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第7节　生活中的圆周运动
（满分100分，45分钟完成） 班级_______姓名_______
目的要求：
1．知道一个力或几个力的效果是使物体产生向心加速度，它就是物体的向心力；
2．知道向心力和向心加速度的公式也适用于变速圆周运动；
3．知道什么是离心现象，知道物体做离心运动的条件。
第Ⅰ卷(选择题 共48分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得6分，对而不全得3分。选错或不选的得0分。
1．如图1所示，用细线吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，关于小球的受力情况，正确的是 （ ）
图1
A．重力、绳子的拉力、向心力
B．重力、绳的拉力
C．重力
D．以上说法均不正确
2．一辆载重车在丘陵地区行驶，地形如图2所示，轮胎已经很旧，为防爆胎，应使车经何处的速率最小 （ ）
图2
3．如图3所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动，圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时 （ ）
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．小球受到的向心力等于重力mg
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
4．在匀速转动的水平放置的转盘上，有一相对盘静止的物体，物体在随盘运动的过程中相对盘的运动趋势是 （　　）21cnjy.com
A．沿切线方向
B．沿半径指向圆心
C．沿半径背离圆心
D．静止，无运动趋势
5．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是 （ ）
A．0 B．mg
C．3mg D．5mg
6．物体做离心运动时，运动轨迹的形状为 （ ）
A．一定是直线 B．一定是曲线
C．可能是直线也可能是曲线 D．可能是一个圆
7．洗衣机的甩干筒在转动时有一衣物附在筒壁上，则此时
①衣服受重力、筒壁的弹力和摩擦力
②衣服随筒壁做圆周运动的向心力是摩擦力
③筒壁的弹力随筒的转速的增大而增大
④筒壁对衣服的摩擦力随转速的增大而增大
以上说法正确的是 （ ）
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
8．在下列哪几种情况下，原来做圆周运动的物体将产生离心运动 （ ）
①物体所受的合外力突然消失
②物体所受的合外力突然增强
③物体所受的合外力小于所需的向心力
④物体所受的合外力大于所需的向心力
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
9．圆周运动物体合外力沿指向圆心方向的分力 提供向心力时，物体做半径 的___________圆心的运动，叫离心运动。www.21-cn-jy.com
10．洗衣机脱水桶是利用________的机械，将衣服放在洗衣机的甩干桶内，当甩干桶高速旋转时，衣服也随之旋转，当________小于圆周运动所需要的向心力时，衣服上的水滴就飞出桶壁的孔。【来源：21·世纪·教育·网】
11．绳子的一端拴着一个小球，以手握其另一端使它在光滑的水平面上做匀速圆周运动，绳子对小球的拉力迫使小球不断改变________方向，这个力叫做向心力。当绳子一旦被拉断，小球由于________将做________运动。【来源：21cnj*y.co*m】
12．一木块放于水平转盘上，与转轴的距离为r，若木块与盘面间的最大静摩擦力是木块重力的μ倍，则转盘转动的角速度最大是________。【出处：21教育名师】
13．司机为了能够控制驾驶的汽车，汽车对地面的压力一定要大于零，在高速公路上所建的高架桥的顶部可以看做是一个圆弧，若设计高速公路高架桥时限定速率为180 km/h，则高架桥顶部的圆弧半径至少应为________（g取10 m/s2）。【版权所有：21教育】
三、计算题：本大题共2小题，计27分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。21教育名师原创作品
14．（12分）试证明圆锥摆的周期T，只与摆球离悬点的高度h有关而与摆球的质量无关。
15．（15分）如图4所示，圆盘半径为R，当圆盘绕竖直轴作匀速转动，盘边缘所悬物体“飞起”，悬线长为l，悬线与竖直方向夹角为α，求圆盘的角速度。

图4
参考答案
一、选择题：
1．【答案】 B
【点拨】球受两个力作用：重力、绳的拉力，这两个力的合力沿水平方向指向圆心，提供了小球做圆周运动的向心力，选项B正确。2·1·c·n·j·y
2．【答案】D
【点拨】车经过A、C点对路面的压力小于重力，而经过B、D点时对路面的压力大于重力，B与D相比，由于D点半径比B点的半径小，由FN－mg＝知，在D点车对路面的压力最大。21·cn·jy·com
3．【答案】BCD
【点拨】小球在最高点刚好不脱离圆环，其临界情况为圆环对小球无作用力，只有重力提供向心力，则mg＝m＝m·a，所以v＝，a＝g。21·世纪*教育网
4．【答案】 C
【点拨】物体所做匀速圆周运动的向心力由静摩擦力提供，静摩擦力指向圆心，则物体相对盘的运动趋势为沿半径背离圆心。www-2-1-cnjy-com
5．【答案】C
【点拨】小球在最高点的临界速度v＝，小球以2v的速度通过最高点时，设轨道对球的弹力为FN，则FN＋mg＝m，FN＝m－mg＝3mg，根据牛顿第三定律得，球对轨道的压力为3mg，选项C正确。21世纪教育网版权所有
6．【答案】C
【点拨】物体的受力情况不明确，无法确定其运动轨迹是直线还是曲线，但不可能是圆。
7．【答案】B
【点拨】人衣物附在筒壁上时，受重力、弹力和静摩擦力作用，其中弹力提供向心力，重力与摩擦力为平衡力，所以①③为正确答案，故本题选B。2-1-c-n-j-y
8．【答案】A
【点拨】当物体所受的合外力消失，或不足以提供向心力，使物体的速度方向改变，沿着圆周运动，就产生离心运动。21*cnjy*com
二、填空、实验题：
9．【答案】不足以；逐渐增大；远离
【点拨】（略）
10．【答案】离心运动； 水的附着力
【点拨】（略）
11．【答案】运动； 惯性； 匀速直线
【点拨】（略）
12．【答案】
【点拨】当摩擦力达到最大静摩擦力时转盘角速度最大，即μmg＝mω2r，ω＝。
13．【答案】250 m
【点拨】由mg＝m，所以v＝，R＝＝250 m。
三、计算题：
14．【答案】2π
【解析】摆球受两个力作用：重力mg和绳的拉力F，其合力指向圆心，提供向心力。

在竖直方向有：Fcosα＝mg
在水平方向有：Fsinθ＝mRω2＝mR
整理得：mgtanθ＝mR
所以T＝2π＝2π，故周期T，只与摆球离悬点的高度h有关而与摆球的质量无关。
15．【答案】
【解析】小球受到两力作用：重力mg和绳的拉力F， R′为其做圆周运动的半径，小球做圆周运动的向心力为：21教育网
mgtanα＝mR′ω2
其中R′＝R+lsinα
整理得：mgtanα＝mω2(R+l·sinα)
解得：ω＝。
第7节　生活中的圆周运动
（满分100分，60分钟完成） 班级_______姓名_______
目的要求：
1．会运用向心力和向心加速度的公式解决变速圆周运动的问题；
2．知道什么是离心现象，知道物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用与防止。
第Ⅰ卷(选择题 共48分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得6分，对而不全得3分。选错或不选的得0分。
1．轻绳的一端系重物，手执另一端使重物在光滑水平面上做匀速圆周运动，下述说法正确的是 （ ）【来源：21·世纪·教育·网】
①角速度一定时，线长易断 ②线速度一定时，线长易断
③周期一定，线长易断 ④向心加速度一定，线短易断
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
2．长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0 kg的小球，如图1所示，小球以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时，小球的速率是v＝2.0 m/s，g取10 m/s2，则细杆此时受到 （ ）
A．6.0 N拉力 B．6.0 N压力
C．24 N拉力 D．24 N压力
3．做离心运动的物体，它的速度变化情况（ ）
①速度大小不变，方向改变 ②速度大小改变，方向不变
③速度大小和方向可能都改变 ④速度大小和方向可能都不变
A．①② B．②③ C．③④ D．④①
4．在一个内壁光滑的圆锥桶内，两个质量相等的小球A、B紧贴着桶的内壁分别在不同高度的水平面内做匀速圆周运动，如图2所示，则以下说法中正确的是 （ ）
①两球对筒壁的压力相等
②A球的线速度一定大于B球的线速度
③A球的角速度一定大于B球的角速度
④两球的周期相等
A．①② B．②③
C．①④ D．②④
5．下列哪些现象是为了防止物体产生离心运动 （ ）
A．汽车转弯时要限制速度
B．转速很高的砂轮半径不能做得太大
C．在修筑铁路时，转弯处轨道的内轨要低于外轨
D．离心泵工作时
6．关于离心现象下列说法正确的是 （ ）
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时它将做曲线运动
7．铁路在转弯处外轨略高于内轨的原因是 （ ）
①减轻轮缘对外轨的挤压
②减轻轮缘与内轨的挤压
③火车按规定的速度转弯，外轨就不受轮缘的挤压
④火车无论以多大速度转弯，内外轨都不受轮缘挤压
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
8．汽车在半径为r的水平弯道上转弯，如果汽车与地面的动摩擦因数为μ，那么不使汽车发生滑动的最大速率是 （ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
9．如图3所示，电动机和飞轮的总质量为M，飞轮边缘固定着一质量为m的物块，物块到轴距离为r，电动机匀速转动，当物块转到最高点时，电动机恰对地面无压力，则飞轮的角速度为___________rad/s。21cnjy.com
10．一吊车以5 m/s的速度在水平公路上匀速前进，长为2 m的悬绳吊着1 t的货物，则绳对货物的拉力是______N，吊车紧急刹车一瞬间，悬绳对货物的拉力是______N。
11．一根长0.625m的细绳，一端栓一质量m＝0.4 kg的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，则小球以v＝3.0m/s通过圆周最高点时，绳对小球的拉力大小为 N。www-2-1-cnjy-com
12．已知一辆质量为M的汽车通过拱形桥的桥顶时速度为v，则此时汽车对桥面的压力为______（桥的曲率半径为R）。【来源：21cnj*y.co*m】
13．如图4所示，AB为一圆弧面，在B点轨道的切线是水平的，BC为水平轨道，一小球沿ABC轨道运动，其质量为m，轨道半径为R，小球过B点时的速度为v，则小球刚要到达B点时对轨道的压力大小为________，小球刚过B点时对轨道的压力大小为________。【出处：21教育名师】
图4
三、计算题：本大题共2小题，计27分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。【版权所有：21教育】
14．（12分）如图5所示，轻杆OA长l＝0.5 m，在A端固定一小球，小球质量m＝0.5 kg，以O点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时的速度大小为v＝0.4 m/s，求在此位置时杆对小球的作用力。（g取10 m/s2）21教育名师原创作品
图5
15．（15分）如图6所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r。物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同，物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动。21·世纪*教育网
参考答案
一、选择题：
1．【答案】A
【点拨】由F＝ma＝m＝mω2r＝mr可知，A选项正确。
2．【答案】B
【点拨】小球以速度v0通过最高点时，设杆对球的作用力为F，且方向竖直向下，由向心力公式得：F＋mg＝m，所以F＝－mg＝－6.0 N，负号说明杆对球的作用力F的方向与假设的方向相反，即竖直向上，故球对细杆的压力为6 N，本题答案为B。
3．【答案】C
【点拨】（略）
4．【答案】A
【点拨】球在光滑桶内壁做匀速圆周运动，重力mg和桶对它的支持力FN的合力作为向心力，由牛顿第二定律F合＝mgcotθ＝mω2r＝m，而FN＝，则两球对桶壁的压力相等，故①正确，又因为rA＞rB，ωA＜ωB，所以vA＞vB，即②正确，所以本题答案为A。
5．【答案】ABC
【点拨】（略）
6．【答案】 C
【点拨】向心力是根据力的作用效果命名的，做匀速圆周运动的物体，所受重力、弹力、摩擦力的合力提供向心力，并不受向心力和离心力的作用；当合力小于做圆周运动所需的向心力时，就会产生离心现象，选项A错误；根据牛顿第一定律，当做圆周运动物体所受的力都消失时，物体从力消失时刻起做匀速直线运动，故选项C正确，选项B、D错误。
7．【答案】A
【点拨】两轨间距为l，内外轨水平高度差为h，转弯处轨道半径为R，向心力由火车重力mg和轨道对火车支持力FN合力提供，F合＝mgtanθ，mgsinθ＝mg；F向＝m故mg＝m。则v规＝，当l、h确定，则v被唯一确定，即为规定的行驶速度。（1）当火车行驶速率v等于v规时，F向＝F合，内、外轨对轮缘没有侧压力；（2）当火车行驶速率v大于v规时，F合＜F向，外轨道对轮缘须有侧压力；（3）当火车行驶速度v小于v规时，F合＞F向，内轨道对轮缘有侧压力；故A选项正确。2·1·c·n·j·y
8．【答案】B
【点拨】μmg＝m，v＝，故B选项正确。
二、填空、实验题：
9．【答案】
【点拨】当物块转到最高点时，电动机恰对地面无压力，说明此时物块对飞轮加了向上的弹力F，且F＝Mg，而物块m此时受到重力和竖直向下的弹力F＇(F＇是飞轮对物块的作用力)，其合外力提供它做圆周运动的向心力，即F向＝mg＋F＝mω2r，由牛顿第三定律：F与F′等大，即F＝Mg，所以ω＝。21世纪教育网版权所有
10．【答案】9800；22300
【点拨】匀速前进时F1＝mg ＝9800 N；刹车瞬间F2－mg＝m，则有：F2＝m(g＋)＝22300 N。21教育网
11．【答案】1.76N
【点拨】小球通过最高点时受到重力和绳的拉力作用，则，解得：F＝＝1.76N。
12．【答案】M(g－)
【点拨】根据牛顿第二定律及向心力公式有：Mg－FN＝，得FN＝M(g－)。
13．【答案】mg＋m；mg
【点拨】小球刚要到B点时，存在向心加速度，则FN－mg＝m，所以FN＝mg＋m。小球刚过B点，就做匀速直线运动，受力平衡，则FN′＝mg。21·cn·jy·com
三、计算题：
14．【答案】4.84 N
【解析】方法一：先判断小球在最高位置时，杆对小球有无作用力，若有作用力，判断作用力方向如何。小球所需向心力F向＝＝0.16 N。小球受重力mg＝5 N，重力大于所需向心力，所以杆对小球有竖直向上的作用力F，以竖直向下为正方向，对小球有mg－F＝F向，解得：F＝4.84 N。www.21-cn-jy.com
方法二：设杆对小球有作用力F，并设它的方向竖直向下，则有mg＋F＝，解得：F＝－mg＝－4.84 N，可见杆对小球有作用力，大小为4.84 N，方向与假设的方向相反，即竖直向上。2-1-c-n-j-y
15．【答案】 ≤ω≤
【解析】由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心,或背离圆心。当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即21*cnjy*com
由于B静止，故F＝mg，由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即，由以上各式解得。
当A将要沿盘向圆心滑时,A所受的最大静摩擦力沿半径向外,这时向心力为:?
解得：。?
故要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足： ≤ω≤。
第7节　生活中的圆周运动
（满分100分，60分钟完成） 班级_______姓名______
目的要求：
1．能运用向心力和向心加速度的公式解决匀速、变速圆周运动实际问题；
2．知道物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用与防止。
第Ⅰ卷(选择题 共48分)
一、选择题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得8分，对而不全得4分。选错或不选的得0分。
1．如图1所示，匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚要滑动尚未发生滑动的状态时，烧断细线，则两物体的运动情况是 （ ）21世纪教育网版权所有
图1
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向做远离圆心的运动
C．两物体随盘一起做匀速圆周运动，不发生滑动
D．物体A随盘一起做匀速圆周运动，不发生滑动；物体B将沿一条曲线运动，离圆心越来越远
2．如图2所示，物体P用两根长度相等不可伸长的细线系于竖直杆上，它随杆转动，若转动角速度为ω，则 （ ）
A．ω只有超过某一值时，绳子AP才有拉力
B．绳子BP的拉力随ω的增大而增大
C．绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力
D．当ω增大到一定程度时，绳AP的张力大于BP的张力
3．汽车在倾斜的弯道上拐弯，如图3所示，弯道的倾角为θ，半径为r，则汽车完全不靠摩擦力转弯的速率是（提示：转弯半径是水平的） （ ）
图3
A． B．
C． D．
4．如图4所示，轻杆的一端固定一小球，另一端有光滑的水平固定轴O，现给小球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，当小球到达最高点时杆对球的作用力 （ ）21cnjy.com
A．一定是拉力
B．一定等于零
C．一定是推力
D．可能是推力，可能是拉力，也可能等于零
5．如图5所示，小物块位于半径为R的半球顶端，若给小物块以水平初速度v0时，物块对球恰无压力，则下列说法不正确的是 （ ）
A．物块立即离开球面做平抛运动
B．物块落地时水平位移为R
C．初速度v0＝
D．物块落地速度方向与地面成45o角
6．飞机驾驶员最多可承受9倍的重力加速度带来的影响，当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲时速度为v，则圆弧的最小半径为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共52分）
二、填空、实验题：本大题共3小题，每小题8分，共24分。把正确答案填写在题中横线上或按要求作答。
7．如图6所示，质量为m的物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ，圆筒半径R，若要物体不下滑，圆筒旋转的角速度至少为______rad/s。21·cn·jy·com
8．杂技演员表演“水流星”，使装有水的瓶子在竖直平面内做半径为0.9 m的圆周运动，若瓶内盛有100 g水，瓶的质量为400 g，当瓶运动到最高点时，瓶口向下，要使水不流出来，瓶子的速度至少为 m/s，此时水的向心力为 N，绳子受到的拉力为______N。www.21-cn-jy.com
9．如图7所示，在光滑的水平面上的两个小球A和B，A球用长L的线拴着绕O点做匀速圆周运动，B球做匀速直线运动。在t0时刻A、B位于MN直线上，并且有相同的速度v0，这时对B施加一个恒力，使B开始做匀变速直线运动，为了使两质点在某时刻速度又相同，B的加速度大小应满足_____。2·1·c·n·j·y
三、计算题：本大题共2小题，计28分。解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。只写出最后答案的不能得分。有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。21·世纪*教育网
10．（12分）如图8所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B，一质量为m的小球从入口A沿切线方向水平射入圆筒内，要使小球从B处飞出，小球进入入口A的速度v0应满足什么条件？在运动过程中小球对筒的压力有多大？www-2-1-cnjy-com
图8
11．（16分）如图9所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg，b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求a、b两球落地点间的距离。
参考答案
一、选择题：
1．【答案】D
【点拨】当物体刚要滑动尚未滑动时，A、B受力如图示，A物体fm－T＝mω2·rA；B物体fm＋T＝mω2rB，当绳子烧断，T消失，A继续做匀速圆周运动，B将做离心运动。【来源：21·世纪·教育·网】
2．【答案】 ABC
【点拨】ω较小时，AP松张，故A选项正确；当ω达到某一值ω0时，AP刚好要绷紧，此后P的受力如图，其合力提供向心力，竖直方向合力为零，故FBP＞FAP，C选项正确。2-1-c-n-j-y
3．【答案】C
【点拨】汽车完全不靠摩擦力转弯时，重力和支持力的合力指向圆心，提供向心力，有mgtanθ＝m，解得v＝，故C选项正确。21*cnjy*com
4．【答案】D
【点拨】小球通过最高点的条件是v＞0，。当小球通过最高点，杆对小球的作用力为0时，，；当时，杆对球的作用力为推力；；当时，杆对小球的作用力为拉力，。故D正确。
5．【答案】D
【点拨】物块对球顶恰无压力时，只有重力提供向心力，所以mg＝m，v0＝。再向下运动，线速度要增大，需要的向心力也要增加，重力mg将不足以提供向心力，物块离开球面，在空中以v0为初速度做平抛运动，所以由平抛运动的公式：，，解得x＝R；v2y＝2gR，故vy＝。tanθ＝，即θ≠45o，则D错。
6．【答案】B
【点拨】当R和v一定时，飞机在圆弧的最低点飞行时，驾驶员受到的支持力FN最大，驾驶员在此点受到重力mg和支持力两力的作用，由向心力公式可得：FN－mg＝，所以当FN＝9mg时，R＝，B正确。【来源：21cnj*y.co*m】
二、填空、实验题：
7．【答案】
【点拨】对物体而言：，，，所以μmω2R＝mg，得ω＝。
8．【答案】3；1；0；
【点拨】瓶子运动至最高点时，由Mg＋F＝M，当速度最小时，绳的拉力F＝0，v＝＝3 m/s；对水而言：F向＝m＝1 N。21教育网
9．【答案】a＝，n＝0，1，2，……
【点拨】A球的速率不变，因此B球心先减速后加速至v0时两球的速度才可能相同，此时经过一段时间t，球B的速度变化Δv＝－2v0，设B的加速度为a，A的周期为T，则a＝||＝，t＝＋nT，n＝0，1，2，……；T＝，解得t＝（1＋2n），将t代入前式得：a＝，n＝0，1，2，……。【出处：21教育名师】
三、计算题：
10．【答案】（n≥1）；（n≥1）
【解析】 小球的运动是竖直方向自由落体运动和水平方向匀速圆周运动的合运动。
在竖直方向有h＝gt2
得t＝
小球在水平面内转过了n圈（n≥1）则
v0＝
v0＝（n≥1）
筒对球的压力提供了向心力，根据向心力公式有
FN＝＝（n≥1）
根据牛顿第三定律得，小球对筒的压力为（n≥1）。
11．【答案】3R
【解析】以a球为对象，设其到达最高点时的速度为va，根据向心力公式有：
即
所以：
以b球为对象，设其到达最高点时的速度为vb，根据向心力公式有：
即
所以：
a、b两球脱离轨道的最高点后均做一平抛运动，所以a、b两球的水平位移分别为：
故a、b两球落地点间的距离△s＝sa－sb＝3R。
7　生活中的圆周运动
达标基训
知识点一　水平面内的圆周运动
1．在铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了(　　)．
A．减轻火车轮子对外轨的挤压
B．减轻火车轮子对内轨的挤压
C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供转弯所需向心力
D．限制火车向外脱轨
解析　铁路转弯处，若内外轨一样高，重力和轨道的支持力沿竖直方向，不能提供水平拐弯所需的向心力．是靠挤压外轨获得外轨指向弯道内侧的侧压力提供向心力，所以可使外轨略高于内轨，利用重力和支持力的合力提供向心力，减轻对外轨的挤压，也一定程度上限制了火车向外脱轨，A、C、D对．
答案　ACD
2．火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是(　　)．
A．轨道半径R＝
B．若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行于轨道平面向外
C．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行于轨道平面向内
D．当火车质量改变时，安全速率也将改变
解析　不挤压内、外轨时，火车受力如图所示，由向心力公式知mgtan θ＝
m，所以R＝，v＝，可见A、D错．当速度大于v时，向心力增大，mg和FN的合力不足以提供向心力，挤压外轨，获得外轨的侧压力，方向平行于轨道平面向内，由牛顿第三定律可知，外轨受到侧压力，方向平行于轨道平面向外，B对；火车速度小于v时，内轨受到侧压力，方向平行于轨道平面向内，C错．21世纪教育网版权所有
答案　B
3．冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度应为(　　)．21cnjy.com
A. v＝k B．v≤
C．v≥ D．v≤
解析　当处于临界状态时，有kmg＝m，得临界速度v＝.故安全速度v≤.
答案　B
4．狗拉着雪撬在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，如图为四个关于雪橇受到牵引力F及摩擦力Ff的示意图(O为圆心)，其中正确的是(　　)．
解析　不同于汽车转弯，雪橇在运动过程中受到的始终是滑动摩擦力，滑动摩擦力方向始终与速度方向相反，由此推知，B、D错．A显然是错误的．只有C符合题意．【来源：21·世纪·教育·网】
答案　C
知识点二　竖直面内的圆周运动
5．如图5-7-9所示，小物块从半球形碗边的a点下滑到b点，碗内壁粗糙．物块下滑过程中速率不变，下列说法中正确的是(　　)．2-1-c-n-j-y
图5-7-9
A．物块下滑过程中，所受的合力为零
B．物块下滑过程中，所受的合力越来越大
C．物块下滑过程中，加速度的大小不变，方向时刻在变
D．物块下滑过程中，摩擦力大小不变
解析　因物块沿碗做匀速圆周运动，故合力不为0，A错，其合力应大小不变方向时刻改变，合力产生的加速度为向心加速度，大小不变方向时刻改变，故C项正确．对物块受力分析知摩擦力与重力沿速度方向的分力平衡，故摩擦力越来越小，D错．21*cnjy*com
答案　C
6．当汽车驶向一凸形桥时，为使在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应(　　)．
A．以尽可能小的速度通过桥顶
B．增大速度通过桥顶
C．以任何速度匀速通过桥顶
D．使通过桥顶的向心加速度尽可能小
解析　设质量为m的车以速度v经过半径为R的桥顶，则车受到的支持力FN＝mg－m，故车的速度v越大，压力越小．而a＝，即FN＝mg－ma，向心加速度越大，压力越小，综上所述，选项B符合题意．
答案　B
7．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一个小物体m，如图5-7-10所示，今给它一个水平的初速度v0＝，则物体将(　　)．
图5-7-10
A．沿球面下滑至M点
B．先沿球面至某点N，再离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道运动
D．立即离开半球做平抛运动
解析　小物体在半球面的顶点，若是能沿球面下滑，则它受到的半球面的弹力与重力的合力提供向心力，有mg－FN＝＝mg，FN＝0，这说明小物体与半球面之间无相互作用力，小物体只受到重力的作用，又有水平初速度，小物体将做平抛运动．21·cn·jy·com
答案　D
8．如图5-7-11所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处突然停止，则两吊绳所受的拉力FA和FB的大小关系为(　　)．【出处：21教育名师】
图5-7-11
A．FA＞FB
B．FA＜FB
C．FA＝FB＝mg
D．FA＝FB＞mg
解析　天车运动到P处突然停止后，A和B各以天车上的悬点为圆心做圆周运动，线速度相同而半径不同，F－mg＝，因为m相等，v相等，LA＜LB，所以FA＞FB.www.21-cn-jy.com
答案　A
知识点三　航天器与离心运动
9．下列关于离心现象的说法正确的是(　　)．
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心 的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线 做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动
解析　向心力是根据效果命名的力，做匀速圆周运动的物体所需要的向心力，是它所受的几个力的合力提供的，因此，它并不受向心力和离心力的作用．它之所以产生离心现象是由于F合答案　C
10．在下面介绍的各种情况中，哪此情况将出现超重现象(　　)．
①荡秋千经过最低点的小孩；②汽车过凸形桥；
③汽车过凹形桥；④在绕地球做匀速圆周运动的飞船的仪器．
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析　小孩荡秋千经最低点时，受重力和拉力作用，有F－mg＝m，F>mg，处于超重状态，汽车过凸形桥时，有向下的加速度，处于失重状态；汽车过凹形桥时，有向下的加速度，处于超重状态，做匀速圆周运动的飞船中的仪器重力提供向心力，所以处于完全失重状态，所以应选B.
答案　B
综合提升
11．如图5-7-12所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，正确的说法是(　　)．2·1·c·n·j·y
图5-7-12
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为零
D．小球经过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
解析　设在最高点小球受的拉力为F1，最低点受到的拉力为F2，则在最高点F1＋mg＝m，即向心力由拉力F1与mg的合力提供，A错．当v1＝时，F1＝0，B对．v1＝为球经最高点的最小速度，即小球在最高点的速率不可能为0，C错．在最低点，F2－mg＝m，21·世纪*教育网
F2＝mg＋m，所以经最低点时，小球受到绳子的拉力一定大于它的重力，D对．
答案　BD
12．某人为了测定一个凹形桥的半径，在乘汽车通过凹形桥最低点时，他注意到车上的速度计示数为72 km/h，悬挂1 kg钩码的弹簧测力计的示数为11.8 N，则桥的半径为多大？(g取9.8 m/s2)www-2-1-cnjy-com
解析　v＝72 km/h＝20 m/s
对钩码由牛顿第二定律得
F－mg＝m
所以R＝＝ m＝200 m.
答案　200 m
13．铁路转弯的圆弧半径是300 m，轨距是1 435 mm，规定火车通过这里的速度是72 km/h，内外轨的高度差该是多大时才能使铁轨不受轮缘的挤压？
解析　火车在转弯时所需的向心力在“临界”状况时由火车所受的重力和轨道对火车的支持力的合力提供，如图所示，图中h为内外轨的高度差，d为轨距．【来源：21cnj*y.co*m】
F＝mgtan α＝m　tan α＝
由于轨道平面与水平面间的夹角一般很小，可以近似地认为tan α≈sin α＝，代入上式得＝，所以内外轨的高度差为h＝＝ m＝0.195 m.【版权所有：21教育】
答案　0.195 m
14．如图5-7-13所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨道口飞出时，对轨道的压力恰好为零，则小球落地点C距A处多远？21教育名师原创作品
图5-7-13
解析　小球在B点飞出时，
对轨道压力为零，由mg＝m，
得vB＝，
小球从B点飞出做平抛运动
t＝ ＝ ，
水平方向的位移大小
x＝vBt＝·＝2R.
答案　2R
课 题
5.7　生活中的圆周运动
课 型
讲授课
多媒体使用
PowerPoint课件、
教
学
目
标
知识与技能
1.知道如果一个力或几个力的合力的效果是使物体产生向心加速度，它就是圆周运动的物体所受的向心力，会在具体问题中分析向心力的来源.
2.能运用匀速圆周运动规律分析和处理生产和生活中具体实例.
3.知道向心力和向心加速度的公式也适用于变速圆周运动，会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度.
过程与方法
通过对匀速圆周运动的实例分析，渗透理论联系实际的观点，提高学生的分析和解决问题的能力. 通过匀速圆周运动的规律也可以在变速圆周运动中使用，渗透特殊性和一般性之间的辩证关系，提高学生的分析能力.
情感态度
与价值观
培养学生的应用实践能力和思维创新意识；运用生活中的几个
事例，激发学生的学习兴趣、求知欲和探索动机；通过对实例的
分析，建立具体问题具体分析的科学观念.
教
材
分
析
重点
1.理解向心力是一种效果力.
2.在具体问题中能找到向心力，并结合牛顿运动定律求解有关问题.
难点
1.具体问题中向心力的来源.2.关于对临界问题的讨论和分析.3.对变速圆周运动的理解和处理.
教学方法
讲授法 分析归纳法 推理法 分层教学法
学法指导
1.通过对匀速圆周运动的实例分析，渗透理论联系实际的观点，提高学生的分析和解决问题的能力.
2.通过匀速圆周运动的规律也可以在变速圆周运动中使用，渗透特殊性和一般性之间的辩证关系，提高学生的分析能力.
教学准备
投影仪 CAI课件
教学反思
这只是课前的教学设计，在课堂教学中根据教学实际情况随时进行调整。
备 注
教
学
过
程
教 师 活 动
学 生 活 动
设计意图
复习：一般曲线运动问题的处理方法
情景导入
赛车在经过弯道时都会减速，如果不减速赛车就会出现侧滑，从而引发事故.
课件展示自行车赛中自行车在通过弯道时的情景.
根据展示可以看出自行车在通过弯道时都是向内侧倾斜，这样的目的是什么？赛场有什么特点？
下面大家考虑一下，火车在通过弯道时也不减速，那么我们如何来保证火车的安全呢？
推进新课
一、铁路的弯道
课件展示观察铁轨和火车车轮的形状.
讨论与探究
火车转弯特点：火车转弯是一段圆周运动,圆周轨道为弯道所在的水平轨道平面.
受力分析，确定向心力（向心力由铁轨和车轮轮缘的相互挤压作用产生的弹力提供）.
缺点：向心力由铁轨和车轮轮缘的相互挤压作用产生的弹力提供，由于火车质量大，速度快，由公式
学生讨论
结论：赛车和自行车都在做圆周运动，都需要一个向心力.而向心力是车轮与地面的摩擦力提供的，由于摩擦力的大小是有限的，当赛车与地面的摩擦力不足以提供向心力时赛车就会发生侧滑，发生事故.因此赛车在经过弯道时要减速行驶.而自行车在经过弯道时自行车手会将身体向内侧倾斜，这样身体的重力就会产生一个向里的分力和地面的摩擦力一起提供自行车所需的向心力，因此自行车手在经过弯道时没有减速.同样道理摩托车赛中摩托车在经过弯道时也不减速，而是通过倾斜摩托车来达到同样的目的.
检查先学环节任务的完成情况。
教
学
过
程
教 师 活 动
学 生 活 动
设计意图
F向=mv2/r，向心力很大，对火车和铁轨损害很大.
问题：如何解决这个问题呢？（联系自行车通过弯道的情况考虑）
事实上在火车转弯处，外轨要比内轨略微高一点，形成一个斜面，火车受的重力和支持力的合力提供向心力，对内外轨都无挤压，这样就达到了保护铁轨的目的.
强调说明：向心力是水平的.
F向= mv02/r = F合= mgtanθ
v0=
要使火车转弯时损害最小，应以规定速度转弯，此时内外轨道对火车两侧车轮轮缘都无压力.
二、拱形桥
课件展示交通工具（自行车、汽车等）过拱形桥.
问题情境：
质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为R，试画出受力分析图，分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力.通过分析，你可以得出什么结论？
画出汽车的受力图，推导出汽车对桥面的压力.
学生讨论
（1）当v= v0，F向=F合
内外轨道对火车两侧车轮轮缘都无压力.
(2）当v＞v0，F向＞F合时
外轨道对外侧车轮轮缘有压力.
（3）当v＜v0，F向＜F合时
内轨道对内侧车轮轮缘有压力.
在最高点，对汽车进行受力分析，确定向心力的来源；由牛顿第二定律列出方程求出汽车受到的支持力；由牛顿第三定律求出桥面受到的压力FN′=G
可见，汽车对桥的压力FN′小于汽车的重力G，并且，压力随汽车速度的增大而减小.
归纳匀速圆周运动解题思路
明确研究对象，分析其受力情况；
确定圆心；
列方程求解，在一条直线上，简化为代数运算；不在一条直线用平行四边形定则向指向圆心方向合成；
解方程并对结果进行必要的讨论。
学生通过自主、合作、探究的方式对一些针对性问题的思考训练，培养学生的思维和能力，通过展示和评价，让学生体验到成功的喜悦，提高学生学习物理的兴趣。
教
学
过
程
教 师 活 动
学 生 活 动
设计意图
思维拓展
汽车通过凹形桥最低点时，汽车对桥的压力比汽车的重力大还是小呢？学生自主画图分析，教师巡回指导.
课堂训练
一辆质量m=2.0 t的小轿车，驶过半径R=90 m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10 m/s2.求：
（1）若桥面为凹形，汽车以20 m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？
（2）若桥面为凸形，汽车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？
（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？
解答：（1）汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f.在竖直方向受到桥面向上的支持力N1和向下的重力G=mg，如图所示.圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力N1与重力G=mg的合力为N1-mg，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F向=N1-mg.由向心力公式有：N1-mg=
解得桥面的支持力大小为N1
+mg=(2 000×+2 000×10)N=2.89×104 N
根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是2.98×104 N.
（2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力G=mg和桥面向上的支持力N2，如图所示.圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G=mg与支持力N2的合力为mg-N2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F向=mg-N2，由向心力公式有mg-N2=
学生通过自主、合作、探究的方式对一些针对性问题的思考训练，培养学生的思维和能力，通过展示和评价，让学生体验到成功的喜悦，提高学生学习物理的兴趣。
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设计意图
说一说
汽车不在拱形桥的最高点或最低点时,它的运动能用上面的方法求解吗?
汽车受到重力和垂直于支持面的支持力,将重力分解为平行于支持面和垂直于支持面的两个分力,这样,在垂直于支持面的方向上重力的分力和支持力的合力提供向心力.
三、航天器中的失重现象
引导学生阅读教材“思考与讨论”中提出的问题情境，用学过的知识加以分析，发表自己的见解.上面“思考与讨论”中描述的情景其实已经实现，不过不是在汽车上，而是在航天飞行中.
假设宇宙飞船质量为M，它在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径近似等于地球半径R，航天员质量为m，宇宙飞船和航天员受到的地球引力近似等于他们在地面的重力.试求座舱对宇航员的支持力.此时飞船的速度多大？
解得桥面的支持力大小为N2=mg=(2 000×10-2 000×)N=1.78×104 N
根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×104 N.
（3）设汽车速度为vm时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零.根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力G=mg就是汽车驶过桥顶点时的向心力，即F向=mg，由向心力公式有mg=得：vm=m/s=30 m/s
汽车以30 m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力.
学生：推导并得出结论—
1.一辆卡车在丘陵地匀速行驶,地形如图所示,由于轮胎太旧,途中爆胎,爆胎可能性最大的地段应是( )
A. a处 B.b处 C. c处 ?D. d处
学生通过自主、合作、探究的方式对一些针对性问题的思考训练，培养学生的思维和能力，通过展示和评价，让学生体验到成功的喜悦，提高学生学习物理的兴趣。
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设计意图
通过求解，你可以得出什么结论？
其实在任何关闭了发动机，又不受阻力的飞行器中，都是一个完全失重的环境.其中所有的物体都处于完全失重状态.
课堂小结
本节课中需要我们掌握的关键是：一个要从力的方面认真分析，搞清谁来提供物体做圆周运动所需的向心力，能提供多大的向心力，是否可以变化；另一个方面从运动的物理量本身去认真分析，看看物体做这样的圆周运动究竟需要多大的向心力.如果供需双方正好相等，则物体将做稳定的圆周运动；
布置作业
教材“问题与练习”第1、2、3、4题.
板书设计
8.生活中的圆周运动
一、铁路的弯道
1.轨道水平：外轨对车的弹力提供向心力
轨道斜面：内外轨无弹力时重力和支持力的合力提供向心力
二、拱形桥
拱形桥：FN=G-m
凹形桥：FN=G+m
三、航天器的失重现象
如图所示，质量m=2.0×104kg的汽车以不变的速度先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20m。由于轮胎太旧，如果受到超过3×105N的压力时就会出现爆胎，则：（1）汽车在行驶过程中，在哪个位置最可能出现爆胎？（2）为了使汽车安全过桥，汽车允许的最大速度是多少？（3）若以（2）中所求得速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少
练习：质量为25kg的小孩坐在秋千板上，小孩离系绳的横梁2.5m。如果秋千板摆到最低点时，小孩运动速度的大小是5m/s，她对秋千板的压力是多大？
应用学到的知识来解决实际问题，通过练习掌握公式的应用及理解公式各物理量的含义。

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