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第一节 曲线运动
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内(　　)
A．速度一定在不断地变化，加速度也一定不断变化
B．速度一定在不断地变化，加速度可以不变
C．速度可以不变，加速度一定不断变化
D．速度可以不变，加速度也可以不变
2．下列说法中正确的是(　　)
A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B．物体在变力作用下一定做曲线运动
C．物体在恒力和变力作用下，都可能做曲线运动
D．做曲线运动的物体受合外力可能为零
3．小球在水平桌面上做匀速直线运动，当它受到如图所示方向的力的作用时，小球可能的运动方向是(　　)
A．Oa B．Ob C．Oc D．Od
4．如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管内注满清水，管内有一个用红蜡块做成的圆柱体，当玻璃管倒置时圆柱体恰能匀速上升。现将玻璃管倒置，在圆柱体匀速上升的同时让玻璃管水平匀速运动。已知圆柱体运动的合速度是5 cm/s，α＝30°，则玻璃管水平运动的速度大小是(　　)
A．5 cm/s B．4 cm/s C．3 cm/s D．2.5 cm/s
5．某学生在体育场上抛出铅球，其运动轨迹如图所示。已知在B点时的速度与加速度相互垂直，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)
A．铅球经过D点时的速率比经过C点时的速率大
B．铅球经过D点时的加速度比经过C点时的加速度大
C．从B到D铅球的加速度与速度始终垂直
D．从B到D铅球的加速度与速度的夹角先增大后减小
6．如图所示的塔吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩。在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起。A、B之间的距离以d＝H－2t2规律变化。则物体做(　　)
A．速度大小不变的曲线运动 B．速度大小增加的曲线运动
C．加速度大小方向均不变的曲线运动 D．加速度大小方向均变化的曲线运动
7．若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。现假设河的宽度为120 m，河中心水的流速大小为4 m/s，船在静水中的速度大小为3 m/s，要使船以最短时间渡河，则(　　)
A．船渡河的最短时间是24 s
B．在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度为5 m/s
二、非选择题
8．某次海难翻船事故中，航空部队动用直升机抢救落水船员。为了抢时间，直升机垂下的悬绳拴住船员后立即上拉，上拉的速度v1＝3 m/s，同时飞机以速度v2＝12 m/s水平匀速飞行，经过12 s船员被救上飞机。求：
(1)飞机救船员时的高度。
(2)被救船员在悬绳上相对海水的速度多大。
9．质量m＝2 kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图象如图中(a)、(b)所示，求：
(1)物体的初速度；
(2)t＝8 s时物体的速度；
(3)t＝4 s时物体的位移大小。
参考答案
1．解析：由于物体做曲线运动轨迹上各点的切线方向不同，则速度一定变化，即物体一定有加速度。若外力为恒力，则加速度不变，反之加速度变化，由此可知B选项正确。
答案：B
2．解析：只要合外力与物体速度在一条直线上，物体就做直线运动，只要合外力与速度不在同一直线上，物体就做曲线运动。如果物体受到大小变化而方向不变的外力作用，而速度与外力在同一直线上，则物体做直线运动，故选项A、B错误，选项C正确；若物体做曲线运动，则物体的速度方向一定变化，即物体的速度一定变化，则物体一定只有加速度，物体所受合外力一定不为零，选项D错误。
答案：C
3．解析：粒子运动的轨迹弯向受力的一侧。
答案：D
4．解析：玻璃管水平运动的速度等于蜡块在水平方向的分速度，即vx＝vsin 30°＝5×0.5 cm/s＝2.5 cm/s。
答案：D
5．解析：从A到B铅球的速度方向与加速度方向间的夹角大于90°，铅球做减速运动，从B到F铅球的速度方向与加速度方向间的夹角小于90°，且逐渐减小，铅球做加速运动，选项A正确；C、D错误；铅球运动中的加速度不变，选项B错误。
答案：A
6．解析：由题意可知，物体B在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动，由于物体的初速度与合外力(加速度)不在同一直线上，故做曲线运动，又因竖直方向的分速度在不断增加，所以B选项正确；由物体水平方向没有加速度，故竖直方向分运动的加速度即为物体的加速度，所以加速度的大小和方向均不变。
答案：BC
7．解析：当船头的指向(即船相对于静水的航行方向)始终垂直于河岸时，渡河时间最短，tmin＝ s＝40 s，A错误，B正确；因河水的流速随距岸边距离的变化而变化，则小船的实际航速、航向都在变化，航向变化引起船的运动轨迹不在一条直线上，C错误；船在静水中的速度一定，则水流速度最大时，船速最大，由运动的合成可知，D正确。
答案：BD
8．解析：(1)设飞机救落水船员时的悬停高度为h，则
h＝v1t＝3×12 m＝36 m
(2)船员的合速度
v＝ m/s＝12.4 m/s
答案：(1)36 m　(2)12.4 m/s
9．解析：(1)由题图可知t＝0时，vx＝3 m/s，vy＝0，所以物体的初速度v0＝3 m/s，方向沿x轴正方向。
(2)由题图可知t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，所以v＝＝5 m/s，tan θ＝。
所以θ＝53°，即速度方向与x轴夹角为53°。
(3)t＝4 s时，x＝vxt＝12 m，y＝ayt2＝4 m。
物体的位移大小s＝＝4 m。
答案：(1)3 m/s，方向沿x轴正方向　(2)5 m/s，方向与x轴夹角为53°　(3)4 m
第一节 曲线运动
课堂探究
探究一 对曲线运动的理解
问题导引
以初速度v0水平抛出一个质量为m的物体，物体在空中做曲线运动，如图所示，请思考：
(1)物体经过A、B、C、D时的速度方向是怎样的？
(2)物体的运动是一种什么性质的运动？
提示：(1)物体经过A、B、C、D点时的速度方向沿该点的切线方向；(2)因速度方向时刻在变化，故物体的运动为变速运动。
名师精讲
1．曲线运动的速度
(1)曲线运动中质点在某一时刻(或某一位置)的速度方向，就是质点从该时刻(或该点)脱离曲线后自由运动的方向，也就是曲线上这一点的切线方向。
(2)速度是一个矢量，既有大小，又有方向。假如在运动过程中只有速度大小的变化，而物体的速度方向不变，则物体只能做直线运动。因此，若物体做曲线运动，表明物体的速度方向发生了变化。
2．曲线运动的性质
(1)由于做曲线运动物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否改变，因其矢量性，物体的速度在时刻变化，即曲线运动一定是变速运动。
(2)曲线运动是否为匀变速运动取决于物体所受合外力的情况。合外力为恒力，物体做匀变速曲线运动；合外力为变力，物体做非匀变速曲线运动。
警示 (1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。(2)只要物体所受的合外力为恒力(不为零)，它一定做匀变速运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动。
3．合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。在处理曲线运动的轨迹问题时，注意轨迹向合力的方向弯曲，力的方向总是指向轨迹的凹侧。
特别提醒 判断运动轨迹的曲直，只看力(或加速度)与速度方向的关系，与力的大小无关；判断是否为匀变速运动时，只看外力(加速度)是否是恒定的，特别注意其方向是否变化。
【例1】 关于曲线运动的性质，以下说法正确的是(　　)
A．曲线运动一定是变速运动
B．变速运动一定是曲线运动
C．曲线运动一定是变加速运动
D．运动物体的加速度数值、速度数值都不变的运动一定是直线运动
解析：曲线运动的速度方向不断改变，曲线运动是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动。做曲线运动的物体受到的外力可能是恒力，做的是匀变速曲线运动。运动物体的加速度数值、速度数值都不变，方向不断变化，则做匀速圆周运动(第4节学习)，属于曲线运动。
答案：A
题后反思 做曲线运动的物体速度方向时刻变化，一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。匀变速直线运动是变速运动，但不是曲线运动。而物体是否做匀变速运动要看物体是否受到大小、方向不变的恒定合外力的作用。
探究二 对物体做曲线运动条件的理解
问题导引
如图所示，让一个小铁球沿水平光滑桌面运动，在一侧突然放上一个条形磁铁，发现小铁球的运动方向发生了变化，轨迹是一条曲线。如果把磁铁放在小铁球运动方向的正前方，发现小球仍做直线运动，只不过速度增加了。请思考：
(1)小球的两次运动，受到的磁铁的吸引力与小球的速度方向在一条直线上吗？
(2)小球做曲线运动时，受到的吸引力与轨迹弯曲的方向有什么关系？
提示：(1)小球做曲线运动时，受的吸引力方向与速度方向不在同一直线上；做直线运动时，吸引力方向与速度方向在同一直线上。(2)小球做曲线运动时，受到的吸引力方向指向小球轨迹弯曲的内侧。
名师精讲
1．物体做曲线运动的条件
(1)物体受到的合外力方向与其运动方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
(2)根据牛顿第二定律，物体的加速度方向与其合外力方向一致。因此物体做曲线运动的条件还可以表述为：物体的加速度方向与它的运动方向不在一条直线上。
(3)若物体的合外力(或加速度)方向与它的运动方向在一条直线上，物体做直线运动。
2．物体做直线运动与做曲线运动的比较
特别提醒 在曲线运动中，合力方向与速度方向的夹角小于90°，物体做加速运动；两方向的夹角大于90°，物体做减速运动，两方向夹角等于90°，则物体的速率不变。
3．判断物体做直线运动还是曲线运动的方法
(1)明确物体的初速度方向；
(2)分析合外力的方向；
(3)分析两个方向的关系，从而作出判断。
【例2】 如图甲所示，汽车在一段弯曲水平路面上匀速行驶，关于它受到的水平方向的作用力方向的示意图乙，可能正确的是(图中F为地面对其的静摩擦力，Ff为它行驶时所受阻力)
甲
乙
解析：汽车行驶时所受阻力Ff总与该时刻它的速度方向相反，故D图肯定不对。做曲线运动物体所受合力的方向不仅与其速度方向成一角度，而且总是指向曲线的“内侧”，A、B两图中F与Ff的合力方向都不满足这一条件，只有C图中F与Ff的合力方向指向曲线的“内侧”，所以正确的是C选项。
答案：C
题后反思 物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧。
探究三 两个直线运动的合运动
问题导引
如图所示，在军事演习中，飞机常常一边匀加速收拢绳索提升战士，一边沿着水平方向匀速飞行，请思考：
(1)战士在水平方向和竖直方向分别做什么运动？(2)如何判断战士做的是直线运动还是曲线运动？做的是匀变速运动还是非匀变速运动？
提示：(1)战士在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动；(2)战士受的合力沿竖直方向，与其合速度不在一条直线上，所以做曲线运动。因其加速度恒定，故其运动为匀变速运动。
名师精讲
1．判断方法
(1)根据合加速度是否为恒量判定合运动是匀变速运动还是非匀变速运动。若合加速度不变且不为零，则合运动为匀变速运动；若合加速度变化，则为非匀变速运动。
(2)根据合加速度与合初速度是否共线判断合运动是直线运动还是曲线运动。若合加速度与合初速度在同一直线上，则合运动为直线运动，否则为曲线运动。
2．两个直线运动的合运动的几种可能情况
(1)两个同一直线上的分运动的合成
两个分运动在同一直线上，无论方向是同向的还是反向的，无论是匀速的还是变速的，其合运动一定是直线运动。
(2)两个互成角度的分运动的合成
①两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动，v合由平行四边形定则求解。
②两个初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动，并且合运动的初速度为零，a合由平行四边形定则求解。
③一个匀速直线运动和另一个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速曲线运动，合运动的加速度即为分运动的加速度。
警示 合运动的性质和轨迹，由两分运动的性质及各自的初速度和各自的加速度关系决定。若合初速度与合加速度方向在同一条直线上时，物体做的是直线运动；若合初速度与合加速度方向不在同一条直线上时，物体做的是曲线运动。
【例3】 如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度(　　)
A．大小和方向均不变 B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变
解析：橡皮参与了两个分运动，一个是沿水平方向与铅笔速度相同的匀速直线运动，另一个是沿竖直方向与铅笔移动速度大小相等的匀速直线运动，这两个直线运动的合运动是斜向上的匀速直线运动，故选项A正确。
答案：A
题后反思 物体运动的性质(匀速还是变速)由加速度决定，物体运动的轨迹(直线还是曲线)则由物体的速度和加速度的方向关系决定。解答该类问题关键是找出各分运动的初速度和受力情况，判断出两个分运动的初速度的合速度和所受合力是否共线。
探究四 对合运动与分运动的关系的理解
问题导引
如图所示，划船过河，请思考：
(1)小船参与了哪两个分运动？
(2)这两个分运动之间有什么关系？与合运动之间有什么关系？
提示：(1)一个分运动是沿水流方向，速度大小等于水的速度，另一个分运动沿船头所指方向，速度等于船在静水中的速度；(2)两个分运动相互独立，互不影响，跟合运动是等效的。
名师精讲
1．合运动与分运动的关系
关系
理解
独立性
一个物体同时参与两个运动，其中的任一个分运动并不会因为有另外的分运动的存在而有所改变。即各分运动是互相独立的、互不影响的
等时性
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历的时间相等。不是同时发生的运动不能进行运动的合成
等效性
各分运动合成起来和合运动相同，即分运动与合运动可以“等效替代”
同体性
合运动和它的分运动必须对应同一个物体的运动，一个物体的合运动不能分解为另一个物体的分运动
2.运动的分解三点拓展
(1)运动的合成和分解实际上是描述运动的位移、速度、加速度的合成和分解，合成或分解的参量必须是相对于同一参考系的。
(2)运动的分解与力的分解一样，如无约束条件，一个运动可以分解为无数组分运动。在具体分解运动时，可按运动的实际效果分解。
(3)分解原则：分解实际速度，使两个分速度方向垂直，且按实际效果分解。
3．运动的分解的步骤
(1)根据运动的效果(产生位移)确定运动的分解方向；
(2)应用平行四边形定则，画出运动分解图；
(3)将平行四边形转化为三角形，应用数学知识求解。
4．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述物体运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们都是矢量，所以它们都遵循矢量的合成与分解法则。
(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减。
(2)不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成或分解。
特别提醒 (1)合运动一定是物体的实际运动(一般是相对于地面的)。(2)不是同一时间内发生的运动、不是同一物体参与的运动不能进行合成。(3)对速度进行分解时，不能随意分解，应该建立在对物体的运动效果进行分析的基础上。
5．小船过河问题分析
(1)渡河时间最短问题：
若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，此时t短＝，船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝。
(2)渡河位移最短问题(v水＜v船)：
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水，如图所示。
【例4】 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s。求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？
点拨：
解析：(1)如图甲所示，船头始终正对河对岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝ s＝50 s。
(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即应使v合的方向垂直于河对岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有
cos α＝＝＝，解得α＝60°。
答案：(1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s。
(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m。
题后反思 在渡河问题中，有两点值得注意，一是要区别船在静水中的航速v船及船的合运动速度v合，这两种速度极易混淆；二是当要求用最小位移过河时，必须注意，仅当v船＞v水时，才能使合速度方向垂直河岸，过河的最小位移才等于河宽。如果船速小于水速，将无法使合速度垂直河岸，此时为了方便地找出以最小位移过河的航向，可采用几何方法。
触类旁通 本题中，若水的速度为4 m/s，船在静水中的速度为2 m/s，求过河的最短时间和最小距离。
提示：要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间t＝＝ s＝100 s。
因v船小于v水，小船不可能与河岸垂直。以v水的末端为圆心，以v船的长度为半径作圆，从v水的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。
设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成θ角，则
cos θ＝＝＝，即θ＝60°
则最短行程s＝＝ m＝200 m。
第一节 曲线运动
预习导航
情境导入
课程目标
1.知道曲线运动中速度的方向，理解曲线运动是一种变速运动；知道物体做曲线运动的条件。
2．在具体情景中，知道合运动、分运动分别是什么，知道其同时性和独立性。
3．知道运动的合成与分解，理解运动的合成与分解遵循平行四边形定则。
4．会用作图和计算的方法，求解位移和速度的合成与分解问题。
一、曲线运动的位移
1．建立坐标系
研究物体在平面内做曲线运动时，需要建立平面直角坐标系。
2．位移的分解
对于做曲线运动的物体，其位移应尽量用坐标轴方向的分矢量来表示。如图所示，物体从O运动到A，位移大小为l，与x轴夹角为θ，则在x方向的分位移为xA＝lcos θ，在y方向的分位移为yA＝lsin_θ。
二、曲线运动的速度
1．速度的方向
质点做曲线运动时，质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。
2．运动性质
曲线运动是一种运动轨迹为曲线的运动，曲线运动中速度的方向时刻改变，所以曲线运动是一种变速运动。
3．速度的描述
物体做曲线运动时，其速度可以用相互垂直的两个方向的分矢量来表示，即分速度。如图所示，当物体的速度为v时，方向与x轴的夹角是θ，则两个分速度vx＝vcos_θ，vy＝vsin_θ。
思考曲线运动一定是变速运动，那么变速运动一定是曲线运动吗？
提示：不一定。
三、运动描述的实例
1．实验过程
在一端封闭，长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个用红蜡块做成的小圆柱体，将玻璃管口塞紧。然后将玻璃管倒置，在蜡块上升的同时，将玻璃管紧贴黑板沿水平方向向右匀速移动。
2．实验现象
蜡块既向上做匀速运动，又由于玻璃管的移动向右做匀速运动，以黑板为参照物我们看到蜡块是向右上方运动的。
3．实验分析
以蜡块的出发点为坐标原点，水平向右和竖直向上分别为x轴和y轴的方向，建立如图所示直角坐标系，设蜡块向右、向上的速度大小分别为vx、vy。
4．蜡块的位置
经时间t，蜡块的位置坐标为：x＝vxt，y＝vyt。
5．蜡块的速度
大小为v＝，速度的方向满足tan θ＝。
6．蜡块的轨迹
蜡块运动的轨迹方程为y＝x，轨迹为一直线。
温馨提示 蜡块同时所做的匀速上升和匀速向右的运动叫分运动，沿倾斜方向的匀速运动叫合运动。
四、物体做曲线运动的条件
1．动力学条件
当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
2．运动学条件
当物体的加速度方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
第七节 生活中的圆周运动
自我小测
一、选择题(其中第1～4题为单选题，第5～7题为多选题)
1. 如图是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是(　　)
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
2．汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，则汽车拐弯的半径必须(　　)
A．减为原来的倍　　　　 B．减为原来的倍
C．增为原来的2倍 D．增为原来的4倍
3．如图，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力为零，则汽车通过桥顶的速度应为(　　)
A．15 m/s B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s
4．在高速公路拐弯处，通常都是外高内低。如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动。设内、外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零。则汽车转弯时的车速应等于(　　)
A. B. C. D.
5．铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车以速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是(　　)
A．轨道半径R＝
B．v＝
C．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
D．若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外
6．在云南省某些地方到现在还要依靠滑铁索过江(如图甲)，若把这滑铁索过江简化成图乙的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，AB间的距离为L＝80 m，绳索的最低点离AB间的垂直距离为h＝8 m，若把绳索看作是圆弧，已知一质量m＝52 kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10 m/s，(g取10 m/s2)那么(　　)
A．人在整个绳索上运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得绳索的圆弧半径为104 m
C．人在滑到最低点时对绳索的压力为570 N
D．在滑到最低点时人处于失重状态
7．如图所示，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R。则下列说法正确的是(　　)
A．小球过最高点时，绳子张力可以为零
B．小球过最高点时的最小速度为零
C．小球刚好过最高点时的速度是
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
二、非选择题
8．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍。
(1)如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
(2)如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？(g取10 m/s2)
9．如图所示，长为L＝0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量为m＝2 kg的小球，g取10 m/s2。
(1)如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大？
(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，求杆旋转的角速度为多大？
参考答案
1．解析：本题考查圆周运动的规律和离心现象。摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A项错误；摩托车正确转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，C、D项错误。
答案：B
2．解析：设最大静摩擦力为Fm，则有Fm＝m，当速度加倍时，设半径为r′，则Fm＝m，解得r′＝4r。
答案：D
3．解析：根据题意有mg－FN＝m，mg＝m，解得v2＝20 m/s，选项B正确。
答案：B
4．解析：分析汽车在拐弯处的受力如图所示，汽车做圆周运动的圆周平面在水平面内，所以向心力的方向应沿水平方向指向圆心。由牛顿第二定律mgtan θ＝m，而tan θ＝，解得v＝。
答案：B
5．解析：火车转弯时受力如图所示，火车转弯的向心力由重力和支持力的合力提供，则mgtan θ＝m，故转弯半径R＝；转弯时的速度v＝；若火车速度小于v时，需要的向心力减小，此时内轨对车轮产生一个向外的作用力，即车轮挤压内轨；若火车速度大于v时，需要的向心力变大，外轨对车轮产生一个向里的作用力，即车轮挤压外轨。
答案：BD
6．解析：根据题意，R2＝402＋(R－8)2，得R＝104 m。在最低点F－mg＝m，得F＝570 N。此时人处于超重状态，B、C选项正确。
答案：BC
7．解析：小球在最高点时，受重力mg、绳子竖直向下的拉力F，(注意：绳子不能产生竖直向上的支持力)向心力为F向＝mg＋F，根据牛顿第二定律得mg＋F＝m。可见，v越大，F越大；v越小，F越小。当F＝0时，mg＝m，得v临界＝。因此，选项AC正确。
答案：AC
8．解析：(1)汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力是车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有
Fm＝0.6mg≥m
由速度v＝30 m/s，得弯道半径r≥150 m；
(2)汽车过拱桥，看作在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式有
mg－FN＝m
为了保证安全，车对路面间的弹力FN必须大于等于零。有
mg≥m
则R≥90 m。
答案：(1)150 m　(2)90 m
9．解析：(1)小球在最低点，根据牛顿第二定律有
F1－mg＝m
解得：F1＝56 N
(2)小球在最高点，根据牛顿第二定律有
mg－F2＝mω2L
解得：ω＝4 rad/s
答案：(1)56 N　(2)4 rad/s
第七节 生活中的圆周运动
课堂探究
探究一 火车转弯问题分析
问题导引
火车在铁轨上转弯可以看成是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损。如何解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题呢？
提示：火车速度提高，容易挤压外轨，损坏外轨。火车转弯时的向心力由重力和支持力的合力提供，可适当增大转弯半径或者增加内、外轨的高度差。
名师精讲
1．弯道的特点
在实际的火车转弯处，外轨高于内轨。若火车转弯所需向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈)，v0为转弯处的规定速度。
2．明确圆周平面
虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨也是等高的。因而火车在行驶过程中，重心的高度不变，即火车重心的轨迹在同一平面内。故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面。即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
3．速度与轨道压力的关系
(1)当火车行驶速度v＝时，所需向心力仅有重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车均无挤压作用。
(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：
①当火车行驶速度v＞时，外轨对轮缘有侧压力；
②当火车行驶速度v＜时，内轨对轮缘有侧压力。
特别提醒 汽车、摩托车赛道拐弯处，高速公路转弯处设计成外高内低，也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力，以减小车轮受到地面施加的侧向挤压。
【例1】 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
点拨：第(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力；第(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力。
解析：(1)外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有FN＝m＝N＝1×105 N。
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于105 N。
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的弹力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝m
由此可得tan θ＝＝0.1。
答案：(1)1×105 N　(2)0.1
题后反思 (1)处理这类题目需要弄清两个方面的问题：一是向心力来源，二是火车转弯时轨道平面和圆心。(2)汽车、摩托车赛道拐弯处，高速公路转弯处设计成外高内低，也是尽量使车受到的重力和支持力的合力提供向心力。
探究二 汽车过桥问题分析
问题导引
如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，战车在哪一点对路面的压力最大？在哪一点对路面的压力最小呢？
提示：在最低点B点时对路面的压力最大；在最高点C点时对路面的压力最小。
名师精讲
1．关于汽车过拱形桥问题，用图表概括如下：
汽车过凸形桥
汽车过凹形桥
受力
分析
向心力
的来源
F＝mg－FN＝m
F＝FN－mg＝m
对桥的压力
FN′＝mg－m
FN′＝mg＋m
讨论
(1)当v＝时，FN＝0。
(2)当0≤v＜时，0＜FN≤mg
(3)当v＞时，汽车脱离桥面，发生危险
v增大，FN增大，由牛顿第三定律知，车对桥面的压力也增大
2.汽车在凸形桥的最高点处于失重状态，在凹形桥的最低点处于超重状态。
【例2】 如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m。如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
点拨：首先要确定汽车在何位置时对路面的压力最大，汽车经过凹形路面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形路面时，向心加速度向下，汽车处于失重状态，所以汽车经过凹形路面最低点时，汽车对路面的压力最大。
解析：(1)汽车在凹形桥底部时，由牛顿第二定律得：
FN－mg＝m
代入数据解得v＝10 m/s。
(2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得：
mg－FN′＝m
代入数据得FN′＝1.0×105 N。
由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力是1.0×105 N。
答案：(1)10 m/s　(2)1.0×105 N
题后反思 在汽车经过拱形桥或类似的物体经过竖直曲线做圆周运动的问题中，一般在轨道的最低点和最高点分析受力列方程，无论该类题目的具体内容如何，通过分析受力，找出提供的向心力列方程求解是最基本的方法。
探究三 竖直平面内的圆周运动
问题导引
小球分别在轻绳(如图甲)和轻杆(如图乙)的一端绕另一端在竖直平面内运动，请思考：
(1)小球要在竖直平面内完成圆周运动，经过最高点时的最小速度能为零吗？
(2)小球经过最高点时，与绳(或杆)之间的作用力可以为零吗？
提示：因为绳不能产生支持力，而杆可以，所以甲图中小球经过最高点时的速度不可能为零，乙图中小球经过最高点的最小速度可以为零；若小球与绳(或杆)之间没有作用力，则只有重力提供向心力，所以在最高点时小球与绳(或杆)之间的作用力可以为零。
名师精讲
物体在竖直平面内做圆周运动时，通常受弹力和重力两个力的作用，物体做变速圆周运动，我们只研究在最高点和最低点两种情形，具体情况又可分为以下两种：
模型
临界条件
最高点受力分析
细绳牵
拉型的
圆周
运动
小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，如图所示。
小球恰好过最高点时，应满足弹力FT＝0，即mg＝m，则小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度v＝。
①v＞时，绳或轨道对小球产生向下的拉力或压力；
小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图所示。
②v＝时，绳或轨道对小球刚好不产生作用力；
③v＜时，小球不能在竖直平面内做圆周运动，小球没有到达最高点就脱离了轨道
轻杆支
撑型的
圆周
运动
质点在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，如图所示。
由于杆和管能对小球产生向上的支持力，故小球能在竖直平面内做圆周运动的临界条件是最高点速度恰好为零
①v＞时，杆或管的外侧产生向下的拉力或压力；
②v＝时，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力；
质点被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，如图所示。
③v＜时，杆或管的内侧产生向上的支持力。
特别提醒 解答竖直平面内圆周运动问题时，首先要分清楚是绳模型还是杆模型，绳模型的临界条件是mg＝m，即v＝，杆模型的临界条件是v＝0，v＝对杆来说是F表现为支持力还是拉力的临界点。
【例3】 长L＝0.5 m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个物体A。A的质量为m＝2 kg，当A通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力：
(1)A在最高点的速度为1 m/s；
(2)A在最高点的速度为4 m/s。
点拨：
解析：设物体A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有相互作用力，此时向心力完全由重力提供，根据牛顿第二定律有
mg＝m
解得v0＝＝ m/s
(1)当A在最高点的速度为v1＝1 m/s时，因小于v0＝ m/s，此时物体A受到杆向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有
Mg－F1＝m
解得F1＝16 N
根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为16 N，方向向下。
(2)当A在最高点的速度为v2＝4 m/s时，因大于v0＝ m/s，此时物体A受到杆向下的拉力作用，根据牛顿第二定律有
mg＋F2＝m
解得F2＝44 N
根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为44 N，方向向上。
答案：(1)16 N　向下　(2)44 N　向上
题后反思 竖直面内的圆周运动多为非匀速圆周运动，关键是要分析清楚在最高点或最低点时物体的受力情况，由哪些力来提供向心力，再对此瞬时状态应用牛顿第二定律的瞬时性，有时还要应用牛顿第三定律求受力。很多时候在最高点往往还会出现临界条件，如弹力刚好为零，要注意充分挖掘这些隐含的或临界的条件。
触类旁通 若把本题中细杆换成细绳，则在(1)(2)两种情况下小球能通过最高点吗？若能，此时细绳对小球的拉力为多少？
提示：(1)v＝1 m/s时不能　(2)v＝4 m/s时能　44 N
探究四 对离心运动的理解
问题导引
同学们小的时候都吃过松软可口的“棉花”糖，制作“棉花”糖的器具主要由分布有小孔的内筒和外筒组成，内筒与洗衣机的脱水筒相似，可以在脚的踏动下旋转。在内筒里面加入白砂糖，加热使糖熔化成糖汁。如图所示，一个师傅正在给两位小朋友制作“棉花”糖。试分析制作“棉花”糖的原理。
提示：内筒高速旋转时，黏稠的糖汁就做离心运动，从内筒壁的小孔飞散出去成为丝状，到达温度较低的外筒时，迅速冷却凝固，变得纤细雪白，像一团团棉花。
名师精讲
1．离心运动的实质：物体惯性的表现。做圆周运动的物体，总有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力作用的缘故。一旦作为向心力的合外力突然消失或不足以提供向心力，物体就会发生离心运动。
2．离心运动的受力特点：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”也是由效果命名的，实际并不存在。
3．合外力与向心力的关系
(1)如图所示，若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F合＞mrω2或F合＞，物体做半径变小的近心运动，即“提供”大于“需要”。
(3)若F合＜mrω2或F合＜，则外力不足以将物体拉回到原圆周轨道上，物体逐渐远离圆心而做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”。
(4)若F合＝0，则物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。
特别提醒 (1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供其做圆周运动所需向心力而引起的，是惯性的一种表现形式。(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。(3)圆周运动所需要的向心力越大，即物体的质量越大，速度越大，角速度(转速)越大，半径越小时，物体就越容易发生离心现象。
4．常见几种离心运动的对比
项目
实物图
原理图
现象及结论
洗衣机
脱水桶
当水滴跟物体附着力F不足以提供向心力时，即F＜mω2r，水滴做离心运动
汽车在水平路
面上转弯
当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即Fmax＜m，汽车做离心运动
用离心机把体
温计水银甩回
玻璃泡中
当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力时，水银柱做离心运动进入玻璃泡内
【例4】 如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴飞速转动，下列说法中正确的是(　　)
A．物块处于平衡状态
B．物块受三个力作用
C．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘
D．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘
解析：对物块受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力共三个力作用，合力提供向心力，选项A错误、B正确。根据向心力公式F＝mω2r可知，当ω一定时，半径越大，所需的向心力越大，越容易脱离圆盘；根据向心力公式F＝m()2r可知，当物块到转轴距离一定时，周期越小，所需向心力越大，越容易脱离圆盘，选项CD错误。
答案：B
题后反思 当物体随圆盘转动时所需向心力超过物体与圆盘间的最大静摩擦力时，物体就会相对于圆盘发生相对运动。
第七节 生活中的圆周运动
预习导航
情境导入
课程目标
1.知道如果一个力或几个力的合力的效果会使物体产生向心加速度，它就是圆周运动的物体所受的向心力。会在具体问题中分析向心力的来源。
2．能理解运用匀速圆周运动的规律分析和处理生产和生活中的具体实例。
3．知道向心力和向心加速度的公式也适用于变速圆周运动，会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度。
4．知道什么是离心运动；知道物体做离心运动的条件。
一、铁路的弯道
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力。
2．向心力的来源
(1)若转弯时内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样，铁轨和车轮极易受损。
(2)内外轨有高度差。依据转弯半径和速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力由支持力和重力的合力来提供。
二、拱形桥
1．向心力的来源：汽车以速度v过半径R的凸形(或凹形)桥时受力如图所示，在最高点(或最低点)处，由重力和支持力的合力提供向心力。
2．在凸形桥上，速度越大，FN越小，向心力越大；
3．在凹形桥上，速度越大，FN越大，向心力越大。
三、航天器中的失重现象
1．航天器在近地轨道的运动：
(1)对于航天器，重力充当向心力，满足的关系为mg＝m，航天器的速度v＝。
(2)对于航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系为mg－FN＝，由此可得FN＝0，航天员处于失重状态，对座椅无压力。
2．对失重现象的认识：航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受重力。正因为受到重力作用才使航天器连同其中的乘员环绕地球转动。
四、离心运动
1．定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动。
2．原因：向心力突然消失或合外力不足以提供所需的向心力。
3．应用：洗衣机的脱水桶，制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆等。
第三节 实验：研究平抛运动
自我小测
1．安装实验装置的过程中，斜槽末端的切线必须是水平的，这样做的目的是(　　)
A．保证小球飞出时，速度既不太大，也不太小
B．保证小球飞出时，初速度水平
C．保证小球在空中运动的时间每次都相等
D．保证小球运动的轨迹是一条抛物线
2．(多选)下列哪些因素会使“探究平抛物体的运动”实验的误差增大？(　　)
A．小球与斜槽之间有摩擦
B．安装斜槽时其末端不水平
C．在实验中采用空心小铁球
D．根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点离原点O较远
3．为了探究影响平抛运动水平射程的因素，某同学通过改变抛出点的高度及初速度的方法做了6次实验，实验数据记录如下表：
序号
抛出点的高度(m)
水平初速度(m/s)
水平射程(m)
1
0.20
2
0.40
2
0.20
3
0.60
3
0.45
2
0.60
4
0.45
4
1.2
5
0.80
2
0.8
6
0.80
6
2.4
以下探究方案符合控制变量法的是(　　)
A．若探究水平射程与高度的关系，可用表中序号为1、3、5的实验数据
B．若探究水平射程与高度的关系，可用表中序号为2、4、6的实验数据
C．若探究水平射程与初速度的关系，可用表中序号为1、3、5的实验数据
D．若探究水平射程与初速度的关系，可用表中序号为2、4、6的实验数据
4．(多选)在探究平抛运动的规律时，可以选用如图所示的各种装置图，则以下操作合理的是(　　)
A．选用装置图甲研究平抛物体的竖直分运动时，应该用眼睛看A、B两球是否同时落地
B．选用装置图乙并要获得稳定的细水柱显示出平抛运动的轨迹，竖直管上端A一定要低于水面
C．选用装置图丙并要获得钢球做平抛运动的轨迹，每次不一定从斜槽上同一位置由静止释放钢球
D．除上述装置外，还可以用数码照相机拍摄钢球做平抛运动时每秒15帧的录像以获得平抛运动的轨迹
5．某同学课外研究平抛物体的运动，并将实验中测出的两物理量Q和S数值填表如下，Q和S的单位相同但没有写出。(g取10 m/s2)
Q
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
S
0.00
0.05
0.20
0.45
0.80
1.25
(1)上表中Q表示的物理量是________；S表示的物理量是________。
(2)若上表中Q和S用的都是国际单位制中的单位，则平抛物体的水平速度为________。
6．某同学在做研究平抛运动的实验时，忘了记下斜槽末端位置，图中的A点为小球运动一段时间后的位置，他便以A点为坐标原点，建立了水平方向和竖直方向的坐标轴，得到如图所示的图象。试根据图象求出小球做平抛运动的初速度大小为________ m/s。(g取10 m/s2)
7．在做“研究平抛物体的运动”的实验中，为了确定小球在不同时刻所通过的位置，实验时用如图所示的装置，先将斜槽轨道的末端调整水平，在一块平木板表面钉上复写纸和白纸，并将该木板竖直立于紧靠槽口处。使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞到木板并在白纸上留下痕迹A；将木板向远离槽口平移距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞在木板上得到痕迹B；又将木板再向远离槽口平移距离x，小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，再得到痕迹C。若测得木板每次移动距离x＝10.00 cm，A、B间距离y1＝4.78 cm，B、C间距离y2＝14.82 cm。(g取9.80 m/s2)
(1)为什么每次都要使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放？
答：________________________________________________________________________。
(2)根据以上直接测量的物理量得小球初速度为v0＝________(用题中所给字母表示)。
(3)小球初速度的测量值为________m/s。
参考答案
1．解析：平抛运动初速度的大小不是由斜槽末端是否水平决定的，而是由小球释放点到斜槽水平端的竖直高度决定的，故A项不正确；研究平抛物体的运动，旨在弄清物体在水平和竖直两个方向上怎样运动，必须保证小球抛出时速度是水平的，并非要研究小球在空中运动的时间，故B项正确，C项不正确；无论小球飞出的初速度是水平还是倾斜的，其运动轨迹都是一条抛物线，故D项不正确。
答案：B
2．解析：只要小球从斜槽的同一位置无初速下滑，到斜槽末端的速度相同就行，不管小球与斜槽之间有没有摩擦，选项A错误；斜槽末端不水平，小球不能做平抛运动，会使实验误差增大，选项B正确；实验时应采用密度大、体积小的小球，可以减小运动中空气阻力的影响，选项C正确；计算初速度时，在轨迹上取的点与原点O的距离远近无关，只要测量准确，误差不会增大，选项D错误。
答案：BC
3．解析：若探究水平射程与高度的关系，应保证物体平抛运动的初速度不变，改变下落高度，选项A正确，B错误；若探究水平射程与初速度的关系，应保证平抛运动的下落高度不变，改变初速度选用的数据可以是1、2的实验数据，或3、4的实验数据，或5、6的实验数据，选项C、D错误。
答案：A
4．解析：小球下落的速度很快，运动时间很短，用眼睛很难准确判断出小球落地的先后顺序，应听声音，选项A不合理；竖直管的上端A应低于水面，这是因为竖直管与空气相通，A处的压强始终等于大气压，不受瓶内水面高低的影响，因此可以得到稳定的细水柱，选项B正确；只有每次从同一高度由静止释放钢球，钢球做平抛运动的初速度才相同，选项C错误；获得每秒15帧的录像就等同于做平抛运动实验时描方格图的方法，同样可以探究平抛运动的规律，选项D正确。
答案：BD
5．解析：(1)由表中数据，Q表示的数据均匀增加，可猜想为相等时间内水平方向的位移；S表示的数据为1∶4∶9∶……，可猜想为竖直方向的位移；
(2)由Δy＝0.1＝gt2得t＝0.10 s，由x＝v0t得v0＝1.00 m/s。
答案：(1)水平位移　竖直位移　(2)1.00 m/s
6．解析：从题图中的图象中可以看出小球A、B、C、D位置间的水平距离都是0.20 m。由于小球在水平方向做匀速直线运动，于是可知小球从A到B，从B到C，由C到D所用的时间是相等的，设运动时间为t，又由于小球在竖直方向做自由落体运动，加速度为重力加速度g，根据匀变速直线运动的特点
Δy＝gt2，得t＝＝ s＝0.10 s
小球抛出的初速度v0可由水平分运动求出，由于在t＝0.10 s内的位移x＝0.20 m，则
v0＝＝ m/s＝2.0 m/s。
答案：2.0
7．解析：(1)保证小球以相同的初速度平抛。
(2)由y1＝gt2，得t＝，故v0＝v0＝x；也可以根据竖直方向Δy＝y2－y1＝gt2求出t，则v0＝x。
(3)代入数据解得v0＝1.0 m/s。
答案：(1)保证小球以相同的初速度平抛　(2)x或x　(3)1.0±0.02
第三节 实验：研究平抛运动
课堂探究
一、注意事项
1．保证斜槽末端切线水平，方木板竖直且与小球下落的平面平行，并使小球运动时靠近木板，但不接触。
2．小球每次都从斜槽上同一位置由静止滚下。
3．小球做平抛运动的起点不是槽口的端点，应是小球在槽口时，球的重心在木板上的水平投影点。
4．小球在斜槽上开始滚下的位置要适当，以便使小球运动的轨迹由木板的左上角到右下角。
5．要选取距O点远些的点来计算小球的初速度，这样可减小误差。
二、实验的误差来源和分析
1．安装斜槽时，其末端切线不水平。
2．建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点，实际上应是末端端口上的小球球心位置为坐标原点。
3．小球每次自由滚下的位置不完全相同。
4．数据测量时，测量不准确而产生误差。
三、数据处理
1．平抛运动水平方向运动性质的判定
(1)根据平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动及自由落体下落高度与运动时间t的关系h＝gt2。在平抛运动轨迹的竖直坐标轴y上，从原点O开始向下取一个坐标为h的点，再找到坐标为4h,9h,16h…的点。
(2)过这些点作水平线与轨迹分别交于A、B、C点，则这些点就是每经过相等时间物体所到达的位置。如图所示。
(3)测量出OA、AB、BC的水平距离，对比实验测量结果，若各段距离相等，说明水平方向上的运动是匀速直线运动。
2．判断O点是不是抛出点
(1)如图所示，在轨迹上选取A、B、C三点，OA、AB、BC的水平距离相等，那么说明从O到A，A到B，B到C的时间相等，过A、B、C三点作水平线和y轴相交，得出A、B、C三
点的纵坐标值yA、yB、yC。
(2)如果yA∶yB∶yC＝1∶4∶9，那么说明O点为平抛的起点，若不满足上述比例关系，则说明O点不是平抛的起点。
3．计算平抛物体的初速度
(1)在确定坐标原点为抛出点的情况下，在轨迹曲线上任取几点(如A、B、C、D)。
(2)用刻度尺和三角板分别测出它们的坐标x和y。
(3)根据平抛运动水平方向是匀速直线运动(x＝v0t)及竖直方向是自由落体运动(y＝gt2)，分别计算小球的初速度v0，最后计算小球的初速度v0的平均值。
4．验证轨迹是抛物线
抛物线的数学表达式为y＝ax2，将某点(如B点)的坐标x、y代入上式求出常数a，再将其他点的坐标代入此关系式看看等式是否成立，若等式对各点的坐标近似都成立，则说明所描绘得出的曲线为抛物线。
四、获得平抛运动轨迹的其他方法
1．喷水法
如图所示，倒置的饮料瓶内装着水，瓶塞内插着两根两端开口的细管，其中一根弯成水平，加上一个很细的喷嘴。
水从喷嘴中射出，在空中形成弯曲的细水柱，它显示了平抛运动的轨迹。将它描在背后的纸上，进行分析处理。
2．频闪照相法
用数码照相机可记录下平抛运动的轨迹，如图所示。由于相邻两帧照片间的时间间隔是相等的，只要测量相邻两照片上小球的水平位移，就很容易判断平抛运动水平方向上的运动特点。
【例1】 (对实验步骤和原理的理解)在“研究平抛运动”的实验中，可以描绘平抛物体运动轨迹和求物体的平抛初速度。实验简要步骤如下：
A．让小钢球多次从________位置上滚下，记下小球运动途中经过的一系列位置；
B．安装好器材，注意斜槽末端水平和木板竖直，记下小球在斜槽末端时球心在木板上的投影点O和过O点的竖直线，检测斜槽末端水平的方法是___________________________
________________________________________________________________________。
C．测出曲线上某点的坐标x、y，用v0＝________算出该小球的平抛初速度，实验需要对多个点求v0的值，然后求它们的平均值。
D．取下白纸，以O为原点，以竖直线为y轴建立坐标系，用平滑曲线画平抛轨迹。
上述实验步骤的合理顺序是________(只排列序号即可)。
解析：步骤A中要记下小球运动途中经过的一系列位置，不可能在一次平抛中完成，每一次平抛一般只能确定一个位置，要确定多个位置，要求小球每次的轨迹重合，小球开始平抛时的初速度必须相同，因此小球每次必须从同一位置上滚下。
步骤B中用平衡法，即将小球放到斜槽末端任一位置，如果斜槽末端是水平的，小球受到的支持力和重力是平衡的。不论将小球放到斜槽末端任何位置，小球均不会滚动。如果斜槽末端不是水平的，小球将发生滚动。
步骤C中运用x＝v0t及y＝gt2联立即可求得v0＝x
答案：同一　将小球放到斜槽末端任一位置，均不滚动x　BADC
题后反思 (1)应保持斜槽末端的切线水平，钉有坐标纸的木板竖直，并使小球的运动靠近坐标纸但不接触。
(2)小球每次必须从斜槽上同一位置由静止滚下，在斜槽上释放小球的高度应适当，使小球以合适的水平初速度抛出，其轨迹在坐标纸的左上角到右下角间分布，从而减小测量误差。
【例2】 (实验数据的分析和处理)如图甲所示是某种“研究平抛运动”的实验装置
(1)(多选)当a小球从斜槽末端水平飞出时与b小球离地面的高度均为H，此瞬间电路断开使电磁铁释放b小球，最终两小球同时落地。该实验结果可表明(　　)
A．两小球落地速度的大小相同
B．两小球在空中运动的时间相等
C．a小球在竖直方向的分运动与b小球的运动相同
D．两小球在空中运动时的加速度相等
(2)利用该实验装置研究a小球平抛运动的速度，从斜槽同一位置释放小球，实验得到小球运动轨迹中的三个点A、B、C，如图乙所示。图中O为坐标原点，B点在两坐标线交点，坐标xB＝40 cm，yB＝20 cm，A、C点均在坐标线的中点。则a小球水平飞出时的初速度大小为v0＝______ m/s；平抛小球在B点处的瞬时速度的大小vB＝________ m/s。
解析：(1)两小球同时落地。表明两小球在竖直方向的运动是一样的，选项BCD正确；
(2)竖直方向Δy＝0.1 m＝gt2，得t＝0.1 s；水平方向有x＝v0t，得v0＝＝ m/s＝2 m/s。在B点处竖直方向的分速度vBy＝ m/s＝2 m/s，故B点处的瞬时速度的大小vB＝＝2 m/s。
答案：(1)BCD　(2)2　2
题后反思 处理此类问题，先由水平方向的运动可判断出两点间的时间相等，再根据竖直方向匀变速直线运动的规律求得时间间隔，注意公式Δy＝gt2和平均速度vy＝的灵活应用。
【例3】 (实验创新设计)为了探究平抛运动的物体在竖直方向的运动规律，某同学设计了下面一个实验：如图所示，OD为一竖直木板，小球从斜槽上挡板处由静止开始运动，离开O点后做平抛运动，右侧用一束平行光照射小球的运动，小球在运动过程中，便在木板上留下影子。如图是用频闪照相机拍摄的小球在运动过程中的位置以及在木板上留下的影子的位置，如图中A、B、C、D等点。现测得各点到O点的距离分别为5.0 cm、19.8 cm、44.0 cm、78.6 cm。试根据影子的运动讨论物体在竖直方向上的运动情况。(已知照相机的闪光频率为10 Hz)。
点拨：小球运动过程中在木板上留下的影子反映了小球在竖直方向的运动情况。根据在竖直方向相等时间里影子的位移，结合运动学规律进行分析。
解析：照相机的闪光周期T＝0.1 s。
影子在连续闪光时间内的位移分别为s1＝5 cm、s2＝14.8 cm、s3＝24.2 cm、s4＝34.6 cm。根据逐差法可求得影子运动的加速度。
s3－s1＝2a1T2
s4－s2＝2a2T2
所以a＝＝≈9.8 m/s2。
加速度等于重力加速度，可见，小球在竖直方向的运动为自由落体运动。
答案：见解析
题后反思 本题的巧妙之处打破了常规的探究方法，利用影子的运动反映小球在某一方向上的运动情况，分析出了影子的运动规律，即可得知平抛运动物体在竖直方向的运动规律。
触类旁通 如果将平行光改为竖直方向，小球在运动过程中会在地面上留下影子。如图所示，用照相机测得的影子的位置如图中的a、b、c、d、e等点。现测得各点到a点之间的距离分别为19.6 cm、39.8 cm、60.2 cm、79.6 cm，试根据影子的运动讨论物体在水平方向上的运动情况。
提示：小球在地面上留下的影子的运动情况反映了物体在水平方向的运动情况。各点到a点之间的距离即为物体在水平方向上的位移，可以作出位移图象来判断物体在水平方向的运动情况。如图所示。
由图象可以看出，图线为经过原点的一条直线，说明位移随时间均匀变化，即影子的运动为匀速直线运动，也就说明物体在水平方向的运动为匀速直线运动。
第三节 实验：研究平抛运动
预习导航
情境导入
课程目标
1.能描出平抛运动的轨迹。
2．会判断平抛运动的轨迹是抛物线。
3．会计算平抛运动的初速度。
4．能掌握描迹法、频闪照相法等探究实验的常用方法。
一、实验目的
1．用实验的方法描出平抛运动的轨迹。
2．由实验轨迹求平抛运动物体的初速度。
二、实验原理
平抛物体的运动可以看成是由两个分运动合成的，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
使小球做平抛运动，利用描迹法描出小球的运动轨迹，建立平面直角坐标系，测出轨迹曲线上某一点的坐标x和y，根据公式x＝v0t和y＝gt2就可以求得v0＝x，即为小球做平抛运动的初速度。
三、实验器材
斜槽(带小球)、木板及竖直固定支架、白纸、图钉、重锤线、三角板、铅笔、刻度尺。
四、实验步骤
1．实验装置如图所示，安装调整斜槽：将带有斜槽轨道的木板固定在实验桌上，其末端伸出桌面外，轨道末端切线水平。
2．调整木板，确定坐标原点：用图钉将坐标纸固定于竖直木板的左上角，把木板调整到竖直位置，使板面与小球的运
动轨迹所在平面平行且靠近，把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口(轨道末端)时球心所在木板上的投影点O，O点即为坐标原点，用重锤线画出过坐标原点的竖直线，作为y轴，画出水平向右的x轴。
3．描点：将小球从斜槽上某一位置由静止滚下，小球从轨道末端飞出，先用眼睛粗略确定做平抛运动的小球在某一x值处的y值，然后让小球由同一位置自由滚下，在粗略确定的位置附近用铅笔较准确地描出小球通过的位置，并在坐标纸上记下该点。用同样的方法确定轨迹上其他各点的位置。
4．描绘出平抛运动的轨迹：取下坐标纸，将坐标纸上记下的一系列点，用平滑曲线连起来，即得到小球平抛运动轨迹。
5．计算初速度：在小球平抛运动轨迹上选取分布均匀的六个点——A、B、C、D、E、F，用刻度尺、三角板测出它们的坐标(x，y)，并记录在下面的表格中，已知g值，利用公式y＝gt2和x＝v0t，求出小球做平抛运动的初速度v0，最后算出v0的平均值。
A
B
C
D
E
F
x/mm
y/mm
v0＝x(m/s)
v0的平均值
第二节 平抛运动
自我小测
一、选择题(其中第1～4题为单选题，第5、6题为多选题)
1．如图所示，从水平匀速飞行的直升飞机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是(　　)
A．从飞机上看，物体静止 B．从飞机上看，物体始终在飞机的后方
C．从地面上看，物体做平抛运动 D．从地面上看，物体做自由落体运动
2．物体从同一高度水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．质量越大，水平位移越大
B．初速度越大，落地时竖直方向速度越大
C．初速度越大，空中运动时间越长
D．初速度越大，落地速度越大
3．物体在某一高度以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则该物体在空中运动的时间为(不计空气阻力)(　　)
A. B. C. D.
4．物体做平抛运动，它的速度方向与水平方向的夹角θ的正切tan θ随时间t变化的图象是如下图所示中的(　　)
5．人在距地面高h、离靶面距离L处，将质量为m的飞镖以速度v0水平投出，落在靶心正下方，如图所示。只改变m、h、L、v0四个量中的一个，可能使飞镖投中靶心的是(　　)
A．适当减小v0 B．适当提高h C．适当减小m D．适当减小L
6．如图所示，从地面上方某点，将一小球以10 m/s的初速度沿水平方向抛出，小球经1 s落地，不计空气阻力，g取10 m/s2，则可求出(　　)
A．小球抛出点离地面的高度为5 m
B．小球抛出点到落地点的水平距离为10 m
C．小球落地点的速度大小为20 m/s
D．小球落地时的速度方向与水平地面成60°角
二、非选择题
7．从离地高80 m处水平抛出一个物体，3 s末物体的速度大小为50 m/s，g取10 m/s2。求：
(1)物体抛出时的初速度大小；
(2)物体在空中运动的时间；
(3)物体落地时的水平位移。
8．设一位滑雪运动员由山坡顶部的A点沿水平方向飞出，到山坡上的B点着陆。如图所示，已知运动员水平运动的速度为v0＝20 m/s，山坡倾角为θ＝37°，山坡可以看成一个斜面。(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)AB间的距离s。
参考答案
1．解析：从水平匀速飞行的飞机上向外自由释放一个物体，因惯性在水平方向物体与飞机始终有相同的速度。从地面上看，物体做平抛运动，D错；从飞机上看，物体做自由落体运动，A、B错。
答案：C
2．解析：水平抛出的物体，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，其运动规律与质量无关，由v＝2gh，可知vy＝，落地时竖直速度只与高度h有关；由h＝gt2知，t＝，落地时间也由高度决定；落地速度v＝＝，故只有D项正确。
答案：D
3．解析：竖直分速度大小vy＝，与时间t的关系为vy＝gt，联立两式求得t＝。故选C。
答案：C
4．解析：因tan θ＝＝，故tan θ与t成正比，选项B正确。
答案：B
5．解析：适当提高h，可能使飞镖投中靶心，选项B正确；由Δh＝gt2，L＝v0t，联立得Δh＝(与飞镖的质量无关)，适当增大v0，或适当减小L，使飞镖在竖直方向下落的距离减小，也可能使飞镖投中靶心，选项A、C错而D对。
答案：BD
6．解析：由y＝gt2，得h＝gt2＝×10×12 m＝5 m；而水平方向上x＝v0t＝10×1 m＝10 m；小球落地时竖直分速度vy＝gt＝10 m/s，则v＝＝10 m/s；落地时速度与水平方向的夹角满足tan θ＝＝＝1，即θ＝45°，故A、B选项正确，C、D选项错误。
答案：AB
7．解析：(1)由平抛运动的规律知v＝
3 s末v＝50 m/s，vy＝gt＝30 m/s
解得v0＝vx＝40 m/s
(2)物体在空中运动的时间t′＝＝ s＝4 s
(3)物体落地时的水平位移x＝v0t′＝40×4 m＝160 m。
答案：(1)40 m/s　(2)4 s　(3)160 m
8．解析：(1)设小球从A到B时间为t，则有
x＝v0t
y＝gt2
由数学关系知tan θ＝＝
t＝3 s
(2)A、B间的距离s＝＝＝＝75 m
答案：(1)3 s　(2)75 m
第二节 平抛运动
课堂探究
探究一 对平抛运动的理解
问题导引
如图所示，一人正练习投掷飞镖，不计空气阻力。请思考：
(1)飞镖投出后做什么运动，加速度的大小和方向如何？
(2)飞镖的运动是一种怎样的运动？
提示：(1)飞镖将做平抛运动，只受到重力作用，加速度等于重力加速度，方向向下；(2)因飞镖的加速度为一恒量，故飞镖的运动是匀变速曲线运动。
名师精讲
1．物体做平抛运动的条件
物体的初速度v0不等于零，且只受重力作用。
2．平抛运动的性质
加速度为g的匀变速曲线运动。
3．抛体运动的特点
特点
理解
理想化特点
物理上提出的抛体运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力
匀变速特点
抛体运动的加速度恒定，始终等于重力加速度，这是抛体运动的共同特点，其中加速度与速度方向不共线的抛体运动是一种匀变速曲线运动
速度变化的特点
做抛体运动的物体在任意相等时间内速度的变化量相等，均为Δv＝gΔt，方向竖直向下
警示 平抛运动是抛体运动的特例，初速度方向与所受恒力方向垂直。如果物体的初速度和受力条件满足该特点，但其加速度不只是由重力产生的，这类运动叫作类平抛运动，处理问题的方法与处理平抛运动的方法相同，只是加速度不一样。
【例1】 (多选)关于平抛运动，下列说法中正确的是(　　)
A．平抛运动是匀变速运动 B．平抛运动是变加速运动
C．任意两段时间内加速度相同 D．任意两段相等时间内速度变化相同
解析：平抛运动的物体只受重力作用，故a＝g，即做匀变速曲线运动，A选项正确，B选项不对，C选项正确。由匀加速直线运动的速度公式Δv＝gΔt，所以任意相等的时间内Δv相同，D正确。
答案：ACD
题后反思 从平抛运动的受力情况入手分析，由于做平抛运动的物体只受重力作用，故其为匀变速运动，加速度恒为重力加速度g，即相等时间内的速度改变量相同，据此可作出判断。
探究二 平抛运动规律的应用
问题导引
用枪水平地射击一个靶子(如图所示)，设子弹从枪口水平射出的瞬时，靶子从静止开始自由下落，子弹能射中靶子吗？为什么？
提示：能够击中。子弹做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，相同时间内与靶子下落的高度相同，故能够击中靶子。
名师精讲
1．平抛运动的研究方法
平抛运动是一种典型的曲线运动，通过平抛运动可以掌握分析曲线运动的基本思路和方法。研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法。
(1)由于做平抛运动的物体只受重力，在水平方向上不受外力，所以平抛运动在水平方向做匀速直线运动；(2)在竖直方向上受到重力，初速度在竖直方向上分量为零，所以在竖直方向上做自由落体运动。
2．处理方法
(1)分解速度：设平抛运动的初速度为v0，在空中运动的时间为t，则平抛运动在水平方向的速度vx＝v0，在竖直方向的速度vy＝gt，合速度v＝，合速度与水平方向的夹角θ＝arctan 。
(2)分解位移：平抛运动在水平方向的位移x＝v0t，在竖直方向的位移y＝at2，对抛出点的位移(合位移)s＝。
3．有关平抛运动的几个结论
(1)平抛运动的时间：由y＝gt2得t＝，可知做平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度有关，与初速度的大小无关。
(2)平抛运动的水平位移：由x＝v0t＝v0知，做平抛运动的物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定。
(3)落地速度：v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同决定。
(4)平抛运动的速度偏向角为θ，如图所示，则
tan θ＝＝＝＝。
平抛运动的位移偏向角为α，则tan α＝＝tan θ。
可见位移偏向角与速度偏向角不等。
(5)如图所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点。
则OB＝v0t，
AB＝PBcot θ＝gt2·＝gt2·＝v0t。
可见AB＝OB，所以A为OB的中点。
从O点水平抛出的物体，做平抛运动到P点，物体好像是从OB中点A沿直线运动到P点一样，这是平抛运动很重要的一个特征。
特别提醒 (1)研究平抛运动时要先分析物体在水平和竖直两个方向上的运动情况，根据运动的等时性和矢量关系列方程。(2)研究竖直方向的运动时，可以利用匀变速直线运动规律。
【例2】 从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与水平方向成53°角。(取g＝10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8)。求：
(1)抛出点的高度和水平射程；
(2)抛出后3 s末的速度；
(3)抛出后3 s内的位移。
点拨：根据运动的合成与分解，可将末速度分解为竖直方向的分速度和水平方向的分速度进行求解。求合速度和合位移时，先求出两个方向的分速度和分位移，然后再合成。
解析：(1)设落地时的竖直方向速度为vy，水平速度为v0，则有
vy＝vsin θ＝50×0.8 m/s＝40 m/s
v0＝vcos θ＝50×0.6 m/s＝30 m/s
抛出点的高度为h＝＝80 m
水平射程x＝v0t＝30× m＝120 m
(2)设抛出后3 s末的速度为v3，则
竖直方向的分速度vy3＝gt3＝10×3 m/s＝30 m/s
v3＝＝ m/s＝30 m/s
设速度与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝1，故α＝45°。
(3)3 s内物体的水平方向的位移x3＝v0t3＝30×3 m＝90 m，
竖直方向的位移y3＝gt＝×10×32 m＝45 m，
故物体在3 s内的位移s＝＝ m＝45 m
设位移与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，θ＝arctan
答案：(1)80 m　120 m　(2)30 m/s　与水平方向的夹角为45°　(3)45 m　与水平方向的夹角为arctan
反思 解决平抛运动的问题时，关键之一在于利用矢量分解的知识将末速度和位移正交分解，建立起各物理量之间的几何关系，如v0与v、x与h之间的关系；关键之二是根据平抛运动规律将水平位移与竖直位移、水平速度与竖直速度通过时间联系在一起，从而建立运动学关系，最后将两种关系结合起来求解。
触类旁通 3 s末物体的速度方向与3 s内物体的位移方向相同吗？二者之间有着怎样的关系呢？
提示：不相同。速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的2倍。
探究三 平抛运动与斜面结合的问题
问题导引
跳台滑雪是勇敢者的运动。利用山势特别建造的跳台，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观，如图所示(乙图为示意图)。请思考：
甲
乙
(1)运动员从斜坡上的A点水平飞出，再次落到斜坡上的B点时，其位移方向与初速度的夹角为多少？
(2)落地之前，运动员的速度方向与斜坡平行时，其速度方向与初速度方向的夹角为多少？
提示：(1)位移方向与初速度方向间的夹角等于斜面的倾角α；(2)速度方向与初速度方向间的夹角θ满足关系式：tan θ＝2tan α。
名师精讲
1．常见的有两类情况
(1)做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角；
(2)物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移与水平方向的夹角等于斜面的倾角。
2．求解方法
解答这类问题往往需要：
(1)作出水平或竖直辅助线，列出水平方向或竖直方向的运动方程。
(2)充分利用几何关系找位移(或速度)与斜面倾角的关系。
【例3】 如图所示，以9.8 m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，则物体飞行的时间是(　　)
A. s B. s C. s D．2 s
解析：物体撞在斜面上时，水平方向速度vx＝v0＝9.8 m/s，合速度v与vx夹角为60°，所以竖直方向vy＝vxtan 60°＝9.8× m/s。由vy＝gt，则t＝＝ s＝ s，即物体飞行时间是 s。
答案：C
题后反思 在解决平抛运动的问题时，时间相同是两个分运动相联系的桥梁。分解和合成是解决平抛运动的基本方法，要根据题目的特点确定出是分解速度、位移还是加速度，在两个相互垂直的方向上列出运动学方程，最后作出解答。
探究四 类平抛运动问题
问题导引
如图所示，正在匀速上升的气球突然遇到水平方向恒定的风力作用，请思考：
(1)气球在竖直方向及水平方向的受力有何特点？
(2)气球在竖直方向及水平方向做什么运动？
提示：竖直方向受到重力及浮力作用，合力为零，始终做匀速直线运动；水平方向受力恒定，加速度恒定，做初速度为零的匀加速直线运动。
名师精讲
1．类平抛运动的受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2．类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
3．类平抛运动的求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
4．类平抛运动问题的求解思路
(1)根据物体受力特点和运动特点判断该问题属于类平抛运动问题。
(2)求出物体运动的加速度。
(3)根据具体问题选择用常规分解法还是特殊分解法求解。
【例4】 在光滑水平面内建立xOy坐标系，质量为m＝0.25 kg的小球正沿y轴正方向匀速运动，其速度为v0＝2 m/s。如图所示，当质点运动到原点O处时开始受到＋x方向的恒力F作用。
(1)若要使小球能经过坐标为(4 m,4 m)的P点，则恒力F大小为多大？
(2)在(1)问中当小球运动1 s时，其速度方向与＋x方向的夹角为多少？
解析：(1)小球在xOy坐标系内做类平抛运动，若要小球经过P点，则必须满足：
在x方向at2＝4 m
在y方向2t＝4 m
代入数据，得：a＝2 m/s2
由牛顿第二定律：F＝ma
代入数据，得F＝0.5 N
(2)当t＝1 s时，由类平抛运动规律得：
vx＝at＝2 m/s
因为vy＝v0
故运动1 s时速度大小v＝＝2 m/s
速度方向与＋x正方向的夹角为45°
答案：(1)0.5 N　(2)2 m/s　45°
题后反思 (1)类平抛运动规律与平抛运动规律相同，处理方法也相同。平抛运动的两个重要推论也适用于类平抛运动。(2)解答类平抛运动问题时，不一定按水平方向和竖直方向进行分解，可以按初速度方向和合外力方向来分解。
第二节 平抛运动
预习导航
情境导入
课程目标
1.知道平抛运动的定义及其特点。
2．知道平抛运动形成的条件。
3．知道研究抛体运动的方法——运用运动的合成与分解法。
4．会用平抛运动规律解答有关问题。
5．了解斜抛运动的性质及处理思路。
思考 铅球是运动会中一项重要的比赛项目，运动员奋力掷出的铅球在空中所做的运动是否为抛体运动？
提示：严格说来，铅球在运动中受到空气阻力作用，不是抛体运动。但铅球受到的空气阻力远小于它本身重力，铅球在空中的运动可近似看成抛体运动。
第五节 向心加速度
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．关于向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．向心加速度是描述线速度变化的物理量
B．向心加速度既改变线速度的方向，又改变线速度的大小
C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变
D．物体做非匀速圆周运动时，向心加速度的大小也可用an＝来计算
2．如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是(　　)
3．关于质点的匀速圆周运动，下列说法正确的是(　　)
A．由a＝可知，a与r成反比 B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．由v＝ωr可知，ω与r成反比 D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比
4．甲、乙两物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为3∶4，在相同的时间里甲转过60圈时，乙转过45圈，则它们的向心加速度之比为(　　)
A．3∶4 B．4∶3 C．4∶9 D．9∶16
5．一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2 s。则该物体在运动过程的任一时刻，速度变化率的大小为(　　)
A．2 m/s2 B．4 m/s C．0 D．4π m/s2
6．质量相等的A、B两物体，放在水平转台上，A离轴O的距离是B离轴O距离的一半，如图所示，当转台旋转时，A、B都无滑动，则下列说法正确的是(　　)
A．因为an＝ω2r，而rB＞rA，所以B的向心加速度比A大
B．因为an＝，而rB＞rA，所以A的向心加速度比B大
C．A的线速度比B大
D．B的线速度比A大
7．如图所示，一小物块以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是(　　)
A．小物块运动的角速度为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的周期为π s
C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m
D．小物块在π s内通过的路程为零
二、非选择题
8．一个圆柱形物块放在一个转盘上，并随着转盘一起绕O点匀速转动，通过频闪照相技术对其研究，从转盘的正上方拍照，得到的频闪照片如图所示，已知频闪仪的闪光频率为30 Hz，转动半径为2 m，该转盘转动的角速度为______rad/s，圆柱形物块的向心加速度为______ m/s2。
9．一轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆弧形公路行驶，当轿车从A运动到B时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°，求：
(1)此过程中轿车的位移大小。
(2)此过程中轿车通过的路程。
(3)轿车运动的向心加速度大小。
参考答案
1．解析：加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A、B错；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，故C错，D对。
答案：D
2．解析：做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B正确。
答案：B
3．解析：物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关，但向心加速度与半径的关系要在一定的前提条件下才能得出。当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论。
答案：D
4．解析：根据an＝ω2r，ω＝，得＝，又因T甲＝，T乙＝，所以＝×＝，故B选项正确。
答案：B
5．解析：速度的变化率就是物体的加速度，因为物体做匀速圆周运动，所以速度的变化率就是物体的向心加速度。由a＝，a＝可得a＝4π m/s2。
答案：D
6．解析：A、B两物体在同一转台上，且无滑动，所以角速度相同，由v＝ωr，rB＞rA，得B的线速度大于A的线速度，C错误，D正确；又由an＝ω2r，得aB＞aA，A正确，B错误。
答案：AD
7．解析：因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，选项A、B正确；小物块在 s内转过，通过的位移为 m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，选项C、D错误。
答案：AB
8．解析：闪光频率为30 Hz，就是说每隔秒闪光一次，由频闪照片可知，转一周要用6个时间间隔，即秒，所以转盘转动的角速度为ω＝＝10π rad/s，圆柱形物块的向心加速度为a＝ω2r＝200π2 m/s2。
答案：10π　200π2
9．解析：如题图所示，v＝30 m/s，r＝60 m，θ＝90°＝。
(1)轿车的位移为从初位置A指向末位置B的有向线段，其长度l＝r＝×60 m≈85 m。
(2)路程等于弧长
s＝rθ＝60× m＝94.2 m。
(3)由公式an＝得
an＝ m/s2＝15 m/s2.
答案：(1)85 m　(2)94.2 m　(3)15 m/s2
第五节 向心加速度
课堂探究
探究一 对速度变化量的理解
问题导引
如图所示，以速度v水平飞向球拍的网球被球拍以同样大小的速度反向弹回；电子以大小为v的速度绕原子核做匀速圆周运动，请思考：
(1)如何求网球速度的变化量？
(2)电子沿圆周运动周期的过程，如何求电子速度的变化量？
提示：(1)网球被球拍击中前后的速度在一条直线上，计算其速度变化量时，先确定好正方向，确定初、末速度的正负号，可求得其速度变化量Δv＝v末－v初；(2)电子在周期的过程中，初、末速度不在一条直线上，应根据平行四边形定则确定其速度变化量。
名师精讲
1．速度变化量
(1)速度变化量是指运动物体在一段时间内的末速度与初速度之差。
(2)速度是矢量，速度的变化量Δv也是矢量，Δv＝v2－v1是矢量式，其运算满足平行四边形定则或三角形定则。
2．用矢量图表示速度变化量
(1)同一直线上速度变化关系图如图所示。
(2)不在同一条直线上的速度变化如图所示。
(3)在匀速圆周运动中，物体由A运动到B，其速度变化量Δv如图所示。
【例1】 物体以初速度v0做平抛运动，经一段时间(未落地)速度大小变为v，如图所示。则此过程中物体速度变化量的大小和方向分别为(　　)
A．v－v0，水平向右 B．v0－v，水平向左
C.，竖直向下 D.，方向无法确定
解析：平抛物体运动一段时间后末速度方向与初速度方向不在同一直线上，作出如图所示，因平抛运动加速度为g，故Δv方向竖直向下，与v0方向垂直，且Δv＝，方向竖直向下。
答案：C
题后反思 速度变化量的运算为矢量运算，Δv＝v－v0的意义为以Δv、v0为邻边，v是对角线的平行四边形，也可以将三个矢量转化到三角形中运算。
探究二 对向心加速度及意义的理解
问题导引
如图所示，卫星绕地球做匀速圆周运动，小球绕细绳的另一端在竖直平面内做变速圆周运动，请思考：卫星以及小球的向心加速度分别指向什么方向？它们的向心加速度改变物体的速度大小吗？
提示：卫星及小球的向心加速度方向均指向圆心，与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度大小。
名师精讲
1．物理意义
描述线速度改变的快慢，只改变线速度方向，不改变其大小。
2．方向
总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。
3．非匀速圆周运动的加速度
对于非匀速圆周运动，如图所示，物体加速度的方向不再指向圆心，但其中一个分加速度的方向指向圆心，为向心加速度，仍满足公式an＝＝ω2r，其作用仍然是改变速度的方向。
特别提醒 无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心。
【例2】 (多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　　)
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向。所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心。故A、B、D正确。
答案：ABD
题后反思 解该类问题的关键是分清两种圆周运动加速度的特点。匀速圆周运动的加速度就是向心加速度，方向时刻指向圆心，它只改变线速度的方向；变速圆周运动的加速度不是指向圆心的，向心加速度只是它的一个分量，而另一个分量沿圆周的切线方向，前者改变线速度的方向，后者改变线速度的大小。
探究三 对向心加速度表达式的理解及应用
问题导引
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，它们边缘的三个点A、B、C，其中哪两点的向心加速度与半径成正比，哪两点的向心加速度与半径成反比？
提示：B、C两点的角速度相等，由an＝ω2r可知，B、C两点的向心加速度与半径成正比；A、B两点的线速度大小相等，由an＝可知，A、B两点的向心加速度与半径成反比。
名师精讲
1．向心加速度公式
an＝＝ω2r＝r＝4π2f2r＝ωv。
2．向心加速度与半径的关系
(1)若ω为常数，根据an＝ω2r可知，向心加速度与r成正比，如图甲所示；
(2)若v为常数，根据an＝可知，向心加速度与r成反比，如图乙所示；
(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比。
特别提醒 上述向心加速度的表达式中，an均与两个物理量有关，在讨论与其中某一个量的关系时，要注意另一个量是否发生变化。
【例3】 (多选)P、Q两物体做匀速圆周运动的向心加速度an的大小随半径r变化的图象，其中P为双曲线的一个分支，由图可知(　　)
A．P物体运动的线速度大小不变 B．P物体运动的角速度不变
C．Q物体运动的角速度不变 D．Q物体运动的线速度大小不变
解析：由an＝知，做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时，向心加速度与半径成反比，故A正确，B错误；由an＝ω2r知，角速度不变时，向心加速度与半径成正比，故C正确，D错误。
答案：AC
题后反思 表达式an＝＝ω2r中，an与两个量(ω和r或v和r)都有关，讨论时要注意控制变量法的应用。若角速度ω相同，则an与r成正比；若线速度v大小相同，则an与r成反比。
【例4】 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转轴的距离是半径的。当大轮边缘上P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多大？
解析：同一轮子上的S点和P点角速度相同：ωS＝ωP
由向心加速度公式a＝rω2可得：＝
所以aS＝aP·＝12× m/s2＝4 m/s2
又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘各点线速度大小相等：vP＝vQ
由向心加速度公式a＝可得：＝
所以aQ＝aP·＝12× m/s2＝24 m/s2
答案：aS＝4 m/s2　aQ＝24 m/s2
题后反思 先根据皮带传动或同轴转动分析出研究点的线速度关系或角速度关系，然后再利用向心加速度公式分析。
第五节 向心加速度
预习导航
情境导入
课程目标
1.理解速度变化量和向心加速度的概念。
2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。
3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。
4．了解向心加速度公式的推导。
一、圆周运动的实例分析
1．推测
圆周运动的速度时刻改变，故圆周运动是变速运动，即圆周运动一定存在加速度，它的方向可能指向圆心。
2．实例分析
实例
地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动
光滑桌面上的小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动
图例
受力分析
地球受太阳的引力，方向指向太阳中心，即地球轨迹的圆心
小球受重力、支持力、拉力三个力，合力总是指向圆心
加速度分析
由牛顿第二定律知，加速度方向与其合外力方向相同，指向圆心
思考 匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动吗？
提示：匀速圆周运动的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化。
二、向心加速度
1．定义
任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫作向心加速度。
2．大小
(1)an＝；(2)an＝ω2r。
3．方向
沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直。
4．物理意义
描述线速度方向改变快慢的物理量。
思考 地球上的物体随地球做匀速圆周运动时的向心加速度是指向地心吗？
提示：不一定，应垂直于地轴指向地轴。
第六节 向心力
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．关于向心力的说法中正确的是(　　)
A．向心力是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新力
B．向心力不改变圆周运动物体速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力
2．在水平面上转弯的摩托车(如图)，向心力的来源是(　　)
A．重力和支持力的合力 B．静摩擦力
C．滑动摩擦力 D．重力、支持力、牵引力的合力
3．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是(　　)
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C．物体所受弹力减小，摩擦力减小
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
4．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确的表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是(　　)
5．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球分别与小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FB∶FA为(g取10 m/s2)(　　)
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
6．小球A和B用细线连接，可以在光滑的水平杆上无摩擦地滑动，已知它们的质量之比m1∶m2＝3∶1，当这一装置绕着竖直轴做匀速转动，且A、B两球与水平杆达到相对静止时(如图所示)，A、B两球做匀速圆周运动的(　　)
A．线速度大小相等 B．角速度相等
C．向心力的大小之比为F1∶F2＝3∶1 D．半径之比为r1∶r2＝1∶3
7．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．球A的线速度必定大于球B的线速度
B．球A的角速度必定小于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
二、非选择题
8．一个做匀速圆周运动的物体质量为2.0 kg，如果物体的转速变为原来的2倍，半径不变，则所受的向心力就比原来的向心力大15 N。试求：
(1)物体原来的向心力大小；
(2)物体后来的向心加速度的大小。
9．游乐场内有一种叫“空中飞椅”的游乐项目，如图所示，在半径为 r＝4 m的水平转盘的边缘固定着数条长为l＝10 m的钢绳，钢绳的另一端连接着座椅(图中只画出2个)，转盘在电动机带动下可绕穿过其中心的竖直轴转动。设在每个座椅内坐着质量相同的人，可将人和座椅看成是一个质点，人和座椅的质量为m＝60 kg，重力加速度g＝10 m/s2，不计钢绳的重力及空气的阻力。当转盘以某一角速度ω匀速转动时，座椅从静止开始随着转盘的转动而升高，经过一段时间后达到稳定状态，此时钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ＝37°。求此时转盘匀速转动时的角速度及绳子的拉力。
参考答案
1．解析：向心力是一种效果力，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，但应注意它不是物体受到的一个新力，A错；向心力只改变物体运动的方向，不改变速度的大小，故B对；物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故C错；只有在匀速圆周运动中，合力提供向心力，而非匀速圆周运动中向心力并非物体受到的合力，故D错。
答案：B
2．解析：在水平面上转弯的摩托车，竖直方向受重力和地面的支持力，水平方向受地面给摩托车的静摩擦力，静摩擦力提供车辆转弯所需的向心力，而车轮没有相对路面打滑，故该摩擦力是静摩擦力。
答案：B
3．解析：物体在竖直方向上受重力G与摩擦力F，是一对平衡力，在向心力方向上受弹力FN，根据向心力公式，可知FN＝mω2r，当ω增大时，FN增大，所以应选D。
答案：D
4．解析：由于雪橇在冰面上滑动，故滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即方向应为圆的切线方向，因做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心，由此可知C正确。
答案：C
5．解析：设两小球A、B的质量均为m。小车突然停止运动时，小球B由于受到小车前壁向左的弹力作用，相对于小车静止，竖直方向上受力平衡，则有FB＝mg＝10m；小球A绕悬点以速度v做圆周运动，此时有FA－mg＝m，得FA＝mg＋m＝10m＋20m＝30m。故FB∶FA＝10m∶30m＝1∶3，C正确。
答案：C
6．解析：当两小球随轴转动达到稳定状态时，A、B两小球做圆周运动的向心力大小相等，等于绳中的张力大小；同轴转动的角速度相等；由m1ω2r1＝m2ω2r2得r1∶r2＝m2：m1＝1∶3；由v＝ωr得v1∶v2＝1∶3。
答案：BD
7．解析：两球均贴着圆锥筒的内壁，在水平面内做匀速圆周运动，其合力必定在水平面内时刻指向圆心，受力如图所示。由图可知，筒壁对球的弹力FN=，对于A、B两球受到的筒壁的压力大小相等，选项D错误；对球运用牛顿定律得mgcot θ=m=mω2r=m，球的线速度v=，角速度ω=，周期T=2π，故vA＞vB，ωA＜ωB，TA＞TB，选项A正确、CD错误。
答案：AB
8．解析：(1)设匀速圆周运动的半径为r，物体原来受的向心力的大小
F1＝mr(2πn)2
变化后的向心力的大小
F2＝mr(2π×2n)2
且F2＝F1＋15 N
解得F1＝15 N
(2)物体后来的向心加速度a＝＝ m/s2＝10 m/s2。
答案：(1)15 N　(2)10 m/s2
9．解析：对人和座椅，绳的拉力与重力的合力指向圆心，由牛顿第二定律
F＝
mgtan θ＝mω2R
由几何关系得：R＝r＋lsin θ
代入数据得：F＝750 N
ω＝ rad/s
答案： rad/s　750 N
第六节 向心力
课堂探究
探究一 对向心力的理解
问题导引
汽车在水平路面上保持速度大小不变，请思考汽车转弯时的向心力由什么力提供的？
提示：路面对车的静摩擦力提供向心力。
名师精讲
1．向心力的作用效果
改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小。
2．向心力的特点
①方向时刻在变化，总是与线速度的方向垂直。②在匀速圆周运动中，向心力大小不变，向心力是变力，是一个按效果命名的力。
3．向心力的大小
根据牛顿第二定律Fn＝ma＝m＝mrω2＝mωv＝mr。
4．向心力的来源
来源
例证
图例
一个力充当向心力
绳的一端系一个物体，在光滑平面内绕另一端做匀速圆周运动，向心力由绳的拉力提供。如图
几个力的合力充当向心力
用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动到最低点时，其向心力由绳的拉力和物体的重力(F＝T－mg)两个力的合力充当。如图。
某个力的分力充当向心力
在圆锥摆运动中，小球做匀速圆周运动的向心力则是拉力的分力(F＝mgtan θ，其中θ为摆线与竖直轴的夹角充当)
特别提醒 (1)向心力是一种效果力，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，不是物体受到的一个力，只能由其他力来充当。分析物体受力时不能说物体受到向心力。
(2)只有匀速圆周运动物体的合外力才指向圆心，其合外力就充当向心力，而非匀速圆周运动的物体的合外力不一定指向圆心。
【例1】 如图所示，在一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，一个小孩站在距圆心为r处的P点不动，关于小孩的受力，以下说法正确的是(　　)
A．小孩在P点不动，因此不受摩擦力的作用
B．小孩随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力的合力充当向心力
C．小孩随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．若使圆盘以较小的转速转动，小孩在P点受到的摩擦力不变
解析：由于小孩随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此小孩会受到静摩擦力的作用，且充当向心力，选项AB错误、C正确；由于小孩随圆盘转动半径不变，当圆盘角速度变小，由F＝mω2r可知，所需向心力变小，选项D错误。
答案：C
题后反思 凡是做圆周运动的物体一定需要向心力。由于向心力是按效果命名的力，所以在受力分析时不要加上向心力，它只能由其他力提供。
探究二 对圆周运动的进一步理解
问题导引
如图所示，汽车在高低不平的路面上行驶的运动通常是一个比较复杂的曲线运动，那么汽车运动时需要向心力吗？如何研究一般的曲线运动？
提示：需要向心力。在复杂的曲线运动中取一小段研究，每一小段都可以看成是某个圆周的一部分。不同位置上所对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”是不同的。
名师精讲
1．匀速圆周运动的特点
线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率都恒定不变；向心加速度和向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变。
2．匀速圆周运动的性质
(1)线速度仅大小不变而方向时刻改变，是变速运动。
(2)向心加速度仅大小恒定而方向时刻改变，是非匀变速曲线运动。
(3)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期物体都要重新回到原来的位置，其运动状态(如v、a大小及方向)也要重复原来的情况。
(4)做匀速圆周运动的物体所受外力的合力大小恒定，方向总是沿半径指向圆心。
3．质点做匀速圆周运动的条件
合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动仅是速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。
4．匀速圆周运动和变速圆周运动的区别
(1)由做曲线运动的条件可知，变速圆周运动中物体所受的合力与速度方向一定不垂直，当速率增大时，物体受到的合力与瞬时速度之间的夹角是锐角；当速率减小时，物体受到的合力与速度之间的夹角是钝角。
例如：用一细线系一小球在竖直平面内做变速圆周运动，在向下加速运动过程的某一位置A和向上减速运动过程的某一位置B，小球的受力情况如图所示。
(2)比较可知，匀速圆周运动和变速圆周运动受力情况的不同是：匀速圆周运动中，合力全部用来提供向心力，合力指向圆心；变速圆周运动中，合力沿着半径方向的分量提供向心力，合力通常不指向圆心。
5．一般的曲线运动
运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般曲线运动，在复杂的曲线运动中取一小段研究，每一小段都可以看成是圆周的一部分，这些圆弧的弯曲程度不同，圆心不同，注意到这个区别以后，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的方法进行研究，如下图。
【例2】 (多选)如图所示，质量为m的木块，从位于竖直平面内的圆弧形曲面上下滑，由于摩擦力的作用，木块从a到b运动速率增大，b到c速率恰好保持不变，c到d速率减小，则(　　)
A．木块在ab段和cd段加速度不为零，但bc段加速度为零
B．木块在abcd段过程中加速度都不为零
C．木块在整个运动过程中所受合力大小一定，方向始终指向圆心
D．木块只在bc段所受合力大小不变，方向指向圆心
解析：木块在下滑的全过程中，时刻存在加速度，A错、B对；在下滑过程中只有bc段速率不变其所受合力为向心力，其大小不变，C错D对。
答案：BD
题后反思 物体做曲线运动一定有加速度，理解这一定是解决本题的关键。
探究三 解决匀速圆周运动问题的思路和方法　
问题导引
飞机在空中水平面内做匀速圆周运动，如图所示。试分析：
(1)飞机受到哪些力的作用？向心力有谁提供？
(2)若知道飞机做圆周运动的半径，如何求得飞机运动的速度大小？
提示：(1)飞机受到重力及空气对飞机的作用力，这两个力的合力提供向心力；(2)确定出飞机圆周运动的平面和圆心，表示出飞机受的合力，根据牛顿第二定律列出方程，可得飞机的速度。
名师精讲
1．指导思路
凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力。而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的理论基础。
2．解题步骤
【例3】 如图所示，是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在空中做水平方向的匀速圆周运动。若女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角约为θ，女运动员的质量为m，转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r，求：
(1)男运动员对女运动员的拉力大小。
(2)男运动员转动的角速度。
点拨：以女运动员为研究对象，受到重力和男运动员对她的拉力作用，这两个力的合力提供向心力，其做圆周运动的平面在水平面内。根据牛顿第二定律求解。
解析：设男运动员对女运动员的拉力大小为F，女运动员受力如图所示，
则：Fcos θ=mg
Fsin θ=mω2r
解得F=
ω=
答案：(1)　(2)
题后反思 应用向心力公式解题的基本步骤是：首先进行受力分析，明确向心力的来源，即哪些力提供向心力；其次要确定圆周运动的轨道平面、圆心位置和轨道半径，找准向心力的方向；最后应用向心力表达式求解。当然，要正确解决问题，我们须熟记向心力的各种表达式，并注意在不同的情况下灵活选用。
触类旁通 如果男、女运动员手拉手均做匀速圆周运动，已知两人质量比为2∶1，求他们做匀速圆周运动的半径比。
提示：1∶2
3．圆周运动中的连接体问题
(1)圆周运动中的连接体问题处理方法：此类问题的处理方法与单个物体的情况基本相同。因系统内的每个物体的速度、加速度不同，即运动状态不同，所以处理时应隔离每个物体进行分析。若物体存在加速度，应根据牛顿第二定律列方程求解；若物体处于平衡状态，应结合平衡条件进行处理。
(2)圆周运动中的连接体问题的几种典型情景
情景示例
情景图示
情景说明
情景1
A、B两小球固定在轻杆上随杆绕杆的端点O做圆周运动，注意计算OA杆拉力时应以小球A为研究对象，而不能以A、B整体为研究对象
情景2
当转盘转速逐渐增大时，物体A先达到其最大静摩擦力，转速再增加，则A、B间绳子开始有拉力，当B受到的静摩擦力达到其最大值后两物块开始滑动
情景3
当求转盘对B的摩擦力时，取A、B整体为研究对象比较简单；当研究A、B谁先发生离心滑动时，注意比较两接触面的动摩擦因数大小
情景4
A、B两小球用轻线相连穿在光滑轻杆上随杆绕转轴O在水平面内做圆周运动时，两球所受向心力大小相等、角速度相同、圆周半径与小球质量成反比
【例4】 如图所示，OM＝MN＝R。两个小球质量都是m，a、b为水平轻绳。两小球正随水平圆盘以角速度ω匀速同步转动。小球和圆盘间的摩擦力可以不计。求：
(1)绳b对小球N的拉力大小；
(2)绳a对小球M的拉力大小。
点拨：两球所受的重力和水平面的支持力在竖直面内，且是一对平衡力，不能提供向心力。M球所受到的向心力由绳a和绳b的拉力的合力提供，N球所受到的向心力由杆的绳b的拉力提供。
解析：(1)对球N，受力如图所示，其做圆周运动的半径为2R，根据牛顿第二定律有
Fb＝mω2·2R＝2mω2R
(2)对球M，受力如图所示，其做圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律有
Fa－Fb′＝mω2R
Fb＝Fb′
解得Fa＝Fb＋mω2R＝3mω2R
答案：2mω2R　3mω2R
题后反思 分析圆周运动问题是应先弄清楚向心力的来源，然后再根据已知条件灵活运用向心力的计算公式求解。
第六节 向心力
预习导航
情境导入
课程目标
1.知道向心力及其方向，理解向心力的作用。
2．通过实验理解向心力与哪些因素有关，掌握向心力的公式及其变形。
3．能用牛顿第二定律知识分析匀速圆周运动的向心力。
4．知道在变速圆周运动中向心力为合外力沿半径方向的分力
一、向心力
(1)定义：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合力。
(2)方向：始终指向圆心，与线速度方向垂直。
(3)公式：Fn＝m或Fn＝mω2r。
(4)来源：
①向心力是按照力的作用效果命名的。
②匀速圆周运动中向心力可能是物体所受外力的合力，也可能是某个力的分力。
(5)作用：产生向心加速度，改变线速度的方向。
思考在匀速圆周运动中，向心力是一个恒力吗？
提示：不是。因为向心力的方向始终指向圆心，时刻在变化。
二、实验验证
三、变速圆周运动和一般的曲线运动
1．变速圆周运动
(1)受力特点：做圆周运动的物体受到的合外力并不一定指向圆心，可以将其分解为沿切向的力和指向圆心的力。
(2)加速度：切向分力Ft产生的加速度为切向加速度，改变做圆周运动物体的线速度的大小；指向圆心的分力Fn产生向心加速度，改变物体速度的方向。如图所示。
　
(3)变速圆周运动：同时具有切向加速度和向心加速度的圆周运动。
2．一般的曲线运动的处理方法
(1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理，如图所示。
第四节 圆周运动
自我小测
一、选择题(其中第1～5题为单选题，第6、7题为多选题)
1．下列关于甲、乙两个做匀速圆周运动的物体的有关说法正确的是(　　)
A．甲、乙两物体线速度相等，角速度一定也相等
B．甲、乙两物体角速度相等，线速度一定也相等
C．甲、乙两物体周期相等，角速度一定也相等
D．甲、乙两物体周期相等，线速度一定也相等
2．A、B分别是地球上的两个物体，A在北半球某城市，B在赤道上某地，如图所示。当它们随地球自转时，它们的角速度分别是ωA、ωB，它们的线速度大小分别是vA、vB下列说法正确的是(　　)
A．ωA＝ωB，vA＜vB B．ωA＝ωB，vA＞vB
C．ωA＜ωB，vA＝vB D．ωA＞ωB，vA＜vB
3．如图为一种早期的自行车，这种下带链条传动的自行车前轮的直径很大，这样的设计在当时主要是为了(　　)
A．提高速度 B．提高稳定性 C．骑行方便 D．减小阻力
4．一质点做圆周运动，在时间t内转过n周。已知圆周半径为R，则该质点的线速度大小为(　　)
A. B. C. D.
5．如图所示的装置中，已知大轮B的半径是小轮A的半径的3倍。A、B在边缘接触，形成摩擦传动，接触点无打滑现象。B为主动轮，B转动时边缘的线速度为v，角速度为ω，则(　　)
A．A轮边缘的线速度为
B．A轮的角速度为
C．两轮边缘的线速度之比为vA∶v＝1∶1
D．两轮转动的周期之比TA∶TB＝3∶1
6．两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法正确的是(　　)
A．它们的轨道半径之比为2∶9 B．它们的轨道半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3 D．它们的周期之比为1∶3
7．如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在转动过程中，皮带不打滑，则(　　)
A．a点与b点的线速度大小相等 B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等 D．a点与d点的向心加速度大小相等
二、非选择题
8．做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小。
(2)角速度的大小。
(3)周期的大小。
9．如图所示，在半径为R的水平圆板中心轴的正上方高h处水平抛出一小球，圆板做匀速转动，当圆板半径OB转到与小球初速度方向平行时(图示位置)，开始抛出小球，要使小球与圆板只碰一次，且碰撞点为B，求：
(1)小球的初速度大小；
(2)圆板转动的角速度大小。
参考答案
1．解析：由ω＝可知，周期相同，角速度一定也相等，故C选项正确。
答案：C
2．解析：同轴的两个物体转动的角速度相等，故ωA＝ωB，又A的半径r与B的半径R关系为R＞r，由v＝ωr知，vA＜vB。
答案：A
3．解析：这种老式不带链条的自行车，驱动轮在前轮，人蹬车的角速度一定的情况下，线速度v＝ωr，可见自行车的速度就很大，所以A正确。
答案：A
4．解析：质点做圆周运动的周期T＝，由公式v＝得v＝＝，故B选项正确。
答案：B
5．解析：A、B两轮边缘上各点的线速度大小都与接触点相同。故A轮边缘的线速度为v，选项A错误、C正确；由ω＝可知，ωA＝3ω，选项B错误；由T＝可知，TA∶TB＝1∶3，选项D错误。
答案：C
6．解析：由公式v＝rω得r＝，＝·＝·＝；由公式T＝得＝＝。
答案：AD
7．解析：在题图所示的皮带传动装置中，由皮带不打滑可知，
va＝vc，选项C正确；即ωar＝2ωcr，将ωc＝ωb代入，得ωar＝2ωbr，则va＝2vb，ωa＝2ωb，选项A、B错误；由ωc＝ωd可知，vd＝4ωdr＝4ωcr＝2vc，而va＝vc，则aa＝＝，ad＝＝＝aa，选项D正确。
答案：CD
8．解析：(1)依据线速度的定义式v＝可得v＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)依据v＝ωr解得ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。
(3)依据ω＝解得T＝＝ s＝4π s。
答案：(1)10 m/s　(2)0.5 rad/s　(3)4π s
9．解析：(1)小球的运动时间t＝
则小球的抛出速度v＝＝R
(2)由题意知，圆板转动的角速度为ω＝＝2kπ(k＝1,2,3，…)。
答案：(1)R　(2)2kπ(k＝1,2,3，…)
第四节 圆周运动
课堂探究
探究一 对匀速圆周运动的理解
问题导引
如图所示，卫星绕地球做匀速圆周运动，请思考：
(1)卫星的圆周运动是一种匀速运动还是变速运动？
(2)卫星做匀速圆周运动中，有哪些物理量不发生变化？
提示：(1)因卫星做圆周运动的速度方向时刻在变，因此是变速运动；(2)卫星的角速度、周期，还有转速不发生变化。
名师精讲
1．圆周运动的性质
圆周运动一定是变速运动，因为速度是矢量，只要方向改变就说明速度发生了变化，而圆周运动的速度方向时刻改变，所以圆周运动一定是变速运动，做圆周运动的物体一定具有加速度，它受的合力一定不为零。
2．匀速圆周运动的特点和性质
(1)“变”与“不变”：描述匀速圆周运动的四个物理量中，角速度、周期和转速恒定不变，线速度是变化的；
(2)性质：匀速圆周运动中的“匀速”不同于匀速直线运动中的“匀速”，这里的“匀速”是“匀速率”的意思，匀速圆周运动是变速运动。
【例1】 (多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(　　)
A．相等的时间里通过的路程相等
B．相等的时间里通过的弧长相等
C．相等的时间里发生的位移相等
D．相等的时间里转过的角度相等
解析：质点做圆周运动时，因为线速度大小不变，所以在相等的时间内通过的圆弧长度相等，即路程相等，A、B项正确；因为角速度相等，此时半径转过的角度也相等，D选项正确；但由于位移是矢量，在相等的时间里，质点的位移大小相等，方向却不一定相同，故C选项错误。
答案：ABD
题后反思 线速度和角速度都是描述匀速圆周运动的质点运动快慢的物理量，线速度侧重于描述物体通过弧长快慢的程度，而角速度侧重于描述质点转过角度的快慢程度。
探究二 描述圆周运动的各物理量的意义及其之间的关系
问题导引
如图所示，在冰上芭蕾舞表演中，演员展开双臂单脚点地做着优美的旋转动作，在她将双臂逐渐放下的过程中，她的转动将逐渐变快，请思考：
(1)演员肩上某点转动的线速度及角速度如何变化？
(2)演员肩上某点转动的周期如何变化？
提示：转动的速度变快，是转速变大，其角速度变大，周期变小，肩上某点距转动的圆心的半径r不变，因此线速度也变大。
名师精讲
1．各物理量间的数量关系
关系式
理解
线速度与角速度的关系
v＝ωr
r一定时，v与ω成正比，ω一定时，v与r成正比
角速度与周期的关系
ω＝
角速度与周期一定是成反比，周期大的角速度一定小
线速度与周期的关系
v＝
只有当半径相同时，周期小的线速度大，当半径不同时，周期小的线速度不一定大，周期与线速度描述的快慢是不一样的
周期和转速的关系
T＝
周期和转速互为倒数关系
角速度与转速的关系
ω＝2πn
角速度与转速一定成正比，转速越大，角速度就越大
警示 (1)v、ω、r之间是瞬时对应关系；(2)v、ω、r三个量中，只有先确定其中一个量不变，才能进一步明确另外两个量是正比还是反比关系；(3)若比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，若比较物体绕圆心运动的快慢看周期、角速度。
2．线速度与角速度的意义区别
线速度v与角速度ω都是描述匀速圆周运动质点转动快慢的物理量，但两者都无法全面、准确地反映做质点的运动状态，它们都具有一定局限性。
(1)r一定时，v∝ω。例如：①齿轮边缘处的质点随着齿轮转速的增大，角速度和线速度都随之增大；②骑自行车时，车轮转得越快，角速度就越大，车轮边缘上各点的线速度就越大。
(2)ω一定时，v∝r。例如：①时钟上的分针转动时，各质点的角速度相同，但分针上离圆心越远的点，r越大，v也就越大；②地球上各点都在绕地轴做圆周运动，且角速度相同，但地球表面纬度越低的地方，到地轴的距离就越大，因此线速度就越大，赤道上各点的线速度最大。
(3)v一定时，ω∝。例如，如图所示的皮带传动装置中，两轮边缘上各点的线速度大小相等，但大轮的r较大，所以ω较小。
警示 线速度大的物体，其角速度不一定大，例如：地球绕太阳转动的线速度是3×104 m/s，但它的角速度却很小，只有2×10－7 rad/s。只有当r一定时，v与ω才成正比。
【例2】 如图所示，圆环以直径AB为轴匀速转动，已知其半径r＝0.5 m，转动周期T＝4 s，求环上P点和Q点的角速度和线速度。
点拨：整个圆环以AB为轴匀速转动，环上各点的角速度相同；求线速度，则需找出P点和Q点做圆周运动的半径，利用v＝rω求解。
解析：由题意知P点和Q点的角速度相同，ωP＝ωQ＝＝ rad/s＝1.57 rad/s；P点和Q点绕直径AB做匀速圆周运动，其轨迹的圆心不同，P点和Q点的轨迹半径分别为
rP＝Rsin 30°＝0.25 m
rQ＝Rsin 60°＝ m
故二者的线速度分别为
vP＝ωPrP≈0.39 m/s
vQ＝ωQrQ≈0.68 m/s。
答案：1.57 rad/s　1.57 rad/s　0.39 m/s　0.68 m/s
题后反思 解决此类题目首先要确定质点做圆周运动的轨迹所在的平面，以及圆周运动圆心的位置，从而确定半径，然后由v、ω的定义式及v、ω、R的关系式来计算。
探究三 常见传动装置模型
问题导引
如图所示，跷跷板的支点位于板的中点，A、B是板的两个端点，请比较：在翘动的某一时刻，A、B的线速度vA、vB的大小关系及角速度ωA、ωB的大小关系。
提示：根据题意，A、B绕同一支点转动，所以角速度相等，即ωA＝ωB；由图看出rA＞rB，根据v＝ωr得线速度vA＞vB。
名师精讲
传动的几种情况
传动
形式
图例
特点
同轴
传动
A点和B点在同轴的一个圆盘上，圆盘转动时，它们的角速度、周期相同：ωA＝ωB，线速度与圆周半径成正比，＝
皮带
传动
A点和B点分别是两个轮子边缘的点，两个轮子用皮带连起来，且皮带不打滑。轮子转动时，它们的线速度大小相等：vA＝vB，周期与半径成正比，角速度与半径成反比，＝，＝，并且转动方向相同。
齿轮
传动
A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合，齿轮转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：vA＝vB，＝，＝。A和B两点转动方向相反
警示 在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量(线速度或角速度)，再由描述圆周运动的各物理量间的关系，确定其他各量间的关系。
【例3】 如图所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为rA＝rC＝2rB，设皮带不打滑，则三轮边缘上的点线速度之比vA∶vB∶vC＝________，角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝________。
点拨：同一根皮带连接不打滑时，边缘各点的线速度相等；固定在一起绕同一个轴转动的几个圆盘各点的角速度相等。这个规律在以后解圆周运动题目中要经常用到。
解析：A、B两轮由皮带带动一起转动，皮带不打滑，故A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等。B、C两轮固定在同一轮轴上，同轴转动，角速度相等。但是由于两轮的半径不等，由v＝rω可知，B、C两轮边缘上各点的线速度大小不等，且C轮边缘上各点的线速度是B轮边缘上各点线速度的两倍，故有vA∶vB∶vC＝1∶1∶2.因A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等，同样由v＝rω可知，它们的角速度与半径成反比，即ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2.
答案：1∶1∶2　1∶2∶2
题后反思 在分析传动装置中各物理量间的关系时，要牢记下面的两个关系：(1)靠皮带、齿轮或摩擦传动的轮子，在不打滑的情况下，轮子边缘上各点的线速度大小相等，角速度则与半径成反比；(2)同一轮子或同轴传动的轮子上各点运动的角速度ω、转速n和周期T均相等，线速度则与半径成正比。
第四节 圆周运动
预习导航
情境导入
课程目标
1.理解匀速圆周运动的概念，知道匀速圆周运动是变速运动。
2．理解匀速圆周运动的线速度和角速度、周期、转速等描述圆周运动快慢的概念。
3．掌握线速度、角速度、周期和频率间的关系。
一、描述圆周运动的物理量
1．圆周运动
物体沿着圆周的运动，它的轨迹为圆，圆周运动为曲线运动，故一定是变速运动。
2．描述圆周运动的物理量的比较
定义
公式及单位
标矢性
物理意义
线速度v
物体经过的圆弧的弧长跟所用时间的比值
v＝
单位： m/s
矢量　方向沿圆周的切线方向
表示物体转动的快慢程度
角速度ω
物体与圆心的连线所转过的角度跟所用时间的比值
ω＝
单位：rad/s
矢量(中学阶段不做要求)
表示物体转动的快慢程度
周期T
物体沿圆周运动一周的时间
单位：s
标量
表示物体转动的快慢程度
转速n
物体单位时间内完成圆周运动的圈数
单位：r/s
标量
表示物体转动的快慢程度
相互关系
ω＝　v＝　v＝ωR　T＝
二、匀速圆周运动
1．定义
线速度大小处处相等的圆周运动。
2．特点
(1)线速度大小不变、方向不断变化；
(2)角速度不变；
(3)转速、周期不变。
思考匀速圆周运动是匀速运动吗？匀速圆周运动中哪些物理量保持不变？
提示：不是。匀速圆周运动中的“匀速”指的是匀速率，即速度大小不变，但线速度方向一直在变，所以匀速圆周运动是变速运动。匀速圆周运动中线速度的大小、角速度、周期及转速保持不变。

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