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如何求立体图形的展开图？
难易度：★★★
关键词：立体图形的表面展开图
答案：
多数立体图形是由平面图形围成的。沿着棱
( http: / / www.21cnjy.com )剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图。同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形。
【举一反三】
《图形的展开与折叠》解题思路与点评
　　新课程标准要求同学们对空间图形有较准确的认识和感受，具体地说，包含三个方面：（1）能用平面展开图描述出该立体图形；（2）能由立体图形画出至少一种其平面展开图，设计较简单实物的平面图纸；（3）能判断一个图形是否能围成一个立体图形。因此，切实掌握图形的展开与折叠势在必行，现解读如下：
　　例1.　如图1，一个多面体的展开图中，每个面内的大写字母表示该面，被剪开的棱边所注的小写字母可表示该棱。
说出这个多面体的名称；
写出所有相对的面；
若把这个展开图折叠起来成立体时，哪些被剪开的棱将会重合？
（图1）
　　思路：选取面X相对固定，将面R，面Y想像折起，再遮挡面Q，Z，P即成。
　　解答：（1）这个多面体是正方体。
　　（2）相对的面有三对：P与X，Q与Y，R与Z.
　　（3）将会重合的棱有：a与h，b与i，c与n，d与e，f与g，j与k，m与.
　　点评：这个问题的解决，无疑对同学们形成良好的空间观念是一个很好的锻炼。
　　例2.　如图2是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了字母，请回答：如果F在前面，从左面看是B，那么哪一面会在上面？
（图2）
　　思路：这里有两种折法：一种向里折，一种向外折。
　　解答：E或C会在上面。
　　点评：一个平面展开图，折成立方体的方式有两种，一种向里折，一种向外折。此题往往易忽略其中一种，造成漏解。这不但培养了同学们的空间观念，而且告诫同学们思考问题要全面。
　　例3.　将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，回答下列问题：
你能设法得到图3中的平面图形吗？
（图3）
你还能得到哪些平面图形？与同伴进行交流。
图4中的图形经过折叠，能否围成一个正方体？
（图4）
思路：由于一个正方体有12条棱、6个面，将其表面展开成一个平面图形，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱）有5条，因此需要剪开7条棱。
（1）中的两个平面图形都可由一个正方体沿着某些棱剪开展成，可在原正方体上标出上、下底面，根据需要剪开7条棱即可；
（2）将一个正方体沿着某些棱剪开后，可得到很多平面图形，所以答案很多；（3）有两种途径：一是动手操作，仔细观察；二是先假定出上、下底，通过想象亲自折一折，看能否折成正方体。
　　解答：（1）能，其中在原正方体上标出上、下底面如图5所示。
（图5）
　　（2）图略，请同学们动手试一试，看谁得到的多，准。
　　（3）第一副图不能，第二副图能。其中第二副图先假定出上、下底面如图6所示。
（图6）
　　点评：此题命题意图有二：1.通过观察和动手操作，经历和体验图形的变化过程；2.考查将平面图形复原成立体图形的能力。
　　小试牛刀
1、有一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这六个数，根据图1中A、B、C三个图中所写数字想一想“？”处的数字是什么？
　　
2、如图2，右边四个图形折叠后，能得到左边正方体的是（　　）
3、如图3所示，是一个几何体的展开图，每个面上都标有相应的字母.
（1）如果A面在几何体的底部，上面的是哪一面？
（2）若F面在前面，从左看是B面，上面是哪一面？
（3）右看是C面，D面在后面，上面是哪一面？
　　1、析解：我们知道，正方体的任何一个面都与其余的五个面中的四个面相邻、一个面相对.本题中标有“1”的面与标有“4”，“5”，“2”，“3”相邻，则标有“1”的面的对面是标有“6”的面.所以“？”处应是“6”.
　　2、析解：左边的正方体仅给出了三个带有标记的面，由此可知，标有①、②、③的三个面相邻；但不能确定其余三个面是否带有标记.再考虑正方体的四个展开图，选项B、C中标有①和③的两个面相对，不符合要求，由此排除B、C；选项D中标有②的面与标有①和③的两个面不相邻，也不符合要求.所以本题正确的答案为：A.
　　3、析解：首先确定相对面：由展开图知，标有A的面与标有F的面是相对面，标有B的面与标有D的面是相对面，那么剩下的标有C的面与标有E的面应该是相对面.所以当A面在几何体的底部时，上面的面应是F面.若F面在前面，则A面在后面；从左看是B面，则右边应该是D面；由此，可以知道上面的一面是C面.类似的，当“右看是C面，D面在后面”时，上面的一面是A面.
4
1
5
A
2
3
1
B
4
5
？
C
图1
A.
B.
C.
D.
图2
①
②
③
①
②
③
①
②
③
①
②
③
①
②
③
A
B
C
D
E
F
图3
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4如何把几何体的展开图折叠成几何体？
难易度：★★★★
关键词：立体图形的表面展开图
答案：
展开图折叠成几何体：通过结合立体
( http: / / www.21cnjy.com )图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形。
【举一反三】
画几何体的三视图的原则是什么
难易度：★★★★
关键词：三视图
答案：
长对正，高平齐，宽相等。
【举一反三】
典题：桌面上放着一个三棱锥和一个圆柱体，下面
( http: / / www.21cnjy.com )的三幅图分别从哪个方向看的顺序是（
）。
图一
图二
图三
A.
正面.左面.上面
B.
正面.上面.左面
C左面.上面.正面
D.以上都不对
思路导引：根据三视图的意义来判断，七顺序依次是左视图、俯视图、主视图。
标准答案：选C。常见的几何体的侧面展开图是什么图形？
难易度：★★★
关键词：立体图形的表面展开图
答案：
常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形。②圆锥的侧面展开图是扇形。③正方体的侧面展开图是长方形。④三棱柱的侧面展开图是长方形。
【举一反三】
如何将展开图折叠成几何体？
难易度：★★★★
关键词：立体图形的表面展开图
答案：
通过结合立体图形与平面图形的
( http: / / www.21cnjy.com )相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形。
【举一反三】
求立体图形的展开图
难易度：★★
关键词：立体图形的表面展开图
答案：
多数立体图形是由平面图形围成的。沿着棱剪
( http: / / www.21cnjy.com )开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图。同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形。
【举一反三】
典例：如图，是一个无盖立方体盒子，请把下列不完整的展开图补充完整．（请画出三种）
思路引导：由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
标准答案：如图《展开与折叠》典型例题
例1
填空
（1）六棱柱有_____个顶点，有_______条侧棱．
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )是_________的表面展开的平面图。
例2
观察下图，请指出哪个图是长方体表面的平面展开图．
例3
请画出一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体的平面展开图，并标出各部分的长度．
例4
请你把几何体和它的平面展开图用线连起来。
例5
已知一个正三棱锥，请画出它的展开图．
例6
已知一个正三棱柱，请画出它的平面展开图．
例7
在图中，各图形都是由六个大小相同的正方形拼接而成，它们是否可以折成一个正方体？为什么？
参考答案
例1
分析：
（1）通过观察六棱柱可知，六棱柱有12个顶点、有六条侧棱．
（2）观察可以发现展开图有六个边长相等的长方形，并且有两个边长和长方形宽相等的六边形，所以是六棱柱的表面展开平面图．
解：（1）12，六．（2）六棱柱．
说明：
（1）我们知道四棱柱有8个顶点，五棱柱有10个顶点，六棱柱有四个顶点……，以此类推n棱柱有2×n个顶点．
（2）观察棱柱的展开图，首先作为底面的多边形必须是相同的多边形，另外多边形的边数必须等于展开图中长方形的个数．
例2
分析：
因为长方体相对两个面是相同的长方形，且相邻的两个面相交的边，长度相等．所以，（1）和（4）可以围成长方体．
解：见分析
说明：在研究长方体的展开图时，必须研究长方体本身的特征．
例3
分析：
如图，这个长方体的上下两个面是长和宽分别是
( http: / / www.21cnjy.com )5cm和4cm的长方形，前后两个面是长和宽分别是5cm和3cm的长方形，左右两个面是长和宽分别是4cm和3cm的长方形，所以该长方体的展开平面图如下：
解：（如下图）
说明：
（1）这个长方体的展开图不是惟一的，真正做长方体盒时其展开图还要因用料的尺寸而定。
（2）真正做盒时还应考虑到接口部分的用料。
例4
分析：
此题实质就是在让我们分别找出长方体、圆锥体、圆柱体、六棱柱体的表面的平面展开图。
解：
说明：半圆也是扇形的一种，所以有的圆锥的侧面展开图就是半圆。
例5
分析：
这又是一例文字性题目，在题目中没有具体的一个正三棱锥，因此，需要同学们自己先画出这个立体图形，再想象一下它的展开图的形状．
解：设已知的正三棱锥如图所示，展开图如图所示．
说明：我们给出两种不同的展开图，目的在于让同学们体会因展开方式不同会有不同的结果，但是它们都可以还原为原立体图形．
例6
解：设原正三棱柱如图．它的展开图如图．
以上两种情况都符合条件．
说明：在此例中我们给出两种展开的方法，它还可以有不同的展开方式，让同学们自己动手试一试吧！
例7
解：为了表述的方便，我们随机地把六个小正方形编上数码．
（1）正方形2、3、4、6可折成一个无底的正方体，但正方形1、5重合，不能折成完整的正方体；
（2）正方形1、5正好可折成正方体的两底，可以折成一个正方体；
（3）正方形1、3可以折成正方体的两底，所以可以折成一个正方体；
（4）正方形2、3在折的过程中重合，所以不能折成正方体；
（5）正方形2、3或4、5在折的过程中重合，故不能折成正方体
说明：由一个正方体拆分成或
( http: / / www.21cnjy.com )展开成一个展开图时，因展开的方式不同，所以会有不同的展开图．这时由展开图还原为正方体时，就要考虑是否成立，此时，成立的条件是六个小正方形在折的过程中不能有重合部分即可．巧记口诀确定正方体表面展开图
6个相连的正方形组成的平面图形，
( http: / / www.21cnjy.com )经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：
正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。
十四条边布周围，十一类图记分明：
四方成线两相卫，六种图形巧组合；
跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。
对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。
现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：
一、四方成线两相卫，六种图形巧组合
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
以上六种展开图可归结为四方连线，即
，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。
二、跃马失蹄四分开
（1）
（2）
（3）
（4）
以上四种情况可归结为五个小方块组成“三
( http: / / www.21cnjy.com )二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。
三、两两错开一阶梯
这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。
四、对面相隔不相连
1
2
3
这是确定展开图的又一种方法，也是确
( http: / / www.21cnjy.com )定展开图中的对面的一种方法。如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。
五、识图巧排“7”、“凹”、“田”
1
2
3
4
5
（1）
（2）
（3）
这里介绍的是一种排除法。如果图中
( http: / / www.21cnjy.com )出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。
如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。
如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。
现举例说明：
例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（
）
解析：本题可用“识图巧排
‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。A、D都有“凹”形结构，B有“田”形结构，故应选C
例2．（2004扬州）马小虎准备制作一
( http: / / www.21cnjy.com )个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.
(注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示.)
解析：本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。图中具备了三二相连的结构，故本题有四种答案，即小方块的位置有图中所示的四种情况之一。
试一试：
1．（2004浙江金华）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（
）
2．（2004镇江）如图
( http: / / www.21cnjy.com )，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（
）
3．（2004海南）如图是一个正方
( http: / / www.21cnjy.com )体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A、B、C内的三个数依次是（
）．
（A）0，－2，1
（B）0，1，－2
（C）1，0，－2
（D）－2，0，1
4．（2005济南中考题
( http: / / www.21cnjy.com )）在正方体的表面上画有如图（1）中所示的粗线，图（2）是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图（1）中剩余两个面中的粗线画入图（2）中，画法正确的是（如果没有把握，还可以动手试一试）
（D）
（C）
（B）
（A）
（正方体纸盒）什么是几何体的折叠问题？
难易度：★★★
关键词：立体图形的表面展开图
答案：
将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.
【举一反三】
你能根据截面判断出几何体吗？
难易度：★★★★
关键词：截一个几何体
答案：
主要是考虑截面的形状、截面的方向等综合判断。
【举一反三】
典题：用一个平面去截一个几何体，若截面是矩形，则该几何体可能是
（写一个）。
思路导引：截面是长方形的几何体较多
标准答案：圆柱、正方体等。用一个平面去截正方体，截面有那几种情形？
难易度：★★★★
关键词：截一个几何体
答案：
三角形、四边形、五边形、六边形。
【举一反三】
典题：用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（
）。
A．梯形
B。长方形
C。六边形
D。七边形
思路导引：用一个平面截正方体，截面只可能是三角形、四边形、五边形、六边形。
标准答案：选D。正方体表面展开图
将相对的两个面涂上相同的颜色，正方体的平面展开图共有以下11种．
　　　　　　
　　　　
　　　　　　　
　　　什么是几何体的展开图？
难易度：★★★
关键词：立体图形的表面展开图
答案：
几何体的展开图：多数立体图形是由平面图形
( http: / / www.21cnjy.com )围成的。沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图。同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形。
【举一反三】
展开和折叠解题三规律
正方体的展开和折叠问题在中考题中经常出现，多见于填空题和选择题。这种题有利于培养学生的空间观念和实践、探索能力．本文对几种常见类型的解题规律作初步的探讨．
一、判断给定的图形是否是正方体的展开图
例1：将一个正方体纸盒沿棱剪开并展开，共有_______种不同形式的展开图。
解:具体有以下11种图形，
1．“一·四·一”
型，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，共有6种．
2．“二·三·一”（或一·三·二）型，中间3个作侧面，上（或下）边2个那行，相连的正方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种．
3．“二·二·二”型，成阶梯状．
4．“三·三”型，两行只能有1个正方形相连．
二、找正方体相邻或相对的面
1．从展开图找．
例2水平放置的正方体六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。如图是一个正方体的平面展开图，若图中的“进”表示正方体的前面，“步”表示右面，“习”表示下面，则“祝”、“你”、“学”分别表示正方体的＿＿＿＿＿＿＿＿。
解析:“祝”与“进”，“你”与“习”中间都隔一个正方形，是相对的面，所以“学”与“步”也是相对的面。答案：后面、上面、左面
例3右图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的面上标注的值，那么____，_______。
解析：“2x”与“8”中间都隔一个正方形，是相对的面，“y”与“10”是相对的面。所以，x=4，y=10。
2．从立体图找．
例4：如图是3个完全相同的正方体的三种不同放置方式，下底面依次是＿＿＿＿＿＿。
解析
先找相邻的面，余下就是相对的面．上图出现最多的是3，和3相连的有2、4、5、6，余下的1就和3相对．再看6，和6相邻的有2、3、4，和3相对的是1，必和6相邻，故6和5相对，余下是4和2相对，下底面依次是2、5、1．
三、由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图
例5小丽制作了一个如下左图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是
（
）
解析
基本方法是先看上下，后定左右，故选（A）．
例6
下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，则其中两个正方体各面图案完全一样，它们是_______。
解析
首先找出上下两底，（1）是+和
，（2）是+和
，（3）（4）都是□和×，排除（1）（2），再检查侧面，（3）（4）顺序相同，所以选（3）（4）．
B
A
C
D
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1什么是几何体的截面？
难易度：★★★
关键词：截一个几何体
答案：
用一个平面去截几何体，截出的面叫截面。
【举一反三】
典题：用一个平面去截一个圆柱体，不可能的截面是（
）。
思路导引：用平面截圆柱体，可能截出圆、椭圆、长方形。不可能截出梯形。
标准答案：选D。解展开与折叠题的策略
展开------立体图形平面化；折叠------平面图形立体化，这一展一折正是平面和空间的相互转化，这类问题有时同学们感到非常棘手，这里介绍几种常用的解题思维策略，供参考．
一、画直观图
准确地画出直观图形，有利于平面与空间的相互转化．
例1．如图1，在正方体两个相距最远的顶点处有一只苍蝇B和蜘蛛A，蜘蛛可从哪条最短的路径爬到苍蝇处？试说明你的理由．
分析：我们可以借助正方体的展开图找到解题的办法，由于正方体的展开有不同的方法，因而从A到B可用6种不同的方法选取最短的路径，但每条路径都通过连接正方体两个顶点的棱的中点．
解：因为蜘蛛只能在正方体的表面爬行，所以只要找到这个正方体的展开图，应用“两点之间，线段最短”就可确定最短路径（如图1）．
二、以静制动
寻找折叠前后图形的不变量，往往就是解题的灵魂．
例2．将一块正六边形硬纸片（图2（1）），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2（2）），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图2（1）中的四边形AGA/H，那么∠GA/H的大小是
度．
解：折叠前AH⊥AH，AG⊥AG，折叠后这些垂直关系都没有发生变化，所以∠AHA=∠AGA=90°，又∠A为正六边形的内角，故∠A=120°，在四边形AGAH中，∠GAH=360°-120°-2×90°=60°．
三、抓特征量
正确理解平面图形中的一些特征量，使问题得以顺利解决．
例3．如图3（1），在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图3（2）所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（
）．
A．R=2r
B．R=r
C．R=3r
D．R=4r
解：由题意得，欲使剪下的圆形和扇形恰好围成圆锥模型，圆周长必须等于扇形的弧长，有，即，故选（D）．
四、动手操作
在空间思维受阻的情况下，动手操作正是新课标、新理念的体现．
例4．在正方体的表面画有如图4（1）所示的粗线，图4（2）是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将4（1）中剩余两个面中的粗线画入图4（2）中，画法正确的是（如果没把握，还可以动手试一试呦！）．
解：此题若展开空间想象，难度很大，倘若动手操作，先做一个如图4（2）所示的展开图，将其折叠成正方体，在正方体上画上如图4（1）所示的三条粗线，再展开后就得到如（A）所示的展开图，故选（A）．
图2（1）
图2（2）
A
图4（2）
A
图4（1）
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1常见立体图形的展开图是怎样的？
难易度：★★★★
关键词：立体图形的表面展开图
答案：
常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形。②圆锥的侧面展开图是扇形。③正方体的侧面展开图是长方形。④三棱柱的侧面展开图是长方形。
【举一反三】
《展开与折叠》典型例题
例1
如图是正方体纸盒的展开图，请把－
( http: / / www.21cnjy.com )10，8，10，－8，－2，2分别填入六个不同的正方形中，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数．（填写出一种方案即可）
例2
下列图形是哪些多面体的平面展开图，说出这些多面体的名称．
例3
如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为－4的面与其对面上的数字之积是_____________．
A．4
B．12
C．－4
D．0
例4
如图（a），一个正方体的每个
( http: / / www.21cnjy.com )面分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中该正方体的三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是什么？
例5
如图（a）是正方体分割后的一部分，它的另一部分是图（b）中的（
）
例6
哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形？
参考答案
例1
分析
为便于表述与思考，将每个小正方形写上字母，得下图．
a、b、c、d四个小正方形呈“一”字形连在一起，可见它们是正方体的四个侧面，而e与f则是正方体的上、下底面．
上、下底面是相对的．
侧面中相对的面在展开图中隔着另一个侧面，所以写着a与c，b与d的面，分别是相对的面．
在每两个相对的面中填入一组题目提供的相反数．
解
可如图所示．
说明：想象立体图形的展开图对于初一学生
( http: / / www.21cnjy.com )来说是件不太容易的事情．防止错误的最好的办法是在观察实物和自己动手操作的过程中，经历和体验图形的变化过程．就本题而言，把你画的图剪下来，折叠成模型，既简便易行，又能验证你填写的是否正确．
例2
分析
本题中的两图
( http: / / www.21cnjy.com )形的各边相互重合，没有哪个三角形或四边形与图形之间有较大的隔离，不好从想象中的空间上去比较、分析．那么我们还是从最容易确定的底面入手，观察（1）只有四个三角形，则它所在的多面体只可能有一个底，那么它就有三个侧面，显然，这是一个三棱锥；观察（2），发现刚好有两个三角形，三个长方形，那么两个三角形只可能作为底面，三个长方形作为侧面，它是三棱柱．
答案
（1）为三棱锥；（2）为三棱柱．
说明：一个多面体在一般情况下，最多只有
( http: / / www.21cnjy.com )两个底面，而侧面却很多，根据这个特点，从判定多面体的底面入手，再判定多面体的侧面，则容易得出多面体的形状。
例3
警示误区
对于正方体，相邻的面不能构成相对的面，同时，还要用运动的观点观察图形，与这个面有一个公共点的面不能与它构成对面．
分析
确定各数字所在的面的对面是解决问题
( http: / / www.21cnjy.com )的关键．显然，－4不可能与2，0构成对面上的数，也不可能是1或－1，因为折叠后1与－1构成了与－4相邻的数的面．因此只可能是－3的面与－4的面相对，所以积为12．
答案
B
同类变式
一个无盖的立方体纸盒，将它展开成平面图，有几种可能的图形？
分析
与例10不同的是立方
( http: / / www.21cnjy.com )体少一个面，而且其平面展开图不唯一．因此要按五个面，运用分类的数学思想，应用简单枚举法，将平面图形的可能情况一一列举出来．
答案
将可能的情况分为三类：
（1）四个正方形连成一排的有两种情况，如图．
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（2）三个正方形连成一排的有五种情况，如图．
（3）两个正方形连成一排的有一种情况，如图．综上所述，一共有八种展开图．
拓展延伸
同一个立体图形，按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的，解题时注意分类讨论．
例4
分析
不妨先结合图（a）①
( http: / / www.21cnjy.com )中数字1，4，5的位置，将（a）②作翻转，得到图（b），那么可知数字1与6是对面，5与2是对面，3与4是对面，再结合图（a）③中的数字3，5的位置，画出图（b）的平面展开图图（c），将平面展开图与图（a）③对比，易得“？”表示数字6．
答案
“？”处的数字是6．
说明：
如果只是不断翻转立方
( http: / / www.21cnjy.com )体，从立体图形上不易判断出“？”处的数字是什么；先作翻转，再作平面展开图，充分利用立体图形与它的平面展开图的关系来作判断，既简捷又直观．
例5
分析
本题要求寻找出正
( http: / / www.21cnjy.com )方体分割成两部分后的对应图形，需要仔细观察分割后剩下的那部分图形的特征，发现图（a）呈“F”型，因此应在四个选项中寻找相应的“F”型．
答案
B
说明：本题涉及立体图形的分割与组合，要善于从局部到整体观察图形的轮廓特征（形状）．
例6
分析
本题实质是根据平面展开图判别
( http: / / www.21cnjy.com )它属于哪个立体图形，观察（1）发现，中间5个长方形不可能是上下底面，则与五个矩形相连的上下两个五边形可成为底面，则五个长方形构成侧面，其中边缘的两条边重合，则有5条棱，这是一个五棱柱；观察（2）发现只有两个圆可构成底面，长方形可构成侧面，这是一个圆柱；观察（3）发现只有圆才可构成底面，半圆只能围成侧面，那么这只可能是圆锥．
答案
（1）为五棱柱；（2）为圆柱；（3）为圆锥．
拓展延伸
（1）圆锥的侧面是一个曲面，展开是扇形；
（2）圆柱的侧面是一个曲面，展开是一个长方形；
（3）棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形；
（4）棱柱有两个相同的多边形的底面，其余各面都是平行四边形。几何体的折叠问题分析求解原则是什么？
难易度：★★★★
关键词：立体图形的表面展开图
答案：
折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；
(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变。
【举一反三】
识别展开图方法归纳
历经十年寒窗苦，方得金榜题名时，是分必争沉着战，决胜终须真本领，相关正方体展开图一类试题随着课改频频亮相中考试卷，综合考查空间观念，动手操作，随机应变等多种能力，要想驾轻就熟，需要学生具备相当的素养，本文就展开图专作剖析，望能给大家充电加油。
一：一网打尽
正方体有六个面，沿着不同的棱裁剪，展开图也形状各异，可分为11种，下面归类梳理：
第一类：“141”型；特点：四个连成一排，两侧个有一个正方形。如下面6个图形
第二类：“132”型；特点：三个连成一排，两侧分别连着1个和2个正方形。如下面3个图形
第三类：“222”型；特点：两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形。如下面1个图形
第四类：“33”型；三个正方形连成一排的一侧还有
三个连成一排的正方形，只有下面一种情况
由上面几个展开图可以看出，不会出现如下面图形所示的“凹”字型和“田”字型结构。
二：问题指津
问题一：一个平面图形究竟是不是正方体的展开图呢？
具体操作方法是：
1、排除法：少于或者多于6个正方形组成的图形肯定不是正方体的展开图。
2、忌讳法：正方体的展开图中不见“凹”字型和“田”字型结构。
3、对比法：先找出最长的一排有几个正方形，再看他的两侧（或者一侧）各有几个正方形，对比上面列举的四种类型，吻合则是，不匹配则不是。
问题二：对于眼花缭乱的平面展开图能识别已非易事，中考中还经常伴有“对面”的问题怎样解决？
正方体有六个面，每个面有唯一的对面，裁剪后的一个面与他的对面通常有如下两种关系：（如下面两个图）一种是对面A与a同行（或者同列），中间相隔而且只隔一个正方形；第二种是对面A与a不同行也不同列时，中间只能隔着一行或者一列正方形。
三：初试牛刀过关斩将
例1：
如图：是一个正方体的平面展开图，当把它拆成一个正方体，与空白面相对的字应该是（
）
A、北
B、京
C、欢
D、迎
例2：
下面的图形都是由6个大小一样的正房性拼接而成的可以看成是正方体的展开图的是（
）
A
B
C
D
请同学们发挥自己的聪明才智来解答！
（参考答案：1、C；2、A）
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