资源简介

用借助数轴准确判断有理数混合运算的正负号
难易度：★★
关键词：有理数
答案：
有理数混合运算中，准确判断正负号，要根据每一个数的正负、绝对值的大小、运算法则等。
【举一反三】
【举一反三】
典例：实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
思路导引：一般来说，此类问题要用数轴判断出两数的符号和绝对值。本题中a小于b小于0，两数同号，根据有理数乘法法则和加法法则，A、B正确。a的绝对值大，b的绝对值小，所以C项错误。
标准答案：C
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www.《数轴》学习指导
一、学习要点
学习目标
1.通过与温度计的类比认识数轴，能正确画出数轴.
2.能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法.
3.能利用数轴表示有理数的大小.
难点：利用数轴比较两个有理数（尤其是两个负分数）的大小.
考点：利用数轴比较有理数的大小是中考的重要考点之一，常与其他知识结合考查.
相关知识链接
1.有理数：整数和分数统称为有理数.
2.正数和负数：像5,1,1.2，，…这样的数叫做正数；在正数的前面加上“—”号叫做负数，如-10，-6，…
3.0既不是正数也不是负数.
二、学习引导
想一想
1.小学里曾用“射线”上的点表示数，你能在射线上表示出1和2吗？
2.用“射线”能不能表示所有的有理数？为什么？
3.你认为把“射线”做怎么样的改动，才能更好地用来表示有理数呢？
画一画
仔细观察下列图片---放大的温度计：
<1>
<2>
试写出图1中温度计上显示的温度各是多少？
、
、
.
与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零.
【请与图2对比，加深理解】
像上面，画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点，origin），选取某一长度作为单位长度（unit
length），规定直线上向右的方向为正方向（positive
direction），就得到数轴（number
line）.
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
做一做
例1
如图，数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数？
例2
画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的大.正数大于0，负数小于0，正数大于负数.
试一试：比较下列每组数的大小：
（1）-2和+6
（2）0和-1.8
（3）和-4.
提示：先在数轴上找到这些数所对应的点的位置，再根据前面的结论比较大小.
三、预习检测
1.数轴上的一个点先向左移动3个单位长度，再向右移动7个单位长度，终点表示的数是-1，那么原来的点表示的数是（
）
A.-6
B.-5
C.5
D.6
2.在-6,0,3,8这四个数中，最小的数是（
）
A.-6
B.0
C.3
D.8
3.与原点距离为3个单位的点有
个，它们分别表示有理数
和
.
4.在数轴上把下列各数表示出来，并比较它们的大小，用“<”将它们连接起来.
6，-3.5,0，，-4.
参考答案
1.B
2.A
3.2,3，-3
4.
如图所示
PAGE运用数轴准确找出已知点的对称点
难易度：★★★
关键词：有理数
答案：
答案：数轴上的原点把数轴一分为二，左右分别为负数和正数，以原点为对称的左右两点即表示相反数的两点。
【举一反三】
典例：如图，数轴上两点表示的数分别为和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（
）
A．

B．
C．

D．
思路导引：一般来说，此类问题先找出对称的点和对称点所对应的数值。B关于点A的对称点为C，所以点c和点B到点A的距离相等，点A到点B的距离为。
标准答案：Ａ
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www.例说“数轴”的五大功能
大家知道，我们把规定了原点、正方向、单位长度
( http: / / www.21cnjy.com )的直线叫做数轴.“数轴”是初中数学中联系数与形的第一座“桥梁”.下面将它的功能归纳如下，供同学们学习时参考！
一、利用数轴可以直观地表示有理数
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，最常见的是这两类问题：⑴已知数轴上的点读出所表示的数；⑵把有理数用数轴上的点表示出来.
例1：如图1所示，指出由A、B、C、D、E各点分别表示什么数？
解：点A表示数2.5，点B表示数-3.5，点C表示数0，点D表示数1，点E表示数-2.
二、利用数轴可以形象解释相反数
只有符号不同的两个数互为相
( http: / / www.21cnjy.com )反数，如果我们利用数轴来认识相反数，则十分形象直观.
在数轴上，表示一对相反数的两个点同时具备两个条件：（1）到原点的距离相等；（2）分别位于原点的左右两侧.如图1中的-2和2，它们互为相反数，在数轴上位于原点的两侧，并且与原点的距离相等.
三、利用数轴可以准确地比较有理数的大小
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.根据这一特点可把要比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴上比较两数的大小.
例2：根据图2所示，试判断的大小.
解：因为在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大，所以数的大小关系是.
四、利用数轴可以帮助我们理解绝对值的意义
一个数的绝对值，就是在数轴上表示这个数的点离开原点的距离.而距离至少为0，所以绝对值就一定是非负数，即≥0.绝对值与离开原点的距离有关，不论在正半轴还是负半轴，离开原点越远则这个数的绝对值越大.
例3：已知有理数、、在数轴上的位置如图3所示，化简.
解：由数轴可知：
所以，，，
所以原式＝＝＝-2.
五、利用数轴分析物体运动的实例可以非常直观地获得物体运动后的结果
例4：小强从A地向东走10米，然后折回向西走3米，又折回向东走6米，问此时小强在A地的哪个方向上？距离是多少？
解：我们借助数轴，把实际问题转化为数学知识模型，先画出如图4所示的数轴，以A点为原点.
观察数轴可知：小强实际走
( http: / / www.21cnjy.com )的路线是A→D→B→C，我们可以把小强行走的过程想象为A点在数轴上移动的过程：A点向右移动10个单位长度，得到表示10的点D，接着向左移动3个单位长度，得到表示7的点C，所以此时小强在A地的正东方向，距离A点13米.
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
A
D
C
E
B
图1
0
A
C
B
图2
O
图3
A
C
B
8
0
2
4
6
10
12
14
－2
图4
D学习数轴值得注意的几个问题
数轴是研究数学的重要工具之一，是数形结合思想的具体体现，是我们学好数学的好帮手.那么怎样才能学好数轴呢？笔者认为应注意掌握以下几个问题：
正确理解数轴的概念
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
由此可知，数轴的这一概念包含了三层涵义：第一层涵义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸，但直线不是数轴
；第二层涵义是说数轴有三个特殊条件：①原点；②正方向；③单位长度.三者缺一不可，这三个特殊条件称为数轴的“三要素”；第三层是说数轴上的原点位置、单位长度都是自己规定的，但在同一条数轴上的单位长度必须一致；第四层涵义是说正方向通常选取向右的方向为正方向.如图1是一条数轴.
会正确地画出数轴
　　正确地画出一条数轴的方法可概括为“一画、二取、三选、四标”.即一画，即画一条直线，再画出原点；二取，即取向右的方向为正方向；三选，即选取适当的长度为单位长度；四标，即在数轴上标出1，2，3，…，0，－1，－2，－3，…等各点.
画一条数轴虽然可概括为“一画、二取、三选、四标”，但还必须注意以下几个问题：①数轴这条直线通常情况下要画成水平的；②单位长度的选取应根据实际情况的需要，如要在数轴上表示0.2和0.25的点，则单位长度可取长一点，如用2.5cm的长度为单位长度；又如要在数轴上表示－2000和3500的点，则单位长度可取小一点，如用0.5cm的长度为500；③原点的选取也应从实际出发，如要在数轴上表示－5和2的点，此时的原点可选定偏左一点，等等.
另外，画一条数轴还要避免一些常见的错误.常见的错误有：①没有方向，如图2不是数轴；②没有原点，如图3不是数轴；③单位长度不统一，如图4不是数轴；④数轴负方向上的负数排列颠倒，如图5不是数轴；⑤正数标在负方向上，负数标在正方向上，如图6不是数轴.
正确理解数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数.正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示.如图7，从原点向右2个单位长度的A点表示2，从原点向左3.5个单位长度的B点表示－3.5，等等.
能熟练运用数轴解题
　　数轴的建立，可以将所有的有理数在数轴上表示出来.因此数轴有以下两个重要特性：
（1）零可以用原点表示，正数可以用原点右边的点表示，负数可以用原点的左边的点表示出来.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
利用数轴的这两个特性，可以运用数轴解决具体的问题.
写出符合下列条件的点所表示的各数：
（1）与原点的距离等于2个单位长度的点所表示的数；
（2）若点P所表示的数是－1，则与点P的距离等于2个单位长度的点所表示的数.
简析　依据题意可建立如图8所示的数轴.（1）与原点的距离等于2个单位长度的点有两个，一个是原点右边的点A，一个是原点左边的点B，点A对应的数是2，点B对应的数是－2，即与原点的距离等于2个单位长度的点所表示的数是2与－2；（2）与点P的距离等于2个单位长度的点所表示的数也有两个，即一个点在点P的右边的点C，一个是P点左边的点D，则与P的距离等于2个单位长度的点所表示的数是1或－3.
比较下列各数的大小：－1，－3.5，2,0.5.
　简析　依据题意可建立如图9所示的数轴.在数轴上分别标上表示－1，
－3.5，2,0.5的点所表示的数.则有－3.5＜－1＜0.5＜2.
－1
　3
图2
1
－3
2
－2
0
图1
－1
　3
1
－3
2
－2
0
图3
－1
2
－3
3
－2
1
图4
1
－3
2
－2
0
图8
－1
　3
1
－3
2
－2
0
A
B
D
C
P
3
图6
　－3
－1
1
－2
2
0
图5
－3
　3
1
－1
2
－2
0
图7
－1
　3
－4
1
－3
2
－2
0
A
B
0.5
图9
－1
　3
－4
1
－3
2
－2
0
－1
－3.5
PAGE数轴解释代数式的意义
难易度：★★★
关键词：有理数
答案：
用数轴解释代数式的实际意义应把握好数轴本身的意义并加以运用。
【举一反三】
典例：大家知道，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是
．
思路导引：
一般来说，此类问题应考虑数轴上两点间的距离。本题中式子中有两个数，
a+5也可以写成a-（-5）所以题目中的5实际为-5。
标准答案：表示a的点与表示-5的点之间的距离.

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www.怎样学好“数轴”
数轴是“数”与“形”的第一次结合，它使抽象的“数”直观化，使数与直线上的点之间建立了对应关系，表明了数与形的内在联系，并由此形成了数形结合的基础。数轴是非常重要的数学工具，本文从以下五个方面提醒大家学好它。
提醒一、正确认识数轴的意义：
数轴的意义要从以下三个方面理解：①原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。原点的选定，正方向的选取，单位长度大小的确定，都是根据需要规定的。通常取向右为正方向，单位长度大小的确定，可根据各题的实际需要，灵活选取，有时可以每隔两个或多个单位长度取一个点；②正数总在原点的右边，负数总在原点的左边；③一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
提醒二、学会画数轴的方法：
数轴的画法一般按下面四步进行：①首先画一条直线（一般画成水平直线）；②在这条直线上任取一点作为原点，并用这点表示零（在原点下边标上“0”）；③再确定正方向（一般规定向右为正），画上箭头，而相反方向为负方向；④最后选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上下1，2，3，…，从原点向左依次标上-1，-2，-3…如图1。
另外注意：原点的位置，单位长度的大小可根据实际情况适当选取，一个单位长度间隔的两点，表示的两个数可以相差0.1，1，10，100…，视情况而定（如图2）。
提醒三、理解有理数与数轴上的点的关系：
可以从以下两方面理解：①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数，如数轴上表示的点表示的就不是有理数（是一个无限不循环小数，不能化成分数，所以不是有理数）。②正数可用原点右边的点表示，反过来原点右边的点都表示正数；负数可用原点左边的点表示，反过来原点左边的点都表示负数；零用原点表示，反过来，原点表示零。
提醒四、了解数轴在生活实际中的应用：
数轴在生活实际中有着广泛的应用，我们常见如：温度计、直尺、有刻度的秤杆、弹簧秤等，除此之外像量角器、电流表、电压表、欧姆表、汽车上的速度表、油量表等仪表上的刻度都可以认为是数轴的应用。
提醒五、正确了解数轴的作用：
数轴具有以下作用：①可以形象地表示有理数；②可以帮助我们理解具有相反意义的量的概念；③可以给相反数、绝对值（下一节将学到）等抽象的概念以直观的解释；④可以直观地帮助比较有理数的大小；⑤由于所有的有理数与数轴上的点之间并未建立一一对应的关系，所以预示必有新的数产生，将产生什么数下一学期大家就知道了。
PAGE什么是有理数的加减
难易度：★★
关键词：有理数
答案：
答案：有理数的加减容易出错，特别是刚对于正负符号的判断不容易弄懂。但如能巧妙运用数轴，则可以数形结合，化难为易。
【举一反三】
典例：有理数
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )在数轴上的位置如图所示，则
( http: / / www.21cnjy.com )的值
A．大于0
B．小于0
C．小于
( http: / / www.21cnjy.com )
D．大于
( http: / / www.21cnjy.com )
思路导引：一般来说，此类问题可借助数轴，判断出两数的符号和绝对值的大小，再根据法则或点在数轴上的几何意义，就不难解决。
( http: / / www.21cnjy.com )小于0，
( http: / / www.21cnjy.com )
大于0，又
( http: / / www.21cnjy.com )的绝对值大于
( http: / / www.21cnjy.com )的绝对值。
标准答案：A 数轴
( http: / / www.21cnjy.com )
1．数轴
(1)定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，如图．
( http: / / www.21cnjy.com )
①数轴有三要素：原点、正方向、单位长度
( http: / / www.21cnjy.com )，三者缺一不可；②原点的选定，单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的．通常取向右的方向为正方向．
(2)数轴的画法
画一条数轴的步骤可概括为：一画、二定、三选、四标．
①画直线：就是先画一条直线，一般画成水平的直线；
②定原点：通常原点选在你所画直线居中的位置，若问题中负数的个数较多时，原点选得靠右些；正数的个数较多时，原点选得靠左些．
③选正方向：通常取原点向右的方向为正方向，并选取适当的长度为单位长度，将表示刻度的点用短竖线表示．
④标数：在数轴上依次标出1,2
( http: / / www.21cnjy.com ),3,4,0，－1，－2，－3，－4等各点，相应的数0，±1，±2，…写在数轴的下方；将需要在数轴上表示出的数或字母写在数轴的上方，相应的点表示为实心小圆点．
要是在数轴上用到30，那得标多少单位啊！
适当的长度有两层含义：①可取实际1
c
( http: / / www.21cnjy.com )m作为一个单位长度，也可以取2
cm或其他实际数据作为一个单位长度；②一个单位长度可表示1，也可表示10或更多！如图所示就能做到啦！
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【例1】
下列图形表示的数轴正确的是(
)．
解析：
A
×
直线上没有规定正方向
B
×
－1的位置标错了
C
√
符合数轴的三要素
D
×
单位长度不统一
答案：C
2．有理数与数轴上的点的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，即每个有理数都对应数轴上的一个点．
(1)表示正数的点都在原点的右侧；(2)表示负数的点都在原点的左侧；(3)表示0的点就是原点．
【例2】
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：－2,0,1，－0.5，－，2.
(2)指出如图所示的A，B，C，D，E各点分别表示什么数？
分析：(1)
有理数
数轴上的位置
－2
原点向左2个单位长度
0
原点
1
原点向右1个单位长度
－0.5
原点向左0.5个单位长度
－
原点向左个单位长度
2
原点向右2个单位长度
(2)
字母
数轴上的位置
有理数
A
原点右边3个单位长度
3
B
原点左边1个单位长度
－1
C
原点左边1.5个单位长度
－1.5
D
原点右边1.5个单位长度
1.5
E
原点右边0.5个单位长度
0.5
解：(1)如图．
(2)点A表示3；点B表示－1；点C表示－1.5；点D表示1.5；点E表示0.5.
点技巧
“数形结合”思想
(1)根据已知数在数轴上标出对应点，分三步
( http: / / www.21cnjy.com )：①画数轴；②确定点，并用实心小圆点描出；③标数，即在实心小圆点的上方标出所表示的数．(2)根据数轴上的点读数，原点表示0，原点向右为正数，原点向左为负数．都体现了“数形结合”的思想．
3．利用数轴比较有理数的大小
(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大．
(2)正数大于0，负数小于0，正数大于负数．
(3)多个有理数比较大小：①把各个数在数轴上表示出来；②根据各数在数轴上的顺序，用“<”或“>”连接．
析规律
两个有理数比较大小的方法
分情况比较：①若两数同号(都为正数或都为负数)，数轴上左边的数＜右边的数；
②若两数异号，则正数＞0＞负数．
【例3－1】
比较下列这组数的大小，并用“＜”连接起来．
－4，，1，－2,3,0，－0.5.
分析：如图，根据在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大这一规律，可以先将这组数对应的点找到，然后比较大小．
解：如图．
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－4＜－2＜－0.5＜0＜＜1＜3.
【例3－2】
有理数a，b在
( http: / / www.21cnjy.com )数轴上的位置如图所示，试用“＝”“＞”或“＜”填空：a__________0，b__________0，a__________b.
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解析：a在原点的左边，是负数，负数小于
( http: / / www.21cnjy.com )0；b在原点的右边，是正数，正数大于0；b的对应点在a的对应点的右边，数轴上右边的数总是大于左边的数(或正数大于负数)．
答案：＜
＞
＜
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4．数轴上点的移动
(1)相对于原点的移动：从原点向右a(a>0)个单位长度，则表示的数是a；从原点向左a(a>0)个单位长度，则表示的数是－a.
(2)两个相对点的移动：点A相对于点B向右移动或向左移动一定的距离，最后表示的数要看点A移动结束时对应点距离原点的距离和位置．
【例4】
一探险队要沿着一东西走向的河
( http: / / www.21cnjy.com )流进行考察，第一天沿河岸向上游走了5
km，第二天又向上游走了4.3
km，第三天开始计划有变，向下游走了4.8
km，第四天又向下游走了3
km，你知道第四天之后，该探险队在出发点的上游还是下游吗？距离出发点多远？
解：设出发点为原点，向上游走为正，那么向
( http: / / www.21cnjy.com )下游走为负，画出数轴如图所示．利用数轴分析，得第四天后，探险队在出发点的上游，距离出发点1.5
km.
5.利用数轴求数轴上的点表示的数
在数学里，数与形是密切联系的，数轴的引进使有理数与直线上的点联系了起来，利用数轴可以比较容易地写出数轴上某区域中的整数、正整数、负整数等．
如，写出大于－5而小于3的所有整数．可以先画
( http: / / www.21cnjy.com )出数轴，在数轴上标出－5与3这两个点，再在这两个点之间找出满足题意的整数－4，－
3，－2，－1，0,1,2即可．
【例5】
小红做题时，不小心把墨水洒在了数轴上，如图所示，请根据图中的数值，写出墨迹盖住的所有整数．
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分析：观察数轴可知，比－12.1大的
( http: / / www.21cnjy.com )最小整数是－12，比－6.5小的最大整数是－7，比－0.5大的最小整数是0，比10.5小的最大整数是10，所以墨迹盖住的整数分别是－12，－11，－10，－9，－8，－7及0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
解：墨迹盖住的所有整数分别是－12，－11，－10，－9，－8，－7及0,1,2,3,
4,5,6,7,8,9,10.什么是代数式的化简
难易度：★★
关键词：有理数
答案：
代数式的化简是初中数学的难点，其中有一类题目可借助数轴，用数轴的几何观点轻松解决绝对值和平方根的化简问题。
【举一反三】
典例：已知实数
( http: / / www.21cnjy.com )在数轴上的位置如图所示，则化简
( http: / / www.21cnjy.com )的结果为（
）
A．1
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
思路导引：我们知道，负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身；，
( http: / / www.21cnjy.com )。本题由数轴可看出
( http: / / www.21cnjy.com )，所以
( http: / / www.21cnjy.com )。所以原式=（1-a）+a=1，选A。
标准答案：A用数轴比较数的大小
难易度：★★
关键词：有理数
答案：
用数轴比较两个有理数的大小是数轴的基本功能之一。在数轴上以原点为分界，左为负数，右为正数。一般规律为数轴上的点从左到右的顺序，表示的数就是从小到大的顺序。
【举一反三】
典例：实数、在数轴上对应点的位置如图所示，
则
▲
(填“<”或“>”)
．
关键词：有理数的大小比较
思路导引：一般来说，此类问题应注意原点、已知点的位置，根据位置判断出正负和大小即可。也可根据负数比较法则，绝对值大的反而小。
标准答案：<
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www.学好数轴，用好数轴
数轴形象地反映了数与点之间的关系，实现了“数”与“形”的结合，它可以帮助我们直观地理解有理数的意义．因此，学习有理数，一定要学好数轴，用好数轴．
一、学好数轴
1、数轴的概念：略．
2、数轴的画法：
（1）直线一般画成水平的，通常取向右的方向为正方向；
（2）将表示刻度的点用短竖线表示，相应的数如0、±1、±2、…写在数轴的下方；将需要在数轴上表示出的数或字母写在数轴的上方，相应的点表示为实心小圆点．例：在数轴上表示出下列各数：、0，1.5，．规范的表示如右图．
3、学习数轴时应注意的问题：
（1）画数轴时，原点、正方向和单位长度这三个要素缺一不可，以下几种画法都是错误的．（想一想：为什么？）
（2）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但反过来，数轴上的点并不都表示有理数．（还可以表示无理数，以后将学到）
二、用好数轴
1、利用数轴加深对有理数的认识
（1）正确认识0
随着负数的引进，数的范围扩大了，0除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界，它既不是正数也不是负数，它是整数．
（2）正确认识整数
在数轴上原点和单位长度整数倍的点表示的都是整数。没有最小的整数，也没有最大的整数；最大的负整数是－1，最小的正整数是1．
（3）正确理解正数、负数
在数轴上，原点左边的所有点都表示负数，且越往左数越小；原点右边的所有点都表示正数，且越往右数越大．从数轴上可以看出，没有最小的负数，没有最大的负数，同样，没有最小的正数，也没有最大的正数．
2、利用数轴探究问题
例1
如图，在数轴上从－1到1有3个整数，它们是－1，0，1；从－2到2有5个整数，它们是－2，
－1，0，1，2；……，则从－100到100有
个整数。
析解：原点左边和右边各有100个整数，加上原点表示的0，共有201个整数．
例2
已知数轴上的点A所表示的数是2，那么在数轴上到点A的距离是3的点所表示的数是
．
析解：在点A的左边和右边各有一个到它的距离等于3的点，因此符合条件的数有两个，分别是5和－1．
由上面可以看出：有理数都可以用数轴上的点来表示，利用数轴可以加深对有理数的认识，解决与有理数有关的问题；反过来，通过对有理数的学习，又进一步加深了对数轴的理解和认识，这就是数学学习中重要的数形结合思想．在后面的学习中，我们还将利用数轴来学习相反数、绝对值的意义及比较两个有理数的大小，希望大家认真领会．学习数轴应注意的三个方面
数轴在有理数的学习中起着重要的作用.它是学习、理解相反数、绝对值的重要工具.正确理解数轴，并能利用数轴解决问题是数形思想的重要体现.
一.数轴的理解
数轴是一条特殊的直线，在这条直线上规定了原点、正方向和单位长度.理解数轴应把握以下三点：（1）数轴是一条特殊的直线，但直线不是数轴；（2）数轴有三个重要特征：①有原点（表示数0的点）；②正方向（向右的方向）；③单位长度；（3）数轴上的原点的位置、单位长度都是根据实际问题需要规定的，在同一条数轴上的单位长度应一致.
二.数轴的画法
正确画一条数轴的步骤可概括为：一画、二取、三选、四标.一画，就是先画一条直线，一般画成水平的直线；二取，就是在直线上选取适当的点，用它来它来表示0，称为原点；三选，就是选择向右的方向为正方向，用箭头表示出来，并选取适当的长度作为长度单位；四标，就是从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1，-2，-3，….
如图1，就是一条数轴.但数轴的单位选取要根据实际情况，灵活处理.如要在数轴上表示-0.1,0.2等小数,则单位长度可选长一些,可用1cm代表一个单位长度;要在数轴上表示-100,-300等数时,则单位长度可取小一些,如用1cm长度表示100.
图1
例1
指出图2
中哪些不是数轴吗 并指出你判断的理由.
(1)
(2)
(4)
分析:在画数轴时,常出现以下几种错误:①没有方向;②没有原点;③单位长度不统一;④标数不按顺序.而(1)中恰好是第①种错误;(2)恰好是第②错误;(3)恰好是第③种错误;(4)恰好是第④种错误.所以(1),(2),(3),(4)都不是数轴.
三、数轴的应用
1．利用数轴上点可以表示任意一个有理数.但并不是所有数轴上的点都表示有理数.随着学习的深入，你会认识到这一点的.
2．利用数轴可以比较两个有理数的大小.在数轴上右边的表示的数总比左边的大，正数都大于0，负数都小0，正数大于一切负数.
3．利用数轴可以理解相反数的意义.在数轴上符号相反，且到原点距离相等的点所表示的数，互为相反数，如-2和2.
4．利用数轴可以理解绝对值的几何意义：数轴上表示点a的数与原点的距离叫点a的绝对值.
例2
在数轴上表示
3，1，-0.5,
0的相反数,并将它们的相反数按从小到大的顺序用“<”表示出来.
解析:依据题意,建立如图3所示的数轴,在数轴上分别表示出-3,-1,0.5,0,从数轴观察得到:-3<-1<0<0.5.
图3
例3
写出数轴上符合下列条件的点所表示的数.
(1)与原点的距离为3个单位长度的点所表示的数;
(2)若点A所表示的数是1,与点A的距离是是3个单位长度的点所表示的数.
解析:根据题意建立如图4数轴.
(1)从数轴上很容易观察到与原点3个单位长度的点所表示的数有两个,分别为3,-3;
(2)与点A距离为3个单位的点有两个,这两个点所表示的数分别是-2和4.
图4
PAGE巧用数轴先生
数轴先生具有简洁明了的特点，有理数和绝对值都非常喜欢他，都愿意和他交朋友.
某天傍晚数轴先生出门散步，他先来到了有理数大哥的家里，看到有理数大哥愁眉苦脸的，就问：“有理数大哥，怎么了？”有理数就说“你看，同学们对于下面的这两道题经常做不好，不知道你有什么办法没有？”
例1.
大于-4且不大于3的偶数有__________.
数轴先生看了后，说：“这有什么难，用我就可以了.你只要利用数轴画出图1，那么就非常清晰了.”
解：如图，大于-4且不大于3的数有3，2，1，0，-1，-2，-3.其中是偶数的有2，0，-2.
例2.
点A从-1开始，先向左移动2个单位长度到达B点，再由B点向右移动5个单位长度到达C点，最后由C点相左移动1个单位长度到达D点，那么D点表示的______.
数轴先生说：“你也只要利用我表示出整个移动过程，如图2，结果就很清楚了.”
解：如图2，先向左移动2个单位长度到达B点为-3，向右移动5个单位长度C点为2，相左移动1个单位长度D点为1.
从有理数大哥家出来后，数轴先生又来到了绝对值的家，看到绝对值正满头大汗的在做题.看到数轴先生后，绝对值感到非常高兴，说：“有理数大哥，你帮我看看下面两题，有什么好办法吗？”
例3.
如果，则比较a与b的大小会有哪些结果，请你都写出来.
有理数先生看了一下后，说：“结果是有点多的，解题过程中不要遗漏结果，如果你利用我的图形，就会避免，如图3.”
解：因为，表示到原点的距离为4，那么这样的数有两个+4和-4，因为，表示到原点的距离为4，那么这样的数有两个+3和-3.若a=
4，b=3，则a﹥b；若a=
4，b=
-3，则a﹥b；若a=
-4，b=3，则a﹤b；若a=-4，b=
-3，则a﹤b.
例4.
求的最小值.
有理数先生沉思一下后说，此题也可以借助我，而且非常简单，容易理解，看我的吧.
解：在数轴上表示一个点到2的距离，在数轴上表示一个点到
-1距离，那么的最小值就表示一个点到2和-1的距离和最小.
当x点在2和-1之间时（如图4），的距离和就是
当
x点在-1的左边时（如图5），的距离和明显大于第一种情形.
当
x点在2的右边时（如图6），的距
离和也明显大于第一种情形.
所以的最小值为3.
在回家的路上，数轴先生想我简单明了的图形可以解决很多问题，它的实质是数形结合的思想.
对于相反，数轴先生也能解决一定的问题.
例5.
(1)如果a与-3互为相反数，那么a=
.
A.3
B.-3
C.
D.-
(2)一个数的相反数非正，则这个数是
.
A.负数
B.正数
C.正数或零
D.不确定
解析:
(1)选A.
(2)因为0的相反数是0，正数的相反数是负数，故选C.
例6.
(1)如果a=-13，那么-a=
；
(2)
a，b互为相反数，c，d互为倒数，则2005(a+b)2005+2006(cd)2006=
.
解析:
(1)因为-13的相反数为13，所以a的相反数-a=13；
(2)显然a+b=0，cd=1，故原式=2006.
PAGE《数轴》知识点解读
知识点1
数轴（重点）
1.数轴的概念
画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度.规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。如下图
2.数轴的画法
（1）画直线、定原点：通常原点选在直线中间，若问题中负数的个数较多时，原点选靠右些；正数的个数较多时，原点选的靠左些．
（2）定方向：通常取原点向右的方向为正方向．
（3）定单位长度：选取适当的长度（如0.5cm）为单位长度，若在数轴上表示是0.0001和－0.0004则可取一个单位长度为0.0001；在数轴上表示3000与－4000，则可规定一个单位长度为1000．
（4）标数：在数轴上依次标出1，2，3，4，－1，－2，－3，－4等各点．
3.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
注意：（1）在取原点位置和确定单位长度时，要根据题目的不同特点，灵活选取.
（2）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都可以表示有理数.（今后要学的无理数也可以用数轴上的点来表示）
【例1】指出下图中的数轴上各点表示的数.
解析
读出在数轴上的点表示的有理数分两步：（1）根据点在原点的左右边确定有理数的符合；（2）根据点与原点的距离确定数值.
答案
A点表示-2；B点表示-1，C点表示0；D点表示2；E点表示2.
【类型突破】
画出数轴，并用数轴上的点来表示下列各数：+4，-2，-4.5，1，0.
答案
知识点2
有理数大小的比较（重点）
利用数轴可比较有理数的大小，即
（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
（2）由正数、负数、0在数轴上的位置可知：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.
提示：正负数的表示方法：因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以可用a>0表示a是正数；反之，知道a是正数也可以表示为a>0.
同理，a<0表示a是负数；反之，a是负数也可以表示为a<0.
【例2】将下列各数在数轴上描出其对应点，并用“<”将它们连接起来.
-3，3，-2，，-0.5，，1,0.
解析
将给出的数在数轴上表示出来，再根据数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大的规律来比较大小.
答案
在数轴上表示如下图所示.
用“<”连接为：
方法总结：比较数的大小时，利用数轴，把这些数用数轴上的点来表示，根据右边的总比左边的大比较，这种方法是数学结合思想的初步运用.
【类型突破】写出所以大于而小于的整数
.
答案
-3，-2，-1,0,1
PAGE借助数轴来理解有理数
大家知道，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.你能说出数轴有哪些作用吗 如果不能，就请你我一起来探索一下吧.
利用数轴认识有理数的范围
我们知道所有的有理数都可以用数轴上
( http: / / www.21cnjy.com )点表示,所有的正数都在原点的右边,所又的负数都在原点的左边,O在正负数的分界点上.从数轴上很直观地理解有理数的范围,有理数包括正有理数、0、负有理数.所以0不再是最小的数了.从数轴上可以看到没有最大的有理数,也没有最小的有理数.从数轴上可以理解有理数有无数多个.且很容易理解最大的负整数是-1,最小的正整数是1.
二、利用数轴理解相反数
我们学习的数的范围扩大了
( http: / / www.21cnjy.com ),出现了负数.进而出现了一些新的概念,相反数就是学习有理数意义后接触的第一个新的概念.利用数轴帮助我们理解有理数的概念形象特别鲜明.如图1,数轴上的3和-3,它们只有符号不同,表示这两个数的点的位置到原点的距离相等,且分布在原点的两旁.从数轴上更能看出0这个特殊的数,它的相反数只能是它的本身,且相反数等于本身的数也只有0.
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图1
三、
利用数轴理解绝对值
绝对值的意义是：一般地，数轴上表示
( http: / / www.21cnjy.com )数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.从数轴上可以理解求一个数的绝对值的实质就是求表示这个数的点到原点的距离.在数轴上很容易理解正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值这个负数到原点的距离为正数,所以负数的绝对值等于它的相反数,由于原点表示0,所以表示O的点即原点到原点的距离是0,所以0的绝对值是0.
如图2,-4到原点的距离是4,所以|-4|=4,5到原点的距离是5,所以|5|=5.
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图2
另外从数轴上还可以理解互为相反数的两个数绝对值相等.
如图2,-3,3这两个数到原点的距离相等,所以|-3|=|3|.
四、利用数轴比较大小
我们知道在数轴上表示的两个数，右
( http: / / www.21cnjy.com )边是总比左边的大.当要比较几个数的大小时,可以把这几个数在数轴上表示出来,实际上是把这个数的大小有序的排列起来.利用数轴比较大小简洁,明了,直观.如比较数-2、-2.5
-|-3|的大小.首先把这几个数在数轴上表示出来,如图3.从数轴是很容易得出-|-3|<-2.5<-2.
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图3
数轴是一个有用的数学工具.利用数轴
( http: / / www.21cnjy.com )来学习有理数更易理解.体现了一种数学结合思想.随着学习的深入,我们将会遇到数轴的更多应用.所以大家一定要掌握好数轴.怎样利用数轴进行代数式的化简？
难易度：★★★★
关键词：数轴
答案：
代数式的化简是初中数学的难点，其中有一类题目可借助数轴，用数轴的几何观点轻松解决绝对值和平方根的化简问题。
【举一反三】
标准答案：A

PAGE
中国极育出版网
www.如何用数轴解决绝对值问题
难易度：★★
关键词：有理数
答案：
答案：学好、用好数轴是学习和理解绝对值的前提。绝对值的几何意义就是两点的距离。
【举一反三】
典例：在数轴上表示
( http: / / www.21cnjy.com )的点离开原点的距离等于（
）
A．2

B．
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C．
( http: / / www.21cnjy.com )

D．
( http: / / www.21cnjy.com )
思路导引：一般来说联系绝对值的几何意义来解决，数轴上表示-2的点离开原点的距离等于2，故选A．
标准答案：A利用数轴正确的求线段的长
难易度：★★★
关键词：有理数
答案：
数轴与线段联系是很紧密的，在数轴上任意两点连线即成线段，可根据两点的位置或对应数的大小求出线段的长。
【举一反三】
典例：如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，
CD = 6，点A对应的数为
( http: / / www.21cnjy.com )，则点B所对应的数为
．
思路导引：一般来说，此类问题应转到数轴上解决。CD = 6，则AB=6。根据数轴可看出，B点表示的数比A点表示的数大6。
标准答案：5借助数轴学习有理数
数轴是一种数学工具呦，它使数和数轴上的点建
( http: / / www.21cnjy.com )立了对应关系，揭示了数与形之间的内在联系，也为我们研究问题提供了新的方法.数轴有助于我们深化对有理数的认识啊！
一、数轴帮我们认识有理数
1.从数轴上可以看出，数的范围在扩大
因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示
( http: / / www.21cnjy.com )，而且所有的正数都在原点的右边，所有的负数都在原点的左边，0正好在正、负数的“分界”点上，这就十分形象地告诉我们：
小学里学过的仅仅是有理数中的一部分
( http: / / www.21cnjy.com )：0和正有理数，它们在数轴上的位置是原点及原点的右边；位居原点左边的负有理数是我们刚认识的“新朋友”，“朋友”多了，哈哈！说明我们接触的数的范围在扩大.
2．在数轴上，重新认识0的地位
小学里，0是最小的数，并
( http: / / www.21cnjy.com )且表示“没有”，那是我们就我们所学的数的范围而言的.现在从数轴上再来看0，对它的地位、意义就要“刮目相看”了，你能说0°C是“最低温度”吗？是“没有”温度吗？在数轴上，“0”的左边是数不尽的“负”兄弟，它的右边又有数不尽的“正”朋友.数的范围扩大后，0成了正数和负数的分界点，它既不是正数，也不是负数，它是整数.
二、数轴可以帮助我们解决与有理数有关的问题
1.利用数轴理解有理数的分类
在数轴上，原点表示0，而原点右侧表示正数，左侧表示负数.
例2小红做题时，不小心把墨水洒在了数轴上，如图1，请根据图中的数值，写出墨迹盖住的所有整数.
解：-12，-11，-10，-9，-8，-7及0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
点评：本题主要考查有理数的分类，有理数
( http: / / www.21cnjy.com )的分类有两种：一是可分为正有理数、0、负有理数；二是可分为整数、分数.此题只要找出-12.1～-6.5及-0.5～10.5之间的整数即可.
2.运用数轴直观表示点的移动
正确找出数在数轴上的对应点，会由数轴上的点的位置确定对应的数，是解决这类问题的关键.
例2把-0.5在数轴上的对应点沿数轴向左或向右移动4个单位长度后，所得的点对应的数是什么？
解：如图2，用数轴表示为：
由图2可知，表示-0.5的点向右移动4个单位长度，所得的点对应的数为3.5；向左移动4个单位长度，所得的点对应的数为-4.5.
点评：用数轴表示点的运动非常直观，充分体现了数与形的转化.什么是数轴？有什么作用？数轴的三要素是什么
难易度：★★
关键词：有理数
答案：
答案：数轴是规定了唯一的原点，唯一的正方向
( http: / / www.21cnjy.com )和唯一的单位长度的直线叫数轴。所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。　数轴三要素：原点，单位长度，正方向.
【举一反三】
典例：．实数x，y在数轴上的位置如图所示，则（　　）
A．
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
思路导引：
一般来说，此类问题根据数轴上点的位置不同来解决。x，y在数轴的正半轴，点
y在点x的右侧，所以最大，它们都大于0。
标准答案：B确定解集找数轴
我们知道，不等式的所有解组合在一起组成不等式的解集．一般来说，一个含未知数的不等式的解集是一个取值范围，可以在数轴上直观地表示出来．那么如何才能快速、准确地在数轴上表示不等式的解集呢？
简单来说，对于一个不等式，首先要求出这个不等式的解集；二是正确地画出一个数轴；三是将所得的不等式的解集在数轴上表示出来，这也是关键的一步．通过下面的演示，你就一目了然了.
例
把下列不等式的解集在数轴上表示出来．
（1）x＜3；
（2）x≥－．
分析：（1）是小于符号，并不包括3本身，所以在数轴上表示时，方向向左，且在3这点上是“空心”；
（2）是大于等于符号，包括－本身，所以在数轴上表示时，方向向右，且在－这点上是“实心”．
解：（1）因为解集x＜3表示“所有小于3的数组成的全体”，所以在数轴上，用3左边的部分来表示，3这一点画成空心圆圈，表示不包括3这个数，如图1所示：
（2）因为解集x≥－表示“所有大于或等于－的数组成的全体”，所以在数轴上用－2的点及它的右边部分来表示，－这一点画成实心圆点，表示包括－这个数，如图2所示．
点评：求解此类问题时，准确地理解解集的含义是基础，正确地画出数轴并准确地表示是关键．
跟踪训练
利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
1.x≥－x+6；
2.－x＜－3.
答案
PAGE借助数轴上的点准确的找出一个数
难易度：★★★
关键词：有理数
答案：
数轴上的点与有理数是一一对应的，用数轴在找负数的时候，应找出对应的左右两个点数点。
【举一反三】
典例：如图，数轴上的点P表示的数可能是（
）．
A．
B．-
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
思路导引：一般来说，此类问题先找出P点相邻的两个整数。本题中P点相邻的两个整数分别为-3和-2，即P大于-3小于-2。可排除A、C、D。
标准答案：B《数轴》考点链接
考点解读
数轴是中考的重要考点，单独考查时常以填空题和选择题的形式出现，题目比较简单.
中考真题
（2012，武汉中考，3分）在2.5，-2.5,0,3这四个数中，最小的数是（
）
A．2.5
B．-2.5
C．0
D．3
解析：根据有理数的大小比较法则，正数大于0,0大于负数，所以-2.5<0<2.5<3.
（2012 新疆）如图所示，点M表示的数是（　　）
A．2.5
B．-1.5
C．-2.5
D．1.5
分析：M位于-2和-3的正中间，所以为-2.5．
解：由数轴得，点M表示的数是-2.5．
故选C．
（2012 济宁）在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是（　　）
A．-2
B．2
C．±2
D．不能确定
分析：先在数轴上标出到原点距离等于2的点，然后根据图示作出选择即可．
解：在数轴上到原点距离等于2的点如图所示：
点A、B即为所求的点，即在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是-2和2；
故选C．
真题演练
1.
（2008 资阳）如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有（　　）
A．D点
B．A点
C．A点和D点
D．B点和C点
2.
（2006 威海）如图，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点A表示的数为（　　）
A．30
B．50
C．60
D．80
3.
（2008 乐山）如图，A、B两点在数轴上，点A对应的数为2，若线段AB的长为3，则点B对应的数为
.
4.
（2008 来宾）数轴上的点A表示数2，将点A向左平移5个单位长度得点B，则点B表示的数是
.
参考答案
1.分析：距离原点3个单位的点可能在原点的右边（3，即D点），也可能在原点的左边（-3，即A点）．
解：由数轴与题意可得，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有A点和D点．故选C．
2.分析：本题可用100÷5=20得一格表示的数，然后得出A点表示的数．
解：每个间隔之间表示的长度为：100÷5=20，A离原点三格，因此A表示的数为：20×3=60．故选C．
3.分析：此题即是把2向左移动了3个单位长度，即2-3=-1．
解：根据数轴可知B＜0，A＞0，∴B点对应的数为2-3=-1．故答案为：-1．
4.分析：数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加．
解：根据数轴上点的移动和数的大小变化规律得：2-5=-3．
PAGE《数轴》典型例题
例1　下列各图中，表示数轴的是(
)．
　　　　
　　分析：画数轴时，数轴的三要素——原点、正方向、单位长度是缺一不可的，所以应当用这三要素检查每个图形，判断是否画的正确．
　　解：A图没有指明正方向；
　　　　B图中，1和-1表示的一个单位长度不相等，在同一数轴上，单位长度必须一致；
　　　　C图中没有原点；
　　　　D图中三要素齐全．
　　　　∴A、B、C三个图画的都不是数轴，只有D图画的是数轴．
例2　在所给的数轴上画出表示下列各数的点：
( http: / / www.21cnjy.com )
　　分析：第一步画数轴，
( http: / / www.21cnjy.com )第二步在数轴上找出相对应的点，每个正有理数都可用数轴上原点右边的一个点来表示，例如2、3.5，可用数轴上分别位于原点右边2个单位，3.5个单位的点表示．每一个负有理数都可用数轴上原点左边的一个点来表示．
　　解：
( http: / / www.21cnjy.com )
说明：数轴上表示数的点可用大写字母标
( http: / / www.21cnjy.com )出，写在数轴上方所对应数的上面，原点用O标出，它表示数0．数轴上原点的位置要根据需要来确定，不一定要居中．单位长度应根据需要来确定，1
cm的长度可以表示1个单位长度，也可以表示2个，5个，10个…单位长度，但在同一数轴上，单位长度必须一致，不可随意改变．
例3
画一条数轴，并把-6，1，0，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )表示在数轴上．
分析：由于要表示的最左边的数是-6，最右边的数是
( http: / / www.21cnjy.com )，所以在画数轴时在原点的两侧各画六个单位即可．
解：如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )
说明：
在画数轴时选取单位长度应因表示的数而定．
例4　指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数．
( http: / / www.21cnjy.com )
　　分析：表示正数的点都在原点的右侧，表示负数的点都在原点的左侧．要特别注意相邻两个负整数点之间的等分点所表示的数，例如：-2，-3之间的A点是表示
( http: / / www.21cnjy.com )，而不是
( http: / / www.21cnjy.com )．
解：O表示0，A表示
( http: / / www.21cnjy.com )，B表示1，C表示
( http: / / www.21cnjy.com )，D表示-4，E表示-0.5．
例5　下面说法中错误的是
[　
]．
　　
A．数轴上原点的位置是任意取的，不一定要居中；
　　
B．数轴上单位长度的大小要根据
( http: / / www.21cnjy.com )实际需要选取．1厘米长的线段可以代表1个单位长度，也可以代表2个、5个、10个、100个、…单位长度，但一经取定，就不可改动；
　
C．如果a＜b，那么在数轴上表示a的点比表示b的点距离原点更近；
　
　D．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数．
　　解：当a，b都是正数时，C的结论成立；
　　当a，b不都是正数时，例如a＝-10
( http: / / www.21cnjy.com )，b＝2，此时-10＜2，也满足条件a＜b，但表示a的点与原点的距离(10)比表示b的点与原点的距离(2)远，C结论不成立．
　　∴C错．
　　说明：因为有理数包含正数、负数和0
( http: / / www.21cnjy.com )，所以用字母表示数时，这个字母就可以代表正数、负数或0．在分析问题时，忘记字母代表的数可能是负数或0经常是造成错误的原因．
例6
指出下面各数的相反数：
-5，3，
( http: / / www.21cnjy.com )，-7.5，0
分析：如果两个数只有符号不同则这两个数互为相反数．
解：-5的相反数是＋5，3的相反数是-3；
( http: / / www.21cnjy.com )的相反数是-
( http: / / www.21cnjy.com )；-7.5的相反数是7.5；0的相反数是0．
注意：（1）要注意相反数和倒数之间的区别．（2）只有0的相反数是它本身．
例7
指出下面数轴上各点表示的相反数．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：首先弄清A、B、C、D各点表示的数，然后根据相反数的意义就可以写出其相反数．
解：A点表示的数的相反数是1；B点表示的数的相反数是-2；C点表示的数的相反数是0；D点表示的数的相反数是3．
说明：不要把“表示的数”和“表示的数的相反数”混淆．
例8
比较下列各组数的大小：
（1）-536与0
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )与0
（3）0.2％与-21
（4）-18.4与-18.5
（5）
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )
（6）-0.32与-
( http: / / www.21cnjy.com )
　　分析：依据“正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数．”和“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．”比较两个数的大小．
用通分的方法比较（5）中的两个分数的大小是很麻烦的，如果都与
( http: / / www.21cnjy.com )（中间数）比较，则可化繁为简；（6）中的两个负数，应当把小数化为分数或把分数化为小数后才便于比较．
解：（1）-536＜0
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )＞0
（3）0.2％＞-21
（4）
-18.4＞-18.5
（5）∵
( http: / / www.21cnjy.com )＜
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )＞
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )＜
( http: / / www.21cnjy.com )
（6）∵
-
( http: / / www.21cnjy.com )=-0.34
又0.32＜0.34
∴
-0.32＞-
( http: / / www.21cnjy.com ).
　　说明：分母不同的两个分数比较大小时，一般
( http: / / www.21cnjy.com )采用通分的方法．当分母比较大时，通分是比较麻烦的，这时应当考虑其他的方法和技巧．例如：借助中间数的方法；让分子相等比分母的方法，比较它们的倒数的方法等等．
例9
在下面的等式的□中，填上连续的五个整数，使这个等式成立．
0-□-□-□-□-□＝0
分析：上面的式子的左边可以看成是和的省略“＋”号形式，所以上式可以写成0＋（-□）＋（-□）＋（-□）＋（-□）-□＝0
所以可以变为0＋（-□）＋（-□）＋（-□）＋（-□）-□＝0
由此可知：0＋（-□）＋（-□）＋（-□）-□＝□
依次这样做下去可把原式变为
□＋□＋□＋□＋□＝0
由此可知要使五个连续的整数的和是0，其中必有两对数互为相反数，另一个是0，所以这五个数是-2，-1，0，1，2．
解：原式可变形为：
□＋□＋□＋□＋□＝0
故五个数应该是-2-1，0，1，2．
注意：（1）要注意题中给出的条件是“连续整数”，如果去掉“连续”该题的解就将很多了．（2）事实上这个题我们还可以采取下面的方法进行分析．
我们可把-□用□去替换就可以直接得到□＋□＋□＋□＋□＝0，但这种想法比较抽象，不易理解．

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