两个相似五边形的相似比为35：14=5：2，设大五边形的周长为xcm，用x的代数式表示出小五边形周长，则根据周长比等于形似比可求到这两个五边形的周长.
解：设大五边形的周长为xcm，则小五边形的周长为(x-60)cm,
根据相似多边形的性质可得,解得x=100,所以x-60=40,
所以这两个五边形的周长分别100cm和40cm.
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1相似多边形中转化思想的应用
转化思想是数学中比较常用的一种想法，在相似多边形问题中经常将相似多边形的问题转化为相似三角形进行考虑。解决此类问题时，一般都要从已知条件出发，通过作辅助线，将多边形分割成几个三角形，再根据三角形相似的性质解决问题。
例题：如图所示，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC和BE相交于点F。（1）如图1所示，点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；（2）如图2所示，当点E运动到CE:ED=2:1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；（3）请你利用上述图形，提出一个类似的问题。
分析：要想求四边形的面积，可以将其转化为求三角形的面积，在根据相似三角形的性质，求出三角形面积之间的关系。
解:（1）如图1所示，连结DF。
∵点E是DC的中点，
∴。
根据题意可以得出△FEC∽△FBA，所以。
∵
∴。
（2）如图2所示，连结DF。
与（1）同理可知，。
所以。
（3）提问举例：
①当点E运动到CE:ED=5:1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
②当点E运动到CE:ED=3:2时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
③当点E运动到CE:ED=m:n（m、n是正整数）时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比。
练习：如图在梯形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于点E，DE=2AE，若△CED的面积为1。求四边形ABCE的面积。
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1相似三角形错解分析
相似三角形具有对边成比例，对角相等，相似三角形对应高的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等性质.在利用相似三角形解决问题，一定注意结合图形，正确利用相似三角形的性质解决实际问题，不要出现下列一些错误.
例1
如图1，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C，以4cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似.
错解：设经过ts时，△PBQ与△ABC相似，则AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t，当△PBQ∽△ABC时，有，即，所以t=2.5.
分析：本题错解考虑问题不完整，出现漏解，本题除了△PBQ∽△ABC外，在实际运动中还可能出现△QBP∽△ABC.所以两种情况都要考虑到.
正解：设经过ts时，△PBQ与△ABC相似，则AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t，
（1）如图1,
当△PBQ∽△ABC时，有，即，所以t=2.5.
图1
图2
（2）如图2,当△QBP∽△ABC时，有，即，所以t=1.
综上可知，经过2.5s或1s时，△PBQ和△ABC相似.
评注：与运动有关的相似三角形问题，常出现两个解的情况，所以解决这类问题中，一定要注意可能存在的多解情况.否则，可能出现漏解而致误.
例2
如图3，在△ABC中，，AB=12，BC=8，DE//AB，已知△DCE的面积等于4，求四边形ABED的面积.
错解：由，可得，
因为DE//AB，所以△CDE∽△CAB，
所以，
因为S△DCE=4，所以S△CAB=6，所以SABED面积为6-4=2.
分析：错解在没有把握住相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质.把相似三角形的面积比当成相似比而造成错解.
正解：由，可得，
因为DE//AB，所以△CDE∽△CAB，
所以，
因为S△CDE=4，所以S△CAB=9，
所以S四边形ABED=9-4=5.
图3
评注：解决相似三角形问题，把握住相似三角形的面积是解决问题的重要组成部分.特别要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方的理解与应用.
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1相似形问题常见错解剖析
相似形是初中几何的重要内容之一,现将同学们在学习相似形的过程中经常出现判定定理、性质定理混淆不清及思考问题不周全等各种原因所造成的错解列举如下,供同学们借鉴.　
一.审题不细造成失误
　
例1.已知线段AB=2mm，CD=6cm，则AB∶CD=
.
　
错解：∵AB=2，CD=6，
　∴AB∶CD=2∶6=1∶3.
　
剖析：要根据比的有关定义统一两线段的长度单位，解题中应注意首先统一长度单位.
　
正解：∵AB=2mm，CD=6cm=60mm，
　∴AB∶CD=2∶60=1∶30.
二.
用定义考虑不全造成失误
　
例2
如图，在四边形ABCD与四边形EFGH中，∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，∠F=90°，∠G=120°，∠H=70°，四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？
　
错解：在四边形ABCD中，由∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，
　得∠D=70°；
　在四边形EFGH中，
　由∠F=90°,∠G=120°，∠H=70°，
　得∠E=80°.
　∴
∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G，∠D=∠H.
　∴
四边形ABCD与四边形EFGH相似.
　
剖析：
不能准确地由相似形的定义判定相似.要判定两个图形是否相似，要看对应角是否相等，对应边是否成比例，二者缺一不可.
　
正解：在四边形ABCD中，由∠A=80°，∠B=90°，∠C=120°，得∠D=70°；
　在四边形EFGH中，由∠F=90°∠G=120°，∠H=70°，得∠E=80°.
　∴
∠A=∠E，∠B=∠F，∠C=∠G，
　∠D=∠H，但是根据已知条件无法判定对应边是否成比例.
　∴
四边形ABCD与四边形EFGH不一定相似.
三.应用性质解题时出现的失误
　
例3
如图，在△ABC中，DE∥BC，，求AD∶DB.
　　错解1：∵，
　∴
AD∶DB=1∶2.
　
错解2：∵，
　∴.
　∴
AD
∶
AB=1∶25.
　∴
AD
∶
DB=1∶24.
　
剖析：（1）
忽略相似三角形的面积比等于相似比的平方；
　（2）有时错认为在由面积求相似比时，不开方反而平方；
　（3）
不相似的图形也用了相似的性质进行推导.
　
正解：∵，
　∴.
　∵
△ADE∽△ABC，
　∴
∴
四.
对应关系考虑不清出现的失误
　
例4
在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°，它们是否相似？
错解：∵∠B≠∠B′，∠A=∠A′，∴△ABC与△A′B′C′不相似.
剖析：三角形的对应关系考虑不清.
正解：∵∠A=45°，∠B=26°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=109°.
∴∠C=∠B′.
又∵∠A=∠A′，
∴△ABC∽△A′C′B′.
　
五.对应关系考虑不全面造成失误
　
例5
如图（1），已知∠C=90°，D是AB上一点，在AC或BC上找一点E，使新形成的三角形与Rt△ABC相似，则满足条件的点E有几个？
　
错解：如图（2），过D作DE⊥AC于E，则△ADE∽△ABC，或过D作DE⊥BC于E则△BDE∽△BAC.
满足条件的点E共有2个.
　
剖析：本题错误的原因主要是考虑不全面，遇到此类问题一定要认真分析，多加思考.
　
正解：除上述两种情况外，过D做AB的垂线，满足条件的DE与AC也有一个交点E，如图（3），
　满足条件的点E共有3个.
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1测量旗杆的高度
我们根据“相似三角形对应边成比例”的性质可以解决许多与“计算高度、计算距离、设计测量方案”等有关的问题，课本中介绍了几种利用相似三角形来测量旗杆高度的方法，下面我们分类例析.
一、利用影子
1.用影子法测高的基本原理
由于太阳离地球非常遥远，而太阳的体积又远比地球的体积大得多，因此人们通常都把太阳的光线看作平行线，在这一前提下我们就可利用太阳光下的影子来测量物体的高度.
2.用影子法测高的基本方法
如图1所示，
因为光线BC∥AE，所以∠CBD=∠E.因为∠D=∠ABE=90°，所以△ABE∽△CDB.所以
3.测量数据：身高AB，身影BE，物影BD.最后将测量的结果代入，即求解可得物高.
二、利用标杆
1.工具：标杆，卷尺或测绳.
2.方法：如测量示意图（图2）.
3.测量原理：如图2所示，
因为CD∥AB，
所以∠FHD=∠FGA，
∠FDH=∠A，
所以△AGF∽△DHF.
所以
其中FH=CE，FG=BE.所以可求AB=AG+EF.
4.测量数据：眼睛与地面的距离EF，标杆的长度CD，人与标杆的距离CE，人与物体的距离BE.
5.注意事项：观测者的眼睛必须与标杆顶端，物体的顶端“在一条直线上”.
三、利用镜子
1.工具：镜子一面，卷尺或测绳.
2.测量方法：如测量示意图（图3）所示.
3.方法原理：如图3，
因为∠ACB=∠ECD，
∠B=∠D=90°，
所以△CBA∽△CDE.
所以，再由测得的数据求得高度.
4.测量数据：眼睛到地面的距离DE，镜面到脚底的距离CD，镜面到物体根部的距离BC.
说明：学习相似三角形的应用时，应先定好活动课题、活动方式，准备好活动工具，然后依据相似三角形的有关知识确定活动步骤，并做好数据的收集与整理，最后根据测量结果求出问题的结论，从而进一步加深对相似三角形的理解．
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2平行线的作法
1、已知：如图，△ABC中，D为BC的中点，过D作任意直线交AC于E，交BA的延长线于F，求证：
过A作AG∥BC交FD于G，可得两个基本图形
2、已知：E是△ABC的边AC的中点，D是AB边上任意一点，DE与BC的延长线交于点F
求证：
证法介绍：
过A作平行线
（2）过B作平行线
（3）过C作平行线：
CG=AD
AD=GD
（4）过E作平行线
=
=
因此，选择最佳的求解方法，依赖于对知识的理解，对基本图形的识别和对解题规律的总结和归纳。
3、已知，如图，△ABC中，E
( http: / / www.21cnjy.com )、F分别为BC的三等分点，D为AC的中点，BD分别与AE、AF交于点M、N，求BM:MN:ND
（5:3:2）
解法一：过A作AG∥BD交CB延长线于G
解法二：过E、F作BD的平行线
解法三：过E、F作AC的平行线
解法四：连DF，过D作DG∥BC
4、△ABC中，AD平分∠BAC，求证：
过C作CE∥AD
过D作DE∥AC
利用面积关系
过C作CE∥AB
5、如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EG∥BC交AB于E，交CD于F，交AD的延长线于G
求证：OG2=CF·GE
∴
∴判定三角形相似
1．平行线型：在图1、图2中，若DE//BC，则△ADE∽△ABC.我们称这两种图形为平行线型的基本图形.更形象地说，图1是“A”型图，图2是“X”型图，它们的特点是对应边、对应角、对应顶点比较明显.
例1　如图3，已知OM∶MP＝ON∶NR，试说明△PQR为等腰三角形．
解：本题中出现的比例式中有三条线段OM、MP、ON构成一个不完整的平行线型相似三角形，因此，可通过N作NS//MP交OR的延长线于S，这样就构成图1的平行线型相似三角形，即△OMP∽△ONS，则.由已知得，所以，故NS=NR.同理，由图2可判定△RNS∽△RQP，所以.故QR=QP，所以△PQR为等腰三角形.
2.相交线型：在图4、图5、图6中，若∠1=∠B，则△ADE∽△ABC.我们称这三种图形为相交线型的基本图形.它们的特点是有一个公共角或等角.
例2　如图7，已知△ABC中，∠C＝90°，D、E分别是AB、AC上的两点，且AD·AB=AE·AC，则ED⊥AB，为什么？
解：由于△ABC和△AED有一对公共角∠A，且AD·AB=AE·AC，即，所以△ABC∽△AED.所以∠ADE=∠C=90°.因此ED⊥AB.
　
3．旋转型：在图8中，若∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC.我们称这种图形为旋转型的基本图形.
　　例3　如图9，已知∠BAD＝∠CAE＝∠ODC，则△ABC与△ADE相似吗？为什么？
分析：本题的条件只有角之间的关系，所以可考虑运用“两角对应相等的两个三角形相似”来判定．
解：因为∠BAD＝∠CAE，
所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE．
因为∠ODC＝∠CAE，∠DOC＝∠EOA，
所以180°－（∠ODC＋∠DOC）＝180°－（∠CAE＋∠EOA），即∠C＝∠E．
所以△ABC∽△ADE.
　
小结：解决相似三角形问题，从识别图形的角度来看，就是要善于排除干扰、抓住本质，从复杂的图形中分解出上述基本图形.
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1帮你把好知识关
为了帮助同学们更好地掌握本期的内容，下面就本期内容涉及的知识点进行详细讲解，供同学们学习时参考．
知识点一：线段的比
例1　线段a，b，c，d的长度如下，试判断它们能否组成比例线段.
（1）a=4
cm，b=3
cm，c=10.5
cm，d=14
cm.
（2）a=8
cm，b=0.05
m，c=0.6
dm，d=10
cm.
分析：将四条线段的长度化为
( http: / / www.21cnjy.com )同一单位后，再按由小到大或由大到小的顺序排列起来，然后比较第一与第二，第三与第四两对线段长度的比是否相等或比较最大和最小的两条线段长度的乘积与另两条线段长度的乘积是否相等.
解：（1）先把四条线段的长度按从小到大
( http: / / www.21cnjy.com )的顺序排列b=3
cm，a=4
cm，c=10.5
cm，d=14
cm，再求第一与第二，第三与第四两对线段长度的比.因为b∶a=3∶4，c∶d=10.5∶14=3∶4，所以b∶a=c∶d.故这四条线段能组成比例线段.
（2）把四条线段的
( http: / / www.21cnjy.com )长度化成同一单位，则a=8
cm，b=0.05
m=5
cm，c=0.6
dm=6
cm，d=10
cm.并按从小到大的顺序排列为b，c，a，d.因为bd=5×10=50，ac=6×8=48.所以bd≠ac.故这四条线段不能组成比例线段.
跟踪训练1　已知线段a=0.4
m，b=30
cm，c=20
cm，d=0.6
m.试判断这四条线段是否成比例线段.
知识点二：比例的三条性质
1．依据基本性质求值
例2　已知（x+y）∶（x-y）=5∶2，则x∶y=_________.
解析：根据比例的基本性质，得2（x+y）=5（x-y）.
所以2x+2y=5x-5y.即3x=7y.故x∶y=7∶3.
跟踪训练2　已知（x＋2y）∶（x－y）＝5∶2，则x∶y=___.
2.依据合比性质求值
例3　已知
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )=______________.
解析：由比例的合比性质可得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
跟踪训练3　已知
( http: / / www.21cnjy.com )，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
3.依据等比性质求值
例4　若
( http: / / www.21cnjy.com )（a+c≠0），则
( http: / / www.21cnjy.com )=______.
解析：由比例的等比性质可知
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
跟踪训练4　若
( http: / / www.21cnjy.com )（m+x≠0），则
( http: / / www.21cnjy.com )=____.
答案
四条线段成比例线段
2．3∶1
3．－
( http: / / www.21cnjy.com )　
4．
( http: / / www.21cnjy.com )你会判定两个三角形相似吗
相似三角形的判定方法可由全等三角形的判定方法类推，但比判定全等三角形更灵活，图形的变换也更复杂，为了帮助同学们更好地学好三角形相似的判定方法，现归纳如下.
三角形相似的判定方法一：两角对应相等的两个三角形相似.
说明：这种方法在运用时只需求出两个角对应相等，就可判定这两个三角形相似，推理时，关键是寻找对应角.一般地，在判定过程中要特别注意“公共角”、“对顶角”、“同角（或等角）、同角（或等角）的余角（或补角）”都是相等的.
例1
下列各组图形可能不相似的是（
）
A.各有一个角是45°的等腰三角形
B.各有一个角是60°的等腰三角形
C.有一个锐角相等的两个直角三角形
D.各有一个角是95°的两个等腰三角形
分析：两个三角形是否相似，关键是看是否有两个角对应相等.A中的45°角可能为顶角，也可能为底角，故A中的两个等腰三角形可能不相似；B中是有一个角为60°的等腰三角形，则该三角形为等边三角形，显然等边三角形都是相似三角形；C中有一个锐角相等，则这样的直角三角形中的三个角就都相等，故C中的两个三角形相似；D中的95°只能为顶角，故这样的两个等腰三角形显然相似.
解：应选A.
点评：有两个角相等，那么这两个三角形相似，这是判定两个三角形相似最常用的方法.事实上，依据三角形的内角和是180°，第三个角也相等，故此判定条件是三个角对应相等，从而与相似三角形的定义衔接起来.
三角形相似的判定方法二：三边对应成比例的两个三角形相似.
说明：这种方法类似于全等三角形判定的“SSS”定理.
例2
已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，试判断△ABC是否与△DEF相似.
分析：因为已知两个三角形的三边长，所以可考虑根据三边间的关系来判定是否相似.
解：因为，所以△ABC∽△DEF.
点评：已知两个三角形的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边；所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
说明：这种方法类似于全等三角形判定的“SAS”，要特别注意“夹角”的含义.
例3
如图1，已知△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（
）
A.AB·CD=BD·BC
B.AC·CB=CA·CD
C.BC2=AC·DC
D.BD2=CD·DA
分析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C是△ABC与△BDC的公共角，关键是找出角∠C的两边对应成比例，即.
点评：此判定中的角必须是成比例两边的夹角，否则两个三角形不一定相似.如图2，易判定△ABC∽△A1B1C1，而在△ABC和△A2B2C2中，虽然有，∠C=∠C2=90°，但是△ABC和△A2B2C2并不相似.
小结：判定三角形相似，通常按下列思路分析：（1）若有一组角相等，可再找一组角相等或再找这组角的邻边对应成比例.（2）若已有两组边对应成比例，可再找其夹角相等或第三组边对应成比例.但要注意找准对应关系.
A
C
B
8
6
4
3
4
3
A1
B1
C1
A2
B2
C2
图2
PAGE
2帮你认识相似多边形
定义：
各角都相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．
注意：这个定义有两个功能：一方面，如果
( http: / / www.21cnjy.com )两个多边形的角都
对应相等，且边都对应成比例，我们就可以判定这两个多边形相似；另一方面，如果两个多边形相似，那么它的对应角一定相等，对应边一定成比例，这是相似多边形的本质特征，用它可以解决一些有关问题．
相似多边形的表示与相似比：
相似多边形的表示方法：若五边形ABCDE与五边形相似，记作若五边形ABCDE∽五边形．
相似多边形对应边的比叫做相似比．
注意：（1）“多边形”的
( http: / / www.21cnjy.com )“多”字包括3个或3个以上的所有自然数，所以有了相似多边形的定义，就不必再重新定义“相似三角形”、“相似四边形”……．
（2）我们前面学习过图形的全等，其实是相似的一个特例，全等图形是相似比为1的相似图形．等比性质的具体内容？
难易度：★★★★★
关键词：等比性质
答案：
如果
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=···=
( http: / / www.21cnjy.com )（b+d+···n≠0），那么
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
【举一反三】
典题：已知
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=k，求k值。
思路导引：由等比性质可直接求k值，对于含字母的分式问题要讨论分母是否为0.
标准答案：解：当x+y+z≠0时，由
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=k，得
( http: / / www.21cnjy.com )=k，所以k=2；当x+y+z=0时，x+y=-z，即k=
( http: / / www.21cnjy.com )=-1.古代文献中的相似三角形问题
古塔测高
有一座古塔，不知有多高，测得影长为11.3米。现将一长为0.8米的竹竿直立，使其影子的末端与塔影的末端重合，测得竹竿的影长为0.2米。求塔高。（图2）
这个例子源于古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的传说以及欧几里得《光学》中对物体高度的测量。
隔河测距
在A和B之间有一条河。在BA延长线上取一点C，作BC的垂线AD和CE，点D位于BE上。测得AC=5米，CE=3.3米，AD=3米。求AB之间的距离。
这个问题源于古希腊海伦《Dioptra》中的间接测量问题。
推求邑方
今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？
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1典型例题：平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例是相似三
( http: / / www.21cnjy.com )角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。
例1（1）已知，则
=

（2）如果，那么的值是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
分析
本考题主要考查比与代数式比的互换.
第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：
，整理后再转化成比的形式，便有
对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出，即，其比的比值为9，故选C，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.
例2、已知：1、
、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式
.
分析
这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、
、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从
可求出
，便有比例式
或
，从
，又能求出
，也得到比例式
等等.
例3
如下图，BD=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值.
分析
应设法在已知比例式BD：DC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线.
解
过D作DG∥CA交BF于G，
则
中点，DG∥AF，
例
4
如下图，AC∥BD，AD、BC相交
于E，EF∥BD，求证：
分析
待证式可变形为.依AC∥EF∥BD，可将线段的比例式与
化归为同一直线AB上的线段比而证得.
证明
AC∥EF∥BD，


.
说明
证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.
例5
、已知a、b、c均为非零的实数，且满足求
的值.
解
设
=k

则
三式相加，得
当
时，
有
时，则
，这时

原式=
例6
如下图，
中，D是AB上一点，E是
内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的处长线于F，CF与AB交于P，求证BF∥AE.
证明
DE∥AC，


∥
，
.

.

BF∥AE.生活中的位似图形
幻灯机
幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上。幻灯机的工作原理如图1，光源A就是位似中心，它发出的两条光线与幻灯片上图形的两点和银幕上图形的对应两点组成相似的△ABC和△ADE。如果给出某些量的数值，还可以计算其它量。
例如给出如图2的数据，可以计算出银幕上图案的高度。
解析：设DE=xcm，由题意，知
△ABC∽△ADE。根据相似三角形的性质，得。解得x=90（cm）。
照相机
照相机能够把大家美好的瞬间及时拍录下来，如图3
就是它的工作原理图。两条光线与相机透镜的交点A就是位似中心，底片上的点B、C和对应大树上的点E、D以及点A组成的
△ABC和△AED是相似三角形。
例如若底片BC的长度是3cm，底片与相机透镜的距离是4cm，大树高石15m，你能求出相机透镜与大树的距离吗？（答案：20cm）
小孔成像
小孔成像是光的直线传播中的典型现象。用一根蜡烛通过小孔成像的原理在暗箱里成一个倒立的像，如图4所示。小孔O是位似中心，两条光线AD和BC形成了两个相似三角形△OAB和△ODC。
例
在小孔成像问题中，
根据如图4所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的
（
）
（A）3倍.
（B）
（C）
（D）不知AB的长度，无法判断
解析：由图形知，△OAB和△ODC是位似图形，由位似图形的性质，知AB和CD的比是=，所以像CD的长是物AB长的，故选C。
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2如何综合应用相似三角形的性质与判定解题？
难易度：★★★
关键词：相似三角形
答案：
解决此类题目的一般思路是先运用相似三角形的判定证得两三角形相似，再依据相似三角形的性质证出等积式或比例式成立。
【举一反三】
典例：已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）DE·DC＝AE·BD．
思路引导：一般来讲，解决本题般思路是先运用相似三角形的判定证得两三角形相似，再依据相似三角形的性质证出等积式或比例式成立。
标准答案：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB，
∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD，
（2）∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，
∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，
∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB，
∴△ADE∽△CBD，
∴DE︰BD＝AE︰CD，∴DE·DC＝AE·BD．

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1
中国极育出版网
www.《探索三角形相似的条件》典型例题
例题1
已知：如图，在中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明．
例题2
如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．
例题3
从下面这些三角形中，选出相似的三角形．
例题4
格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．
例题5
根据下列各组条件，判定和是否相似，并说明理由：
（1）
．
（2）．
（3）．
例题6
如图，D点是的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在的边上，并且点D、点E和的一个顶点组成的小三角形与相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．
例题7．如图，在中，，，；在中，，，，试判断这两个三角形是否相似.
参考答案
例题1
分析
有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴，则可推出∽，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．
证明
，∴．
又平分，∴．
∴，且∽，∴，
∴，∴．
说明
（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式，或平方式，一般都是证明比例式，，或，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．
例题2
解答
（1）∽
两角相等；
（2）∽
两角相等；
（3）∽
两角相等；
（4）∽
两边成比例夹角相等；
（5）∽
两边成比例夹角相等；
（6）∽
两边成比例夹角相等．
例题3
解答
①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似
例题4
分析
这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．
解答
在格点中，所以，
又．所以．所以∽．
说明
遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．
例题5
解答
（1）因为
，
所以∽；
（2）因为，两个三角形中只有，另外两个角都不相等，所以与不相似；
（3）因为，所以相似于．
例题6
解答：
画法略．
例题7．错解
，
∴与不相似
正解
在与中，
又，
∴
∴∽
说明
判定两三角形是否相似，不能依图形的放置方向来考查，而应该按相似三角形的判定方法仔细判定，错解中没有将夹已知角的长边与长边相对应，显然是错误的.
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1黄金分割在实际生活中有哪些应用？
难易度：★★★★★
关键词：黄金分割-应用
答案：
人体上肢与身高的比近似等于0.618，看上去会更协调；一些建筑的宽和长按照黄金比来修建的。
【举一反三】
典题：在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的
( http: / / www.21cnjy.com )黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感．李老师脚底到肚脐的长度是0.97m，她的身高为1. 60 m，她应选择多高的高跟鞋看起来会更美？
思路导引：按照黄金比计算，注意在增加了脚底到肚脐的长度的同时人的整个身高在增加。
标准答案：解：设她应选择xm高跟鞋看起来会更美，根据题意，得

( http: / / www.21cnjy.com )=0.618
解得x≈0.049(m)
0.049m=4.9cm
所以，李老师应选择4.9cm的高跟鞋看起来会更美走进中考话相似
相似形的重要内容，也是各地中考命题的一个重要命题内容．近年各地的中考命题中就出现了许多关于这部分知识的考题，试题设计新颖、开放，背景公平，从不同的角度、多层面地考查了学生对这部分知识掌握的程度，现选取几例予以说明，以帮助大家了解这部分知识在中考中的考查情况、更好地学好这部分知识．
　　一、根据要求画相似图形
　　例1　（山西省实验区）如图1（1），平移方格中的图形，使点A平移到A′处，画出放大一倍后的图形．（所画图中线段必须借助直尺画直，并用阴影表示）
　　析解：本题首先明确将图形放大一倍，即要求画出相似比为2的相似图形，据此确定所画图形与原图形的对应线段的长度以确定各顶点的位置，再连接对应点即可画出符合要求的图形．如图１（2）所示．
　　二、与比例线段有关的计算问题
　　例2　（南京市）在比例尺为1∶40
000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm，它的实际长度约为（　　）
　　A．0.217
2km
B．2.172km
C．21.72km
D．217.2km
　　析解：根据成比例线段的定义可知，则由此求得实际长度为21.72km，故选C．
　　例3　（丽水市）已知，则_______．
　　析解：因，将已知代入该式，得　．
　　三、三角形相似的条件
　　例4　（福建省马尾区）如图2，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似．你添加的条件是________．
　　
析解：由图知∠A=∠A，若使△ADE与△ABC相似，根据相似三角形的判定定理知只需再添加∠AED=∠ACB或或∠ADE=∠ABC三条件之一即可．
　　四、相似形的性质
例5　（宁夏灵武市、山西曲沃县实验区）如图3，在等边三角形中，点D、E分别在AB、AC边上，如果△ADE∽△ABC，AD∶
AB=1∶
4，BC=8cm，那么△ADE的周长等于（　　）
　　A．2cm
B．3cm
C．6cm
D．12cm
析解：因△ABC为等边三角形，且BC=8cm，则△ABC的周长=24cm，又△ADE∽△ABC，根据相似形的性质可得△ADE与△ABC的周长之比=1∶4，则由此求得△ADE的周长=6cm．故选C．
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1国王的诏书
金字塔是古埃及国王为自己建造的巨大陵墓。塔基呈四方形，越往上去越狭窄，直到塔顶。从四面看，塔都像我国汉字的“金”字，因此，我国称为“金字塔”。
埃及金字塔建筑群，包括大大小小的金字塔七十多座。其中最大的一座金字塔是国王胡夫的陵墓，高一百四十六米半，底边每边各长二百三十多米，占地五万六千多平方米。全塔大约用了二百三十万块经过磨制的巨大石碑，平均每块大约重二吨半。这座大金字塔外观雄伟，裏面有结构复杂的墓室，是世界连筑史上的奇迹。在四千多年前条件极差的情况下，古埃及人就建造了这样博大壮观、均称优美、做工精细的巨型建筑，真令人赞叹！因而，有人怀疑：这些奇迹是不是“天外来客"
创造的？
我们深信古埃及人是靠了几何的力量，才完成这世界上罕有的巨大建筑的.
不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天数；周长乘以2，正是赤道的时分度；塔高乘以10九次方“，正是地球到太阳的距离；周长除以塔高的2倍，正是圆周率；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔裏放置的棺材内部尺寸，正好是几千年后希腊数学家毕达哥拉斯发现的毕达哥拉斯数。
两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的确实高度，于是，命令祭司们去丈量。可是，没有一个祭司知道该怎样测量，往这个问题面前，祭司们个个束手无策。显然，人是不可能爬到那麼高大的塔顶上去的；即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来测量呢？一时，金字塔的高度成了一个难题。国王一气之下，杀死了几个祭司；同时悬赏求解答。
有一个叫法圼斯的学者，看到国王的诏书后，决心解决这个难题。他想了好几个解题的方案，但都行千通。失败并没有使他灰心。法圼斯索性来到外面，一边踱步，一边思索解决的办法，以致撞到树上。于是，他转了个弯，又走下去。太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到哪里。这时，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？"
在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温暖，能帮助人们确定方向"法圼斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖着一个长长的影子，而中午每个物体的影子都很短…那麼，是不是有一个时刻，物体的影子就等于物体的高度呢？他自言自语起来。
想到这里，法圼斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起来。经过几天的观察、测量，法圼斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度。于是，他去测量好金字塔底边的长度，并把数据记下来。然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的诏书。国王得到“有人揭下招字"
的报告后，高兴万分，派人把法圼斯召进王官，盛情款待.一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行测塔仪式。测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法圼斯一起来到金字塔旁。看热闹的人黑压压一片，喧哗奢，拥挤著，他们等待著庄严的一刻到来.法圼斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注视著自己的影子。看看时间快到了，太阳光给每一个在场的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子。当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令。这时，助手们立即测出了金字塔的阴影CD的长。接著，法圼斯十分准确地算出了金字塔的高度，最后，他还把测量金字塔高度的秘密告诉大家。场上，发出一阵热烈的欢呼声.显然，法圼斯利用相似三角形的原理测得了塔高。在法圼斯以前，还没有人知道这个原理呢！法圼斯第一次发现、利用这个原理。在那个时代，这是一个伟大的创举！
在这个基础上，法圼斯进一步研究，得出一个法则：在任意两个对应角相等的三角形中，对应边的比率也相等。从而，找到了在任何季节,在任何时候都能测塔高的方法.
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1教你画位似图形
　　位似图形是特殊的相似图形，而位似图形的画法要比相似图形的画法容易，因此，相似多边形的画法通常是通过画位似多边形来进行替代.下面以四边形为例进行说明.
　　例　已知四边形ABCD，画四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD，且相似比为k（k>1）.
　　方法一：位似中心在图形内部.
　　如图1所示，（1）在四边形ABCD内部任取一点O；
　　（2）以点O为端点分别作射线OA、OB、OC、OD；
　　（3）分别在射线OA、OB、OC、OD上取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝k（k>1）；
　　（4）连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′.
　　则四边形A′B′C′D′即为所求作的四边形.
　　方法二：位似中心在图形外部.
　　如图2所示，（1）在四边形ABCD外部任取一点O；
　　（2）连接OA、OB、OC、OD；
（3）分别在OA、OB、OC、OD的反向延长线上取点A′、B
′、C
′、D
′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝k（k>1）；
　　（4）连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′.
　　则四边形A′B′C′D′即为所求作的四边形.
　　方法三：位似中心在图形的一边上.
　　如图3所示，（1）在四边形ABCD的边AB上任取一点O；
　　（2）分别延长OA、OB，连接OC、OD并延长；　
　　（3）分别在OA、OB、OC、OD的延长线上取点A′、B′、C′、D′使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝k（k>1）；
　　（4）连接B′C′、C′D′、D′A′.
　　则四边形A′B′C′D′即为所求作的四边形.
　　小结：综上所述，已知一个图形，画它的位似图形关键有两点：第一，确定位似中心；第二，确定位似比（即相似比）.若题中没有明确规定，则可以自由确定，其中位似中心可以是随意的点，位似比可以选择一个适当的数；若题中有限制条件，则根据要求进行，在确定位似比时，要注意的是已知原图与新图的相似比，还是已知新图与原图的相似比，以确定是将原图放大还是缩小.
跟踪训练　如图所示，请你作一个与△ABC位似的缩小图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为1∶2.
答案
作图略.
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1合比性质的具体内容？
难易度：★★★
关键词：合比性质
答案：
如果
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
【举一反三】
典题：已知
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )=＿＿。
思路导引：根据合比性质，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )。
标准答案：
( http: / / www.21cnjy.com ).如何解决求比值问题？
难易度：★★★★★
关键词：线段的比-求比值
答案：
此问题分为两类：（1）题中给出线段的长度
( http: / / www.21cnjy.com )，可直接求相对应线段的比值；（2）如果没有直接给出线段的长度，可利用一个未知量表示出其它未知量，再求比值。
【举一反三】
典题：已知三个不等于零的常数x、y、z，且x+2y-z=0,2x-3y+z=0,求x:y:z的值。
思路导引：根据已知条件列关于x、y、z的方程，用x表示出y、z，再确定x:y:z的值。
标准答案：由已知得
( http: / / www.21cnjy.com )解得y=3x，z=7x，所以x:y:z=x:3x:7x=1:3:7.相似三角形的性质用处多
　　学完了相似三角形后，同学们都知道，若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例、对应角相等.根据相似三角形的这两个性质，我们可以解决许多数学问题，现举例说明如下．
一、说明两个角相等
例1　如图，BD，CE是△ABC的高，试说明：∠AED=∠ACB.
分析：要说明∠AED=∠ACB，而∠AED和∠ACB分别在△ADE和△ABC中，从而可以考虑说明△ADE∽△ABC.因为∠A=∠A，则需要说明，要得到这个条件只需说明△ABD∽△ACE即可.
解：由已知可得∠ADB=∠AEC=90°，∠A=∠A，所以△ABD∽△ACE.
所以，即，
又∠A=∠A，所以△ADE∽△ABC.
所以∠AED=∠ACB.
跟踪训练1　如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的两点，且AE＝1
cm，AF=2
cm，EB=2
cm，FC=4
cm，试说明：∠AFE=∠C.
二、说明线段的积相等
例2　如图，在平行四边形ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F，试说明：AD·AB=AF·CE.
分析：要说明AD·AB=AF·CE，即说明，这时由 荀ABCD的对边相等，对边平行，既可以寻找到相似三角形，又可以找到等线段的代换，从而问题得以解决.
解：在
ABCD中，因为AB//DC，所以∠CDE=∠BFE=∠AFD.又∠A=∠C，所以△ECD∽△DAF.所以.又CD=AB，所以.所以AD·AB=AF·CE.
跟踪训练2　如图，∠ABC＝∠ADE，试说明：AB·AE＝AC·AD．
答案
1.解：因为，，所以.又因为∠EAF=∠BAC，所以△AEF∽△ABC.所以∠AFE=∠C.　
2．解：因为∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，所以△ABC∽△ADE.所以.所以AB·AE＝AC·AD.
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2平行线等分线段定理
一、知识点

1.
掌握平行线等分线段定理及其推论.

2.
会利用等分点作平行线，转化成与比例相关的问题.
二、例题分析
第一阶梯
[例1]已知：在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F.求证：BF=CF.
提示：

（1）由已知条件可得几个中点？有几条平行线？

（2）平行线等分线段定理及推论是如何叙述的？

（3）此题有几种方法证明？请比较一下其方法之间的联系？
参考答案：

证明：在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC.

∴E是AB的中点.

（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边）.

又∵EF∥AC，交BC于F.


∴F是BC的中点，即BF=FC.
说明：

（1）在三角形中，给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，可得出平行线与另一边的交点即是中点.

（2）此题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但麻烦.
[例2]求证在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.

已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC.求证：ED=EC.
提示：

（1）对一个命题进行证明，首先要分清什么？再根据题意如何？

（2）在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作什么样的辅助线即可得到另一腰的中点.

（3）请总结一下利用平行线等分线段定理及推论时所必备的条件和所得的结论分别是什么？
参考答案：

证明：过E点作EF∥BC交DC于F.

∵在梯形ABCD中，AD∥BC.

∴AD∥EF∥BC.

∵E是AB的中点.

∴F是DC的中点（经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰）.

∵∠ADC=90°

∴∠DFE=90°
∴EF⊥DC于F
又F是DC中点

∴EF是DC的垂直平分线

∴ED=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）.
说明：

（1）命题证明要正确的理解题意，按题意画出图形.再根据图形，写出已知和求证.

（2）此题作EF与DC垂直，证EF∥BC也可以.
第二阶梯
[例1]在□ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点.求证：AP=PQ=QC.
提示：

（1）图形中可以得到几条平行线？与结论有关的平行线分别在哪几个三角形中？被平行线所截线段的位置有何特殊关系？

（2）利用平行线和中点，可以得到三角形哪条边的中点？

（3）平行四边形在此题中的作用是什么？如果把平行四边形改成梯形，结论成立吗？若改成其它的特殊四边形呢？
参考答案：

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点.

∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形定平行四边形）

∴在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ.

∴P是AQ的中点
∴AP=PQ.

在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP.

∴Q是CP的中点.
∴CQ=PQ.

∴AP=PQ=QC.
说明：

（1）此题两次利用了E、F是中点的条件.

（2）在利用平行线等分线段定理或推论时要把平行和中点两个条件摆齐.
[例2]已知：△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证：AF=BF.
提示：

（1）
E点是DC边的中点吗？图形中E是什么点？直观上，你觉得图形
完善吗？

（2）
如何添加辅助线，使EF与某三角形的一边平行且E是其中一边的
中点？

（3）
在三角形中，一般的有角平分线的条件，就可以构选什么图形？
参考答案：

证明：延长AE交BC于M.
∵CD是∠ACB的平分线，AE⊥CE于E

∴在△AEC与△MEC中


∴△AEC≌△MEC

∴AE=EM

∴E是AM的中点，又在△ABM中FE∥BF.

∴点F是AB边的中点
∴AF=BF.
说明：

（1）一般情况下，几何图形应具有对称
( http: / / www.21cnjy.com )的内在美，当感觉上图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善此题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△AEC又不好用.所以延长AE与BC相交就势在必行了.

（2）在三角形中，若有角平分线可构造全等三角形，有一边上的中点，过这点可作平行线.

（3）△AEC与△MEC只能证全等后才能得到AE=EM，在此没有定理可用.
第三阶梯
[例1]已知：如图以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作□ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF=BF.
提示：

（1）梯形的上下两底具有什么性质？平行四边形的对角线有什么性质？

（2）如何添加辅助线，再结合条件平行四边形，得到某条线段的中点呢

（3）此题有几种构造三角形中点的方法？构造梯形可以吗？请试一试.
参考答案：

证明：连结AE交DC于O
∵四边形ACED是平行四边形

∴O是AE的中点（平行四边形对角线互相平分）.

∵梯形ABCD

∴DC∥AB

在△EAB中，OF∥AB
又O是AE的中点.

∴F是EB的中点
∴EF=BF.
说明：

（1）证题时，当一个条件有几个结论时要选择与其有关联的结论.

（2）此题可延长EC，在梯形ABCD内构造平行四边形或以AB、BE、AD的延长线为边构造梯形也可以得证.
[例2]梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，E为AB的中点.求证：△ECD为等边三角形.
提示：

（1）
由条件可知，CE是哪个特殊三角形的什么线段？为什么？∠2的度数是多少？

（2）
在梯形ABCD中，有AB边的中点E，如何添加辅线后，得到ED=EC？为什么？

（3）
此题不用平行线等分线段定理，还有别的方法吗？试一试.
参考答案：
证明：连结AC，过点E作EF∥AD交DE于F.

∵梯形ABCD
∴AD∥BC
∴AD∥EF∥BC.

又∵E是AB的中点，
∴F是DC的中点

（经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰）


∵DC⊥BC
∴EF⊥DC

∴ED=EC
（线段垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等）

∴△EDC为等腰三角形.

∵AB=BC
∠B=60°
∴△ABC是等边三角形

∴∠ACB=60°
又E是AB边中点
∴CE平分∠ACB

∴∠1=∠2=30°
∴∠DEF=30°

∴∠DEC=60°
又ED=EC

∴△DEC为等边三角形.
说明：

（1）一般在梯形中给出了一腰
( http: / / www.21cnjy.com )的中点，常添加的辅助线有①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE（或CE）与底边相交，构造全等三角形.

（2）此题不要AB=BC的条件，保留其它条件构造全等三角形也可得证不访试一试. 平行线分线段成比例的基本图形
在复杂的几何题中我们经常会遇到一些性质比较多的常见图形，在证题过程中起着举足轻重的作用，我们暂称它为基本图形。
（1）平行线分线段成比例的基本图形：
（2）分解平行线分线段成比例的基本图形的方法：
由一个比中出现的字母作为结点（为了便于理解，我们不妨将这些点命名为结点），观察包含结点的图形，找出基本图形（A和8字型）。如下图：
（3）常见的证明方法有：
①
(换比)
②
(换比
换线段)
③
(换比)
8字型
日字型
8字型
8字型
A字型小希帕蒂娅巧测金字塔的高度
希帕蒂娅和她的父亲都是古希腊著名的数学家．在父亲的悉心指导下，希帕蒂娅从小就对数学产生了浓厚的兴趣．10岁时小希帕蒂娅就已经掌握了很多算术和几何方面的数学理论，并能熟练地运用学过的知识解决实际问题．
有一天早晨，红日初升，她和父亲手拉手在草坪上悠闲地散步．走着走着，突然，小希帕蒂娅冒出一个问题：“爸爸，人的影子不就是物体挡住阳光形成的吗？它有什么用处呢？”
“问得好，我的希帕蒂娅．”父亲说，“你不是常想测量金字塔的高度吗？想想看，能不能让影子帮上忙呢？”
小希帕蒂娅陷入了沉思，她想了一会说：“方法简单，到中午时，让一个人立于太阳下，当人的影子等于人的身高时，测出金字塔从中心点起量的影长，就能测出金字塔的高度了．”
父亲高兴极了，夸奖她说：“你真是个爱问爱想的好孩子！不过还有更巧妙的方法．”
希帕蒂娅说：“我一定要用更巧妙的方法量一量金字塔的高度！我说到做到．”
骑马是希帕蒂娅最喜爱的运动．太阳偏西后，父女俩骑上马到了海边．夕阳西下，把世界万物的影子拉得很长很长．
“希帕蒂娅，看到影子了吗？”父亲问．女儿在他的东边骑马，这时，父女两人的影子重叠起来，两个影子最东点几乎和太阳正好对齐．
小希帕蒂娅高兴地叫起来：“爸爸，太阳和咱们的影子的头顶正好在一条直线上．看来，前两天刚学过的相似三角形对应边成比例的定理可以用上了．知道你和我影子的长度，又知道我骑在马上的高度，就能算出你骑在马上的高度，用同样的方法就能测出金字塔的高度！”
随后，希帕蒂娅利用太阳的影子、一根杆子与相似三角形对应边成比例的定理，成功地测出了金字塔的高度为146.5米．
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1黄金分割典例分析
黄金分割是成比例线段中既特殊又重要的内容，考查的重点是与黄金分割有关的计算和推理题．下面举例予以说明．
例1
如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，与的比叫做黄金比，其比值是（
）
A．
B．
C．
D．
分析:设AB=1,AC=x,则BC=1-x．根据定义可知解得x=．故选A．
评注:黄金分割是成比例线段的一个特例．一条线段的黄金分割点是指把一条线段分成两条线段,其中较长的线段是较段线段和全线段的比例中项．在解决这类问题时一般将等积式与比例式互化,黄金比的比值约为0．618,其在生活中有着广泛应用．
例2
为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图2是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0．01m，参考数据：≈1．414，≈1．732，≈2．236)是（
）．
A．0．62m
B．0．76m
C．1．24m
D．1．62m
分析：由题意知，B点是雕像的黄金分割点，所以
BC==1．236≈1．24m．故选C．
评注:黄金分割既是线段的比,成比例线段的应用,同时也蕴含着丰富的文化价值,是密切数学与现实生活之间联系的重要内容．如:人体肚脐以下高度与身高之比接近0．618;在探索最优生产方案时,人们常用的“优选法”中有“
0．618法”；在人体绘画、雕塑等方面艺术家多以这个比作为美学标准等．
例3
(08孝感)宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图3所示）：
第一步：作一个任意正方形ABCD；
第二步：分别取AD、BC的中点M、N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作交AD的延长线于F
，
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形，（可取AB=2）．
分析:欲证明矩形DCEF为黄金矩形,只需证明矩形DCEF的宽与长的比为,也就是证明,我们不妨设正方形ABCD的边长为2,于是NC=1,DC=2,根据勾股定理求DN,从而求得CE,于是的比值即可求出．
证明：在正方形ABCD中，取AB=2．
∵N为BC的中点，∴NC=．
在Rt△DNC中，
又∵NE=ND，∴CE=NE-NC=,,
故矩形DCEF为黄金矩形．
评注:
本题首先给出了“黄金矩形”的定义．然后通过作图提供的信息，理解这里面蕴涵的道理，将它迁移，则可以顺利地解决后面的问题．此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程,符合学生的认知规律,是中考的热点题目之一．
图1
A
小资料
雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度之比等于下部与全部的高度比，这一比值是黄金分割数。
图2
B
A
C
图3
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1位似中考直播厅
随着课标的实施和课标教材的推广，一大批体现新课标理念的试题悄悄的走进了各地的中考试题中，集中考察了同学们利用所学知识解决问题的能力，现以关于位似图形的中考题来加以说明，帮助同学们了解这部分知识的考试动态．
一．根据位似求比值
例1
（青海）如图1，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则与的面积比是（
）
A．
B．
C．
D．
解析:依题意得△DEF∽△ABC,,所以应选C．
例2
（湖北荆州）如图2，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，OD=OD′，则A′B′:AB为（
）
A．2:3
B．3:2
C．1:2
D．2:1
解析:因为位似一定相似，且位似比为OD:
OD′=1:2,所以五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′,所以A′B′:AB=2:1,故应选D．
二．确定位似中心
例3
（威海）如图3，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是点_______．
解析:在位似图形中,对应顶点的连线相交于一点，这一点叫做位似中心,所以连接HK和FN交于B点，所以其位似中心是点B．
三．作位似图形
例4
（宁夏回族自治区，有改动）如图4，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O、A、B均在格点上，且O是直角坐标系的原点，点A在轴上．以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△△OA1B1与△OAB对应线段的比为2：1，画出△OA1B1．（所画△与△OAB在原点两侧）．
解析:本题考查了同学们对位似图形的掌握，能够正确应用位似图形的概念画出位似图形．画位似图形时，关键是要抓住位似中心和位似比．
解:如图3，△就是△放大后的图象
．
H
E
F
M
N
K
A
B
C
D
图3
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1位似图形的概念、性质与画法教材分析
《相似》是初中数学“空间与图形”的重要内容，在生活中有着广泛的应用．《位似》作为本章的最后一节，是在学生已经掌握了相似的相关知识，积累了一定的图形研究方法的基础上进行探究的．《位似》就是具有特殊位置关系的相似，是对相似的纵深挖掘与提升，可以让学生进一步体会相似的应用价值和丰富内涵．
本节立足学生已有的生活经验，初步的数学活动经历以及掌握的有关几何内容，从相似多边形入手，通过将一个图形放大与缩小，引导学生观察这些图形的共同特点，从而归纳出位似图形的概念和简单特性，体现了研究几何问题的一般方法．对于图形的概念学习，尤其要注重概念的生成过程和基本含义，并且将图形的相似、位似与简单作图等内容巧妙地结合在一起，让学生进一步体会图形相似、位似的应用价值和丰富的内涵，有意识地培养学生积极的情感和态度，促进学生观察、操作、分析、概括等一般能力和审美意识的发展．
本节课的教学重点：位似图形的概念，位似图形的作图，以及位似与相似的关系．
本节课的教学难点：位似图形的准确作图，动手能力的落实．
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1
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www.知影长
求物高
一、影子全部在地面上
例1
如图1，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为
米.
分析：在同一时刻，物长与影长成正比，从而有，在由AC＝0.5米，DF＝15米，BC＝1.6米，可求得大楼的高度.
解：根据题意画出图形，如图1所示，因在同一时刻，物长与影长成正比，所以，即，解得EF＝48.
所以他所住楼房的高度为48米.
二、影子一部分在墙上
例1
小刚同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图2，他在某一时刻立1米长的标杆，测和它的影长是1.2米，同时他发现旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在教学楼的墙上，分别测得其长度是9.6米和2米，则学校旗杆的高度是
米.
分析：由于墙和地面是垂直的，阳光又是平行的，所以形成墙上的影子的哪部分物高和墙上的影长相等，因此只要求出在地面上形成影子的哪部分物高，再加上墙上的影长，就是旗杆的高度．
解：设旗杆在地面上的影长部分的物高为x米
则
，解得x=8
所以旗杆的高度是8+2=10米．
三、影子一部分在斜坡上
例2
如图3
小明想测理一棵大树AB的高度，发现大树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4m，BC=10m，CD和地面成45°角，且此时测得1m竖杆的影长是2m，求大树的高度是多少米？
分析：解此题的关健是设法求出当影子不落在斜坡上时的影长，故可延长AD交BC的延长线于F，于是问题转化为求BF的长．
解：延长AD交BC的延长线于F，
过D作DE⊥BF于E，
因为CD=4m，∠DCF=45°
所以CE=DE=
根据同一时刻影长与物高成正比，
所以，
所以
EF=2DE=
AB=BF=（BC+CE+EF）=（10++）≈9.24米
所以这棵树的高度是9.24米．
图３
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1黄金分割造就了美
和谐的音乐关键在于它的频率，舞台的设计关键在于它的中心。把二胡的千斤放在哪里，才会拉出最美妙的音乐呢？把舞台的中心放在何处，才会达到最佳的效果呢 这是艺术家们常考虑的问题。但是，数学家们告诉我们，只要你把它放在黄金分割点，就会达到你的目的了。真是太奇妙了，很多事情只要用到黄金分割就迎刃而解了。在建筑上，在美术上甚至在音乐上，它都体现了它的美妙之处。
五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星。在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金比的。正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。利用线段上的两黄金分割点，可作出正五角星、正五边形。
早在100多年以前，德国的心理学家弗希纳曾精心制作了各种比例的矩形，并且举行了一个“矩形展览”，邀请了许多朋友来参加，参观完了之后，让大家投票选出最美的矩形。最后被选出的四个矩形的比例分别是:5×8，8×13，13×21，21×34。经过计算，其宽与长的比值分别是:0.625，0.615，0.619，0.618。这些比值竟然都在0.618附近。事实上，大约在公元前500年，古希腊的毕达哥拉斯学派就对这个问题发生了兴趣。他们发现当长方形的宽与长的比例为0.618时，其形状最美。
黄金分割在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播得最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方：如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合适的配方或工艺条件。
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1线段的比
一、求比时单位不统一致错
例1　甲、乙两地的距离是300
km，而地图中两地的距离是2
cm，试问地图的比例尺是多少？
错解：地图的比例尺为2∶300=1∶150.
剖析：比例尺是图上距离与实际距
( http: / / www.21cnjy.com )离的比，在计算比时，应注意单位要统一.如果所给的单位不一致，应先统一单位，然后再求比.造成错解的原因是没有把单位统一.
正解：因为300
km=30000000
cm，所以此地图的比例尺为2∶30000000=1∶15000000.
跟踪训练1　在比例尺为1∶12000
( http: / / www.21cnjy.com )000的中华人民共和国地图上，量得济南至北京的直线距离是6.1
cm，则济南到北京的实际直线距离为____km.
二、判断线段是否成比例时不分大小致错
例2　已知四条线段a=3.5
cm，b=3.6
cm，c=4.2
cm，d=3
cm，试判断它们是否成比例线段.
错解：因为
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=1.4，
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以这四条线段不是成比例线段.
剖析：本题并没有问线段
( http: / / www.21cnjy.com )a，b，c，d是否成比例线段，而是问这四条线段是否成比例线段.解决问题时，应把这四条线段按从小到大的顺序排列好，然后再计算前两条线段长度的比与后两条线段长度的比.若两个比值相等，则它们是成比例线段；若不相等，则它们不是成比例线段.
正解：因为
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，即
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，所以这四条线段是成比例线段.
跟踪训练2　已知四条线段a=1.5
cm，b=2.8
cm，c=2
cm，d=2.1
cm，试判断它们是否成比例线段.
三、对比例的性质理解不透彻致错
例3　已知
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )=__________.
　　错解：根据比例的性质，得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
剖析：要分清楚比例的基本性质、合比性质和等比性质的区别，错解就是把它们混为一谈了，此题应该利用比例的基本性质来解.
正解：根据比例的基本性质，得ad=bc，即
( http: / / www.21cnjy.com )=1.
跟踪训练3　已知
( http: / / www.21cnjy.com )（b+d≠0），则
( http: / / www.21cnjy.com )＝_______．
答案
1.732　
2.是成比例线段　
3．
( http: / / www.21cnjy.com )相似图形与相似多边形重难点突破
相似图形的概念，相似多边形的概念与性质．
突破建议
本节课从现实世界中形状相同的物体谈起，然后把研究对象确定为形状相同的图形，接着再把研究对象聚焦到相似多边形．也就是说，是在让学生感受实物模型所具有的“形状相同的形象”的基础上，直接将相似图形定义为形状相同的图形，进而将相似图形特殊化为相似多边形，从相似多边形的概念出发得到相似多边形的性质．在整个教学过程中，教师应该帮助学生从已有的生活经验出发，结合所学数学知识，类比全等图形与全等多边形的知识进行合情推理，将概念和性质有机的结合在一起．
对于概念的理解，可以通过课本的练习题来深化．对于相似多边形的性质，教材上配备了一道应用相似多边形的性质求相似多边形中某些边角的例题，教师应引导学生观察图形，确定相似多边形的对应边与对应角，利用对应角相等和对应边成比例进行求解．
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www.测量物高的常用方法和原理
古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，测出了金字塔的高度，其所用方法是：在金字塔顶部的影子处立一根竹竿，借助太阳光线构成两个相似三角形，塔高与竿高之比等于两者影长之比，由此便可算出金字塔的高度.测量物体高度的方法究竟有哪些呢？本文试图作一简要归纳，供同学们参考：
方法一：利用太阳光的影子
测量示意图：如图1所示.
测量数据：标杆高DE，标杆影长EF，物体影长BC.
测量原理：因为太阳光AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE.
又因为∠B＝∠DEF＝90°，所以△ABC∽△DEF.
所以.
例1
阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为
m.
析解：设树高为m，则有，解得.
即这棵树的高度约为4.8m.
方法二：利用标杆
测量示意图：如图2所示.
测量数据：眼（E）与地面的距离EF，人（EF）与标杆（CD）的距离DF，人（EF）与物体（AB）的距离BF.
测量原理：因为CD∥AB，所以△AEG∽△CEH.所以.
所以AB＝AG＋EF.
其中DF＝FH，BF＝EG.
例2
如图3，学校的围墙外有一旗杆AB，甲在操场上的C处直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处，恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE=3m，乙的眼睛到地面的距离FE=1.5m，丙在C1处也直立3m高的竹竿C1D1，乙从处后退6m到E1处，恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量得C1E1=4m，求旗杆AB的高.
析解：设BG=x，GM=y，
由△FDM∽△FBG，可得，①
由△F1D1N∽△F1BG，可得，②
由①②联立方程组，解得
故旗杆的高为9+1.5=10.5（）.
方法三：利用镜子的反射
测量示意图：如图4所示.
测量数据：眼（D）到地面的距离DE，人（DE）与平面镜（C）的距离CE，平面镜（C）与物体的距离BC.
测量原理：因为∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠E＝90°，所以△ABC∽△DEC.所以.
例3
如图5是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（
）
A．6米
B．8米
C．18米
D．24米
析解：由△ABP∽△CDP，可得，即，解得CD=8.
故选B.
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3位似小知识
1定义
每组图形的对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。
如图，两个圆形的对应点o和o’和其半径所在的直线都经过S和S'，所以两个圆形是位似图形
2性质
位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于位似比。
3中心落点
位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
注意
1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
2、两个位似图形的位似中心有一个或两个（偶数边正多边形时，比如两个正方形如果位似，则有两个位似中心。）；
3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
4作图步骤
位似比，即位似图形的相似比，指的是要求画的新图形与参照的原图形的相似比
①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择（除非题目指明）；
②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；
③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个。（不推荐考试的时候这么做，时间或许不够）
5位似变换
把一个几何图形变换成与之位似的图形,叫做位似变换。物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心.
位似变换应用极为广泛，特别是可以证明三点共线等问题.
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1其道理何在
　　在耳熟能详的电视连续剧《亮剑》的一集中，八路军129师386旅新一团团长李云龙，要从敌人的阵地正面突围时，发现了鬼子的指挥所.于是，命令掷弹筒手王承柱打掉鬼子的指挥所.只见王承柱接到命令后，伸直右臂，大拇指竖起，闭上左眼，用右眼瞄了瞄，说“距离太远，不在射程之内”，并要求向前推进500米，结果用仅剩的两发炮弹将鬼子的指挥所摧毁.
　　在发射炮弹之前，王承柱将上述动作又重复了一次.想来大家已看明白，掷弹筒手这是在测量其所在地与鬼子指挥所之间的距离.这是战场上一种简单的手指测距方法.那么，其道理何在？因为剧中对测量过程只是一带而过，并不完整，所以，这里将测量过程介绍得再详细一点.具体方法如下：
　　将右臂向前伸直，竖起拇指，闭左眼，使右眼的视线沿拇指一侧对准目标左侧（基准点），头和手保持不动，现闭右眼，使左眼视线通过拇指的同一侧，并记住视线对准的实地某一点，然后目测目标左侧（基准点）至该点的宽度，将此宽度乘以10，即为站立点至目标的距离.
　　不难看出，这里利用了三角形相似的知识.如右图所示，A，B分别表示人的两眼，C，D分别表示目标左侧（基准点）和实地某一点，O为拇指的位置.两次分别从基准点和实地某一点射入人眼的光线COA和DOB、人的两眼的连线AB以及基准点和实地某一点的连线CD，构成两个三角形△OAB和△OCD.
　　很显然，△OAB∽△OCD，故有，即OC＝.而人的手臂的长度OA大约是人的两瞳孔的间隔AB的10倍，所以OC＝10CD.并且在实际测量中，OC远大于OA，所以AC≈OC≈10CD.
　　这种方法简便实用，据说是由我军炮兵战士在战争年代发明的，这充分显示了我军战士的聪明才智，也证实了“实践出真知”的哲理.
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1坐标平面搭台
位似图形唱戏
解决平面直角坐标系内的位似图形的问题，既要求理解和掌握位似图形的有关知识，又要有较强的数形结合能力.下面就以中考题为例分类说明.
一、求位似中心的坐标
例1
如图1，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是
.
析解：首先通过作对应点的连线找出位似中心，为此连接CF并延长交x轴于点P，则P点即为位似中心.
由点F、点C的坐标可知，OE=1,AB=2，OA=2，所以正方形OEFG和正方形ABCD的位似比为1∶2.所以PO∶PA=1∶2，即PA=2PO.因为PA=PO+OA=PO+2，所以PO+2=2PO.解得PO=2.所以P点坐标为（-2，0）.
评注：本题主要考查了位似图形的概念和性质.解题时应运用数形结合思想，将点的坐标转化为相关线段的长，再运用位似图形的知识加以解决.
二、求对应点的坐标
例2
如图2，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的坐标是（a，b），则点B的坐标是_______.
析解：作BM⊥x轴于点M、B′N⊥x轴于点N，则△CBM∽△C
B′N.所以MC∶NC=BM∶B′N=BC∶B′C.又由已知条件知，NC=a+1，BC∶B′C=1∶2，MC∶(a+1)
=1∶2.所以MC=，MO=+1=，BM=.所以点B的坐标为（，）.
评注：本题主要是运用位似图形和相似三角形的有关知识求点的坐标的问题.通过作辅助线构造出相似三角形是解题的关键.
三、画位似图形
例3
如图3，在方格纸中
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2,3），C（6，2），并求出点坐标；
（2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形；
（3）求的面积.
析解：（1）在方格纸上建立平面直角坐标系如图4所示，；
（2）作射线OA，在射线OA上取一点A′，使O
A′=2OA.同理可分别作出点B,C的对应点B′,C′.连接A′B′、B′C′、C′A′，则就是放大后的图形；
（3）因为S△ABC==4，所以S△A′B′C′=22
S△ABC=4×4=16.
评注：本题主要考查位似图形的作法，及相似图形的面积比等于相似比的平方的性质.已知位似中心，作已知图形的位似图形，通常有两种情况，即在位似中心的同侧或两侧，作图时必须明确这一点，而本题要求在同侧作图.
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1折纸问题中的数学
通过折纸活动，分析留在纸张上的折痕，我们能够揭示出大量几何的对象和性质：轴对称、中心对称、全等、相似形、比例及类似于几何分形结构的迭代
(在图案内不断地重复图案
)等几何性质。
折纸过程还能够体现出许多几何概念和规律，诸如正方形、矩形、直角三角形、梯形等几何形状，对角线、中点、垂直平分线等几何名称，全等、勾股定理等几何法则，内接、面积及其他一些几何代数的概念，这些鲜活的、可视的过程，给学生提供了弥补思维过程中的断缺部分，更能符合学生的认知习惯。
折纸可以探索二维和三维图形之间的关系。例如，一张正方形
(二维物体
)的纸张可以折成一个立方体
(三维物体
)。然后，将它摊开
,研究留在正方形纸上的折痕，正好体现了一个二维物体到三维物体，又回到二维的过程。
在缤纷多彩的折纸活动中，有很多数学活动值得研究。在这里，我们精选了其中的一些，展示如下：
（
1）从一个矩形式样的纸张
,折成一个正方形
(如图
2.2-15所示
)。
（
2）将一张正方形的纸沿着对角线对折
,变成四个全等的直角三角形
(如图
2.2-16所示
)。
（
3）找出正方形一条边的中点
(如图
2.2-17所示
)。
（
5）将一个正方形纸张折叠
,使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形
(如图
2.2-19所示
)
。
（
6）把一个正方形折成两半，那么，折痕将成为正方形两条相对边的垂直平分线
(如图
2.2-20所示
)
。
（
7）折出四面体
(按图
2.2-21所示的方法
)
。
（
8）折出正方体
(按图
2.2-22所示的方法
)
。
不仅如此，折纸还可以做出其他的一些重要内容，诸如黄金比等。
（
9）折出黄金分割比
图
2.2-24所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出
60°角的方法：
将一张矩形的纸沿两条较短的边（即宽）对折，折出这张矩形纸的平行于较长边的中线，再将这张纸铺平；用手捏住矩形的一个角，将同一条宽上的另一个顶点折向中线，使其刚好落在中线上，压平。
此时，左上角的
90°角就分成了三个
30°角。
利用图
2.2-24中的
60°角，借助于顶角为
60°的等腰三角形是正三角形，通过连续折叠四个正三角形，还可以做出正四面体。
其实，我们还可以像图
2.2-25这样以正方形的角或中心为顶点，折出
60°或
30°角。即，在正方形纸片
ABFE中，先将对边
AE、
BF重合，折出折痕
DG；如图
2.2-25所示，过顶点
A，将边
AB向上对折，使得
B点刚好落在折痕
DG上，记为
O点。此时，∠
BAO、∠
EAO依次是
60°角、
30°角。
（
11）将长方形纸片折成三等份大多数人将长方形纸片折成三等份的惯用方法是：
先从纸片的一边开始，估计地叠起纸片的三分之一；然后，将对边也折起来，根据三份是否重合来进行调整。
当然，这种折法蕴涵着朴素的极限思想；反复折叠中，一次比一次地更趋近三等份。
另外一种完全不同的折法是：
如图
2.2-26所示，先将整张纸片
ABCD的一条边
BC对折（使点
B、
C重合），找到其中点
E点；再折出整张纸片的对角线
AC，以及
E点与
D点的连线
ED，两条折痕相交于点
X；最后，过交点
X折叠纸片，使
DG重叠在
AG上、
CE重叠在
BE上。此时，则
DG即为
AG的三分之一。
利用边
BC与
AD平行以及
E点是中点可知⊿
CXE∽⊿
AXD，进而，
AG：
GD=AG：
PC=AX：
CX=AD：
CE=CB：
CE=2。显然，相似三角形的性质是这种折法的核心。
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