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中考正方形新题赏析
正方形是一种特殊的平行四边形，更是一种特殊的矩形和特殊的菱形.所以处理开放型问题相对而言是比较复杂的，而近年来中考又不断加大有关正方形问题的创新力度，所以求解时一定要充分运用所学知识，抓住有关正方形问题的本质特征.为了方便同学们学习，现以中考试题为例说明如下：
一、正方形的面积问题
例1（临安市）如图1，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（
）
A.2
　　　　
B.4
　　　　C.8
　　　
D.10
分析　要求图中阴影部分的面积，由于由剪到拼可知阴影部分的面积应是原正方形面积的四分之一，于是即求.
解　根据题意“小别墅”的图中阴影部分的面积应等于正方形面积的四分之一，而正方形的面积是16，所以阴影部分的面积应等于4.故应选B.
说明　本题的图形在操作过程中，虽然形状发生了改变，但是图形的面积却没有变化，抓住这一点问题就可以简洁求解.
二、直角三角形拼正方形问题
例2（烟台市）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图2所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a3＋b4的值为（　　）
A.35
　　　B.43
　　
C.89
　　D.97
分析　要求a3＋b4的值，由已知条件，利用勾股定理，结合方程的知识可以分别求出a、b.
解　因为直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，所以大正方形的边长由勾股定理，得c2＝a2+b2，小正方形的边长是a－b，
又因为大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，即c2＝a2+b2＝13，(a－b)2＝1，
所以ab＝6，消去b，得a4－13a2＝－36，配方，得(a2－)2＝.
即a＝3或2，所以b＝2或3，又较长直角边为a，较短直角边为b，
所以a＝3，
b＝2，所以a3＋b4＝43.故应选B.
说明　求解时一定要理解并图的意义，从中找出已知量与未知量之间的关系.
三、用正方形与矩形拼正方形问题
例3（烟台市）如图3，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张.用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为＿＿＿.
分析　16张卡片，拼成一个正方形，而边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，由此可知正方形的每边上应有4张，而且这个正方形的边长应为a+3b.
解　因为边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，而用这16张卡片拼成一个正方形，所以正方形的每边上应有4张，而且这个正方形的边长应为a+3b.但拼得的正方形的形式是不一样的，如图4就是其中的一种.
说明　这是一道结论开放型问题，只要符合题意且结论正确的都可以.
四、正方形的操作问题
例4（旅顺口区）如图5，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是如图6所示的（　　）
分析　要想知道展开后得到的图案是什么，可以依据题意，结合正方形的图形特征，发挥想象即可求解.
解　因为将正方形沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，就是说这个正方形上共有6个小圆，其中分成3组关于正方形的对角线即折痕对称，且1对圆在两个直角的顶点上，2对圆位于对角线即折痕的两侧.故应选C.
说明　这种图形的操作问题的求解一定要在灵活运用基础知识的同时，充分发挥想象，并能大胆地归纳与推断.
五、利用正方形探索规律问题
例5（江西省）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成如图7一列图案：
（1）第4个图案中有白色纸片＿＿＿张；
（2）第n个图案中有白色纸片＿＿＿张.
分析　要解答这两个问题，只要能求出第n个图案中有白色纸片的张数即可，由于第1个图案中有白色纸片1张，第2个图案中有白色纸片7张，第3个图案中有白色纸片10张，…，由此可以得到第n个图案中有白色纸片3n
+
1张，从而求解.
解　因为第1个图案中有白色纸片1张，第2个图案中有白色纸片7张，第3个图案中有白色纸片10张，…，所以可以得到第n个图案中有白色纸片3n+1张.于是（1）当n＝4时，3n+1＝13；（2）3n
+
1.
说明　这种利用几何图形探索规律型问题是近年各地中考的热点，同学们在求解时一定要通过认真的观察、归纳、猜想、验证，才能正确地获解.
图2
a
图4
b
a
b
图3
图5
图6
图7
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1正方形的定义是什么？正方形由哪些性质？
答案：

一组邻边相等的矩形叫做正方形；正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
【举一反三】

典题：菱形、矩形、正方形共同具有的性质是（
）
A、四个角都是直角；
B、四条边都相等；
C、对角线互相平分；
D、每条对角线平分一组对角。
思路导引：矩形和正方形的四个角都是直角，A错误；菱形和正方形的四条边都相等，B错误；菱形、矩形和正方形的对角线都互相平分，C错误；菱形和正方形的每条对角线平分一组对角，D错误。
标准答案：C。
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1
中国极育出版网
www.矩形图示法
应用矩形图表示题目的已知量和所求量，是帮助寻找解题线索的好办法。根据题意画出矩形，可以用矩形的长表示一种量，用矩形的宽表示另一种量，面积表示这两种量的积的关系。这样可以把抽象的数量关系变得具体形象，便于寻找解题线索。
例1：买来4分一张的邮票和8分一张的邮票共63张，总值为4元。求4分邮票8分邮票各多少张？
解：先画出矩形，把矩形的长作为总张数，宽作为8分邮票的票面额，而4分邮票的票面额相当于这矩形的宽的一半，把实际总值用斜线描出。然后观察图形进行分析。假如这63张邮票都是8分一张的，那么总钱数应该用整个矩形面积表示，而实际的总钱数为4元，即矩形面积中的阴影部分。空白部分是这两个总钱数的差，利用这个差就可以求出4分邮票的张数，随之，8分邮票的张数也可求出。
（1）4分邮票的张数：
（8×63-400）÷（8-4）=104÷4=26（张）
（2）8分邮票的张数：
63-26=37（张）
答：4分邮票26张，8分邮票37张。
例2：第一建筑工程公司建造甲、乙、丙三种不同规格的住房30单元，乙种住房的单元数是丙种住房的2倍。出租时，甲种每单元每月收32元，乙种每单元每月收24元，丙种每单元每月收18元。这三种住房每月租金总数为750元。求三种住房各多少单元？
解：先画出矩形，把矩形的长作为住房的单元数，宽作为每月每单元的租金数。注意乙种住房的单元数是丙种住房的2倍。把租金总数用斜线描出。然后观察图形进行分析。
假设这30单元都是甲种住房，那么每月房租总钱数应该用整个矩形面积表示，而实际每月租金总数为750元，即矩形面积中的阴影部分。空白部分是这两个总钱数的差，利用这个差就可以求出各种住房的单元数。
（1）假设30单元都是甲种住房，每月租金总数为：
32×30=960（元）
（2）实际租金数比960元少的钱数为：
960-750=210（元）
（3）丙种住房的单元数为：
210÷[（32-24）×2+（32-18）]
=210÷（16+14）
=210÷30=7（单元）
（4）乙种住房的单元数为：
7×2=14（单元）
（5）甲种住房的单元数为：
30-7-14=9（单元）
答：甲种住房9单元，乙种住房14单元，丙种住房7单元。
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1正方形解题的四大技巧
正方形的完美不仅在于它具有相等的角、相等的边、相等且相互垂直平分的对角线，而且它又是轴对称的图形，正因为如此,利用正方形的许多特殊的性质给我们解决许多问题带来了便利。
一、正方形求角度
例1：图⑴是三个并列排放、大小一样的正方形，
求∠1＋∠2＋∠3的度数。
析解：易知∠1=45°，
而∠2、∠3却不好求出，所以，
我们采取整体组合去求。
作正方形,如图⑵，把∠2、∠3
分别转移出去,易得
∠1＋∠2＋∠3=90°。
二、正方形内的旋转
例2.如图⑶，P是正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，
PC=3，试求∠APB的度数。
析解：将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与BC
重合，
得△EBP是等腰直角三角形,
易证△ABP≌△CBE，∴BP=BE=2，
∴PE=2，在△CPE中，易证CE2+PE2=PC2，
∴∠CEP=90°，
∴∠APB=∠CEB=∠PEB+∠PEC=90°+45°=135°。
三、正方形求面积
例3如图⑷，在△AEG中，∠EAG=45°，AF⊥EG于F，
GF=3，EF=2，求△AEG的面积。
析解：∵∠EAG=45°，AF⊥EG，分别将△AEF和△AGF以AE、AG为对称轴翻折180°，如图⑷，得ABCD是正方形，设AF=x，则CG=x－3，EC=x－2，在Rt△ECG中，由勾股定理得（x－3）2+（x－2）2=25，解得x=6，∴S△AEG=×（3+2）×6=15。
四、正方形内求最小值
例4如图⑸，已知在三角形ABC中,
AB=BC=8,
∠ABC=90°，E在BC边上，且BE=2，
D是AC边上一动点，求BD+DE的最小值。
析解：构造正方形AB′CB
∵求BD+DE的最小值，∵
E关于AC的对称点E′，
如图⑹，∵E′D=
ED
∴BD+DE=BD+
E′D即B
E′长
是最小值就可以,由两点之间,
线段最短可知,
B,D,
E′三点共线,
易求B
E′=10。
总之，同学们在解题时要拓展思维空间，灵活采用不同的方法，将题目中的已知条件转化为所熟悉的图形，从而能快速的解答。
1
2
3
A
B
C
D
E
F
M
N
图⑴
1
2
3
1
2
A
B
C
D
E
F
M
N
图⑵
A
B
C
D
P
E
图⑶
B
C
D
E
G
A
⑷
F
A
B
C
D
E
⑸
E′
A
B
C
B′
D
⑹
E
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1矩形的判定
判定一个四边形是矩形的根据有：
矩形定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
例1
已知：如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，求证：四边形EFGH是矩形．
分析：因为题设条件与四边形的对角线有关，因此考虑用矩形的判定定理2来证，即证EG=FH，四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E是OA的中点
∴OE=OA
同理OG=OC
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OC
∴OE=OG
同理OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
∵OE=AO，OG=OC
∴EG=OE+OG=AC
同理FH=BD
又AC=BD
∴EG=FH
∴四边形EFGH是矩形．
点评：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常采用矩形判定定理2证明，即证出这个四边形是平行四边形且对角线相等．
例2
已知：如图2，直线AB∥CD，EF和AB、CD分别相交于M、N两点，射线MP、MQ、NP、NQ分别是∠AMN、∠BMN、∠MNC、∠MND的平分线，MP、NP相交于P，MQ和NQ相交于Q，求证：四边形MPNQ是矩形．
分析：由题设条件，容易证出∠PMQ=90°，要证明四边形MPNQ是矩形，可以考虑根据矩形的定义，要证明四边形MPNQ是平行四边形，可考虑根据平行四边形的定义，证明它的两组对边分别平行，需∠1=∠2，∠3=∠4
证明：∵MP平分∠AMN
∴∠1=∠AMN
同理∠2=∠MND，∠4=∠BMN
∵AB∥CD
∴∠AMN=∠MND
∴∠1=∠2
∴PM∥NQ
同理NP∥MQ
∴四边形MPNQ是平行四边形
∵∠1+∠4=（∠AMN+∠BMN）=90°
∴四边形MPNQ是矩形
点评：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线无关，通常考虑用矩形的定义或判定定理1证明，若容易证出有三个直角，则用判定理1证明，若容易证出一个直角，则可根据矩形的定义证明．
A
B
C
D
E
F
H
G
O
图1
A
B
M
E
P
C
N
F
D
Q
1
4
2
3
图2
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1一个由数正方形引起的故事
课外小组辅导后,我布置了一道这样的练习:数一数,图中有几个正方形 有几个长方形 原来设想用下面第一个图,后来因为在电脑排版时出现了一些变动。原来的图变样了，成了下边第二幅图的模样。等我发现的时候，连图已经印好了。这是一道非常普通的练习，前几天已经做过了。所以我也就将错就错，让孩子带回家去做。
第二天到看了孩子们的作业情况,我惊呆了：全班38位同学竟有20多为写了有8个或几个不等的正方形，这里面有正方形吗？我暗自寻思着。显然图中并没有正方形。那究竟什么原因使这么多的孩子认为有正方形呢？是受了“有几个正方形”这句话的误导，还是受了书上题目思维定势的影响？还是其他一些原因呢？
带着这个疑问，我对认为图中有“正方形”的孩子作了个别访谈。记录如下：
师：图上明明化着长方形，你们怎么会当作正方形来书呢？
生1：妈妈问我：有几个正方形？我认为老师可能把图印错了，就当作正方形来数了。
生2：书上题目是正方形，我以为这道题是数上印出来的，也有正方形。
生3：我想老师本来是要印正方形的，但是却印错了。所以我就当正方形来数了。（好家伙！我的“心思“竟然被他猜得一清二楚。）
生4：妈妈说老师可能印错了，所以又把图重新给我画了一遍。
…………
通过访谈，我们可以找出几种比较有代表性的说法。
是受问题表述的影响，题目既然问了“有几个正方形“？图中就肯定有正方形。不敢打破常规，跳出题目的框框限制，没有从正方形的特征上去思考，却煞费苦心的找出了图中的正方形。学生的这种谨小慎微可要不得。
是孩子们受书上题目的影响，产生了思维定势。他们简单的把书上的方法搬到了这道题目当中，只看到问题的表面形式，题目看上去差不多，却没有真正理解问题的实质，不能从图形的特征上去判断。学生的机械想象同样需要防止。
是有的孩子甚至明明知道这里并没有正方形，但却妄自揣摩老师的意图。认为书上的题目有正方形，老师出的题目也应该有正方形，而违背图中的事实像模样数出几个正方形。孩字揣摩老师这种现象非常可怕，我们希望孩子们从小就树立一种实事求是，严谨治学的科学态度。而不是从小学会察颜观色，但凭大人的脸色行事。
根据上述分析，我认为在平时教学中，以下几个方面需要改进。
加强变式练习，增加练习的开放度，克服学生的思维定势。
重视学习方法的指导，不由就题论题，引导学生发现解规律，防止学生机械学系。
转变师生关系，建立民主、平等、和谐的课堂气氛。
培养学生实事求是的科学态度，树立敢于向书本挑战的勇于创新精神。
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1如何证明四边形是菱形
在菱形的学习中，经常遇到证明四边形是菱形的问题.解答它们，要注意利用如下的判定方法
1.一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2.四边相等的四边形是菱形；
3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
下面举例介绍，供参考.
例1（盐城市中考题）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证：四边形AFCE是菱形.
简析：由四边形AFCE的两条对角线互相垂直，那么要证明它是菱形，只要证明四边形AFCE是平行四边形.又AE∥CF，那么只要证明AE＝CF.
证明：在平行四边形ABCD中，
因为AE∥CF，
所以∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC.
因为EF垂直平分AC，
所以OA＝OC.
所以△OAE≌△OCF（AAS）.
所以AE＝CF.因为AE∥CF，
所以四边形AFCE是平行四边形.
因为EF⊥AC，
所以四边形AFCE是菱形.
例2（黄冈市中考题）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°,∠BAC＝60°,DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF＝CE.求证：四边形ACEF是菱形.
简析：若四边形ACEF是菱形，由∠BAC＝60°,容易推得△ACE和△AEF都是等边三角形.反过来，要证明四边形ACEF是菱形，可从证明△ACE和△AEF都是等边三角形入手.
这样，容易证明四边形ACEF是有一组邻边相等的平行四边形.
证明：由∠ACB＝90°,∠BAC＝60°,得∠B＝30°.
因为DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，
所以BE＝CE，∠ECB＝∠B＝30°.
所以∠ACE＝90°－∠ECB＝60°.
因为∠BAC＝60°,
所以△ACE是等边三角形，∠CEA＝60°,CE＝AE.
因为∠AEF＝∠BED＝
90°－∠B＝60°，
AF＝CE＝AE，
所以△AEF是等边三角形，∠EAF＝60°.
所以∠CEA
＝∠EAF，CE∥AF.
因为AF＝CE，
所以四边形ACEF是平行四边形.因为AC＝CE，
四边形ACEF是菱形.
例3（江西省）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点处，折痕DE交BC于点E，连结E.求证：四边形CDE是菱形；
简析：依题意，△CDE与△DE完全重合，即有CD＝D，CE＝E.要证明四边形CDE是菱形，可以考虑证明这个四边形的四条边都相等.
证明：由△CDE沿直线DE折叠能够与△DE重合，得△CDE≌△DE.
所以CD＝D，CE＝E，∠CDE＝∠DE.
因为AD∥BC，
所以∠CED＝∠DE.
所以∠CDE＝∠CED，CD＝CE.
所以CD＝D＝CE＝E.
所以四边形CDE的四条边都相等.
所以四边形CDE是菱形.
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1《矩形的性质与判定》学习要点
生活实例：工人师傅在做门窗或矩形零件时，首先测量两组对边的长度是否分别相等，其次再测量它的两条对角线是否相等，以确保所测图形是矩形．
问题：测量两组对边的长度分别相等，可以说明这个四边形是平行四边形，如果再测量它的对角线相等，则这个平行四边形是矩形，为什么呢？在平行四边形的前提下，再加一个什么条件即可判定这个图形是矩形呢？让我们一起来学习矩形．
一、认识矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
注意：矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．
二、掌握矩形的性质
（1）矩形具有平行四边形的所有性质．
（2）矩形的四个角都是直角．
（3）矩形的对角线互相平分且相等．
（4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴．
注意：利用矩形的性质可以证明线段的相等或倍分、证明直线的平行、证明角的相等等问题．
三、掌握矩形的判定方法
（1）根据定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
注意：①用定义来判定一个四边形是矩形要满足两条：一是有一个角是直角；二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件．
②用定理2证明一个四边形是矩形也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就是说：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．
③矩形的判定可以通过以下思路进行：
通过以上的学习，我们可以知道工人师傅前面的做法是符合矩形的判定方法的，由此可见，他作出的图形是矩形．
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1一个关于矩形的问题
阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.
如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.
(1)
仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2)
如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3)
若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些“友好矩形”的面积和周长的大小，不要求证明.
在课堂教学中，老师可以引导学生对各种图形进行定义的。这里如何将友好矩形的定义推广到友好平行四边形呢？
(1)若一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2)此时共有2个友好矩形，如图的BCAD，ABEF.易知，矩形BCAD，ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，即△ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3)此时共有3个友好矩形，如图的BCDE，CAFG及ABHK，其中矩形ABHK的周长最小.类似于（2）可知，这三个矩形的面积相等；而通过测量等，可以发现，矩形ABHK的周长最小，矩形BCDE的周长最大.
一个问题，有几个符合条件的图形，这时我们要习惯于研究这些不同图形之间的联系与差别，这也是数学研究的一个好习惯。当然，第3问没有要求我们证明，如果感兴趣的同学，也可以尝试证明一下。
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1
-矩形对角线性质的妙用
我们都熟悉矩形对角线的性质：矩形的对角线相等且互相平分，下面我们来欣赏这一简单性质的妙用．
一、利用矩形的对角线相等
例1．如图1，点A、D、G、M在半圆O上,四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形.设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（
）
A．a＞b＞c
B．a=b=c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
分析：分别作出三个矩形的另一条对角线OM、OD、OA，
因为它们是同圆的半径，再由矩形对角线相等，问题就可以解决了．
解：连接OM、OD、OA，则OM=OD=OA，又由矩形对角线相等得：OM=NH，OD=EF，OA=BC，所以BC=a=EF=b=NH=c，故选B．
点评：本题的线段比较多，图形也较复杂不易梳理，只要牢牢抓住“矩形对角线相等”，问题就可以解决了．
二、利用矩形的对角线互相平分
例2．如图2，已知，点在边上，四边形是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出的平分线（请保留画图痕迹）．
分析：本题要求只用无刻度的直尺作出角平分线，图中有矩形，只有借助
矩形的性质，这就要抓住矩形对角线的性质．
解：连接AB、EF且交于C，作射线OC，则射线OC即为
∠AOB的平分线（如图3）．
理由如下：因为矩形对角线互相平分，所以CA=CB，
又因为OA=OB，OC=OC，所以△AOC≌△BOC，所以∠AOC=∠BOC，
即射线OC是∠AOB的平分线．
点评：本题构思新颖，设计巧妙，把尺规作图与几何说理结合起来，考查
了同学们的综合运用知识解决新问题的能力．
三、矩形的对角线相等且互相平分
例3．如图4，在矩形ABCD中，AB3，AD4，点P在AD
上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（　　）
A．　　B．　　C．　　
D．
分析：要求PE+PF的值，立马联想到等腰三角形底上任一点到两腰的距离
和等于一腰上的高的结论，就要用到矩形的对角线的性质．
解：连接OP，过D作DG⊥AC于G，在Rt△ACD中，因为AB3，AD4，
由勾股定理得：AC=5，再由面积公式得：ADCD=DGAC，所以DG=，
由矩形对角线相等得：OA=OD，又因为S△APO+S△DPO=S△AOD，由面积公式得：
OAPE+ODPF=OADG，即PE+PF=DG=，故选B．
点评：本题虽然是一道简单的选择题，但它考查的知识点比较多，考生必须具有比较扎实的基本功和灵活运用知识的能力才能解决．
图1
图2
图3
C
图4
A
D
B
C
E
F
P
O
G
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1矩形、菱形、正方形错例辨析
在初学矩形、菱形、正方形这部分内容时，由于对这几个图形的性质和判定掌握不够好，常出现这样或那样的错误，现举例辨析，供学习时参考．
例1　两条对角线相等的四边形是（　　）
A．平行四边形　　　　B．菱形
C．矩形　　　　　　　D．不能确定
错解：选C．
辨析：两条对角线相等的图形不一定是矩形，如图1，可以是不规则的四边形，图中对角线AC=BD．
正解：选D．
例2　对角线_____________的四边形是菱形．
错解：互相垂直．
辨析：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如图2就不是菱形，应强调垂直且互相平分．
正解：垂直且互相平分．
例3　正方形ABCD中，两条对角线的交点为O，∠BAC的平分线交BD于E，若正方形的边长是2cm，则DE的长是（　　）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．cm
错解：选D．
辨析：如图3，把E当作OB的中点，这样由勾股定理可以算出（cm），（cm），这是错误的．
本题应先推出∠DAE=∠DEA（∠EAD=∠OAD+∠OAE=67.5°=∠OBA+∠BAE=∠DEA），所以△DAE是等腰三角形，DE=DA=2cm．
正解：选B．
例4　矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形吗？为什么？
错解：不是正方形．因为只能判定四个角是直角，不能判定四边相等，所以是矩形而不是正方形．
辨析：错解的原因是对概念掌握的不好．本题的条件不但能判定四个角是直角，还能判定四边相等，如图4．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°．
∴∠1=∠2=
∠DAB=45°，∠3=∠4=
∠ABC=45°．
∴∠MEN=∠AEB=90°．
同理∠N=∠M=90°．
∴四边形EMFN是矩形．
∵∠1=∠3，∴
AE=BE．
∵∠2=∠4，AD=BC，
∴Rt△AMD≌Rt△BNC．
∴
AM=BN．
∴
EM=AM-AE=BN-BE=EN．
∴四边形EMFN是正方形．
正解：是正方形．证明过程如上．
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1活用菱形性质
解决计算问题
菱形是一种特殊的平行四边形,它具有四边相等,对角线互相垂直并平分一组对角等性质,和菱形有关的计算问题主要设计以下几个方面.
一.应用性质求周长
例1
（云南）菱形的两条对角线的长分别是6和8
，则这个菱形的周长是（
）
A．24
B．20
C．10
D．5
解析:菱形的两条对角线长分别是6和8,对角线的一半分别是3和4,它们和菱形的斜边组成直角三角形,根据勾股定理得斜边为5,所以菱形的周长为20.故应选B.
例2
（山东临沂）如图1，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（
）
A．
B．
C．
D．3
解析:本题考查了菱形的有关性质、勾股定理、等腰三角形、等边三角形以及三角形全等等知识，题目不是很难，但综合性较强.连接AC.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC.又因为∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形.因为E是BC的中点,所以AE⊥BC.同理，AF⊥CD.易证得△ABE≌△ADE，所以AE=AF.因为AB∥CD，∠B＝60°，所以∠C=120°.又因为CE=CF，所以∠CEF=30°，所以∠AEF=60°，所以△AEF是等边三角形.由勾股定理得AE=，所以△AEF的周长为3.故应选B.
二.应用性质求面积
例3
（湖南长沙）如图2，在□ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.
分析:本题主要考查菱形的性质和面积的计算.
两三角形全等的条件由平行四边形的性质和中点定义提供.
若四边形AECF为菱形,则AE=EC=BE=AB,于是△ABE为边长为2的等边三角形,根据等边三角形的性质和勾股定理计算△ABE的高,从而求得菱形的面积.
解:（1）由□ABCD知AB=CD,∠B=∠D,AD=BC,
∵E、F分别是BC、AD的中点,∴BE=DF,
∴△ABE≌△CDF.
（2）当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形，
四边形ABCD的高为，
∴菱形AECF的面积为2．
三.应用性质求两点间距离
例4
（永州）
如图3,△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB
⑴求证：四边形EFCD是菱形；
⑵设CD＝4，求D、F两点间的距离．
分析:
（1）考查菱形的判定.判定菱形可以从四条边相等来判定;可以从有一组邻边相等的平行四边形来判定;可以从对角线互相垂直平分的四边形来判定;也可以从对角线互相垂直的平行四边形来判定.方法较多.（2）考查等边三角形的性质和勾股定理的应用.要求DF,先连接DF,根据菱形对角线的性质,知CE垂直平分DF,而DF的一半恰是等边三角形的高,用勾股定理求出高,即可.
解：⑴证明：与都是等边三角形
又
四边形EFCD是平行四边形，又
ED=CD,
四边形是菱形.
⑵解：连结，与相交于点
由，可知
图1
A
B
C
D
E
F
图2
图3
G
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1利用正方形的性质探索线段的数量关系
正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多的线段之间的关系，历年中考题总会出现有关利用正方形的性质探索线段的数量关系问题，求解时只要我们能充分利用正方形的特性，结合图形大胆的探索、归纳、验证即可使问题获解.
例1如图1，四边形ABCD是正方形,
点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.
（1）
求证：DE－BF
=
EF.
（2）
当点G为BC边中点时,
试探究线段EF与GF之间的数量关系，
并说明理由.
（3）
若点G为CB延长线上一点，其余条件不变.请你在图2中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）.
分析：（1）考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质，找出图中全等的直角三角形，得两线段的差等于某条线段，（2）利用相似找三角形的性质，然后根据对应边成比例来到处两线段的倍数关系，从而使问题获解.
证明：（1）
∵
四边形ABCD
是正方形,
BF⊥AG
,
DE⊥AG
∴
DA=AB，
∠BAF
+
∠DAE
=
∠DAE
+
∠ADE
=
90°
∴
∠BAF
=
∠ADE
∴
△ABF
≌
△DAE
∴
BF
=
AE
,
AF
=
DE
∴
DE－BF
=
AF－AE
=
EF
（2）EF
=
2FG
理由如下：
∵
AB⊥BC
,
BF⊥AG
,
AB
=2
BG
∴
△AFB
∽△BFG
∽△ABG
∴
∴
AF
=
2BF
,
BF
=
2
FG
由（1）知,
AE
=
BF，∴
EF
=
BF
=
2
FG
（3）
如图3
DE
+
BF
=
EF
评注：正方形是有一个角是直角的菱形；正方形又是对角线相互垂直的矩形；正方形是中心对称对称图形，也是轴对称图形.正方形的对角线分其四个全等的等腰直角三角形.
例2已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG.
（1）求证：EG=CG；
（2）将图4中△BEF绕B点逆时针旋转45 ，如图5所示，取DF中点G，连接EG，CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（3）将图4中△BEF绕B点旋转任意角度，如图6所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
分析：要猜想EG与CG之间的大小关系，由正方形的图形特征，可以先证CG=
FD，进而可以利用G为DF中点的知识或全等三角形的知识即可验证.
解：（1）证明：在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，
∴
CG=
FD.
同理，在Rt△DEF中，
EG=
FD.
∴
CG=EG.
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG.
证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点.
在△DAG与△DCG中，
∵
AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴
△DAG≌△DCG.
∴
AG=CG.
在△DMG与△FNG中，
∵
∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴
△DMG≌△FNG.
∴
MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN.
在Rt△AMG
与Rt△ENG中，
∵
AM=EN，
MG=NG，
∴
△AMG≌△ENG.
∴
AG=EG.
∴
EG=CG.
（3）（1）中的结论仍然成立，
即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.
评注：求解本题中的问题一定要根据图形的特征，从中找到求解的最佳突破口.要说明两条线段的关系应分别从数量和位置两个方面去考虑，否则就有可能出现错误.
F
B
A
C
E
图6
D
F
B
A
D
C
E
G
图5
F
B
A
D
C
E
G
图4
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1实际问题中矩形的判定
除了根据定义外，还可以用矩形的判定方法判定一个四边形是否是矩形.在实际问题中，也经常用到矩形的判定.请看几例.
例1
如图1，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为矩形（图2供设计备用）.
分析：本题是一道方案设计型新颖的实际问题，要检验四边形ABCD是否为矩形，根据已知工具，只能测量长度.可能从矩形的判定方法选择测量方案.如测量四边形的边长或对角线的长，然后借助矩形的判定方法进行判定.也可以构造三角形，通过测量三边长度判断四边形三个内角的度数，根据三个角是直角的四边形是矩形来判断四边形ABCD是否为矩形.
解：下面提供几种测量方案：
图1
图2
①用卷尺分别比较AB与CD，AD与BC的长度，当AB=CD，且AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形；否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形.
②当四边形ABCD是平行四边形时，用卷尺比较对角线AC与BD的长度.当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；否则四边形ABCD不是矩形.
③先测量两邻边的长以及对角线的长，然后用勾股定理逆定理测量一个角是否为直角，再用同样的方法再测量另外两个角是否也为直角.若四边形ABCD中有三个角是直角，则四边形ABCD是矩形，否则四边形ABCD不是矩形.
④先测量四边形ABCD是否为平行四边形，再用勾股定理逆定理测量其中一个角是否为直角，若四边形ABCD是平行四边形，且有一个角是直角，则四边形ABCD是平行四边形，否则，四边形ABCD不是平行四边形.
例2
农村家庭建房打地基时，不像城市盖大楼有专门的仪器放样，他们往往采用土办法，先用绳子拉成四边形，分别量出房基的长a和宽b（如图3），但还要一道重要的工序，才能保证房基是矩形，你能根据所学知识说出这道工序吗？请说明理由.
图3
分析：判断一个四边形是否是矩形时，在无法根据矩形定义判定时，可先根据它是否是平行四边形，然后再根据判定方法判定是否是矩形.
解：由两组对边分别相等，可知图1是平行四边形，然后重要的一道工序应该是使对角线相等或使任意一个角是直角.因为对角线相等的平行四边形是矩形或一个角为直角的平行四边形是矩形.
例3
工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴
先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图4①），使AB=CD，EF=GH；
⑵
摆放成如图4②的四边形，则这时窗框的形状是
形，根据的数学道理是：
；
⑶
将直角尺靠紧窗框的一个角（如图4③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4④），说明窗框合格，这时窗框是
形，根据的数学道理是：
①
②
③
④
图4
分析：本题是以实际问题为背景，设计的一道考查特殊四边形性质的问题.将特殊四边形的有关性质与具体的实际问题相结合，使得考题具有创新性.
解：根据已知条件AB=CD，EF=GH，当摆成图4②时，所得到的图形是平行四边形.根据是两组对边相等的四边形是平行四边形.
如图4
④，这时说明平行四边形有一个角是直角，其它的三个角也可知是直角，这时四边形是矩形，根据：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
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1什么是菱形？
答案：

一组邻边相等的平行四边形是菱形。
【举一反三】
典题：菱形的一条对角线与边长相等，则这个菱形的内角分别是＿＿＿＿＿＿。
思路导引：菱形的一组邻边相等，所以四条边都相等，对角线与两邻边组成的三角形是等边三角形，所以菱形的一个内角为60°，其它三个内角为120°，60°，120°。
标准答案：60°，120°，60°，120°。
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1
中国极育出版网
www.菱形探索创新题举例
探索型创新题是近几年中考的一个亮点，它主要考查学生的观察、分析、归纳、比较、推理等方面的能力，设计新颖，形式多样，现以菱形为例加以说明．
一、条件探索型
例1　在△ABC中，ABAC，D是BC上一点，DE//CA交AB于点E，DF//BA交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加条件（　　）
A、AD⊥BC
B、∠BAD=∠CAD　　　
C、BD=DC
　
D
、AD=BD
析解：这类题目中的条件不完善，需从结论入手，探索条件，补充和完善条件，使结论成立．如图由DE//CA，DF//BA，知四边形AEDF为平行四边形．要使四边形AEDF为菱形，必须AE=DE，故需添加条件∠BAD=∠CAD
可易知AE=DE故应选B．
二、结论探索型
例2　用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（　　）
A、等腰梯形
B、正方形
C、矩形
D、菱形
析解：这类题目是条件己具备，由这些条件推出的结论末确定，需要依据条件去探索从而确定结论．因为边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形的四条边都相等，而四条边都相等的四边形可能是菱形或正方形，又因所拼成的四边形的内角只可能是6或12，故所拼四边形不可能是正方形，只能是菱形，故应选D
三、条件和结论都需要探索型
例3　如图四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF，请以F为一端点，和图中己标字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中己有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）
连结
猜想=
证明：
析解：这类题目中的条件或结论都不完善，不确定，需要去补充条件，猜想并确确由这些条得出结论，并进行说理证明．（1）连结AF（2）猜想：AE=AF（3）证明：由四边形ABCD是菱形，知AB=AD，∠1=∠2，得∠ABF=∠ADE，又DE=BF，故△ADE≌△ABF即AE=AF．
四、阅读理解探索型创新题
例4　先阅读下面题目及解题过程再根据要求回答问题：
己知如图在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线BC交于E，∠ABD的平分线交AD于F，AE，BF相交于0，则四边形ABEF为菱形，说明理由．
理由：（1）因为四边形ABCD为平行四边形，
（2）所以AD//BC
（3）所以∠ABE+∠BAF=18
（4）因为AE，BF分别是∠BAD，∠ABC的平分线
（5）所以∠1=∠2=∠BAF，∠3=∠4=∠ABE
（6）所以∠1+∠3=（∠BAF+∠ABE）==9
（7）所以∠AOB=
（8）所以AE⊥BF
（9）所以四边形ABEF是菱形
问：（1）上述理由是否充分？回答：
（2）如有错误，指出其错误的原因是
应在第
步后添加如下说理过程
析解：这是一通纠错探索型阅读题．关注知识形成过程，考查阅读、分析能力，通过阅读再现菱形的判定方法，在分析过程中培养作题的主动性．（1）不充分（2）错误的原因是设有说明四边形ABEF是否为平行四边形，而仅靠对角线互相垂直，不足以说明其为菱形，（8）又在△ABE中∠3=∠4，BO⊥AE所以OA=OE，同理可得OB=OF．
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1注意知识间联系　巧学正方形判定
在学习正方形的判定时，很多同学对正方形的判定感觉无从下手，更有甚者，将判定方法死记硬背，结果背的很“熟”，但真正用起来时还是不会．其实，正方形的判定这一小节是前面几节课的小结，只要将知识间的联系弄明白了，问题也就迎刃而解了．
一、知识结构图
只要在头脑中构建出了良好的知识结构图，相信这部分内容对你来说已不在话下了．
二、练习广角
1．下列命题中：①如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形；②如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形；③两条对角线互相垂直且相等的四边形一定是正方形；④四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形．其中，真命题有___________个．
2．已知：点E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边的中点．
问：四边形EFGH是什么样的图形？
若将条件改为：AE=BF=CG=DH，如下图，结论还成立吗？
若将正方形ABCD改为矩形，结论还成立吗？
3．在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．要使四边形CEDF是正方形需添加什么条件？并说明你的理由．
答案与提示：
1．3．（①②④是真命题．）
2．四边形EFGH是正方形；
若将条件改为（易证△EFH、△FGE、△GHF、△HEG是全等的等腰直角三角形，从而结论也就得出来了）：AE=BF=CG=DH，结论还成立；
若将正方形ABCD改为矩形，结论不成立，所得四边形是菱形．
3．∠ACB＝90°．（由∠ACB＝90°、DE⊥BC、DF⊥AC可证明四边形CEDF是矩形，而后根据角平分线的性质得DE＝DF，从而证明结论成立．）
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1《菱形的性质与判定》例题精讲与同步练习
【重点、难点】
重点：
1．菱形的概念。
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
2．菱形的性质：
①菱形的四条边相等；
②菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分菱形的一组对角；
③菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半。
3．菱形的判定定理：
①四条边相等的四边形是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
难点：运用菱形的性质定理和判定定理解相关问题。
【讲一讲】
几何：
例1：已知：在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，求证：AE=AF。
分析：由菱形的性质可以知道AB=AD=BC=CD，又E、F分别为中点，则BE=DF。另有∠B=∠D，这样通过全等三角形可以求证AE=AF
证明：∵ABCD为菱形，
∴AB=AD
BC=CD
∠B=∠D
∵E、F分别为BC、CD的中点
∴BE=DF
∵在△ABE与△ADF中
∴△ABE≌△ADF
∴AE=AF
例2：已知：矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。
求证：四边形AFCE是菱形。
分析：由EF为AC的垂直平分线有AE=EC，AF=FC，若证AFCE为菱形，只须证AE=FC，通过已知ABCD为矩形，利用矩形的性质可以证明△AOE与△COF全等。从而得到AE=CF。
证明：∵ABCD为矩形，
∴AD∥BC
∴∠1=∠2。
∵EF为AC的垂直平分线
∴AO=CO
在△AOE与△COF中
∴△AOE≌△COF
∴AE=FC
∵ABCD为矩形，
∴AD∥BC
即AE∥FC
∴四边形AFCE为平行四边形
∵EF是AC的垂直平分线
∴EF⊥AC
∴AFCE为菱形。
例3：已知：如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的角平分线交AC于D，AH⊥BC于H，交BD于E，DF⊥BC于F。
求证：AEFD为菱形。
分析：利用角平分线的性质可以证明AD=DF。
由角平分线可得∠ADB=∠BEH，
从而得到∠1=∠ADE，即AE=AD，
又可证明AE∥DF，所以由“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可以证明结论。
证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ADB+∠ABD=90°
∵AH⊥BC于H
∴∠2+∠DBF=90°
∵∠1=∠2
∴∠1+∠DBF=90°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBF，
∠ADB=∠1
∴AE=AD
∵BD平分∠ABC，
∠BAC=90°
DF⊥BC于F
∴AD=FD
AE=FD
∵AH⊥BC于H，
DF⊥BC于F
∴AH∥DF，即
AE∥FD
∴AEFD为平行四边形
∴AE=AD
∴AEFD为菱形
【同步达纲练习】
1．已知：平行四边形ABCD中，AC和BD交于O，EF过O点交AD于E，交BC于F，HG过O点交AB于H，交CD于G。
如果EF平分∠AOD，HG平分∠AOB
求证：EHFG为菱形
2．已知菱形ABCD的对角线AC长为16，BD长为12
求它的面积。边长AB及高。
3．已知菱形对角线BD=4，∠BAD：∠ADC=1：2，
求：菱形面积及对角线AC的长。
4．如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥DB。DE与CE相交于E
求证：四边形OCED为菱形。
5．求证：菱形四边中点连线组成的图形为矩形
6．求证：矩形四边中点连线组成的图形为菱形。
参考答案
【同步达纲练习】
1．∵OE平分∠AOD
∴
∵OH平分∠AOB
∴
∵∠AOD+∠AOB=180°
∴即HG⊥EF。
∵ABCD为平行四边形∴OA=OC
BO=OD
AD∥BC
AB∥CD
∴∠DAO=∠BCO
∠ABO=∠ODC
∴△AOE≌△OCF，△BHO≌△ODG
∴OE=OF
OH=OG
∴HFGE为菱形。
2．∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD
OA=OC
OD=OB
又∵AC=16
BD=12
∴OD=6
AO=8
∴
∴AB=10
∵
∴
3．∵ABCD为菱形∴AB∥CD
∴∠BAD+∠ADC=180°∵∠BAD：∠ADC=1：2
∴∠BAD=60°
∠ADC=120°
∵AC⊥BD
OA=OC
OB=OD
BD=4
∴OB=2，又∠BAO=∠DAO=30°
∴
AB=4
∴
∴
4．∵DE∥AC
∴DE∥OC
同理CE∥OD
∴OCED为平行四边形
∵ABCD为矩形
AC、BD相交于O
∴OA=OC
OD=OB且AC=BD
∴OD=OC
∴OCED为菱形。
5．
证明：连结AC、BD相交于O
∴
∴
EF∥BD
又∵ABCD为菱形
∴AC⊥BD
∴EF⊥GF
∴EFGH为矩形。
6．
证明：连结AC、BD
∵ABCD为矩形，∴AC=BD
∵E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD中点，
∴
∴EF=FG=GH=EH
∴EFGH为菱形。
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1认识正方形
平行四边形——这是一个漂亮和有用的图形，它使我们记起重量单位，事实上与重量单位一点没有关系。作两对平行直线，如图1考虑这样形成的四边形。它的边成对平行：，。这种四边形称做平行四边形。
图1
图2
在图2上画着各种不同的平行四边形。是的，是的，不要奇怪，连菱形、矩形和正方形都是平行四边形。它们是带有某些补充性质的平行四边形。
菱形——这是一个所有边都相等的平行四边形。
矩形——这是一个所有角都是直角的平行四边形。
那么事实上矩形是不是平行四边形呢？和对不对（图3）？
图3
我们回忆一下三条垂直的直线的性质（94页）。它说，在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线彼此平行。在矩形中，，，这就是说，。而角与也都是直角，也即，．于是就有。由此得到，矩形的边成对平行。因此，矩形是平行四边形。
正方形是非常有趣的四边形，能够给它几个定义。
1．正方形像菱形一样，所有边都相等，只是还要所有角都是直角。这就是说，正方形是具有直角的菱形。
2．正方形像矩形一样，所有角都是直角。只是还要所有边都相等。这就是说，正方形是所有边都相等的矩形。
3．正方形像平行四边形一样，边成对平行的。只是还要所有边都相等和所有角都是直角。这就是说，正方形是所有角都是直角和所有边都相等的平行四边形。
正方形还有一整套有趣的性质。例如，如果要用给定长度的篱笆围住一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区域选成正方形形状。
用纸张的实验能帮助我们更好地学习平行线、垂线和平行四边形。
用纸张的实验
在纸上标明两点和，随后把纸对折，使得与重合。直线与折线相对位置是怎样的？
通过折一张纸，去得到一对平行直线和一对垂直直线。
从一张任意形状的纸折叠并且随后剪出一个矩形。指明在这矩形中哪些边彼此平行或垂直。
剪切一个矩形，使其得到一个正方形。剪下这一正方形并研究它。通过正方形两个相对顶点的折叠线称为正方形的对角钱。用折叠的方法可得到两条对角钱。只用折叠纸的方法你们还能发现哪些性质？记录下这些性质。
如果寻找这些性质有困难，下面的研究计划可能有帮助：
1．按长度比较两条对角线。
2．两条对角线之间相对位置怎样？
3．交点把对角线分成什么比例？
4．每一条对角线把正方形分成什么样的图形？
5．这些图形是哪种类型？
6．对它们彼此之间进行比较。
把正方形这样对折，使它的两条对边重合。折叠线经过哪些点？折叠线相对正方形各边的位置怎样？它把正方形分成什么样的图形？
教师给孩子们一个任务，从一张彩色纸中剪出一个正方形。瓦夏剪出了一个正方形时，这样检验它：他比较了边的长度。全部4条边发现是相等的，瓦夏就判定地完成了这个任务。这种检验可信赖吗？
阿廖沙用另一种方法检验了工作：他量的不是边，而是对角线．对角线是相等的，阿廖沙就认为正确地剪出了正方形。这对吗？
莱娜剪了正方形后，比较了由对角线相互分成的所有4个线段。发现它们都是相等的。按照莱娜的意见，这证明了，剪出的四边形是正方形。你们的意见怎样？
从一张纸剪出一个边长为和的矩形。从这矩形剪出一个边长为的正方形。余下一个边长为和的矩形，也就是一条边同样是另一条边的大约1.6倍。随后再从这矩形剪去一个边长为的正方形。余下的矩形，它的一条边同样是另一条边的大约1.6倍。
这一过程可以继续下去，对于进之间的比近似1.6：l的矩形，很早以前就有人注意到了。看一看雅典帕德嫩神庙的造型（图4）。甚至现在这还是世界最美丽的建筑之一，这神庙建筑于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的。如果我们在帕德嫩神庙周围描一个矩形（图5），那么发现，它的长是宽的大约1.6倍，这种矩形称为黄金矩形。据说，它的边组成黄金分割。数学家给出了黄金分割的精确定义。
图4
图5
黄金分割——它将一个整体分割成两个不相等的部分，使得大的部分对整体的比等于小的部分对大的部分的比。数1.6只是近似地（精确到0.1）表示黄金分割的值。
假如线段分成两部分，小的部分长度为，而大的部分长度为（图6），那么在黄金分割情况下。有趣的是，
图6
在正五角星里，组成这一图形的5条线中，每一条都把另外一条分成黄金分割的比（图7）。
图7
图8中画着一个贝壳：点分线段近似于黄金分割。
图8
你看到过任何有黄金矩形形状的物体吗？
按照图9中给出的指示，用圆规直尺作一个黄金矩形。
图9
延长底边到与弧相交，在直角下作一侧边，这样我们就完成黄金矩形的作图。
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1判别菱形的思路
菱形是特殊的平行四边形，一般情况下，判别一个四边形是菱形，要先判别其为平行四边形，再判别其有一组邻边相等或两条对角线互相垂直.具体来说，判别四边形是菱形主要有以下几种思路.
先说明四边形是平行四边形，再说明它有一组邻边相等
如图1，已知，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MG⊥BA，MD⊥AC，GF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为G、D、F、E，GF与DE相交于H，试说明：四边形HGMD是菱形.
分析：利用菱形的定义，先说明四边形HGMD是平行四边形，再说明Rt△BGM≌Rt△CDM，得GM=DM，就可以说明四边形HGMD是菱形了.
解：因为MD⊥AC，GF⊥AC，所以MD∥GF.
同理MG∥DE.
所以四边形HGMD为平行四边形.
由AB=AC，则∠B=∠C.
又BM=MC，
所以Rt△BGM≌Rt△CDM，
所以MG=MD，
所以四边形HGMD是菱形.
说明四条边都相等
a，b，c，d是四边形ABCD的四边，若a4+b4+c4+d4=4abcd.试说明：四边形ABCD是菱形.
解：因为a4+b4+c4+d4=4abcd，
所以a4－2a2b2+b4+c4－2c2d2+d4+2a2b2+2c2d2－4abcd=0,
即（a2－b2）2+(c2－d2)2+2(ab－cd)2=0.
由非负数性质，得a2－b2=0，c2－d2=0，ab－cd=0.
所以a2=b2，c2=d2，ab=cd.
所以a=b=c.
所以四边形ABCD是菱形.
先说明四边形是平行四边形，再说明对角线互相垂直
已知：如图2，
ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于E、F、O.试说明：四边形AFCE是菱形.
分析：在四边形AFCE中，已有对角线EF⊥AC，要说明四边形AFCE是菱形，只需说明四边形AFCE是平行四边形即可.
解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，
所以∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO.
所以AO=OC.
所以△AOE≌△COF，所以OF=OE.
因为OA=OC，
所以四边形AFCE是平行四边形.
又EF⊥AC，所以
AFCE是菱形.
说明四边形两对角线互相垂直且平分
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线交AC于D，AE⊥BC于F，AE交BD于G，连接GF.试说明：四边形AGFD是菱形.
分析：先说明对角线AF、DG互相平分，再说明AF、DG互相垂直.
解：连接AF交GD于O.
由D是∠ABC平分线上的一点，且∠BAC=90°，DF⊥BC，得DA=DF.
又因为BD=BD，
所以Rt△ABD≌Rt△FBD.
所以AB=FB，即△ABF是等腰三角形.
所以OA=OF，BO⊥AF，
因为AE∥DF，所以∠GAF=∠DFA，
所以Rt△AGO≌Rt△FDO.
所以OG=OD.
所以四边形AGFD是平行四边形.
又因为AF⊥GD，所以四边形AGFD是菱形.
说明：本题也可以运用第一种方法求解，具体过程请同学们自行完成.
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1从菱形的面积到对角线互相垂直的四边形的面积
如果仅知道菱形两条对角线的长，你能求出菱形的面积吗？
画画图，想想菱形的对角线有什么性质呢？
不难发现，菱形对角线将菱形分成了四个直角三角形，这四个直角三角形还是全等的呢！（你能证明吗？）
于是菱形面积就等于四个三角形面积之和，
即＝＋＋＋＝4＝4（）＝4（）＝.
原来菱形的面积还可以由对角线求出呢！
回顾一下解决问题过程吧。我们解决问题的切入点是利用菱形对角线互相垂直平分的特点，那么如果我们弱化条件，例如将条件改为“对角线相互垂直”或者“对角线相互平分”，此时的四边形的面积还能利用对角线乘积的一半表示吗？
先看看“对角线相互垂直”的情况吧。
这时和菱形情况类似，四边形也被对角线分成了四个直角三角形，那么＝＋＋＋＝AO×OD＋AO×BO＋OC×OD＋BO×OC＝AO×(OD＋OB)＋OC(OD＋OB)＝(AO+OC)×BD＝AC×BD.
于是我们得出的结论是：对角线互相垂直的任意四边形的面积等于对角线乘积的一半。
“对角线相互平分”的情况又如何呢？此时的四边形是什么四边形？还有“面积等于对角线乘积的一半”的结论吗？这个小问题就留给你思考吧。
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-如何运用菱形的判定证明四边形是菱形？
答案：
判定四边形是菱形的方法有很多，要适合的选取判定定理。一般先证明四边形是菱形，再证明邻边相等，其它的方法思路基本一致。
【举一反三】
典题：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB,AC于点E，F，证明：四边形AEDF是菱形。
思路导引：根据题意运用四边都相等的四边形是菱形来证明。
标准答案：
证明：∵EF是AD的垂直平分线
∴AE=DE,AF=DF
∵AD是顶角的平分线
∴∠EAG=∠FAG
∵∠AGE=∠AGF
∴△AEG≌△AGF
∴AE=AF
AE=DE=DF=AF
所以四边形AEDF是菱形
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www.如何判定一个四边形是矩形
矩形是一种特殊的平行四边形，如何判定一个四边形是矩形呢？同学们可以从以下几个方面进行思考.
一、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
例1、已知：如图1，在□ABCD
中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．若DE=BE，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并说明理由．
分析：本题是一道结论探索题，根据已知条件可以得到AD//BG，根据已知AG//BD，可知四边形AGBD是平行四边形，然后根据DE=BE，可以得∠ADB=90°，这样可判断四边形AGBD是矩形.
解：当DE=BE时，四边形
AGBD是矩形．
理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC
．
因为AG∥BD
，所以四边形
AGBD
是平行四边形．
因为DE=BE，AE=BE
，所以AE=BE=DE
，
所以∠1=∠2，∠3=∠4．
因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，
所以2∠2＋2∠3=180°．所以∠2＋∠3=90°．
即∠ADB=90°．
所以四边形AGBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．
二、对角线相等的平行四边形是矩形．
例2、已知：如图2，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF，若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并说明理由.
分析：由题设条件，易说明△DAF≌△DCE，进而得AF=CE，由AF∥CE，AF=CE，可得四边形AFCE是平行四边形，又AC=EF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可说明四边形AFCE是矩形.
解：因为D是AC的中点，所以DA=DC，
因为AF∥CE，所以∠AFD=∠CED。
在△DAF和△DCE中，
∠AFD=∠CED，∠CDE=∠FDE，DA=DC，
所以△DAF≌△DCE，
所以AF=CE，所以四边形AFCE是平行四边形，
因为AC=EF，
所以四边形AFCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
三、有三个角是直角的四边形是矩形．
例3、已知：如图3，直线AB∥CD，EF和AB、CD分别相交于M、N两点，射线MP、MQ、NP、NQ分别是∠AMN、∠BMN、∠MNC、∠MND的平分线，MP、NP相交于P，MQ和NQ相交于Q，说明：四边形MPNQ是矩形．
分析：由题设条件，容易得出直角，所以要说明四边形MPNQ是矩形，可考虑说明三个角为直角.
解：因为MP平分∠AMN，MQ平分∠BMN，
所以∠PMN=∠AMN，∠QMN=∠BMN，
所以∠PMQ=∠PMN+∠QMN=（∠AMN+∠BMN）=90°，
同理∠PNQ=90°。
因为AB∥CD，
所以∠AMN+∠MNC=180°，
所以∠PNM+∠PMN=（∠AMN+∠MNC）=90°，
所以∠MPN=90°，
所以四边形MPNQ是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。.
练习：如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．
(1)求证：△ABD≌△EDB；(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.
答案：(1)因为AB=ED，AD=EB，BD=DB，所以△ABD≌△EDB；
(2)首先看四边形ABCD已经具备了那些条件，由△ABD≌△EDB可得∠A=∠E=90°，则只需证明四边形ABCD为平行四边形或再证明另两个角为直角即可.
要使四边形ABCD为平行四边，可添加的条件可以为：AB∥CD，或添加AD=BC或BE=BC；
要使另两个角为直角，可添加的条件可以为：∠A=∠ADC或∠ADC=90°或∠A=∠C或∠C=90°或∠ABD=∠BDC或∠A=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠ABC=90°等.
以添加∠A=∠C为例加以证明.
∵BE⊥DE，∴∠E=90°，∵△ABD≌△EDB，∴∠A=∠E=90°，∵∠A=∠C，∴∠C=90°，∵CD=ED，BD=BD，∴△CDB≌△EDB，∴BE=BC，∵AD=EB，∴AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形为矩形）.
图1
图2
图3
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-《菱形的性质与判定》学习要点
一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形是特殊的平行四边形，对于它的定义要注意满足两个条件：（1）首先应该是平行四边形；（2）有一组邻边相等。菱形的定义可以用来判断一个四边形是不是为菱形。
例题1、如图1所示，已知四边形ABCD是平行四边形，要使之是菱形，需要添加的条件（不再添加任何辅助线）是
。
解：由图形和菱形的定义可以知道，应该添加的条件是：AB=BC（BC=CD、CD=DA、DA=AB）。此题的答案不唯一，所添加的条件只要符合菱形的定义即可。
例题2、如图2所示，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MG⊥BA，MD⊥AC，GF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为G、D、F、E，GF与DE相交于H，试说明：四边形HGMD是菱形
分析：利用菱形的定义，先说明四边形HGMD是平行四边形，再说明Rt△BGM≌Rt△CDM，得GM=DM，就可以说明四边形HGMD是菱形了。
解：因为MD⊥AC，GF⊥AC，
所以MD∥GF，
同理MG∥DE，
所以四边形HGMD为平行四边形。
由AB=AC，则∠B=∠C，
又BM=MC，
因为MG⊥BA，MD⊥AC，
所以△BMG和△CMD都是直角三角形，
所以Rt△BGM≌Rt△CDM，
所以MG=MD，
所以四边形HGMD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）。
二、菱形的性质
菱形的性质有两条：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线都平分一组对角。
例题、如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线的长度之比是3：4，它们的差是2cm，求菱形的面积。
解：在菱形ABCD中，AC：BD=3：4，
则BD=AC，因为BD－AC=2cm，
所以AC－AC=2cm，
即AC=6cm，BD=8
cm。
因为菱形的对角线相等并且互相垂直平分，
所以Rt△ABO≌Rt△BCO≌Rt△CDO≌Rt△DAO，AO=CO=3
cm，BO=DO=4
cm，
所以菱形ABCD的面积是AO×BO×4=×3×4=6。
三、菱形的判定
菱形除了可以用它的定义来判断之外，还有另外两个判断定理：（1）四条边相等的四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
例题1、如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于E、F、O。试说明四边形AFCE是菱形。
分析：在四边形AFCE中，已有对角线EF⊥AC，要说明四边形AFCE是菱形，只需说明四边形AFCE是平行四边形即可。
解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，
所以∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
所以AO=OC，
所以△AOE≌△COF，所以OF=OE，
因为OA=OC，
所以四边形AFCE是平行四边形。
又EF⊥AC，
所以平行四边形AFCE是菱形。
例题2、如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，说明四边形EFGH为菱形的理由。
解：因为在△ABC中，AE
=
BE，BF
=
CF，
所以EF
=
AC。
同理FG
=BD，GH
=AC，HE
=BD。
又因为AC
=
BD，
所以EF
=
FG
=
GH
=
HE，
所以四边形EFGH为菱形（四条边相等的四边形是菱形）。
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1菱形的判别方法有哪些？
答案：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四边都相等的四边形是菱形；
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
【举一反三】
典题：下列说中，正确的是（
）
A、对角线垂直的四边形是菱形；
B、两组邻边相等的四边形是菱形；
C、一组对边平行且相等，对角线互相垂直的四边形是菱形；
D、一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。
思路导引：如图，对角线垂直的四边形不一定是菱形；两组邻边相等的四边形不一定是菱形；一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，所以A，B，D错误，C正确。
标准答案：C。
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www.正方形创新题例析
正方形是最为特殊的平行四边形，既是矩形又是菱形，具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质．有关正方形的问题逐渐成为中考热点问题，下面举几例供大家参考．
图案设计问题
例1．（辽宁）将一个正方形纸片依次按图（1），图（2）方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　）
解析：实际操作一下，就可以知道本题选D．
寻找规律问题
例2．（成都）如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为，…，（n为正整数），那么第8个正方形的面积
＝_______．
解析：通过计算或拼图可以知道：
=1；
=2；
=4=22
……
从而可以归纳得到=，所以第8个正方形的面积＝．
三、图形折叠问题
例3．（荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD,M、N分别是AD，BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ，则PQ=______．
解析：由折叠过程可得到BP=CB=2BN，所以∠PBN=60°，从而∠CBQ=30°，在Rt△BCQ中，运用与上题类似的方法可求得PQ=．
开放型问题
例4．（深圳）如图所示，在四边形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是__________________．
解析：本题是一道条件开放题，答案不唯一，例如可添加AC=BD或∠BAD=90°等．
（向上对折）
图（1）
（向右对折）
图（2）
图（3）
图（4）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
B
C
D
O
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1菱形有哪些性质？
答案：
菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
【举一反三】
典题：已知菱形的周长为20cm，两条对角线的长度之比为3:4，那么这两条对角线分别为＿＿＿＿。
思路导引：由菱形的四条边都相等，得每一条边长都为5cm，设菱形的对角线为3x，4x，根据菱形的对角线互相垂直，得（）2+（）2=25，x=2，所以这两条对角线的长为3cm，4cm。
标准答案：3cm，4cm。
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www.如何判定一个四边形是矩形
矩形是一种特殊的平行四边形，如何判定一个四边形是矩形呢？同学们可以从以下几个方面进行思考．
一、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
例1、已知：如图1，在□ABCD
中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．若DE=BE，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并说明理由．
分析：本题是一道结论探索题，根据已知条件可以得到AD//BG，根据已知AG//BD，可知四边形AGBD是平行四边形，然后根据DE=BE，可以得∠ADB=90°，这样可判断四边形AGBD是矩形．
解：当DE=BE时，四边形
AGBD是矩形．
理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC
．
因为AG∥BD
，所以四边形
AGBD
是平行四边形．
因为DE=BE，AE=BE
，所以AE=BE=DE
，
所以∠1=∠2，∠3=∠4．
因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，
所以2∠2＋2∠3=180°．所以∠2＋∠3=90°．
即∠ADB=90°．
所以四边形AGBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．
二、对角线相等的平行四边形是矩形．
例2、已知：如图2，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF。若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并说明理由．
分析：由题设条件，易说明△DAF≌△DCE，进而得AF=CE，由AF∥CE，AF=CE，可得四边形AFCE是平行四边形，又AC=EF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可说明四边形AFCE是矩形．
解：因为D是AC的中点，所以DA=DC，
因为AF∥CE，所以∠AFD=∠CED，
在△DAF和△DCE中，
∠AFD=∠CED，∠CDE=∠FDE，DA=DC
所以△DAF≌△DCE
所以AF=CE，所以四边形AFCE是平行四边形，
因为AC=EF，
所以四边形AFCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
三、有三个角是直角的四边形是矩形．
例3、已知：如图3，直线AB∥CD，EF和AB、CD分别相交于M、N两点，射线MP、MQ、NP、NQ分别是∠AMN、∠BMN、∠MNC、∠MND的平分线，MP、NP相交于P，MQ和NQ相交于Q，说明：四边形MPNQ是矩形．
分析：由题设条件，容易得到出直角，所以要说明明四边形MPNQ是矩形，可考虑说明三个角为直角．
解：因为MP平分∠AMN，MQ平分∠BMN，
所以∠PMN=∠AMN，∠QMN=∠BMN，
所以∠PMQ=∠PMN+∠QMN=（∠AMN+∠BMN）=90°
同理∠PNQ=90°，
因为AB∥CD
所以∠AMN+∠MNC=180°，
所以∠PNM+∠PMN=（∠AMN+∠MNC）=90°，
所以∠MPN=90°
所以四边形MPNQ是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
练习：如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△EDB；（2）只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.
答案：（1）因为AB=ED，AD=EB，BD=DB，所以△ABD≌△EDB；
（2）首先看四边形ABCD已经具备了那些条件，由△ABD≌△EDB可得∠A=∠E=90°，则只需证明四边形ABCD为平行四边形或再证明另两个角为直角即可．
要使四边形ABCD为平行四边，可添加的条件可以为：AB∥CD，或添加AD=BC或BE=BC；
要使另两个角为直角，可添加的条件可以为：∠A=∠ADC或∠ADC=90°或∠A=∠C或∠C=90°或∠ABD=∠BDC或∠A=∠ABC或∠ADB=∠DBC或∠ABC=90°等．
以添加∠A=∠C为例加以证明．
∵BE⊥DE，∴∠E=90°，∵△ABD≌△EDB，∴∠A=∠E=90°，∵∠A=∠C，∴∠C=90°，∵CD=ED，BD=BD，∴△CDB≌△EDB，∴BE=BC，∵AD=EB，∴AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形为矩形）．
图1
图2
图3
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1黄金矩形
当一个矩形的短边和长边满足下面的比例关系时：
①
就称为黄金矩形．
黄金矩形是一种非常美丽和令人兴奋的数学对象，它广泛地出现在艺术、建筑、人体和自然界中，心理学的测试表明：在所有形状的矩形中，黄金矩形是最令人赏心悦目的．
公元前5世纪，古希腊的建筑师们就已经知道黄金矩形能使建筑物的比例协调，美观大方，他们建造的巴农神庙就是一个例子．
希腊雅典的巴农神庙
希腊人认为最优美的体形应该是许多重要部位都符合黄金矩形，许多著名的雕刻，绘画都是按黄金矩形的比例来设计和造型的．文艺复兴时期的著名画家达芬奇的著名作品《蒙娜丽莎》就是接黄金分割的比例来构图的．
现在，我们介绍怎样利用一个正方形作出黄金矩形．
1）作正方形
2）取的中点连结
3）连结
4）延长至，使
5）过作的垂线，交的延长线于
则为一个黄金矩形．
我们来证明：是一个黄金矩形，即证明：
①
设，则，
所以
将的值代入①式，得
即
或
所以要证明①式，只要证明②成立就可以了，利用平方公式易证②成立．
因此，是黄金矩形．
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称就
小业幽些业斗月
希腊雅典的巴农神庙
人体的黄金分割
维纳斯
蒙娜丽莎
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www.正方形性质及判定口诀
(1)
正方形，好应用，边相等，角相同．
菱形性质全具备，外加对角线相等．
各角均是九十度，矩形性质也适用．
(2)
怎么判定正方形，方法可以有多种．
实质不过有两条，你可千万要记清：
矩形还要等边长，菱形尚须四角同．
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www.灵活运用菱形的对称性
　　菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，因为菱形的对角线互相垂直，所以它又是中心对称图形，利用菱形的对称性可以说明某些线段、角相等或三角形全等．
如图1，是菱形的对角线上一点，则，．
这个结论具有一般性，很多有关菱形的题都有该图的“影子”，因而利用这个结论可以简捷地解决问题．
　　例1　如图2，在菱形中，是上一点，交对角线于．试说明．
　　分析：因为，所以欲说明，只需说明，而这可由图的基本图形得到的结论推出．解答过程请同学们完成．
　　例2
如图3，在菱形中，分别是上的点，是延长线上一点，且．试说明．
　　分析：连接，由于是菱形的对角线上一点，所以由图1中基本图形的结论，知，于是．又由题设可得，所以．又已知，所以四边形是平行四边形．故．解答过程请同学们完成．
例3　如图4，在边长为6的菱形中，，为的中点，F为上一动点，求的最小值．
　　分析：由于两点固定，所以从图形上可直观看出F只有沿着向点A移动，的值方能逐渐变小．根据图形的对称性猜想：当F移动到与的交点处，才能取得最小值，下面来说明这个猜想．
　　解：连接，交于点，则F和均为菱形的对角线上的点，
　　所以由图1中基本图形的结论，知．
　　所以．
　　在中，，
　　所以当点移动点时，取得最小值．
　　连接，因为，
　　所以为等边三角形．
所以．
即的最小值是．
　　综上所述，利用图形的对称性研究图形的性质，再利用其性质可以探求、说明几何题．在这方面多进行尝试，对提高分析问题、解决问题的能力是大有裨益的．
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1例说菱形的判定
菱形，是四边相等的四边形，这是菱形的定义，要判断一个四边形是不是菱形，除用定义判断，还可用其它等价条件。
1.
证明四边形的四条边相等
例1
已知：如图1，C是线段BD上一点，和都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点。求证：四边形RFGH是菱形。
证明：连结AD、BE
因为和都是等边三角形
所以
故四边形RFGH是菱形
2.
邻边相等的平行四边形一定是菱形
例2
已知：如图2，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。求证：四边形MENF是菱形。
证明：因为E是BM的中点，N是BC的中点，F是CM的中点
3.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例3
已知：如图3，梯形ABCD中，AD//BC，对角线，M、N为底边BC的三等分点，且BC=3AD，AM与BD交于点G，AC与DN交于点H。求证：四边形AGHD是菱形。
证明：因为BC=3AD
M、N是BC的三等分点
又1=2
所以四边形AGHD是平行四边形
又，所以四边形AGHD是菱形。
4.
对角线互相垂直平分的四边形是菱形
例4
已知：如图4，中，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F。
求证：四边形CDEF是菱形。
证明：连结CE交AD于点O
因为AC=AE
所以为等腰三角形
因为AO平分CAE
所以，且OC=OE
因为EF//CD，
所以1=2
所以OF=OD
于是CE垂直平分DF
所以四边形CDEF是菱形
总结以上，得到下表
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1中考矩形开放题荟萃
矩形是一种特殊的平行四边形,也是中考的必考内容.为考查同学们分析能力、想象能力、探究能力和创新能力,矩形开放题便成了各地中考命题的热点，现就中考题中有关矩形开放题精选几例解析如下,供同学们鉴赏：
一、条件开放型
例1
如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由．
分析
要证AB=CF,可通过平行四边形的性质和三角形全等的判定,证△ABE≌△CFE得到;
由△ABE≌△CFE,可得EA=EF,EB=EC,从而四边形ABFC是平行四边形,再根据矩形的判定,要平行四边形ABFC是矩形则只要对角线相等或有一角为直角,根据题设,显然是BC=AF.
证明
(1)由平行四边形ABCD,得到AB∥CD,则∠ABE=∠FCE,
又EB=EC,
∠AEB=∠FEC,∴△ABE≌△CFE(ASA).∴AB=CF.
(2)
当=时，四边形是矩形.
由△ABE≌△CFE,得到EA=EF,EB=EC,所以四边形ABFC是平行四边形.
又BC=AF,
四边形ABFC是矩形.
例2如图，在△ABC
中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
分析
通过角平分线和平行线的性质,可以推得EO=CO,及FO=CO,从而EO=FO；
要四边形AECF是矩形,则必是平行四边形,现已有EO=FO,故还需OA=OC,
即点O为AC的中点.
证明（1）∵CE平分，∴，又∵MN∥BC，
∴，
则，∴．　同理,
∴
．
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
∵，点O是AC的中点．即OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵,
,
∴，即,
∴四边形AECF是矩形．
评注
条件开放型,是指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,解决这类问题的基本思路是:执果索因逆向思维,从已有条件和结论入手,逐步分析探索结论成立的条件,从而使问题得以解决.
二、结论开放型
例3如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F.
（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论.
分析
由图可以直观看出,AD=CF;根据矩形的性质和三角形全等的判定,
可以得到AD,CF所在的两个三角形△ADE≌△FCD,从而
AD=CF.
解
（1）．
（2）四边形是矩形，
又
∴△ADE≌△FCD,
例4如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．
（1）求证：是的中点；
（2）如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论．
分析
要证D是BC的中点,即DB=DC,现已有AF=DC,故只需AF=DB,所以只要证△AEF≌△DEB;
已知AF∥DC,又AF=DC,所以四边形ADCF为平行四边形.
如果AB=AC,D是BC的中点,则有AD⊥BC,从而得到四边形ADCF为矩形.
证明
（1），
．
是的中点，
．
又，
(AAS)．．
，．即是的中点．
（2）四边形是矩形，
，，四边形是平行四边形．
，是的中点，．
即．
四边形是矩形．
评注
结论开放型,是指问题的结论不确定或答案不唯一的开放型问题,解决这类问题的基本思路是:根据条件,联想定理,寻求结论.
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1菱形的性质应用举例
菱形是一种特殊的平行四边形,它具有四边相等,对角线互相垂直并平分一组对角等性质,和菱形有关的问题主要设计以下几个方面.
一、计算问题
例1
如图1,已知菱形ABCD的周长为16cm,∠ABC=120°,求对角线BD和AC及菱形的面积.
分析：菱形具有四边相等，对角线互相垂直平分并平分一组对角等性质.知道了周长可求到边长，根据∠ABC=120°可得到等边三角形，进而可求到对角线的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求到面积.
解:在菱形ABCD中,AB+BC+CD+AD=16cm,
所以AB=AD=BC=CD=16×=4(cm),
由∠ABC=120°，对角线BD平分∠ABC,得∠ABD=60°,
图1
又因为AD=AB，
所以△ABD是等边三角形,BD=AB=4cm,
因为菱形对角线互相垂直平分,
所以OB=2cm,
在Rt△AOB中,
AO=
所以AC=2OA=2×2=4(cm).
所以S菱形ABCD=AC·BD=×2×4=4(cm2).
例2
如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°.求∠BDA、∠ABC的度数.
分析：根据菱形的对角线平分一组对角可知∠DCA=∠BCA=30°，所以∠ACB=60°，根据菱形的对角相等，对边平行可求到∠BAD和∠ABC的度数.
图2
解：因为菱形的对角线平分一组对角，所以∠BCD=2∠ACD=2×30°=60°，
因为菱形的对角相等，所以∠DAB=∠DCB=60°.
因为CD//AB，所以∠DCB+∠ABC=180°，
所以∠ABC=180°-60°=120°.
评注：菱形有关的计算题，主要涉及计算周长，边长以及面积等，解决问题需要将菱形的性质与直角三角形或等边三角形相结合.
二、说理问题
例3
如图3，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE//BD，BE//AC，AE与BE相交于点E，试判断AD与EO是否平行？说说你的理由.
分析：要判断AD与EO是否平行，根据四边形ABCD是矩形，可知∠DAB=90°，如果OE⊥AB，则可说明AD//EO.而说明OE⊥AB，只要说明四边形AEBO是菱形即可.
解：AD//EO.
图3
理由：因为AE//BD，BE//AC，所以四边形AEBO是平行四边形，
所以OA=BE，BO=EA，
因为O是矩形ABCD对角线的交点，所以OA=OB，
所以OA=AE=EB=BO，
所以四边形AEBO是菱形.
所以OE⊥AB，
因为∠DAB=90°，所以DA⊥AB，
所以AD//EO.
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1中考菱形探索题
探索性试题是中考中的热点之一．在中考试题中，出现了一些和相似三角形有关的中考探索试题．为帮助你复习好相似三角形有关内容，现请欣赏几道探索题．
一.条件探索题
条件探索性试题就是给出了结论，要求探索使结论成立所具备的条件．
例1如图1，点E,F分别是菱形ABCD中BC,CD边上的点（E,F不与B,C,D重合）在不连辅助线的情况下请添加一个条件，说明AE=AF,并证明.
分析:本题主要是考查三角形全等的方法和菱形性质，由菱形性质可知、，若用SAS需要添加条件;若用ASA需要添加条件或;若用ASA需要添加条件∠AEB=∠AFD.
解:添加条件：或或等.
若添加条件.证明如下：四边形是菱形
在和中.
评注:只需添加一条边或一个角满足三角形的判定方法即可，但是需注意添加边时，不能构成SSA的形式.
二.结论探索型
探索结论试题是给出了条件，要求根据所给条件探索可能得到的结论．
例2
如图2，在□ABCD中，分别为边的中点，连接．
（1）求证：．
（2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．
分析：(1)问主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定；（2）问主要考查直角三角形的性质和菱形的判定.
解:(1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵E，F分别为AB，CD的中点
∴AE=CF
在和中，．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：，
是，且是斜边（或）
是的中点，．
由题意可知且，
四边形是平行四边形，四边形是菱形.
评注:判定一个四边形是菱形一般是在平行四边形的基础上来判定.
三.探索存在型
存在性问题是指在一定的条件下,探索某种数学对象是否存在的问题.
例3如图3，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．
⑴证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
⑵试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；
⑶在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．
分析:本题考查了平行四边形的性质以及旋转等知识.(1)当旋转角是时,AB∥EF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得证；（2）易证△AOF≌△COE,∴AF=EC.
(3)由(2)知EO=FO,则EF、BD互相平分,若旋转到EF⊥BD位置,
四边形BEDF是菱形,再根据
勾股定理和等腰三角形性质计算旋转角的度数.
解：⑴证明：当时，，
又，
四边形为平行四边形．
⑵证明：四边形为平行四边形，
．
．
⑶四边形可以是菱形．
理由：连接，
由⑵知，得，
与互相平分．
当时，四边形为菱形．
在中，，
，又，，
，
绕点顺时针旋转时，四边形为菱形．
评注:本题是一道综合型的有关菱形的探索问题，求解时一定要抓住问题的实质，找准求解的切入点.
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1探索完美正方形
用一些完全不相等的小正方形拼成一个大正方形，你能行吗？在数学上，把若干个互不相等的小正方形拼成的大正方形称为完美正方形。别以为作出这样的正方形是一件容易的事情，实际上，直到上个世纪30年代，还没有一个人能够作出一个完美正方形出来，甚至有些数学家断言：根本不存在这样的正方形。
难道真的不存在完美正方形吗？大约70年前，英国剑桥大学的4个大学生塔特、斯东、史密斯、布鲁克斯不相信这一点，他们在学生宿舍里一次次地聚会，探讨着解题的途径，寻找着完美正方形。但是直到临近毕业，4个年轻的大学生还是没有找到一个完美正方形。以后，他们各奔东西，但仍然锲而不舍地研究着这个问题，还经常交流各自的研究成果，探讨有关的理论问题。几年后，他们终于找到了一个由69个大小互不相等的正方形组成的完美正方形。
是不是存在一个由最少数量的大小不等的正方形组成的完美正方形呢？1967年数学家威尔逊发现了由25个大小不等的正方形拼成的完美正方形。后来有人证明，完美正方形至少要有20个以上的大小各不相等正方形组成。可是许多年过去了，这个问题一直没有得到一个确切的答案。
1978年，荷兰数学家多杰维斯廷设计了一个巧妙而又复杂的计算程序，把它送入计算机，找到了这个由最少数目的正方形拼成的完美正方形。这些小正方形的边长分别为2，4，6，7，8，9，11，15，16，17，18，19，24，25，27，29，33，35，37，42，50个单位，同学们想一想，这个大正方形的边长应为多少个单位呢？（从“小正方形面积之和等于大正方形的面积”入手，借助计算器可求得大正方形边长是112个单位）。
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1
-矩形、菱形、正方形的判定及性质应用举例
矩形、菱形、正方形的判定和性质是初中数学中最重要的内容之一.在中考中所占的比例较大，常以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现.
现举几例供同学们参考。
一、矩形知识的应用
例1（甘肃白银7市课改）如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点E、F，，则图中阴影部分的面积为　　　　　．
分析：由四边形ABCD是矩形，利用矩形的对角线互相平分且相等可知，矩形中OA=OB=OD=OC，由三角形全等可求出阴影部分的面积。
解：∵矩形的对角线和相交于点.
∴OA=OB=OD=OC，AC=BD
∵
∴
∴阴影部分的面积
点评：矩形是特殊的平行四边形，其特殊性表现在角上（四个角都是直角），两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，从而可以计算阴影部分的面积.
二、菱形知识的应用
例2.
（山东）如下图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=a，求：（1）∠ABC的度数；（2）已知，求对角线AC的长；（3）求菱形的面积.
　　分析：
因为E是AB的中点，且DE⊥AB可得等腰三角形ABD为等边三角形，这样菱形的4个内角都可求出，并且由特殊角的关系很容易求出AC的长和菱形面积.
　　解：（1）连结BD.在菱形ABCD中，
　　∵
DE⊥AB，E是AB的中点，∴
AB=AD=DB.
　　∴
△ABD为等边三角形.
　　∴
∠ABD=60°
.
　　∴
∠ABC=2∠ABD=120°.
　　（2）在菱形ABCD中
，AC⊥BD，且AC与BD互相平分.
　　由（1）在Rt△ABO中，
　　
　　（3）由（1）知，
∴
　　点评：（1）本题首先证明△ABD是等边三角形，从而求出∠ABD的度数，再利用菱形的性质可求∠ABC.（2）求AC的长可利用菱形的对角线互相垂直平分（3）菱形的面积可用AC·BD求出，也可利用AB·DE求出.
本题应用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，即可求出面积.
三、正方形知识的应用
　　例3（浙江台州）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）．试问线段与线段相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
分析：本题是将正方形绕着点，按顺时针方向进行旋转，画出正方形．构造全等三角形。
解：．
证法1：连结，
四边形，都是正方形．
．
由题意知，又．
，
．
证法2：连结．
四边形都是正方形，
．
由题意知．
．
．
．
点评：本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定，要证HG=HB，转化为证Rt△AGH≌Rt△ABH或即可.
练习：
1．如图，如果要使平行四边行ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是
．
2．如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E．
求证：四边形CDC′E是菱形．
3．如图，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.
(1)
求证：BP=DP；
(2)
如图，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
(3)
试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论
.
参考答案
1．等.
2．证明：根据题意可知
则
∵AD//BC
∴∠C′DE=∠CED
∴∠CDE=∠CED
∴CD=CE
∴CD=C′D=C′E=CE
∴四边形CDC′E为菱形
3．⑴
解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.
解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.
⑵
不是总成立
.当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP
>DC>BP，此时BP=DP不成立.
说明：未用举反例的方法说理的不得分.
⑶
连接BE、DF，则BE与DF始终相等.
在图中，可证四边形PECF为正方形，
在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC
.
从而有
BE=DF
D
C
A
B
G
H
F
E
D
C
A
B
G
H
F
E
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4《菱形的性质与判定》典型例题
例1
如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求：
（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．
例2
已知：如图，在菱形ABCD中，于于
F．
求证：
例3
已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，，，求的度数.
例4
如图，已知四边形和四边形都是长方形，且．
求证：垂直平分．
例5
如图，中，，、在直线上，且．
求证：．
例6
如图，在△中，，为的中点，四边形是平行四边形．
求证：与互相垂直平分
参考答案
例1
分析
（1）由E为AB的中点，，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知
解
（1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴
是AB的中点，且，∴
∴是等边三角形，∴也是等边三角形．
∴
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，
∴
∴，∴
（3）菱形ABCD的面积
说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．
例2
分析
要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．
证明
∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴，
，
∴，
∴
例3
解答：连结AC.
∵四边形ABCD为菱形，
∴，.
∴与为等边三角形.
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴为等边三角形.
∴
∵，
∴
∴
说明
本题综合考查菱形和等边三角形的
性质，解题关键是连AC，证
例4
分析
由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．
证明：∵四边形、都是长方形
∴，，，
∴四边形是平行四边形
∵，∴
在△和△中
∴△≌△
∴，
∵四边形是平行四边形
∴四边形是菱形
∴平分
∴平分
∵
∴垂直平分．
例5
分析
要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．
证明
∵四边形是平行四边形
∴，，，∴
∵，∴
在△和△中
∴△≌△
∴
∵
∴
同理：
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形
∴．
例6
分析
要证明与互相垂直平分，只要证明四边形是菱形．所以要连结
证明
∵在△中，为的中点
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵
∴是菱形
∴与互相垂直平分．
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1菱形小游戏及性质歌
参与人数：集体参与
时间：5分钟
道具：和人数相等的火柴
场地：教室
应用：
(1)拓展思维
(2)培养创新精神
(3)工作方法改进
通过玩这个游戏可以拓展学员的思路，帮助他们开拓思路并改进工作方法。作为课间或开学第一课使用还是可以的，可以起到活跃气氛和激发学员兴趣的目的。
游戏规则和程序
1.发给每个学员8根火柴，要求他们在最短的时间内用这8根火柴拼出一个菱形。要求菱形的每个边只能由一根火柴构成。拼出的人举手示意培训者。
2.培训者在旁观察每个人的方法是否相同，最后选出最快且合乎要求的学员，给予一定奖励。
相关讨论
1.请那些做出来的学员讲讲他们的思路是怎样的？
2.那些没做出来的学员，你们失败的原因是什么？
总结
1.答案其实很简单，用八根火柴拼成一个菱形的方法就是分别用它们拼成“一个◇”，数一数它们的笔画，正好是横平竖直的八画，而这八画正好可以由那8根火柴代替。
2.培训者应该统计出做对者的数量，一般来说，能做出来的人不多。至于原因，大概都是没有想到“一个”也可以表示出来，这样自然就不知道剩下的4根火柴放哪里了。而那些做出来的人，可能有两种可能。一种人平时就表现得很灵活，一件事情可以从好几个角度分析，一个问题可以用好几种方法解决；另一种人就是所谓的“直心眼”的人，这种人对别人的话很信任，不会加进自己的想法，别人说一就是一。所以他们听了培训者的话就不会多想，简简单单的就把题做出来了。
3.对于其他的人，当时头脑灵活一点的话是可以做出来的。他们应该这样想，菱形只有四个边，又不许每边使两根火柴，那么一定还有别的什么地方需要火柴。这时只要稍微再把题想一遍，就会发现窍门所在了。
菱形性质及判定口诀
一个四边形，对应边平行．
再有邻边等，菱形才构成．
菱形有性质，仔细听分明．
对角线垂直，四条边相等．
对角线两条，平分四顶角．
全等三角形，成对不可少．
菱形要判定，性质相对应，
四边都相等，菱形就生成．
对角线垂直，对边又平行．
两条不能省，才能是菱形．
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2走进中考看矩形、菱形、正方形
一、开放性题
例1（济南）如图，在与中，==90°，AD=BC，AC、BD相交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点相交于点．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）
（2）证明四边形是菱形；
（3）若使四边形是正方形，还需在的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）
解：（1）．
∵AD=BC，==90°，AB=BA
∴．
（2），
∴四边形是平行四边形．
，
∴=∴
∴平行四边形是菱形．
（3）需要添加的条件是．
说明：开放性试题是近几年中考出现的题型．解答时，思维较灵活，有时要从条件探求结论，而且结论又不唯一；有时又要从结论出发逆向探求条件，而且结论不唯一；有时又要根据题意自己去探求条件和结论．
二、图形剪拼题
例2（新疆建设兵团）如图，已知菱形的两条对角线长为，，你能将菱形沿对角线分割后拼接成矩形吗？画图说明（拼出一种图形即可）；在此过程中，你能发现菱形的面积与，的关系吗？
解：拼出图形如下所示．
　　　　　　　　　　　　拼法（1）　　　　　　　　　拼法（2）
或
结论：菱形的面积等于两对角线乘积的一半．
说明：本题给出操作规则，要求学生在操作过程中发现结论，考查学生自主探索知识的过程及学生的动手操作能力、探究能力、创新能力．
三、图形变换题
例3（聊城）如图，将一张矩形纸片折叠，使落在边上，然后打开，折痕为，顶点的落点为．你认为四边形是什么特殊四边形？请说出你的理由．
解：四边形是正方形．
四边形是矩形，∴=90°．
由于与折叠后重合，∴=90°．
∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
，折叠后重后，∴．
∴四边形是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）．
说明：解答本题的关键要掌握关于轴对称的两个图形是全等图形的性质，考查学生对图形变换性质的理解和掌握能力．
四、动态性试题
例4（黔南州）如图，，，，，
，点从点开始，沿边向运动，速度为厘米／秒，点从点开始沿边向点运动，速度为厘米／秒，设四边形的面积为．
（1）写出面积与时间之间的函数关系式；
（2）当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）当为何值时，四边形是等腰梯形？
解：（1）根据题意
又，，而
（2）假设当时，四边形为平行四边形，由平行四边形的判定定理得MD=NC
即：，解得
∴当秒时，四边形为平行四边形．
（3）假设当时，四边形是等腰梯形，则，
又作分别垂直于，则
∴，　∴
，解得（秒）．
说明：本题把代数和几何知识相结合，用运动变化动态的观点，考查学生对特殊四边形的性质定理和判定定理的灵活运用能力．
五、实际应用题
例5（十堰）如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形是否为矩形（图乙供设计备用）．
解：方案如下：①用卷尺分别比较与与的长度，当，且时，四边形为平行四边形；否则四边形不是平行四边形，从而不是矩形；②当四边形是平行四边形时，用卷尺比较对角线与的长度，当时，四边形是矩形；否则四边形不是矩形．
说明：本题方案设计方法多样，但要从正反两方面说明四边形是否为矩形，考查学生灵活应用数学知识解决实际问题和创新实践的能力．
Ｄ
Ｇ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
Ｈ
Ｆ
Ａ
A
D
C
B
E
F
A
D
C
B
A
D
C
B
（图甲）
（图乙）
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1矩形中考特色题
近年来有关矩形的中考新题频频出现，问题情景在不断创新．现选取几例中考题，加以分析，供同学们赏析．
一、折叠问题
例1（大连西岗区）将一张纸片沿图中①、②的虚线对折得图2中的③，然后剪去一个角，展开铺平后的图形如图2中的④，则图2中的③沿虚线的剪法是(
)
析解：解这类问题的关键是要记住折痕线和最后的层数．此题与一般的折叠问题略有区别，是指定图形找剪法的．解这道题除了要记住折痕线和最后的层数外，还要关注剪的角度，最好动手操作．此题选B．
点评：折纸是一种学习探索与娱乐两者兼备的活动，由于取材方便，又能有效地考查实践操作、归纳探索、逻辑推理、空间想象等各种能力，因而倍受中考命题者的青睐．
二、剪拼问题
例2（枣庄市）在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（
）
析解：这道题主要考查动手、动脑能力．通过剪剪、拼拼制作几何图案的活动，激发了同学们的学习兴趣、增强了创造意识和审美观念．对于此题，通过实践操作，只有D的两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形，故应选D．
点评：动手实践、自主探索、合作交流是新课标倡导的学习方法．剪纸拼图能有效地考查实践操作、归纳探索、逻辑推理、空间想象等各种能力，因而已成为中考的一个亮点．
三、与整式乘法结合题
例3（眉山市）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a
+
b），宽为（a
+
b）的矩形，则需要A类卡片
张，B类卡片
张，C类卡片
张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．
析解：这是一道典型的数形结合题，利用矩形的面积解释整式的乘法意义．可以把要拼的矩形长和宽相乘：（2a
+
b）（a
+
b）=2a2+3ab+b2，其中a2、b2视为A、B类卡片，ab视为C类卡片．可见要拼一个长为（2a
+
b），宽为（a
+
b）的矩形，则需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．拼法不唯一，如上右图所示．
点评：本题充分表现出数形结合思想，将代数式恒等变形在几何图形上给予直观体现，不但考查了多项式相乘这一知识点，还能激发同学们不断探索研究的兴趣．这类题已成为近年中考中一道亮丽的风景线．
四、开放说理题
例4（泸州市）如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．线段DF与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．
即DF=
．(写出一条线段即可)
分析：这是一道结论开放性试题，添加的结论往往不唯一．可以添加DF=AB或DF=CD等．然后利用矩形的有关性质，
通过证明ΔADF≌ΔEAB，达到证明线段相等的目的．
解：添加的结论是DF=AB．
证明：∵ABCD是矩形，∴∠ABE=90 ，AD∥BC．∴∠DAF=∠AEB（两直线平行，内错角相等）．又∵DF⊥AE，∴∠AFD=90 ．
在ΔADF和ΔEAB中，∵，∴ΔADF≌ΔEAB（AAS），∴DF=AB（全等三角形对应边相等）．
点评：常见开放性试题类型有条件开放性、结论开放性及策略开放性三种．由于这类题对于激发创新意识、启迪创新思维、培养创新和探究精神有着独特的功能，因而成为近年考试的热点题．
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1三角形变矩形
任意给你一张三角形纸片，你能将其剪两刀，然后拼成一个矩形吗？
如何把一个三角形等积变成一个矩形呢？
三角形的面积＝×底×高，矩形的面积＝长×宽。
要想等积变换，看来要将三角形的高减半，或者将它的底减半啦！
答案：
方法一：
方法二：
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www.矩形性质的应用
矩形具有四个角都是直角、对边相等、对角线相等等性质。因此，利用这些性质可以解决与角、线段有关的问题。
例1、已知：如图1，在矩形ABCD中，AC、BD是对角线，过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E。
求证：△ACE是等腰三角形
[分析一]欲证△ACE是等腰三角形，即证AC=EC。因AC是矩形ABCD的对角线，则AC=BD。问题转成证BD=EC。而这两条线段恰是四边形BDCE的对边，考虑证它是平行四边形。
[证法一]∵BD∥EC，BE∥DC
∴四边形BDCE是平行四边形
∴BD=EC
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD
∴AC=EC，∴△ACE是等腰三角形
[分析二]欲证AC=EC，需证∠CAE=∠E，因为CE∥BD，所以∠E=∠DBA，需证∠DBA=∠CAE。需证OA=OB。
[证法二]∵四边形ABCD是矩形
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD
∴OA=OB。∴∠CAE=∠DBA
∵CE∥BD，∴∠DBA=∠E
∴∠CAE=∠E，∴AC=EC
即△ACE是等腰三角形
[点评]对于特殊四边形的有关问题，要注意运用特殊四边形有关性质来解，这是处理这类问题的重要方法。解法往往比较简单。如证法一是利用矩形、平行四边形的性质证明的。
对于一些特殊四边形的有关问题，也可综合运用三角形、特殊四边形的性质来解，如证法二。
例2、已知：如图2，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，若∠EAO=15°，求∠BOE的度数。
[分析]
∠BOE是△OBE的内角，要求∠BOE的度数，需求∠OBE、∠BEO，或找出它们与∠BOE的关系。由于题设可得∠OBE=∠ODA=∠OAD=30°，而∠BEO不易求出。因此，需找出∠BEO与∠BOE的关系。
[解]∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE
∵∠BAD=90°，∠BAE=∠EAD
∴∠BAE=45°
∵∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°
∵OA=OB，△AOB是等边三角形
∴BO=AB
∵AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO
∵∠ABE=90°，∠ABO=60°
∴∠OBE=30°
在△BOE中
∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180°
∴∠BOE=（180°-∠OBE）=75°
图1
A
B
C
D
O
E
图2
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2利用菱形的性质解题
菱形除了具有平行四边形的性质外，还具有自己的一些性质：（1）四条边都相等；（2）对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角，这些性质为我们解决有关问题提供了新的方法。
已知：如图1，在菱形ABCD中，AE⊥CD，且AE=OD，求∠ADC的度数。
[分析]
因为∠ADC+∠BAC+∠CAD=180°，要求∠ADC的度数，需找出这三个角之间的关系。
[解]∵四边形ABCD是菱形
∴∠AOD=90°
在Rt△AOD和Rt△DEA中
∴Rt△AOD经过旋转平移与Rt△DEA重合，∴∠OAD=∠EDA
即∠CAD=∠ADC
∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=∠CAD
∴∠BAC=∠CAD=∠ADC
∴∠ADC=60°
已知：如图2，菱形ABCD中，E是BC上一点，且AE=AB，∠EAD=
2∠BAE，求证：BE=AF
[分析]BE、AF分别是△BEF、△ABF的边，显然两个三角形不全等，如何沟通BE、AF的关系呢？因为BF是这两个三角形的边，考虑证BE、AF都与BF相等，需证这两个三角形都是等腰三角形。
[证明]在菱形ABCD中，因为AD∥BC
∴∠EAD=∠AEB
∵AB=AE
∴∠AEB=∠ABE
∵∠EAD=2∠BAE
∴∠AEB=∠ABE=2∠BAE
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°
∴5∠BAE=180°，∴∠BAE=36°
∴∠ABE=∠AEB=72°
∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC
∴∠ABF=∠FBE=36°
∴∠ABF=∠BAF=36°，∴AF=BF
∵∠BFE=∠ABF+∠BAF=72°
∴∠BFE=∠BEF=72°
∴BE=BF，∴BE=AF
已知：如图3，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF
[分析]要求∠CEF，需列出∠CEF的关系式，因为∠AEC=∠B+∠BAE=80°，则∠CEF=80°-∠AEF，需求∠AEF。∠AEF是△AEF的角，且∠EAF=60°，△AEF一定是一个特殊三角形。
[解]连结AC
∵∠B=60°，AB=BC，∴△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠BAC=60°
∵∠CAF+∠CAE=60°，∠CAE+∠BAE=60°
∴∠BAE=∠CAF。∵四边形ABCD是菱形
∴∠BCD=180°-∠B=120°，AC平分∠BCD
∴∠ACF=60°，∴∠B=∠ACF
在△ABE和△ACF中
∵∠B=∠ACF，AB=AC，∠BAE=∠CAF
∴△ABE经过旋转与△ACF全等，∴AE=AF
∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形
∴∠AEF=60°
∵∠AEC=∠B+∠BAE=60°+20°=80°
∴∠CEF=∠AEC-∠AEF=80°-60°=20°
[点评]在求解与菱形有关的问题时，根据条件，充分利用菱形的性质，可顺利沟通已知与未知的关系，使问题获得解决。
A
B
D
O
C
E
图1
A
B
D
F
C
E
图2
A
B
D
F
C
E
图3
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1矩形的判定在实际问题中的应用
除了根据定义外，还可以用矩形的判定方法判定一个四边形是不是矩形.在实际问题中，也经常用到矩形的判定．请看几例．
例1.
如图1，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为矩形，但他只随身带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为矩形（图2供设计备用）．
分析：本题是一道方案设计型新颖的实际问题，要检验四边形ABCD是否为矩形，根据已知工具，只能测量长度.可以从矩形的判定方法选择测量方案.如测量四边形的边长或对角线的长，然后借助矩形的判定方法进行判定.也可以构造三角形，通过测量三边长度判断四边形三个内角的度数，根据三个角是直角的四边形是矩形来判断四边形ABCD是否为矩形.
解：下面提供几种测量方案：
①用卷尺分别比较AB与CD，AD与BC的长度，当AB=CD，且AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形；否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形．
②当四边形ABCD是平行四边形时，用卷尺比较对角线AC与BD
图1
图2
的长度．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；否则四边形ABCD不是矩形．　　
③先测量两邻边的长以及对角线的长，然后用勾股定理逆定理测量一个角是否为直角，再用同样的方法再测量另外两个角是否也为直角.若四边形ABCD中有三个角是直角，则四边形ABCD是矩形，否则四边形ABCD不是矩形.
④先测量四边形ABCD是否为平行四边形，再用勾股定理逆定理测量其中一个角是否为直角，若四边形ABCD是平行四边形，且有一个角是直角，则四边形ABCD是平行四边形，否则，四边形ABCD不是平行四边形.
例2.农村家庭建房打地基时，不像城市盖大楼有专门的仪器放样，他们往往采用土办法，先用绳子拉成四边形，分别量出房基的长a和宽b（如图3），但还要一道重要的工序，才能保证房基是矩形，你能根据所学知识说出这道工序吗？请说明理由.
图3
分析：判断一个四边形是不是矩形时，在无法根据矩形定义判定时，可先根据它是不是平行四边形，然后再根据判定方法判定是不是矩形.
解：由两组对边分别相等，可知图1是平行四边形，然后重要的一道工序应该是使对角线相等或使任意一个角是直角.因为对角线相等的平行四边形是矩形或一个角为直角的平行四边形是矩形.
例3.
工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴
先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图4①），使AB=CD，EF=GH；
⑵
摆放成如图4②的四边形，则这时窗框的形状是
形，根据的数学道理是：
；
⑶
将直角尺靠紧窗框的一个角（如图4③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4④），说明窗框合格，这时窗框是
形，根据的数学道理是：
①
②
③
④
图4
分析:本题是以实际问题为背景，设计的一道考查特殊四边形性质的问题.将特殊四边形的有关性质与具体的实际问题相结合，使得考题具有创新性.
解:根据已知条件AB=CD，EF=GH，当摆成图4②时，所得到的图形是平行四边形.根据是两组对边相等的四边形是平行四边形.
如图4
④，这时说明平行四边形有一个角是直角，其它的三个角也可知是直角，这时四边形是矩形，根据：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
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-菱形的判定方法的应用
菱形是特殊的平行四边形，它的常用判定方法有：
（1）四条边都相等的四边形是菱形；
（2）有一组临边相等的平行四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
下面，就给同学们说说如何应用这些方法进行判定一个四边形是菱形。
一、四条边都相等的四边形是菱形
例1（郴州）如图1，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由．
分析：翻折就是对称，也就是全等。
解：四边形ABCD为菱形。
理由是：
由翻折，得：△ABC≌△DBC．
所以，
因为，△ABC为等腰三角形，
所以，
所以，AC＝CD＝AB＝BD，
故，四边形ABCD为菱形
点评：本题主要是应用对称的知识得出一组临边相等，在运用等腰三角形的两腰相等得到四条边都相等来解答。
二、有一组临边相等的平行四边形是菱形
例2（永州）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．
分析：在四边形EFCD中，由题意我们知道有一组临边ED和CD相等是很容易得到的，只要在说明这个四边形是平行四边形即可以。
（1）证明：
与都是等边三角形
又
EF∥CD，
四边形EFCD是平行四边形，
平行四边形是菱形。
（2）解：连结，与相交于点
由，可知
点评：观察是解答问题的途径和窗口。
三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例3（上海）如图，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
求证：四边形是菱形；
分析：本题主要是利用等边三角形顶角的平分线、底边上的高和中线三线合一，得出AC⊥BD，然后在利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
证明：在平行四边形中，
AO=OC,
又因为，是等边三角形，
所以，OC是底边AC上的中线，也是底边上的高
即AC⊥BD，
所以，平行四边形是菱形。
点评：判定方法的确定要依据题目的特征来选择，要因题而宜，灵活运用。
以一当十：
1、（无锡）如图，四边形中，，平分，交于．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由．
参考答案：
1、（1），即，又，
四边形是平行四边形．
AC平分，，
又AD∥CE，，，，
四边形是菱形．
（2）是中点，．又，，
，
，
，．
即，是直角三角形．
图1
E
C
D
B
A
O
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1与矩形相关的折叠问题
在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题的一个突破口。下面从几个不同的层面展示一下。
例1、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为(
)．
(A)60°
(B)75°
(C)90°
(D)95°
分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC和折痕BD就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A/BC,∠EBD=∠E/BD。
例2、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O。
（1）由折叠可得△BCD≌△BED，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来
。
（2）图中有等腰三角形吗？请你找出来
。
（3）若AB=6,BC=8,则O点到BD的距离是
。
分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD。另外，还可以从另一个角度分析。由折痕BD可以找到
∠OBD=∠CBD，由于在矩形中，AD∥BC，∠ODB=∠CBD，经过等量代换∠OBD＝∠ODB，然后等角对等边OB=OD。这是在矩形折叠中比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中发挥作用的一类题目。因为AD＝BC，BC＝BE，因此在△ABO中可以设AO＝x，则BO＝OD＝8－x，因为AB＝6，即可以根据勾股定理列等式：AB2＋AO2＝BO2进行计算了。下面的这个题目就是用这个思路解决的。大家可以尝试一下。
例3、已知：如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB，OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为（0,3），∠OAB＝60°,以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点的坐标.
例4、一个矩形纸片如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF。
（1）找出图中全等的三角形，并证明。
（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。
（3）连接BE，并判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明。
分析：此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠的过程中隐藏着EF垂直平分BD，这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要的作用，这仍然是轴对称的性质。利用这些条件易证明△EOD≌△BOF，则有ED＝BF，且ED∥BF，首先四边形EBFD是平行四边形，由于BD、EF互相垂直，所以就可说明四边形EBFD是菱形。
例5、在矩形ABDC中，把∠A沿CF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，若AB＝a，AC＝b，请你计算
的值。
分析：这个问题中的折叠，体现出来的看似只是一对角的相等，其实还有矩形中心对称图形的特征。即点E是对角线的交点。由矩形的性质可以说明AE＝DE，因为折叠可知AC＝CE，因此可得：△CAE是等边三角形，即∠ACB＝60°，进而在直角△ACB中解决两直角边的关系为：１。
总之，由于矩形本身所独有的特征，例如直角、对角线相等这些区别于普通平行四边形的特征，使得折叠在矩形中会产生奇妙的结果，只要大家用心体会，善于总结归纳，一定会从中发现很多美妙的结论！
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3
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C
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-正方形典型题解析
正方形因其性质独特，而颇受命题者青睐。纵观正方形习题，类型繁多，解题方法灵活多变。同学们在平时若能多加练习，对提高解题能力将大有益处。下面分类介绍几例。
一、证明两条线段相等
例1.
如图1，已知正方形ABCD中，E、H、F、G分别是边AB、BC、CD、DA上的点，EF⊥GH。
求证：EF＝GH
解析：过点G、E分别作GM⊥BC、EN⊥CD，垂足分别是M、N，然后证△ENF≌△GMH即可。
二、证明一条线段等于另外两条线段的和
例2.
如图2，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，AH⊥EF于H。
求证：（1）BE＋FD＝EF
（2）AB＝AH
证明：（1）延长EB到M，使得BM＝DF
则△ADF≌△ABM
∴∠FAD＝∠MAB，AM＝AF
∵∠FAD＋∠EAB＝45°
∴∠MAE＝∠MAB＋∠BAE＝45°＝∠EAF
∴△MAE≌△FAE
∴ME＝EF
∴BE＋FD＝EF
（2）因为△MAE≌△FAE，根据全等三角形对应边上的高相等即可证明AB＝AH。
点评：此题的证法为截长补短中的补短法（也可以看作是旋转法，即将△ADF旋转到△ABM），关于它的变式很多，同学们只要熟练掌握了此题的解法，就可以以不变应万变。
三、求角的度数
例3.
如图3，P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，求∠APB的度数。
解析：把△BPA绕点B旋转到△BP”C的位置，易证∠PBP”＝90°，则PP”＝，根据勾股定理的逆定理可得△PP”C为直角三角形，∠PP”C＝90°，因此∠APB＝∠CP”B＝90°＋45°＝135°
四、求不规则图形的面积
例4.
如图4，正方形ABCD的边长为a，E、F分别是BC、CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积。
解析：联结CG，不难得出，从而，由E、F分别是BC和CD的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等。
因为，所以
通过上述列举可知，正方形题种类颇多，而且比较灵活，但只要在学习中善于探索，认真总结，正方形问题是不难解决的。
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1如何判定正方形
一、依据“有一组邻边相等的矩形是正方形”判定
例1、如图：已知在中，，为边的中点，过点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形.
分析：由∠AED=∠AFD=∠A=90°，则四边形CEDF是矩形。根据，有DE=DF，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，所以四边形CEDF是正方形
证明：因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED=∠AFD=90°，又因为∠A=90°，所以四边形DFAE为矩形。因为DE⊥AB，DF⊥AC，∠BED=∠CFD=90°，因为AB=AC，所以∠B=∠C，因为D是BC的中点，所以BD=CD，所以△BED≌△CFD，所以DE=DF，所以四边形DFSE是正方形
二、依据“有一个角直角的菱形是正方形”判定
例2、如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的中点，且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH是正方形
分析：首先证明△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG，从而得出EH=EF=FG=GH，即四边形EFGH是菱形，然后再证明一个角是90°即可
证明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，因为AE=BF=CG=DH，所以BE=CF=DG=AH，所以△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DHG，所以EF=FG=GH=EH，所以四边形EFGH是菱形，因为△AEH≌△BEF，所以∠AHE=∠BEF，因为∠AEH+∠AHE=90°，所以∠AHE+∠AHE=90°，所以∠HEF=90°，所以四边形EFGH是正方形
D
C
B
E
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F
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