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用一元一次方程解决问题的例题解析
一元一次方程是最简单、最基本的方程,不仅是学习其他方程的基础,同时也是中考命题的热点,更是解决日常生活中简单问题的简单方法.请看:
一.居民用水多少立方米
例1、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表．
若某户居民
( http: / / www.21cnjy.com )月份用水
( http: / / www.21cnjy.com )，则应收水费：
( http: / / www.21cnjy.com )元．
（1）若该户居民
( http: / / www.21cnjy.com )月份用水
( http: / / www.21cnjy.com )，则应收水费______元；
（2）若该户居民
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )月份共用水
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )月份用水量超过
( http: / / www.21cnjy.com )月份），共交水费
( http: / / www.21cnjy.com )元，则该户居民
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )月份各用水多少立方米？
分析：本题部分信息以图表信息给出，因此正确理解图表是解决问题的关键.由图表可知，随每月用水量的不同，水费的计费方式随之变化，需分段计算.(1)中，用水量
( http: / / www.21cnjy.com ),应分三段分别计算再求和.(2)中,两个月共用水
( http: / / www.21cnjy.com ),则需对三月份的用水量的多少分情况讨论.再结合4月份用水量超过3月份这一条件对结果作出合理判断.
解:（1）应收水费
( http: / / www.21cnjy.com )元;（2）当三月份用水不超过
( http: / / www.21cnjy.com )时,设三月份用水
( http: / / www.21cnjy.com )则2x+2×6+4×4+8(15-x-10)=44,
解之得x=4＜6,符合题意.当三月份用水量超过
( http: / / www.21cnjy.com ),但不超过
( http: / / www.21cnjy.com )时,设三月份用水
( http: / / www.21cnjy.com )
则
( http: / / www.21cnjy.com )解之得x=3＜6(舍去).所以三月份用水
( http: / / www.21cnjy.com ),四月份用水
( http: / / www.21cnjy.com ).
二.在哪一家超市购买更省钱
例2、某同学在A、B两家超市发现他看中的英语
( http: / / www.21cnjy.com )学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元．
（1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促
( http: / / www.21cnjy.com )销，超市A所有商品打7.5折销售；超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？
分析：书包和学习机的价钱之和为列方程的等量关系，对于打折和返券可分别进行计算再进行计算.
解：（1）设书包的单价为x元，则英语学习机的单价为(4x-8)元.
根据题意，得4x-8+x=452,
解得x=92.4x-8=
( http: / / www.21cnjy.com )
答：该同学看中的英语学习机单价为360元，书包单价为92元.
（2）在超市A购买英语学习机与书包各一件,需花费现金:452×75%=339(元).
因为339＜400,所以可以选
( http: / / www.21cnjy.com )择超市A购买.在超市B可先花费现金360元购买英语学习机,再利用得到的90元购物券,加上2元现金购买书包,总计共花费现金:360+2=362(元);因为362＜400,所以也可以选择在B超市购买.但是,由于362＞339,所以在A超市购买英语学习机与书包更省钱.
小结:列方程解应用题,关键是寻找题中的等量关系.难点是将实际问题转化为单纯的数学问题,通过对数学问题的解决获得对实际问题的解决.
价目表
每月水用量
单价
不超出6m3的部分
2元／m3
超出6m3不超出10m3的部分
4元／m3
超出10m3的部分
8元／m3
注：水费按月结算．打破常规解方程
对一些一元一次方程，若不注意其特
( http: / / www.21cnjy.com )征而一味使用常规方法去解，则运算过程会很繁琐。同学们如能先观察方程的结构特点，再利用所学知识，选取恰当的方法和技巧，则可收到事半功倍之效，且对你的观察、分析和解决问题的能力的提高会大有帮助。
一、分配律逆着用
例1
方程
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝0的解为
。
析解：此方程中各项的分母都很大，如直接去分母则计算很麻烦，认真观察可发现，等号左边每一项都含有x
,可逆用分配律把方程变形为（
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )）x＝0，再把系数（显然系数
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )≠0）化为1，得
( http: / / www.21cnjy.com )＝0。即原方程的解为
( http: / / www.21cnjy.com )＝0。
点评：不要见到分母就必须去分母，应养成认真观察的良好习惯，找出简便的解决问题的方法，这才是至关重要的。
二、括号反着去
例2
解方程
( http: / / www.21cnjy.com )〔
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )－1）－2〕－
( http: / / www.21cnjy.com )＝2。
分析：观察方程可发现
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )互为倒数，即积为1，故可采用由外向内去括号的方法，这样可就简捷多了。
解：去中括号，得
( http: / / www.21cnjy.com )－1－2×
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝2，即
( http: / / www.21cnjy.com )－1－3－
( http: / / www.21cnjy.com )＝2。
移项，合并同类项，得－
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )＝6。
系数化为1，得
( http: / / www.21cnjy.com )＝－8。
点评：去括号的顺序通常是由内向外，而根据系数特点由外向内去，对类似上面的问题，则可简化运算过程。
三、规则看着用，分数拆着做
例3
在有理数范围内定义新运算“
”，其规则为
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com ),试求方程（
( http: / / www.21cnjy.com )
2
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )＝1的解。
分析：这是一个解定义新运算符号的方程问题，首先要按给定的规则把问题化成常规的方程，即根据所给规则，得
( http: / / www.21cnjy.com )
（2
( http: / / www.21cnjy.com )）＝
( http: / / www.21cnjy.com )-2
( http: / / www.21cnjy.com ),再根据所给规则得（
( http: / / www.21cnjy.com )－2
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )。而解此方程若直接去分母还需去括号。若把分数拆开（如
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )－2）则很简便。
解：根据定义的规则，得（
( http: / / www.21cnjy.com )－2x）
( http: / / www.21cnjy.com )＝1，即
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝1。
拆项，得
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝1。
整理，得
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )＝1。
合并同类项，得
－
( http: / / www.21cnjy.com )＝1。
系数化为1，得
( http: / / www.21cnjy.com )＝-1。
点评：逆用通分法则把分数拆开解题，对很多问题很有效，同学们应掌握。如：已知
( http: / / www.21cnjy.com )＝1－
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )－
( http: / / www.21cnjy.com )，…，你能根据此法解方程（
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com )＋…＋
( http: / / www.21cnjy.com )＋
( http: / / www.21cnjy.com )）
( http: / / www.21cnjy.com )＝99吗？（答案：
( http: / / www.21cnjy.com )＝100）列一元一次方程解应用题的方法和步骤是什么？
难易度：★★★
关键词：方程
答案：
(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中的一个合理未知数；
(2)根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．(这是关键一步)；
(3)根据相等关系，正确列出方程．即
( http: / / www.21cnjy.com )所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；
(4)求出所列方程的解；
(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义．
【举一反三】
典例：初一2班第一小组同学去苹果园参加劳
( http: / / www.21cnjy.com )动，休息时工人师傅摘苹果分给同学，若每人3个还剩余9个；若每人5个还有一个人分4个，试问第一小组有多少学生，共摘了多少个苹果？
思路导引：一般来说，解答上类问题时，应按解一元一次方程应用题的步骤，仔细审题，找出等量关系式，正确设置未知数，列出方程求解。
解：设第一小组有x个学生，依题意，得
3x+9=5x-(5-4)，
解这个方程：
2x=10，
所以
x=5．
其苹果数为
3×
5+9=24．
标准答案：24个。一题多变
拓宽思路
学校运动场跑道周长400米，小华跑步的速度是小红的
( http: / / www.21cnjy.com )倍，他两从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5分钟后小华第一次追上了小红，求他二人的跑步速度．
分析：本题中的相等关系为：小华的行程-小红的行程=400米．
解：设小红跑步的速度为x米∕分，则小华跑步的速度为
( http: / / www.21cnjy.com )x米∕分．
由题意得，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
答：小红跑步的速度为120米∕分，小华跑步的速度为200米∕分．
【评注】此题属于环形行程中同时同地同方向运动类题。解这类题常用的相等关系为：快者的行程-慢者的行程=跑道周长．
拓展一：学校运动场跑道周长400米，小华跑步的速度是小红的
( http: / / www.21cnjy.com )倍，他们从同一起点沿跑道方向背向同时出发，
( http: / / www.21cnjy.com )分钟后小华第一次与小红相遇，求他二人的跑步速度．
分析：本题中的相等关系为：小华的行程+小红的行程=400米．
解：设小红跑步的速度为x米∕分，则小华跑步的速度为
( http: / / www.21cnjy.com )x米∕分．
由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
答：小红跑步的速度为120米∕分，小华跑步的速度为200米∕分．
评注：此题属于环形行程中同时同地背向运动类题。解这类题常用的相等关系为：两者的行程之和=跑道周长．
拓展二：学校运动场跑道周长400米，已知小红跑步的速度为120米∕分，小华跑步的速度是小红的
( http: / / www.21cnjy.com )倍，若小红在小华的前方100米，他们同时同向出发，试问几分钟后小华第一次与小红相遇？
分析：本题中的相等关系为：小华的行程-小红的行程=100米．
解：设x分钟后小华第一次与小红相遇．
由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得x=
( http: / / www.21cnjy.com )
答：经过
( http: / / www.21cnjy.com )分钟后小华第一次与小红相遇
拓展三：学校运动场跑道周长400米，已知小红跑步的速度为120米∕分，小华跑步的速度是小红的
( http: / / www.21cnjy.com )倍，若小华在小红的前方100米，他们同时同向出发，试问几分钟后小华第一次与小红相遇？
分析：本题中的相等关系为：小华的行程-小红的行程=400米-100米
解：设x分钟后小华第一次与小红相遇
由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得x=
( http: / / www.21cnjy.com )
答：经过
( http: / / www.21cnjy.com )分钟后小华第一次与小红相遇
【评注】此题属于环形行程
( http: / / www.21cnjy.com )中同时异地同向运动类题，解这类题常用的相等关系：①若慢者在前，则为
快者的行程-慢者的行程=他们之间的距离；②若快者在前，则为快者的行程-慢者的行程=跑道周长-他们之间的距离．列方程的关键——找相等关系
用方程方法解决实际问题，正确列出
( http: / / www.21cnjy.com )方程是解决问题的关键，也是难点所在.对具体问题要做到具体分析，思维方法是多种多样的.在分析实际问题中的数量关系时，图形组合法、表格演示法和运动图示法是行之有效的思维方法.
例1
某校为进一步推进
( http: / / www.21cnjy.com )素质教育，把素质教育落到实处，利用课外兴趣小组活动开展棋类教育活动，以提高学生的思维能力，开发智力.七年级（1）班有50名学生，通过活动发现只有1人象棋、围棋都不会下，有30人象棋、围棋都会下，且会下象棋的学生比会下围棋的学生多7人，求会下围棋的人数.
分析：本题的条件中各量之间的关系看起来比
( http: / / www.21cnjy.com )较复杂，但是我们由图示来表示各类学生的人数，则相等关系显而易见，如图1所示.本题的相等关系是：会下象棋的人数+会下围棋的人数－两种棋都会下的人数=全班人数－两种棋都不会下的人数，这样方程就容易列出来了.
解：设会下围棋的学生有
( http: / / www.21cnjy.com )人，则会下象棋的学生
为（
( http: / / www.21cnjy.com )+7）人.根据题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )+7－30=50－1，
解得
( http: / / www.21cnjy.com )=36.
答：会下围棋的学生有36人.
点评：在解数学问题时，有些代数问题用图示法求解，
常常使人茅塞顿开、突破常规思维，使思维进入新的境界.
二、表格演示法.
例2
一商店将某种彩电在进价的
( http: / / www.21cnjy.com )基础上提高40%标出售价，然后广告宣传将以80%的优惠价出售，结果每台彩电赚了300元，则经销这种产品的利润率是多少？
分析：本题需要用的数量比较多，极易混淆，但借助表格能轻松分辨清楚.
进价
标价
售价
利润
利润率
( http: / / www.21cnjy.com )元
（1+40%）
( http: / / www.21cnjy.com )
（1+40%）
( http: / / www.21cnjy.com )×80%
300
( http: / / www.21cnjy.com )×100%
解：设该彩电的进价为
( http: / / www.21cnjy.com )元，根据题意，得（1+40%）
( http: / / www.21cnjy.com )·80%－
( http: / / www.21cnjy.com )=300，解得
( http: / / www.21cnjy.com )=2500.
则利润率为
( http: / / www.21cnjy.com )100%=12%
.
答：经销这种产品的利润率是12%
.
点评：利润问题常用的关系式有：利润=售价－进价，售价=标价×打折扣，
利润率=
( http: / / www.21cnjy.com )（1+利润率）.利润问题中用的数量较多，因而利用表格可帮助我们快捷有效的找准相等关系.
三、运动图示法.
例3
甲步行上午6时从A地出发，下午5时到达B地，乙骑自行车上午10时从A地出发下午3时到达B地，问乙在什么时间追上甲？
分析：本题可画出运动示意图（如图3所示）找出相等关系：甲、乙从A地到追及地点所走路程相等.
解：设乙出发后
( http: / / www.21cnjy.com )小时追上甲，A地到B地的总路程为1.根据题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).所以10+
( http: / / www.21cnjy.com )－12=
( http: / / www.21cnjy.com ).
答：乙是在下午1点20分追上甲的.
点评：本题把A、B两地间的路程设为1，思路精巧.因为从A地到B地所用的时间为17－6=11（小时），乙从A到B所用的时间为15－10=5（小时），所以甲、乙的速度分别为
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )
.
会下围棋的人数
会下象棋的人数
30
全班学生
图（1）
甲小时所走路程
甲先出发4小时所走路程
乙小时所走路程答案非唯一的应用题
同学们在学习一元一次方程的应用
( http: / / www.21cnjy.com )这部分内容时，常会出现答案非唯一的题目，对于这类题目，关键是考虑到各种情况，以防“漏解”．下面举例说明．希望对同学们有所帮助．
　
例1
.在4点多少分时时针与分针相交成直角？
分析：分针速度：360度/60
( http: / / www.21cnjy.com )分=6度/分
，时针速度：1小时分针走了360/12=30度
30度/60分=0.5度/分
，4点时时针与分针的角度＝120°。不论是分针与时针相遇前、还是分针与时针相遇后两针均可成直角，因此可分两种情况考虑．
解：设过了x分钟
时针与分针的角度是90°
，时针走的距离（转的角度）为(120+0.5x)
，分针走的距离为6x
。
（1）第一次成直角
：（6-0.5）x＝120-90
x＝
( http: / / www.21cnjy.com )分钟＝5分
( http: / / www.21cnjy.com )秒
.
（2）第二次成直角
：（6-0.5）x＝120+90
，
x＝
( http: / / www.21cnjy.com )分钟＝38分
( http: / / www.21cnjy.com )秒.
所以在4点5分
( http: / / www.21cnjy.com )秒和4点38分
( http: / / www.21cnjy.com )秒时时针与分针相交成直角.
例2.在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时由
( http: / / www.21cnjy.com )A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行。已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5千米，水流的速度是每小时2.5千米，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船离B地有多远？
分析：因为C地的位置不确定，它既可能在A、B两地之间，也可能在A地的上游，所以应进行分类讨论。
解：设乙船由B地航行到C地用了
( http: / / www.21cnjy.com )个小时，那么甲、乙两船由A地航行到B地都用了
( http: / / www.21cnjy.com )小时。
若C地在A、B两地之间，则根据题意可得方程
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )。这时
( http: / / www.21cnjy.com )（千米）；
若C地在A地的上游，则根据题意可得方程
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )。这时
( http: / / www.21cnjy.com )（千米）。
所以乙船从B地到达C地时，甲船离B地有20千米或
( http: / / www.21cnjy.com )千米。
例3.
要用总长30m的篱笆沿墙的一边围一
( http: / / www.21cnjy.com )长方形的鸡舍，除墙这一边外，其他三边（除门外）都用篱笆围成，要求长方形的长是宽的2倍，并要求留2m宽的门，求这一鸡舍的长与宽。
分析：本题是一道
( http: / / www.21cnjy.com )几何应用题，但没有画出图形。因为“靠墙的一边”未指明是长还是宽，2m宽的门留在长边上或宽边上均不影响解法，因此，本题应抓住“靠墙的一边为长”和“靠墙一边为宽”分两类情况解答。
解：设这一鸡场宽为x米，则长为2x米。分两种情况：
（1）当鸡舍长靠墙时（图1）
据题意有：
( http: / / www.21cnjy.com )，
解之得：x=8，
2x=16
此时鸡舍长和宽分别为16m和8m。
图1
（2）当鸡舍宽靠墙时（图2）
据题意有：，
解之得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )。
此时鸡舍长和宽分别为12.8m和6.4m。
图2怎样灵活应用方程的解求字母的值？
难易度：★★★
关键词：方程
答案：
方程的解是满足左右两边相等的未知数的值，将解代入方程，方程两边相等，从而得到关于另一个字母的一元一次方程，解答即可。
【举一反三】
【举一反三】
典例：若方程3(x+4)-4=2k+1的解是-3，则k的值是(　　)
A.1　　　　　　B.-1　　　　　　C.0　　　　　　D.-
思路导引：一般来讲，解决本题要理解x=-3
( http: / / www.21cnjy.com )是方程3(x+4)-4=2k+1的解，说明-3可以代替x的位置，也就是把原题中的x换成“-3”，得3×(-3+4)-4=2k+1，可求得k=-1.
标准答案：B新情景下的一元一次方程
为顺应新课标理念，近年全国各地的中考试题
( http: / / www.21cnjy.com )中出现了许多具有新颖性、趣味性、生动性和挑战性等特征的情景应用性问题,本文特举两例与一元一次方程有关的题目,供同学们赏析.
一.
乌鸦喝水
例1.
【2007年浙江省丽水市】请根据图中给出的信息，可得正确的方程是（
）
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
析解：观察图形，
要知道两个量筒中的水实际上是两个水柱，又从小乌鸦的话中可以知道两个量筒中的水的体积相等，于是可列出方程：
( http: / / www.21cnjy.com )，故选A.
点评：“乌鸦喝水”的故事想必同学们已
( http: / / www.21cnjy.com )经耳熟能详了,命题者把它作为一道图文信息题搬上中考试卷，可真是眼前一亮。这类题目的已知条件全部蕴涵在整个图形之中，解答时，应结合图示认真分析，从而列出方程。
二.
破译密码
例2.
【2007年湖南省长沙市】在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文26个字母
( http: / / www.21cnjy.com )，…，
( http: / / www.21cnjy.com )（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号
( http: / / www.21cnjy.com )为奇数时，密码对应的序号
( http: / / www.21cnjy.com )；当明码对应的序号
( http: / / www.21cnjy.com )为偶数时，密码对应的序号
( http: / / www.21cnjy.com )．
字母
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
字母
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
序号
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
按上述规定，将明码“love”译成密码是（
）
A．gawq
　　B．shxc
　　　C．sdri
　　　D．love
析解：结合表格,
明码“love”中四个字母所对应的数字依次是：
12，15，22，5．
由题意，可依次得到:　
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．再回到表格，19，8，24，3这四个数字对应的字母依次是：
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
，
( http: / / www.21cnjy.com )．即将明码“love”译成密码是“
( http: / / www.21cnjy.com )”，故选B．
点评：此题是一道表格信息题，解答过程中从
( http: / / www.21cnjy.com )字母到数字，又从数字到字母，其间对“一元一次方程的解的概念”这个知识点进行了很好的考查．密码在我们的生活中用途十分广泛，通过对此题的解答，让我们尝到了破译密码后的成功喜悦．
㎝
5㎝
6㎝
8㎝
老乌鸦，我喝不到大量筒中的水！
㎝
小乌鸦，你飞到装有相同水量的小量筒，就可以喝到水了！一元一次方程复习指导
一、加强概念的理解
1.进一步认识方程及其解的概念，建构从数到式到方程的知识结构。
2.理解一元一次方程的概念，特别注意一元一次方程中的各项都是整式，并理解元与次的概念。
3.会根据数量关系或简单问题情境列一元一次方程。
友情提示：在复习的过程中，在老师的帮助下逐
( http: / / www.21cnjy.com )步形成：数→字母表示数→式→方程这一知识结构，有助于同学们更深刻的区别这些数学术语。下面的题目希望对同学们有所帮助。
1.在下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？
①
( http: / / www.21cnjy.com )；②
( http: / / www.21cnjy.com )；③
( http: / / www.21cnjy.com )；
④
( http: / / www.21cnjy.com )；⑤
( http: / / www.21cnjy.com )；⑥
( http: / / www.21cnjy.com )。
2.当
( http: / / www.21cnjy.com )为何值时，式子
( http: / / www.21cnjy.com )的值与
( http: / / www.21cnjy.com )的值互为相反数？
3.已知6a2x+1b4和3ax-1b4是同类项，求x的值。
4.请你构造两个方程，使得它们的解都是
( http: / / www.21cnjy.com )。
答案：1.①②③④⑤均是方程，④是一元一次方程。
2.
( http: / / www.21cnjy.com )
3.
( http: / / www.21cnjy.com )
4.答案不惟一，如
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )等。
二、熟练方程的解法。
1.会用尝试、检验法解简单的一元一次方程。
2.利用等式的性质解一元一次方程。
友情提示：
1.尝试、检验法实际上是一种“拼凑”的方法，
( http: / / www.21cnjy.com )是新课程下所倡导的一种有效的数学方法。一旦掌握了利用等式的性质解方程的方法后，往往会忽视这一方法的存在和价值。不过，当遇到用已有的知识无法解决时，“尝试、检验”的价值就发挥到了极致。
2.后面学习的二元一次方程组、分式方程最终都是化归为一元一次方程来解，因此，在充分理解等式的性质的基础上，熟练掌握解一元一次方程一般步骤。
下面的题目希望对同学们有所帮助。
1.班级花圃中的24盆花放成长方形的造型，每行比每列多两盆，若设每列有
( http: / / www.21cnjy.com )盆花，则所列方程是什么？你能够快速的得到它的解吗？
2.若关于
( http: / / www.21cnjy.com )的一元一次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解是
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )的值是
。
3.用适当的方式解下列方程：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )；（3）
( http: / / www.21cnjy.com )。
4.小兵解方程
( http: / / www.21cnjy.com )。解的过程如下：
移项，得
( http: / / www.21cnjy.com )。
逆用乘法分配律，得
( http: / / www.21cnjy.com )。
两边同除以x－1，得2＝3。
小兵的求解过程对吗，为什么？
答案：1.所列方程为
( http: / / www.21cnjy.com )，解为
( http: / / www.21cnjy.com )
2.
( http: / / www.21cnjy.com )
3.（1）
( http: / / www.21cnjy.com )；（2）
( http: / / www.21cnjy.com )；（3）
( http: / / www.21cnjy.com )
4.小兵的方法错在将方程
( http: / / www.21cnjy.com )的两边都除以了一个含未知数的整式
( http: / / www.21cnjy.com )，由于
( http: / / www.21cnjy.com )是方程的解，这就相当于方程的两边都除以了0，破坏了原来的相等关系。
三、运用方程解决实际问题
用一元一次方程解答实际问题，关键在于抓住问题中有关数量的相等关系，列出方程.求得方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的答案.
这一过程也可以简单地表述为：
其中，分析和抽象的过程通常包括：
（1）弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；
（2）找出能表示问题含义的一个主要的相等关系；
（3）对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据相等关系，得到方程.
求解和检验中应特别注意：检验所得结果是否符合实际问题的要求。
1.用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形．
（1）使长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽.
（2）使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积.
2.某房地产开发公司计划建造A、B两种户型住房共80套，该公司所筹资金为2096万元，所筹资金全部用于建房，两种户型建房成本和售价如下表：
A
B
成本（万元/套）
25
28
售价（万元/套）
30
34
问该公司全部售完80套住房获得的利润是多少？（利润=售价-成本）
3.某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%
( http: / / www.21cnjy.com )标价出售，“春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，两种服装标价之和为210元.问这两种服装的进价和标价各是多少元？
4.某酒店有三人间,双人间客房，收费标准如下表:
普通（元/间/人）
豪华(元/间/人)
三人间
150
300
双人间
140
400
为吸引游客,实行团体入住五折
( http: / / www.21cnjy.com )优惠措施,一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住,住了一些三人普通间和双人间客房,若每间客房正好住满,且一天共花去住宿费1510元,则该旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间
答案：
1.（1）长和宽分别为18厘米、12厘米.
（2）长和宽分别为17厘米、13厘米.
2.432万元.
3.甲的进价为50元，标价是70元；乙的进价是100元，标价是140元.
4.三人普通客房、双人普通客房各住8、13人.怎样用一元一次方程解决方案型问题？
难易度：★★★★
关键词：方程
答案：
方案型一元一次方程解应用题往往给出两个方案计算同一个未知量，然后用等号将表示两个方案的代数式连结起来组成一个一元一次方程。
【举一反三】
典例：某校初三年级学生参加社会实践活动，原计划租用30座客车若干辆，但还有15人无座位。
（1）设原计划租用30座客车x辆，试用含x的代数式表示该校初三年级学生的总人数；
（2）现决定租用40座客车，则可比原计
( http: / / www.21cnjy.com )划租30座客车少一辆，且所租40座客车中有一辆没有坐满，只坐35人。请你求出该校初三年级学生的总人数。
思路导引：本题表示初三年级总人数有两种方案，用30座客车的辆数表示总人数：30x+15
用40座客车的辆数表示总人数：40（x－2）+35。
解：（1）该校初三年级学生的总人数为：30x+15

（2）由题意得：

30x+15＝40（x－2）+35

解得：x＝6

30x＋15＝30×6＋15＝195（人）
标准答案：初三年级总共195人。怎样应用一元一次方程解答“仓库搬运”问题？
难易度：★★★
关键词：方程
答案：
仓库运输类的问题就明确如下关系：原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量，根据这一关系式，准确设置未知数，列出方程解答。
【举一反三】
典例：某面粉仓库存放的面粉运出
15％后，还剩余42
500千克，这个仓库原来有多少面粉？
思路导引：一般来说，此类问题应先找等量关系式，(原来重量-运出重量=剩余重量)
若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，可列出方程。
解：设原来有x千克面粉，那么运出了15％x千克，由题意，得
x-15％x=42
500，
所以
x=50
000．
标准答案：原来有
50
000千克面粉．怎样用数的和差关系列一元一次方程求解？
难易度：★★★
关键词：方程
答案：
我们知道方程是一个含有未知数的
( http: / / www.21cnjy.com )等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．
【举一反三】
典题：某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．
思路导引：一般来说，应用算术法解
( http: / / www.21cnjy.com )决实际问题时，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，则有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一。
设某数为x，则有3x-2=x+4．
解之，得x=3．
标准答案：某数为3．打折销售的典型例题
例1
一种蔬菜加工后出售，单价可
( http: / / www.21cnjy.com )提40％，但重量要降低20％，现有未加工的这种蔬菜1000千克，加工后共卖了1568元，问不加工每千克可卖多少钱？1000千克能卖多少钱？比加工后少卖多少钱？
分析
本题的关键是第一问，第一问求出其他问题就解决．由题意可知如下相等关系：
加工后的蔬菜重量×加工后的蔬菜单价＝1568元
而加工后的蔬菜重量＝1000×（1－
( http: / / www.21cnjy.com )20％），如果设加工前这种蔬菜每千克可卖x元，则加工后这种蔬菜每千克为（1＋40％）x元，故可得方程．
解:设不加工每千克可卖x元，依题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解方程得：
( http: / / www.21cnjy.com )
所以
( http: / / www.21cnjy.com )
答：不加工每千克可卖1.4元，1000千克能卖1400元，比加工后少卖168元．
说明：在计算数比较难算的题时，我们可以借助于计算器进行计算．
例2
某企业生产一种产品，每件成本价400
( http: / / www.21cnjy.com )元，销售价510元，为了进一步扩大市场，该企业决定降低销售价的同时降低生产成本．经过市场调研，预计下季度这种产品每件销售价降低4%，销售量将提高10％，要使销售利润保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？
分析
由已知可得如下相等关系
调整成本前的销售利润＝调整成本后的销售利润
若设该产品每件的成本价应降低x元，假定调整前可卖m件这种产品，则调整前的销售利润是（510－400）m，而调整后的销售阶为510（l－4％），调整后的成本价为
400－x．调整后的销售数量m（l＋10％），所以调整后的销售利润是：
( http: / / www.21cnjy.com )，由相等关系可得方程
( http: / / www.21cnjy.com )
解:设该产品每件的成本价应降低x元，降价前可销售该产品m件，依题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )
答：该产品每件的成本价应降低10.4元．
说明：这里的m也可以不设，以一件为例去研究这一问题，就可直接列出方程：
( http: / / www.21cnjy.com )
例3
（中考题）某商品的标价是1100元，打八折（按标价的80％）出售，仍可获利10％，则此商品的进价是________元．
分析：根据“利用＝销售价－进货价，利润率＝利润÷进货价×100％”，假设商品的进价为a元，则商品的售价为
( http: / / www.21cnjy.com )元时，可获利10％．
解：设商品的进价为a元．
则
( http: / / www.21cnjy.com )
答：此商品的进价是800元．
说明：打折销售是我们身边的数学事实，每个人都应了解它，关键是掌握“进货价”“销售价”“利润”等名词术语的意义，理解有关数量关系．
例4
某商品按进价的百分之几标价，然后再8折优惠销售，这件商品的获得率仍为20％．
解:设该商品的进价为
( http: / / www.21cnjy.com )元，按进价的
( http: / / www.21cnjy.com )％标价可满足要求．
根据题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
答：按进价的150％（即1.5倍）标价，然后再8折销售，获利率为20％．
说明：解应用题中的“打折销售”问题
( http: / / www.21cnjy.com )，首先要熟悉“进价”、“标价”、“售价”、“打折”、“利润”、“利润率”这些商业名词的含义，另外还要清楚反映进行、标价、售价、打折、利润、利润率之间关系的公式才能准确的列出方程．
（1）在我们现实生活中，购买商品和销售商品中，经常会遇到进价、标价、售价、打折、利润、利润率等概念．
（2）基本关系式：①利润＝售价—进价
②售价=标价×折数
③利润率＝
( http: / / www.21cnjy.com )．由①②可得出④利润＝标价×折数－进价．由③④可得出⑤利润率＝
( http: / / www.21cnjy.com )．实际问题与一元一次方程
列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许
( http: / / www.21cnjy.com )多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。
一．列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系．
（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．
（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．
（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．
二.
分类知能点与题目
知能点1：市场经济、打折销售问题
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率＝
( http: / / www.21cnjy.com )×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
例1.
某商店开张，为了吸引顾
( http: / / www.21cnjy.com )客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？


[分析]通过列表分析已知条件，找到等量关系式

进价
折扣率
标价
优惠价
利润率
60元
8折
X元
80%X
40%
等量关系：商品利润率=商品利润/商品进价
解：设标价是x元，
( http: / / www.21cnjy.com )
解之：x=105
优惠价为
( http: / / www.21cnjy.com )
例2.
一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
[分析]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
x元
8折
（1+40%）x元
80%（1+40%）x
15元
等量关系：（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15
解：设进价为x元，80%X（1+40%）—x=15，x=125
答：进价是125元。
1．一种商品进价为50元，为赚取20%的利润，该商品的标价为________元．
60
（点拨：设标价为x元，则x-50=50×20%）
2．某商品的标价为220元，九折卖出后盈利10%，则该商品的进价为______元．
180
（点拨：设商品的进价为x元，则220×90%-x=10%x）
3．某种商品若按标价的8折出售可获利20%，若按原标价出售，则可获利（
）
A．25%
B．40%
C．50%
D．1
C
（点拨：设标价为x元，进价为a元，则80%x-a=20%a，得x=
( http: / / www.21cnjy.com )a
∴按原标价出售可获利
( http: / / www.21cnjy.com )×100%=50%）
4．两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（
）
A．赢利16.8元
B．亏本3元
C．赢利3元
D．不赢不亏
C
（点拨：设进价分别为a元，b元，则
a-84=20%a，得a=105
84-b=40%b，得b=60
∴84×2-（a+b）=3，故赢利3元）
5．一家商店将一种自行车按进价提高45%
( http: / / www.21cnjy.com )后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（
）
A．45%×（1+80%）x-x=50
B．
80%×（1+45%）x
-
x
=
50
C．x-80%×（1+45%）x
=
50
D．80%×（1-45%）x
-
x
=
50
6．某商品的进货价为每件x元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折让利40元销售，仍可获利10%，则x为（
）
A．700元
B．约733元
C．约736元
D．约856元
7．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折．
解：设至多打x折，根据题意有
( http: / / www.21cnjy.com )×100%=5%
解得x=0.7=70%
答：至多打7折出售．
8．一家商店将某种型号的彩电先按
( http: / / www.21cnjy.com )原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价．
解：设每台彩电的原售价为x元，根据题意，有
10[x（1+40%）×80%-x]=2700，x=2250
答：每台彩电的原售价为2250元．
9．某商品进价是1000元，标价为1500元，商品要求以利润率不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？
知能点2：
方案选择问题
10．某蔬菜公司的一种绿色
( http: / / www.21cnjy.com )蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工．
方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．
你认为哪种方案获利最多？为什么？
解：方案一：获利140×4500=630000（元）
方案二：获利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）
方案三：设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨．
依题意得
( http: / / www.21cnjy.com )=15
解得x=60
获利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）
因为第三种获利最多，所以应选择方案三．
11．某市移动通讯公司开设了两种通讯
( http: / / www.21cnjy.com )业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）．若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元．
（1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式）．
（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？
（3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？
解：（1）y1=0.2x+50，y2=0.4x．
（2）由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250．
即当一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同．
（3）由0.2x+50=120，解得x=350
由0.4x+50=120，得x=300
因为350>300
故第一种通话方式比较合算．
12．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费．
（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．
（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元？
解：（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72
解得a=60
（2）设九月份共用电x千瓦时，则0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x
解得x=90
所以0.36×90=32.40（元）
答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．
13．某家电商场计划用9万元
( http: / / www.21cnjy.com )从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获
( http: / / www.21cnjy.com )利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，
设购A种电视机x台，则B种电视机y台．
（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程
1500x+2100（50-x）=90000
即5x+7（50-x）=300
2x=50
x=25
50-x=25
②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，
可得方程1500x+2500（50-x）=90000
3x+5（50-x）=1800
x=35
50-x=15
③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．
可得方程2100y+2500（50-y）=90000
21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意
由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．
（2）若选择（1）中的方案①，可获利
150×25+250×15=8750（元）
若选择（1）中的方案②，可获利
150×35+250×15=9000（元）
9000>8750
故为了获利最多，选择第二种方案．
14．小刚为书房买灯。现有两
( http: / / www.21cnjy.com )种灯可供选购，其中一种是9瓦的节能灯，售价为49元/盏，另一种是40瓦的白炽灯，售价为18元/盏。假设两种灯的照明效果一样，使用寿命都可以达到2800小时。已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元。
（1）设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯和用一盏白炽灯的费用。（费用=灯的售价+电费）
（2）小刚想在这两种灯中选购一盏。
当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？
试用特殊值判断：
照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？
照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？
（3）小刚想在这种灯中选购两盏。假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时。请你设计一种费用最低的选灯照明方案，并说明理由。
答案：0.005x+49
0.02x+18
2000
知能点3储蓄、储蓄利息问题
（1）顾客存入银行的钱叫做本金
( http: / / www.21cnjy.com )，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税
（2）利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
（3）
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例1.
某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）
[分析]等量关系：本息和=本金×（1+利率）
解：设半年期的实际利率为X，依题意得方程250（1+X）=252.7，
解得X=0.0108
所以年利率为0.0108×2=0.0216
答：银行的年利率是21.6%
一年
2.25
三年
2.70
六年
2.88
例2.
为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：
（1）直接存入一个6年期；
（2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；
（3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？
[分析]这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。
解：（1）设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程X（1+6×2.88%）=20000，解得X=17053
（2）设存入两个三年期开始的本金为Y元，
Y（1+2.7%×3）(1+2.7%×3）=20000，X=17115
（3）设存入一年期本金为Z元
，
Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894
所以存入一个6年期的本金最少。
15．利息税的计算方法是：利息税=利
( http: / / www.21cnjy.com )息×20%．某储户按一年定期存款一笔，年利率2.25%，一年后取出时，扣除了利息税90元，据此分析，这笔存款的到期利息是____元，本金是_______元，银行向储户支付的现金是________元．
450
20000
20360
16．小刚的爸爸前年买了某公司的二
( http: / / www.21cnjy.com )年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）．
解：设这种债券的年利率是x，根据题意有
4500+4500×2×x×（1-20%）=4700，
解得x=0.03
答：这种债券的年利率为0.03．
17．为了准备小明三年后上高中的学费，他的
( http: / / www.21cnjy.com )父母准备现在拿出3000元参加教育储蓄，已知教育储蓄一年期利率为1.98%，二年期利率为2.25%，三年期利率为2.52%，请你帮小明的父母计算一下如何储蓄三年后得到的利息最多．
解：利用公式分三种情况（一年期、二年期、三年期）进行计算，再进行比较即可获得答案．
一年期：设利息为x元，则x=3000×1.98%×1=59.4（元）
二年期：设利息为x元，则x=3000×2.25%×2=135（元）
三年期：设利息为x元，则x=3000×2.52%×3=226.8（元）
∵59.4<
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∴三年期储蓄利息最多．
18．（北京海淀区）白云商场购进某
( http: / / www.21cnjy.com )种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元（销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润）．现为了扩大销售量，把每件的销售价降低x%出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则x应等于（
）
A．1
B．1.8
C．2
D．10
C
[点拨：根据题意列方程，得（10-8）×90%=10（1-x%）-8，解得x=2，故选C]
19．某人按定期2年向银行储蓄1500元，假设每年利率为3%（不计复利）到期支取时，扣除利息所得税（税率为20%）此人实得利息为（
）
A．1272元
B．36元
C．72元
D．1572元
20．用若干元人民币购买了一种年利率为
( http: / / www.21cnjy.com )10%
的一年期债券，到期后他取出本金的一半用作购物，剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券（利率不变），到期后得本息和1320元。问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元？答案：22000元
21．购买了25000元某公司1年期的债券，一年后扣除20%的利息税之后得到本息和为26000元，这种债券的年利率是多少？答案：百分之五
知能点4：工程问题
工作量＝工作效率×工作时间
工作效率＝工作量÷工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
例1.
一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？
[分析]甲独作10天完成，说明的他的工作效率是
( http: / / www.21cnjy.com )乙的工作效率是
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等量关系是：甲乙合作的效率×合作的时间=1
解：设合作x天完成,
依题意得方程
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答：两人合作
( http: / / www.21cnjy.com )天完成
例2.
一件工程，甲独做需15
( http: / / www.21cnjy.com )天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
[分析]设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，
( http: / / www.21cnjy.com )
　　答：乙还需
( http: / / www.21cnjy.com )天才能完成全部工程。
例3.
一个蓄水池有甲、乙两个进水
( http: / / www.21cnjy.com )管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？
　　[分析]等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。
　　解：设打开丙管后x小时可注满水池，
　　由题意得，
( http: / / www.21cnjy.com )
　　答：打开丙管后
( http: / / www.21cnjy.com )小时可注满水池。
22．一批工业最新动态信息
( http: / / www.21cnjy.com )输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？
解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．
根据题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )×
( http: / / www.21cnjy.com )+（
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )）x=1
解这个方程，得x=
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=2小时12分
答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．
23．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种
( http: / / www.21cnjy.com )零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件．
解：设这一天有x名工人加工甲种零件，则
( http: / / www.21cnjy.com )这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个．
根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440
解得x=6
答：这一天有6名工人加工甲种零件．
24．一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？
设还需
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知能点5：若干应用问题等量关系的规律
（1）和、差、倍、分问题
此类题既可
( http: / / www.21cnjy.com )有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。
增长量＝原有量×增长率
现在量＝原有量＋增长量
25．某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的
( http: / / www.21cnjy.com )问每个仓库各有多少
粮食？
设第二个仓库存粮
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（2）等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式
V=底面积×高＝S·h＝
( http: / / www.21cnjy.com )r2h
②长方体的体积
V＝长×宽×高＝abc
26．一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，
( http: / / www.21cnjy.com )≈3.14）．
解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )·（
( http: / / www.21cnjy.com )）2x=300×300×80
x≈229.3
答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米．
27．长方体甲的长、宽、高分别为260mm，
( http: / / www.21cnjy.com )150mm，325mm，长方体乙的底面积为130×130mm2，又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？
设乙的高为
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知能点6：行程问题
基本量之间的关系：
路程＝速度×时间
时间＝路程÷速度
速度＝路程÷时间
（1）相遇问题
（2）追及问题
快行距＋慢行距＝原距
快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系．
例1.
甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
　　（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？
　　（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
　　（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
　　（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
　　（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
　　此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。
（1）分析：相遇问题，画图表示为：
等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。　　
解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90（x+1）=480
　　
解这个方程，230x=390
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答：快车开出
( http: / / www.21cnjy.com )小时两车相遇
分析：相背而行，画图表示为：　　
等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。
　　解：设x小时后两车相距600公里，
由题意得，（140+90）x+480=600解这个方程，230x=120
　　∴
x=
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　　答：
( http: / / www.21cnjy.com )小时后两车相距600公里。
　　（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。
　　解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，（140－90）x+480=600　　
50x=120　　∴
x=2.4
　　答：2.4小时后两车相距600公里。
分析：追及问题，画图表示为：
等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。
　　
解：设x小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480
　解这个方程，50x=480
　∴
x=9.6
答：9.6小时后快车追上慢车。
分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+480　
50x=570　∴
x=11.4
　　
答：快车开出11.4小时后追上慢车。
例2.
甲乙两人在同一道路上从相距5
( http: / / www.21cnjy.com )千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？
[分析]]追击问题，不能
( http: / / www.21cnjy.com )直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程=它的速度×时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间
解：设甲用X小时追上乙，根据题意列方程
5X=3X+5
解得X=2.5，狗的总路程：15×2.5=37.5
答：狗的总路程是37.5千米。
例3.
某船从A地顺流而下到达B地，然
( http: / / www.21cnjy.com )后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。
[分析]这属于行船问题，这类问题中要弄清：
（1）顺水速度=船在静水中的速度+水流速度；
（2）逆水速度=船在静水中的速度－水流速度。相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。
　　解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为（x-10）千米，
　　由题意得，
( http: / / www.21cnjy.com )
答：A、B两地之间的路程为32.5千米。
28．有一火车以每分钟600
( http: / / www.21cnjy.com )米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．
解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为
( http: / / www.21cnjy.com )分．过完第二铁桥所需的时间为
( http: / / www.21cnjy.com )分．依题意，可列出方程
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )
解方程x+50=2x-50
得x=100
∴2x-50=2×100-50=150
答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米．
29．已知甲、乙两地相距
( http: / / www.21cnjy.com )120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？
设甲的速度为
( http: / / www.21cnjy.com )千米/小时，依题意得，
( http: / / www.21cnjy.com )
30．一队学生去军事训练
( http: / / www.21cnjy.com )，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为14米/分。问：若已知队长320米，则通讯员几分钟返回？若已知通讯员用了25分钟，则队长为多少米？
（1）
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（2）
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( http: / / www.21cnjy.com )
31．一架飞机在两个城市之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程？
设两个城市之间的飞行路程为
32．一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。
知能点7：数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位
( http: / / www.21cnjy.com )数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，
0≤b≤9，
0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．
（2）数字问题中一些表示：两个连续整数
( http: / / www.21cnjy.com )之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
例1．一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数
[分析]由已知条件给出了百位和个位上的数的关
( http: / / www.21cnjy.com )系，若设十位上的数为x，则百位上的数为X+7，个位上的数是3X，等量关系为三个数位上的数字和为17。
解：设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为X+7，个位上的数是3X
X+X+7+3X=17
X+7=9，3X=6
解得X=2
答：这个三位数是926
例2.
一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数
等量关系：原两位数+36=对调后新两位数
解：设十位上的数字X，则个位上的数是2X，
10×2X+X=（10X+2X）+36解得X=4，2X=8，答：原来的两位数是48。
33．一个两位数，十位数与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的数比原来的数大63，求原来的两位数？
设个位数字为
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注意：虽然我们分了几种类型
( http: / / www.21cnjy.com )对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解。怎样灵活应用方程的解解题？
难易度：★★★★
关键词：方程
答案：
方程的解是指能使方程两边相等的未知数的值。
【举一反三】
典例：下列方程中以x=5
为解的是(　　)
A.-2x=4
B.-2x-1=-3
C.-
x-1=-3
D.-
x+1=-4
思路导引：一般来讲，解决本题要如
( http: / / www.21cnjy.com )果将四个选项中的方程一一求解，当然可以解决问题，但是这样做效率太低.根据方程的解的意义，可将x=5代入四个选项中进行验证.只有D选项的方程左右两边的值是相等的.
标准答案：D列方程两大题型解密
一、分段讨论型
分段型一元一次方程的应用是指同一个未
( http: / / www.21cnjy.com )知量在不同的范围内的限制条件不同的一类应用题.所以在解决这类问题的时候，先要确定所给的数据所处的分段，然后要根据它的分段合理地解决.
例1
甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下:
购买苹果数
不超过30千克
30千克以上但不超过50千克
50千克以上
每千克价格
3元
2.5元
2元
甲班分两次共购买苹果70千克（第二次多于第一次），共付出189元，乙班则一次购买苹果70千克.
（1）乙班比甲班少付出多少元
（2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克
分析：（1）由于乙班一次购买苹果70
( http: / / www.21cnjy.com )千克，则价格一定是2元/千克，从而求得乙购买70千克苹果的金额，于是即可求得乙班比甲班少付出的金额.（2）要求甲班第一次、第二次分别购买苹果的千克数，由表中提供的信息，则需要分段讨论：两次都是30千克以上但不超过50千克；第一次不超过30千克，第二次30千克以上但不超过50千克；第一次不超过30千克，第二次50千克以上.
解：（1）因为乙班一次购买苹果7
( http: / / www.21cnjy.com )0千克，所以价格一定是2元/千克，即共付金额70×2＝140元，而189－140＝40（元），所以乙班比甲班少付出49元.
（2）设第一次购买x千克.下面分三段讨论：
若两次都是30千克以上但不超过50千克，则根据题意，得2.5x+2.5（70－x）＝189，显然方程无解；
第一次不超过30千克，第二次30千克以上但不超过50千克，则根据题意，得3x+2.5（70－x）＝189，解得x＝28，则70－x＝42.
第一次不超过30千克，第二次50千克以上，则根据题意，得3x+2（70－x）＝189，解得x＝49＞30，不符实际.
所以第一次28千克，第二次42千克.
二、方案设计型
方案型问题比较综合，要求思维能力强.这类问题一般给出几种可行方案，通过对比做出选择，或者通过分析给出可行方案.
例2　某牛奶厂现有鲜奶9吨，若在市场
( http: / / www.21cnjy.com )上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元.该工厂的生产能力是如果制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温限制，这批牛奶必须4天内全部销售或加工完毕.为此该厂设计了两种方案：方案一：尽可能地制成奶片，其余的直接销售鲜奶；方案二：将一部分制成奶片，其余的制成酸奶销售，并恰好4天完成，你认为选择哪种方案获利最多
　　分析：要确定哪种方案，若能计算
( http: / / www.21cnjy.com )出每一种方案的金额，再通过比较即可作出正确地选择.而事实上，方案一则很容易求出其金额的多少，对于方案二，可引进未知数，列出一元一次方程即可求解.
解：方案一：4×2000+（9－4）×500＝10500元；
方案二：设有x吨制成奶片，则根据题意，得x+
( http: / / www.21cnjy.com )＝4，解得x＝1.5.
所以1.5×2000+（9－1.5）×1200＝12000元.此时10500＜12000，所以应选择方案二.怎样列一元一次方程解决代数式的值想相等问题？
难易度：★★★
关键词：方程
答案：
根据两代数式的值相等，可以得到一个等式（方程），解决此类问题的关键，可把问题转化为一元一次方程的知识解决。
【举一反三】
典例：当x
=
________时,代数式
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )的值相等
思路导引：一般来讲，解决本题要明确两代数式的值相等，是解决此类问题的关键，依题意得：
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，把问题转化为一元一次方程的知识解决。
标准答案：x=-1一元一次方程应用题解题方法论初探
方程的应用问题的教学可以说贯穿了整个小
( http: / / www.21cnjy.com )学高年级学段和初中学段，在学生的数学学习活动中占有相当重要的地位（整个初中段方程及其应用题的教学学时为41学时，约占整个初中数学学时的11.5％），而一元一次方程应用题的教学，又是所有方程应用题教学中最基础的起始部分，因此，这一部分内容的教学成功，对后续包括二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用的教学有着至关重要的作用。但由于初中一年级这一阶段学生的机械记忆力较强，分析能力却相对仍然较弱，因此，要提高初一年级数学应用题教学效果，除了要逐步提高学生的数学分析能力，及时地给学生以解题方法论的指导，也是每一位数学教师必须考虑和认真探索的问题。
显然，列方程解应用题的关键在于由题目中隐含的等量关系列出相应的方程。笔者通过多年的教学实践，认为初中数学应用题的教学基本可有如下几种方法：
一、直列法。即由题中的“和”、“少”、“倍”等表示数量关系的字眼，直接列出相关的方程。
例1
在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
分析：显然，人员调动完成后，甲处人数＝2×乙处人数。
解：设调x人到甲处，则调（20-x）人到乙处，由题意得：
27+x=2(19+20-x)，
解之得x＝17
∴20-x＝20－17＝3（人）
答：应调往甲处17人，乙处3人。
二、公式法。学生熟识的公式诸如“路
( http: / / www.21cnjy.com )程＝速度×时间”、“工作总量＝工作效率×工作时间”、“利润＝售价－进价”、“利润率＝利润/进价”等都是解答相关方程应用题的工具。
例2
商品进价1800元，原价2250元，要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则此商品最低可打几折出售？
分析：根据利润率公式，列出方程即可。
解：设最低可打x折。据题意有：
5%=（2250x-1800）/1800，
解之得x＝0.84
答：最低可打8.4折。
三、总分法。即根据总量等于各分量之和来列出方程，用此法要注意分量不可有所遗漏。
例3
“过路的人！这儿埋葬着丢番
( http: / / www.21cnjy.com )图。请计算下列题目，便可知他一生经过了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？”
分析：本题即是著名的丢番图的“墓志铭”，题中巧妙地把丢番图的总年龄划分为了几个部分，解题时只需运用其总年龄＝各部分年龄的和即可得出解答。
解：设丢番图活了x年。据题意可得：
x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4
解之得x＝84
答：丢番图共活了84岁。
由此题的解答，我们还可知道古希腊的这位大数学家丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁死了儿子，儿子活了42岁等。
四、同一法。这类题目的解题原理是：如果同一个量能用两个不同的代数式表达，则这两个代数式必然相等。
例4
一队学生从学校出发去部队军
( http: / / www.21cnjy.com )训，行进速度是5千米/时，走了4.5千米时，一名通讯员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通讯员的速度是14千米/时，他在距离部队6千米处追上队伍，问学校到部队的距离是多少？（报信时间忽略不计）
分析：该题的解答关键在于，通讯员从返回学校到追上队伍所用时间与队伍走了4.5千米到距离部队6千米这段路程所用时间是相等的（同一段时间）。
解：设学校到部队的距离是x千米。据题意得：
(x-4.5-6)/5=(x+4.5-6)/14，
解之得：x＝15.5
答：学校到部队的距离是15.5千米。
当然，以上四种方法不是孤
( http: / / www.21cnjy.com )立使用的，如例4的解答必然要用到公式：“路程＝速度×时间”。并且一个题目的解法往往也不是唯一的，如例1的解答也可以用总分法：
解：设人员分配后乙处人数为x人，甲处为2x人。分配后的总人数为27+19+20＝66人，据题意有：
x+2x＝27+19+20，
解之得x＝22，
∴2x＝44，故44－27＝17（人），22－19＝39（人）
答：应调往甲处17人，乙处3人。
可见，方程应用题方法论的训练，不仅
( http: / / www.21cnjy.com )使大多数学生在解答相关问题时能“按图索骥”，而且对于培养学生思维的发散性和多元性也有着重要意义，使一题多解成为可能。从统计图获取信息列方程
例1．（2008年滨州市）四川汶川大地
( http: / / www.21cnjy.com )震牵动了三百多万滨州人民的心，全市广大中学生纷纷伸出了援助之手，为抗震救灾踊跃捐款．滨州市振兴中学某班的学生对本校学生自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据．下图1是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形的高度之比为3：4：5：8：6，又知此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人．
（1）他们一共调查了多少人？
（2）这组数据的众数、中位数各是多少？
（3）若该校共有1560名学生，估计全校学生捐款
多少元？
分析：由于左到右各长方形的高度之比为3：4：5：
8：6，所以左到右可以设为3x，4x，5x，8x，6x，
又由于此次调查中捐款25元和30元的学生一共42人，
可以列出一元一次方程，问题就可以解决了．
解：（1）设捐款30元的有6
x人，则8
( http: / / www.21cnjy.com )
x
+6x=42，得x=3．则捐款人数共有3
x+4
x+5
x+8
x+6
x=78（人）．
（2）由统计图
( http: / / www.21cnjy.com )可知：众数为25（元）；由于本组数据的个数为78，按大小顺序排列处于中间位置的两个数都是25（元），故中位数为25（元）．
（3）全校共捐款：
（9×10＋12×15＋15×20＋24×25＋18×30）×
( http: / / www.21cnjy.com )=34200（元）．
评注：本题就是通过条形统计
( http: / / www.21cnjy.com )图，根据左到右各长方形的高度的比可以列出方程解决问题，它既考查对统计图的理解又考查了列方程解决实际问题的能力，真是一举两得．
例2．（2008年嘉兴市）某学校组织教师为汶川地震救灾捐款，分6个工会小组进行统计，其中第6工会小组尚未统计在内，如图2：
（1）求前5个工会小组捐款金额的众数、中位数和平均数；
（2）若全部6个小组的捐款平均数为2750元，求第6小组的捐款金额，并补全统计图．
分析：先由图中捐款金额为2
( http: / / www.21cnjy.com )500元的有两个组，出现次数最多，所以众数是2500元，将数据排序为：200，2500，2500，3000，3500，故中位数也为2500元，然后全部6个小组的捐款平均数为2750元，列出方程即可解决问题．
解：由题意得：
（1）众数是2500元、中位数是2500元、平均数是2700元；
（2）设第6小组的捐款金额为
( http: / / www.21cnjy.com )元，则
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )第6小组的捐款金额为3000元．
如图
评注：本题与生活紧密相连又是生活热点问题，既
( http: / / www.21cnjy.com )可以让学生体会数学与生活的密切联系，又能对学生进行爱国主义教育，是培养学生情感、态度与价值观的类好题，值得研究与推广，也是新课程标准所倡导的！
图1
图2巧
求
边
长
妙
填
数
下面几个益智题集知识性、
( http: / / www.21cnjy.com )趣味性于一体,读完题后你会想到用一元一次方程模型作为解题的突破口吗 不看析解请你试一试,从中体会一元一次方程作为解决问题的有力工具的作用,同时启迪思维,提高能力.
例1.右图是由六个正方形拼成的长方形,已知中间的小正方形的边长为1,试求长方形的面积.
析解:给六个正方形分别标上1、2、3、4、5、6，
设正方形2的边长为,则正方形3的边长也为,
正方形4的边长为（+1）,正方形5的边长为（+2）,
正方形6的边长为（+3）.
根据长方形的对边相等,可得方程:
++（+1）=（+2）+（+3），解得=4.
从而得到长方形的长为3+1=13，宽为2+3=11，
所以长方形的面积为13×11=143.
例2
右图是由9个等边三角形拼成的六边形,若已知中间的小等边三角形的边长为,则六边形的周长是
析解:给9个等边三角形分别标上1、2、3、4、5、6、7、8、9,
设等边三角形2的边长为,则等边三角形3、4的边长也为,
等边三角形5、6的边长为（+）,等边三角形7、8的边长
为（+2）,等边三角形9的边长为（+3）,
从图中可以看出,等边三角形9的边长等于等边三角形2、4的边长之和,
可得方程：+3=2，解得=3.
所以六边形的周长为:
++（+）+（+）+（+2）+（+2）+（+3）=7+9=7×3+9=30.
例3
将-1～-8以及1～8这16个整数填入的正方形表格中,使得每行、
每列、每条对角线上四个数字之和都相等,如右图所示,恰有8个标有序号的小方
格中填的数被一个顽皮的小朋友擦掉了,请你将这擦掉的8个数设法恢复出来.
析解:设所填表中每行、每列、每条对角线四数之和为S,
则,得S=0.
即所填表中每行、每列、每条对角线四数之和为0.
设序号为①的方格中的数为,则序号为②的方格中的数为;序号
为③的方格中的数为;序号为④的方格中的数为;序号为⑤的
方格中的数为;序号为⑥的方格中的数为;序号为⑦的方格中的
数为;序号为⑧的方格中的数为;如右图所示
由对角线①、⑦、⑤、③四数相加为0,得
得到
于是可以依次算出被擦掉的各数,恢复后如图所示.
例4
在右图中有9个方格,要求在每个方格内填入不同的数,使得每行、每列、
每条对角线上的三个数字之和都相等,试问:图中左上角的数是多少？
析解:虽然要求的只是左上角的数,但是题目中的条件还与其它的数有关,
因此需恰当地增设不同的字母来表示数,以便充分运用已知条件.
如图,设相应方格中的数分别为,,和,问号处填入的数为,
由已知条件得：
由前两个式子之和等于后两个式子之和,得到
所以
解得
，即图中左上角的数为16.用方程解决最优选择问题
　　1、某地生产的一种绿色蔬菜，在
( http: / / www.21cnjy.com )市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕。为此，公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将一部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好用15天完成。
你认为选择哪一种方案获利最多？为什么？
解：方案一：4500×140＝630000（元）
方案二：90×7500＋50×1000＝725000（元）
方案三：设15天内，精加工蔬菜x吨。
答：选择方案三获利最多。
　　2、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层
( http: / / www.21cnjy.com )楼有8间教室，进出这栋大楼共有4扇门，其中两扇正门大小相同，两扇侧门大小也相同，安全检查中，对4扇门进行测试，当同时开启一扇正门和两扇侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可以通过800名学生。
（1）求平均每分钟一扇正门和一扇侧门可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生
( http: / / www.21cnjy.com )拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过4扇门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4扇门是否符合安全规定？请说明理由。
解：（1）设平均每分钟一扇正门能通过x名学生，则平均每扇侧门每分钟可通过（800÷4－x)名学生
2[x+2(200-x)]=560x=120
200-x=80
答：一扇正门平均每分钟可通过120名学生，一扇侧门平均每分钟可通过80名学生
（2）学生最多为4×8×45＝1440（人）
4扇门同时开启1分钟可通过的学生人数为：200×2＝400
5分钟可通过的学生人数是：400×5＝2000（人）
因出门率的降低实际通过的人数是：2000×80%＝1600（人）
∵1600＞1440
∴建造的这四扇门符合安全规定。
　
3、某同学在A、B两家超市发现
( http: / / www.21cnjy.com )他看中的随身听的单价相同，书包的单价也相同，随身听与书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少
（2）某一天该同学上街，恰好
( http: / / www.21cnjy.com )赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱。如果他只在一家超市购买看中的两样物品，你能告诉他可以选择哪一家购买？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
解：（1）设书包的单价是x元，则随身听的单价是（4x-8)元
　　　　　　4x-8+x=452
x=92
4x-8=360
（2）A超市：购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%＝361.6（元）
∵361.6＜400　∴可以选择超市A购买
B超市：先用360元购买随身听，可得到90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360＋2＝362（元）
∵362＜400　　∴也可以选择在超市B购买
又∵362＞361.6　∴在超市A购买更省钱。
思考题：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，某班同学准备在自己教室前的空地上，一面靠墙，三面利用这些围栏，建一个长方形的小花圃。
（1）请你设计一下，若长比宽多3m，求花圃的面积。
（2）请你再设计一下，改变长与宽，扩大花圃的面积，看看谁设计的花圃面积最大。
解：（1）当长靠墙，设宽为x米，则长为（x+3)米
　　　x+3+2x=24
x=7
面积为：7×10＝70平方米
当宽靠墙，设宽为y米，则y+2(y+3)=24
y=6
面积为：6×9＝54平方米
（2）欲使面积最大，若设
( http: / / www.21cnjy.com )宽为z米，则面积为z(24-2z),其值应最大，可进行讨论：当Z＝1,2，3,4，5,6，……，寻找规律，得z=6时，面积最大。盘点“设未知数”的方法
设未知数是列方程解应用题的重要一环，根据实际应用题的特征，灵活设出未知数，可使解题过程简单快捷.就设未知数的几种方法总结如下.
一、直接设未知数
当题目中的关系能明显表示出所求的未知量时，可采用直接设法.即求什么设什么.
例1.一商店将每台彩电先
( http: / / www.21cnjy.com )按进价提高40%标出售价，然后在广告中宣传将以八折的优惠价出售，结果每台赚了300元，那么每台彩电的进价是多少元？
【分析】：本题的等量关系明确，且各等量都与所求的量有直接的关系，可直接设所求的量为未知数求解.
解：设每台彩电的进价为
( http: / / www.21cnjy.com )元.根据题意，得
( http: / / www.21cnjy.com ),
解得
( http: / / www.21cnjy.com ).所以每台彩电的进价为2500元.
二、间接设未知数
当直接设未知数列方程较困难时，可采用间接未知数的方法.即所设的不是所求的.
例2.据调查，某地服装经销
( http: / / www.21cnjy.com )商在经销服装时，只要高出进价的20%就能盈利.
但是，实际上，服装经销商对服装的标价，一般要高出进价的50%~100%．
若一件衣服标价210元，你要买这件衣服应该在什么范围内还价比较合理？
【分析】初看此题觉得要用已学的知识来解
( http: / / www.21cnjy.com )决好象有点不可能，也不知如可下手，其实本题中涉及到数学问题仍是一元一次方程．在这个问题中，我们关键是要弄清楚这件服装的进价是多少，然后提高20%，就是买卖双方都能认可的价位了．而我们知道，在进价与标价之间存在着一个加价的环节，经销商就是在加价中获得利润．
它们之间存在如下关系式：进价
+
加价
=
标价.由于经销商盈利的标准（高出进价的20%）是固定的，所以问题的关键就在于进价是多少．
解:设这件服装的进价为
( http: / / www.21cnjy.com )元．
下面我们分两种情况来看：
（1）由于这210元的标价最低高出进价的50%，此时的标价即为进价x元加上它50%，
所以有：
( http: / / www.21cnjy.com )
+
50%
( http: / / www.21cnjy.com )=210.解得:
( http: / / www.21cnjy.com )=
140．这说明，这件服装的最高进价为140元
．
（2）由于这210元的标价最高高出进价的100%，此时的标价即为进价
( http: / / www.21cnjy.com )元加上它的100%，所以有：
( http: / / www.21cnjy.com )
+
100%
( http: / / www.21cnjy.com )
=
210.解得:
( http: / / www.21cnjy.com )．
这说明，这件服装的最低进价为105元．
可见，这件服装的进价为105元~140元．至此我们求到了衣服的进价范围，
为此，我们将两个进价都提高20%，可得价
( http: / / www.21cnjy.com )位为105×（1+20%）~
140×（1+20%），即126元~168元．因此，这件标价为210元的服装的还价范围应在126元~168元之间，比较合理．
在解决以上问题的过程中，我们没有直接求还价的范围，而是把与之密切相关的进价设为未知数x，采用了“间接设元”的方法，巧妙地解决了问题．
三、设辅助未知数
有些较复杂的应用题，初看起来
( http: / / www.21cnjy.com )好像缺少条件，这时不妨引入辅助未知数，在已知条件与所求答案之间架起一座“桥梁”，以便理顺各个量之间的关系，列出方程.
例3.两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小
( http: / / www.21cnjy.com )时，而点完一根细蜡烛要1小时.一天晚上停电，明明同时点燃了这两支蜡烛看书，若干分钟后来电了，明明将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？
【分析】本题中的等量关系式是:同样长的两根蜡烛点燃了同样的时间后,所剩下的粗蜡烛的长是细蜡烛长的2倍.而两根同样长的蜡烛原长不知道,
为使问题易于列方程解决，可以设辅助未知数
( http: / / www.21cnjy.com )为蜡烛的原长.
解:设蜡烛的原长为
( http: / / www.21cnjy.com ),停电的时间是
( http: / / www.21cnjy.com )小时.根据题意,得
( http: / / www.21cnjy.com ),
解得:
( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )小时=40分钟.
答:
停电时间是40分钟.
四、设整体为未知数
所谓整体设元，就是将问题中的一部分看作一个整体，并设为未知数的一种易于解题的设未知数的方法.
例4
一个六位数，后三位数是857，将这个六位数乘以6后，所得的数恰好是前三位数与后三位数互换位置.求原六位数.
【分析】：本题不易直接设出这个六位数求解.为了解决问题的方便，可设六位数前三位数为
( http: / / www.21cnjy.com )，这样可以表示出整个六位数.
解：设前三位数为
( http: / / www.21cnjy.com )，则原六位数可表示为1000
( http: / / www.21cnjy.com )+857，根据题意，得
6（1000
( http: / / www.21cnjy.com )+857）=857×1000+
( http: / / www.21cnjy.com ),解得
( http: / / www.21cnjy.com )=142.
所以原六位数为1000×142+857=142857.
练一练：
1.一家商店将某种运动服按进价提
( http: / / www.21cnjy.com )高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件运动服仍可获利15元，这种运动服每件的进价是多少元？
2.某音乐厅六月初决定在暑假期间举办“感动中国”学生专题音乐会，入场卷分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的
( http: / / www.21cnjy.com )，若提前购票，则给予不同程度的优惠.已知六月份内团体票每张20元，共售出团体票数的
( http: / / www.21cnjy.com )，零售票每张24元，共售出零售票数的
( http: / / www.21cnjy.com );如果在七月份内，团体票按每张25元售出，并计划在七月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款总收入相等？
3.甲、乙同学从400米环形跑道上的
( http: / / www.21cnjy.com )某一点背向出发，分别以2米/秒、3米/秒的速度慢跑，6秒钟后，一只小狗从甲处出发以6米/秒的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以6米/秒的速度向甲跑，如此往返直到甲、乙第一次相遇，那么小狗共跑了多少米？
4.有这样四个有理数，它们其中每三个数之和分别是22、27、24、20，你知道这四个有理数分别是什么吗？
参考答案:
1.解：设这种运动服每件的进价为
( http: / / www.21cnjy.com )元.根据题意，得(x+x·40%)·80%-x=15,解得x=125.
所以该运动服每件进价为125元.
2.解：设总票数为a张，七月份零售票按每张x元定价.
则六月份：团体票售出
( http: / / www.21cnjy.com )(张)，票款收入为20×
( http: / / www.21cnjy.com )(元)。
零售票售出
( http: / / www.21cnjy.com )(张)，票款收入24×
( http: / / www.21cnjy.com )(元).
七月份:团体票的票数
( http: / / www.21cnjy.com )(张),可收入25×
( http: / / www.21cnjy.com )(元),
零售票数
( http: / / www.21cnjy.com )(张),可收入
( http: / / www.21cnjy.com )(元),
根据题意,得8a+4a=
( http: / / www.21cnjy.com ),解得x=32.即七月份的零售票应按每张32元定价.
3.解：设甲、乙第一次相遇的时间为
( http: / / www.21cnjy.com )秒，由题意，得
2
( http: / / www.21cnjy.com )+3
( http: / / www.21cnjy.com )=400，解得x=80，所以小狗跑的总时间为80-6=74（秒），
所小狗跑的总路程为6×74=444（米）.
4.
解：设这四个有理数之和为
( http: / / www.21cnjy.com )，则这四个有理数分别是
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com ).
由题意知
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com ).
所以这四个有理数分别是9、4、7、11.列方程解应用题“交响曲”
列方程解决实际问题是初中数学的重点和难点.为了学好这部分知识，就请同学们一起演奏好列一元一次方程解决实际问题的交响曲吧！
第一乐章：基本思想
列方程解决实际问题的基本思想,是
( http: / / www.21cnjy.com )将实际问题抽象为方程这一数学模型，即把实际问题中的数量关系用方程形式表示出来，通过解方程，将未知转化为已知，其关键是将已知量与未知量联系起来，从实际情景中找出等量关系.
第二乐章：一般步骤
列方程解决实际问题的一般步骤：
(1)审:即弄清题意,明确已知量、未知量及其数量关系.
(2)设:即设未知数.
(3)找:找出能包含应用题全部含义的等量关系.
(4)列:根据上述等量关系列出需要的代数式,从而列出方程.
(5)解:解所列方程,求出未知数的值.
(6)验与答:检验未知数的值是否符合题意,然后写出答案.
第三乐章：设元技巧
1.直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用于要求的未知量只有一个的情况.
2.间接设法：当直接设元列方程较繁或较困难时，可选取一个与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量.
3.辅助设法：当题中的数量关系较复杂或
( http: / / www.21cnjy.com )已知条件较少时，为了分析更方便,列方程更容易,在设出所求的未知数的同时，还增设辅助未知数,解方程时不必求出，可在解题时自动消去，即设而不求.
第四乐章：找等量关系
列方程解决实际问题的关键是正确找出等量关系，通常有下面几种寻找途径：
1.利用题中的不变量，得到等量关系.
2.利用基本数量关系或基本公式得到等量关系.如工程问题中的“工作量=工作效率×工作时间”，营销问题中的“利润=售价-进价”，梯形面积公式“S=
( http: / / www.21cnjy.com )“等，都是相应问题中的基本数量关系和基本公式.
3.从问题中的关键语句中得到等量关系.如“挖出的土及时运走”所反映的等量关系是“挖出的土量=运走的土量”，等等.
4.通过画示意图，直观地反映出问题中的等量关系，容易列出方程求解
5.通过列出表格，把题中的已知量和未知量在一个表格中显示出来，可以使较复杂的关系清晰、明朗，往往能较快地找出等量关系.
第五乐章：友情提示
1.在审题和寻找等量关系时，可在草纸上进行,书面格式中主要写“设”“列”“解”“答”四个步骤的解题过程,
2.列方程时必须做到：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.
3.一般情况下,所给条件在列方程时不能重复使用,也不能漏掉.重复使用某一条件,会得到一个恒等式,无法求出问题的解.
4.不要生搬硬套例题的题型及解法，审题时
( http: / / www.21cnjy.com )要弄清题目中的“多”、“少”、“便宜”、“贵了”、
“增加了”、“增加到”等词语的含义及常见的数量关系，做到具体问题具体分析.
5.注意检验.对于求得的方程的解,必须检验它是否符合实际意义或题意,再写“答”，写“答”时不要漏掉单位.一元一次方程基本题型与创新题型
★
基本题型
一、方程的解的定义
例1
已知2是关于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解，则
( http: / / www.21cnjy.com )的值是
(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
分析：根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数
( http: / / www.21cnjy.com )的一元一次方程，从而可求出
( http: / / www.21cnjy.com )的值，然后将其代入求值式即可得到答案.
解：把
( http: / / www.21cnjy.com )代入方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com ).故
( http: / / www.21cnjy.com )，选C.
点评：已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解.可把它叫做“有解就代入”.
二、一元一次方程的定义
例2
若关于
( http: / / www.21cnjy.com )的的方程
( http: / / www.21cnjy.com )是一元一次方程，求关于
( http: / / www.21cnjy.com )的方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解.
分析：根据“一元一次方程”的定义可知，
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )，由此可求
( http: / / www.21cnjy.com )的值，然后将其代入
( http: / / www.21cnjy.com )中可解出
( http: / / www.21cnjy.com ).
解：由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，于是有
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com ).
点评：本题主要考查一元一次方程和解方程的定义.解这类问题时要抓住一元一次方程定义中的条件——只含有一个未知数且未知数的次数是1.
三、一元一次方程的基本变形及其解法
例3
解方程
( http: / / www.21cnjy.com ).
分析：本题可按解一元一次方程的一般步骤来解
( http: / / www.21cnjy.com ).去分母时要先找到各分母的最小公倍数，同时要注意不要漏乘不含分母的项，去括号时要注意括号里各项是否要变号等问题.
解：去分母，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
去括号，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
移项，合并同类项，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
系数化为1，得
( http: / / www.21cnjy.com ).
点评：解一元一次方程一般要经
( http: / / www.21cnjy.com )历五个步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.事实上，与一元一次方程有关的问题的解决最终几乎都要落实在解一元一次方程上，所以能正确而熟练地解一元一次方程是学习本章最基本的要求.
例4
解方程
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ).
分析：方程含有多层括号，各分母的最小公
( http: / / www.21cnjy.com )倍数又是个很大的数，用常规去分母或去括号的方法来解，都较为繁琐，所以必须另辟蹊径，才能巧妙求解.我们可采用从大到小逐层去括号的方法来解.
解：方程两边同乘以9，得
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )，
移项，合并，得
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=1，
方程两边同乘以7，得
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com )，
移项，合并，得
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )=1，
方程两边同乘以5，得
( http: / / www.21cnjy.com )=5，
移项，合并，得
( http: / / www.21cnjy.com )=1，故
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com ).
点评：本题的解法启示我们：解一元一次方
( http: / / www.21cnjy.com )程时，其五个变形步骤未必都要用到，也未必要按照自上而下的顺序进行，要根据方程的结构特征灵活安排解题步骤，这样既能避繁就简，化难为易，又能减少直至避免一些常见错误.
四、构造一元一次方程解决有关问题
例5
已知|
( http: / / www.21cnjy.com )|+
( http: / / www.21cnjy.com )，那么
( http: / / www.21cnjy.com )的值是________.
分析：因为绝对值和平方的结果都是非负数，而两个非负数的和等于0，则每个非负数都应等于0，据此可构造两个一元一次方程，求出
( http: / / www.21cnjy.com )后即可求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
解：由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，故
( http: / / www.21cnjy.com )=2+(-5)
=-3.
点评：概念也是解题的重要依据之一.解决这类问题，关键是要掌握相关概念的含义.
★
创新题型
一、图文信息型
例6
根据下图给出的信息，可得到的正确的方程是
(
)
A．
( http: / / www.21cnjy.com )
B．
( http: / / www.21cnjy.com )
C．
( http: / / www.21cnjy.com )
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：这是一道图表型信息题，所有的信
( http: / / www.21cnjy.com )息都以漫画形式给出.要解答此题，首先要读懂图中两个乌鸦的对话并从中找到相等关系.显然相等关系是：两个量筒中水的体积相等.故选A.
解：A.
点评：象这样的图表型信息题是近几年中考的热点之一，解这类问题的关键是认真观察图表，获取有效信息，找到相等关系，然后建立方程进行求解.
二、新定义型
例7
( http: / / www.21cnjy.com )为有理数，先规定一种运算新的运算：
=
( http: / / www.21cnjy.com )，
那么
=18时，
( http: / / www.21cnjy.com )______.
分析：根据规定，符号“|
|”实质上表示的是一种积差运算——对角乘积的差，故由此可得到一个一元一次方程，进而可求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
解：由题意，得
10-4(1-
( http: / / www.21cnjy.com ))，即10-4(1-
( http: / / www.21cnjy.com ))=18，故
( http: / / www.21cnjy.com )3.
点评：本题通过定义一种新运算，巧妙地将解一
( http: / / www.21cnjy.com )元一次方程与新定义的运算结合在一
起，情景新颖，设计巧妙.解这类问题的关键是把陌生的符号转化为熟悉的四则运算.
小乌鸦,你飞到装有相同水量的小量筒,就可以喝到水了!
㎝
5㎝
6㎝
8㎝
老乌鸦,我喝不到大量筒中的水!
㎝
=棱柱有什么特点？
难易度：★★★
关键词：立体图形
答案：
棱柱中，相邻两个面的交线叫棱，相邻两个侧面的交线叫侧棱。棱柱中的所有的侧棱长都相等。棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形。
【举一反三】
典题：图中为棱柱的是（
）。
思路导引：根据棱柱的特点进行判断。
标准答案：
A是圆柱，B是三棱柱，C是三棱锥，D是台体。选B。解方程应用题常用的数学思想
数学思想是数学中的“软件”，若能正确把握它，并把它落实到学生学习和应用数学的思维活动中，就相当于找到了打开智慧之门的金钥匙．
一、分类讨论思想
当被研究的问题包含多种可能情况．不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况分别来讨论，得出各种情况下相应的结论．
例1
某公司现有甲、乙两种品牌的打
( http: / / www.21cnjy.com )印机，其中甲品牌有A，B两种型号，乙品牌有C，D，E三种型号．朝阳中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机．
各种型号打印机的价格如下表：
甲品牌
乙品牌
型号
A
B
C
D
E
价格（元）
2000
1700
1300
1200
1000
朝阳中学购买了两种品牌的打印机共30台，其中乙品牌只选购了E型号，共用去资金5万元，问E型号的打印机购买了多少台？
分析：题中等量关系明显，但由于所购买的甲品牌打印机的型号不明确，引发分类讨论．
解：设选购E型号的打印机x台（x为正整数），则选购甲品牌（A或B型号）（30－x）台，由题意得：
当甲品牌选A型号时：1000
x
+（30－x）×2000＝50000，解得x＝10．
当甲品牌选B型号时：1000
x
+（30－x）×1700＝50000，解得x＝
( http: / / www.21cnjy.com )（不合题意）．
故E型号的打印机应选购10台．
例2
某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数(千克)
不超过20千克
20千克以上但不超过40千克
40千克以上
每千克价格
6元
5元
4元
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，
请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
分析：由于张强两次共购买香蕉50千克（第二次
( http: / / www.21cnjy.com )多于第一次），那么第二次购买香蕉多于25千克，第一次少于25千克．由于50千克香蕉共付264元，其平均价格为5.28元，所以必然第一次购买香蕉的价格为6元/千克，即少于20千克，第二次购买的香蕉价格可能5元，也可能4元。我们再分两种情况讨论即可．
解：（1）当第一次购买香蕉少于20千
( http: / / www.21cnjy.com )克，第二次香蕉20千克以上但不超过40千克的时候，设第一次购买x千克香蕉，第二次购买（50－x）千克香蕉，根据题意，得：
6x＋5（50－x）＝264．
解得：x＝14．
50－14＝36（千克）
（2）当第一次购买香蕉少于20千克，第二次香蕉超过40千克的时候，设第一次购买x千克香蕉，第二次购买（50－x）千克香蕉，根据题意，得：
6x＋4（50－x）＝264．
解得：x＝32（不符合题意）．
答：第一次购买14千克香蕉，第二次购买36千克香蕉．
二、转化思想
有些方程应用题在设未知数时，利用“问什么设什么”往往较难凑效或根本无法直接解决，这时不如将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想．
例3
（2008年济南市）教师节来临之
( http: / / www.21cnjy.com )际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格．
分析：直接求解第三束鲜花的价格较难，分析知
( http: / / www.21cnjy.com )问题中有两个关键未知量——每支康乃馨和水仙花的价格．我们需设出一个，另一个未知数借助于题中的条件用第一个未
知数表示出来：设康乃馨每支
( http: / / www.21cnjy.com )元，由图中第一束鲜花的价格，知水仙花每
支（19－
( http: / / www.21cnjy.com )）元；其次，根据第一束鲜花的价格可得等量关系列出方程．
解：设康乃馨每支
( http: / / www.21cnjy.com )元，水仙花每支
( http: / / www.21cnjy.com )元．根据题意，得
2
( http: / / www.21cnjy.com )＋2（19－
( http: / / www.21cnjy.com )）＝18．
解这个方程，得
( http: / / www.21cnjy.com )＝5，所以19－
( http: / / www.21cnjy.com )＝4．
所以第三束花的价格为
( http: / / www.21cnjy.com )（元）．
答：第三束花的价格是17元．
共计19元
共计18元
第三束
水仙花
康乃馨点击一次方程应用中的分配问题
列方程解应用题是初中数学的中点内容。在各类考
( http: / / www.21cnjy.com )试中，出现了一类通过列方程求解的分配型应用题，这类试题与生活密切相关，考查大家分析问题能力的同时，也考查了同学们的日常生活知识。现撷取几例加以剖析，希望能对同学们的学习有所帮助.
例1：儿童三轮车厂有95名工人，每人每天能生
( http: / / www.21cnjy.com )产车身9个或车轮30个。要使每天生产的车身和车轮恰好配套（一个车身配三个车轮），应安排生产车身和车轮各所少人？
分析：“一个车身配三个车轮”是解决本题的关键。抓住这个关键进一步分
析可知，当每天生产的车轮数是车身数的3倍时，可使每天生产的车身和车轮恰
好配套，由此可得到等量关系，进而列出方程.
解：设每天应安排
( http: / / www.21cnjy.com )人生产车身，则生产车轮的人数是(
( http: / / www.21cnjy.com ))人，由题意
可得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )，故每天
应安排50人生产车身，45人生产车轮，可使每天生产的车身和车轮恰好配套.
例2：一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，用1
( http: / / www.21cnjy.com )木材可制作50个方桌
桌面或300条桌腿。现有5
( http: / / www.21cnjy.com )木材，若做成的桌腿和桌面恰好配套，能做成方桌多少张？
分析：由题意可知，制作的桌腿数应是桌面数的4倍，才可使桌腿和桌面恰好配套，因此本题可依次列方程求解.
解：设用
( http: / / www.21cnjy.com )的木材制作桌面，则制作桌腿的木材是
( http: / / www.21cnjy.com )，依题意可得方程
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )，故制作桌面的木材是0.6
( http: / / www.21cnjy.com )，制作桌腿的是0.4
( http: / / www.21cnjy.com ).于是能做成方桌
( http: / / www.21cnjy.com )张.
例3：北京和上海都有某种仪
( http: / / www.21cnjy.com )器可供外地使用.其中北京可提供10台，上海可提供4台.已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如表所示：
有关部门计划用7600元运送这些仪器，请你设计一种分配方案，使重庆、武汉能得到所需的仪器，而且运费正好够用.
分析：可设北京提供台给武汉，则余下的
( http: / / www.21cnjy.com )台提供给重庆；武汉从北京得到了
( http: / / www.21cnjy.com )台，那么从上海应该得到
( http: / / www.21cnjy.com )台.因此上海提供给重庆的应是
( http: / / www.21cnjy.com )台，按照以上的设想分配，总运费应等于7600元，由此可列方程求解.
解：设北京供给武汉
( http: / / www.21cnjy.com )台，则给重庆
( http: / / www.21cnjy.com )台；上海供给武汉
( http: / / www.21cnjy.com )台，则给重庆
( http: / / www.21cnjy.com )台，依题意可列方程
( http: / / www.21cnjy.com )
整理得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )
故北京提供6台给武汉，提供4台给重庆；上海的4台全部提供给重庆即可.怎样灵活应用一元一次方程的概念求字母的值？
难易度：★★★
关键词：方程
答案：
一元一次方程中的未知数的指数是1，根据这一性质可得到一个指数等于1的等式，如果等式中含有一个求知的字母，可求出字母的值。
【举一反三】
典例：若-8x
( http: / / www.21cnjy.com )=1是一元一次方程，则a=____.
思路导引：一般来讲，解决本题的关键是理解一元一次方程的定义，因为一元一次方程中未知数的指数是1，所以-8x3a+2中x的指数3a+2就是1即3a+2=1，解这一方程得a=-
( http: / / www.21cnjy.com )
标准答案：a=-
( http: / / www.21cnjy.com )方程中思想方法知多少
我们知道，方程的本身就是一种十分重要的数学思想方法，然而，方程中还蕴藏着许多其它的数学思想方法，为方便同学们学习，现举例说明.
一、类比思想
根据新旧知识的许多共同点或类似的特点，在学习
( http: / / www.21cnjy.com )新知识时借鉴旧知识的思想和方法.如我们在学习等式的性质时，借鉴“天平”的原理理解等式的性质，等式变性的思想就是使原本平衡的天平继续保持新的平衡的道理.
例1　如图，天秤中的物体a、b、c使天秤处于平衡状态，则质量最大的物体是
.
分析:利用天平平衡时，天平的左右两盘的质量相等，即可找到相等关系.
解：当两个天平都平衡时，得2a＝3
( http: / / www.21cnjy.com )b，2b＝3c.由等式的性质，得4a＝6b，6b＝9c，即4a＝6b＝9c.由此使天秤处于平衡状态，则质量最大的物体是a.
二、整体思想
在解方程的许多情况下，遇到括号或去分母时，我们通常要将括号里面或分子、分母看成一个整体，或将方程中的某一项视为整体求解.
例2　解方程
( http: / / www.21cnjy.com )[x－
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)]＝
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1).
分析：用常规解法解该方程，显然过程比较复杂.注意到x－1可以看作一个整体，因此，可先解关于x－1的方程.
解：原方程可化为
( http: / / www.21cnjy.com )[(x－1)－
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)+1]＝
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1).
去括号，得
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)－
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)+
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1).
移项，得
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)－
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)－
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)＝－
( http: / / www.21cnjy.com ).
合并同类项，得－
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)＝－
( http: / / www.21cnjy.com ).
方程两边同乘以－
( http: / / www.21cnjy.com )，得x－1＝1.2，即x＝2.2.
三、逆向思维
我们知道分数的运算法则是
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )，反过来，
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )+
( http: / / www.21cnjy.com )，这样运用逆向变换的方法在解方程中经常用中.
例3　解方程
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )+1.
分析：若将
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )分别拆成两项的和，方程两边可以同时减去2，从而不必去分母.
解：原方程可变形为
( http: / / www.21cnjy.com )x+2＝1－
( http: / / www.21cnjy.com )x+1，即
( http: / / www.21cnjy.com )x＝－
( http: / / www.21cnjy.com )x，所以x＝0.一元一次方程经典的应用题
1.A，B两城相距600千米，甲、乙两车
( http: / / www.21cnjy.com )同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间
x（小时）之间的函数图象．
(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．
解：(1)①当0≤
( http: / / www.21cnjy.com )≤6时，
( http: / / www.21cnjy.com )；
②当6＜
( http: / / www.21cnjy.com )≤14时，
设
( http: / / www.21cnjy.com )，
∵图象过（6，600），（14，0）两点，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
解得
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com )．
∴
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )（千米/小时）
2.小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁
( http: / / www.21cnjy.com )波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米.
小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁.图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
(1)小聪在天一阁查阅资料的时间为
▲
分钟，小聪返回学校的速度为
▲
千米/分钟；
(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式；
(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米
解：(1)15，
( http: / / www.21cnjy.com )　　　　　　　　　
2分
(2)由图象可知，
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的正比例函数
设所求函数的解析式为
( http: / / www.21cnjy.com )
代入(45，4)得:
( http: / / www.21cnjy.com )
，
解得:
( http: / / www.21cnjy.com )
∴s与t的函数关系式为
( http: / / www.21cnjy.com )
(
( http: / / www.21cnjy.com ))
4分
(t的取值范围不写不扣分)
(3)
由图象可知，小聪在
( http: / / www.21cnjy.com )的时段内，
( http: / / www.21cnjy.com )是
( http: / / www.21cnjy.com )的
一次函数，设函数解析式为
( http: / / www.21cnjy.com )，
代入(30，4)，(45，0)得:
( http: / / www.21cnjy.com )
5分
解得:
∴
(t的取值范围不写不扣分)
6分
令
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )
7分
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )，
答:
当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米.
8分
3．“震灾无情人有情”，玉树地震牵动了全国
( http: / / www.21cnjy.com )人民的心，武警某部队接到命令，运送一批救灾物资到灾区，货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的灾区B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间关系：
行驶时间x（时）
0
1
2
3
4
余油量y（升）
150
120
90
60
30
(1)请你用学过的函数中的一种建立y与x之间的函数关系式，说明选择这种函数的理由；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)如果货车的行驶速度和
( http: / / www.21cnjy.com )每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达灾区B处卸去货物后能顺利返回D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内余油量应随时不少于10升）
解：(1)如图，把五组数据在直角坐标系中描出来，这五个点在一条直线上，所以y与x满足一次函数关系．
设y＝kx＋b，（k≠0）
则
( http: / / www.21cnjy.com )
解得：
( http: / / www.21cnjy.com )，∴y＝－30x＋150
(2)设在D处至少加W升油，根据题意得：
( http: / / www.21cnjy.com )．
解得：W≥94
答：D处至少加94升油，才能使货车到达灾区B地卸物后能顺利返回D处加油．
4.(本题10分)小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了
( http: / / www.21cnjy.com )步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55．为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步．
(1)小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？
(2)下午4：00，小刚从学校出发，以
( http: / / www.21cnjy.com )45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留．问：
①　小刚到家的时间是下午几时？
②　小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图，
请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式．
解：(1)小刚每分钟走1200÷10=120(步)，每步走100÷150=
( http: / / www.21cnjy.com )(米)，
所以小刚上学的步行速度是120×
( http: / / www.21cnjy.com )=80(米/分)．
小刚家和少年宫之间的路程是80×10=800(米)．
少年宫和学校之间的路程是80×(25-10)=1200(米)．
(2)①
( http: / / www.21cnjy.com )(分钟)，
所以小刚到家的时间是下午5：00．
②小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时
( http: / / www.21cnjy.com )分，此时小刚离家1
100米，所以点B的坐标是（20，1100）．
线段CD表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s(米)与行走时间t(分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得
( http: / / www.21cnjy.com )，
即线段CD所在直线的函数解析式是
( http: / / www.21cnjy.com )．
(线段CD所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得：
点C的坐标是（50，1100），点D的坐标是（60，0）
设线段CD所在直线的函数解析式是
( http: / / www.21cnjy.com )，将点C，D的坐标代入，得
( http: / / www.21cnjy.com )
解得　
( http: / / www.21cnjy.com )
所以线段CD所在直线的函数解析式是
( http: / / www.21cnjy.com ))
5.今年春季，我国云南、贵州等西南
( http: / / www.21cnjy.com )地区遇到多少不遇旱灾，“一方有难，八方支援”，为及时灌溉农田，丰收农机公司决定支援上坪村甲、乙、丙三种不同功率柴油发电机共10台（每种至少一台）及配套相同型号抽水机4台、3台、2台，每台抽水机每小时可抽水灌溉农田1亩.现要求所有柴油发电机及配套抽水机同时工作一小时，灌溉农田32亩.
(1)设甲种柴油发电机数量为x台，乙种柴油发电机数量为y台.
①用含x、y的式子表示丙种柴油发电机的数量；
②求出y与x的函数关系式；
(2)已知甲、乙、丙柴油发电机每台
( http: / / www.21cnjy.com )每小时费用分别为130元、120元、100元，应如何安排三种柴油发电机的数量，既能按要求抽水灌溉，同时柴油发电机总费用W最少？
解：(1)①丙种柴油发电机的数量为10-x-y
②
∵4x+3y+2(10-x-y)=32
∴y=12-2x
(2)丙种柴油发电机为10-x-y=(x-2)台
W=130x+120(12-2x)+100(x-2)
=-10x+1240
依题意解不等式组
得：3≤x≤5.5
∵x为正整数
∴x=3,4,5
∵W随x的增大而减少
∴当x=5时
，W最少为-10×5+1240=1190（元）
6．（2010
山东滨州）已知点是第一象限内的点，且
( http: / / www.21cnjy.com )，点A的坐标为(10，0)
设△OAP的面积为
( http: / / www.21cnjy.com ).
(1)求
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )
的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)画出的图像.
解：
(1)∵
( http: / / www.21cnjy.com )在第一象限内，∴
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
作PM⊥OA于M，则
( http: / / www.21cnjy.com ).
∵
( http: / / www.21cnjy.com )，∴
( http: / / www.21cnjy.com )
∴
( http: / / www.21cnjy.com ).即
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是
( http: / / www.21cnjy.com )
7．（2010
广东汕头）某学校组织340名
( http: / / www.21cnjy.com )师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．
(1)请你帮助学校设计所有可行的租车方案；
(2)如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省？
解：(1)设甲车租x辆，则乙车租（10－x）辆，根据题意，得
解之得
( http: / / www.21cnjy.com )
∵x是整数
∴x＝4、5、6、7
∴所有可行的租车方案共有四种：
①甲车4辆、乙车6辆；②甲车5辆、乙车5辆；
③甲车6辆、乙车4辆；④甲车7辆、乙车3辆．
(2)设租车的总费用为y元，则y＝2000x＋1800（10－x），
即y＝200x＋18000
∵k＝200＞0，
∴y随x的增大而增大
∵x＝4、5、6、7
∴x＝4时，y有最小值为18800元，即租用甲车4辆、乙车6辆，费用最省．
8．（10湖南益阳）如图2，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间
( http: / / www.21cnjy.com )与火车在隧道内的长度
( http: / / www.21cnjy.com )之间的关系用图象描述大致是
(
A
)
Ａ．
B．
C．
D．
9．（2010
重庆）小华的爷爷每天坚持体育锻炼．某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离
( http: / / www.21cnjy.com )与时间
( http: / / www.21cnjy.com )的函数关系的大致图象是
(
B
)
10．（2010安徽蚌埠）右图是某条公共汽车线路收支差额
( http: / / www.21cnjy.com )与乘客量
( http: / / www.21cnjy.com )的图像（收支差额=车票收入-支出费用）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格。下面给出四个图像（如图所示）则
(
B
)
A．①反映了建议（2），③反映了建议（1）
B．①反映了建议（1），③反映了建议（2）
C．②反映了建议（1），④反映了建议（2）
D．④反映了建议（1），②反映了建议（2）
x/小时
y/千米
600
14
6
O
F
E
C
D
小明
小聪
2
s(千米)
t(分钟)
30
45
15
4
O
D
C
B
A
_
x
_
y
_
150
_
120
_
90
_
60
_
30
_
0
_
4
_
3
_
2
_
1
t(分)
O
s(米)
A
B
C
D
B．
C．
D．
A
1
1
x
y
O
A
1
1
x
y
O
A
1
1
x
y
O
y
1
1
x
O
A
③
]]\\
④
①
②用一元一次方程解决问题的创新题展示
一元一次方程的应用一直是中考考
( http: / / www.21cnjy.com )察的重要内容，尤其是与生产生活密切相关的一元一次方程的应用，如商品销售、储蓄、方案设计、节能减排等等已出现了新的创新型试题，现举几例，供同学学习时参考。
一、卡通图片
例1.今年张新和李明相约到图书城去买书,请你根据他们的对话内容(如图1),求出李明上次所买书籍的原价.
分析：根据卡通图片上所提供的信息很容易列方程解之．
解：设李明上次购买书籍的原价是x元，
由题意有0.8x+20=x-12,
解得x=160.
评析：卡通图片是同学们经常收集和保存的心爱之物，但是在平时学习紧张
和应考压力之下，很难欣赏和收藏，这类题不但提高了学生兴趣，也缓解了考试的紧张和与压力，于无意中掌握和应用了数学知识．
二、
设计方案
【例2】某中学租用两辆小汽车（设速
( http: / / www.21cnjy.com )度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．
（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；
（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．
分析（1）计算出这种方案所需要的时间，
( http: / / www.21cnjy.com )看比42大还是比42小；（2）所设计的方案最起码要比（1）中的方案节约时间，然后通过计算比较,看方案是否可行.
解：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )（分钟），∵45＞42，
∴不能在限定时间内到达考场．
（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．
先将4人用车送到考场所需时间为
( http: / / www.21cnjy.com )（分钟）．
0.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为
( http: / / www.21cnjy.com )（km）
设汽车返回
( http: / / www.21cnjy.com )后先步行的4人相遇，
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
汽车由相遇点再去考场所需时间也是
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以用这一方案送这8人到考场共需
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以这8个个能在截止进考场的时刻前赶到．
方案2：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点
( http: / / www.21cnjy.com )的
( http: / / www.21cnjy.com )处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场．
由
( http: / / www.21cnjy.com )处步行前考场需
( http: / / www.21cnjy.com )，
汽车从出发点到
( http: / / www.21cnjy.com )处需
( http: / / www.21cnjy.com )先步行的4人走了
( http: / / www.21cnjy.com )，
设汽车返回
( http: / / www.21cnjy.com )（h）后与先步行的4人相遇，则有
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
所以相遇点与考场的距离为
( http: / / www.21cnjy.com )．
由相遇点坐车到考场需
( http: / / www.21cnjy.com )．
所以先步行的4人到考场的总时间为
( http: / / www.21cnjy.com )，
先坐车的4人到考场的总时间为
( http: / / www.21cnjy.com )，
他们同时到达，则有
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com )．
将
( http: / / www.21cnjy.com )代入上式，可得他们赶到考场所需时间为
( http: / / www.21cnjy.com )（分钟）．
∵37＜42．
∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．
评析：本题题干较长，要仔细阅读，弄清题意，逐步分析；（2）解答题要按照要求，题目如果限定解题方法，就必须按照题目的解题方法来做.
图1怎样列一元一次方程解决打折问题？
难易度：★★★
关键词：方程
答案：
打折问题应明确商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售，从面正确列出折扣关系式。
【举一反三】
典例：某件商品连续两次9折降价销售,降价后每件商品售价为a元,则该商品每件原价为(
)
A.0.92a

B.1.12a

C.
( http: / / www.21cnjy.com )
D.
( http: / / www.21cnjy.com )
思路导引：一般来讲，解决本题要理
( http: / / www.21cnjy.com )解品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，连续两次九折，就是原价的百分之九十后，再折价百分之九十。设原价是为x元，则有关系式
90%x×90%=a，x=
( http: / / www.21cnjy.com )
标准答案：D怎样应用一元一次方程解答分段型问题？
难易度：★★★★
关键词：方程
答案：
分段型一元一次方程的应用是指同
( http: / / www.21cnjy.com )一个未知量在不同的范围内的限制条件不同的一类应用题。解决这类问题的时候，我们先要确定所给的数据所处的分段，然后要根据它的分段合理地解决。
【举一反三】
典例：某水果批发市场香蕉的价格如下表：
购买香蕉数(千克)
不超过20千克
20千克以上但不超过40千克
40千克以上
每千克价格
6元
5元
4元
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，
请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
思路导引：一般来说，此类分段
( http: / / www.21cnjy.com )问题应分情况讨论。由于张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），那么第二次购买香蕉多于25千克，第一次少于25千克。由于50千克香蕉共付264元，其平均价格为5.28元，所以必然第一次购买香蕉的价格为6元/千克，即少于20千克，第二次购买的香蕉价格可能5元，也可能4元。我们再分两种情况讨论即可。
解：
1)
当第一次购买香蕉少于20千克，第二次
( http: / / www.21cnjy.com )香蕉20千克以上但不超过40千克的时候，设第一次购买x千克香蕉，第二次购买（50－x）千克香蕉，根据题意，得：6x＋5（50－x）＝264
解得：x＝14
50－14＝36（千克）
2）当第一次购买香蕉少于20千克，第二次香蕉超过40千克的时候，设第一次购买x千克香蕉，第二次购买（50－x）千克香蕉，根据题意，得：
6x＋4（50－x）＝264
解得：x＝32（不符合题意）
标准答案：第一次购买14千克香蕉，第二次购买36千克香蕉解读方程中的思想方法
一、化归思想
在解决数学问题时，若对当前的问题
( http: / / www.21cnjy.com )感到困惑，可运用化归思想，把它进行变换，使之化简，从而使问题得以解决.本章中解方程的过程，就是把“复杂”化为“简单”，把“未知”化为“已知”的过程.
解方程：
( http: / / www.21cnjy.com )=
( http: / / www.21cnjy.com ).
分析：解方程的过程就是把方程逐步象“x＝b”的形式转化.
解：去分母，得3(a－1)=12－(a＋1).
去括号，得3a－3=12－a－1.
移项及合并同类项，得4a=14.
系数化为1，得
( http: / / www.21cnjy.com ).
二、数形结合思想
在研究问题的过程中，由数思形，或由形思数
( http: / / www.21cnjy.com )，把数和形有机地结合起来分析问题就是数形结合思想.本章中通过列方程求解图形的有关问题就是这一思想的具体体现.
例2
如图，是一块在电脑屏幕上出现
( http: / / www.21cnjy.com )的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成。设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为_____________。
分析：通过观察图形可以发现，除了边长为1的正方形，其余5个正方形中，右下角的两个大小相等，并且顺时针方向上的正方形边长依次大1。
解：设右下角两个边长相等的正方形的边长为
( http: / / www.21cnjy.com )，则顺时针方向的其余三个正方形的边长依次为
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com )、
( http: / / www.21cnjy.com ).根据长方形的对边相等，可得
( http: / / www.21cnjy.com )，解得
( http: / / www.21cnjy.com ).所以
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，长方形的面积为
( http: / / www.21cnjy.com ).
三、方程思想
把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算，这就是方程思想，列方程解实际问题就充分体现了这一思想.
例3
有一位牧师问一个男孩
( http: / / www.21cnjy.com )：“你们家兄弟有几个？姊妹有几个？”他回答：“我有几个兄弟就有几个姊妹.”同一个问题这位牧师又问男孩的姐姐，她回答说：“我的兄弟数是我姊妹数的2倍.”聪明的你知道他们家兄弟、姊妹各有几个人吗？
分析：把其中的一个未知量作为未知数，并用该未知数表示其它未知量，然后根据题中的数量关系，列出等式.
解：设这家共有男孩x人，则有女孩(x-1)人.由题意得x=2[(x-1)-1].解得x=4.所以x-1=4-1=3.
即他们家有兄弟4人，姊妹3人.

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